ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FARKLI GEOMETRİLERDE MOBİUS TRANSFORMASYONLARI VE HAREKETLER.
|
|
- Derya Ersoy
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ OKTORA TEZİ FARKI GEOMETRİERE MOBİUS TRANSFORMASYONARI VE HAREKETER Semra KAYA NURKAN MATEMATİK ANABİİM AI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır
2
3
4
5 IÇ INEK IER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii S IMGEER IZ IN I... v ŞEK IER IZ IN I... vi. G IR IŞ.... TEME KAVRAMAR MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IE E ¼GR IER... ARASINAK I I IŞK I E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti E 3 de Bertrand E¼gri Çifti E 3 de Bertrand E¼gri Çifti MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IÇ IN PO INCARE... GEN IŞEMES I E 4 de Poincare Genişlemesi E 4 de Möbius Transformasyonlar ile Involüt-Evolüt... Olma Aras ndaki Ilişki E 4 de Poincare Genişlemesi E 4 de Möbius Transformasyonlar ile Involüt-Evolüt... Olma Aras ndaki Ilişki MÖB IUS TRANSFORMASYONARI VE KÜRE... ÜZER INE HAREKETER MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IÇ IN B IR... GENEEŞT IRME Inversiyonun Analitik Ifadesi E n de Möbius Transformasyonlar ile Involüt-Evolüt... Olma Aras ndaki Ilişki... 5 KAYNAKAR ÖZGEÇM IŞ iv
6 S IMGEER IZ IN I E 3 E 3 E 4 E 4 bc kk kk S0 H0 S0 3 H0 3 Öklid 3-uzay Minkowski 3-uzay Öklid 4-uzay Minkowski 4-uzay Genişletilmiş kompleks düzlem Öklid normu Minkowski uzay nda norm E 3 de birim küre E 3 de hiperbolik küre E 4 de birim küre E 4 de hiperbolik küre Inversiyon Stereogra k izdüşüm v
7 ŞEK IER IZ IN I Şekil. Küresel e¼gri : : : : : : : : : : : : : : : : : : :::: : : : : : : : : : : : : :::: : : : : : : ::: : : : ::::::: 8 Şekil 3. E 3 de Involüt-Evolüt e¼gri çifti : : : : : : : : : : : : : : : : : : ::::::: : : : : : : :::::: 3 Şekil 3. E 3 de Bertrand e¼gri çifti :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : Şekil 6. Stereogra k izdüşüm :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: 45 Şekil 6. Inversiyonu : : : : : : ::::: : : : : : : ::::: : : : : : : ::::: : : : : : : ::::: : : : ::::: 50 vi
8 . G IR IŞ Kesirli dönüşümler olarak da bilinen Möbius transformasyonlar genişletilmiş kompleks düzlemde tan mlanm şt r.bu dönüşümlerin en önemli karakteristik özeli¼gi çemberleri çemberlere dönüştürmesidir. Bu düşünceyi 3-boyutlu Öklid uzay ndaki başka e¼grilere uygulayabilmek amac yla Beardon quaterniyonlar kullanarak Poincare Genişlemesi ni tan mlam şt r. Bu tezde Poincare genişlemesi sayesinde bir e¼grisinin Möbius dönüşümü alt ndaki görüntü e¼grisi elde edilmiştir.e 3 de Involut-Evolüt ve Bertrand e¼gri çiftlerinin görüntü e¼grileri bulunmuş ve bunlar n da ayn özeli¼gi taş mas için gerekli şart n küresellik oldu¼gu gösterilmiştir.ayn yaklaş m üç boyutlu Minkowski uzay na taş yabilmek amac yla split quaterniyonlar kullan larak Poincare genişlemesi elde edilmiş ve E 3 de de küresel Involüt-Evolüt ve Bertrand çifti olma özeli¼ginin Möbius dönüşümleri alt nda invaryant kald ¼g ifade edilmiştir. Quaterniyonlar ve split quaterniyonlar yard m yla Poincare Genişlemesi yeniden tan mlanm ş ve böylece kompleks düzleme izomorf olan E Öklid düzleminde tan mlanan Möbius transformasyonlar, E 4 4-boyutlu Öklid uzay na ve E 4 4-boyutlu Minkowski uzay na genişletilmiştir.bir di¼ger bölümde ise stereogra k izdüşümün Möbius transformasyonlar yla ilgisi kurulmuş ve küre üzerinde dönmeler bu yolla elde edilmiştir. Son bölümde ise Möbius transformasyonlar için bir genelleştirme elde edilmiş,böylece farkl bir bak ş aç s ile yüksek boyutta Möbius dönüşümleri incelenmiştir.
9 . TEME KAVRAMAR Tan m. M : ^C! ^C a b, M (z) az+b a b c d C, cz+d c d 6 0, ^C C [ fg olarak tan mlanan dönüşüme Möbius Transformasyonu ad verilir. Tan m. c 0 için M dönüşümü S (z) Az + B A 6 0 halini al r.bu Möbius Transformasyonuna Benzerlik önüşümü ad verilir(brannon 999). Tan m.3 a b 0 c 0 d için M dönüşümü J (z) z halini al r.bu Möbius Transformasyonuna Inversiyon önüşümü ad verilir(brannon 999). Teorem. Möbius Transformasyonlar benzerlik ve inversiyon dönüşümlerinin bileşkesi şeklinde yaz labilir(brannon 999). Tan m.4 C kompleks say lar cümlesi ile R boyutlu reel uzay birebir eşleyebiliriz.yani z x + iy kompleks say s ile z (x y) s ral ikilisi düzlemde ayn noktay belirtir.(x y t) R 3 s ral üçlüsünü (x + yi + tj) reel quaterniyonu ile ifade ederek z x + iy olmak üzere z + tj nin M dönüşümü alt ndaki görüntüsü M (z + tj) (az + b) cz + d + act + jad bcj tj jcz + dj + jcj (.) t ile verilir.bu ifadeye Poincare Genişlemesi ad verilir(beardon 995). S (z) Az + B,A 6 0 benzerlik dönüşümü için bu genişleme, S (z + tj) Az + B + jaj tj (.) şeklinde
10 J (z) inversiyon dönüşümü için, z şeklindedir. J (z + tj) z + tj jzj + t (.3) Bu genişleme sayesinde : I! E 3, (s) ( (s) (s) 3 (s)) e¼grisini + i + 3 j şeklinde düşünerek, benzerlik ve inversiyon dönüşümleri alt nda görüntülerini elde edebiliriz. Bu görüntüler şu şekilde olur: S (z) Az + B A 6 0 A (a a ) B (b b ) olmak üzere, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) (.4) J (z) z olmak üzere, J ( (s)) kk kk 3 kk (.5) d r. Tan m.5 (x y t) E 3 ederek s ral üçlüsünü (x + yi + tj) split quaterniyonu ile ifade z x + iy olmak üzere z + tj nin M dönüşümü alt ndaki görüntüsü M (z + tj) (az + b) cz + d act + jad bcj tj jcz + dj jcj t (.6) şeklinde elde edilir..bu ifadeye split quaterniyonlarda Poincare genişlemesi ad verilir.burada i j dir. S (z) Az + B,A 6 0 benzerlik dönüşümü için bu genişleme, S (z + tj) Az + B + jaj tj (.7) 3
11 şeklinde J (z) z inversiyon dönüşümü için, J (z + tj) z + tj jzj t (.8) şeklindedir. Bu genişleme sayesinde : I! E 3, (s) ( (s) (s) 3 (s)) e¼grisini + i + 3 j şeklinde düşünerek, benzerlik ve inversiyon dönüşümleri alt nda görüntülerini elde edebiliriz. Bu görüntüler S (z) Az + B A 6 0 A (a a ) B (b b ) olmak üzere, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) (.9) J (z) z J ( (s)) kk 3 kk kk! olmak üzere,şeklinde elde edilir. Tan m.6 E 3 x (x x x 3 ) burada bir vektör olmak üzere g(x x) hx xi x + x x 3 (.0) standart metri¼gi ile verilen Minkowski 3-uzay d r. g inde nite metrik oldu¼gundan E 3 deki her v vektörü için, g(v v)i0 veya v 0 ise spacelike, g(v v)h0 4
12 ise timelike g(v v) 0 ve v 6 0 ise null olarak tan mlan r. v E 3 vektörünün normu kvk p jg(v v)j ve v w E 3 vektörleri için g(v w) 0 ise v ve w ortogonaldir.,e 3 de regüler e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin her noktas ndaki h z vektörleri spacelike, timelike ve null ise e¼grisi de,s ras yla, spacelike, timelike ve null e¼gri olarak tan mlan r. Tan m.7 E 4 x (x x x 3 x 4 ) bir vektör olmak üzere, g(x x) hx xi x + x x 3 x 4 (.) standart metri¼gi ile verilen Minkowski uzay d r. E 4 deki her v vektörü için, g inde nite metrik oldu¼gundan g(v v)i0 veya v 0 ise spacelike ise timelike g(v v)h0 g(v v) 0 ve v 6 0 ise null olarak tan mlan r. v E 4 vektörünün normu kvk p jg(v v)j ve v w E 4 vektörleri için g(v w) 0 ise v ve w ortogonaldir.,e 4 de regüler e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin her noktas ndaki h z vektörleri spacelike, timelike ve null ise e¼grisi de,s ras yla, spacelike, timelike ve null e¼gri olarak tan mlan r. 5
13 Tan m.8 E 3 iki e¼gri olsun. (s) ve (s) noktalar nda ve n n Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere hv (s) V (s)i 0 (.) ise ya n n involütü, ya da n n evolütü denir. fv (s) V (s)g lineer ba¼g ml (hv (s) V (s)i 0) ise ( ) e¼gri -lisine Bertrand e¼gri çifti denir(hacisaliho¼glu 998). Tan m.9 E 3 asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri olsun. (s) ve (s) noktalar nda ve n n Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere hv (s) V (s)i 0 (.3) ise ya n n involütü, ya da n n evolütü denir. fv (s) V (s)g lineer ba¼g ml (hv (s) V (s)i 0) ise ( ) e¼gri -lisine Bertrand e¼gri çifti denir. Tan m.0 E 4 iki e¼gri olsun. (s) ve (s) noktalar nda ve n n Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere hv (s) V (s)i 0 (.4) ise ya n n involütü, ya da n n evolütü denir fv (s) V (s)g lineer ba¼g ml (hv (s) V (s)i 0) ise ( ) e¼gri -lisine Bertrand e¼gri çifti denir(hacisaliho¼glu 998). 6
14 Tan m. E 3 de merkezi 0 0 ve yar çap olan S küresini düşünelim.bu kürenin denklemi x + x + x 3 (x 3 ) 0 (.5) olur.burada B (0 0 ) noktas kürenin kutup noktas d r. Şimdi stereogra k izdüşümü tan mlayal m. : S n fbg! C, (X) X, X (x x x 3 ) şeklinde tan mlad ¼g m z dönüşüme Stereogra k izdüşüm denir. 8 X (x x x 3 ) S n fbg için X B + t (X B) (0 0 ) + t ((x x x 3 ) (0 0 )) (tx tx + tx 3 t) : Burada X C oldu¼gundan + tx 3 t 0 t x 3 olur.böylece (X) X x x 0 x 3 x 3 x x x 3 x 3 elde edilir.i¼ger taraftan stereogra k izdüşümü birebir ve örten oldu¼gundan tersi vard r. 7
15 O halde ters fonksiyonunun ifadesini verelim: : C! S n fbg, X X, X (x x 0) (.6) X ve B noktalar ndan geçen do¼gru denklemi l (0 0 ) + t ((x x 0) (0 0 )) (tx tx t) d r. l do¼grusu ile S n fbg nin arakesit noktas aşa¼gidaki denklemi sa¼glar. (tx ) + (tx ) + ( t) ( t ) 0 t 0 veya t d r. t 0 için bu nokta kutup noktas olur. x + x + i¼ger durumu gözönüne al rsak X x x + x + x x + x + x + x x + x + (.7) biçimde ifade ederiz. 8
16 Teorem. Möbius Transformasyonlar küresel e¼grileri küresel e¼grilere dönüştüren dönüşümlerdir(beardon 995). Şekil.Küresel e¼gri 9
17 3. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IE E ¼GR IER ARASINAK I I IŞK I 3. E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti Teorem 3... E 3 de S 0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x + x 3 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. J (z) z e¼grisidir. e¼grisinin küresel involütü e¼grisi olsun. inversiyon dönüşümü alt nda J () e¼grisinin küresel involütü de J () Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g n n involütü olsun. Yani şeklindedir. hv (s) V (s)i 0 (3.) V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (3:) de yerlerine yaz l rsa, E 0 (s) 0 (s) 0 (3.) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, şeklindedir. J ( (s)) J ( (s)) kk kk 3 kk kk kk 3 kk 0
18 Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörleri hesaplan rsa J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk kk 3 kk 0 kk 3 J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 V J ( (s)) 0! 0 kk + kk 0 kk kk 3 kk 0 kk 3 V J ( (s))0 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E V V 0 olmas için, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa ve J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E * 0 kk kk 0 kk 3 0 kk kk0 kk 3 kk 3 kk 3 0 kk+ kk 0 0 kk 3 3 kk 3kk 0 kk 3 0 kk+ kk0 0 kk 3 3 kk 3 kk0 kk 3 4 kk kk h0 0 i + 4 kk 0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 0 kk h 0 i (3:) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E bulunur. 4 4 kk0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 3 kk 3 kk 0 kk h 0 i 3 5 (3.3)
19 , S 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 kk ) kk 0 0 d r. Bu ifadeler (3:3) denkleminde yerlerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E 0 bulunur. O halde J () n n küresel involütü J () olur. Teorem 3.. E 3 de S0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x + x 3 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. n n küresel involütü olsun. S (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S () n n küresel involütü de S () d r. Ispat: (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere n n involütü olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.4) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (3:4) de yerlerine yaz l rsa, E 0 (s) 0 (s) 0 (3.5) elde edilir.
20 (s) ve (s) in S dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) şeklindedir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektör alanlar hesaplan rsa S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s))0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s))0 S ( (s)) 0 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Involüt-Evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, * + V V S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E ( (s)) V V 0 olmas için, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) a h 0 0 i + a h 0 0 i + a + a h 0 0 i 3
21 ve (3:5) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E 0 bulunur. O halde S () n n küresel involütü S () olur. Teorem 3.. ve 3.. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Sonuç 3. E 3 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel involüt-evolüt olmay korur. Şekil 3. E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti 4
22 3. E 3 de Involüt-Evolüt E¼gri Çifti Teorem 3.. E 3 de H0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x x 3 g küresinde yatan asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri, olsun. n n küresel involütü olsun. J (z) inversiyon dönüşümü alt nda J () n n küresel involütü z de J () d r. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar s ras yla fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g, n n involütü olsun. Yani hv (s) V (s)i 0 (3.6) şeklindedir. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadeleri (3:6) de yerlerine yaz l rsa, elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, J ( (s)) E 0 (s) 0 (s) 0 (3.7) kk 3 kk kk! J ( (s)) kk 3 kk kk! biçimindedir.bu görüntü e¼grileri de spacelike e¼grilerdir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektör alanlar hesaplan rsa J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk kk 3 kk 0 kk 3! 5
23 V J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 bulunur. V J ( (s))0 J ( (s)) 0 0 kk + kk 0 kk kk 3 kk 0 kk 3 J ( (s))0 J ( (s)) 0! Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * + J ( (s)) 0 J ( (s)) 0 J ( (s)) 0 J ( (s)) 0 J ( (s)) 0 J 0 ( (s)) J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E V V 0 olmas için, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerek- ti¼gi görülür. Bu eşitlik hesaplan rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E * 0 kk kk 0 0 kk kk 3 kk3 kk 3 kk 3 kk0 0 kk + kk 0 kk kk 3kk 0 + kk 3 0 kk + kk0 0 kk 3 3 kk 3 kk0 kk 3 4 kk kk h0 0 i + 4 kk 0 kk0 h i kk kk 0 h0 i kk 0 kk h 0 i 3 5 (3:7) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E bulunur. 4 4 kk0 kk0 h i kk kk 0 h0 i 3 5 kk 3 kk3 kk 0 kk h 0 i (3.8) 6
24 H 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 kk ) kk 0 0 d r.bu ifadeler (3:8) denkleminde yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 0E 0 bulunur. O halde J () n n küresel involütü J () olur. Teorem 3.. E 3 de H0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x x 3 g küresinde yatan asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri, olsun. n n küresel involütü olsun. S (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S () n n küresel involütü de S () d r. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar s ras yla fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g, n n involütü olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.9) şeklindedir. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadeleri (3:9) da yerlerine yaz l rsa, elde edilir. E 0 (s) 0 (s) 0 (3.0) 7
25 (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) ve S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) şeklindedir.bu görüntü e¼grileri de spacelike e¼grilerdir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörleri hesaplan rsa S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) bulunur V S ( (s))0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s))0 S ( (s)) 0.Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * + S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S ( (s)) 0 S 0 ( (s)) S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E V V 0 olmas için, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerek- 8
26 ti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) a h 0 0 i + a h 0 0 i + a + a h 0 0 i (3:0) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 0E 0 bulunur.o halde S () n n küresel involütü S () olur. Teorem 3.. ve 3.. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Sonuç 3. E 3 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel involüt-evolüt olmay korur. 3.3 E 3 de Bertrand E¼gri Çifti Teorem 3.3. E 3 de S 0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x + x 3 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. ve küresel Bertrand çifti olsun.j (z) z inversiyon dönüşümü alt nda J (), J () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g Bertrand çifti olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.) şeklindedir. 9
27 V (s) 0 (s) ve V (s) 00 (s) k 00 (s)k ifadeleri (3:) da yerlerine yaz l rsa, h 00 (s) 0 (s)i 0 (3.) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, şeklindedir. J ( (s)) J ( (s)) kk kk 3 kk kk kk 3 kk, S 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 (3.3) kk ) kk 0 0 d r. Görüntü e¼grileri için (3:3) denklemi gözönüne al narak V ve V hesaplan rsa, J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 J ( (s)) 0 V 0 kk + kk 0 kk kk 3 kk 0 kk 3 0 kk 0 kk 0 3 kk J ( (s))0 J ( (s)) 0 0 J ( (s)) 0 kk 0 kk 0 3 kk 00 J ( (s)) 00 kk 00 kk 00 3 kk 0
28 J ( (s))00 V J ( (s)) 00 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Bertrand çifti olma özeli¼gi araşt r l rsa, * + V J ( (s)) 0 J ( (s)) 00 V J ( (s)) 0 J ( (s)) 00 J ( (s)) 0 J 00 J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E ( (s)) V V 0 olmas için J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 kk 0 kk 0 3 kk kk kk ( ) kk kk h0 00 i 00 kk kk 00 3 kk E 00 3 (3:) denkleminden h 00 (s) 0 (s)i 0 yerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 elde edilir. O halde J () ve J () küresel Bertrand çifti olurlar. Teorem 3.3. E 3 de S 0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x + x 3 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. ve küresel Bertrand çifti olsun.s (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S (), S () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla,
29 fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g, Bertrand çifti olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.4) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 00 (s) k 00 (s)k ifadeleri (3:4) da yerlerine yaz l rsa, h 00 (s) 0 (s)i 0 (3.5) elde edilir. (s) ve (s) in S dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) ve şeklindedir. S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) Görüntü e¼grileri için V ve V hesaplan rsa, S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) S ( (s)) 00 (a 00 a 00 a 00 + a 00 jaj 00 3) V S ( (s))00 S ( (s)) 00 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s))0 S ( (s)) 0 bulunur.
30 Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Bertrand çifti olma özeli¼gi araşt r l rsa, * + V S ( (s)) 0 S ( (s)) 00 V S ( (s)) 0 S ( (s)) 00 S ( (s)) 0 S 00 S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E ( (s)) V V 0 olmas için S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E 0 olmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) (a 00 a 00 a 00 + a 00 jaj 00 3) a h 0 00 i + a h 0 00 i a + a h 0 00 i + (3:5) denkleminden, h 00 (s) 0 (s)i 0 yerine yaz l rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E 0 elde edilir. O halde S () ve S () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. Teorem 3.3. ve 3.3. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. 3
31 Sonuç 3.3 E 3 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel Bertrand çifti olmay korur. Şekil 3. E 3 de Bertrand Çifti 3.4 E 3 de Bertrand E¼gri Çifti Teorem 3.4. E 3 de H 0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x x 3 g küresinde yatan asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri, olsun., küresel Bertrand çifti ise J (z) z Bertrand çifti oluştururlar. inversiyon dönüşümü alt nda J (), J () da küresel Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g Bertrand çifti olsun. Yani, şeklindedir. hv (s) V (s)i 0 (3.6) 4
32 V (s) 0 (s) ve V (s) 00 (s) k 00 (s)k ifadelerini (3:6) da yerlerine yaz l rsa, h 00 (s) 0 (s)i 0 (3.7) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri,! J ( (s)) kk 3 kk kk ve! J ( (s)) kk 3 kk kk şeklindedir. H 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 (3.8) kk ) kk 0 0 d r. Görüntü e¼grileri için (3:8) denklemi gözönüne al narak V ve V hesaplan rsa, J ( (s)) 0 0 kk kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk kk 3 kk 0 kk 3! J ( (s)) 0 0 kk kk kk! J ( (s)) 0 V J ( (s)) kk kk kk! 5
33 J ( (s)) 00 V kk kk kk J ( (s))00 J ( (s)) 00! bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Bertrand çifti olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * + J ( (s)) 0 J ( (s)) 00 J ( (s)) 00 J ( (s)) 00 J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E V V 0 olmas için J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E 0 eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E * ! kk kk kk kk ( ) kk kk h 0 00 i kk (3:7) denkleminden h 00 (s) 0 (s)i 0 yerine yaz l rsa, J ( (s)) 0 J ( (s)) 00E kk kk kk E !+ elde edilir. O halde J () ve J () küresel Bertrand çifti olurlar. Teorem 3.4. E 3 de H0 fx (x x x 3 ) IR 3 : x + x x 3 g küresinde yatan asli normal vektörleri spacelike olan spacelike iki e¼gri, olsun., küresel Bertrand çifti ise S (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S (), S () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. 6
34 Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g Bertrand çifti olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (3.9) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 00 (s) k 00 (s)k ifadeleri (3:9) da yerlerine yaz l rsa, h 00 (s) 0 (s)i 0 (3.0) elde edilir. (s) ve (s) in S dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 ) şeklindedir. Görüntü e¼grileri için V ve V hesaplan rsa, S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) S ( (s)) 00 (a 00 a 00 a 00 + a 00 jaj 00 3) V S ( (s))00 S ( (s)) 00 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) V S ( (s)) 0 bulunur. 7
35 Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Bertrand çifti olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * + S ( (s)) 0 S ( (s)) 00 S ( (s)) 00 S ( (s)) 00 S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E V V 0 olmas için S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E 0 olmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3) (a 00 a 00 a 00 + a 00 jaj 00 3) + a h 0 00 i + a h 0 00 i a + a h 0 00 i (3:0) denkleminden, h 00 (s) 0 (s)i 0 yerine yaz l rsa, S ( (s)) 0 S ( (s)) 00E 0 elde edilir. O halde S () ve S () da küresel Bertrand çifti oluştururlar. Teorem 3.4. ve 3.4. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Sonuç 3.4 E 3 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel Bertrand çifti olmay korur. 8
36 4. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IÇ IN PO INCARE GEN IŞEMES I 4. E 4 de Poincare Genişlemesi C kompleks say lar cümlesi ile R -boyutlu reel uzay birebir eşleyebiliriz.yani z x + iy kompleks say s ile z (x y) s ral ikilisi düzlemde ayn noktay belirtir. (x y u v) R 4 s ral dörtlüsünü de q x + yi + uj + vk kuaterniyonu ile ifade edersek, q x + yi + uj + vk q x + yi + (u + vi) {z } {z } j q z + wj şeklinde bir gösterim elde ederiz.burada, i j k dir. Bir q kuaterniyonu q z + wj z w C olarak gösterilmek üzere q z + w j ve q z + w j kuaterniyonlar için çarpma işlemi q q (z + w j) (z + w j) (z z w w ) + (z w + w z ) j şeklindedir. Bunun yan nda z w C olmak üzere, (z + wj) (z wj) jzj + jwj ve jz zj 9
37 oldu¼gu görülür. Bu bilgileri gözönüne alarak, q z + wj kuaterniyonunun Möbius dönüşümü alt ndaki görüntüsü M (q) aq + b cq + d M ( z + wj) a ( z + wj) + b c ( z + wj) + d M ( z + wj) az + b + awj cz + d + cwj cz + d cwj M ( z + wj) (az + b + awj) cz + d cwj jcz + dj + jcwj M ( z + wj) (az + b) cz + d + ac jwj + jad bcj wj jcz + dj + jcwj şeklinde elde edilir.bu ifadeye Möbius dönüşümü için Poincare genişlemesi ad verilir. S (z) Az + B,A 6 0 benzerlik dönüşümü için bu genişleme S (z + wj) Az + B + jaj wj şeklindedir. Benzer şekilde J (z) z inversiyon dönüşümü için bu genişleme J (z + wj) z + wj jzj + jwj olur. Bu genişleme sayesinde : I! E 4, (s) ( (s) (s) 3 (s) 4 (s)) e¼grisini + i + 3 j + 4 k şeklinde düşünerek, benzerlik ve inversiyon dönüşümleri 30
38 alt nda görüntülerini elde edebiliriz.bu görüntüler şu şekilde olur: S (z) Az + B A 6 0 A (a a ) B (b b ) olmak üzere, S ( (s)) S ( + i + ( i) j) S (z + wj) A ( + i) + B + jaj ( i) j A + B + A i + jaj 3 j + jaj 4 k (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) J (z) z olmak üzere, J ( (s)) J ( + i + ( i) j) J (z + wj) i + ( i) j J ( (s)) kk kk 3 kk 4 kk d r. 4. E 4 de Möbius Transformasyonlar Ile Involüt-Evolüt Olma Aras ndaki Ilişki Teorem 4.. E 4 de S0 3 fx (x x x 3 x 4 ) IR 4 : x + x + x 3 + x 4 g birim küresinde yatan iki e¼gri, olsun. e¼grisinin küresel involütü e¼grisi olsun. J (z) inversiyon dönüşümü alt nda J () e¼grisinin küresel involütü de J () z e¼grisidir. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g n n involütü olsun. 3
39 Yani hv (s) V (s)i 0 (4.) şeklindedir. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadeleri (4:) de yerlerine yaz l rsa, E 0 (s) 0 (s) 0 (4.) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, J ( (s)) kk kk 3 kk 4 kk ve şeklindedir. J ( (s)) kk kk 3 kk 4 kk Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörleri hesaplan rsa 0 0 kk kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk kk 3 kk 0 kk kk 4 kk 0 kk kk kk 0 kk 3 V 0 0! 0 kk + kk 0 kk kk 3 kk 0 kk kk 4 kk 0 kk 3 0 V 0 bulunur. 3
40 Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V E V V 0 olmas için, 0 0 eşitlik hesaplan rsa, * E eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu 0 0 E * 0 kk kk 0 kk 3 0 kk kk0 kk 3 kk 3 kk 3 0 kk+ kk 0 0 kk 3 3 kk 3kk 0 0 kk 3 4 kk 4kk 0 kk 3 0 kk+ kk0 0 kk 3 3 kk 3 kk0 0 kk 3 4 kk 4 kk0 kk kk kk h0 0 i + 4 kk 0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 0 kk h 0 i 5 + (4:) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, E kk0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 3 kk 3 kk 0 kk h 0 i 3 5 (4.3) bulunur., S 3 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 kk ) kk 0 0 d r.bu ifadeler (4:3) denkleminde yaz l rsa, E bulunur. 33
41 O halde J () n n küresel involütü J () olur. Teorem 4.. E 4 de S 3 0 fx (x x x 3 x 4 ) IR 4 : x + x + x 3 + x 4 g birim küresinde yatan iki e¼gri olsun. n n küresel involütü olsun.s (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S () n n küresel involütü de S () d r. Ispat: (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar,s ras yla, fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere n n involütü olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (4.4) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (4:4) de yerine yaz l rsa, E 0 (s) 0 (s) 0 (4.5) elde edilir. (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) ve S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) biçimindedir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektör alanlar hesaplan rsa 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) 34
42 V 0 0 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) 0 V 0 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Involüt-Evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V E V V 0 olmas için, 0 0 eşitlik hesaplan rsa, * E eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu 0 0 E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) jaj h 0 0 i + (4:5) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, E bulunur. O halde S () n n küresel involütü S () olur. Teorem 4.. ve 4.. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. 35
43 Sonuç 4. E 4 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel involüt-evolüt olmay korur. 4.3 E 4 de Poincare Genişlemesi C kompleks say lar cümlesi ile R -boyutlu reel uzay birebir eşleyebiliriz.yani z x + iy kompleks say s ile z (x y) s ral ikilisi düzlemde ayn noktay belirtir. (x y u v) R 4 s ral dörtlüsünü de q x + yi + uj + vk split kuaterniyonu ile ifade edersek, q x + yi + uj + vk q x + yi + (u + vi) {z } {z } j q z + wj şeklinde bir gösterim elde ederiz.burada, i j k dir. Bir q split kuaterniyonu q z + wj z w C olarak gösterilmek üzere q z + w j ve q z + w j split kuaterniyonlar için çarpma işlemi q q (z + w j) (z + w j) (z z + w w ) + (z w + w z ) j biçimdedir.bunun yan nda z w C olmak üzere, (z + wj) (z wj) jzj jwj ve jz zj oldu¼gu görülür. 36
44 Bu bilgileri gözönüne alarak, q alt ndaki görüntüsü z + wj split kuaterniyonunun Möbius dönüşümü M (q) aq + b cq + d M ( z + wj) a ( z + wj) + b c ( z + wj) + d M ( z + wj) az + b + awj cz + d + cwj cz + d cwj M ( z + wj) (az + b + awj) cz + d cwj jcz + dj jcwj M ( z + wj) (az + b) cz + d ac jwj + jad bcj wj jcz + dj jcwj biçiminde elde edilir. Bu ifadeye split quaterniyonlarda Poincare genişlemesi ad verilir. S (z) Az + B,A 6 0 benzerlik dönüşümü için bu genişleme S (z + wj) Az + B + jaj wj biçimindedir.benzer olarak J (z) z inversiyon dönüşümü için bu genişleme J (z + wj) z + wj jzj jwj olur.bu genişleme sayesinde : I! E 4, (s) ( (s) (s) 3 (s) 4 (s)) e¼grisini + i + 3 j + 4 k şeklinde düşünerek, benzerlik ve inversiyon dönüşümleri alt nda görüntülerini elde edebiliriz.bu görüntüler şöyledir: 37
45 S (z) Az + B A 6 0 A (a a ) B (b b ) olmak üzere, S ( (s)) S ( + i + ( i) j) S (z + wj) A ( + i) + B + jaj ( i) j A + B + A i + jaj 3 j + jaj 4 k (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) J (z) z olmak üzere, J ( (s)) J ( + i + ( i) j) J (z + wj) i + ( i) j kk 3 4 kk kk kk! d r. 4.4 E 4 de Möbius Transformasyonlar Ile Involüt-Evolüt Olma Aras ndaki Ilişki Teorem 4.4. E 4 de H0 3 fx (x x x 3 x 4 ) IR 4 : x + x x 3 x 4 g birim küresinde yatan spacelike asli normalli spacelike iki e¼gri, ve e¼grisinin küresel involütü e¼grisi olsun. J (z) inversiyon dönüşümü alt nda J () z e¼grisinin küresel involütü de J () e¼grisidir. Ispat: s yay parametresi olmak üzere (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar s ras yla fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g, n n involütü olsun. 38
46 Yani hv (s) V (s)i 0 (4.6) d r. V (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (4:6) de yerine yaz l rsa, elde edilir. E 0 (s) 0 (s) 0 (4.7) (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, J ( (s)) J ( (s)) kk kk 3 4! kk kk kk! kk 3 kk 4 kk biçimindedir. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörleri hesaplan rsa 0 0 kk kk 0 kk kk 3kk 0 kk 3 0 kk + kk 0 kk kk 4kk 0 kk 3 A 0 V 0 kk kk0 kk kk 3 kk0 kk kk + kk0 kk kk 4 kk0 kk 3 A 0 V 0 bulunur. 39
47 Şimdi ise görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * E E V V 0 olmas için, eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, 0 0 E * 0 kk kk 0 0 kk kk 3 kk3 kk 3 kk 3 kk0 0 kk + kk 0 kk 3 0 kk + kk0 kk kk 3kk 0 kk kk 3 kk0 kk kk 4kk 0 kk kk 4 kk0 kk 3 4 kk kk h0 0 i + 4 kk 0 kk0 h i kk kk 0 h0 i kk 0 kk h 0 i ve (4:7) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, 0 0 E kk 3 kk3 4 4 kk0 kk0 h i kk kk 0 h0 i kk 0 kk h 0 i 3 5 (4.8) bulunur., H 3 0 oldu¼gundan, kk ) kk 0 0 kk ) kk 0 0 d r.bu ifadeler (4:8) denkleminde yaz l rsa, E 0 0 bulunur. 0 40
48 O halde J () n n küresel involütü J () olur. Teorem 4.4. E 4 de H0 3 fx (x x x 3 x 4 ) IR 4 : x + x x 3 x 4 g birim küresinde yatan spacelike asli normalli spacelike iki e¼gri ve n n küresel involütü olsun. S (z) Az + B A 6 0 benzerlik dönüşümü alt nda S () n n küresel involütü de S () d r. Ispat: (s) ve (s) noktalar nda ve nin Frenet 3- ayakl lar s ras yla fv (s) V (s) V 3 (s)g ve fv (s) V (s) V 3 (s)g olmak üzere n n involütü olsun. Yani, hv (s) V (s)i 0 (4.9) d r.v (s) 0 (s) ve V (s) 0 (s) ifadelerini (4:9) de yerlerine yaz l rsa, elde edilir E 0 (s) 0 (s) 0 (4.0). (s) ve (s) in J dönüşümü alt ndaki görüntüleri, S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) S ( (s)) (a a + b a + a + b jaj 3 jaj 4 ) d r. Görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektör alanlar hesaplan rsa 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) V 0 0 4
49 S ( (s)) 0 (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) 0 V 0 bulunur. Şimdi ise görüntü e¼grilerinin Involüt-Evolüt olma özeli¼gi araşt r l rsa, V V * E E V V 0 olmas için, eşitli¼ginin sa¼glanmas gerekti¼gi görülür.bu eşitlik hesaplan rsa, 0 0 E * (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) (a 0 a 0 a 0 + a 0 jaj 0 3 jaj 0 4) jaj h 0 0 i + ve (4:0) denkleminden h 0 0 i 0 yerine yaz l rsa, bulunur. 0 0 E 0 O halde S () n n küresel involütü S () olur. Teorem 4.4. ve 4.4. gözönüne al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Sonuç 4. E 4 de Möbius Transformasyonlar n n Poincare genişlemesi küresel involüt-evolüt olmay korur. 4
50 5. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI ve KÜRE ÜZER INE HAREKETER Bu bölümde stereogra k izdüşüm ve Möbius transformasyonlar yard m yla küre üzerinde bir dönme elde edece¼giz. Teorem 5. M : C! C M (z) az + b bz + a a b C jaj + jbj formundaki her Möbius dönüşümü küre üzerinde bir dönmesine karş l k gelir. Ispat : S n fbg! C M! C! S n fbg : S n fbg! S n fbg M d r.8 X (x x x 3 ) S n fbg için (X) ( M) (X) eşitli¼gini kullanarak dönüşümünün uzakl klar korudu¼gunu gösterelim.yani k (X) (Y )k kx Y k oldu¼gunu gösterelim. Bunun için öncelikle (M (z)) (M (w)) (z) (w) (5.) oldu¼gunu gösterece¼giz.burada M (z) az + b bz + a ve M (w) aw + b bw + a z x + iy 43
51 w u + iv jaj + jbj olmak üzere (z)! x jzj + y jzj + jzj jzj + z x + iy yazabiliriz. Ilk olarak (5:) eşitli¼ginin sa¼g taraf olan (z) (w) ifadesini hesaplayal m. (z) (w)! x jzj + y jzj + jzj jzj + x jzj + u jwj + y jzj + v jwj + u jwj + jzj jzj + v jwj + jwj jwj + jwj jwj+! (z) (w) v u t x (jzj +) + y (jzj +) xu (jzj +)(jwj +) + u (jwj +) + v (jwj +) + jzj jwj (jzj +)(jwj +) + q jzj + jwj xu yv q + jzj q + jwj jz wj q q + jzj + jwj yv (jzj +)(jwj +) jzj 4 (jzj +) jwj4 (jwj +) (z) (w) jz wj q + jzj q + jwj (5.) 44
52 dir.şimdi de (5:) denkleminde z! M (z) ve w! M (w) yazal m: (M (z)) (M (w)) jm (z) M (w)j q + jm (z)j q + jm (w)j (5.3) elde edilir.bu ifadenin öncelikle pay k sm n hesaplayal m: M (z) M (w) az + b aw + b bz + a bw + a jaj + jbj (z w) bz + a bw + a (z w) bz + a bw + a jm (z) M (w)j jz wj bz + a bw + a (5.4) Şimdi de (5:3) denkleminin paydas n hesaplayal m: ve d r. q + jm (z)j q + jm (w)j s + az + b bz + a v u t bz + a + jaz + bj bz + a q + jzj bz + a s + aw + b bw + a v u t bw + a + jaw + bj bw + a q + jwj bw + a 45
53 Buldu¼gumuz bu ifadeleri (5:3) denkleminde yerlerine yazd ¼g m z takdirde (M (z)) (M (w)) (z) (w) elde edilir.8 P Q S n fbg için (P ) z, (Q) w k (P ) (Q)k M (P ) M (Q) (M (z)) (M (w)) (z) (w) kp Qk dir. Bu da gösteriyor ki küreden küreye bir dönüşüm olan uzakl klar korur.yani bir izometridir. IR 3 uzay nda g : S! S g (tx) tg (X), X S olacak şekildeki her g dönüşümü bir izometridir ve dolay s yla X S için g (0) g (0X) 0g (X) 0 d r. olay s yla dönüşümü IR 3 de bir izometridir ve (0) 0 d r.böylelikle dönüşümü A ortogonal matrisi ile verilen bir harekettir.yani orjinden geçen düzlemde bir dönmedir.fakat bir yans ma olamaz.çünkü yans ma olsayd birçok sabit noktas olurdu.sonuç olarak dönüşümü küre üzerinde sadece bir dönmedir. 46
54 6. MÖB IUS TRANSFORMASYONARI IÇ IN B IR GENEEŞT IRME Bu bölümde stereogra k izdüşüm yard m yla Möbius dönüşümünün n boyutlu Öklid uzay na genelleştirilmesi amaçlanm şt r. Tan m 6. E n+ de merkezi C 0 0 ::: r ve yar çap r olan Sn küresini düşünelim.bu kürenin denklemi x + x + :::x n + x n+ (x n+ r) 0 d r.burada B (0 0 ::: r) S n noktas na kutup noktas denir.8x (x x ::: x n+ ) S n n fbg için : S n n fbg! E n X! (X) X olarak tan mlanan dönüşüme Stereogra k Izdüşüm denir. Şekil 6. Stereogra k Izdüşüm Şekil (6:) den görüldü¼gü üzere B noktas ndan geçen! BX vektörüne paralel olan 47
55 do¼grunun denklemi X B + t (X B) (6.) (0 0 ::: r) + t ((x x ::: x n+ ) (0 0 ::: r)) (tx tx ::: t (x n+ r)) dir.burada BOX BX üçgen benzerli¼ginden jbj jboj jbxj BX r x n+ r kx Bk X B (6.) yaz labilir.(6:) ve (6:) denklemleri gözönüne al n rsa, t r r x n+ elde edilir.böylece (X) B + (X) rx x n+b r x n+ r r x n+ (X B) biçiminde bulunan dönüşüm arad ¼g m z S n in E n üzerine Stereogra k izdüşümüdür.bu dönüşüm bir izomor zmdir.olay s yla tersi vard r ve d r. X X B + r X r + X (6.3) 48
56 6. Inversiyonunun Analitik Ifadesi : S n n fbg! E n stereogra k izdüşümü, (X) B + r r x n+ (X B) : E n! S n n fbg n n tersi, X X B + r X r + X : E n+! E n+ stereogra k izdüşümünün tersi ve (x x ::: x n x n+ ) (x x ::: x n r x n+ ) izometri dönüşümünü ele alal m.bu üç dönüşümün bileşkesi al narak elde edilen : E n! E n dönüşümü bir inversiyon dönüşümüdür.şimdi bu dönüşümün analitik ifadesini bulal m: 49
57 8 X E n X (x x ::: x n ) için X X () X! X B + r X r + X X! r + X (0 0 ::: r) + r (x x ::: x n 0) r + X B + r r x r + X r x r + X ::: r x n r + X r x r + X r x r + X ::: r r rkxk r +kxk (0 0 ::: r) + r + X X (X B) r x X r x X ::: r x n X 0 r X X r x n r + X r r X! r + X r X r + X! r x r + X ::: r X r + X!! olarak bulunur.böylece X r X X dönüşümü ifade edilmiş olur.bu inversiyon, bir anlamda E de tan ml J(z) z Möbius transformasyonunun E n deki karş l ¼g d r.gerçekten de 8 X E X (x x ) için : S n fbg! E (X) B + r r x 3 (X B) 50
58 stereogra k izdüşümü, : E! S n fbg X X B + r X r + X stereogra k izdüşümün tersi, : E 3! E 3 (x x x 3 ) (x x r x 3 ) izometri dönüşümü olmak üzere bu üç dönüşümün bileşkesi hesaplan rsa, X r X X r (x x ) x + x inversiyonu elde edilir ve X (x x )! z x + ix olmak üzere (z) r kzk z r zz z r z dir.bu da inversiyonu için J Möbius transformasyonuna ait bir genelleştirmedir. 5
59 Şekil 6. Inversiyonu 6. E n de Möbius Transformasyonlar ile Involüt-Evolüt Olma Aras ndaki Ilişki E n de (s)ve (s) iki e¼gri, (V (s) V (s) ::: V r (s)) ve (V (s) V (s) ::: V r (s)) de,s ras yla, ve e¼grilerinin Frenet ayakl lar olsun. ve involüt-evolüt çifti olsun.yani hv (s) V (s)i 0 olsun. ve e¼grilerinin inversiyonu alt ndaki görüntüleri,s ras yla, (s) ( (s) (s) ::: n (s)) ( (s)) r kk biçimindedir. (s) ( (s) (s) ::: n (s)) ( (s)) r kk 5
60 Şimdi de bu görüntü e¼grilerinin involüt-evolüt e¼gri çifti olup olmad ¼g n araşt ral m.bunun için ve görüntü e¼grilerinin birinci Frenet vektörlerini hesaplayal m.! 0 r 0 kk kk kk 0 kk 4 ::: 0n kk n kk kk 0 kk 4 r kk 4 kk 0 0 ::: 0 n kk kk 0 ( ::: n ) r kk 3 kk 0 kk 0 V 0 0 (6.4) ve benzer şekilde 0 r kk 3 kk 0 kk 0 (6.5) 0 V 0 bulunur.(6:4) ve (6:5) denklemleri gözönüne al n rsa, V V * E r kk 3 kk kk kk h 0 0 i + 4 kk 0 kk 0 h i kk kk 0 h 0 i kk 0 kk h 0 i (6.6) elde edilir. Buradan görülüyor ki (6:6) denkleminin sa¼g taraf n n s f ra eşit olmas için kk 0 0 ve kk 0 0 olmas gerekmektedir.bu ise ancak ve e¼grilerinin S n 0 fx (x x ::: x n ) IR n : x + x + ::: + x n g küresi üzerinde bulunmalar ile sa¼glan r. Sonuç 6. E n de Möbius transformasyonu küresel involüt-evolüt olmay korur. 53
61 KAYNAKAR Beardon, A.983.The Geometry of iscrete Groups.Springer-Verlag,9-8 p.,berlin. Brannon, A.. Esplen, M.F. and Gray, J.J.999.Geometry.Cambridge University Press.Australia. Hac saliho¼glu, H.H iferensiyel Geometri. Cilt I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara. Hac saliho¼glu, H.H iferensiyel Geometri. Cilt II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara. Hac saliho¼glu, H.H Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi. Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yay nlar, No:, Ankara. Hac saliho¼glu, H.H Yüksek Boyutlu Uzaylarda önüşümler ve Geometriler. Inönü Üniv.Yay nlar Mat., Malatya, Türkiye Haruki, H. and Rassias, T.M A new characterization of Möbius Transfor mations by use of apollonius Hexagons. American Mathematical Society, 8(7), Karger, A. and Novak, J Space Kinematics and ie Groups. Gordon and Breach Science Publishers, Montreux. Özgür, N.Y On some mapping properties of Möbius Transformations.The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, 6(), -8. Özgür, N.Y. 00. Ellipses and Harmonic Möbius Transformations.An. Stiint. Univ. Ovidius Constanta Ser. Mat., 8(),
62 ÖZGEÇM IŞ Ad Soyad : Semra KAYA NURKAN o¼gum Yeri : Ankara o¼gum Tarihi : Medeni Hali : Evli Yabanc ili : Ingilizce E¼gitim urumu (Kurum ve Y l) ise : Ankara Incirli isesi (999) isans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (003) Yüksek isans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim al (Eylül 003 A¼gustos 006) oktora : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim al (Eylül 006 ) Çal şt ¼g Kurum/Kurumlar ve Y l Uşak Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Araşt rma Görevlisi (009 00) Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Araşt rma Görevlisi (00 0) 55
63 Yay nlar (SCI ve di¼ger) Kaya, S.,Güven, I,and Hac saliho¼glu, H.H. 0. On Möbius Transformations and Their Spherical Invariants. Advances and Applications in Math.,8(), -7 56
fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
Detaylı(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1
0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
DetaylıDarboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006
Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 0 Celal Bayar Üniversitesi
DetaylıFONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular
Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr
Detaylı6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
DetaylıDOKTORA TEZİ. Zafer ÜNAL
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ LORENZ UZAYINDA CEBİRSEL METOTLARLA KİNEMATİK Zafer ÜNAL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 007 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi LORENZ UZAYINDA
DetaylıFonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z.
Fonksiyonel Analize Giriş I Ara S nav Sorular 29 Kas m 2010 1 Bir metrik uzayda her kapal yuvar kapal bir kümedir. Ispatlay n z. 2 (a) d (x; y) = Z 1 0 jx (t) y (t)j 1 + jx (t) y (t)j dt fonksiyonunun
DetaylıBOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.
BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET
DetaylıSDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav
Dersin Kodu: MAT0 Dönemi: 00-0 Bahar Tarihi: 0.0.0 Saat:. 00 Yer: Am III-IV Süre: 90 Dakika Dersin Sorumlusu Gözetmenler SDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav : Prof. Dr. Seril PEHL IVAN : Araş. Gör.
Detaylı1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.
1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;
DetaylıSMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1
Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik
Detaylı2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik
Detaylı1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?
) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile
Detaylı2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve
) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam
DetaylıBir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,
Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700
DetaylıBaki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye
H IPERBOL IK VE KÜRESEL ÜÇGENLERIN KENAR UZUNLUKLARINA BA ¼GLI ALAN FORMÜLLER I Baki Karl ¼ga karliaga@gazi.edu.tr Murat Savaş msavas@gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
Detaylı1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.
DetaylıSORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x
SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4
DetaylıÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES
ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik
DetaylıÖZGEÇMĠġ Uluslararası hakemli dergilerde yayınlanan makaleler (SCI & SSCI & Arts and Humanities)
. Adı Soyadı: Hüseyin KOCAYĠĞĠT 2. Doğum Tarihi: 0.0.962. Unvanı: Yrd. Doç. Dr.. Öğrenim Durumu: Doktora ÖZGEÇMĠġ FOTOĞRAF Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Bölümü Atatürk Üniversitesi 986 Y.
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıA COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS
. Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri
1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner
Detaylı1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SİNGÜLER POTANSİYELLİ STRUM-LIOUVILLE OPERATÖRLERİ Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi S
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ. Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 01 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi GENELLEŞT IR ILM IŞ KANAL YÜZEYLER
Detaylı: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2
VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir.
Detaylı7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I
7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARININ GEOMETRİSİ. Semra KAYA MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MÖBİUS TRANSFORMASYONLARININ GEOMETRİSİ Semra KAYA MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 6 Her hakkı saklıdır Prof. Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU danışmanlığında,
DetaylıT.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE
T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE Zafer ŞANLI Danışman: Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ISPARTA-2009 Fen Bilimleri
DetaylıMATEMATİK ANABİLİM DALI ÖĞRETİM YILI LİSANSÜSTÜ FİNAL PROGRAMI
MATEMATİK ANABİLİM DALI 2014-2015 ÖĞRETİM YILI LİSANSÜSTÜ FİNAL PROGRAMI Kodu Dersin Adı Öğretim Elemanının Adı Sınav Tarihi Sınav Saati MAT 5209 Grup Gösterimleri ve Grup Karakterleri I Yrd. Doç.Dr. Tuğba
DetaylıAFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI
YÜKSEK LİSANS PROGRAMI BİRİNCİ YIL BİRİNCİ YARIYIL MAT-5501 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8 0 9 MAT-5601 TEZ HAZIRLIK ÇALIŞMASI Z 0 1 1 0 1 20 1 21 12 30 İKİNCİ YARIYIL MAT-5502 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıMAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar
MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar Içindekiler 1. Topolojinin Tan m, Ilk Örnekler, Aç k ve Kapal Kümeler 2. Topolojilerin Karş laşt r lmas ve Alt Uzay 3. Baz ve Alt Baz 4. Metrik
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMATEMAT IK-I (SORULAR)
Part I MATEMAT IK-I (SORULAR) SAYILAR. irrasyonel midir?. 7 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.) 3. + 3 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıDUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ
DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ AKADEMİK ÖZGEÇMİŞ BELGESİ KİMLİK VE İLETİŞİM BİLGİLERİ Unvanı Adı Soyadı E posta Prof. Dr. Erhan ATA erhan.ata@dpu.edu.tr Telefon 507 7631676 Dumlupınar Ün. Evliya Çelebi Yerleşkesi
DetaylıAKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI
KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 14 May s 2016 - Cumartesi
DetaylıAFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI DOKTORA PROGRAMI
DOKTORA PROGRAMI BİRİNCİ YIL BİRİNCİ YARIYIL ADI MAT-6501 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8 0 9 MAT-6601 TEZ HAZIRLIK ÇALIŞMASI Z 0 1 1 0 1 20 1 21 12 30 İKİNCİ YARIYIL ADI MAT-6502 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Doktora Tezi FERMI-WALKER
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıLİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2.
LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN Konu anlatımlı Örnek çözümlü Test çözümlü Test sorulu Deneme sınavlı GEOMETRİ-2 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik
DetaylıIki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)
Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada
DetaylıSalim. Yüce LİNEER CEBİR
Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış
DetaylıANAL IZ III Aras nav Sorular
Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER Naser MASROURİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıKAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİRİNCİ VE İKİNCİ ÖĞRETİM DERSLERİ
I. YARIYIL Adı Teori Uygulama KSU MT101 Analiz I 6 4 2 5 7 MT107 Soyut Matematik I 4 4 0 4 5 MT109 Analitik Geometri I 4 4 0 4 5 FZ173 Fizik I 4 4 0 4 4 OZ101 Türk Dili I 2 2 0 2 2 OZ121 Ingilizce I 2
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KÜRE ÜZERİNDEKİ KONİKLERE YENİ BİR YAKLAŞIM Esra EMİR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2010 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi KÜRE
Detaylı17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A
AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 17. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATLARI B IR INC I AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TAR IH I VE SAAT I : 24 MART 2012 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu s nav 25 sorudan oluşmaktad
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6 7! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ / 9 . LU ve Cholesky
Detaylı20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A
KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 20. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 3 May s 2015 - Pazar
DetaylıBÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
DetaylıEĞİTİM-ÖĞRETİM YILI MATEMATİK ANABİLİM DALI DERS PLANI Güz Yarı yılı HAFTALIK DERS
DERSİN KODU 2016-2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI MATEMATİK ANABİLİM DALI DERS PLANI Güz Yarı yılı HAFTALIK DERSİN ADI DERS T U L Topl. AKTS SAATİ FMT5101 Topoloji I 3 3 0 0 3 6 FMT5102 Fonksiyonel Analiz I 3
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
DetaylıSAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK
SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr
DetaylıPROBLEM SET I ARALIK 2009
PROBLEM SET I - 5 09 ARALIK 009 Soru 1 (Besanko ve Braeutigam (00), sayfa 405): Aşa¼g da tam rekabet piyasas nda faaliyet gösteren bir rman n k sa dönem toplam maliyet fonksiyonu verilmiştir: Piyasa denge
DetaylıÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı: MUSTAFA KAZAZ 2. Doğum Tarihi: Unvanı: Doçent 4. Öğrenim Durumu:
. Adı Soyadı: MUSTAFA KAZAZ. Doğum Tarihi:..965. Unvanı: Doçent. Öğrenim Durumu: ÖZGEÇMİŞ Derece Alan Üniversite Yıl Lisans MATEMATİK KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ 987 Y. Lisans MATEMATİK KARADENİZ TEKNİK
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alınan Puan
18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90
DetaylıGüz Yar y l D IFERANS IYEL DENKLEMLER I ARA SINAV 9 Kas m 2010 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI
DÜCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 00-0 Güz Yar y l D IFERANS IYEL DENKLEMLER I ARA SINAV 9 Kas m 00 Süre: 90 akika CEVAP ANAHTARI. (0p) y e x (x + 9) fonksiyonunun y 0 y e
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylıab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
DetaylıAd ve Soyad : Numaras : Analiz III Aras nav Sorular
Analiz III Aras nav Sorular 30. 11. 2006 1. (a) A = fx 2 R : x 2 4x 5 < 0g ise sup A =? (b) A R boş olmayan ve üstten s n rl bir küme olsun. > 0 ise sup(a) = sup A oldu¼gunu gösteriniz. 2. A = f(x; y)
DetaylıAdres : SĠNOP ÜNĠVERSĠTESĠ FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ MATEMATĠK BÖLÜMÜ YENĠ CEZAEVĠ YANI SĠNOP ANKARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ/MATEMATĠK (DR)
FATMA KARAKUġ DOÇENT E-Posta Adresi : fkarakus@sinop.edu.tr Telefon (İş) : (368) 271 55 16-4217 Adres : SĠNOP ÜNĠVERSĠTESĠ FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ MATEMATĠK BÖLÜMÜ YENĠ CEZAEVĠ YANI SĠNOP Öğrenim Bilgisi
DetaylıDers 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz
Detaylı30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )
3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x
Detaylı4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.
BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 1 7! MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER 1 / 15 Kaynaklar Nümerik Analiz-Bilimsel
DetaylıMAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylın ; = w! =(w 1 ; :::; w n ) (1.2.2) ; :::; + :::
1. G IR IŞ 1.1. Ön Bilgiler Laplace denklemi, zik ve mühendisli¼gin pekçok alan nda ortaya ç kt ¼g ndan matematikçilerin, mühendislerin ve bilim adamlar n n büyük bir ilgi alan olmuştur. Potansiyel Teorinin
DetaylıT.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DetaylıFOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme. Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ
FOTOGRAMETRİ II FOTOGRAMETRİK DEĞERLENDİRME - ÇİFT FOT. DEĞ. Analog ve Analitik Stereodeğerlendirme BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF336 FOTOGRAMETRİ II DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıBERTRAND EĞRİ ÇİFTİNE AİT FRENET ÇATISINA GÖRE SMARANDACHE EĞRİLERİ ÜNZİLE ÇELİK
.C. ORDU ÜNİVERSİESİ FEN İLİMLERİ ENSİÜSÜ ERRAND EĞRİ ÇİFİNE Aİ FRENE ÇAISINA GÖRE SMARANDACHE EĞRİLERİ ÜNZİLE ÇELİK YÜKSEK LİSANS EZİ ORDU 06 I II III ÖZE ERRAND EĞRİ ÇİFİNE Aİ FRENE ÇAISINA GÖRE SMARANDACHE
Detaylımat 103. Çal şma Sorular 1
mat 0. Çal şma Sorular. FONKS IYONLA. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() 4 jj (b) f() jj (c) f() 4 jj (ç) f() j j (d) f() j j (e) f() j j (f) f() j j. Aşa¼g daki
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DetaylıÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR
III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1
Detaylı2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler
2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT
DetaylıADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL
ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL-0-000 LİMİT ROTASYONLAR TARAFINDAN ÜRETİLEN GRUPLAR VE BÖLÜM YÜZEYLERİ Eren GÜMÜŞALAN Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Adnan
Detaylı1999 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1999 ULUSL NTLY MTMT IK L IMP IYTI IR IN I ŞM SRULRI Lise 1- S nav Sorular 1. f1; ; 3; :::; 1999g kümesinin, eleman say s tek say olan kaç tane alt kümesi vard r? ) 1999 ) 1998 ) 1998-1 ) 999 ) hiçbiri.
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 27 Çok farkl durumlara uygulanabilen genel bir yöntemdir. Reel de¼gişkenli,
Detaylııç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 2. Küresel geometr ın ın ınşası 2.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1
1 orijin 1 KÜRESEL GEOMETRİ VE DENİZCİLİK Ferit Öztürk ıç ındek ıler 1. Küresel geometr ı ve den ızc ıl ık 1. Küresel geometr ın ın ınşası 1.1. Küresel geometr ın ın analitik modeli 1.. Küresel üçgen 3.
DetaylıANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ DOKTORA TEZ I. Ismail GÖK MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA 2010.
ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ DOKTORA TEZ I KONTAK GEOMETR IDE YÜZEYLER TEOR IS I Ismail GÖK MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA 200 Her hakk sakl d r TEZ ONAYI Ismail GÖK taraf ndan
Detaylı8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıTEZ ONAYI Mücahit MERAL tarafından hazırlanan Kuaterniyonlara Ait Matrisler İçin De Moivre ve Euler Formülleri adlı tez çalışması tarihinde
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KUATERNİYONLARA AİT MATRİSLER İÇİN DE MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ Mücahit MERAL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır TEZ
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Ünirsitesi Fen Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Unirsity Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 18 (018) 01101 (468-476) AKU J. Sci.Eng.18 (018) 01101 (468-476) Dİ: 10.5578/fmbd.677
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
Detaylı