Çizge teorisi. 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü

Transkript

1 Çizge Algoritmaları

2 Çizge teorisi 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü

3 Königsberg Köprüleri Problemi C A D B

4 Çizge örneği 4 öğrenci: A, B, C, D 4 iş: FF, SC, W, BS FF SC W BS A B C D Soru:Tüm öğrenciler arzu ettikleri bir işe girebilirler mi? Cevap: Hayır Ch1-4

5 Çizge tanımı G çizgesi (V,E) ikilisinden oluşmuştur. Burada V(G) boş olmayan sonlu bir kümedir (elemanlarına köşe denir) E(G) ise V(G) kümesinde tanımlı bir bağıntıdır ( elemanlarına eğer varsa kiriş denir). V(G) : G nin köşeler kümesi E(G) : kirişler kümesi Kiriş {u, v} = {v, u} = uv (veya vu) G yönlü ise (digraf denir) Ch1-5

6 Örnek G=(V,E) olsun V={u, v, w, x, y, z} E={{u,v}, {u,w}, {w,x}, {x,y}, {x,z}} E={uv, uw, wx, xy, xz} G diagram u v w z x y Ch1-6

7 Komşu ve Bağlı u, v : G nin köşeleri u e v u ve v köşeleri G de komşudur eğer if uv E(G) ise ( u v ye ve v u ya komşudur) e=uv (e u ve v yi birleştiriyor) (e u ile baülıdır, e v ile bağlıdır) Ch1-7

8 Çizge çeşitleri döngü Katlı kiriş, parallel kiriş Yönsüz çizge: (basit) çizge: döngü ( ), katlı kiriş ( ) Katlı çizge: döngü ( ), katlı kiriş ( ) Pseudograph: döngü ( ), katlı kiriş ( ) Yönlü çizge: Yönlü çizge: döngü ( ), katlı kiriş ( ) Yönlü katlı çizge : döngü ( ), katlı kiriş ( ) döngü Katlı kiriş değil Katlı kiriş Ch1-8

9 Mertebe(order) ve boyut(size) G çizgesinin köşe sayısına çizgenin mertebesi denir ( V(G) ile gösterilir). Kirişlerin sayısına boyut ( E(G) ile gösterilir ). Önerme 1: Eğer V(G) = p ve E(G) = q ise Çizgenin mertebesi p ve boyutu q ise (p, q) çizgesi denir p q 2 Ch1-9

10 Çizgelerin uygulanması Ali ve Ahmet Ayşe ve Fatma ile tanışıyorlar. Mehmetle Ahmet ve Fatma tanışıyorlar. Tanışlık çizgesi: Ali Ahmet Mehmet Ayşe Fatma Ch1-10

11 Köşelerin derecesi Tanım. G çizgesinin v köşesi için N(v) = { u V(G) vu E(G) } kümesine bu köşenin komşuluğu denir. v köşesinin derecesi deg(v) = N(v) sayısına denir u x v w y N(u) = {x, w, v}, N(y)={ } deg(u) = 3, deg(y) =0 Ch1-11

12 Not Eğer V(G) = p ise 0 deg(v) p-1, v V(G) dir. deg(v) = 0 ise v köşesine tecrit edilmiş köşe denir. v ye tek köşe denir eğer deg(v) tekse. v ye çift köşe denir eğer deg(v) çiftse. Ch1-12

13 El sıkışma teoremi Theorem G bir çizge ise, v V(G) deg( v) E(G) 2 Örnek u 2 3 v v V(G) deg( v) 8 x 1 w 2 E( G) 4 Ch1-13

14 El sıkışma teoremi Özellik Her çizgenin tek köşelerinin sayısı çift sayıdır. ispat. Eğer tek köşelerin sayısı tek sayıda olsaydı, çizgenin toplam derecesi tek olurdu. Ch1-14

15 Düzgün çizge Tanım. G çizgesinin her köşesinin derecesi r ise G çizgesine r-düzgün çizge denir. G çizgesi bir r sayısı için düzgünse bu çizgeye düzgün çizge denir Örnek Not. 1-düzgün veya mertebesi 5 olan 3-düzgün çizge yoktur (Özellik) 2-düzgün Ch1-15

16 Tümleyen Tanım. G çizgesinin tümleyeni eğer V(G) = V(G) ve uv E(G) eğer uv E(G). G çizgesidir u v u v G G w x w x Ch1-16

17 Derece uygulaması Soru: n kişi var (n 2) Bu kişiler arasından hangi iki kişiyi alırsak alalım, bu kişilerin tanıdıkları kişi sayıları bir birinden farklıdır. Bu mümkün mü? ( A B yi tanıyorsa, B de A yı tanıyor) Ch1-17

18 Örnek 1 Mertebesi n 2 olan çizgenin dereceleri bir birine eşit olan en az 2 köşesinin olduğunu gösteriniz. (ipucu. Önceki sayfadaki problem.) ispat. deg(x) = 0 ve deg(y) = n-1 olacak biçimde x ve y köşeleri olmalıdır bu da olamaz Ch1-18

19 Örnek 2. G çizgesinin mertebesi 14 ve boyutu 25 tir. Köşelerinin derecesi 3 veya 5 tir. Bu çizgenin 3 dereceli kaç köşesi vardır? çözüm. x tane köşenin derecesi 3 olsun, 14-x köşenin derecesi 5 olur. E(G) =25 dereceler toplamı=50 3x + 5(14-x) = 50 x = 10 Ch1-19

20 Örnek 3. G çizgesinin mertebesi 7 ve boyutu 10 dur. 6 köşenin derecesi a ve bir köşenin derecesi b dir. b kaçtır? sol. 6a + b = 20 (a, b) = (0, 20) ( ) (1, 14) ( ) (2, 8) ( ) (3, 2) ( ) a=3, b=2. Ch1-20

21 1.3 Isomorf(denk) çizgeler G 1 G 2 v 1 v 2 u 1 u 3 u 4 u 5 v 3 v 4 v 5 u 2 v 2 G 1 ve G 2 aynıdır (köşelerin yerlerini değiştirdikten sonra). Ch1-21

22 Isomorf (denk çizgeler) Tanım. Eğer V(G 1 ) kümesinden V(G 2 ) kümesine öyle bir 1-1 ve örten fonksiyonu varsa ve uv E(G 1 ) ancak ve ancak (u) (v) E(G 2 ) koşulu sağlanıyorsa G 1 ve G 2 çizgeleri izomorfdur denir(g 1 G 2 ile gösterilir) fonksiyonuna izomorfizm denir. Önceki sayfada (v i ) = u i her i için Ch1-22

23 Tanım. Mertebesi 1 olan çizgeye önemsiz çizge denir Örnek 4 Mertebesi 6 ve boyutu 9 olan ve izomorf olmayan 2 tane 3-düzgün çizge bulunuz. Sol. G 1 G 2 Üçgen var Üçgen yok Ch1-23

24 Örnek 5 Aşağıdaki G1 ve G2 çizgelerinin izomorf olup olmadıklarını araştırınız. G 1 G 2 Üçgensiz Cevap: hayır Üçgen var Ch1-24

25 1.4 Altçizgeler Tanım. Eğer V(H) V(G) ve E(H) E(G) ise H çizgesine G çizgesinin altçizgesi denir ( H G) Örnek v w v w v w u x y x y x y G H G F G Ch1-25

26 Üretilmiş Altçizge Tanım. S V(G), S olsun. G nin köşeleri S olan en büyük alt çizgesine s den üretilmiş alt çizge denir( <S> ile gösterilir) G u v x y w H x v w y H G nin üretilmiş altçizgesi değil H {xw} Ch1-26

27 Köşelerin silinmesi Tanım.S V(G) olsun. G-S = <V(G)-S> olarak tanımlanır Eğer S={v} ise G-v yazılır. G v w G-S v w u S={x,u} ise u x y x y Ch1-27

28 Kiriş üretilmiş alt çizge Tanım. X E(G), X olsun. X den üretilmiş alt çizge, G nin kirişleri X olan en küçük alt çizgesidir ( <X> ile gösterilir) G v w <X> v w u Let X={uv,vw} u x y Ch1-28

29 Tanım. H G olmak üzere eğer V(H) = V(G) ise H a örten altçizge denir. Tanım. H = G + {uv, uw} ifadesinin anlamı E(H) = E(G) {uv, uw}, burada uv, uw E(G). Örnek 6 Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu? Hayır G v u w H v w Ch1-29

30 Örnek G =(p, q) çizge olsun. G nin kaç tane farklı kiriş üretilmiş alt çizgesi vardır? Not. Kiriş üretilmiş alt çizge cevap. 2 q -1 ( X E(G) X, 2 q -1 X ) Ch1-30

31 Dereceler dizisi Tanım. G=(V, E), V={v 1, v 2,, v p } olsun. s: deg(v 1 ), deg(v 2 ),, deg(v p ) dizisine G nin dereceler dizisi denir (Genelliği bozmadan, s artmayan olsun. Bu durumda s tek olarak belirlenir) G 3 2 s: 3, 3, 2, 1, 1, minimum derece : d(g) 3 1 maximum derece : D(G) Ch1-31

32 Not Eğer d 1, d 2,, d p bir çizgenin dereceler dizisi ise 0 d i p-1 i. ve p çifttir. i 1 s: d 1, d 2,, d p tam sayılar dizisi ve 0 d i p-1 i, ve p d i ise i 1 s in dereceler dizisi olduğunun kanıtı yoktur. d i örnek. s: 5, 5, 3, 2, 1, 0 ( p-1 ve 0 aynı zamanda olamazlar) Daha fazlası, d 1 p imkansızdır. ) Ch1-32

33 Tanım. Negatif olmayan tam sayılar dizisi verilmiş olsun. Eğer dereceleri bu dizinin elemanlarına eşit olan bir çizge varsa bu diziye grafşksel dizi denir Theorem 2 (Havel-Hakimi) s dizisi: d 1, d 2,, d p, burada d i N, i. olsun. t dizisi : d - 1, d - 3 1,, d - d 1 1, dd 2, dd 3,, d Olsun. s in grafikseldir amcak be ancak t graphieal. p Ch1-33

34 Proof of Thm 1.2: ( ) If s d - 1, d ,, d - 1 : d 1 1, dd 2, dd 3,, d p is graphical graph G 1 s.t. s 1 is the degree sequence of G 1 d 1 vertices G 1 d 2-1 d 3-1 v 2 v 3 v d1 +1 v d1 +2 d d d d1 +2 d p v p d 2 d 3 d d1 +1 d d1 +2 d p G v 2 v 3 v d1 +1 v d1 +2 v p v 1 s : d 1, d 2,, d p is graphical. Ch1-34

35 Proof of Thm 1.2: (continued) ( ) If s : d 1, d 2,, d p is graphical graph G s.t. s is the degree sequence of G with deg(v i ) = d i for 1 i p, and deg( w) w N ( v 1 ) is maximum. Claim: { v 1 v 2, v 1 v 3,, v 1 v d1 +1} E(G) i.e., d 1 d 2 d 3 d d1 +1 d d1 +2 d p v p G v 1 v 2 v 3 v d1 +1 v d1 +2 : : If the claim is true, then G-v 1 is a graph with degree sequence s 1 s 1 is graphical. Ch1-35

36 Claim: { v 1 v 2, v 1 v 3,, v 1 v d1 +1} E(G) Proof: If not, there must be two vertices v j and v k (j < k) with d j > d k s.t. v 1 v k E(G) but v 1 v j E(G). G v 1 v j v k v n Since d j > d k, v n V(G) s.t. v j v n E(G), v k v n E(G). Let G 2 = G - {v 1 v k, v j v n } + {v 1 v j, v k v n } G 2 has degree seq s but larger deg( w) w N ( v 1 ), Ch1-36

37 Algorithm s: d 1, d 2,, d p sequence of integers To determine whether s is graphical: (1) If d i =0, i, then s is graphical. If d i <0 for some i, then s is not graphical. Otherwise, go to (2). (2) Reorder s to a nonincreasing sequence if necessary. (3) Let s = s 1, (s 1 Thm 1.2), return to (1). Ch1-37

38 Example 1 s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s 1 : 3, 2, 2, 1, 2 (delete the first 4) s 1 : 3, 2, 2, 2, 1 (reorder) s 2 : 1, 1, 1, 1 (delete 3) s 3 : 0, 1, 1 (delete the first 1) s 3 : 1, 1, 0 (reorder) s 4 : 0, 0 (delete the first 1) s is graphical Ch1-38

39 Draw the graph s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s1 : 3, 2, 2, 1, 2 s1: 3, 2, 2, 2, 1 s2: 1, 1, 1, 1 s3 : 0, 1, 1 s3: 1, 1, 0 s4: 0, 0 s is graphical G Ch1-39

40 Example 2 s: 5, 4, 3, 2, 1, 1 s 1 : 3, 2, 1, 0, 0 (delete 5) s 2 : 1, 0, -1, 0 (delete 3) s is not graphical Ch1-40

41 1.6 Connected graphs Definition. A walk in a graph G is an alternating sequence W: v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,, v n-1, e n, v n (n 0) of vertices and edges, where e i =v i-1 v i, i. (W is also called a v 0 -v n walk) W is said to have length n. A trail is a walk without repeated edges. A path is a walk without repeated vertices. G u v x y w walk: x, w, v, x, w trail: x, w, v, x, y path: x, w, v Ch1-41

42 Theorem 1.3 Every u-v walk in a graph contains a u-v path. Definition (1) A cycle is a walk v 0, v 1, v 2,, v n-1, v n in which n 3, v 0 = v n, and v 1, v 2,, v n-1, v n are distinct. (n-cycle) (2) A u-v walk is closed if u=v. (closed walk) (3) A nontrivial closed trail is called a circuit. Ch1-42

43 Definition (1) Let u,v V(G), u is connected to v if u-v path. (2) G is connected if u is connected to v u,v V(G), otherwise, G is called disconnected. (3) A subgraph H of G is a component of G if H is a maximal connected subgraph of G. (4) The number of components of G is denoted by k(g). Note. is connected to is an equivalence relation Ch1-43

44 1.7 Cut Vertices and Bridges Definition A vertex v in a graph G is called a cutvertex if k(g - v) > k(g). So v is a cut-vertex in a connected graph G if G - v is disconnected. Ch1-44

45 e.g. v 1 v 2 G : v 3 cut-vertex: v 3, v 5 v 4 v 5 cut-edge: v 5 v 6 v 6 Ch1-45

46 Definition An edge e in a graph G is called a bridge (cut-edge) if k(g - e) > k(g). e.g. The graph in previous page: v 5 v 6 is a bridge. Note. (1) if v is a cut-vertex of a connected graph G, then k(g - v) 2 (2)If e is a bridge of a connected graph G, then k(g - e) =2 Ch1-46

47 Theorem 1.4 An edge e of a connected graph G is a bridge iff e does not lie on a cycle of G. Ch1-47

48 1.9 Digraphs Definition: A digraph (or directed graph) D is a finite, nonempty set V(D) of vertices and a set E(D) of ordered pairs of distinct vertices. The elements of E(D) are called arcs. e.g. u D : v w E(D) ={(v,u),(u,w), (v,w),(x,w),(w,x)} x Ch1-48

49 Definition: The underlying graph of a diagraph D: (Note: becomes w ) Definition 3: u v u is adjacent to v v is adjacent from u (u,v) is incident from u and incident to v. Ch1-49

50 Definition 4: v outdegree of v : od v (textbook), deg + (v) v indegree of v : id v, deg - (v) Thm 1.7: Let D be a digraph, then v V ( D) deg ( v) deg v V ( D) - ( v) E( D) Many properties are similar with simple graphs, but the length of a cycle can be 2. Ch1-50

51 Definition: semiwalk : W: e 1 e 2 e 3 e 4 v 1 v 3 v n (e i = (v i-1,v i ) or (v i,v i-1 ) ) Definition: Two vertices u and v in a digraph D are connected if D contains a u-v semiwalk. Ch1-51

52 Definition: 1 A diagraph D is connected if every two vertices of D are connected. weakly connected. 2 A diagraph is unilaterally connected if for every two distinct vertices u and v there is a u-v path or a v-u path. 3 A diagraph is strongly connected if for every two distinct vertices u and v there is a u-v path and a v-u path. Definition: G is symmetric if G is asymmetric if v u v u Ch1-52

53 Definition: multidigraph : allowed pseudodigraph: allowed and Definition: A digraph D in which either is called a tournament. v or (not both) u u,v V(D) Ch1-53