4 MUKAVEMET Temel Bilgiler Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "4 MUKAVEMET Temel Bilgiler Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor"

Transkript

1 4 MUKAVEMET Tml Bilgilr 1

2 4.1 İotropik Malm Ndir? What i th Iotropic Matrial? İotropik Malm: Iotropic Matrial: ııl va mkanik üklmlr karşı hr doğrultu v önd anı mkanik davranışı götrn malmlrdir. i th matrial that how th am mchanical bhaviour along to th all dirction, for thrmal and mchanical loading. İç apı dağılımı olarak homojn bir tan dağılımı götrirlr. (Thir intrnal tructur ar homognou.) Bütün af mtallrin anııra, alaşımlar iotropik malmlrdir. (Pur mtal and allo ar itropic matrial.) Bunun anııra partikül takvili kompoitlr, homojn bir dağılıma ahip i iotropik malm olarak kabul dilirlr. (Particulat compoit ar alo aumd to b iotropic matrial if th hav homgnou particul ditrubition.)

3 4. GERİLME KAVRAMI 3

4 4..1 Grilmnin Anlamı: Grilm gnl anlamda «birim alana düşn iç kuvvt» olarak tanımlanabilir. Grilm kavramının anlaşılmaı, mukavmt konularının kavranmaında çok önmli bir tml tşkil dr. Grilm kavramını anlaabilmk için, önclikl aırma prnibinin v iç kuvvt kavramının anlaşılmaı grklidir. Grilm kavramını önc kndimidn anlamaa çalışacağı Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 4

5 4.. İnanda tr - Ciimlrd Grilm Grilm kavramını önc kndimidn anlamaa çalışalım. Grilmnin İngilici tr dir. Str klimi i şu an Türkç olarak, bir olaın va fiilin bid oluşturduğu ndiş v tdirginlik anlamında kullanılmaktadır. İnandaki tr, dışarıdaki olaların bakııla oluşur. Yani tr dış üklrin (olaların, bakıların) bid oluşturduğu tkidir. Yoka tr dış bir ük (bakı) dğildir. Str ugulanma, oluşur. İşt bnr şkild katı ciimlr için dışarıdan ugulanan fiikl üklr, cimin içind tr (grilm) oluşmaına bp olur. Bidki tr blli bir ınırı aşara, şok, bagınlık gibi haarlara bp olur. Bu ınır i kişidn kişi dğişir. İradin ahip, abırlı kişilrin tr ınırı ükktir. Dış üklr onucu ürind tr oluşan katı ciimlrd d blli bir ınırdan onra çatlama, kopma, akma (kalıcı dformaon) gibi haarlar oluşabilir. Bu i katı cimin malm cininin daanımıla v mkanik davranışlarıla çok akından ilgilidir. Anı gomtrid fakat farklı malmdn imal diln iki cimin anı dış ük götrdiklri cvaplar farklı olacaktır. Bir ipi çkrk koparak bil, anı kalınlıkta çlik bir tli koparamaı Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 5

6 4..3. Aırma Prnibi: Dış kuvvtlrin tkiin maru bir itm dngd i haali bada da aırdığımı hr bir parçaı da arı arı dngddir. Buna aırma prnibi dnir. Haali olarak aırdığımı hr bir parçaına, dış kuvvtlrdn başka, aırma kımından iç kuvvtlr v iç momntlr d tki ttirilir. Hrbir parçada iç v dış kuvvtlr tatik dng ağlar. grilmlr İç kuvvt v iç momntlr: Aırma üind ortaa çıkan tpkilrdir. Sitmin o kıımda dış kuvvtlr karşı cvabıdır. Grilm : İç kuvvt v momnt tpkilrindn kanaklanan birim alana düşn kuvvt olarak tanımlanabilir. 6

7 4..4. Aırma Prnibi-Dvam: İç Momntin oluşmadığını (M iç =0) v kitt adc iç kuvvt (F iç ) olduğunu düşünürk, grilm birim alana düşn iç kuvvt olarak tanımlanabilir. İç kuvvt i arılan parçanın tatik dngind bulunur. 7

8 4..5. Aırma Prnibi - Örnk I I Aakta bkln bir kişinin vücut ağırlığı bbil farklı bölglrind oluşan grilmlri inclini. Bölglr için haali olarak kimlr apıldığına, hr bir kimd adc iç kuvvt oluştuğuna dikkat dini. II II W kafa Wtüm I F iç-1 I W tüm / W tüm / II W gövd+kafa II F iç- Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 8

9 4..5 Aırma Prnibi - Örnk -dvam Kimin alt va üt kımını inclmk onucu dğiştirm. Hr ikii d anı onucu vrcktir. Sonuçta iç kuvvt v grilm anı çıkar. Yandaki şkild I-I kiminin alt v üt kımı için arı arı çiim apılmıştır. Dikkatlic inclini. I I F iç-1 W kafa I I Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

10 4..6 Grilm Çşitlri Normal Grilm: Grilm dülm normalin parall i; başka bir ifad il dülm dik i buna normal grilm dnir. il götrilir Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 10

11 4..6 Grilm Çşitlri-Dvam Kama (km) Grilmi: Grilm dülm normalin dik i; başka bir ifad il dülm parall i buna kama grilmi va km grilmi dnir. t il götrilir Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 11

12 4..7 Haar Grilmi Haar Şartı Çki üklmin maru bir malm d bir grilm oluşur. Kuvvt arttırıldığında bu grilm artar. Kuvvt iic arttırılıra grilm haar grilmin ulaşır v malm d haar oluşur. O hald gnl anlamda haar şartı; σ σ haar Sünk malmlr için bu şart: σ σ akma şklin dönüşür. Gvrk malmlr için i σ σ kırılma Mukavmt kontrolü için, inclnn durumdaki grilm (σ ) haplanır, σ haar il karşılaştırılır. 70N 70N 350N 350N σ < σ haar Hnü kopmamış. σ = σ haar Kopma anı Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 1

13 4..7 Haar Grilmi Haar Şartı- Km (Kama) Durumu için Malmlrin çki va baı daanımları il km daanımı farklıdır. Bu bpl, km grilminin ö konuu olduğu üklmlrd km daanımı (τ haar ) gö önün alınmalıdır. Km grilmi bbil haar şartı; τ τ haar Sünk malmlr için gnl olarak τ haar =τ akma = σ akma Gvrk malmlr için τ haar =τ kırılma Bir örnk : iki lvhaı bağlaan çlik cıvata (ünk) için t habı v haar kontrolü: τ τ akma i akma oluşur 13

14 4..7 Haar Grilmi Bir ugulama: Bir ilan panouna iğni rahatça batırabilir v dlbiliri. Fakat anı kuvvtl bir tahta kalmil niçin anı panou dlmi? Cvap: İğnnin batan uç alanı ( A iğn ) çok küçük olduğundan küçük bir kuvvtl büük grilm oluşturup pano malminin kopma grilmin ulaşırı v panou dlri. Oa tahta kalminin batırmaa çalıştığımı uç alanı (A kalm ) çok daha büüktür. Bu ndnl panonun kopma grilmin ulaşabilmk için çok büük kuvvt grkir. Bu bpl kalml panou dlmk çok daha ordur. olduğundan 14

15 4..8 Emnit kataıı v mnit grilmi (Factor of aft and allowabl tr) Bir mkanimanın, apının va makinanın blli bir mnit kataıına ahip olmaı itnir. Yani itm taşıabilcği ükün va 3 katı ük taşıabilck şkild taarlanabilir. Öllikl can güvnliliğinin önmli olduğu aanör gibi mkanimalarda bu kataının daha fala olmaı itnir. İşt bu durumda mukavmt haplamaları haar (akma va kırılma ) grilmin gör dğil d mnit grilmin gör apılır. Yapıda oluşacak makimum grilm mnit grilmini aşmaacak şkild boutlar haplanır va malm çimi apılır. Emnit kataıı : n = haar grilmi mnit grilmi = σ haar σ mnit Emnit Kataıı Kullanma Sbplri: Malm ölliklrindki bliriliklr v dğişknliklr Yüklmlrdki bliriliklr v dğişknliklr Analilrdki hatalar (anılmalar) v bliriliklr Tkrarlı üklm durumları Haar tiplri Malm ürindki boucu tkilr v onarım grkliliklri Can v mal güvnliği/mniti Emnit şartı : σ < σ mnit va τ < τ mnit Makinnin fonkionlliği Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 15

16 4.3 Mukavmt Haplamalarında Gnl Yol Haritaı 1-) Dng halindki bir ciim va itmd önc tatik haplamalarla bilinmn kuvvtlr bulunur. -) Ciimdki makimum grilm haplanır. (Haplama şkli v formüllri üklm şklin gör v ban gomtri gör dğişir.) 3-) Makimum grilm ünk malmnin akma, gvrk malm i kopma (kırılma) grilmin şitlnir. Bu şitliktn, a-) minimum bout habı (kuvvt + malm blli i) va b-) malm çimi (kuvvt + boutlar blli i) va c-) Mukavmt (Daanım) kontrolü (kuvvt + boutlar + malm cini blli i) apılır Bu gnl ol haritaıdır. Baı problmlrd, cim ugulanabilck makimum kuvvt orulabilir. Va grilmlrin anııra şkil dğiştirmlr haplanabilir. Emnit kataıı vrilbilir. İlrid görülck örnk problmlrl bunlar ihninid daha blirginlşcktir. Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 16

17 Örnk 4.1 Şkildki apıı gö önün alalım: Acaba bu çubuklar, 30kN luk kuvvti mnit ınırları içind taşıabilir mi? Çubuklar anı cin çliktn olup, malmnin mnit açıından iin vrilbilir grilm (mnit grilmi): mnit 165 MPa BC çubuğu d=0mm çapında dairl kit, AB çubuğu i 50mm50mm lik kar kit ahiptir. Haplamalarda pim dliklrini ihmal dini. 17

18 Çöüm: 1.Adım : Statik hapları Bu itmi bir kaf itm olarak düşünbiliri. B düğüm noktaının dngindn çubuk kuvvtlrini bulabiliri. Coθ F = 0 F AB F BC. ( 4 5 ) = 0 F = F BC. ( 3 5 ) = 0 F AB = 40kN F BC = 50kN.Adım: Grilm Habı I I F BC I I-I kimi I A Sinθ F iç = F BC σ = F BC = N A π.0 4 = 159MPa mm 4 mnit 165 MPa İdi. σ = F iç A = F BC A 3-c) Mukavmt Kontrolü σ < σ mnit Bu çubuk mnitlidir Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

19 Çöüm - dvam: AB çubuğu için -Grilm Habı II II F AB F iç = F AB σ = F iç A = F AB A A=5050mm σ = F AB A = N 5050 mm = 16MPa mnit 165 MPa İdi. 3-c) Mukavmt Kontrolü σ < σ mnit 16 <165 Bu çubuk da mnitlidir. 19

20 4.4 Saint-Vnant Prnibi Bir kit tkin bilşk iç kuvvt ü dik i ortalama normal grilm; P A şklind ifad dilir. Ancak tkil üktn (P kuvvtindn) blli bir uaklıktan onra kitin tüm noktalarındaki grilm dğrlri birbirin aklaşır. Yük aklaştıkça kitt noktadan noktaa grilmlr araındaki fark büür. Sonuç olarak tkil bir kuvvttn dolaı mdana gln grilmlr ugulama noktaından trinc uak kitlrd uniform hal glir. 0

21 4.4 ŞEKİL DEĞİŞTİRME a-gnl Bilgilr b- Eknl Yüklmd Toplam Uama Habı c- Hook Bağıntıları d-trmal grilmlr v şkil dğiştirmlr -Diğr üklm cinlrind şkil dğiştirmlr f-eknl üklmd Hiprtatik Problmlr 1

22 4.4.1 Şkil Dğiştirm Haplarının Önmi Dış üklrin tkiin maru ciimlrd grilmlr oluşur dmiştik. Bunun anııra bu ciimlrd dış üklrin tkii il şkil dğiştirmlrd oluşur. Şkil dğiştirm dinc cimin ötlnmi dğil, kuvvt tkii il şklindki nmlr va çarpılmalar anlaşılmalıdır. Şkil dğiştirmlrl grilmlr araında latik bölgd doğrudan bağıntılar vardır. Bunlara Hook bağıntıları dnir. Bu bağıntılarla grilmlrdn şkil dğiştirmlr haplanabilir. Va şkil dğiştirmlr haplanmışa bu bağıntılarla grilmlr ld dilbilir., Şkil dğiştirm mukavmtt grilmdn onraki n önmli karşılaştırma kritridir dnbilir. Naıl ki bi cimin grilminin akma ınırını aşmaını itmi, anı şkild cimin şklind d blli bir ınırı aşmaı itnm. Örnğin bir ama köprüd grilmlrin akma ınırını aşmamaı va kopmamaı trli olma, bunun anııra köprünün çökm miktarının da blli bir ınırı aşmamaı grkir. Şfim! Köprüd kopma olmamış. Mukavmt grilm haplarım doğru.. Tüm hapları aptığına, min miin? Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

23 4.4. Şkil Dğiştirm Haplama Yöntmlri N Gör Dğişir? Grilm habında olduğu gibi şkil dğiştirm hapları da üklm cinin bağlı olarak dğişir. Öllikl; Eknl Yüklmd, Burulmada, Eğilmd, Şkil dğiştirm haplama öntmlri farklıdır. (Grilm hapları da farklıdır.) Şkil dğiştirm haplama şkillri tatikç bliri (hiprtatik) problmlrin çöümünd d bi ardımcı olmaktadır. Arıca burkulma, dinamik üklm, ğik ğilm gibi farklı üklm cinlri d var olup hrbiriind hm şkil dğiştirm hm grilm haplama öntmlri farklılık götrir. 3

24 4.4.3 Birim Uama () Kavramı Şkil dğiştirmd n önmli kavram birim uama imini vrdiğimi büüklüktür. il götriln birim uama, grinm olarak iimlndirilir, İngilici i «train» dir. En bait tanımıla, bir cimin birim boundaki uama miktarıdır. Örnğin çkm maru L 0 boundaki bir çubukta toplam uama DL i Birim uama ε = L L o DL/ L 0 DL/ Birim uama hangi doğrultuda i un indii ona gör dğişir. (, va olabilir). Bununla birlikt farklı üklm durumlarında hrbir noktadaki grilm dğiştiği gibi birim uama da dğişbilir. Anı noktada anı anda, farklı knlrd grilmlr v birim uamalar oluşabilir. Birim uama habından toplam uama va grilm habına gçilbilir. Elatik bölgd bir noktadaki grilmlrl-birim uamalar araında doğrudan bağıntılar vardır. Bunlara Hook bağıntıları dnir. Konu içind ri gldiğind anlatılacaktır. Birim uamalar dnl olarak ld dilbilir. Bu ad Hook bağıntılarından o noktada grilmlr latik ınırlar içind haplanabilmktdir. 4

25 4.4.4 Tk Eknli Yüklm: Bir ciim adc tk bir doğrultuda (, va knlrindn biriind) üklnmiş i bu üklm tk knli üklm dri Eknl Yüklm v Toplam Uama Habı: Çubuk şklind olan lmanların adc uunluğu (kni) doğrultuunda üklnmin knl üklm dnir. Eknl üklm bir kn doğrultuunda olduğu için anı amanda tk knli üklmdir. Bu üklm çkm va bama şklind olur. Çubuğun kit alanı dğişkn olabilir. Bu tip çubuklara kadmli çubuklar dnir. Şimdi amacımı, knl üklm maru çubuk şklindki lmanlarda toplam uama va kıalma miktarını haplamaktır Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 5

26 4.4.6 Çkm tti v grilm-birim uama diagramı: Çkm tti bir knl üklmdir. Malmlrin mkanik davranışlarını n ii karktri dn bir tttir. Sünk bir malm için çkm tti diagramını hatırlaalım: P P Lo P 6

27 Farklı malmlr için çkm tti diagramları: Gvrk Malm Sünk Malmlr Alüminum Alaşımı Düşük Karbonlu Çlik 7

28 4.4.7 Süprpoion prnibi: Elatik üklmd farklı ükün tkilrinin toplamı, üklr arı arı ugulandıklarındaki tkilrinin toplamına şittir. Buna üprpoion prnibi dnir. Hiprtatik itmlrin çöümünd kullanılabilir Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları -Prof.Dr. Mhmt Zor 1-8

29 4.4.8 Trmal Yüklmlr : :Sıcaklık tkii onucu malmlrd uama va daralmalar (şkil dğiştirmlr) olur. Eğr trmal uama ngllnir trmal grilmlr oluşur Trmal Uama Önclikl bir malm ölliğini ii anlamak grkir: a : malmnin ııl gnlşm kataıı (1 / o C): Tanımı: a; 1 birim bodaki çubuğun ıcaklığı 1 C dğiştirildiğind boundaki dğişim miktarıdır. Orantı kurulacak olura; L boundaki çubuğun ıcaklığı DT kadar dğiştirildiğind boundaki toplam dğişim miktarı: T a( DT)L 9

30 Trmal Grilmlr (Thrmal Str) Trmal uamaı ngllnn ciimlrd trmal grilmlr oluşacaktır. Bir çubuk hr iki tarafından iki duvar araına ıkıştırılıp ıcaklığı DT kadar arttırılıra uamaı ngllndiği için duvarlarda P tpki kuvvtlri v grilmlr oluşacaktır. Şimdi bu P kuvvtinin v trmal grilmlrin hap şklini anlamaa çalışalım: Çubuğun toplam uamaı ıfırdır. Süprpoion prnibin gör, B duvarı kaldırılır, rbtç uamaa iin vrilir. Sonra B duvarında oluşan P kuvvti ugulanır v çubuğun kıalmaı ağlanır. Bu trmal uama (dt) v kıalma (dp) miktarları birbirin şittir. Toplamları ıfırdır. T + P = 0 DT = + DT a( DT ) L 0 P AEa( DT ) T P 0 T a( DT)L PL AE P PL AE P A Ea ( DT ) Trmal grilm 30

31 Örnk 4. : Hr iki ucundan ankatr dilmiş, çlik v pirinç kıımlardan oluşan kadmli çubuğun ıcaklığı 50 o C arttırılıor. Çlik v prinç kıımlarında oluşan grilmlri haplaını. Pirinç Çlik E(GPa) a (1/ o C) Cvap: Pirinçt:- 7.6MPa, Çlikt: MPa T P PL PL a p p ç ç A E A E p ç ( DT ) L a ( DT ) L P N p p ç ç P P p 7.6MPa, ç MPa A A p ç 31

32 4.4.9 Poion Oranı: (bir malm ölliği) Şkildki çubuk knl P ükün maru kalıra birim uama: L E, 0 (tk knli üklmd Hook bağıntıı) L X doğrultuundaki knl P ükü v doğrultularında grilm oluşturma ancak bu doğrultularda daralmaa bp olur. Bu bpl; Poion oranı: anal birim uama knl birim uama Unutmaın: Anı amanda Birim uama = Toplam uama/ o öndki ilk bodur. Bu tanım tüm latik üklm durumları için gçrlidir. Dikkat: Bu formül tk knli üklm durumunda gçrlidir. P nin anııra Y va Z doğrultularında da kuvvtlr oladı bu formül kullanılamadı. Poion oranı bir ükün diğr doğrultulardaki şkil dğiştirm tkiini vrir. Poion oranı bir malm ölliğidir v ınırları: 0 il 0.5 araında dğişir. ε = δ L ε = δ L ε = δ L Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

33 Gnl knl üklmd Hook kanunları: E E E.... 0??? E E E E E E.. 0 Bir noktada,, v doğrultularında normal grilmlrin hr üçü birdn vara, latik bölgd anı noktada birim uamaları bulmak itioru. Süprpoion öntmini kullanırak: E E E ) ( 1 E ) ( 1 ) ( 1 E E Hrbir üklmdki anı trimlr toplanır: E E E E E E Gnl Eknl üklm halind Hook kanunları Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

34 Kama durumunda Hook kanunları: Bir noktada, n gnl durumda 3 farklı kama grilmi (t, t, t ) olabilir. Bu grilmlr kama şkil dğiştirm açılarına (,, ) bp olurlar. t il araındaki Hook bağıntıı: t G t t t G G G - Boutlu bir grilm lmanında -knin gör momnt alınıra : Kamada Hook Bağıntıları t M t 0 İndilr: bnr şkild; G: kama modülü (malm ölliği) ( t DA) a ( t DA) t t i j a G t ; t t t j i E ( 1 ) Bölc bir noktadaki gnl grilm durumu 6 grilm lmanı (bilşn) il tmil dilbilir. Dülm normali Grilm doğrultuu Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

35 4.4.1 En gnl durumda Hook bağıntıları: Bir noktada n gnl durumda 6 tan bağımı grilm bilşni vardır (,,, t, t, t ). Bu noktadaki latik şkil dğiştirmlr alltaki Hook bağıntılarından ld dilir.: 1 ( ) E 1 ( ) E 1 ( ) E Sıcaklık tkii: a.dt a.dt a.dt Normal grilmlrin kama şkil dğiştirmlrin; kama grilmlrinin normal birim uamalara tkii oktur. Sıcaklığın kama grilmlri v kama şkil dğiştirmlrin tkii oktur. t t t G G G 35

36 4.5 Burulma (Torion): Dairl Kitli Millrd Grilm v Şkil Dğiştirmlr Endütril ugulamalarda n çok ratlanan üklm tiplrindn birii dairl kitli millr gln burulma Haar şkillri Sünk malm Gvrk malm momntlridir. Burulma momnti vktörü ağ l kaidin gör çubuk kni doğrultuundadır. Bu konuda ilk amacımı burulma momnti bbil mil kitind (dairl kittt) oluşan grilmlrin dağılımını bulmak v hrbir noktadaki dğrini haplamaktır Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

37 4.5.1 Dairl kittki kama grilmi dağılımı: Kit mrkindn kadar uak bir noktada kama grilmi D 3. dnklmindn : Bir kittki T v J dğri T t J abittir. Dğişn adc mrkdn olan uaklık () dğridir. r t a T J t ma Tr J Buna gör: c mrkdn anı uaklıktaki ani anı çmbr ürindki noktalardaki (örn: a, b, c noktalarındaki) grilmlr birbirlrin şittir. b. -Dışa doğru gidildikç artacağı için, grilmlr d (doğrual olarak) artar. 3. Makimum grilm n dış çmbrd ortaa çıkar. Zira dış çmbrd ma = r dir. 4. Mrkd i 0 olduğu için grilm ıfırdır. ma t ma 4. Kama grilmlri çmbrin o noktadaki tğti doğrultuundadır. J J T T.c Ban r rin c kullanılabilior. 37

38 4.5. Burulmada Şkil Dğiştirm: Elatik Bölgd Burulma Açıı (f) f TL JG olarak bulmuştuk. Bu açı mil kni () trafında mil kitlrinin birbirlrin gör dönm miktarını vrir. V burulmadaki hiprtatik problmlr için kullanılır. Bu formül milin öl bir kımına ugulanabilir ki; o kıımda - hr iki uç kitt şit v ıt T burulma momnti vardır. Arada başka bir momnt oktur. - L bounca malm v kit gomtrii anıdır. - Yandaki şkli inclrk f açıını iic anlamaa çalışını. G f B / A TL JG Kadmli millrd Burulma açıı: - Yukarıdaki şartlardan n a birii ağlanamıora mil kadmlidir v in bölglr arılır. Hrbir bölgd, L bounca; T (dış ük), J(kit) v G (malm) abit olmalıdır. Bunlardan birii dğişir bölg dğişir. f i Ti Li J G i i Kadmli mil örnği 38

39 4.5.3 (f) açıının işarti: İncldiğimi kit karşıdan dik olarak baktığımıda kittki İç momnt (Tiç) önü aat ibrlri önünd i f açıı poitif ( + ) alınır. Saat ibrlri tri önünd i işarti ngatif ( - ) alınır. Aşağıdaki şkillri dikkatlic inclini. I I kimlri Saat ibrlri önünd Saat ibrlri önünd Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 39

40 4.6 Eğilm 40

41 4.6.1 Eğilm Yüklmin Maru Yapı Örnklri: Eğilm, ugulamalarda çok ık görüln bir üklm biçimidir. Yapılarda kullanılan kirişlr, Araçların gçtiği köprülr, Vinçlr, krnlr vb. ğilm üklmin marudur. 41

42 4.6. Eğilm il Burulma Araındaki Farkı naıl anları? Gnl kaid: Dülm parall momnt ğilm; dülm dik momnt burulma momntidir. önünddir. kni önünd ğilm Eğilm üklmind, kittki momnt M vktörü (ağ l kaidin gör) dülm ürindki knlr ( va knlri) dn birii B kni önünd ğilm Momnt vktörü dülm dik ani dülm normali önünd (şkild kni ) olura burulma momnti oluşacaktır. M burulma Not: Momnt indilri kn takımının rlştirilmin gör dğişbilir, ancak üttki gnl kaid dğişm. Bi bu dr kapamında kn takımını bu şkild rlştircği v kitt adc M momnti varkn latik üklmd grilmlri haplaacağı Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 4

43 4.6.3 Eğilm Çşitlri: 1-) Bait (Simtrik) Eğilm: Kitt adc 1 ğilm momnti vardır v kit n a bir kn gör imtriktir. -) Kmli Eğilm: Kitt 1 ğilm momnti v 1 km kuvvti vardır v kit n a bir kn gör imtriktir. 3-) Simtrik olmaan (Eğik) Eğilm: Simtrik kitlrd n a ğilm momnti, imtrik olmaan kitlrd n a 1 ğilm momnti vardır. (Bu daha ilri vi bir konudur. ) M M Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 43

44 4.6.4 Eğilm üklmind oluşan grilm cini: Eğilm momnti onucu acaba kitt kama grilmi mi oka normal grilm mi oluşur? Önc buna karar vrcği. Daha onra kittki grilm dağılımını formülü dcği. Şkildki latik çubuğun lif lif olduğunu düşünlim. Bu çubuğa ğilm ugulaalım. Eğilm momnti onucu üttki liflrin kıaldığını alttaki liflrin uadığını görürü. Bu durumda üt liflr baı alt liflr çki kuvvtlri glir. O hald liflrd normal grilmlr oluşur. Üt liflr kıalacağı için baı grilmlri ( - ), alt liflr uaacağı için çkm grilmlri ( ) oluşacaktır. En üttki lif n fala kıalır n alttaki lif n fala uar. Bu durumda bu liflrd şiddt olarak n büük grilmlr oluşur. Alttan üt doğru gidildikç liflrdki uama aalır. Bir gçiş noktaında lift uama ıfır olur. Bu lifin bulunduğu kittki ata çigi tarafı kn dnir. Bu liftn üttki liflrd artık uama ngatif olur ani kıalma başlar. Yukarı doğru gidildikç kıalma artar. En ütt n fala kıalma olur. Tarafı kndn n uak noktalarda n fala uama v kıalma; dolaııla da makimum çki v minimum baı grilmlri oluşacaktır. Tarafı kndki tüm noktalarda grilmlr ıfırdır. Hr kittki tarafı kn vardır. Bu durumda tüm tarafı knlr kiriş bounca bir dülm tşkil drlr ki buna tarafı dülm dnir Bait v kmli ğilm d apılan kabullr: Dülm kitlr ğilmdn onra da dülm kalmaa dvam dr. Birbirin dik liflr (çigilr) ğilmdn onra in dik kalır Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 44

45 4.6.6 Bait ğilmd normal grilm dağılımı Kitt hrhangi bir noktadaki grilm formülü: M I M: kittki önünd iç momnt. I: kitin knin gör atalt momnti : noktanın koordinatı (orjin mutlaka ağırlık mrkidir.) M v I bir kit için abittir. Grilm i anı kitt noktadan noktaa dğişir. Tarafı kndn şit uaklıkta olan, ani anı koordinatına ahip noktalarda grilmlr anıdır. A ma ma D H E M I M I M I E A H, B Kit n a bir kn gör imtrik olmalı. c M I B Kirişin öndn görünüşünün bir kımı. Grilm dağılımını dikkatlic inclini. Makimum v minimum grilmlr tarafı kndn n uak noktalarda mdana glir. Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 3-45

46 4.7. DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ VE MOHR ÇEMBERİ 46

47 4.7.1 Konu içriği v Amaç Q Gnl üklm durumunda, hrhangi bir Q noktaını üç boutlu olarak tmil dn kübik grilm lmanı ürind 6 bağımı grilm bilşni götrilbilir: σ, σ, σ, τ, τ, τ. Sö konuu kübik lman -- knlri rin döndürülmüş - - knlrin parall alınadı grilm bilşnlri; σ, σ, σ, τ, τ, τ olur. V -- knlrindki grilmlrdn farklı dğrlr ahiptirlr. Şimdi orumu şu: -- kn takımındaki grilm bilşnlri blli ikn, - - kn takımındakilr bulunabilir mi? Cvap: Evt, grilm dönüşüm bağıntılarıla va Mohr ardımıla bulunabilir. Ancak bi burada adc dülm grilm durumu için bu işlmlri apmaı öğrncği. Yri gldiği aman 3 boutlu duruma da dğincği. 47

48 4.7. Dülm grilm durumu : Dülmd (- dülmind) 3 bağmıı grilm ökonuudur. σ, σ, τ t t 0 İnc bir plakada orta dülmd 3 boutlu kübik lman tkin kuvvtlrdn dolaı dülm grilm oluşur. Yapıal bir lmanın va makin parçaının dış/rbt üind dülm grilm durumu (ü ugulanmış dış kuvvt/kuvvtlr oka) ortaa çıkar. İnc cidarlı baınçlı tank v tüplrd d dülm grilm durumu ö konuudur Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 48

49 4.7.3 Dülm Grilm durumunda bir noktanın farklı dülmindki grilm bilşnlrinin haplanmaı: Amacımı bir noktada - dülmind grilmlr (σ, σ, τ ) blli ikn, anı noktada farklı bir dülmdki (normali olan v + kni il q açıı apan K dülmindki) grilm bilşnlrini (σ, τ ) bulmaktır. - dülmindn bakış q K dülmi Şimdi K dülmindn bir kim apıp çıkan parçanın alanlarını incllim: Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

50 Şimdi çıkan parçanın tatik dngindn kuvvt dnglrini aacağı: F 0 DA ( DAcoq ) coq t ( DAcoq ) ( DAinq ) inq t ( DAinq ) coq inq K dülmi F 0 t co q in K dülmindki normal grilm DA q t ( DAcoq ) inq t ( DAcoq ) ( DAinq ) coq t ( DAinq ) inq inq coq ( I ) coq ( bağıntıında θ rin θ+90 aılarak: t )inq coq t K dülmindki kama grilmi (co q in co( q 90) inq in( q 90) coq q) ( II ) in q co K dülmin dik dülmdki normal grilm q t inq coq ( III ) Alında bu formüllrl amacımıa ulaştık. Yani hrhangi bir dülmdki grilm bilşnlrinin ld ttik. Bundan onra bu formüllri bira daha dügün formata gtircği v bir gomtrik ifad (Mohr Çmbri) ld dcği. 50

51 Trigonomtrik dönüşüm bağıntıları kullanılarak q cinindn dnklmlri amaa çalışacağı. 1 co q co q 1 co q in q K dülmi coq co inq q in inq coq q I, II v III dnklmlrind rin koarak; t coq t coq t inq t coq inq inq (IV) (V) (VI) I, II v III dnklmlrinin q cinindn ifadlridir. 51

52 4.7.4 Mohr Çmbri: Alında bir noktada onu tan dülm vardır. Ancak bu dülmlrin hpi bir çmbr ürind ifad dilbilir v bu çmbrd grilm bilşnlri bulunabilir. Şölki: (IV)v (VI) nolu dnklmlr nidn dünlnip karlri alınarak taraf tarafa toplanıra paramtrik bir dair dnklmi ld dilir. q co q t in ( t ) q inq t co ( ) ( t ) t ort a t t Mohr Çmbri C R -t ort ( ) t R ort kni ürind bir çmbrin dnklmin bntilbilir. (b=0) ort ; R t 5

53 Mohr Çmbrinin Çiimi : Bir noktadaki tüm dülmlrd grilm durumunu götrn gomtridir. Ölçkli çiildiğind hrhangi bir dülmdki grilm bilşnlrini ölçrk bulabiliri. Va ölçkli çiilm mohr çmbrindn gomtrik haplarla da bulabiliri. (Va mohr çmbri rin daha önc çıkardığımı formüllrdn d bulabiliri.) t ma =R min t t C > 0 (Mohr çmbrind) < 0 ( dnklmlrd) D 3 (, t ) R D1(, t ) ma σ, σ, τ blli ikn o noktada mohr çmbri çiilbilir. Mohr Çmbri Çiim Sıraı: 1-D1 ( ; t ) noktaı blirlnir. -D ( ; - t ) noktaı blirlnir. 3- D1-D birlştirilir. 4-C mrkli çmbr çiilir. Önmli noktalar: 1-) Bulunduğumu nokta D1 dir. -) Kama grilminin önü ağ dülmd aşağı doğru i poitiftir. 3-) Grçkt normali + kni il q açıı apan apan dülm, Mohr çmbrind D3 noktaına karşılık glir. D3 ulaşmak için mohr çmbrind grçktkil anı önd q kadar bulunduğumu nokta (D1) dan dönülür. D3 ün mohr çmbrindki koordinatları, o dülmdki normal grilmi ( ) v kama grilmi t ) ni vrir. -t ort Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 53

54 Aal Grilmlr (Principl Str) Mohr Çmbrin dikkat dilir + knil q p açıı apan dülmd normal grilm diğr dülmlr gör makimumdur ( ma ) v bu dülmd kama grilmi ıfırdır. Bu dülm ulaşmak için bulunduğumu noktadan (D1dn) q p kadar dönülür. Grçkt bü dülm dik (+90 drc) dülmd i normal grilm minimumdur ( min ). Bu öl grilmlr aal grilmlr (principal tr), dülmlrin aal grilm dülmlri dnir. t t ma =R min t -t C D 3 (, t ) D1(, t ) R ma Aal Grilmlr: ma, min ma,min ort R t ort Aal grilm dülmlri: t tan q p Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 54

55 Makimum kama grilmi- t ma : min t t ma =R t C D 3 (, t ) D1(, t ) R ma Aal grilm dülmlril grçkt 45 o, mohr çmbrind 90 o açı apan dülmd i kama grilmlrin makimum dğri (t ma ) bulunur. Bu dülmdki normal grilm i ort. dır. t ma R t (1) -t va Aal Grilmlr cinindn R ma ort Dikkat: dülm grilm durumunda (1) v () formüllrinin kullanılabilmi için t ma min () ma 0, min 0 Şartının ağlanmaı grkir. ma t formülül haplanmalıdır. Bu şart ağlanmıora ma Bunun bbini anlamak için bir onraki afadaki 3 boutlu mohr çmbrini dikkatlic inclini. 55

56 Üç boutlu durumda, Mohr Çmbri: 3 boutlu grilm durumunda, 3 tan aal grilm vardır. 1 ma orta 3 min - Bu aal grilmlrin araında 3 çmbr çiilir. - Büük çmbrin arıçapı ( R ma.) makimum kama grilmin şittir. - Hrhangi bir dülmdki grilm bilşnlri büük çmbrl diğr çmbrlrin araında kalan alandadır. (şkildki kou alan). Ancak hap şkli burada götrilmcktir. t ma R ma ma min 1 3 ( I) 56

57 Üç boutlu durumda, Mohr Çmbri -dvam: boutlu durumda bulduğumu mohr çmbrind, 3ncü aal grilmnin daima ıfır olduğu düşünülmlidir. Buna gör iki bouttaki mohr çmbrininüç3 bouttaki şdğri çiilir v t ma = R ma olarak bulunur. ( ma 1 dir. Ancak boutta bulunan min. dğri Duruma gör va 3 olabilir.) Örnğin dülm grilm durumunda mohr çmbri : tma Rma 3 boutta şdğri t ma R ma 1 3 (=0) ma min ma 0, min 0 boutta bulduğumu min, 3 boutta 3 şit çıkmıştır. Rma t ma R ma (3=0) ma ma 0, min 0 boutta bulduğumu min 3 boutta ortanca grilm ( )şit çıkmıştır. 57

58 ort Örnk 4.3 Şkildki dülm grilm durumu için Mohr Çmbrini çirk (a) aal grilmlri v doğrultularını/dülmlrini, (b) makimum kama grilmini bulunu. ( 50) ( 10) 0MPa t t ma D(-10, 40) min B O C 50 ma A Yarıçap: R CD1 ma,min t ( 30) ( 40) 50MPa t ma =R=50MPa Aal grilmlr v dülmlri : ma, min ort R t - 40 ort b-) 0 ma, 0 min D1(50,40) olduğu için 3 boutlu şdğri ma min OA OC CA 0 50 OB OC BC tan q 0 50 p ma 70MPa min 30 q p 6. 6 MPa 70 ( 30) ma Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor t ma ma min t 50MPa

59 Eknl üklm için Mohr çmbri P, t 0 A 45lik doğ. t için Saf burulma (pur torion) durumu için Mohr çmbri P A 0 t Tc J 45lik doğ. Tc J için t 0 59

60 4.8 Dülmd şkil dğiştirm v dönüşüm bağıntıları Dülm şkil dğiştirm durumunda:, ( 0), Grilm dönüşüm bağıntıları il şkil dğiştirm dönüşüm bağıntıları araında bnşim vardır.grilm dönüşüm bağıntılarında σ rin ε v τ rin γ/ aılarak dönüşüm bağıntıları ld dilbilir. t co q inq co q inq inq co q Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor

61 4.8 Dülmd şkil dğiştirm v dönüşüm bağıntıları Dülm içi makimum kama birim şkil dğiştirmi R ( ) ma ort ; R Aal birim şkil dğiştirmlr v doğrultuları tanq ma p av R; min av R Aal grilm dülmlri il aal şkil dğiştirm dülmlri v doğrultuları anıdır. Çünkü kama grilmlri v dolaııla kama şkil dğiştirmlri oktur (Hook bağıntıları). Dülm şkil dğiştirm durumunda aal grilmlrin üçüncüü grilmd olduğu gibi 0 dır. Bu durum gö önün alınarak Mohr çmbri çiilmli v makimum kama birim şkil dğiştirmi bulunmalıdır Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 7-61

62 4.8 Dülmd şkil dğiştirm v dönüşüm bağıntıları a b c a b E E a b E E a E ( ) ( ) b 1 a b Dülm grilm durumu için aal şkil dğiştirmlr: σ a v σ a aal grilmlr σ c =0 i d ε c 0; 7-6

63 4.8.1 Dnl Ölçümlr: Dformaon Rotlri: Strain-Gag Strain gag birim şkil dğiştirm ölçümünd kullanılan dirnçlrdir. 45 o lik bir rot il v doğrudan, i dolalı olarak ölçülmüş olur: ( q ) OB co ( 45) 1 ( ) ( ) OB q in q inq coq 7-63

64 4.8.1 Dnl Ölçümlr: Dformaon Rotlri: Strain-Gag Aralarında hrhangi bir açı bulunan rotlr kullanılıra, - dülmindki normal v kama birim şkil dğiştirmlri 3 bilinmnli 3 dnklm kullanılarak bulunur. Burada ε 1, ε v ε 3 train gag lrdn dnl olarak ld diln dğrlrdir. 1 co q 1 in q 1 inq coq 1 1 co q in q inq coq 3 co q 3 in q 3 inq coq

65 4.9 AKMA VE KIRILMA KRİTERLERİ 65

66 4.9.1 AKMA VE KIRILMA KRİTERLERİ NEDİR?, NİÇİN GEREKLİDİR? Şu ana kadar ki konularda, bir noktada adc tk bir grilm cini varkn mukavmt hapları apılıordu. Örnğin knl üklm (çki-baı) v ğilmd adc grilmi ortaa çıkmakta v m il karşılaştırılmaktadır. Burulmada v km üklmind i adc t ortaa çıkmakta v t m il karşılaştırılmaktadır. Şimdi şu orua cvap arıoru: Acaba bir noktada anı anda birdn fala grilm cini (, t, vb) mvcutkn hangiini m va t m karşılaştıracağı.? Va naıl bir ol takip dcği. İşt bu orua cvap vrn birdn fala kritr vardır. Akma kritrlri : Sünk malmlr için akma olup olmadığını; Kırılma kritrlri: gvrk malmlr için kırılma olup olmadığını kontrol tmmii ağlar. Şimdi bu kritrlrdn n önmli 4 tanini inclcği. 66

67 4.9. Sünk Malmlr için Akma Kritrlri Trca Kritri (Makimum Kama Grilmi Kritri ) Bu kritr gör bir malmnin hrhangi bir noktaında akma olmaının şartı, o noktadaki makimum kama grilminin, bait çkm halind akma ınırındaki kama grilmin şit va büük olmaıdır. Akma olmaının şartı: t ma t ak t ak ak Bir başka ifadl bir noktadaki Mohr çmbri bait çkm halind akma anındaki Mohr çmbrindn büük olura o noktada akma olur. Bu kritr ünk malmlrin akmaı için çok ii onuçlar vrir. 67

68 4.9. Sünk Malmlr için Akma Kritrlri -dvam Von-Mi Kritri (Eşdğr Grilm va Makimum Çarpılma Enrjii Kritri) Bu kritr çok knli grilm durumunu tk knli grilm durumuna indirgr. Tüm grilmlr rin 1 tan şdğr grilm ( ) tanımlanır. Bu şdğr grilm akma grilmini aşara o noktada akma oluşur dnir. ş ş vm ( ) ( ) ( ) 1 6( t t t ) Aal grilmlr cinindn şdğr grilm: ş vm Akma Şartı: 1 ( ) ( ) ( ) 1 ş ak 1 Bu kritr ünk malmlrin akmaı için mükmml onuçlar vrir

69 Gvrk Malmlr için Kırılma Kritrlri Rankin Kritri Bu kritr gör bir malmnin hrhangi bir noktaında kırılma olmaı için o noktadaki makimum aal grilmnin malmnin çki grilmini va minimum aal grilmnin baıdaki kırılma mukavmtini gçmini grkir. Kırılma şartları: o v 1 3 oc Başka bir ifadl, bu kritr gör, bir noktada kırılma olmamaı için o noktadaki Mohr çmbrinin şkildki kırmıı çigilr içind kalmaı grkir. Gvrk Malmlrin kırılmaı için kımn ii onuçlar vrn bir kritrdir. 69

70 4.9.3 Gvrk Malmlr için Kırılma Kritrlri dvam: Columb Kritri: Gvrk malmlr için çok ii onuç vrn bu kritr gör bir malmnin hrhangi bir noktaında kırılma olmamaının şartı: 1 3 o oc 1 Başka bir ifadl bu kritr gör: bait çkm v bait bama hallrinin n büük Mohr çmbrlrinin tğtlri dışında kalınan üklmlrd kırılma olur. 1 = Makimum aal grilm = Mimimum aal grilm o 3 oc = Çkm Mukavmti = Bama Mukavmti Örnk : 0 100MPa oc =400MPa olan bir malmd hrhangi a v b gibi iki noktada aal grilmlr, 1 3 o oc a /100-(-100/400) =0.75 b /100-(-100/400) = a v b noktalarının hr ikind d Rankin kritrin gör kırılma olmaacağı ölnbilir. Columb kritrin gör i a noktaında kırılma olma ancak b noktaında olur. 70

71 4.9.3 Gvrk Malmlr için Kırılma Kritrlri dvam: Mohr Kritri (Bilgi amaçlıdır. Sınavda orumlu dğilini.) Bu kritr gör: bait çkm, bait bama v tam kama hallrinin n büük Mohr çmbrlrinin arf ğrilrinin dışında kalınan üklmlrd kırılma olur. Gvrk malmlr için çok ii onuçlar vrn bir kritrdir. 1 o *Görüldüğü gibi gvrk malmlrd, hr üç kritrd d aal grilmlrin inclnmi grkliliği ortaa çıkmaktadır. *Aal grilmlr onuçlarda görülmin rağmn, Columb v Mohr kritrlri için arı bir dğrlndirm apılmaı grkbilir 71

72 Örnk 4.4 Şkildki dülm grilm durumu vriln noktada a-) Alüminum malm için, ( akma = 00MPa, t akma = 100MPa) b-) Tahta malm için, ( çki-kopma = o =160MPa, baı-kopma = oc =-400MPa ) Haar (akma va kırılma) olup olmaacağını kontrolünü apını. t t ma R CD1 Aal grilmlr ma, min t 150 ( 40) Makimum kama grilmi: t ma R 95.5MPa t R D(-40, 10) min C R ma D1(150,40) ma 40.5MPa 150.5MPa 1 min 3 Mohr çmbrinin 3 boutlu şdğri 7

73 a-) Alüminum ünk malm olduğu için akma kritrlrin gör kontrol apılır. 1-) Trca kritrin gör: -) Von mi kritrin gör: t ma ş 95.5 MPa, t akma 100MPa t ma vm t akma ( ) ( ) ( ) ( akma olma) 1 6( t t t ) ( 40 0) ( 150 0) ( 150 ( 40) ) 6(0 0 ( 10) ) 174. MPa ş 1 vm 36 ş MPa, 00MPa ( akma olma) ak ş ak b-) Tahta gvrk malm olduğunda kırılma kritrlrin gör kontrol apılır. 1-) Rankin kritrin gör: ma min 150.5MPa, 40.5MPa, çkikopma baıkopma 170MPa ma 400MPa min çkikopma baıkopma (kırılma oluşma.) -) Columb kritrin gör: C (kırılma oluşur) Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 73

74 4.10- BİLEŞİK YÜKLEME DURUMLARI 74

75 Bilşik Yüklm Ndir? Bir lmana, burulma, ğilm, çkm, km gibi farklı üklm tiplrindn iki va daha falaı anı anda ugulanabilir. Bu üklm tipin bilşik üklm dnir. Grilm va Şkil Dğiştirm hapları için latik ınırlar içind kalmak şartıla üprpoion öntmi ugulanabilir. Yani hrbir ük arı arı ugulanarak grilmlr ld dilir. Sonuçta bilşik üklm halind (tüm üklr anı anda varkn) oluşan grilmlr, üklr arı arı ugulandığındaki oluşan grilmlrin toplamına şittir. F F T P P T 75

76 Baı durumlarda tk bir ük bilşik üklm durumu oluşturabilir. A A Tk Yük, Bilşik Yüklm (Eğilm+Burulma+Km) F1 F1 Kuvvt Mrk Taşınmış. Burulma momnti il birlikt T1=F1.r Tk Yük: Eğilm +Km F1 T1 Tk momnt: Burulma Bilşik grilm durumu 76

77 4.10. Simtrik kitlrd Eğik Eğilm Simtrik kitlrd kitt anı anda knd ğilm momnti vara buna ğik ğilm dnir (bkn. 4.3). Bu durumda ğik ğilm d bir bilşik üklm olarak dğrlndirilbilir. Süprpoion öntmin gör grilmlr haplanabilir. M M M Sağ l kaidin gör M momntini düşünün. Bu momnt + tarafındaki liflri uatır, - tarafındakilri kıaltır. Anı kitt grilmlr gör dğişir. M momntin anı mantıkla düşünürk, + tarafındaki liflr kıalıp tarafındakilr uaacaktır. Anı kitt grilmlr gör dğişir. Şunları fark tm çalışın: a v b noktalarında M dn kanaklanan grilm ıfırdır. c v d noktalarında M dn kanaklanan grilm ıfırdır. Kitin ortaında bir noktaındaki grilm habı: σ = M I M I (D.8.1) G a σ min =σ b G σ = M I b b a σ ma = σ a Soru: Niçin bu dnklmd (ki) işarti oktur? Düşünün.. Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor M σ min =σ c G d c σ = M I d c 77 σ ma =σ d

78 Dairl Kitlrd Eğik Eğilm + Burulma Dairl kitli lmanların (v öllikl güç iltn millrin) hrhangi bir kitind anı anda M, M ğilm momntlri v T burulma momnti oluşabilir. Dairl kitlr d imtrik olduğu için Eğilmdn kanaklanan normal grilmlr alında D.8.1 dnklmindn ld dilbilir. Kama grilmi i τ = T ρ dnklmindn bulunabilir v kritik nokta için akma-kırılma J kritrlri örnk 8.1 dki gibi ugulanabilir. Ancak bu işlmlr burada daha baitlştirilcktir. Kit dairl olduğu için ğilm momntlrinin bilşkini alabiliri. V anki tk ğilm momnti varmış gibi düşünbiliri. M = M +M // M Eğilm açıından n büük grilmlr a v b noktalarında çıkacaktır. (Sağ l kaidin gör baş parmağını M önünd i M dik doğrultuda üttki liflrin çkildiğini, alttaki liflrin baıldığını anlamaa çalışın). a v b anı amanda çvr noktalar olduğu için burulma momntindn kanaklanan kama grilmi bu noktalarda (v diğr çvr noktalarda da) makimumdur (t ma-t ) a noktaındaki mohr çmbri -ma a t ma-t -ma 78

79 Dairl Kitlrd Eğik Eğilm + Burulma - (dvam) Artık kn takımını şu şkild düşünmmi mümkün. ( kni -M önünd, kni kit normalin parall alınır. i bu iki kn gör rlştirilir a noktaından gçcktir.) -ma t ma t ma a noktaındaki mohr çmbrindn makimum kama grilm habını aparak: t ma 0 t -min a σ = M I a = M I. r τ a = τ ma T = T J ρ a = T J. r t mat t ma t t ma M. r J. ma. M T J T J. r r (D.8.) J = πr4 4, I = J I = πr4 8 Eğilm + Burulmaa maru millrd bir kittki n büük makimum kama grilmi Bu dnklm millrin akma kontrolünü Trca kritrin gör aparkn pratiklik ağlar. 79

80 Dairl Kitlrd Eğik Eğilm + Burulma - (dvam) Von-Mi kritrin gör baitlştirm apacak olurak; ş ş ş vm 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 6( t t t ( 0 0) ( 0) ( 0) ( ) 6( t ) 3t 6(0 t 0) ) M ( I M ( I ) r) T 3( J T 3( I r) r) M ( I r I M r) T 3( I 3 T 4 r) 3 T 4 I 80 ş M r (D.8.3) Eğilm + Burulmaa maru millrd bir kitt n kritik noktadaki şdğr grilm Bu dnklm millrin akma kontrolünü Von-Mi kritrin gör aparkn pratiklik ağlar. Püf noktaları Güç iltn millrd akma kritrlrini ugulamadan önc n kritik kit blirlnmlidir. Daha onra D.8. il t ma va D.8.3 il ş-ma haplanıp mnit grilmi il karşılaştırılmalıdır. D.8. v D.8.3 dnklmlrinin ugulanabilmi için kitt çki va baı kuvvti olmamalıdır. Kritik noktaa tkii olmadığı için km kuvvtinin olmaı önmli dğildir. D.8. v D.8.3 dnklmlri tk ğilm momnti + burulma için d ugulanabilir.

81 Güç iltn Millrin Hapları: Dairl Kitlrd Eğik Eğilm+Burulma üklminin çok önmli bir ugulamaı güç iltn millrin habıdır. Endütril birçok makinada güç iltn dişli, kaış-kanak gibi mkanimalar kullanılır. Bu mkanimalarda güç iltim lmanları dairl kitli çubuklara ani millr bağlıdır. Bu mkanimaların v millrin ürtilmdn önc haplarının apılmaı v optimum boutlarının ld dilmi on drc önmlidir. Aki taktird ürtim ıraında kırılma, kalıcı dformaon gibi itnmn problmlrl karşılaşılmaı va çok büük boutlarda mnitli apıldığında konomik olmamaı ö konuu olacaktır. Bu mkanimalar harktli itmlrdir. Ancak abit hıla mrki trafında dönn va ötlnn parçalara tatik dng dnklmlri ugulanabilir v dolaııla mukavmt hapları anı şkild apılabilir(bkn 3.5). Nitkim güç iltim mkanimalarında parçaların bir çoğu bu şkild harkt tmktdir. Bu millr gnllikl ünk mtalik malmlrdn imal dildiği için haplamalar akma kritrlrin gör apılır. Şu ana kadar ki bilgilrimil alında grilm haplamalarını apabiliri. Bundan onra i bu haplamalarda kullanılan formüllri, trca v von-mi kritrlri için bira daha baitlştircği v çok daha hılı onuca gidbilcği. 81

82 Statik dng dnklmlri harktli itmlrd d kullanılabilir mi? Nwton un nci kanunu bi dr ki: Bir cimin ürin tkin nt kuvvt v momnt ıfır i o ciim harkti i harktiliğini korur; Sabit hıla harkt diora harktin dvam dr. O hald tatik dng dnklmlri durağan haldki ciimlr va itmlr dışında, mkanimalardaki abit hıla ötlnn va abit açıal hıla ağırlık mrki trafında dönn parçalara da ugulanabilir. Zira bu parçalar için d bilşk kuvvt v bilşk momnt ıfırdır. Ugulamalarda bir çok mkanima parçaı abit hıla harkt dr. Bu durumda, bu parçalara gln kuvvtlr tatik dng dnklmlri il anı şkild bulunabilir. Örnğin, andaki itmd, grk 1 nolu mil (motora bağlı tahrik mili), grk 4 nolu mil abit hıla kndi knlri trafında dönr. Dolaııla bu millr için d tatik dng dnklmlri ugulanır. Anı şkild, 3 v 5 nolu dişlilrd kndi ağırlık mrklri trafında abit hıla döncktir. Bunlar için d tatik dng dnklmlri gçrlidir. Soru: 1 nolu milin rbt ciim diagramı naıl çiilir? Motora bağlı uç ankatr kabul dilir. nolu dişli gln kuvvt mil knin taşınır. Bölc o an için tatik dng ağlanmış olur. Sabit açıal hıla dönm harkt olduğu için harktin hrbir anında bu dng gçrlidir. Yandaki şkli dikkatlic inclini. Dikkat: Ağırlık mrki dışında bir nokta trafında dönn ciimlr için tatik dng dnklmlri ugulanama. Daha arıntılı bilgi için tıklaını Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 1-8

83 Örnk 4.5: Motordan tahrik alan ABC milin bağlı C dişlii il ütündki D dişliinin tma noktalarından birbirlrin P= 7.96kN luk kuvvt uguladıkları tpit dilmiştir. Bu durumda dişlilrin bağlı olduğu millrin mnitli çap dğrlrini trca kritrin gör haplaını. t m = 50MPa ABC mili T A = T c T C = F.150= =1194kNmm P A B P A B F M =0 M = M +M M=M M -ma = P.00=7.9600=159kNmm t ma d m ABC 3 M T (15910 ) ( r 4 J. d mm 3 ) d. t m Kompoit Malm Mkaniği-Dr Notları-Prof.Dr.Mhmt Zor 83

84 DEF mili T E = =716.4kNmm=T P P M =0 M = M +M = M +0 = M M -ma = P.100= =796kNmm t ma M T J. r P E t ma d mdef ( ). d mm ( ) d. t m 50 84