Cebir II 2008 Bahar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cebir II 2008 Bahar"

Transkript

1 MIT Açk Ders Malzemeleri Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için ve sitelerini ziyaret ediniz. 1

2 FONKS YON C S MLER Karma³k t-düzlemini T, ve t ye ba l rasyonel fonksiyonlar cismi C(t) yi F ile gösterelim. F nin elemanlar, p ile q karma³k polinomlar ve q 0 olmak üzere p(t)/q(t) kesirleridir. Fonksiyon cisimleri, F nin sonlu cisim geni³lemeleridir. K, F = C(t) üzerinde derecesi n olan bir fonksiyon cismi ve α bu geni³lemenin ilkel eleman olsun. f, K = F (α) ile F [x]/(f) izomorf olacak biçimde, α için F üzerindeki indirgenemez polinom olsun. Katsaylardaki paydalar temizleyerek, f yi C[t, x] içinde bir indirgemez polinoma dönü³türüp (2) f(t, x) = a n (t)x n + a n 1 x n a 1 (t)x + a 0 (t), biçiminde yazarz. Burada t ye ba l a i (t) polinomlarnn ortak böleni 1 dir. f polinomunun α ilkel elemannn seçimine ba l oldu unu hatrlamak önemlidir. Bir f(t, x) polinomunun Riemann yüzeyi X, karma³k (t, x)-uzay C 2 içinde f nin sfrlarnn olu³turdu u geometrik yerdir. x e ba l derecesi n olan bir f(t, x) polinomunun Riemann yüzeyi T nin bir n-yaprakl çatall örtüsüdür. Çatal noktalar, üzerinde X in n den az noktas olan t = t 0 noktalardr. Bunlar, f ile f x in ortak çözümünün oldu u noktalardr. Esas olarak, Riemann yüzeyleri hakknda söyledi imiz her ³ey, sonlu sayda noktann d³nda geçerlidir. Dolaysyla, ³u gösterimi kullanrz: X sonsuz bir kümeyse, X, özellikle belirtilmemi³ bir sonlu altkümesinin X den çkarlmas ile elde edilen kümeyi gösterir: (1) X = X (de i³ken sonlu küme). lerlerken, a³a daki basit örnek hep elimizde olacak, (3) f(t, x) = x 2 t. Bu polinomun Riemann yüzeyi sayfa 518'de çizilmi³tir. K ve L cisim geni³lemelerinin izomorzmi, F üzerinde birim fonksiyon olan ϕ : K L cisimlerinin cisim izomorzmidir. T nin çatall örtülerinin X Y izomorzmi, bu yüzeylerin T ye izdü³ümleri ile uyumlu olan sürekli, bire-bir ve örten θ : X Y fonksiyonlardr. Buradaki üsler, θ fonksiyonunun tanml olmas için X ve Y den çkarmay bekledi imiz sonlu saydaki noktaya i³aret etmektedir. Gev³ek bir biçimde ifade edecek olursak, e er S yol ba lantlysa, bir π : S T çatall örtüsünü de yol ba lantl olarak adlandrrz. Bu, S nin yeterince büyük her sonlu altkümesi için, S kümesinin yol ba lantl olmas demektir. Sradaki teorem F nin cisim geni³lemelerini tanmlar. Bu teoremin kant, ne yazk ki burada sunmak için çok uzundur. Teorem 4. [Riemann Varlk Teoremi] (a) f(t, x) indirgenemez bir polinom olsun. f nin Riemann yüzeyi, T nin bir yol ba lantl çatall örtüsüdür. 2

3 (b) S, T nin bir yol ba lantl çatall örtüsü olsun. Riemann yüzeyi S ye izomorf olan indirgenemez bir f(t, x) polinomu vardr. (c) f(t, x) ile g(t, x) indirgenemez polinomlar, K ile L bunlarn tanmlad cisim geni³lemeleri ve X ile Y yine bunlarn tanmlad Riemann yüzeyleri olsun. K ve L nin, F nin izomorf cisim geni³lemeleri olmas için gerek ve yeter ko³ul X ve Y nin, T nin izomorf çatall örtüleri olmasdr. Bu teorem, iki polinomum tanmlad cisim geni³lemelerinin izomorf olup olmadklarna karar vermeyi sa layan bir yöntem sunar. Sk sk kullanlabilecek basit bir kriter, çatal noktalarnn çak³mas gerekti idir. Ancak, T nin bir S çatall örtülüsü verilirse, Riemann yüzeyi S olan bir polinom bulmak zor olabilir. Bir çok polinom izomorf cisim geni³lemeleri tanmlar, fakat beklenenin aksine, bir çok seçenek oldu unda bunlardan birini bulmak genellikle daha zorla³r. (c) seçene inin bir ksmn göstermek görece daha kolaydr: Önerme 5. f(t, x) ile g(t, y) indirgenemez polinomlar, ve X ile Y, K = F [x]/(f) ile K = F [y]/(g) cisim geni³lemelerine kar³lk gelen Riemann yüzeyleri olsun. Cisim geni³lemelerinin bir ϕ : K L izomorzmi, Riemann yüzeylerinin θ : X Y izomorzmini tetikler. Proof. t de i³kenini geçici olarak dü³ürelim ve f(t, x) yerine f(x), vb. yazalm. ϕ izomorzmi, g(y) nin K içinde, bir b(x) polinomunun modulo (f) kalan olarak gösterilebilecek bir β kökünü verir. θ : X Y fonksiyonu, θ(t, x) = (t, b(x)) biçiminde tanmlanr. g(β) = 0 oldu undan, g(b(x)) eleman F [x] nin (f) ideali içerisindedir. Dolaysyla, g(b(x)) = h(x)f(x) e³itli ini sa layan bir h(x) polinomu vardr. t de i³kenini gösterimde tekrar yerine koyarsak, (6) g(t, b(x, t)) = h(t, x)f(t, x) elde ederiz. (t, x), X in bir noktasysa, f(t, x) = 0 ve g(t, b(t, x)) = h(t, x)f(t, x) = 0 olur, ve bu nedenle θ(t, x), Y nin bir noktas olur. K ve L nin rolleri de i³tirilerek ters fonksiyon elde edilir. b(x) ve h(x) katsaylar F den polinomlar oldu undan, paydalarda t ye ba l polinomlar yer alabilir. Bu nedenle, θ baz noktalarda tanmsz olabilir. Kes ve Yap³tr Kes ve Yap³tr bir çatall örtüyü in³a etmek veya bozmak için kullanlan bir yöntemdir. x 2 t polinomunun Riemann yüzeyi olan X örne imize geri dönelim. X i, sayfa 518'deki ³eklin iki katl yeri olan negatif gerçel eksen boyunca açarsak, bir parças re x > 0 ve di er parças re x < 0 olan iki parçaya ayrlr. Kesti imiz yer boyunca ne oldu unu ihmal edersek, bu parçalardan her birinin t-düzlemi T ye bijektif izdü³ümleri vardr. 3

4 Bu prosedürü tersine çevirerek, X e izomorf bir çatall örtüyü ³u ³ekilde olu³turabiliriz: T nin üzerine karma³k düzlemin iki kopyas olan S 1 ve S 2 yi yerle³tirelim ve negatif gerçel eksen olan (, 0] boyunca bunlar keselim. T nin bu kopyalar, yaprak lar olarak adlandrlacak. Daha sonra, S 1 in A yönünü, S 2 nin B yönüne ve ayn biçimde B Yönünü A Yönüne yap³tralm (Sayfa 520'deki ³ekle baknz). Bu yap³trmay, yüzeyin kendisini kesmesine izin vermeden yapabilmek için dört boyuta ihtiyaç duyarz. n-yaprakl bir S T çatall örtüsünün verildi ini varsayalm, ve p 1,..., p k T deki çatal noktalarnn kümesi olsun. ν = 1,..., k için p ν noktasndan sonsuza giden birbirleriyle kesi³meyen C ν yar do rular seçeriz. T yi C ν yar do rular boyunca ve S yi de bu yar do rularn üzerinde yer alan tüm noktalarda keserek açk hale getiririz (sayfa 521'e baknz). Keserek açk hale getirmek ile neyi kastetti imizi daha belirginle³tirmeliyiz. T yi keserek açk hale getirmekle, C ν yar do rular üzerindeki p ν de dahil tüm noktalar ve S yi keserek açk hale getirmekle ise bu yar do rular üzerindeki tüm noktalar çkartt mz konusunda anla³alm. Lemma 7. S, C ν yar do rular üzerinde kesilerek açk hale getirildi inde, her birinin izdü³ümü, kesilmi³ T düzlemine bijektif olan n tane rasgele numaralandrlm³ S 1,..., S n yapra nn birle³imi olacak biçimde bile³enlerine ayrlr. Bu do rudur, çünkü birincisi, kesilmi³ yüzey S, kesilmi³ yüzey T nin çatall olmayan bir örtü uzaydr ve ikincisi, T deki yar do rularn tümleyeni basit ba lantl bir kümedir. Basit ba lantl bir kümenin çatall olmayan örtüsünün bile³enlerine ayrlmas sezgisel olarak akla yakn gelir. Bir p noktasn kapsayan yaprak, kesik ksmlar üzerinden geçmeyen bir yol üzerinden p ile birle³tirilebilen bütün noktalar kapsar. Bunun kant, [Munkres, Topoloji sayfa 342, Al³trma 8] içinde al³trma olarak verilmi³tir. imdi, S yüzeyini yeniden olu³turmak için kesilmi³ T düzleminin n kopyasn alalm, bunlar yaprak olarak adlandrp S 1,..., S n olarak etiketleyelim. Bunlar T üzerine yerle³tirelim. Kesikler d³nda, bu yapraklarn birle³imi çatall örtümüzdür ve S yi yeniden olu³turmak amacyla yapraklar kesikler boyunca yap³trmak için bir kural tanmlamalyz. T üzerinde p ν noktasnn etrafna saatin ters yönünde bir daire çizeriz (sayfa 521'e baknz) ve C ν yar do rusunun C ν yü kesmeden önce geçti imiz yönünü yön A ve kestikten sonra geçti imiz yönünü yön B olarak adlandrrz. Benzer biçimde bir S i yapra üzerinde bunlara kar³lk gelen yönleri srasyla A i ve B j olarak adlandrrz. O zaman, S için yap³trma kural, A i nin, bir j için B j ile yap³trlmas anlamna geliyor. Bu kural, 1,..., n indekslerinin i yi j ye gönderen σ ν permütasyonu ile tanmlanr. Rasgele σ ν permütasyonlarn kullanarak bir örtü in³a edebilece imiz oldukça açktr. Sadece, çatal noktalarnn kendisinde ne olaca açk de ildir. Belirsizli i ortadan kaldrmak için, çatal noktalarn ve bunlarn üzerinde yatan noktalar ihmal ederiz. Çatallanma Verisi. ν = 1,..., k için 1,..., n indekslerinin bir σ ν permütasyonu. 4

5 Yap³trma Açklamalar. σ ν (i) = j ise, C ν boyunca A i yönünü B j yönü ile yap³trnz. Yap³trma tamamland nda kesik yer kalmaz ve yapraklarn birle³imi bir örtü verir. Sayfa 518'de gösterilen Riemann yüzeyi için oldu u gibi, elde edilen, kendisini kesmeyen yüzeyin gömülmesi için de dört boyuta ihtiyaç vardr. E er σ ν permütasyonu birim permütasyonsa, her yapra n C ν boyunca kendisine yap³trld n belirtelim. Bu durumda, p ν noktasnn gerçek bir çatal noktas olmad n söyleriz. Sradaki sonuç tart³may özetlemektedir: Sonuç 8. Her n-yaprakl S T çatall örtüsü, kes ve yap³tr i³lemi ile in³a edilmi³ olanlardan birine izomorftur. Yapraklarn numaralandrlmasnn rasgele oldu unu ve Riemann yüzeyi için en üst yaprak gibi bir kavramn içsel bir anlam olmad n belirtmek önemlidir. E er bir en üst yüzey olsayd, x fonksiyonunu, bu yapraktaki de erini seçerek tek de erli bir fonksiyon olarak tanmlayabilirdik. Bu ancak Riemann yüzeyi kesilerek açk hale getirildikten sonra yaplabilir. Esas nokta budur: Yüzey üzerinde dola³mak bizi bir yapraktan bir yapra a sürükler. Yapraklarn rasgele numaralandrlmasnn d³nda, σ ν permütasyonlar S örtüsü tarafndan biricik olacak biçimde belirlenir. Numaralandrmann bir ρ permütasyonu ile de i³tirilmesi, her σ ν permütasyonunu ρσ ν ρ 1 e³leni i ile de i³tirecektir. Sonuç 9. Kes ve yap³tr i³lemi ile, ayn p ν noktalar ve C ν yar do rular kullanlarak in³a edilmi³ çatall örtüler X ve Y olsun. Yap³trma verisi ile tanmlanan permütasyonlar, srasyla σ ν ve τ ν olsun. X ve Y nin izomorf çatall örtüler olmas için gerek ve yeter ko³ul, her ν için τ ν = ρσ ν ρ 1 e³itli ini sa layan bir ρ permütasyonunun olmasdr. Önerme 10. Kes ve yap³tr ile in³a edilmi³ S çatall örtüsünün yol ba lantl olmas için gerek ve yeter ko³ul, σ 1,..., σ k permütasyonlarnn, yapraklar kümesine geçi³ken olarak etki eden, simetrik grubun bir H altgrubunu üretmesidir. Kant. Her S i yapra yol ba lantldr. σ ν permütasyonlarndan biri i indeksini j ye gönderiyorsa, S i ve S j yapraklar C ν boyunca yap³trlr. Bu durumda, S i nin bir noktasndan S j nin bir noktasna kesik üzerinden giden ksa bir yol olacaktr. Yapraklarn kendileri yol ba lantl oldu undan, S i ile S j nin herhangi iki noktas bir yolla birle³tirilebilir. Dolaysyla, S nin yol ba lantl olmas için gerek ve yeter ko³ul, her i, j indeks çifti için, i = i 0 i 1... i r = j ko³ulunu sa layan bir σ ν permütasyonlar dizisinin olmasdr. Bunun do ru olmas için gerek ve yeter ko³ul, H grubunun geçi³ken olarak etki etmesidir. Permütasyonlar Hesaplamak 5

6 Bir Riemann yüzeyinin yap³trma verisini tanmlayan σ ν permütasyonlarn belirlemek ortaya iki problem çkarr. Birincisi yerel problem. Her çatal noktas p de, bu noktann etrafna bir daire çizildi inde olu³an, yapraklarn σ permütasyonunu belirlemeliyiz. Gördü ümüz gibi, σ, yapraklarn numaralandrlmasna dayanr. kincisi, yapraklar, her çatal noktas için oldu u biçimde numaralandrd mza emin olmalyz. Yerel problem çözülebilir, fakat karma³k durumlarda sayy elle kontrol etmek zordur. Ku³kusuz, bilgisayarla bir problem olmayacaktr. Bilgisayarn yapt ³udur. Kesik düzlem T içinde, bir b taban noktas seçer ve f(b, x) polinomunun n farkl kökünü uygun bir kesinlikle nümerik olarak hesaplar. Bu kökleri rasgele bir biçimde, diyelim γ 1,..., γ n olarak numaralandrr ve γ i kökünü kapsayan yapra S i olarak adlandrarak, yapraklar etiketlendirir. Daha sonra, bir çatal noktas olan p ν noktasnn yaknndaki b ν noktasna, kesiklerden geçmemeye özen göstererek gider. γ i kökleri sürekli olarak de i³ir ve bilgisayar, bu de i³imi her küçük admda yeniden kök hesaplayarak takip edebilir. Bu, ona b ν noktasndaki yapraklar nasl etiketlendirece ini söyler. Daha sonra, σ ν permütasyonunu belirlemek için, bilgisayar p ν etrafnda saatin ters yönünde bir yol takip eder ve yol boyunca kökleri yeniden hesaplar. Yol, C ν kesi inden geçti inden, b ν noktasna geri döndü ünde, köklere σ ν permütasyonu etki edecektir. Söylemek gereksiz, bunu elle yapmak inanlmaz zordur. Daha sonra sunaca mz örneklerde bunun üstesinden gelmenin yollarn bulaca z. Yerel problemin, tam olmayan bir analizini verelim. Yöntemimiz, Riemann yüzeyini, bildi imiz bir ba³kas ile, bir ba³ka deyi³le y k t polinomunun Y Riemann yüzeyi ile ili³kilendirerek permütasyonu belirlemektir. Bu, T nin sadece orijinde çatall olan bir k-yaprakl örtüsüdür ve yapraklarn uygun bir numaralandrlmas ile permütasyon çevrimsel olacaktr. Bunu görmek için, T deki orijin etrafndaki bir çembersel yolu t = re iθ olarak parametrize edelim. y k = t oldu undan, Y nin bu yol üzerinde yatan ksmn ρ k = r ve kη = θ olmak üzere y = ρe iη biçiminde parametrize edebiliriz. Daha sonra, e er t = r, y = ρ noktasndan ba³larsak, η nn de eri 0 dan 2π ye de i³ti inde T deki çembersel bölge orijinin etrafnda k kez döner. Bu, yapraklarn permütasyonunun çevrimsel oldu unu gösterir. Bir Riemann yüzeyinin, Puiseux serisi olarak bilinen, t nin kesirli üslerine ba l bir kuvvet serisi tarafndan yerel olarak parametrize edildi i bilinmektedir. Bu seriler oldukça karma³kla³abilir. Bu nedenle, sk sk kullanlan bir özel durum ile yetinece iz. f(t, x) = 0 ile verilen Riemann yüzeyi X, ve X in bir çatal noktas t 0 olsun. t = t 0 yerine koydu umuzda, tek de i³kenli bir f 0 (x) = f(t 0, x) elde ederiz. Önerme 11. Yukardaki gösterimle, x 0 f 0 (x) polinomunun bir kökü olsun. x 0 n f 0 (x) in k-katl bir kökü oldu unu, ksmi türevinin (t 0, x 0 ) noktasnda 0 olmad n f varsayalm. Bu durumda, t 0 noktasndaki yapraklarn permütasyonu bir k-çevrimdir. Kant. (t 0, x 0 ) noktasn orijine ta³mak için de i³kenleri de i³tiririz ve 6

7 (12) f(t, x) = a ij t i x j yazarz. Birinci madde, a 0j katsaylarnn j < k için 0 ve a 0k 0 oldu unu söyler. kinci madde, a 10 0 oldu unu söyler. Dolaysyla, u(0) 0 ve v(0, 0) 0 olmak üzere f polinomu (13) f(t, x) = x k u(x) tv(t, x) biçimde yazlr. Herhangi bir s karma³k says için, (1 + z) s terimi ( ( s s (14) (1 + z) s = 1 + z + z 1) 2) z < 1 için yaknsayan bir binom serisi açlmna sahiptir. Burada, (15) ( s k) = s(s 1) (s k+1) k(k 1) 1 dir. ϕ(t, x) = u v olsun. ϕ(0, 0) 0 oldu undan, uygun bir c skaleri ve z = z(t, x) fonksiyonu için ϕ = c(1+z)ϕ yazabiliriz. Daha sonra, s = 1 k ve ψ(t, x) = ϕ(t, x)s olmak üzere, (16) x k ψ k = t e³itli i yazlabilir. Birimin kökü ile ilgili bir belirsizlik olsa da, kökleri uygun bir biçimde seçerek ve y k = t e³itli ini de kullanarak, y = xψ(t, x) elde ederiz. Bu e³itlik Y Riemann yüzeyinden X e bir yerel izomorzm tanmlar. Örnek 17. f(t, x) = x 2 t 3 + t ve f x = 2x dir. Bu nedenle, X iki yaprakl bir örtüdür. Üç tane çatal noktas vardr, t = 0, t = 1 ve t = 1. Ayrca, f = 3t2 + 1 oldu undan, tüm çatal noktalarnda Önerme 11 kullanlabilir. Dolaysyla, bu noktalarn her birindeki yapraklarn permütasyonu ( 1 2) transpozisyonudur. Bu durumda, yapraklarn numaralandrlmas konusunda dikkatli olmamza gerek yoktur, çünkü yer de i³tirmek transpozisyonu de i³tirmeyecektir. Örnek 18. f(t, x) = x 3 3x + t ve f x = 3x2 3 dür. Burada X üç yaprakl bir örtüdür. Çatal noktalar p 1 : t = 2 ve p 2 : t = 1 dir. f = 1 oldu undan, yine Önerme 13 kullanlabilir. p 1 noktasndaki σ 1 permütasyonunu belirlemek için, f polinomunda t = 2 yerle³tirerek x 3 3x+2 = (x 1) 2 (x 2) elde ederiz. (2, 1) noktasnda çift kat kök vardr. f hiçbir yerde 0 olmad ndan, σ 1 permütasyonu 2-çevrim içerir ve üç indeksin bir permütasyonu oldu undan bir transpozisyondur. Benzer biçimde, σ 2 de bir transpozisyondur. 7

8 Yapraklar σ 1 =(1 2) olacak biçimde numaralandrabiliriz. X yol ba lantl oldu undan, σ 1 ve σ 2 bir geçi³ken permütasyonlar grubu üretir. Dolaysyla, σ 2 (2 3) veya (1 3) olmaldr. S 1 ve S 2 olarak adlandrlan yapraklar de i³tirmek σ 1 permütasyonunu etkilemeyecek, fakat di er iki transpozisyonun yerlerini de i³tirecektir. Bu nedenle uygun bir numaralandrmayla, σ 1 = (1 2) ve σ 2 = (2 3) elde ederiz. Örnek 19. f(t, x) = x 3 t(t 1) 2 ve f x = 3x2 dir. X yine üç yaprakl bir örtüdür. Çatal noktalar t = 0 ve 1 dir. f(0, x) ve f(1, x) in ikisinin de üç katl kökleri vardr. f = 3t2 4t + 1 ksmi türevi t = 0'da 0 de ildir, bu nedenle bu noktada yapraklarn permütasonu çevrimseldir. Uygun bir numaralandrmayla, σ 0 olarak adlandraca mz t = 0 noktasndaki permütasyon (1 2 3) olacaktr. Fakat, t = 1 noktasnda problemler vardr. Öncelikle, f ksmi türevi t = 1 noktasnda sfrdr. Ayrca, ikinci noktadaki yapraklarn numaralandrlmasn nasl kontrol edebiliriz? Bir önceki örnekte, permütasyonlar belirlemek için Riemann yüzeyinin yol ba lantl oldu unu bilmek yeterliydi. Bu bize burada bir bilgi vermez, çünkü σ 0 yapraklaran geçi³ken olarak etki eder. Sadece en basit durumlarda çal³an bir kri kullanalm. Fikir, geni³ bir Γ çemberi etrafnda yürüyerek elde etti imiz permütasyonu hesaplamaktr. Sayfa 521'deki ³ekile tekrar bakarsak, büyük bir çembersel yolun her kesikten bir kez geçece ini görürüz. C 1 kesi inin sa ndan ba³lad mz dü³ünürsek, yapraklara σ r σ 2 σ 1 çarpm permütasyonu etki edecektir. Elimizdeki durumda bu σ 1 σ 0 dr. Bu permütasyonu belirleyebilirsek, σ 0 bildi imizden, σ 1 i de elde edebilece iz. u = t 1 de i³ken de i³ikli ini yapalm. T düzleminin sonsuzdaki noktas u = 0 dr. 0 θ 2π ve r büyük olmak üzere t = re iθ yolu, oryantasyonun tersine çevrilmi³ olmas d³nda, etrafndaki küçük u = r 1 e iθ çembersel yolu ile ayndr. Yol, etrafnda, saatin ters yönünde bir çember çizer. Bu yön de i³ikli inin etkisi, σ 1 σ 0 permütasyonunu tersiyle de i³tirmektir: f(t, x) polinomunda t = u 1 yerle³tirelim: (20) f(u 1, x) = x 3 u 1 (u 1 1) 2 Payday temizlersek, (ux) 3 = (1 u) 2 elde ederiz. x = u 1 y yerle³tirirsek: (21) f(t 1, t 1 x) = h(u, y) = y 3 (1 u) 2. u, 0 ve dan farkl oldu unda, (t, x) = (u 1, u 1 y) nin tersi vardr. Dolaysyla, f = 0 ve h = 0 ile tanmlanan Riemann yüzeyleri izomorftur. u = 0 noktasnn üzerine bakarsak, h(0, y) nin üç kökü oldu unu görürüz: 1, ω, ω 2. Dolaysyla, bir çatal noktas de ildir. Bu (σ 1 σ0 1 ) = 1 oldu unu gösterir. σ 0 = (1 2 3) oldu undan, σ 1 = (3 2 1) dir. 8