MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için"

Transkript

1 MIT Açık Ders Malzemeler Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında blg almak çn veya ders.org.tr adresn zyaret ednz Introducton to Functonal Analyss Bahar 2009 Prof.Dr.Rchard Melrose 1

2 ÇÖZÜMLER 1 İlk dört problem küçük L p uzayları olarak ta anılan l p uzayları hakkındadır. Çözümler l 2 çn verebleceğnz gb her p,1 p çn de vereblrsnz. Problem 1.1 Her p, 1 p < veya sadece p = 2 çn; l p = {a : N C, dzlernn aşağıdak normla, a p <, a = a()} =1 a p = ( a p ) 1/p =1 normlu br uzay olduğunu gösternz. Bu tanımlanan dzlern br vektör uzayı olduklarını ve tanımlanan normun norm olmak çn sağlaması gereken üç koşulu sağladığının gösterlmes demektr. Çözüm: Herhang br kümeden değerlern br vektör uzayında alan fonksyonların vektör uzayı olduğunu blyoruz- buradak toplama şlem değerlern toplamı bçmndedr. Dolayısı le l p nn vektör uzayı olablmes çn toplama ve skalerler le çarpma şlemler altında kapalı olması gerekyor. Skalerler le çarpma şlem altında kapalılığı göstermek kolay: (3.18) ta = t a ta p = t a p Bu zaten. p fadedesnn norm olduğunu göstermekte gereklyd. l p de olan a, b dzlern toplamı a + b nn de l p olması üçgen eştszlğnn uygulaması le elde edlr. Ama 0 t çn t p fonksyonunun artan olduğunu kullanarak; (3.19) a + b p (2maks( a, b )) p = 2 p maks( a p, b p ) 2 p ( a + b ) Buradan da a + b p p = a + b p 2 p ( a p + b p ) elde edlr. l p nn norm uzayı olduğunu kanıtlamak çn a p nn gerçekten br norm olduğunu kanıtlamalıyız. a p sıfır dan küçük değerler alamaz. Eğer a p = 0 se, bu her çn, a = 0 demek olacağından, a = 0 buluruz. Gerye 3

3 kalan tek husus se üçgen eştszlğnn sağlandığıdır. Eğer p = 1 se, stenlen, mutlak değer fonksyonunun üçgen eştszlğn sağlamasından elde edlr: (3.20) a + b 1 = a + b ( a + b ) = a 1 + b 1 p nn 1 p değerler çn kanıtlamamız gereken eştszlğe Mnkowsk eştszlğ adı verlr. Mnkowsk eştszlğ, Young eştszlğ olarak tanınan eştlkten elde edlen Hölder eştszlğnn br sonuçudur. Young eştszlğ, 1/p + 1/q = 1 çn dolayısı le q = p/(p 1) dr. (3.21) αβ αp p + βq q, α, β 0 Bunu görmek çn, α = x fonksyonu olarak, (3.22) f(x) = xp p xβ + βq q Bu fonksyon x = 0 da negatf değldr ve x > 0 değerler çn x p, xβ dan daha hızlı büyüdüğü çn, poztftr. Dahası türevleneblr br fonksyondur ve türev olan x p 1 sadece β da sıfır olup, burada x > 0 çn br mutlak mnmum değerne sahptr. Bu noktada f(x) = 0 olduğundan Young eştszlğn elde ederz. Şmd bu eştszlğ, α = a / a p, β = b / b q (kuşkusuz k sayı da sıfırdan farklı kabul edlmektedr) sayıları çn kullanıp, üzernden toplam alarak Hölder eştszlğn (3.23) a b / a p b q a b / a p b q ( a p a p pp + b q b q qq ) = 1 ve buradan da a b a p b q buluruz. Şmd buradan, üçgen eştszlğ ve brnc çarpanda q kuvvet alarak, Mnkowsk eştszlğn elde ederz. (3.24) a + b p a + b (p 1) a + b 4

4 a + b (p 1) a + a + b (p 1) b ( a + b p ) 1/q ( a p + b q ) İlk çarpanla bölerek, sağ tarafta (3.25) a + b p a p + b p Dolayısıyla, l p gerçekten normlu br uzaydır. Problem 1.2 Problem 1.1 dek zor kısım üçgen eştszlğ d. Eğer sze her N çn ( a p ) 1/p fadesnn C N de norm olduğu verlseyd, bunu kullanablr mydnz? Çözüm: Evet, gerçekten her N çn, ( a + b p ) 1/p ( a p ) 1/p + ( b p ) 1/p doğru olsaydı, l p nn öğelernn normu çn yukarıdak sağ taraf çn br üst sınır olurdu, yan, (3.27) ( a + b p ) 1/p a p + b p Sol taraf N sayısının artan değerler le arttığından, yakınsar ve üstten, N sayısından bağımsız olan, sağ taraftak fade le sınırlı olur. Bu üçgen eştszlğdr. Özetlersek, bu lk problemdek us yürütmenn N den bağımsız olarak tekrarıdır. Problem 1.3 Problem 1.1 de tanımlanan l p nn ya da l 2 nn tam olduğunu kanıtlayınız. Yan Banach uzayı olduğunu gösternz. Her Cauchy dzsnn yakınsak olduğunu kanıtlayınız. Burada problem verlen Cauccy dzsnn lmtn bulmaktır. Her N çn N noktasında budanmayla elde edlen C N dek her dznn C N de br Cauchy dzs olduğunu gösternz. 5

5 Çözüm: l p uzayında Cauchy dzs olan a (n) alalım. Dzdek her öğe yne l p de olan, {a (n) } =1 dzsdr. Aşağıdak Problem 1.5 de kanıtlanacak olan normun sürekllğnden, dzs R de br Cauchy dzsdr ve yakınsar. Buradan bu dznn sınırlı olduğunu elde ederz. Yan br A sayısı ve her n çn p A vardır. Cauchy tanımından verlen ɛ > 0 çn, öyle br M sayısı vardırk her m, n > M çn (3.28) a (m) p = ( a (m) p ) 1/p < ɛ/2 Her damgası çn a (m) a (m) p sağlandığından, a (n) C de Cauchy dzsdr. C tam olduğundan, her = 1,2,... çn dzs (3.29) lm n a (n) = a vardır. Verlen dznn lmt çn aday, a = (a ) dzsdr. Normların sınırlılığı, (3.30) verr, burada n ken lmt alarak (3.31) p A p p A p, N a p A bulunur. Dolayısı le a l p bulundu. Benzer bçmde Cauchy koşulundak sonlu eştszlkte m ken lmt alarak, (3.32) ( =1 elde ederz.dolayısıyla, her N çn a (m) p ) 1/p < ɛ/2 bulur ve buradan da (3.33) ( a p ) 1/p ɛ/2 (3.34) a < ɛ, n > M 6

6 bulunur ve bu l p uzayında, a (n) a demektr. Problem 1.4 İstersenz n = 2 alablrsnz, lp uzayının brm yuvarı S kümesn düşünelm. Bu küme uzunlukları 1 olan vektörlern kümesdr. S = {a l p : a p = 1} kümesdr. (1) S kümesnn kapalı olduğunu gösternz. (2) Dlersenz Rudn nn kıtabına da bakarak, metrk uzaylarda kompakt kümelern dzsel betmlenşn anımsayınız. (3) Dlersenz n-nc yerde 1, kalan koordnatlarda 0 olan dzy düşünerek S kümesnn kompakt olmadığını kanıtlayınız. Çozum:Br sonrak alıştırmada ele alınan, normun sürekllğ ve S kümesnn kapalı {1} n kümesnn ters görüntüsüne eşt olmasından, S kapalıdır. Anımsanmasını stedğmz sonuç, metrk uzaylarda br altkümenn kompakt olması çn gerek ve yeter koşulun kümedek her dznn yne küme çnde yakınsayan br altdzsnn olmasıdır. Bu durumda aşağıdak dzler dzsn ele alalım: (3.36) a (n) = { 0,, n 1,, = n Bu dznn n m çn, a (m) p = 2 1/p özellğ vardır. Bu nedenle hç br Cauchy altdzs olamaz. Bu nedenlede yakınsak değldr. Bu da S kümesnn kompakt olamıyacağını verr. Bu sonuç önemldr. Sonlu ve sonsuz boyutlu normlu uzaylar arasındak temel farklılığı gösterr. Sonlu boyutlu uzaylarda Hene-Borel teoremnden brm yuvar kompakt, sonsuz boyutlu uzaylarda se kompakt değldr. Problem 1.5 Normlu her uzayda, norm sürekldr. Çözüm: Esasına bakarsanız bu problem çok daha önce ele almalıydık! Üçgen eştszlğ normlu br uzaydak u, v vektörler çn verr, buradan da (3.37) u u v + v, v u v + u 7

7 (3.38) u v u v bulunurk, bu normun sadece sürekllğn değl aynı zamanda Lpschtz sürekllğn de verr. 8