Cebir II 2008 Bahar
|
|
- Berkant Okyay
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 MIT Açk Ders Malzemeleri Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için ve sitelerini ziyaret ediniz. 1
2 FONKS YON C S MLER Karma³k t-düzlemini T, ve t ye ba l rasyonel fonksiyonlar cismi C(t) yi F ile gösterelim. F nin elemanlar, p ile q karma³k polinomlar ve q 0 olmak üzere p(t)/q(t) kesirleridir. Fonksiyon cisimleri, F nin sonlu cisim geni³lemeleridir. K, F = C(t) üzerinde derecesi n olan bir fonksiyon cismi ve α bu geni³lemenin ilkel eleman olsun. f, K = F (α) ile F [x]/(f) izomorf olacak biçimde, α için F üzerindeki indirgenemez polinom olsun. Katsaylardaki paydalar temizleyerek, f yi C[t, x] içinde bir indirgemez polinoma dönü³türüp (2) f(t, x) = a n (t)x n + a n 1 x n a 1 (t)x + a 0 (t), biçiminde yazarz. Burada t ye ba l a i (t) polinomlarnn ortak böleni 1 dir. f polinomunun α ilkel elemannn seçimine ba l oldu unu hatrlamak önemlidir. Bir f(t, x) polinomunun Riemann yüzeyi X, karma³k (t, x)-uzay C 2 içinde f nin sfrlarnn olu³turdu u geometrik yerdir. x e ba l derecesi n olan bir f(t, x) polinomunun Riemann yüzeyi T nin bir n-yaprakl çatall örtüsüdür. Çatal noktalar, üzerinde X in n den az noktas olan t = t 0 noktalardr. Bunlar, f ile f x in ortak çözümünün oldu u noktalardr. Esas olarak, Riemann yüzeyleri hakknda söyledi imiz her ³ey, sonlu sayda noktann d³nda geçerlidir. Dolaysyla, ³u gösterimi kullanrz: X sonsuz bir kümeyse, X, özellikle belirtilmemi³ bir sonlu altkümesinin X den çkarlmas ile elde edilen kümeyi gösterir: (1) X = X (de i³ken sonlu küme). lerlerken, a³a daki basit örnek hep elimizde olacak, (3) f(t, x) = x 2 t. Bu polinomun Riemann yüzeyi sayfa 518'de çizilmi³tir. K ve L cisim geni³lemelerinin izomorzmi, F üzerinde birim fonksiyon olan ϕ : K L cisimlerinin cisim izomorzmidir. T nin çatall örtülerinin X Y izomorzmi, bu yüzeylerin T ye izdü³ümleri ile uyumlu olan sürekli, bire-bir ve örten θ : X Y fonksiyonlardr. Buradaki üsler, θ fonksiyonunun tanml olmas için X ve Y den çkarmay bekledi imiz sonlu saydaki noktaya i³aret etmektedir. Gev³ek bir biçimde ifade edecek olursak, e er S yol ba lantlysa, bir π : S T çatall örtüsünü de yol ba lantl olarak adlandrrz. Bu, S nin yeterince büyük her sonlu altkümesi için, S kümesinin yol ba lantl olmas demektir. Sradaki teorem F nin cisim geni³lemelerini tanmlar. Bu teoremin kant, ne yazk ki burada sunmak için çok uzundur. Teorem 4. [Riemann Varlk Teoremi] (a) f(t, x) indirgenemez bir polinom olsun. f nin Riemann yüzeyi, T nin bir yol ba lantl çatall örtüsüdür. 2
3 (b) S, T nin bir yol ba lantl çatall örtüsü olsun. Riemann yüzeyi S ye izomorf olan indirgenemez bir f(t, x) polinomu vardr. (c) f(t, x) ile g(t, x) indirgenemez polinomlar, K ile L bunlarn tanmlad cisim geni³lemeleri ve X ile Y yine bunlarn tanmlad Riemann yüzeyleri olsun. K ve L nin, F nin izomorf cisim geni³lemeleri olmas için gerek ve yeter ko³ul X ve Y nin, T nin izomorf çatall örtüleri olmasdr. Bu teorem, iki polinomum tanmlad cisim geni³lemelerinin izomorf olup olmadklarna karar vermeyi sa layan bir yöntem sunar. Sk sk kullanlabilecek basit bir kriter, çatal noktalarnn çak³mas gerekti idir. Ancak, T nin bir S çatall örtülüsü verilirse, Riemann yüzeyi S olan bir polinom bulmak zor olabilir. Bir çok polinom izomorf cisim geni³lemeleri tanmlar, fakat beklenenin aksine, bir çok seçenek oldu unda bunlardan birini bulmak genellikle daha zorla³r. (c) seçene inin bir ksmn göstermek görece daha kolaydr: Önerme 5. f(t, x) ile g(t, y) indirgenemez polinomlar, ve X ile Y, K = F [x]/(f) ile K = F [y]/(g) cisim geni³lemelerine kar³lk gelen Riemann yüzeyleri olsun. Cisim geni³lemelerinin bir ϕ : K L izomorzmi, Riemann yüzeylerinin θ : X Y izomorzmini tetikler. Proof. t de i³kenini geçici olarak dü³ürelim ve f(t, x) yerine f(x), vb. yazalm. ϕ izomorzmi, g(y) nin K içinde, bir b(x) polinomunun modulo (f) kalan olarak gösterilebilecek bir β kökünü verir. θ : X Y fonksiyonu, θ(t, x) = (t, b(x)) biçiminde tanmlanr. g(β) = 0 oldu undan, g(b(x)) eleman F [x] nin (f) ideali içerisindedir. Dolaysyla, g(b(x)) = h(x)f(x) e³itli ini sa layan bir h(x) polinomu vardr. t de i³kenini gösterimde tekrar yerine koyarsak, (6) g(t, b(x, t)) = h(t, x)f(t, x) elde ederiz. (t, x), X in bir noktasysa, f(t, x) = 0 ve g(t, b(t, x)) = h(t, x)f(t, x) = 0 olur, ve bu nedenle θ(t, x), Y nin bir noktas olur. K ve L nin rolleri de i³tirilerek ters fonksiyon elde edilir. b(x) ve h(x) katsaylar F den polinomlar oldu undan, paydalarda t ye ba l polinomlar yer alabilir. Bu nedenle, θ baz noktalarda tanmsz olabilir. Kes ve Yap³tr Kes ve Yap³tr bir çatall örtüyü in³a etmek veya bozmak için kullanlan bir yöntemdir. x 2 t polinomunun Riemann yüzeyi olan X örne imize geri dönelim. X i, sayfa 518'deki ³eklin iki katl yeri olan negatif gerçel eksen boyunca açarsak, bir parças re x > 0 ve di er parças re x < 0 olan iki parçaya ayrlr. Kesti imiz yer boyunca ne oldu unu ihmal edersek, bu parçalardan her birinin t-düzlemi T ye bijektif izdü³ümleri vardr. 3
4 Bu prosedürü tersine çevirerek, X e izomorf bir çatall örtüyü ³u ³ekilde olu³turabiliriz: T nin üzerine karma³k düzlemin iki kopyas olan S 1 ve S 2 yi yerle³tirelim ve negatif gerçel eksen olan (, 0] boyunca bunlar keselim. T nin bu kopyalar, yaprak lar olarak adlandrlacak. Daha sonra, S 1 in A yönünü, S 2 nin B yönüne ve ayn biçimde B Yönünü A Yönüne yap³tralm (Sayfa 520'deki ³ekle baknz). Bu yap³trmay, yüzeyin kendisini kesmesine izin vermeden yapabilmek için dört boyuta ihtiyaç duyarz. n-yaprakl bir S T çatall örtüsünün verildi ini varsayalm, ve p 1,..., p k T deki çatal noktalarnn kümesi olsun. ν = 1,..., k için p ν noktasndan sonsuza giden birbirleriyle kesi³meyen C ν yar do rular seçeriz. T yi C ν yar do rular boyunca ve S yi de bu yar do rularn üzerinde yer alan tüm noktalarda keserek açk hale getiririz (sayfa 521'e baknz). Keserek açk hale getirmek ile neyi kastetti imizi daha belirginle³tirmeliyiz. T yi keserek açk hale getirmekle, C ν yar do rular üzerindeki p ν de dahil tüm noktalar ve S yi keserek açk hale getirmekle ise bu yar do rular üzerindeki tüm noktalar çkartt mz konusunda anla³alm. Lemma 7. S, C ν yar do rular üzerinde kesilerek açk hale getirildi inde, her birinin izdü³ümü, kesilmi³ T düzlemine bijektif olan n tane rasgele numaralandrlm³ S 1,..., S n yapra nn birle³imi olacak biçimde bile³enlerine ayrlr. Bu do rudur, çünkü birincisi, kesilmi³ yüzey S, kesilmi³ yüzey T nin çatall olmayan bir örtü uzaydr ve ikincisi, T deki yar do rularn tümleyeni basit ba lantl bir kümedir. Basit ba lantl bir kümenin çatall olmayan örtüsünün bile³enlerine ayrlmas sezgisel olarak akla yakn gelir. Bir p noktasn kapsayan yaprak, kesik ksmlar üzerinden geçmeyen bir yol üzerinden p ile birle³tirilebilen bütün noktalar kapsar. Bunun kant, [Munkres, Topoloji sayfa 342, Al³trma 8] içinde al³trma olarak verilmi³tir. imdi, S yüzeyini yeniden olu³turmak için kesilmi³ T düzleminin n kopyasn alalm, bunlar yaprak olarak adlandrp S 1,..., S n olarak etiketleyelim. Bunlar T üzerine yerle³tirelim. Kesikler d³nda, bu yapraklarn birle³imi çatall örtümüzdür ve S yi yeniden olu³turmak amacyla yapraklar kesikler boyunca yap³trmak için bir kural tanmlamalyz. T üzerinde p ν noktasnn etrafna saatin ters yönünde bir daire çizeriz (sayfa 521'e baknz) ve C ν yar do rusunun C ν yü kesmeden önce geçti imiz yönünü yön A ve kestikten sonra geçti imiz yönünü yön B olarak adlandrrz. Benzer biçimde bir S i yapra üzerinde bunlara kar³lk gelen yönleri srasyla A i ve B j olarak adlandrrz. O zaman, S için yap³trma kural, A i nin, bir j için B j ile yap³trlmas anlamna geliyor. Bu kural, 1,..., n indekslerinin i yi j ye gönderen σ ν permütasyonu ile tanmlanr. Rasgele σ ν permütasyonlarn kullanarak bir örtü in³a edebilece imiz oldukça açktr. Sadece, çatal noktalarnn kendisinde ne olaca açk de ildir. Belirsizli i ortadan kaldrmak için, çatal noktalarn ve bunlarn üzerinde yatan noktalar ihmal ederiz. Çatallanma Verisi. ν = 1,..., k için 1,..., n indekslerinin bir σ ν permütasyonu. 4
5 Yap³trma Açklamalar. σ ν (i) = j ise, C ν boyunca A i yönünü B j yönü ile yap³trnz. Yap³trma tamamland nda kesik yer kalmaz ve yapraklarn birle³imi bir örtü verir. Sayfa 518'de gösterilen Riemann yüzeyi için oldu u gibi, elde edilen, kendisini kesmeyen yüzeyin gömülmesi için de dört boyuta ihtiyaç vardr. E er σ ν permütasyonu birim permütasyonsa, her yapra n C ν boyunca kendisine yap³trld n belirtelim. Bu durumda, p ν noktasnn gerçek bir çatal noktas olmad n söyleriz. Sradaki sonuç tart³may özetlemektedir: Sonuç 8. Her n-yaprakl S T çatall örtüsü, kes ve yap³tr i³lemi ile in³a edilmi³ olanlardan birine izomorftur. Yapraklarn numaralandrlmasnn rasgele oldu unu ve Riemann yüzeyi için en üst yaprak gibi bir kavramn içsel bir anlam olmad n belirtmek önemlidir. E er bir en üst yüzey olsayd, x fonksiyonunu, bu yapraktaki de erini seçerek tek de erli bir fonksiyon olarak tanmlayabilirdik. Bu ancak Riemann yüzeyi kesilerek açk hale getirildikten sonra yaplabilir. Esas nokta budur: Yüzey üzerinde dola³mak bizi bir yapraktan bir yapra a sürükler. Yapraklarn rasgele numaralandrlmasnn d³nda, σ ν permütasyonlar S örtüsü tarafndan biricik olacak biçimde belirlenir. Numaralandrmann bir ρ permütasyonu ile de i³tirilmesi, her σ ν permütasyonunu ρσ ν ρ 1 e³leni i ile de i³tirecektir. Sonuç 9. Kes ve yap³tr i³lemi ile, ayn p ν noktalar ve C ν yar do rular kullanlarak in³a edilmi³ çatall örtüler X ve Y olsun. Yap³trma verisi ile tanmlanan permütasyonlar, srasyla σ ν ve τ ν olsun. X ve Y nin izomorf çatall örtüler olmas için gerek ve yeter ko³ul, her ν için τ ν = ρσ ν ρ 1 e³itli ini sa layan bir ρ permütasyonunun olmasdr. Önerme 10. Kes ve yap³tr ile in³a edilmi³ S çatall örtüsünün yol ba lantl olmas için gerek ve yeter ko³ul, σ 1,..., σ k permütasyonlarnn, yapraklar kümesine geçi³ken olarak etki eden, simetrik grubun bir H altgrubunu üretmesidir. Kant. Her S i yapra yol ba lantldr. σ ν permütasyonlarndan biri i indeksini j ye gönderiyorsa, S i ve S j yapraklar C ν boyunca yap³trlr. Bu durumda, S i nin bir noktasndan S j nin bir noktasna kesik üzerinden giden ksa bir yol olacaktr. Yapraklarn kendileri yol ba lantl oldu undan, S i ile S j nin herhangi iki noktas bir yolla birle³tirilebilir. Dolaysyla, S nin yol ba lantl olmas için gerek ve yeter ko³ul, her i, j indeks çifti için, i = i 0 i 1... i r = j ko³ulunu sa layan bir σ ν permütasyonlar dizisinin olmasdr. Bunun do ru olmas için gerek ve yeter ko³ul, H grubunun geçi³ken olarak etki etmesidir. Permütasyonlar Hesaplamak 5
6 Bir Riemann yüzeyinin yap³trma verisini tanmlayan σ ν permütasyonlarn belirlemek ortaya iki problem çkarr. Birincisi yerel problem. Her çatal noktas p de, bu noktann etrafna bir daire çizildi inde olu³an, yapraklarn σ permütasyonunu belirlemeliyiz. Gördü ümüz gibi, σ, yapraklarn numaralandrlmasna dayanr. kincisi, yapraklar, her çatal noktas için oldu u biçimde numaralandrd mza emin olmalyz. Yerel problem çözülebilir, fakat karma³k durumlarda sayy elle kontrol etmek zordur. Ku³kusuz, bilgisayarla bir problem olmayacaktr. Bilgisayarn yapt ³udur. Kesik düzlem T içinde, bir b taban noktas seçer ve f(b, x) polinomunun n farkl kökünü uygun bir kesinlikle nümerik olarak hesaplar. Bu kökleri rasgele bir biçimde, diyelim γ 1,..., γ n olarak numaralandrr ve γ i kökünü kapsayan yapra S i olarak adlandrarak, yapraklar etiketlendirir. Daha sonra, bir çatal noktas olan p ν noktasnn yaknndaki b ν noktasna, kesiklerden geçmemeye özen göstererek gider. γ i kökleri sürekli olarak de i³ir ve bilgisayar, bu de i³imi her küçük admda yeniden kök hesaplayarak takip edebilir. Bu, ona b ν noktasndaki yapraklar nasl etiketlendirece ini söyler. Daha sonra, σ ν permütasyonunu belirlemek için, bilgisayar p ν etrafnda saatin ters yönünde bir yol takip eder ve yol boyunca kökleri yeniden hesaplar. Yol, C ν kesi inden geçti inden, b ν noktasna geri döndü ünde, köklere σ ν permütasyonu etki edecektir. Söylemek gereksiz, bunu elle yapmak inanlmaz zordur. Daha sonra sunaca mz örneklerde bunun üstesinden gelmenin yollarn bulaca z. Yerel problemin, tam olmayan bir analizini verelim. Yöntemimiz, Riemann yüzeyini, bildi imiz bir ba³kas ile, bir ba³ka deyi³le y k t polinomunun Y Riemann yüzeyi ile ili³kilendirerek permütasyonu belirlemektir. Bu, T nin sadece orijinde çatall olan bir k-yaprakl örtüsüdür ve yapraklarn uygun bir numaralandrlmas ile permütasyon çevrimsel olacaktr. Bunu görmek için, T deki orijin etrafndaki bir çembersel yolu t = re iθ olarak parametrize edelim. y k = t oldu undan, Y nin bu yol üzerinde yatan ksmn ρ k = r ve kη = θ olmak üzere y = ρe iη biçiminde parametrize edebiliriz. Daha sonra, e er t = r, y = ρ noktasndan ba³larsak, η nn de eri 0 dan 2π ye de i³ti inde T deki çembersel bölge orijinin etrafnda k kez döner. Bu, yapraklarn permütasyonunun çevrimsel oldu unu gösterir. Bir Riemann yüzeyinin, Puiseux serisi olarak bilinen, t nin kesirli üslerine ba l bir kuvvet serisi tarafndan yerel olarak parametrize edildi i bilinmektedir. Bu seriler oldukça karma³kla³abilir. Bu nedenle, sk sk kullanlan bir özel durum ile yetinece iz. f(t, x) = 0 ile verilen Riemann yüzeyi X, ve X in bir çatal noktas t 0 olsun. t = t 0 yerine koydu umuzda, tek de i³kenli bir f 0 (x) = f(t 0, x) elde ederiz. Önerme 11. Yukardaki gösterimle, x 0 f 0 (x) polinomunun bir kökü olsun. x 0 n f 0 (x) in k-katl bir kökü oldu unu, ksmi türevinin (t 0, x 0 ) noktasnda 0 olmad n f varsayalm. Bu durumda, t 0 noktasndaki yapraklarn permütasyonu bir k-çevrimdir. Kant. (t 0, x 0 ) noktasn orijine ta³mak için de i³kenleri de i³tiririz ve 6
7 (12) f(t, x) = a ij t i x j yazarz. Birinci madde, a 0j katsaylarnn j < k için 0 ve a 0k 0 oldu unu söyler. kinci madde, a 10 0 oldu unu söyler. Dolaysyla, u(0) 0 ve v(0, 0) 0 olmak üzere f polinomu (13) f(t, x) = x k u(x) tv(t, x) biçimde yazlr. Herhangi bir s karma³k says için, (1 + z) s terimi ( ( s s (14) (1 + z) s = 1 + z + z 1) 2) z < 1 için yaknsayan bir binom serisi açlmna sahiptir. Burada, (15) ( s k) = s(s 1) (s k+1) k(k 1) 1 dir. ϕ(t, x) = u v olsun. ϕ(0, 0) 0 oldu undan, uygun bir c skaleri ve z = z(t, x) fonksiyonu için ϕ = c(1+z)ϕ yazabiliriz. Daha sonra, s = 1 k ve ψ(t, x) = ϕ(t, x)s olmak üzere, (16) x k ψ k = t e³itli i yazlabilir. Birimin kökü ile ilgili bir belirsizlik olsa da, kökleri uygun bir biçimde seçerek ve y k = t e³itli ini de kullanarak, y = xψ(t, x) elde ederiz. Bu e³itlik Y Riemann yüzeyinden X e bir yerel izomorzm tanmlar. Örnek 17. f(t, x) = x 2 t 3 + t ve f x = 2x dir. Bu nedenle, X iki yaprakl bir örtüdür. Üç tane çatal noktas vardr, t = 0, t = 1 ve t = 1. Ayrca, f = 3t2 + 1 oldu undan, tüm çatal noktalarnda Önerme 11 kullanlabilir. Dolaysyla, bu noktalarn her birindeki yapraklarn permütasyonu ( 1 2) transpozisyonudur. Bu durumda, yapraklarn numaralandrlmas konusunda dikkatli olmamza gerek yoktur, çünkü yer de i³tirmek transpozisyonu de i³tirmeyecektir. Örnek 18. f(t, x) = x 3 3x + t ve f x = 3x2 3 dür. Burada X üç yaprakl bir örtüdür. Çatal noktalar p 1 : t = 2 ve p 2 : t = 1 dir. f = 1 oldu undan, yine Önerme 13 kullanlabilir. p 1 noktasndaki σ 1 permütasyonunu belirlemek için, f polinomunda t = 2 yerle³tirerek x 3 3x+2 = (x 1) 2 (x 2) elde ederiz. (2, 1) noktasnda çift kat kök vardr. f hiçbir yerde 0 olmad ndan, σ 1 permütasyonu 2-çevrim içerir ve üç indeksin bir permütasyonu oldu undan bir transpozisyondur. Benzer biçimde, σ 2 de bir transpozisyondur. 7
8 Yapraklar σ 1 =(1 2) olacak biçimde numaralandrabiliriz. X yol ba lantl oldu undan, σ 1 ve σ 2 bir geçi³ken permütasyonlar grubu üretir. Dolaysyla, σ 2 (2 3) veya (1 3) olmaldr. S 1 ve S 2 olarak adlandrlan yapraklar de i³tirmek σ 1 permütasyonunu etkilemeyecek, fakat di er iki transpozisyonun yerlerini de i³tirecektir. Bu nedenle uygun bir numaralandrmayla, σ 1 = (1 2) ve σ 2 = (2 3) elde ederiz. Örnek 19. f(t, x) = x 3 t(t 1) 2 ve f x = 3x2 dir. X yine üç yaprakl bir örtüdür. Çatal noktalar t = 0 ve 1 dir. f(0, x) ve f(1, x) in ikisinin de üç katl kökleri vardr. f = 3t2 4t + 1 ksmi türevi t = 0'da 0 de ildir, bu nedenle bu noktada yapraklarn permütasonu çevrimseldir. Uygun bir numaralandrmayla, σ 0 olarak adlandraca mz t = 0 noktasndaki permütasyon (1 2 3) olacaktr. Fakat, t = 1 noktasnda problemler vardr. Öncelikle, f ksmi türevi t = 1 noktasnda sfrdr. Ayrca, ikinci noktadaki yapraklarn numaralandrlmasn nasl kontrol edebiliriz? Bir önceki örnekte, permütasyonlar belirlemek için Riemann yüzeyinin yol ba lantl oldu unu bilmek yeterliydi. Bu bize burada bir bilgi vermez, çünkü σ 0 yapraklaran geçi³ken olarak etki eder. Sadece en basit durumlarda çal³an bir kri kullanalm. Fikir, geni³ bir Γ çemberi etrafnda yürüyerek elde etti imiz permütasyonu hesaplamaktr. Sayfa 521'deki ³ekile tekrar bakarsak, büyük bir çembersel yolun her kesikten bir kez geçece ini görürüz. C 1 kesi inin sa ndan ba³lad mz dü³ünürsek, yapraklara σ r σ 2 σ 1 çarpm permütasyonu etki edecektir. Elimizdeki durumda bu σ 1 σ 0 dr. Bu permütasyonu belirleyebilirsek, σ 0 bildi imizden, σ 1 i de elde edebilece iz. u = t 1 de i³ken de i³ikli ini yapalm. T düzleminin sonsuzdaki noktas u = 0 dr. 0 θ 2π ve r büyük olmak üzere t = re iθ yolu, oryantasyonun tersine çevrilmi³ olmas d³nda, etrafndaki küçük u = r 1 e iθ çembersel yolu ile ayndr. Yol, etrafnda, saatin ters yönünde bir çember çizer. Bu yön de i³ikli inin etkisi, σ 1 σ 0 permütasyonunu tersiyle de i³tirmektir: f(t, x) polinomunda t = u 1 yerle³tirelim: (20) f(u 1, x) = x 3 u 1 (u 1 1) 2 Payday temizlersek, (ux) 3 = (1 u) 2 elde ederiz. x = u 1 y yerle³tirirsek: (21) f(t 1, t 1 x) = h(u, y) = y 3 (1 u) 2. u, 0 ve dan farkl oldu unda, (t, x) = (u 1, u 1 y) nin tersi vardr. Dolaysyla, f = 0 ve h = 0 ile tanmlanan Riemann yüzeyleri izomorftur. u = 0 noktasnn üzerine bakarsak, h(0, y) nin üç kökü oldu unu görürüz: 1, ω, ω 2. Dolaysyla, bir çatal noktas de ildir. Bu (σ 1 σ0 1 ) = 1 oldu unu gösterir. σ 0 = (1 2 3) oldu undan, σ 1 = (3 2 1) dir. 8
18.702 Cebir II 2008 Bahar
MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.702 Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Detaylı(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]
Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu
Detaylıf 1 (H ) T f 1 (H ) = T
Bölüm 15 TIKIZLIK 15.1 TIKIZ UZAYLAR 15.1.1 Problemler 1. Her sonlu topolojik uzay tkzdr. 2. Ayrk bir topolojik uzayn tkz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul sonlu olmasdr. 3. Ayn bir küme üzerinde S T
DetaylıÇarpm ve Bölüm Uzaylar
1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b)
Detaylıf( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V
Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x
DetaylıS = {T Y, X S T T, S S} (9.1)
Bölüm 9 ÇARPIM UZAYLARI 9.1 ÇARPIM TOPOLOJ S Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpmnn da bo³ olmad n, Seçme Aksiyomu [13],[20], [8] ile kabul ediyoruz. imdi verilen aileye
Detaylı19.8. PROBLEMLER 0.1 PROBLEMLER 0.1. PROBLEMLER a herhangi bir nicelik says ise
0.1. PROBLEMLER 1 19.8. PROBLEMLER // 0.1 PROBLEMLER // 1. a herhangi bir nicelik says ise (i) a + 0 = a, a0 = 0, a 0 = 1 oldu unu gösteriniz. A³a daki kümelerin e³güçlülü ünden nicelik saylar için istenen
DetaylıA = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S}
Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.1. Bir S P(X) ailesi verilsin. S ye ait kümelerin her hangi bir bile³imine e³it olan bütün kümelerin olu³turdu u aileye S nin üretti i (do urdu u) aile
DetaylıTOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir?
1 TOPOLOGY TEST 02 1. S ailesi X kümesi üzerinde bir süzgeç ise, a³a dakilerden hangisi sa lanmaz? (a) / S (b) * S (c) X S (d) A, B S A B S (e) (V S ) (V W ) W S 2. A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alnan Puan
26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö
DetaylıTOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir?
1 TOPOLOJ TEST A 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme
DetaylıA = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A
Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha
DetaylıTOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?
1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)
DetaylıBÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.
BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini
DetaylıB A. A = B [(A B) (B A)] (2)
Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri
DetaylıTOPOLOJ SORULARI. Ksm I. 1 Topological Notions. 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz.
1 Ksm I TOPOLOJ SORULARI 1 Topological Notions 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz. 2. n Z olmak üzere (n, n + 1) aralklarnn bile³imi açktr. Gösteriniz. 3. {0} = ( 1 n, 1
Detaylı0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)
230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa,
DetaylıBÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi
BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2.
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alnan Puan
..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 0 0 0 5 0 0 0 0 00 Alnan Puan 04043006. CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu
DetaylıARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz.
MC 411/ANAL Z IV ARA SINAV II ÇÖZÜMLER 1 x k k N, R n içinde yaknsak iti x olan bir dizi olsun. {x} = {x m m k} k=1 Çözüm. Her k N için A k := {x m m k} olsun. x k k N dizisinin iti x oldu undan, A k =
DetaylıKsm I. Simgeler ve Terimler
Ksm I Simgeler ve Terimler 1 Bölüm 1 S MGELER ve TER MLER 1.1 KÜMELER CEB R 1.2 FONKS YON 1.3 DENKL K BA INTISI 1.4 SIRALAMA BA INTILARI 1.5 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU ve E DE ERLER 3 4 BÖLÜM 1. S
DetaylıXIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009
XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den
DetaylıMC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER
MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak
DetaylıANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER
ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER 1 TEMEL YÖNTEM VE DE KEN DE T RME Bir kapal aralkta tanmlanm³ olan f ve F fonksiyonlar için e er bu aralkta F () f() ko³ulu sa lanyorsa F fonksiyonu, f fonksiyonunun
DetaylıÇ NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49
Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l
Detaylındrgemel Dzler Ders Notlar
ndrgemel Dzler Ders Notlar c wwww.sbelian.wordpress.com Bu ders notunda diziler konusunun bir alt konusu olan First Order Recursions ve Second Order Recursions konular anlatlm³ ve bu konularla alakal örnekler
DetaylıSoyut Matematik Test A
1 Soyut Matematik Test A 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. Her hangi bir A kümeler ailesi üzerinde
DetaylıP = {x A (y A y x) f(y) x} (22.6) M p = {m A m p f(p) m} (22.8)
Bölüm 22 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU VE E DE ERLER 22.1 G R Bir X kümesi dü³ünelim. Bu küme ya bo³tur ya de ildir. De ilse, X kümesine ait bir ö e seçilebilir. imdi ba³ka bir Y kümesi daha dü³ünelim.
Detaylı(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x)
Bölüm 13 MATEMAT KSEL YAPILAR 13.1 YAPI KAVRAMI Ça da³ Matematik kümeleri, kümeler üzerindeki yaplar, yaplar arasndaki dönü³ümleri inceler. Buraya dek ö e, küme, i³lem, fonksiyon kavramlarn kullandk. Bunlar
DetaylıCEB RSEL TOPOLOJ. Ders Notlar
CEB RSEL TOPOLOJ Prof. Dr. smet KARACA Ders Notlar çindekiler 1 HOMEOMORF ZM 2 2 DENT F KASYON UZAYLAR 11 3 BÖLÜM UZAYLARI 17 4 HOMOTOP 24 5 TEMEL GRUPLAR 32 6 ÖRTÜLÜ UZAYLAR 37 7 ÇEMBER N TEMEL GRUBU
Detaylıx = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8)
Bölüm 8 DENKL K BA INTILARI 8.1 DENKL K BA INTISI 8.1.1 E³itlik Kavramnn Genelle³mesi Matematikte ve ba³ka bilim dallarnda, birbirlerine e³it olmayan, ama e³itli e benzer niteliklere sahip nesnelerle sk
DetaylıDO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1)
DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular 1 1) a n = (n + 1) n + n n + 1 olmak üzere, a 1 + a + a 3 +... + a 99 toplamn bulunuz. 9 evap: 10 a n = (n + 1) n n n + 1 n(n + 1) n (n + 1) oldu
DetaylıL SANS YERLE T RME SINAVI 1
LSANS YERLETRME SINAVI MATEMATK TEST SORU KTAPÇII 9 HAZRAN 00. ( )( + ) + ( )( ) = 0 eitliini salayan gerçel saylarnn toplam kaçtr?. ( )( ) < 0 eitsizliinin gerçel saylardaki çözüm kümesi aadaki açk aralklarn
Detaylıç- çe Tasarmlar Birdal eno lu ükrü Acta³ eno lu & Acta³ statistiksel Deney Tasarm Giri³ ki A³amal ç- çe Üç A³amal ç- çe l A³amal ç- çe
lar Birdal eno lu ükrü çindekiler 1 2 3 4 5 A³amal tasarmlar (hierarchical designs) olarak da bilinen iç-içe tasarmlarda (nested designs), ³u ana kadar gördü ümüz tasarmlardan farkl olarak iki veya ikiden
DetaylıSoyut Matematik Test B
1 Soyut Matematik Test B 1. Hangisi tümel (tam, linear) sralama ba ntsdr? (a) Yansmal, antisimetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (b) Yansmal, simetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (c) Yansmaz,
DetaylıPOL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
DetaylıIV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR
Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold
DetaylıIçindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt Fonksiyon 2 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 4 Fonksiyonun Gragi 7 Fonksiyon Çeşitleri 8 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25
DetaylıSOYUT CEB R DERS NOTLARI
SOYUT CEB R DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Mart 2013 e-posta: h_bilgic@yahoo.com çindekiler 1 Grup Tanm ve Temel
DetaylıSOYUT CEB R DERS NOTLARI
SOYUT CEB R DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü A ustos 2012 e-posta: h_bilgic@yahoo.com çindekiler 1 Grup Tanm ve Temel
DetaylıBir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm)
Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm) Birdal eno lu ükrü Acta³ çindekiler 1 Giri³ Giri³ 2 3 4 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri 5 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m
DetaylıA = {x Φ(x) p(x)} = {x (x E φ ) p(x)}
Bölüm 3 KÜME KAVRAMI Okuma Parças Bu derste, Kümeler Kuramn belitsel (aksiyomatik) incelemeyi amaçlamyoruz. Burada, küme kavramn, sezgiye dayal olarak belirli nesnelerin bir toplulu u diye tanmlayacak
Detaylı6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıSOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç
SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Eylül 2010 çindekiler 1 Önermeler ve spat Yöntemleri 1 2 Kümeler 13
DetaylıCHAPTER 1. Vektörler
iv CHAPTER 1 Vektörler Vektör kavram, ziksel kavram olarak ortaya çkm³ olsa da matematiksel sistemlerin temel kavram olmu³tur. Gerçekten vektör kavramn geli³imi matematikçilerden çok zikçiler ve kimyaclar
Detaylıiv ÇINDEKILER 4 Açk Önermeler ÖNERME FONKS YONLARI Evrensel Belirteç Varlk Belirtec
çindekiler Önsöz................................. ix 1 MANTIK ve MATEMAT K 1 1.1 ÇA LARI A AN MATEMAT K.................. 1 1.1.1 Mantk tarihine ksa bir bak³................ 1 1.1.2 Matematiksel Mantk....................
DetaylıDo al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
Detaylıkili ve Çoklu Kar³la³trmalar
kili ve Çoklu Kar³la³trmalar Birdal eno lu ükrü Acta³ çindekiler 1 Giri³ 2 3 4 5 6 7 Bu bölümde, (2.1) modelinde, H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a = µ (1) ³eklinde ifade edilen sfr hipotezinin reddedilmesi durumunda,
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
Detaylı2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DetaylıKOMB NATOR K TOPOLOJ L SANS DERS NOTLARI Prof. Dr. smet KARACA
KOMB NATOR K TOPOLOJ L SANS DERS NOTLARI 2010 Prof. Dr. smet KARACA çindekiler 1 S MPLEKSLER 3 1.1 Ane Uzaylar........................... 3 1.2 Simpleksler Kompleksi...................... 12 2 HOMOTOP
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıTürevlenebilir Manifoldlara Giri³
Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Yldray Ozan Orta Do u Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü 7 Temmuz 2016 Sevgili anne ve babamn hatrasna Duydu umu unuturum. Gördü ümü hatrlarm. Yapt m anlarm. -Konfüçyüs
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
DetaylıBu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıSoyut Matematik Test 01
1 Soyut Matematik Test 01 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. A³a dakilerden hangisi do rudur?
DetaylıTürevlenebilir Manifoldlara Giri³
Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Yldray Ozan Orta Do u Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü 2 Temmuz 2015 Sevgili anne ve babamn hatrasna Duydu umu unuturum. Gördü ümü hatrlarm. Yapt m anlarm. -Konfüçyüs
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıGalois Teorisi. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Galois Teorisi David Pierce 6 Temmuz 2018 Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlar, bir lisans Galois kuramı dersinin asgari içeriği teklifidir. Her kanıtlanmamış teoremi kanıtlamak
DetaylıPolinomlar. Polinom Kavram
1 2 Bölüm 1 Polinomlar Polinom Kavram Polinomlar, yalnz Matematikte de il, ba³ka bilim dallarnda da kar- ³la³lan bir çok problemin çözümünde etkili bir araçtr. Polinom kavram, farkl soyut biçimleriyle
DetaylıE³tszlkler Ders Notlar-I
E³tszlkler Ders Notlar-I wwww.sbelia.wordpress.com E³itsizlikleri çözerke sklkla saylar ve matematiksel ifadeleri kar³la³trrz. Yada bize verile bir matematiksel ifadei e büyük yada e küçük de erii bulmaya
Detaylı1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;
DetaylıAlıştırmalara yanıtlar
Alıştırmalara yanıtlar Alıştırma 7. Derste tanımlanan yama kürenin yalnızca {z S 2 : z > 0} kısmını parametrize etmekte. Yapmamız gereken şey bütün küreyi böyle yamalarla örtmek. Önce ϕ : D 2 S 2, (x 1,
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
Detaylı3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar
3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:
DetaylıII. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI
Bölüm II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bu kesimde R 3 e ri kavram tanmlanacak ve geometrik özellikleri tart³lacaktr.. D FERENS YELLENEB L R E R VE PARAMETR K TEMS L I notasyonu ile R nin a
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıMATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
MTEMTİ TESTİ (Mat ). u testte srasyla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için ayrlan ksmna işaretleyiniz.. armaşk saylar kümesi üzerinde işlemi,
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıkavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir grup üzerinde tanımlı
Bölüm 5 Permütasyon Grupları Bu bölümde sonlu bir kümenin permütasyonlarını araştıracağız. Öncelikle permütasyon kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir rup üzerinde tanımlı eşlenik
DetaylıBİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM
ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)
TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıNormal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41
DetaylıSORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
DetaylıCEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Yıldıray ÇELİK
CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Yıldıray ÇELİK Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü çindekiler 1 Gruplar Teorisi 1 2 Altgruplar, Kosetler ve Lagrange Teoremi 15 3 Normal Altgruplar
DetaylıSOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.
SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
Detaylıİçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir.
2. Niceleme Mantığı (Yüklemler Mantığı) Önermeler mantığı önermeleri nitelik yönünden ele aldığı için önermelerin niceliğini göstermede yetersizdir. Örneğin, "Bazı hayvanlar dört ayaklıdır." ve "Bütün
DetaylıIçindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt 11 Fonksiyon 12 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 14 Fonksiyonun Gragi 17 Fonksiyon Çeşitleri 18 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
DetaylıLecture 2. Mahir Bilen Can. Mayıs 10, 2016
Lecture 2 Mahir Bilen Can Mayıs 10, 2016 1 Klasik Lie Cebirleri Klasik Lie cebirlerinin hepsi içinde son derece büyük öneme sahip dört sonsuz aile vardır. Bunlar A, B, C, D harfleri ile indekslenmekte
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıModül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50
Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli
DetaylıANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ DUAL DÖNÜŞÜMLER VE GEOMETRĐK UYGULAMALARI. Gülsüm BĐÇER MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI
ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ DUAL DÖNÜŞÜMLER VE GEOMETRĐK UYGULAMALARI Gülsüm BĐÇER MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ANKARA 011 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi DUAL
DetaylıDOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.
MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin
DetaylıÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ. Nazl DO AN
STANBUL KÜLTÜR ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ Nazl DO AN 1109041005 Anabilim Dal: Matematik-Bilgisayar Program:
DetaylıÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?
1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi
DetaylıSezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar
Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıTANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,
MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
Detaylı