RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras"

Ilhami Yılmaz
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 RANKI OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI Reports Of Free Groups Otomorfzm Rak Le Algebras Özge ÖZTEKİN Matematk Aa Blm Dalı Name EKİCİ Matematk Aa Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada, rakı ola serbest Le cebr otomorfzm grubuu tarafıda üretle altgrubuu S smetrk grubua zomorf olduğu gösterlmştr. Aahtar Kelmeler: Serbest Le cebr, Üreteç kümes, Taımlayıcı bağıtılar. ABSTRACT I ths study, we show that the subgroup whch geerated by of the automorphsm group of the free Le algebra of rak s somorphc to the symetrc group S. Key Words: Free Le algebra, Geeratg set, Defg relatos. Grş Serbest Le cebrler, serbest lpotet Le cebrler ve serbest metabelye Le cebrler otomorfzm gruplarıı üreteç kümeler ve suumlarıı bulmak öeml br problemdr. Serbest lpotet ve serbest metabelye Le cebrler üreteç kümeleryle lgl lk çalışma Dresky ve Gupta (990), tarafıda yapılmıştır. Papstas (00), rasyoel csm üzerde rakı ola serbest lpotet Le cebrler otomorfzm grupları ç üreteç kümes bulmuş ve ayı tekkle br çok görecel serbest lpotet Le cebrler ç üreteç kümeler taımlamıştır. serbest F, karakterstğ sıfır ola br K csm üzerde X x,..., kümes tarafıda üretle serbest Le cebr olsu. Coh (964), otomorfzm grubu ola x F Aut elemeter otomorfzmler tarafıda F üretldğ göstermştr. Bu çalışmada Umrbaev elde ettğ souçları Le cebrlere uyarlayarak karakterstğ sıfır ola br K csm üzerde rakı ola F serbest Le cebr otomorfzm grubuu br üreteç kümes ve taımlayıcı bağıtılarıı verdk. * Doktora Tez-PhD. Thess - 5 -

2 * Doktora Tez-Phd Thess Taım: F, X x,..., kümes üzerde br serbest Le cebr ve A da X tarafıda üretle serbest brleşmel cebr olsu. olup x F A olduğuu kabul edeblrz. : A K, F, A ı br alt cebre zomorf ç 0 olarak taımlaa homomorfzme geşletme homomorfzm der. Bu homomorfzm çekrdeğ, bazı X ola br serbest sağ A modüldür. Bu modülü le gösterelm. Her u elemaı u u x x formuda tek türlü yazılablr. x,..., x bazıa göre u u koordatları ola u, ( x Taım : ) elemaları Fox Türevler olup bu türevler aşağıdak gb taımlaır. türevler der. Aşağıdak koşulları sağlaya. Taım 3: x : A A, x x, j j : (Kroeckar Delta) x j 0, j u, v ve a, b K ç au bv u v a b x x x u, v A u v u uv v x x x. Her A 3.Her A, X x,..., x y y A Y,..., m döüşümlere sol Fox tarafıda üretle serbest brleşmel cebr ve olsu Y Jacoba Matrs - 6 -

3 J Y y x y x olarak taımlaır. F, X x,..., x üzerde serbest Le cebr ve : F F br edomorfzm se Jacoba Matrs: J x x m y x y x m x x x x x olarak taımlaır. F karakterstğ sıfır ola br K csm üzerde, x, x serbest üreteç kümese sahp serbest Le cebr olsu. Aut F le F otomorfzmler grubuu gösterelm. f, f le F x f ve x f olarak taımlaa otomorfzm gösterelm. f, x ve g de x br polomu ve, K, 0 olmak üzere, x,, f x f, x,, g x x g () olarak taımlaa otomorfzm F elemeter otomorfzm olduğu açıktır. olmak üzere c smetrk grubu S le gösterelm. Şmd elemeter otomorfzmler ç bazı bağıtılar taımlayacağız.,, cx,, dx,, c d,, ax,, bx, a b x () x,, olduğuu görmek zor değldr. Ayrıca burada, bağıtı elde edlr. ç,,0 aşkar - 7 -

4 ,,0,,,,0,, c x,, c,,0 cx (3) k, s tamsayıları k s olmak üzere ks otomorfzm, ks s,, xk k,, xs s,, xk şeklde taımlayalım. (Burada ks sk ya dr). Ve so olarak aşağıdak bağıtıyı verelm. AutF Bağıtıları,, cx,, cx,, dx, dx (4), Yardımcı Teorem : AutF tarafıda üretle altgrubu, S grubua zomorftur. AutF tarafıda üretle altgrubu,, x,, x,,, x () de,, x,, x,, x,, x,, x,, x Ve (4) de,, x,, x,, x elde edlr. ()-(4) te, olduğuu elde etmek zor değldr. Böylece S grubuu taımlayıcı bağıtıları le bağıtılarıı uygu olduğuu göstermş olduk. Dolayısıyla S grubu le tarafıda üretle altgrubu brbre zomorftur. AutF - 8 -

5 Yardımcı Teorem : AutF GL, K J : AutF GL, K AutF olmak üzere J döüşümüü düşüelm. Burada matrsdr. Öce bu döüşümü brebr olduğuu gösterelm: J olsu. Ya, : x ax ax olmak üzere AutF dr. x ax ax, Jacoba a a 0 J a a 0 matrsler eştlğde; a a ve a a 0 a a 0 burada da elde edlr. Öyleyse Çek. Şmd bu döüşümü örtelğ gösterelm: a a a a GL, K a a a 0 alalım. döüşümü F a olduğuda : x ax ax x ax ax otomorfzm olur. Dolayısıyla J örtedr. Şmd, K AGL, K SL det A grubuu düşüelm. Yardımcı Teorem 3: X AutF j j,, x, j üretle altgrubu SL,K ya zomorftur. (burada csm elemaı) AutF X j,,, j üretle altgrubu G olsu. j x tpdek otomorfzmler tarafıda tpdek otomorfzmler tarafıda - 9 -

6 G elemaları,, f alalım. Burada E j le j tpdedr.,, x X,, x X J : G SL, K J, G olmak üzere Jacoba matrsdr. E e E e j elemeter matrs gösterelm. j JX j Ej olduğuda J, grupları zomorfzm olur. ()-(4) bağıtılarıı SL, K taımlayıcı bağıtılar olduğuu görmek zor değldr. ç Teorem 4: ()-(4) bağıtıları AutF grubuu () üreteçlere göre taımlayıcı bağıtılarıdır. : x ax bx olmak üzere AutF x cx dx olsu. Burada bc 0 ad dır., x b ad bc d ad bc, x,, bx,, b döüşümüü ye uygularsak brm döüşümü elde ederz. Böylece spatı tamamlamış oluruz. KAYNAKLAR ANDREADAKIS, S., 965. O The Automorphsms of Free Groups ad Free Nlpotet Groups. Proc. Lodo Math. Soc., 3,5. ANDREADAKIS, S., 984. Geerators for Aut(G), G Free Nlpotet. Arc. Math., 4, BRYANT, R.M., GUPTA, C.K., 989. Automorphsm Groups of Free Nlpotet Groups. Arc. Math., 5, COHN, P. M., 964. Subalgebras of Free Assocatve Algebras. Proc. Lodo Math Soc., 3,4, DRENSKY, V., GUPTA, C.K., 990. Automorphsms of Free Nlpotet Le Algebras. Math., Vol.XLII, No.,

7 ERDMANN, K., WILDON, M.J., 006 Itroducto to Le Algebras. Sprger Udergradute Math. Seres. GORYAGA, A.V., 976. Geerators of The Automorphsm Group of a Free Nlpotet Group. Algebra ad Logc, 5, NIELSEN, J. 94. De Isomorphsmegruppe Der Free Gruppe. Math. A., PAPISTAS, A.I., 00. Automorphsms of Relatvely Free Nlpotet Le Algebras. Comm. Algebra, 38, No. 4, UMIRBAEV, U.U., 007. Defg Relatos for Automorphsm Groups of Free Algebras. J. Algebra, 34, No.,

Benzer belgeler

RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ

RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ ANKI İKİ OLAN SEBEST METABELYEN LİE CEBİLEİ İÇİN Bİ KOMUTATÖ TESTİ Zerrn ESMELİGİL Çukurova Ünverstes, Matematk Bölümü, Adana, 033386084-45, 033386070, e-zerrn@cu.edu.tr ÖZET. Bu çalışmada rankı k olan