9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir."

Transkript

1 9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR Aşağıdai teorem Homomorfizma teoremi olara da bilinir. Teoremi 9.. (.İzomorfizma Teoremi) f : G H bir grup homomorfizması olsun. Şu halde ( ) dir. Özel olara, f örten ise dır. İspat. olma üzere ( ) dönüşümünü ( ) ( ) ile tanımlayalım. Herhangi olduğundan için iyi tanımlı ve bire-bir dir. Ayrıca, ( ) ( ) ( ) (( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olduğundan homomorfizmadır. Böylece örten olduğundan ( ) elde ederiz. Örneler 9.2 : a) ( ) dir. Çözüm., ( ) olma üzere f örten bir homomorfizmadır. Ayrıca, ( ) olduğundan.izomorfizma teoreminden ( ) dir. b ) ( ) dir. Çözüm. fonsiyonunu (( )) ile tanımlayalım. f nin örten olduğu açıtır. Ayrıca ( ) ( ) için (( ) ( )) (( )) ( ) ( ) olduğundan f homomorfizma dır ve ( ) ( ) (( )) (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) olduğundan. İzomorfizma teoreminden ( ) dir.

2 c ) ve ii grup ve ve olsun. Şu halde dir. ( ) ( ) ( ) ( ) Çözüm (( )) ( ) ile tanımlanan ( ) ( ) fonsiyonunu göz önüne alalım. Böylece örten homomorfizmadır ve dir. Bundan dolayı.izomorfizma teoreminden ( ) ( ) ( ) ( ) elde ederiz. Teorem 9.3 (2. İzomorfizma Teoremi ). G bir grup, H H / H N HN / N dir. G ve olsun. Şu halde İspat: İspatı adım adım yapalım. ) : n H N, h H için olduğu açıtır. ve h G olduğundan dir. hnh H N olduğunu gösterelim. hnh N olur. Yani hnh H hnh H N ve böylece 2 ) HN G : olduğundan ve böylece dir. 3 ) olduğu açıtır. Şimdi f : H HN / N dönüşümü h H f ( h) hn ile tanımlayalım. 4) f örtendir : hnn HN / N verilsin. hnn hn f ( h) olup f örtendir. 5 ) f homomorfizmadır : h, h2 H olsun. f ( h h2 ) ( h h2 ) N ( h N)( h2 N) f ( h ) f ( h2 ). 6 ) ( ) dir. Böylece.İzomorfizma teoreminden H / H N HN / N elde edilir. Sonuç 9.4. G toplamsal bir grup, H dir. G ve olsun. Şu halde ( ) 2

3 Örne 9.5., olma üzere ve dir. Böylece ( ) elde ederiz. Teorem 9.6 (3. İzomorfizma Teoremi ). G bir grup ve ise ( ) ( ) dır. olsun. Eğer İspat. ( ) ile tanımlı dönüşümünü göz önüne alalım. iyi tanımlıdır. Gerçeten, dır. Ayrıca için (( )( )) ( ) ( )( ) ( ) ( ) olduğundan bir homomorfizmadır. örten olduğundan ve dır. Böylece. İzomorfizma teoreminden ( ) ( ) dır. Örne 9.7. olsun. O halde, olduğundan ( ) ( ) dir. Önerme 9.8. için ( ) ile tanımlı ( ) fonsiyonu bir homomorfizma ve ( ) olup ( ) ( ) dir. ( ( ), grubunun merezi). İspat. İç otomorfizma tanımından fonsiyonu örtendir. Ayrıca ( ) ( ) ( ) olduğundan bir homomorfizmadır. Şimdi fonsiyonunun çeirdeğini bulalım. ( ) için için ( ) ( ) elde ederiz. ( ) dir. Böylece ( ) olup.izomorfizma teoreminden Tanım 9.9. G bir grup ve a, b G olsun. Eğer b xax olaca şeilde bir x G varsa a ile b eşlenitir denir ve a b gösterilir. Önerme 9.0. ' ' eşleni olma bağıntısı G de bir denli bağıntısıdır. İspat: Yansıma: a G için a eae olduğundan a a dir. Simetri: a b x G, b xax x G, a x bx b a Geçişme: a b ve b c olsun. 3

4 x, y G, b xax ve ( ) ( ). Tanım 9.. G de denli bağıntısının belirttiği denli sınıflarına eşleni sınıfları denir. a G nin belirttiği eşleni sınıfı c( a) { x G : a x} ile gösterilir. Not 9.2. Denli sınıfları ümenin ayrışımını belirttiğinden G sonlu bir grup ise grubun mertebesi, eşleni sınıflarındai elemanların sayıları toplamıdır. ca ( ) eşleni sınıflarının eleman sayısı c ile gösterilir. G c( a) c( a2)... c( a ), G nin eşleni sınıflarına a ayrılışı olma üzere o( G) c c... c dır. a a2 a Teorem 9.3. G sonlu bir grup ve a G olsun. M ( a) G ve c ( G : M ( a)) dır. Şu halde a G c a c a2 c a ( ) ( )... ( ) ise o( G) ( G : M ( a )) og ( ) ( ( )) dir. i i i o M ai İspat: a G olsun. f : c( a) G / M( a), f ( xax ) xm ( a) dönüşümünü tanımlayalım. f nin örten olduğu açıtır. f bire-birdir : x, y G için f ( xax ) f ( yay ) xm ( a) ym ( a) y x M( a) y xa ay x xax yay c ( G : M ( a)) dır. Böylece a o( G) ( G : M ( a )) og ( ) ( ( )) dır. i i i o M ai Not 9.4. Bir eşleni sınıfının te bir elemandan ibaret olması için gere ve yeter oşul o elemanın grubun merezinde olmasıdır. Gerçeten, ( ) ( ) dır. Şu halde eşleni sınıf denlemi ( ) ( ) ( ( )) şelinde yazılabilir. Örne 9.5. grubunun eşleni sınıflarına ayırınız. Çözüm. ( ) olduğu açıtır. Ayrıca, olduğundan ( ) ve ( ) elde ederiz. Örne 9.6. grubunda ( ) elemanının eşleni sınıfını bulunuz. Çözüm. ( ) eşleni sınıfında tüm 3-lü devirler bulunur. Böylece, 4

5 (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) elde ederiz. Örne 9.7. grubunu eşleni sınıflarına ayırınız. Çözüm. ( ) ve (( )) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) dir. G bir grup ve olsun Şu halde için ve böylece K nın elemanlarının eşlenileri yine K da olur. Tersine, alt grup olan eşleni sınıflarının birleşiminin normal olacağı açıtır( ). Böylece aşağıdai teoremi elde ederiz. Teorem 9.8. G bir grup ve olsun. O halde olması için gere yeter oşul H nin, eşleni sınıflarının bir birleşimi olmasıdır. Örne 9.9. olma üzere Örne 9.5 den grubunun eşleni sınıfları, olduğunu biliyoruz. Böylece Teorem 9.8 den grubunun herhangi bir K normal alt grubu bu eşleni sınıflarının bir birleşimidir. Şimdi olduğundan ve olduğundan grubunun normal alt grupları sadece olur. Teorem Mertebesi bir asal tam sayınının uvveti olan bir sonlu grup birimden farlıdır. n İspat: p asal, n ve o( G) p olsun. a G için M ( a) G ve Lagrange teoremine göre, ( ( )) ( ) olduğundan 0 n n olma üzere o( M ( a)) n p dır. a M M( a) G n n denlileri göz önünde tutulara eşleni sınıf denlemi yazılaca olursa, ( ) ( ( )) ( ( )) bulunur. Bu eşitliten ( ( )) elde edilir. Şu halde ( ( )), yani ( ) merezinde birimden başa eleman da vardır. Sonuç 9.2. p asal tamsayı olma üzere, 2 p mertebeli grup değişmelidir. İspat: G grubu değişmeli olması için gere ve yeter oşul ( ) olmasıdır. Teorem 9.8 den ( ( )) ve ( ( )) olacağından ( ( )) veya ( ( )) 5

6 olur. Eğer ( ( )) olmayacağını gösterirse iddia ispatlanmış olur. ( ( )) ve ( ) olsun. Böylece ( ) ( ) ve ( ) ( ) olacağından, o( M( a)) ve Lagrange teoreminden ( ( )) yani o( M ( a)) 2 p ve M ( a) G bulunur. ( ) ( ) olduğundan bu bir çelişidir. O halde ( ( )) olamaz. p Sorular.. ( ) olduğunu gösteriniz. 2. ( ) olduğunu gösteriniz. 3. ve ise olduğunu gösteriniz. 4. ( ) olduğunu gösteriniz. 5. ve K ii grup ve ( ) ise aşağıdaileri ispatlayınız. a ) b ) c ) 6. ( ) ve ( ) olsun. O halde ve olduğunu gösteriniz. 7. {[ ] } ve {[ ] } olsun. O halde ve olduğunu gösteriniz. 8. olduğunu gösteriniz. 9. değişmeli bir grup ve ( ) olsun. O halde ve ( ) dir. Gösteriniz. 6

7 0. bir grup homomorfizması ve olsun. Eğer ise ( ) ( ) olduğunu ve ( ) ( ) olduğunu gösteriniz.. G bir grup ve n > olaca şeilde bir tam sayı olma üzere için ( ) olsun. Eğer ve ise aşağıdaileri ispatlayınız. a) b) c) 2. G bir grup ve H ile K da birbirinden farlı normal alt grupları olsunlar. Şu halde nın H ve K gruplarının masimal alt grubu olduğunu gösteriniz. 3. grubunu eşleni sınıflarına ayırınız. 4. grubunu eşleni sınıflarına ayırınız. 5. G bir grup ve olsun. Şu halde ab ve ba elemanlarının eşleni oldularını ispatlayınız. 6. G grubunun bir H alt grubu G dei eşleni sınıflarının bir birleşimi ise olduğunu gösteriniz. 7. grubunun tüm normal alt gruplarını bulunuz. 8. grubunun tüm normal alt gruplarını bulunuz. 7