OLU TURDU U DALGALARIN SAYISAL OLARAK MODELLENMES

Transkript

1 GEMİ İNŞAATI ve DENİZ TEKNOLOJİSİ TEKNİK KONGRESİ 2012 HAREKET EDEN YARIMKÜRE EKLNDEK BR CSMN OLUTURDUU DALGALARIN SAYISAL OLARAK MODELLENMES Deniz BAYRAKTAR ERSAN 1 ve Serdar BEJ 2 ÖZET Su dalgalarnn teorik ve fiziksel modellenmesi, üzerinde onaltnc yüzyldan bu yana çallan bir konudur. Genel olarak rüzgâr etkisi ile oluan açk deniz ve ky bölgesi dalgalarnn yan sra su içindeki bir cismin (gemi v.b.) hareketinden ötürü oluan dalgalarn incelenmesi de önem tamaktadr. Gemi hareketlerinden kaynaklanan dalgalarn modellenmesi özellikle son yllarn güncel konularndandr. Bu çalmada, seyir halindeki tekneyi temsil edecek olan basnç alan belirlenmi ve bu basnç alan ilerlediinde oluacak olan dalgalar bir bilgisayar programnda saysal olarak modellenmitir. Lineer olmayan özellikteki bu dalgalar saysal olarak modelleyebilmek için Boussinesq Denklemleri kullanlmtr. Boussinesq denklemleri, derinlik integre edilmi denklemler olup, dispersiyon terimleri ksmi olarak dikey yöndeki akkan ivmesinin etkisini temsil eder. Boussinesq Denklemleri bu özellikleri ile uzun dalga denklemlerinden ayrlrlar. Bu sayede, çok s olmayan bölgelerde de, deiik hzlardaki teknelerin yaratt dalgalarn gerçekçi bir ekilde simülasyonu yaplmtr. Hareket edecek olan basnç alann temsilen bir yarmküre seçilerek, farkl Froude saylar için, deiik zaman aralklarnda üç boyutlu simülasyonlar yaplmtr. Anahtar Kelimeler: Boussinesq denklemleri, dalga ekilleri, giri açs, hareket eden basnç alan 1 stanbul Teknik Üniversitesi, Gemi naat ve Deniz Bilimleri Fakültesi, Gemi ve Deniz Teknolojisi Mühendislii Bölümü, Tel: , e-posta: bayraktard@itu.edu.tr 2 stanbul Teknik Üniversitesi, Gemi naat ve Deniz Bilimleri Fakültesi, Gemi ve Deniz Teknolojisi Mühendislii Bölümü, Tel: , e-posta: sbeji@itu.edu.tr 419

2 1. Giri Su yüzeyinde hareket eden bir cismin (gemi v.b.) farkl hzlarda oluturduu lineer olmayan En önemli avantaj derinlik integre edilmi bir dalga modeli olmas olan Boussinesq denklemleri, üç boyutlu bir problemi iki boyutlu bir probleme indirgemektedir. Boyuttaki bu azalma ve bilgisayar teknolojisinin ilerlemesine paralel olarak, Boussinesq denklemleri farkl tipte dip batimetrileri ve ky ekilleri ile geni yüzeyleri kaplayan bölgeler için yaygn olarak kullanlabilmektedir. Sabit su derinlikleri için geçerli olan ilk Boussinesq modeli, adn ald Boussinesq [2] tarafndan elde edilmitir. Daha sonra, Mei and LeMeháute [9] ve Peregrine [12] de, Boussinesq denklemlerini sabit olmayan su derinlikleri için elde etmilerdir. Mei and LeMeháute, tabandaki hz deiken olarak tanmlarken, Peregrine derinlie göre ortalamas alnm hz deiken olarak kullanmtr. Peregrine tarafndan türetilen denklemlerin yaygn kullanmndan ötürü, bu denklemler standart Boussinesq denklemleri olarak bilinmektedir. Daha iyi dispersiyon karakteristiine sahip denklemler elde etmek için Madsen ve dierleri [7] ve Madsen ve Sørensen [8] ayarlanabilir katsayl yüksek mertebeden terimleri srasyla, sabit ve deiken su derinlikli Boussinesq denklemlerine eklemilerdir. Beji ve Nadaoka [1], Madsen ve dierlerinin [7] gelimi Boussinesq denklemlerini, farkl bir ekilde türetmilerdir. Liu ve Wu [5] ise, snr integrali yöntemini kullanarak bir dikdörtgen ve trapez kanal içinde hareketli bir basnç dalm tarafndan üretilen dalgalar, gemiye özel uygulamalar içeren bir model olarak sunmutur. Torsvik [13] Lynett ve dierleri [6] ve Liu ve Wu nun [5] COULWAVE uzun dalga modelini kullanarak, deiken kesitli bir kanalda sabit bir hzda hareket eden bir basnç dalmnn yaratt dalgalar saysal olarak incelemitir. Bu ve bunun benzeri yaplm olan çalmalarda ortak nokta, hareket eden cisim olarak kosinüs tipinde bir fonksiyon seçilmesidir. Hareketli bir basnç alannn teorik formülasyonunu incelemek, yüzen bir cismi istenilen formda elde edebilmek açsndan oldukça önemlidir. Fakat Boussinesq denklemleri, boyut azaltmas açsndan her ne kadar çok büyük avantaj salasa da yüzer cisimler söz konusu olduunda dorudan bir kullanm söz konusu olamamaktadr. Bu durumda, yaplabilecek iki farkl yaklam vardr. Bunlardan birincisi, yüzer cismin dnda ve altnda kalan bölgelerin ayr ayr deerlendirilmesi ve buna bal çözümlerin elde edilmesidir. Dieri ise, uygulama açsndan daha kolay olan, Bounessinesq denklemlerine, yüzer cismin etkisini yanstacak olan bir yüzey basnç teriminin eklenmesidir. Burada en önemli problem, yüzer cisme en uygun yüzey basncnn tanmlanmasdr. Bu çalmada, farkl formda yüzey basnç alanlar ile istenilen cismin/cisimlerin etkilerinin yaratlp tanmlanmas ve buna bal olarak yaplmas planlanan simülasyonlar ile farkl durumlar incelenip birbiriyle karlatrlmtr. Bu simülasyonlar, hareket halindeki bir gemi formunun yaratt dalgalar ile bunlarn etkilerini anlayabilmek açsndan oldukça önemlidir. Bunu gerçekletirebilmek için, yüzey basnç terimlerinin, bir ve iki boyutlu (gerçekte iki ve üç boyutlu) olan Boussinesq saysal modellerinin bir parças haline getirilip uygulanmas gerekmektedir. 420

3 Klasik Boussinesq denklemlerinin uygulama alanlarndan farkl olarak bu aratrma konusu, ky ve liman bölgelerindeki dalga hareketlerinin incelenmesinin dnda, yüzer bir cisim veya cisimler etkisi altnda oluacak dalga hareketlerini de inceleyebilmeyi mümkün klmaktadr. ki boyutlu denklemlerle yarm küre eklindeki bir cismin yaratt dalgalar modellenmitir. Bu simülasyonlar, teorik sonuçlarla karlatrlmtr. 2. Gelimi Dispersiyon Karakteristikli Boussinesq Denklemleri Bu çalmada Beji ve Nadaoka [1] tarafndan türetilen Boussinesq denklemleri kullanlm olup, momentum denklemlerine, hareket edecek cismi temsil eden basnç gradyan eklenmitir: Burada bir sabit olup, lineer teori dispersiyon bantsnn, ikinci mertebeden Padé açlmna göre =1/5 alnmtr. = 0 ise Peregrine nin orijinal denklemine karlk gelmektedir. = 1/5 olduunda, model nispeten ksa dalgalar (h/ = 1) modelleyebilir. Burada, dalga boyu, h ise su derinliini temsil etmektedir. 3.Denklemlerin Ayrklatrlmas Denklem 1 ve Denklem 2, atlatlm Arakawa C-grid sistemine göre ekil 1 de gösterildii gibi ayrklatrlmtr. 421

4 ekil 1. Deerlerin atlatlm Arakawa C- grid sistemindeki konumlar Ayrklatrma, O Brien ve Hurlburt [11] tarafndan iki tabakal s su denklemlerinin çözümünde kullanlan yönteme uygun olarak, süreklilik denklemi, momentum denkleminin içine yerletirilerek gerçekletirilmitir. Böylesi bir düzenleme, saysal programn srasyla, hem uzun dalga modunda, hem Boussinesq modunda, hem de gelimi Boussinesq modunda çalabilmesine olanak verir. Buna göre süreklilik denklemi, elde edilmitir. Burada, i ve j srasyla x ve y yönündeki uzaysal zaman admlarn gösterirken k, zaman admn gösterir. Her iki taraf t ile çarplp x e göre türevi alndndaysa aadaki denklem elde edilir: 422

5 Buna benzer olarak Denklem 3, t ile çarplp, y ye göre türevi alnrsa, denklemi elde edilir. Denklem 4 ve 5, srasyla x ve y momentum denklemlerinin ayrklatrlmas için kullanlacaklardr. Momentum denkleminin x bileeni u ekilde ayrklatrlr: Burada, ayrklatrlmam olarak verilen terimler, Arakawa C-grid sistemine göre k + 1/2 zaman admnda ayrklatrlacaktr. Denklem 4 teki ifadesini yukardaki denklemin içine yerletirdikten sonra, t ile çarpp düzenlenirse elde edilecek olan denklem, 423

6 olur. Ayn ilemler y-momentum denklemi için de yapldndan burada tekrar edilmemitir. Saysal çözüm sras u ekildedir. Öncelikle, eski zamandaki hzlar kullanlarak, geçici deerleri, süreklilik denklemi 3 ten hesaplanr. Buna bal olarak, x ve y yönündeki momentum denklemleri, yeni zamandaki u ve ve v hzlar için, tridiyagonal bir matris sistemi oluturur. Hareket denkleminin x- bileeni çözülürken, yeni zaman admndaki u k+1 deerleri tek bilinmeyenler olup, Thomas algoritmas kullanlarak çözülür. Benzer ekilde, hareket denkleminin y-bileeni çözülürken, yalnzca v k+1 ler bilinmeyen olarak deerlendirilir. Son hesaplanan u k+1 ve v k+1 deerleri kullanlarak, düzeltilmi deerleri yeniden süreklilik denkleminden elde edilir. Güvenilir sonuçlar elde etmek için, her bir zaman admnda, bu ilemlerin yalnzca üç kez tekrarlanmasnn yeterli olduu gözlemlenmitir. Daha iyi bir yaklam için, deikenlerin ardk deerleri bir yaknsama kriteri ile karlatrlmtr. Fakat saysal deneyler göstermitir ki, iterasyonun artmasnn sonuçlar üzerinde iyiletirici bir etkisi kesinlikle ihmal edilebilir düzeyde kalmaktadr. 4. Üç Boyutlu Saysal Çözümler Hareket eden basnç alanna bal olarak oluan dalgalarn iki boyutlu (gerçekte 3 boyutlu) simülasyonlar yaplmtr. Bu amaçla, öncelikle üç boyutlu bir yarm küre eklindeki bir basnç alan oluturulmutur. Daha sonra, söz konusu basnç alan kullanlarak yaplan saysal simülasyonlardan farkl derinlik Froude saylar için elde edilen giri açlar ölçülmü ve her bir aç Havelock a ait teorik fomülasyonlarn verdii deerlerle karlatrlmtr. 424

7 5. Yarmküre eklindeki Basnç Alannn Zorlayc Etkisi Simülasyon için kullanlan yarmküre eklindeki basnç alan u ekilde ifade edilmitir: 2 p(x, y)= p 0 R 2 2 x y (8) Burada, p 0 deeri basnç dalmnn en yüksek deeri olup, R ise yarçaptr. ekil 5, kullanlan basnç alann göstermektedir. ekil 2. Yarmküre eklindeki basnç dalmnn üç boyutlu gösterimi Simülasyonlarda, R=40 m, p 0 = 300 Pa, su derinlii h = 10 m alnm olup buna bal hz c =gh = 10 m/s dir. Simülasyon alan, 2400 m 1200 m olup x = y = 4 m dir. Zaman aral ise t = 0.2 s dir. x-momentum denkleminde p x = xp 0 =(R 2 x 2 y 2 ) 1/2 ve y- momentum denkleminde p y = yp 0 /(R 2 x 2 y 2 ) 1/2 eklindedir. ekil 6, derinlik Froude says, Fr = v/c = v/gh =1.1 için srasyla t =10 s, 44 s ve 90 s de gözlenen dalgalarn kontür grafiklerini göstermektedir. Bu Froude saysna karlk gelen basnç alannn ilerleme hz ise v = 1.1gh = 1.1c = 11 m/s dir. Tablo 1 ve ekil 7 den görülen, t= 90 s için simülasyonu yaplan dalga alannn 65 olarak ölçülen ilerleme açs, Havelock un [4] teorik sonucuyla oldukça uyumludur. (a) t= 10 s, Fr=

8 (b) t= 44 s, Fr=1.1 (c)t= 90 s, Fr=1.1 ekil 3. Fr = 1.1 için Boussinesq modeli ( = 1/5 ) kullanlarak ilerleyen bir yarmkürenin oluturduu dalgalarn farkl zamanlardaki dalga konturlar Havelock [4] belli hzlarda ilerleyen bir yüzey basnc nedeniyle oluan dalga ekillerini, kritik alt ve kritik üstü Froude saylar için incelemitir. Nokta eklindeki bir impulsun sonlu derinlikteki bir suda ilerlerken oluan giri açsn Havelock u ekilde ifade etmitir: Fr 1 için arccos 81 n/ 3 n arcsin p Fr > 1 için kh Burada, p = gh/v 2 = c 2 /v 2 = 1/Fr 2 dir. m tanh 2kh ve n iken, kritik alt kh sinh2kh aralktaki belirli bir Froude says veya p deeri için öncelikle kh, m(3 n) = 2/p bantsndan iterasyonla bulunur. deerini bulmak içinse, n deerinin saysal deeri, hesaplanm olan kh deeri kullanlarak bulunur. Kritik üstü aralkta, p tek fonksiyon olup, baka bir hesaplamaya gerek yoktur. Tablo 1 de bunlara bal olarak hesaplanan kama açlar saysal ve teorik olarak verilmitir. 426

9 Tablo 1. Saysal olarak elde edilen giri açlarnn Havelock un analitik sonuçlaryla farkl derinlik Froude saylar için karlatrlmas Fr Boussinesq (Saysal) Giri açs Havelock (Analitik) Bal hata yüzdesi (%) Kritik alt bölgede Froude says sfra yaklatkça, bal derinliin (kh) artt gözlemlenmektedir. Öte yandan, tüm kritik üstü aralkta, kh deeri sfrn limit deer olduu durumu kabul eder ve giri açs hesaplamalarnda etkisiz hale gelmektedir. Bundan ötürü, bir anlamda, düük Froude saylar, görece derin sular temsil ederken, yüksek Froude saylar, s sulara karlk gelmektedir. ekil 7 de görüldüü üzere, Fr = 0 durumunda, derin sular için, Kelvin in çok iyi bilinen giri açs = 19 o 28 elde edilmitir. ekil 7 de, Havelock un analitik formülleriyle hesaplanan giri açlaryla, Boussinesq modelini kullanarak elde edilen grafiklerden ölçülen giri açlar verilmitir. Buradaki Froude says Fr v / gh derinlie bal olduundan Fr = 0 durumu derin suya karlk gelir, öyle ki v 0 artyla, su derinlii h teorik olarak sonsuzdur. Dolaysyla ekil 7 de Fr<1 derin su bölgesini temsil ederken, Fr>1 s su bölgesini temsil etmektedir. Boussinesq denklemleri genel olarak orta derinlikte ve s sulara uygulanabilir olduundan, Tablo 1 de görüldüü üzere, bu çalmada simülasyonlar için, kritik alt aralk, Fr=0.63 ve Fr=0.99 arasnda seçilmitir. 427

10 ekil 4. Saysal olarak elde edilen giri açlaryla, Havelock un teorik formülasyonunun karlatrlmas 6. Sonuçlar Boussinesq denklemleri genel olarak yakn ky bölgelerindeki ya da orta derinlikteki dalgalar modellemek için kullanlmaktadr. Bu uygulamalarn dnda, ilerleyen bir cismin oluturduu dalgalar modellemek için de Boussinesq denklemleri kullanlabilir. Bu çalmada, sabit ve ilerleyen yüzey basnçlar kullanlarak saysal dalga modellemeleri yaplmtr. Üç boyutlu simülasyonlar için Boussinesq denklemlerinde yarmküre eklindeki bir basnç gradyan kullanlm ve ilerleyen bu basnç alannn oluturduu dalga ekillerinin farkl derinlik Froude saylar için deiik zaman aralklarnda simülasyonlar yaplmtr. Havelock [4] un analitik sonuçlar, hesaplanan giri açlaryla karlatrlmtr. Bu karlatrmalar, özellikle bal derinliin küçük olduu, kritik üstü Froude bölgesi için çok iyi sonuçlar vermektedir. Kritik alt Froude bölgesinde ortalama hata % 5.58 iken, kritik üstü Froude bölgesinde ortalama hata % 2.03 e dümektedir. Ortalama hata yüzdelerindeki bu fark, büyük ihtimalle Boussinesq denklemlerinin su derinliine bal kstlayclndan ileri gelmektedir. Daha önce belirtildii üzere, kritik alt bölge, görece daha derin sular temsil etmekte ve Froude saysnn sfra eit olduu durum ise, tamamen derin suya karlk gelmektedir. Saysal modelin, kritik alt bölgede görece daha kötü sonuç vermesi, oluan dalgalarn derin su özelliklerine balanabilir. 7. Kaynaklar [1] Beji, S. and Nadaoka, K. A., Formal Derivation and Numerical Modelling of the Improved Boussinesq Equations for Varying Depth, Ocean Engineering, no. 23, pp. 691, 704,1996. [2] Boussinesq, J.V., Theory of waves and surges which propagate the length of a horizontal 428

11 rectangular canal, imparting to the fluid contained within the canal velocities that are sensibly the same from the top to the bottom, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, no. 17, pp , [3] Engquist, B. and Majda, A., Absorbing Boundary Conditions for the Numerical Simulations of Waves, Mathematics of Computation, no. 31(139), pp , [4] Havelock, T., The propagation of Groups of Waves in Dispersive Media with Application to Waves on Water Produced by a Travelling Disturbance, Proceedings of the Royal Society of London, no.81(549), pp , [5] Liu, P.L.F and Wu, T.R., Waves Generated by Moving Pressure Disturbances in Rectangular and Trapezoidal Channels, Journal of Hydraulic Research, no. 42, pp , [6] Lynett, P., Wu, T.-R., and Liu, P. L.-F., Modeling Wave Runup with Depth-Integrated Equations, Coastal Engineering, no (46), pp , [7] Madsen, P. A., Murray, R. and Sørensen, O. R., A New Form of the Boussineq Equations with Improved Linear Dispersion Characteristics, Coastal Engineering, no. 15, pp , [8] Madsen, P. A. and Sørensen, O. R., A New Form of the Boussineq Equations with Improved Linear Dispersion Characteristics part 2, Coastal Engineering, no. 18, pp , [9] Mei, C.C. and LeMehaute, B., Note on the Equations of Long Waves Over an Uneven Bottom, Journal of Geophysical Research, no. 71, pp , [10] Nwogu, O., Alternative Form of Boussinesq Equations for Nearshore Wave Propagation, Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering. No. 119, pp , [11] O Brien, J.J. and Hurlburt, H.E., A Numerical Model of Coastal Up-Welling, Journal of Physical Oceanography, no. 2, pp , [12] Peregrine, D. H., Long Waves On a Beach, Journal of Fluid Mechanics, no. 27, pp , [13]Torsvik, T., Pedersen, G. and Dysthe, K., Waves Generated by a Pressure Disturbance Moving in a Channel with a Variable Cross- Sectional Topography, Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, no. 135, pp ,