O ZBEKSTAN RESPUBLİKASI JOQARI HA M ORTA ARNAWLI BİLİM MİNİSTRLİGİ BERDAQ ATINDA I QARAQALPAQ MA MLEKETLİK UNİVERSİTETİ. Matematika fakulteti

Transkript

1 O ZBEKSTAN RESPUBLİKASI JOQARI HA M ORTA ARNAWLI BİLİM MİNİSTRLİGİ BERDAQ ATINDA I QARAQALPAQ MA MLEKETLİK UNİVERSİTETİ Mateatika fakulteti «Algeba h a diffeetsiallıq te leele» kafedası Mateatika qa igeligii 3-kus studetlei ushı «Ulıwa algeba» a i boyısha LEKTsİYaLAR TEKSTİ Du zge: dots. Tajetdiov S. dots. Allabegeov H. NO KİS-008 j

2 -lektsiya. Guala teoiyasıa ayıı ag lıwatla Ege G ko ligii eleetleii qa lege ta tilege ( a, b) jubıa qaday da bi (9) sa ykesligi boyısha usı ko likti bi a isli aıqlag a c eleeti qoyılsa - bul jag dayda a * b = c de jazıladı - oda G ko ligide 9 bialıq oeatsiyası beilge deliedi. Ege G ko ligide 9 bialıq oeatsiyası beilge bolı, ol to edegi u sh sha tti qaaatladısa: ) Qa lege a, b, c G ushı ( a * b) * c = a * ( b * c) ) Qa lege a G ushı e G : a * e = e * a = a 3) g G g G : g * g = g * g = e G ko ligi usı 9 bialıq oeatsiyasıa qaata gua de ataladı. Ege qa lege a, b, c G ushı a * b = b * a bolsa G guası abellik gua de ataladı. G ko ligii quwatlılıg ı G guasıı ta tibi de ataladı h a ol G de belgileedi. a = e bolatug ıday e kishi N saı a eleetii ta tibi de ataladı h a ol a de belgileedi. a eleetie jasalg a gua usı eleette jasalg a tsikllik gua de ataladı h a ol гр ( a) =< a > de belgileedi. Soda ) { } boladı. гр ( a = a Z boladı. гр a) = a ( te ligi oılı G guasıı H u les guası boyısha o h a sol qo sılas G : H de belgileedi. klasslaıı saı bidey boladı h a bul sa Lagaj teoeası: bul jede G <. G H G : H =, Ege H <G h a g G, h H ushı g hg H bolsa H u les guası G guasıı oal u les guası de ataladı h a ol H <G de belgileedi. Joqaıdag ı sha t g G ushı gh = Hg sha tie te ku shli. Ege H <G bolsa { gh g G} ko ligi H g H g g H de g = beilge bialıq oeatsiyag a qaata gua du zedi. Bul gua G guasıı H oal u les guası boyısha faktoguası de ataladı h a ol G /H de belgileedi. Ege G : H = bolsa H < G boladı. Ege H <G, N <G bolsa H N <G boladı. G /[ G, G ] guası abellik gua boladı, bul jede [ G, G ] G ı koutatı. Meyli f : G G sa wlelediiwi G guasıı G guasıa sa wlelediiwi bolsı. Ege f ( ab) = f ( a) f ( b) a, b G bolsa f sa wlelediiwi G guasıı G guasıa gooofizi de ataladı. Ege a b f ( a) f ( b) sha ti oılasa f ooofiz de, al f ( G ) = G sha ti oılasa f eiofiz de ataladı. Bi waqıttı o zide h a

3 ooofiz h a eiofiz bolg a gooofiz izoofiz de ataladı. Bul jag dayda G ~G de jazıladı. Kef = { a G f ( a) = e } ko ligi f gooofizii yadosı de ataladı. Buda Kef < G boladı. Beilge A < G, B < G ushı A B = { e}, AB = G bolsa G guası A h a B u les gualaıı tuwı ko beyesi de ataladı h a ol G = A B de belgileedi. Ege G = G G... G bolsa G = G G... G boladı. Ege G = A B h a G = A B bolsa h a B B bolsa, oda B = B sha ti oılaatug ılıg ı keli shıg adı. -lektsiya. Shekli abellik gualadı du zilisi Teoea: Ha qaday shekli abellik -gua tsikllik gualadı tuwı ko beyesi boladı. Teoea: Ege shekli abellik -gua A ushı A = A... A = B... B s bolsa = s boladı h a A i = B j boladı. Salda: Ta tibi ge te bolg a izoof ees abellik gualadı saı h = , h,...,, jikleiwleii saıa te boladı. Tiykag ı teoea: Qa lege shekli abellik gua A ialıq tsikllik u les gualadı tuwı ko beyesi boladı. Qa lege eki jikleiwde bidey ta tili ko beytiwshiledi saı bidey boladı. Mısal etide ta tibi 6 h a 36 g a te bolg a balıq abellik gualadı aıqlayıq: 4 ) A = 6 =, (4) = 5, Z 6, Z 8 Z, Z 4 Z 4, Z 4 Z Z, ) A = 36 = 3 Eleeta bo liwshile 4 Z 9 ~ Z 36Z 4, 9 Z Z 9 Z 8 Z,, 9 4 Z 3 Z 3 ~ Z Z 3 4, 3, 3 Z Z 3 Z 3 ~ Z 6 Z 6,, 3, 3 Z Z Z İvaiat faktola 3, 6 8,, 3 6, 6 3) Ege A A B B ~, A < h a B < bolsa A ~ B boladı. 3

4 4) Ege A B, C sha ti oılasa, oda, shekli abellik guala bolsa h a A C ~ B C A ~ B sha ti de oılaadı. 4

5 3-lektsiya. Shekli guala ushı silovtı -shi h a -shi teoealaı Meyli G = bolsı, bul jede - a iwayı sa h a N, (, ) =. Soda G, = u les guası G guasıı silovlıq - u les guası de ataladı. Teoea (Silov): Silovlıq - u les guala ba boladı. P u les gualaı G guasıı Teoea (Silov): Meyli P h a qa lege eki silovlıq u les gualaı bolsı. Soda P = apa bolatug ıday a G eleeti ba boladı. deek balıq silovlıq -u les guala o z-aa tu yiles boladı. Da liyllew: Meyli P u les guası G guasıı silovlıq u les P G guasıı qa lege -u les guası bolsı. guası bolsı. Meyli Soda P ge qaata qa lege obitaı uzılıg ı qaldıqsız bo ledi: G = = = G P k = P P / k + + k =, k saı k bul jede k,,... obitaladı uzılıg ı (, ) = bolg aı ushı h esh k bolasa bi obitaı uzılıg ı i = boladı, yag ıy P ap = ap () boladı, bul jede a = g i G qaday da bi eleet () di P apa = apa de jazı biz P apa () ge iye bolaız, sebebi apa - gua. Daa jag dayda, ege P - silovlıq - u les gua bolsa, P = boladı, soı ushı () foulada P = apa ekeligi keli shıg adı...., 5

6 4-lektsiya. Silovtı 3-shi teoeası Teoea 3 (Silov): G guasıı u les gualaıı saı to edegi te likle oılı ( G : N ( P)) N = h a N (od ) Da liyllew: Da liylleiwi N = ( G : N ( P)) -teoeada h a guasıı obitasıı uzılıg ı h aqqıdag ı tastıyıqlawda keli shıg adı. s Meyli edi G = t, s, h a (s ) s N ushı H N saı G guasıı ta tibi ke te bolg a balıq u les gualaıı saı bolsı. N ( s) (od ) N = N h a ( ) bolatug ılıg ı ko seteyik. Meyli Ω = { M G M s = } bolsı. Soda Ω = Ωi, Ωi = ( G : G i i boladı. Bua G = Ω i (od t ) s Ω. (3) Ωi = t Bul salıstıalıqtı to edegishe de jazıwg a boladı: G Ωi t N ( s)(od t ). s (4) Ωi = t Ege bul jede G guası ushı ta tibi s t ke te bolg a tsikllik guaı alsaq, oda N ( s, G ) = boladı. Soı ushı G s t (od t ) boladı. (4) h a (5) salıstıalıqladı she ta elei bidey bolg aı ushı t tn ( s)(od t ) ekeligi keli shıg adı. Deek ( s) (od ) N. Teoea da lilledi. ) G (5) 5-lektsiya. Koltsola teoiyasıa ayıı ag lıwatla Ege K ko ligide + h a 9 bialıq oeatsiyalaı aıqlag a bolı, ola to edegi u sh sha tti qaaatladısa: ) ( K, + ) abellik gua 6

7 ) a, b, c K ushı ( ab ) c = a( bc) 3) a, b, c K ushı ( a + b) c = ac + bc a( b + c) = ab + ac oda K ko ligi koltso de ataladı h a ol ( K, +, ) de belgileedi. Ege a, b K ushı ab = ba bolsa K koutativ koltso de ataladı. Ege L K h a x, y L x y L h a xy L sha tlei oılasa L u les ko ligi K koltsosıı u les koltsosı de ataladı. Ege a 0 h a b 0 bolı ab = 0 bolsa a h a b eleetlei K koltsosıdag ı oldi bo liwshilei de ataladı. Meyli bizge K koltsosıı K koltsosıa bolg a f : K K sa wlelediiwi beilge bolsı. Ege f ( ab) = f ( a) f ( b) h a f ( a + b) = f ( a) + f ( b) bolsa f sa wlelediiwi K koltsosıı K koltsosıa gooofizi de ataladı. Ege a b f ( a) f ( b) bolsa f ooofiz de h a f ( K ) = K bolsa f eiofiz de ataladı. Bi waqıttı o zide h a ooofiz h a eiofiz bolg a gooofiz izoofiz de ataladı. Bul jag dayda K h a K koltsolaı izoof koltsola de ataladı, bul K ~ K de jazıladı. Kef = { a K f ( a) = o } K u les ko ligi f gooofizii yadosı de ataladı. Kef u les ko ligi K ı u les koltsosı boladı. Ege K ı u les koltsosı L KL L h a LK L sha tlei qaaatladısa oda ol K koltsosıı idealı de ataladı. Bul jag dayda L< K de jazıladı. Kef u les koltsosı K da ideal boladı. Meyli edi L K koltsosıı idealı bolsı. Soda { a + L a K } qo sılas klassla ko ligi ( a + L ) + ( b + L ) = a + b + L ( a + L )( b + L ) = ab + L de beilge qosıw h a ko beytiw oeatsiyalaıa qaata koltso du zedi. Bul koltso K koltsosıı L idealı boyısha faktokoltsosı de ataladı h a ol K /L de belgileedi. Ege f : K K eiofiz bolsa, oda f / Kef ~ K boladı. Ege Kef = {0} bolsa f ooofiz boladı h a keisishe. Nolde o zgeshe bilik eleetke iye bolg a h a o zii qa lege 0 eleeti ushı kei eleetke iye bolg a K koutativ koltsosı ayda de ataladı. P \ {0} ko ligi ege P ayda bolsa ultilikativ gua du zedi. Z = Z / Z faktokoltsosı a iwayı sa bolg ada h a tek soda g aa ayda boladı. Bul ayda oduli boyısha qaldıqla aydaı de ataladı. Ege e = 0 bolsa (e bilik eleet), oda buday atual salaıı e kishisi P aydaıı xaakteistikası de ataladı. Bul 7

8 sa a iwayı sa boladı. Q aydaı xaakteistikası 0 ge, al xaakteistikası g a te boladı. Z aydaıı 6-lektsiya. Faktoial koltsola K eleeti kei eleette iye bolasa h a Ege K koltsosıı = ab, a, b kei eleetke iye ees eleetle, tu ide ko setilese oda ol a iwayı eleet de ataladı. Maydada a iwayı eleet bolaydı. Aıqlaa: Ege oldi bo liwshilei bolag a K koltsosıı qa lege a 0 eleeti a = u... tu ide jazılsa, bul jede u kei eleetke iye eleet,... s - a iwayı eleetle h a ege a = v... s bolsa = s h a q = u,... q = u, bul jede u... u - kei eleetke iye eleetle bolsa, oda K faktoial koltso de ataladı. Teoea: Noldi bo liwshilei joq koutativ koltso K faktoial bolıwı ushı oda qa lege a iwayı eleeti ege ol ab ı bo lse, oda ol a h a b eleetleii h esh bolasa biewi bo letug ı bolıwı za u h a jeteli. Da liyllew: Meyli ab = c bolsı. Ege a = ai, b = b j, c = c k bolsa, bul jede a ib j, c k a iwayı eleetle. a i b j = c k da ı a yaasa b eleetleii biewi bo letug ılıg ı keli shıg adı. Meyli edi / ab / a yaasa / b bolsı. İduktsiya boyısha eyli ko beytiwshile saı bolg a eleetledi alayıq. Meyli edi + + a = i = j, i = i = bolsı. Oda + eleeti,..., + eleetleii h esh bolasa biewi bo liwi keek. Deek, = u i j i = j = yag ıy teoea oıladı. Teoeadag ı balıq sha tle za u ekeligi ko setiw qıyı ees. Teoea da liylledi 7-lektsiya. Evklid koltsolaı 8

9 Aıqlaa: Meyli K oldi bo liwshilei bolag a koutativ koltso bolsı. Ege * δ : K \ {0} = K N {0} sa wlelediiwi ba bolı ol ( E) δ ( ab) δ ( a) a, b 0 ( E ) a, b K, b 0 q, K a = qb + ; δ ( ) < δ ( b) yaasa = 0 sha tlei qaaatladısa, oda K koltsosı Evklid koltsosı de ataladı. δ ( a) = a, a Z h a δ ( a) = dega, a = a( x ) P( x ) de alı biz Z, P( x ) koltsolaı Evklid koltsolaı bolatug ılıg ı ko eiz. Meyli edi a, b K h a a 0, b 0 bolsı. Soda a = q... k b = q = q... b +, ,, k..., δ ( δ ( δ (..., ) < δ (... ) < δ ( b) ) < δ (... δ (... ), ), ) < δ ( = 0. k k + k k + boladı. Soda k = HOD ( a, b) boladı. Teoea: K Evklid koltsosıdag ı qa lege HOK g a iye HOD ( a, b) = au + bv. Deek ( a, b) = u, v K, au + bv = Salda: Meyli K Evklid koltsosı h a a b, Ege HOD ( a, b) = h a ( a, c) = Ege = q = q + k k 3 k... k ), a, b eleetlei HOD h a, c K bolsı. Soda (i ). HOD bolsa HOD ( a, b, c) =.( ii ). a / bc h a HOD ( a, b) = bolsa a / c. Ege b / a, c / a h a HOD ( b, c) = bolsa bc / a. Teoea: K Evklid koltsosıı qa lege a 0 eleeti ko beytiwshilege jikleedi: a = ubb... b s Teoea: Qa lege Evklid koltsosı faktoial koltso boladı. Salda: Z h a P (x ) koltsolaı faktoial koltsola. 9

10 8-lektsiya. A iwayı h a aksial idealla Aıqlaa: Ege ab ko beyesi bo lge qa lege eleet h esh bolasa a h a b eleetleii biewi bolsa, oda P idealı a iwayı ideal de ataladı. Aıqlaa: K koltsosıı J idealı ksial ideal de ataladı, ege T J bolsa oda T = K yaasa T = J ekeligi keli shıqsa. Teoea: Ege K Evklid koltsosıı eleeti bolsa, oda - a iwayı eleet K aksial ideal. Da liyllew: Meyli K a iwayı eleet bolsı h a K T K, T < K bolsı. Oda T = ak h a T bolg aı ushı = ab boladı, bul jede a h a b eleetleii biewi kei eleetke iye. Ege a V (K ) bolsa T = ak = K. Ege b V (K ) bolsa T = ak = abk = K. Keisishe eyli K aksial ideal bolsı h a = ab, a V (K ) bolsı. Oda ak K h a K < ak K = ak a = u = abu bu = b V ( K ) -a iwayı eleet. Teoea da lilledi. Salda: Qa lege = 4 k + a iwayı saı = +,, Z tu ide ko setiledi. Teoea: t = +,, Z t ı a iwayı saladı da ejesi ko iiside h a bi a iwayı sa = 4k ju ko setkishke iye. Da lillew: Haqıyqatıda da HOD (, ) = h a / + bolsa = 4 k + ekeligi ko setiw jetkilikli. Biaq HOD (, ) =, = 4 (od ), + 0(od ) (od ) 0 (od ) ( / 0(od ) 4 Deek s Z : s (od ), s (od ). Yag ıy * Z = h a ol 4 ke bo liedi. Deek = 4k = 4k +. Teoea da lilledi. 9-lektsiya. İdealladı tuwı qosıdısı Meyli J h a oeatsiyala aıqlaadı: J h a J ideallaıı qosıdısı J + J = { x + x x J, x J kesisesi ) J - K koltsosıı ideallaı bolsı. Soda to edegi } =.

11 J J = { x x J h a x J } h a ko beyesi JJ = { x i x i x ki J k } J J. i Teoea: Ege e K h a J + J k = K, k =,...,, J, J,..., J idealla, bolsa J + J J... J = K = J + JJ... J boladı. Da liyllew: J J... J J J... J bolg aı ushı J J J... J = K ekeligi ko setiw jetkilikli, = bul oılı. = de = = ( x + y )( x + y ) = x + y y, x, x, x J h a y i J i. Deek J + JJ h a J Qalg a jag ı saı boyısha iduktsiyada keli shıg adı. Meyli edi K,..., K - koltsola bolsı. K = K... K - dekat ko beye. Meyli ( x,..., x ) + ( y,..., y ( x,..., x ) ( y,..., y K = K... K ) = ( x ) = ( x y + y,..., x,..., x y + y ); bolsı. Oda koltsosı K i koltsolaıı sıtqı tuwı qosıdısı de ataladı. Meyli edi J J K koltsosıı ideallaı bolsı. Ege K = J J h a J k J j = 0, i k bolsa j k K = J... J koltsosı o zii J k ideallaıı ishki tuwı qosıdısı de ataladı. Koltsoladı sıtqı h a ishki tuwı qosıdılaı o z-aa izoof koltsola (idealla) boladı. Soı ushı oladı ekewi de bidey belgileedi h a ol qısqasha koltsoladı (idealladı ) tuwı qosıdısı de ataladı. Yag ıy (ishki tuwı qosıdı) ~ (sıtqı tuwı qosıdı). ); 0-lektsiya. Aalas teoeala ) Meyli... ; Z = Z / Z ( ) ~ i Z... Z Z bolsı. Soda ( ii ) U ( Z ) ~ ( U Z )... U ( boladı. = h a U Z ) = Z \ {0} Z ) (

12 ) Meyli N bolsı. Soda (i ) ege U Z ) tsikllik gua boladı. ii ) U ( Z ) h a Z ) a iwayı sa bolsa ( ( U ( tsikllik guala boladı h a U ( Z ) = h a U ( Z ) = boladı. 3) U ( Z ) tsikllik gua bolıwı ushı > saı,4, yaasa bolıwı keek, bul jede - taq a iwayı sa. eleeti a iwayı eleet bolıwı ushı 4) K faktoial koltsosıı 0 K / K faktokoltsosı u tililik oblastı bolıwı za u h a jeteli. 5) Meyli a iwayı sa bolsı h a K koutativ koltso bolsı, e K h a x = 0 x K sha ti oılası. Oda ( x + y ) = x + y, =,,... Ko sete: boyısha iduktsiyaı h a bioial koeffitsietle C k, 0 < k <, a iwayı saı bo lietug ı-lıg ı aydalaı. 6) Ege K koltsosı bilik eleette iye bolsa K / L faktokoltsosı da bilik eleetke iye bolatug ılıg ı ko seti. Sheshii: Meyli e K K koltsosıı bilik eleeti bolsı. Soda ( a + L )( e + L ) = ( e + L )( a + L ) = a + L. Deek e + L K / L - bilik eleet. 7) Meyli Q -atsioal sala ko ligi bolsı. Q ( ) h a Q ( 5) ke eytiilge aydalaı izoof bolaa? (Juwa: bolaydı). 8) Meyli - a iwayı sa h a Z bolsı. Ege (, ) = bolatug ılıg ı da lille. * Da lillew: Z \ {0} (od ) bolsa Z = ultilikativ guasıı ta tibi te. Lagaj teoeası boyısha saı eleetii ta tibie qaldıqsız bo liedi. Deek = ( ) =, yag ıy = 0, deek (od ). 9) To edegiledi da lille (Silov teoeası aydalaı ) Ko sete: GL (, Z SL (, Z GL h a ) = ( ) SL (, Z ge * Z guasıı qa lege ), ) = ( ). SL gualaıı qa siyetleie aydalaı.

13 H -lektsiya. Guaı jasawshı ko ligi Meyli bizge G guasıı M u les ko ligi beilge bolsı. Soda = H u les gua boladı h a ol M u les ko ligi o z ishie I i H i M H i G alatug ı u les gualadı e kishisi (iialı) boladı. Aıqlaa: H IH i H i M H i G ko ligie jasalg a u les guası de ataladı h a ol гр (M ) belgileedi. Teoea: = u les guası G guasıı M u les H = de гр ( M ) = { tt... t t i M ямаса t i M, N }, yag ıy M u les ko ligie jasalg a u les gua usı M ko lgii eleetleii yaasa oladı kei eleetleii balıq shekli sadag ı ko beyeleie tuadı. Da lillew: Ege {}= H de belgilesek, H гр (M ) ekeligi tu siikli. Edi гр ( M ) H ekeligi da lillew ushı H tı u les gua ekeligi da lillew jetkilikli, sebebi H u les ko ligi M ı balıq eleetlei o z ishie aladı. Bul jede ( t, t... t ) = t... t t te ligi u lke ol oyaydı. k Daa jag dayda, ege M = {a} bolsa гр ( M ) = гр ( a) = { a k Z } tsikllik guası keli shıg adı. Ege oeatsiya qosıw bolsa гр ( a) = { k a k Z } boladı. Mısal-: Z = гр () = гр ( ) boladı Z гр( ), ± Z гр({,3}) гр ({, 4}) = гр ( Mısal-: = ) boladı, sebebi (, 3)= h a (, 4) =. Ege M = { a, a,..., a } bolsa гр (M ) u les guası shekli jasalg a u les gua deliedi h a ol гр ( a, a,..., a ) de te belgileedi. Soawla h a shııg ıwla. Z = гр (3, 7) ekeligi ko seti. k. Ege гр ( a) = { a 0 k ekeligi da lille. a = bolsa } = { e, a, a,... a ] 3

14 -lektsiya. Gualadı gooofizlei. Aıqlaa-: Meyli bizge f : G G sa wlelediiwi beilge bolsı, bul jede G h a G - guala. Ege f ( a * b) = f ( a) f ( b) bolsa, bul jede G = ( G, *), G = ( G, 0), oda f sa wlelediiwi G guasıı G guasıa gooofizi de de ataladı. a) Ege a b f ( a) f ( b) bolsa f gooofizi ooofiz de ataladı. v) Ege f ( G ) = G bolsa f -gooofiz eiofiz de ataladı. s) Ege f ooofiz h a eiofiz bolsa, oda ol izoofiz de ataladı. Bul jag dayda G ~ G de jazıladı. Mısal: Meyli R + - o h aqıyqıy sala, al R - balıq h aqıyqıy sala gualaı bolsı. Soda de beilge sa wlelediiw + izofizi bolatug ılıg ı teksei ko iw qıyı ees. Aıqlaa -: Meyli bizge gualadı f : R + R f ( a) = la R ultilikativ guasıı R additiv guasıa f : G G Kef = a G f ( a) = e } G gooofizi beilge bolsı. Soda { u les ko ligi f gooofizii yadosı de ataladı. Teoea-: Ke f G boladı Da lillew: a Kef bolsa f ( a ) = ( f ( a)) = ( e ) = e h a f ( e) = e bolatug ılıg ı teksei ko iw qıyı ees. h aqıyqatıda da h a f f ( e) = f ( a a ) = f ( a) f ( a ) f ( a ) = ( f ( a)) ( e) = f f f ( a a) = f ( a) = f ( a e) = f ( a) = f ( e a) = f a G ( a ) f ( a) f ( e) f 4 ( a) ( e) f ( e) = e G ( a) Soawla h a shııg ıwla. f : Z Z, f ( ) = k + Z sa wlelediiwii gooofiz bolatug ılıg ı ko seti.. Gualadı gooofizide shekli h a abellik gualadı obazlaı sa ykes shekli h a abellik guala bolatug ılıg ı ko seti

15 3-lektsiya. Tsikllik guala h a oladı klassifikatsiyası Aıqlaa: гр ( a) = { a Z ] guası a eleetie jasalg a tsikllik gua de ataladı. Z = гр () = гр ( ) Mısalla: Z = Z / Z = гр ( + Z ). Bul jede Z = = = h a Z = + Z =. Teoea-: Balıq sheksiz tsikllik guala o z-aa izoof boladı h a oladı balıg ı da Z = гр () guasıa izoof. Da lillew: Meyli bizge G = гр ( a), G = a = sheksiz tsikllik guası beilge bolsı. f : G Z Soda f ( a ) = de beilge f sa wlelediiwii izlege izoofiz boltaug ılıg ı da lillew a sat. Teoea-: Balıq ta tibi ge te bolg a tsikllik guala o z-aa izoof boladı h a oladı balıg ı da Z = Z / Z = гр ( + Z ) guasıa izoof boladı. Da lillew: Meyli bizge G = гр ( a), G = a = tsikllik guası beilge bolsı. Soda f f : G ( a k Z ) = k + Z, 0 k sa wlelediiwdi izlege izoofiz bolatug ılıg ı da lillew a sat. Teoea-3: { } koleks sala ko ligi ko beytiw oeatsiyasıa qaata ta tibi ge te bolg a tsikllik gua boladı. o o kπ kπ Da lillew: = coso + i sio = cos + i si, 0 k boladı. Bul jede { π π } = гр cos + i si, Soawla h a shııg ıwla { 3 guasıı balıq eleetlei ko seti. }, ekeligi da lillew a sat. 5

16 . гр ( a), a = 5, guasıı balıq eleetlei ko seti. 4-lektsiya. İgeles klassla. Lagaj teoeası Aıqlaa: Meyli H G bolsı. Soda Hg = { hg h H } h a gh = { gh h H } ko ligiklei G guasıı H u les guası boyısha sa ykes o h a sol igeles klasslaı de ataladı. ( g eleeti ee aıqlag a). Teoea-: h a qıylı o (sol) igeles klassla o z-aa kesiseydi h a G guası ko lik etide oladı biikesi boladı: G = UHg = U gh. g G g G Teoea-: G guasıı H u les guası boyısha o h a sol igeles klasslaıı saı, yag ıy { Hg g G ] h a { gh g G ] ko likleii eleetle saı bidey boladı (bul sa H u les guasıı G guasıdag ı ideksi de ataladı, ol G : H de belgileedi). Teoea-3: (Lagaj): Meyli H G bolsı. Soda G = H G : H, yag ıy shekli guaı ta tibi oı qa lege u les guasıı ta tibie qaldıqsız bo liedi. Bul teoeaı da lilleiwi teoea h a de h a to edegi sızılada keli shıg adı: Bul sızılada h a bi bo li bi igeles klasstı a latadı. Bizi ısalıızda G guasıı H u les guası boyısha igeles klassla saı 0 g a te boladı. Soawla h a shııg ıwla Z guasıı 5 Z u les guası boyısha balıq igeles klasslaı tabı.. Ta tibi 4 ge te bolg a guaı ta tibi 5 ke te bolg a u les guası bolaa? 6

17 g 5-lektsiya. Noal u les guala. Faktoguala H G h a balıq g G, h H eleetlei ushı Aıqlaa: Ege hg H bolsa, H u les guası G guasıı oal u les guası de H < G. H < G gh = Hg g G yag ıy H u les guası ataladı, jazılıwı Teoea-: oal u les gua bolıwı ushı ol boyısha qa lege o h a sol igeles klass o z-aa te bolıwı keek. Da lillew: g hg H, g G g h Hg gh Hg. gh Hg. g hg H, g G hg gh Hg gh Deek gh = Hg eke. Ege gh = Hg g G bolsa = g gh g Hg H = g Hg g hg H g G, h H H G. Ege H G bolsa { gh g G ] igeles klassla ko ligi g H g H = gg H de aıqlag a oeatsiyag a qaata gua boladı. Bul jede bilik eleet H qa te h a ( gh ) = g H.. Aıqlaa: G = { gh g G} H guası G guasıı H u les guası boyısha faktoguası de ataladı. Teoea-: f : G G gooofizii yadosı G guasıda oal u les gua boladı, yag ıy Ke G. Kef = { a G f ( a) = e } Da lillew: f ( g hg ) = f ( g ) f ( h) f ( g ) = ( f g hg Ke f. Yag ıy Ke f G. Teoea-3: f G G ~ f ( G ) Ke f Bua G boladı. ( g )) f ( g ) = e : gualadı gooofizi bolsa Soawla h a shııg ıwla. Abellik guaı qa lege u les guası oı oal u les guası bolatug ılıg ı ko seti. Z Z gooofizii yadosı tabı. 5Z G : H = bolsa H G ekeligi da lille. 3. Ege 7

18 6-lektsiya. Mayda. Shekli aydala Koutativ koltso. Bilik h a kei eleet. Z aydaı Aıqlaa-. Nolde o zgeshe bilik eleetke iye bolg a h a o zii olde o zgeshe qa lege eleeti ushı kei eleetke iye bolg a koutativ koltso ayda de ataladı. Mısalla: -aydala. Z -ayda ees. Q,R, C Aıqlaa-. Maydaı o zi de ayda bolatug ı u les koltsosı usı aydaı u les aydaı de ataladı. Mısalla: Q aydaı R di, al R aydaı C ı u les aydaı boladı. Teoea-. Maydaı qa lege sadag ı u les aydalaıı kesisesi de usı aydaı u les aydaı boladı. Maydada oldi bo liwshilei bolaydı, sebebi kei eleetke iye eleet oldi bo liwshisi bolaydı. Ege P ayda bolsa P \{0} u les ko ligi ko beytiw oeatsiyasıa qaata gua du zedi, bul gua P aydaıı ultilikativ guası de ataladı. oduli boyısha qaldıqla klasslaıı koltsosı qaayıq: Z = { 0,,,..., } Teoea-. Z koltsosı = a iwayı sa bolg ada h a tek soda g aa ayda boladı. Haqıyqatıda da, ege 0 ko ligii balıq eleetlei s dı ko beyti s bolsa, yag ıy {,,..., } s bolsa biz { s,s,..., s ( )} Z i 0 eleetie basqa balıq ko ligie iye bolaız. Bul ko likti eleetleie tuatug ılıg ı teksei ko iw qıyı ees. Deek s = bolatug ıday eleeti ba boladı, yag ıy = ( s ) Z eke, yag ıy Z ayda eke. Egede = s t, < s < bolsa 0 = = s t boladı, yag ıy s h a t eleetlei oldi bo liwshilei bola edi, biaq bul u ki ees. Soawla h a shııg ıwla. { a + b a, b Q} ko ligi ayda bolaa?. 7 \{0} Z guasıdag ı 5 eleetii ta tibi tabı. 8

19 7-lektsiya. Maydaı xaakteistikası. A iwayı aydala Maydaı xaakteistikası. A iwayı ayda. Q h a aydalaı. Aıqlaa-: Meyli P aydaı h a oı bilik eleeti e beilge bolsı. P aydaıı xaakteistikası de e = 0 bolatug ı e kishi 0 u ti saıa aytıladı h a ege 0 bolsa, oda ol sha tli tu de a iwayı sa boladı. Mısalla: Ratsioal sala aydaı Q di xaakteistikası 0 (ol) ge, al Z aydaıı xaakteistikası g a te. Aıqlaa-: O zie o zgeshe u les aydag a iye bolag a ayda a iwayı ayda de ataladı. Toea-: Ratsioal sala aydaı Z -a iwayı ayda. Teoea-: qa lege -a iwayı saı ushı Z aydaı-a iwayı ayda. Teoea-3: qa lege ayda a iwayı u les aydag a iye. Ege aydaı xaakteistikası 0 ge te bolsa bul a iwayı u les ayda atsioal sala aydaı Q ge, al ege xaakteistikası g a te bolsa bul a iwayı u les ayda Z g a izoof boladı. Teoea-4: Xaakteistikası g a te bolg a aydada bideyligi oılı boladı. ( x + y ) = x + y ( N Soawla h a shııg ıwla ) eleette tuatug ı aydada x = x bideyligi da lille. ) Qa lege aydada tek bi g aa a iwayı u les ayda ba boladı. ) Z 9

20 8-lektsiya. Modulle h a oladı gooofizlei. Modul. u les odul. Modulledi gooofizlei. Shekli jasalg a odul. Eikli odul. Aıqlaa : Meyli K -bilik eleetie iye assotsiativ koltso h a V qosıwg a qaata abellik gua bolsı. Ege K V V, ( x, v ) xv sa wlelediiwi ba bolı, ol qa lege x, y K h a u, v V ushı I. x ( u + v ) = xu + xv II. ( x + y ) v = xv + yv III. ( xy ) v = x ( yv ) IV. v = v sha tlei qaaatladısa, oda V sol K -odul yaasa K koltsosı u stide sol odul de ataladı. Aıqlaa-: Meyli V -K -odul bolsı. Ege U V bolı x K, u U ushı xu U bolsa oda U V odulii u les oduli de ataladı. Aıqlaa-3: Meyli U h a K sa wlelediiwi f ( u + u ) = f ( u) + f ( u V -odulle bolsı. Ege f : U V ) f ( xu ) = xf ( u) sha tlei qaaatladısa, oda f sa wlelediiwi U odulii V odulie gooofizi de ataladı. Teoea-: Meyli f : U V odulledi gooofizi bolsı. Soda Ke f = { u U f ( u) = 0} U odulii, al I f V odulii u les odullei boladı. Aıqlaa-4: Meyli U V odulii u les oduli bolsı. Soda V / U = { v + U v V } faktoodul (abellik additiv guaı faktoguası) de ataladı, bul jede x ( v + U ) = xv + U. Teoea-: Ege V i le V odulii u les odullei bolsa, oda IV i i de V u les oduli boladı. Aıqla-5: IV i v i M u les oduli odul de ataladı h a ol x t x k t k, x i K, t i M eleetleie tuadı. Aıqlaa-6: K V = xv x K }; v V jasalg a tsikllik odul de ataladı. M V ko ligie jasalg a u les { u les oduli v eleetie 0

21 Aıqlaa-7: ataladı V = kv kv oduli shekli jasalg a odul de Soawla h a shııg ıwla ) qa lege abellik gua A Z -odul bolatug ılıg ı ko seti ) P aydaı u stidegi V vektolıq ke isligii P-odul bolatug ılıg ı ko seti. 9-lektsiya. Shekli jasalg a odulle Tsikllik odulle. Jasawshı eleetle. Eikli odulle Meyli K koltsosı u stidegi V oduli beilge bolsı. Aıqlaa-. v V eleeti ee jasalg a odul, yag ıy Kv = { xv x K } oduli v eleeti ee jasalg a tsikllik odul de ataladı. Aıqlaa-. Tsikllik odulledi shekli sadag ı qosıdısı, yag ıy Kv Kv v oduli shekli jasalg a odul de ataladı. oduldi jasawshı eleetlei de ataladı.,...., v V eleetlei bul Aıqlaa-3. Ege V odulii qa lege eleeti v v = x v x v, v i V, x i K v,....,v tu ide bi a isli ko setilse, oda V oduli eleetleie jasalg a eikli odul de ataladı. Teoea-. Meyli K oldi bo liwshileie iye bolag a koltso bolsı. Ege K koltsosı u stidegi V odul u,..., u h a { } { v,..., v } = boladı. sistealaı ee jasalg a eikli odul bolsa, oda Teoea-. Ha bi shekli jasalg a odul qadayda bi shekli jasalg a eikli oduldi gooof obazı boladı. Teoea-3. Eikli oduldi qa lege u les oduli de eikli odul boladı (oı jasawshı eleetleii saı oduldi jasawshı eleetleii saıa ası keteydi). Teoea-4. Bas idealla koltsosı u stidegi qa lege shekli jasalg a oduldi u les oduli de shekli jasalg a odul boladı.

22 Soawla h a shııg ıwla. Z koltsosı u stidegi abellik gua odul bolaa?. R aydaı u stidegi sızıqlı ke islik odul bolaa?

23 0-lektsiya. Maydala u stide algebala. Veddeba teoeası Mayda u stidegi algeba. Algebaı o lshei h a oayı. u les algeba. Algebaladı gooofizlei. Assotsiativ algeba. Veddeba teoeası. Aıqlaa-: P aydaı u stidegi A algebası de ( A, +, ) koltsosıa h a P u stidegi A vektolıq ke isligie tuatug ı julıqqa aytıladı. (yag ıy A koltsosı P u stidegi ke islik boladı), bul jede λ ( xy ) = ( λ x ) y = x ( λ y ), x, y A, λ P sha ti oılaıwı keek. Aıqlaa-: Ege A koltsosı assotsiativ koltso bolsa oda A algebası assotsiativ algeba de ataladı. Aıqlaa-3: A ı o lshei de P u stidegi vektolıq ke islik A ı o lsheie aytıladı. Aıqlaa-4: A algebasıı B u les algebası de A koltsosıı u les koltsosı h a A ke isligii u les ke isligi bolatug ı B g a aytıladı. Teoea-: U les algebaladı kesisesi de u les algeba boladı. Aıqlaa-5: A I A i u les algebasıa aytıladı, bul jede i A M i M u les ko ligie jasalg a u les algeba de A le- A ı u les algebalaı. Aıqlaa-6: A algebasıı B algebasıa gooofizi de A koltsosıı B koltsosıa gooofizie aytıladı, bul gooofiz P- sızıqlı tu lediiw bolıwı keek. Aıqlaa-7: A algebasıı oayı Z (A ) de { a A ax = xa x A} ko ligie aytıladı. Teoea-: A algebasıı oayı Z (A ) usı A algebasıı u les algebası boladı. Teoea-3: (Veddeba). Bo liw oılaatug ı qa lege shekli assotsiativ koltso koutativ boladı. Salda: Bo liw oılaatug ı qa lege shekli assotsiativ koltso ayda boladı. Soawla h a shııg ıwla ) Algebaı idealı h a faktoalgebası dege e? ) (P) te bolg a algeba bolatug ılıg ı ko seti M atitsala ko ligii P aydaı u stidegi h a o lshei qa 3

24 A debiyatla [] Kostiki A.İ. Vvedeie v algebu. M., «Nauka» 977. [] Kuosh A.G. Kus vısshey algebı. M., «Nauka» 963. [3] Faddeev D.K. Lektsii o algebe. M., «Nauka» 984. [4] Skoyakov L.A. Eleetı algebı. M., «Nauka» 980. [5] Nazaov R.N., Toshulatov B.T., Dusubetov A.D. Algeba va sola azaiyasi, I qis, T., «Uqituvchi» 993 [6] Nazaov R.N., Toshulatov B.T., Dusubetov A.D. Algeba va sola azaiyasi, II qis, T., «Uqituvchi» 995. [7] Tajetdiov S. «Guala h a koltsola teoiyası u yeiwge etodikalıq ko setele». No kis,

25 A debiyatla [] Kostiki A.İ. Vvedeie v algebu. M., «Nauka» 977. [] Kagaolov M.İ., Mezlyakov Yu.İ. Osovı teoii gu. M., «Nauka» 977. [3] Va de Vayae. Algeba. M., «Nauka» 980. [4] Nazaov R.N., Toshulatov B.T., Dusubetov A.D. Algeba va sola azaiyasi, I-II qisla, T., «Uqituvchi» 993. [5] Djieuatov U.Tajetdiov S. Algeba kusı boyısha laboatoiyalıq juısla h a oladı oılawg a etodikalıq ko setele. QMU basaxaası, 995. [6] Tajetdiov S. «Guala h a koltsola teoiyası u yeiwge etodikalıq ko setele». No kis, 004,,5 b.t. 5