Betonarme2000: Çokgen Kesitli Kolon Boyuna Donatısının Hesabı Teori ve Örnekler

Transkript

1 Beonarme000: Çokgen Kesili Kolon Boyuna Donaısının Hesabı Teori ve Örnekler Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir, Öze Malzemesi, asarım kuvveleri ve kesi geomerisi bilinen bir kolonun boyuna donaısının görsel oramda çalışan Beonarme000 programı ile belirlenmesinde kullanılan eorik ilkeler ve çözüm örnekleri verilmekedir. İlk 6 örnek eorikir ve diğer araşırmacıların sonuçları ile karşılaşırılmışır. Teorik örneklerde T ve Deprem yönemeliği- 997 sınırları dikkae alınmazken diğer örneklerde dikkae alınmışır. Kolon kesii dikdörgen, daire, sekizgen, kuu, halka, L, I, T, C veya boşluklu/boşluksuz çokgen gibi herhangi bir keyfi geomeri de olabilir. Giriş Beonarme yapıların en önemli aşıyıcı elemanı kuşkusuz kolon ya da perdedir. Ne var ki çözümü de en zor olan bir problemdir. Eksenel yük ve iki yönde eğilme momeni ekisinde olan bir kolonda süperposizyon kuralı geçerli olmadığından, denge denklemlerinin uygunluk şarları da sağlanacak bir çözümünü bulmak el hesapları için kullanışlı olmayan uzun-yorucu ierasyon işlemleri gerekirir. Genelde el çözümü mümkün değildir. Çokgen kesili kolonların çözümünde bir dizi zorlukla karşılaşılır: Tarafsız eksenin konumunun belirlenmesi En büyük birim kısalmanın oluşuğu basınç nokanın belirlenmesi, Beon basınç alanını oluşuran poligonun belirlenmesi, Beon bileşke basınç kuvveinin ekidiği nokanın belirlenmesi, Uygunluk şarlarının (birim şekil değişirme) belirlenmesi, Tasarım momenlerinin eorik modelde varsayılan yönde olmaması durumu en önemlileri olarak sıralanabilir. Uygulamaya yönelik, bilgisayar programı da içeren, ilk çalışmayı 987 yılında KIRAL/DÜNDAR yapmışlardır. Bu program sadece dikdörgen kesiler için geçerliydi. Çokgen kesili kolonlar için MARJANI 989 ve DÜNDAR/ŞAHİN 99 program desekli çalışmalarını yayınladılar. Beonarme000; malzeme dayanımları, asarım kuvveleri, kesi geomerisi ve donaı planı bilinen bir kolonun doğrusal olmayan denge denklemlerini uygunluk şarları da sağlanacak şekilde NEWTON-RAPHSON ierasyon yönemiyle çözülmeke, arafsız eksenin konumunu ve gerekli donaı alanını belirlenmekedir. Klasik varsayımlar yanında; beon basınç bloğu, basiliği ve uygulama açısından önemli bir fark içermemesi (ERSOY 990) nedeniyle, eşdeğer dikdörgen varsayılmışır. Elaso-plasik davrandığı varsayılan donaı çeliğinde en büyük birim şekil değişirme sınırlandırılmamışır. TS ve Afe Bölgelerinde Yapılacak Yapılar Hakkında Yönemelik-997 koşulları dikkae alınmışır. Kesi ipi dikdörgen, daire, sekizgen, kuu, halka, L, I, T, C veya, çok daha genel, boşluklu/boşluksuz çokgen olabilmekedir, Şekil. Şekil. Kesi ipleri ve donaı planları. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

2 s Kesiin anımlanması olabildiğince basileşirilmişir. Dikdörgen kesiin iki kenar boyuunun, beon örüsün verilmesi ve Şekil de görülen ilgili donaı planlarından birinin seçilmesi kesii anımlamak için yeerlidir. Daire, sekizgen, kalka, kuu kesilerde de sadece çap ve e kalınlığının(halka ve kuu kesi) anımlanması yeerlidir. Boşluksuz genel çokgen kesilerin köşe nokalarının koordinalarını kullanıcı verir. Bu ür kesilerde donaıyı program oomaik yerleşirir. Diğer kesi iplerinde kesi ve donaı koordinaları program arafından üreilir. Boşluklu genel çokgen kesilerde hem kesiin köşe nokalarının hem de donaıların koordinalarını kullanıcı verir. Hesap sonrası; gerekli donaı alanı, önerilen donaı sayısı ve çapı, indirgenmiş arafsız eksenin konumu, basınç alanı ve akmış donaılar görsel olarak elde edilir. Kesi geomerik ve mekanik özellikleri Genel bir çokgen kesi Şekil de verilmişir. Kesi boşluklu veya boşluksuz olabilir. Kesiin n ane koordinaları bilinen köşe nokalarının bazıları dış çevre bazıları da boşluğu belirleyen iç çevre üzerindedir. Nokaların numaralanma yönü kalın oklar ile göserilmişir. Dış nokaların herhangi birinden başlanarak; dış nokalar saa yönünde iç nokalar saain ers yönünde numaralanmışır. y = a c x c Şekil. Genel çokgen kesi Dış nokaların herhangi birinden iç nokaya geçilir ve iç nokaların numaralanması amamlandıkan sonra aynı dış nokaya dönülerek dış nokaların numaralanması amamlanır. Örneğin; şekildeki kesiin nolu dış nokasından 3 nolu iç nokaya geçilmiş, iç nokalar saain ers yönünde numaralanarak 8 nokasına(3 ile aynı noka) geldiken sonra 9 nolu dış nokaya( ile aynı) dönülmüş ve dış nokalar saa yönünde numaralanmaya devam edilmişir. Bu numaralama kuralına uyulmadığı akdirde aşağıda verilen bağınılar geçerli olmayacakır. Birden çok boşluk olması durumunda da aynı kurala uyulmalıdır. Kesi içindeki, koordinaları bilinen, n s ade donaı çubuğu keyfi bir sıraya göre numaralandırılabilirler. Kullanıcının koordina vermesini gerekirmeyen donaı planlarında bu numaralandırmayı program oomaik olarak yapar. Kesi x-y koordina siseminin daima. bölgesindedir. T(x,y ) kesiin bir köşe nokası, G(x g,y g ) kesiin ağırlık merkezi, İ(x i,y i ) herhangi bir donaı nokasıdır. a>0 ve c>0 olmak üzere; eksenleri (a,0) ve (0,c) nokalarında kesen bir y doğrusunun T nokasına uzaklığı ile ve İ nokasına uzaklığı s ile göserilmişir. A kesi alanı, I xg, I yg, I xyg kesiin G nokasında anımlı x-y eksen akımına göre aale momenleri olsun. Kesi hesaplarında gerekli olan aşağıdaki anımlar bilgisayar hesaplarında uygun olmakadır. y doğrusunun kapalı denklemi: a c x y c = 0 (.) Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

3 mesafesi: a c x y ( a c ) c = (.) >0 durumunda T(x,y ) nokası y doğrusunun alındaki bölgede(orijin arafında), =0 durumunda T(x,y ) nokası y doğrusu üzerinde, <0 durumunda T(x,y ) nokası y doğrusunun üsündeki bölgededir. s mesafesi: s a c x i y ( a c ) i c = (.3) s>0 halinde İ(x i,y i ) nokası y doğrusunun alındaki bölgede(orijin arafında), s=0 halinde İ(x i,y i ) nokası y doğrusu üzerinde, s<0 halinde İ(x i,y i ) nokası y doğrusunun üsündeki bölgededir. Kesi alanı: n A = (x x )(y y ) (.4) = G nokasının koordinaları(kesi koordinalarının anımlandığı x-y eksenlerine göre): x y g g n = (y y )(x x x x ) 6A (.5) n = = (x x )(y y y y ) 6A (.6) = Aale momenleri(g nokasında anımlı x-y eksenlerine göre): n = xg (x x )(y y )(y y ) = I (.7) n = yg (y y )(x x )(x x ) = I (.8) n = [ x y (y y ) (x x ) x y ] I = xyg (x x ) (.9) 4 x = x (.4)-(.9) bağınılarda n y = y ve n alınır. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

4 0.85 f cd Birim şekil değişirme ve gerilme dağılımı Çokgen bir kesiin G ağırlık merkezine ekiyen N d, M xd ve M yd asarım kuvvei üçlüsünden oluşan birim şekil değişirme ve gerilme dağılımı Şekil 3 de göserilmişir. N d eksenel kuvvei basınçır. TE ite ε si TE ε cu ite Şekil 3. Şekil değişirme ve gerilme dağılımı Kesie koordinaları bilenen n noka ve n s ade çelik çubuk olsun. Tarafsız eksen TE ile, indirgenmiş arafsız eksen ite ile göserilmişir. ite nin konumunu a ve c paramereleri belirlemekedir. M xd ve M yd momenleri için Şekil 3 de seçilen poziif yönleri nedeniyle beon basınç alanı daima x-y eksen akımının orijini arafında oluşur. Beon basınç bloğu TS e uygun olarak, basiliği nedeniyle, eşdeğer dikdörgen seçilmişir. Beon bileşke kuvvei basınç alanının ağırlık merkezi olan C( x c, y c ) nokasına ekir. Basınç alanının arafsız eksene en uzak T(x, y ) nokasındaki beon birim kısalması ε cu dur. f cd beonun hesap dayanımıdır. 0.85f cd, k ve ε cu büyüklükleri TS de anımlıdır. Kesie ekiyen N d, M xd, M yd asarım kuvveleri, beon ve çelik çubuklarda oluşan gerilmeler ile dengededir. Denge bağınılarının yazılabilmesi için: - Tarafsız eksene en uzak ve basınç bölgesinde olan T(x,y ) nokasının - A cc beon basınç alanının, - Beon bileşke basınç kuvveinin ekidiği C(x c,y c ) nokasının, - İ(x i,y i ) nokasındaki i.çelik çubuğun ε si birim şekil değişirmesinin belirlenmesi gerekir. ve s uzaklıklarının belirlenmesi ite nin a ve c paramerelerine bağlı denklemi (.) e göre y = a c x c (.0) dir. ite nin konumu değişikçe, kendisine en uzak olan basınç nokası T(x,y) de değişebilir. Bu nedenle a ve c her değişiğinde T nokasının yeniden belirlenmesi gerekir. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

5 Bunun için, kesiin koordinaları bilinen n ane nokasının ite ye uzaklıkları (.) bağınısı ile,,..., n olarak hesaplanır. Uzaklığı negaif olan nokalar çekme bölgesinde, sıfır olan nokalar ite nin üzerinde ve poziif olanlar da basınç bölgesindeki nokalar oluğundan ite ye en uzak nokanın uzaklığı = max(,,..., ) (.) n olur. Dolayısıyla değerine karşılık gelen noka aranan T(x,y ) nokası olacakır. Beondaki en büyük birim kısalma ε cu bu nokada oluşur. Kesie bulunan n s ane donaı çubuğundan İ(x i,y i ) nokasında bulunan i.donaının ite ye olan s uzaklığı da (.3) bağınısından hesaplanır. Basınç alanının belirlenmesi Basınç alanını sınırlayan nokaların kümesi, ite ye uzaklıkları poziif veya sıfır olan nokalar ile ite nin kesi kenarlarını kesiği nokalardan oluşur. Bu nokalar kümesini belirleyebilmek için aşağıdaki algorima kullanılabilir. Basınç bölgesini sınırlayan nokaların koordinalarını içeren boş bir küme oluşurulur. Kesiin. nokasından başlanarak nokanın ite ye uzaklığı hesaplanır. uzaklık sıfır veya poziif ise, noka basınç bölgesindedir, kümeye eklenir. Uzaklığın negaif olması halinde bu noka ile bir önceki noka arasındaki kesi kenarının ite ile kesişmesi olasıdır. Kesişme konrol edilir. Varsa, kesişme nokası koordinaları hesaplanarak kümeye eklenir. Kesiin n ane nokası için bu işlem ekrarlandığında kümede basınç alanını sınırlayan n c nokanın koordinaları oluşmuş olur. Kümedeki koordinalar kullanılarak ve n yerine n c alınarak, A cc basınç alanı (.4) bağınısından n c A (.) cc = (x x )(y y ) = ve A cc alanının ağırlık merkezi olan C(x c,y c ) nokasının koordinaları da (.5) ve (.6) bağınılarından x y c c n c = (y y )(x x x x ) (.3) 6A cc n c = = (x x )(y y y y ) (.4) 6A cc = hesaplanırlar. Çelik çubukaki birim şekil değişirmenin ve gerilmenin belirlenmesi (.) ile bilindiğinden, TE nin konumu x = / k ile bellidir. İ(x i,y i ) nokasındaki çelik çubuğun ite ye uzaklığı s de (.3) bağınısından hesaplanabileceğinden Şekil 3 deki şekil değişirme diyagramından oranı ile s = ε cu ( k - k ) (.5) ε si bulunur. Elaso-plasik çelik davranışı varsayımı nedeniyle çelikdeki gerilme σ si = E ε, - f σ f (.6) s si yd si yd olacakır. Çeliğin elasisie modülü E s ve asarım dayanımı f yd TS500 de anımlıdır. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

6 Denge denklemleri Kesieki çelik çubukların aynı çaplı olduğu varsayılacakır. Toplam donaı alanı kesi alanı A s ile göserilirse her bir çubuğun A /n s s olur. Kesiin ağırlık merkezinde anımlı x-y eksen akımına göre denge denklemleri, Şekil 3 den: n s A s 0.85f cd A cc n σ si = Nd (.7) s i= n s A s 0.85f cd A cc (yg y c ) n σ si (yg y i ) = Mxd (.8) s i= n s A s 0.85f cd A cc (xg x c ) n σ si (x g x i ) = Myd (.9) s i= Denge denklemlerinin çözümü (.7)-(.9) denge denklemlerinden, (.6) süreklilik şarları da sağlanacak şekilde, A s oplam donaı alanının hesaplanması amaçlanmakadır. A cc, x c, y c ve σ si değerlerinin belirlenebilmesi için arafsız eksenin konumunun, yani a ve c paramerelerinin bilinmesi gerekir. Bu sebeple (.7)-(.9) bağınıları doğrusal olmayan bir denklem sisemidir. Bilinmeyenler a, c, ve A s dir. Bu denklemlerin çözümü için, her sayısal analiz kiabında bulunabilen, NEWTON-RAPHSON ierasyon yönemi uygun olmakadır. Bu yöneme göre a, c ve A s için bir başlangıç değeri seçilmeke ve (.7)-(.9) bağınıları yeerli bir hassasiyele(tolerans) sağlanıncaya kadar a, c ve A s değerleri değişirilmekedir. Kesiin. Bölge dışında olması durumu Burada verilen bağınılar kesiin daima.bölgede olmasını gerekirir. Bunun sağlanmaması durumunda kesi köşe nokalarının ve donaıların koordinaları program arafından değişirilerek kesi birinci bölgeye aşınır, Şekil 4. y y x min Program x Çözülen x Verilen Şekil 4. Kesiin. bölgeye aşınması Tasarım kuvvelerinin farklı yönde olması durumu Şekil 3 de poziif yönleri görülen asarım kuvveleri basınç alanının daima arafsız eksenin alında olmasını sağlar. N d, M xd ve M yd asarım kuvvelerinin Şekil 3 deki poziif kabul edilen yönde olmaması durumunda programda aşağıdaki yol izlenir: N d eksenel kuvvei basınç varsayılmışır. Çekme olması durumunda bağınılar geçersizdir, çözüm bulunamaz. M xd Hesap momeninin farklı yönde olması durumunda kesi x eksenine göre ayna roasyona abi uulur. M yd Hesap momeninin farklı yönde olması durumunda kesi y eksenine göre ayna roasyona abi uulur. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

7 Hem M xd hem de M yd momenlerinin farklı yönde olması durumunda kesi hem x hem de y erafında ayna roasyona abi uulur. Ayna roasyona uğramış kesi. Bölgeye aşınır. Farklı yönde olan momen poziif alınarak çözüm yapılır. Örnek olmak üzere; M yd momeninin ers yönde (negaif) olması durumuna ai ayna roasyon ve kesiin.bölgeye aşınması Şekil 5 de göserilmişir. Şekil 5. y ekseni erafında ayna roasyon Beonarme000 ana penceresi: Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

8 Beonarme000 ayarlar penceresi: Beonarme000 kolon boyuna donaı hesabı penceresi: Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

9 Teorik örnekler Programın es edilmesi, eksrem durumlarda davranışının gözlenmesi ve başka kaynaklarda çözülmüş örnekler ile karşılaşırılması amacıyla eorik örnekler çözülmüşür. Teorik örneklerde hiç bir yönemelik dikkae alınmamışır. Örneğin, minimum kesi alanı, eksenel kuvvein üs sınırı, minimum dışmerkezlik konrolü yapılmamışır. Buradaki amaç, N d, M xd ve M yd asarım üçlüsünün aşırı değerleri için (mesela, bu kuvvelerden birinin veya hepsinin sıfır veya birinin veya hepsinin aşırı büyük olması durumunda programın çözüm üreip üreemediğini anlamakır. Yabancı kaynaklardan alınan eorik örneklerde kesi ölçüleri, malzeme dayanımları ve kuvveler küsuralıdır. Bunun nedeni İngiliz birimlerinin SI birimine dönüşürülmesidir. Sandard dışı beon ve çelik simgesi olarak B ve Ç simgeleri kullanılmışır. Örnek: B4 karakerisik beon dayanımı f ck =4 N/mm olan beon, Ç483 karakerisik akma dayanımı f yk =483 N/mm olan çelik anlamındadır. Beon modeli için eşdeğer dikdörgen gerilme bloğu kullanılmışır.. ve 3. örneke beon ezilme birim kısalması e cu =0.005, diğer üm örneklerde e cu =0.003 alınmışır. Çelik için ideal elaso-plasik model varsayılmış, kopma uzaması sınırlandırılmamışır. Teorikörnek0: Dikdörgen kesi Beonarme000 programının gelişirilmesinde kullanılan emel örnekir. N d, M xd, M yd Tasarım üçlüsünün değişik değerleri için programın hesapladığı oplam A s donaı alanı aşağıdaki abloda verilmişir. 500 mm Beon: C5/30 (f ck =5 N/mm, γ mc =.5, f cd =6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk =40 N/mm, γ ms =.5, f yd =365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 50 mm Donaı aralığı: 400 mm 50 Tablo : Teorikörnek0 sonuçları N d M xd M yd Hesaplanan Seçilen Donaı Açıklama [kn] [knm] [knm] A s [mm ] donaı oranı ? 0 Hesaplanan donaı alanı çok büyük, program dör çubuk için uygun çap seçememişir Φ Φ Φ ? 0 Hesaplanan donaı alanı çok büyük, program dör çubuk için uygun çap seçememişir Φ Φ Φ Φ N d=0.85f cda c=0.85x6.67x500x kn, sal beon bu kuvvei karşılıyor. eorik olarak donaı gerekmez Φ ? 0 Hesaplanan donaı alanı çok büyük, program dör çubuk için uygun çap seçememişir ? 0 Hesaplanan donaı alanı çok büyük, program dör çubuk için uygun çap seçememişir. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

10 Teorikörnek0: Dikdörgen kesi Sağda kesii, donaı planı ve malzeme özellikleri verilen dikdörgen kolon örneği ÖZMEN(03) den alınmışır. ÖZMEN eşdeğer dikdörgen gerilme dağılımı kullanmış ve beon ezilme birim kısalmasını e cu =0.005 varsaymışır. Kesieki oplam donaının A s =50 mm, A s =3000 mm, A s =3750 mm olması durumları için kesiin aşıyabileceği 5 farklı N d, M xd, M yd kuvve üçlüsü hesaplamış, sonuçları ÇAKIROĞLU/ÖZER(983) formülleri ve SAP 000 ile karşılaşırarak ablo ve grafik olarak vermişir (Tablo ve Grafik ). Aynı varsayımlar ve kuvve üçlüleri kullanılarak Beonarme000 ile bu kuvve üçlülerinin gerekirdiği A s donaı alanları ve r donaı oranları hesaplanmış sonuçlar Tablo ve Grafik e, karşılaşırmak amacıyla, eklenmişir. Tablo : Teorikörnek0 karşılaşırmalı sonuçları Kuvve üçlüsü N d M xd M yd ÖZMEN A s ÇAKIROĞLU/ÖZER A s No [kn] [knm] [knm] [mm ] r [mm ] r SAP 000 A s [mm ] r Beonarme000 A s [mm ] r N d M yd b=300 mm M xd Beon: C30/37 (f ck =30 N/mm, γ mc =.5, f cd =0 N/mm ) Çelik: Ç49.75 (f yk =49.5N/mm, γ ms =.5, f yd =365 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 30 mm Donaı aralığı: b kenarında 00 mm, d kenarında 00 mm Grafik : Teorikörnek0 karşılaşırmalı sonuçları Donaı oranı % Eşdeğer dikdörgen gerilme bloğu, ecu=0.005, ideal elaso plasik çelik modeli Eşdeğer dikdörgen-parabol gerilme bloğu, e cu=0.003, ideal elaso plasik çelik modeli Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

11 Tablo ve Grafik in incelenmesinden ÖZMEN ve Beonarme000 sonuçlarının çakışığı anlaşılır. ÇAKIROĞLU/ÖZER formülleri de aminkardır. SAP 000; Eksenel kuvvein büyük, momenlerin küçük olduğu durumlarda (üm kesiin basınç alında olması durumu) aşırı farklı sonuç vermekedir. Teorikörnek03: Dikdörgen kesi 30 Beon: C30/37 (f ck =30 N/mm, γ mc =.5, f cd =0 N/mm, e cu =0.005) Çelik: Ç49.75 (f yk =49.75 N/mm, γ ms =.5, f yd =365 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 30 mm Donaı aralığı: b kenarında 300 mm, d kenarında 500 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =68 mm Beonarme000 A s =68 mm ÖZMEN (03) 300 mm Teorikörnek04: Dikdörgen kesi 40 Beon: C30/37 (f ck =30 N/mm, γ mc =.5, f cd =0 N/mm ) Çelik: B40C (f yk =40 N/mm, γ ms =.5, f yd =365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 40 mm Donaı aralığı: 50 mm 400 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =48 mm Beonarme000 A s =45 mm DURMUŞ/EYÜBOĞLU(984) A s =48 mm KIRAL/DÜNDAR(987) A s =483 mm MARJANİ(989) Teorikörnek05: Dikdörgen kesi mm Beon: B4 (f ck =4 N/mm, γ mc =.5, f cd =8 N/mm ) Çelik: Ç483 (f yk =483 N/mm, γ ms =.5, f yd =40 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 45.7 mm Donaı aralığı: b kenarında 0 mm, d kenarında 0 mm 94.4 mm 45.7 Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =888 mm (Beonarme000) A s =8394 mm (ÇAKIROĞLU/ÖZER(990) Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

12 Teorikörnek06: Dikdörgen kesi Beon: B46. (f ck =46. N/mm, γ mc =.5, f cd =30.7 N/mm ) Çelik: Ç99 (f yk =99 N/mm, γ ms =.5, f yd =60 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 9 mm Donaı aralığı: b kenarında 30 mm, d kenarında 50 mm 30 mm 9 Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =765 mm Beonarme000 A s =734 mm MARJANİ(989) As=70 mm DÜNDAR/TOKGÖZ(00) As=73 mm FURLONG(979) Teorikörnek07: Dikdörgen kesi Beon: B4 (f ck =4 N/mm, γ mc =.5, f cd =8 N/mm ) Çelik: Ç40.5 (f yk =40.5 N/mm, γ ms =.5, f yd =350 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 60 mm Donaı aralığı: b kenarında 50 mm, d kenarında 60 mm 360 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =5033 mm Beonarme000 A s =489 mm YEN (99) 60 Teorikörnek08: Dikdörgen kesi 300 mm Beon: B3.5 (f ck =3.5 N/mm, γ mc =.5, f cd = N/mm ) Çelik: Ç3 (f yk =3 N/mm, γ ms =.5, f yd =80 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 60 mm Donaı aralığı: b kenarında 480 mm, d kenarında 60 mm 60 Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =706 mm Beonarme000 A s =57 mm YEN (99) Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

13 Teorikörnek09: Dikdörgen kesi Beon: C0/5 (f ck =0 N/mm, γ mc =.5, f cd =3.33 N/mm ) Çelik: Ç400 (f yk =400 N/mm, γ ms =.5, f yd = N/mm ) Beon örüsü(paspayı)=40 mm Donaı aralığı: Herhangi bir değer verilebilir 700 mm Bu donaı planında beonarme000 donaı koordinalarını oomaik üreemez. Koordinaların verilmesi gerekir. Donaı koordinaları: Donaı no x[mm] y[mm] Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =775 mm Beonarme000 A s =8366 mm ÇAKIROĞLU/ÖZER(983) A s =7735 mm KRAL/DÜNDAR(987) A s =770 mm MARJANİ(989) Teorikörnek0: Halka kesi Beon: B4.4 (f ck =3.5 N/mm, γ mc =.5, f cd =7.6 N/mm ) Çelik: Ç (f yk =3 N/mm, γ ms =.5, f yd =43.69 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): mm Donaı aralığı: 50 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =3053 mm Beonarme000 A s =304 mm RODRIQUEZ/OCHOA(999) A s =304 mm DÜNDAR/TOKGÖZ(00) mm Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

14 Teorikörnek: Çokgen kesi-merdiven perdesi mm Bu örnek MAGALHAES(979) dan alınmışır. MAGALHAES kesie 84, Beonarme000 de ise 64 donaı çubuğu kullanılmışır. Beonarme000 bu örneğin kesi ve donaı koordinalarını oomaik üreemez, verilmesi gerekir. Kesi nokalarının numaraları daire içinde göserilmişir. Köşe nokalarındaki donaı çubuklarının (numarası görülenler) koordinaları Beonarme000 ye verildiken sonra ara çubukların koordinaları üreilmişir. Beon: B4.4 (f ck =4.4 N/mm, γ mc =.5, f cd =7.6 N/mm ) Çelik: Ç53. (f yk =53. N/mm, γ ms =.5, f yd =0. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 5.4 mm Donaı aralığı: 50 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =334 mm Beonarme000 A s =366 mm DÜNDAR/ŞAHİN(99) A s =3000 mm MAGALHAES(979) A s =30500 mm DÜNDAR/TOKGÖZ(00) A s =3658 mm CHİOREAN(03) 5 6 nın anlamı: 5 nolu donaı ile 6 nolu donaı arasındaki donaıları donaı aralığını(=50 mm) dikkae alarak oomaik üre Kesi koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Donaı koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

15 Teorikörnek: Boşluklu çokgen kesi y mm Beonarme000 bu örneğin kesi ve donaı koordinalarını oomaik üreemez, verilmesi gerekir. Kuu kesii oluşurmak için numarama aşağıdaki gibi yapılır: Kesi nokalarının numaraları daire içinde göserilmişir. Kesiin nokasından başlanarak 3 nokasına kadar saa yönünde numaralandıkan sonra 4 nokasında iç nokaya geçilmiş iç nokalar saaın ers yönünde numaralanarak 8 nokasına (4 nokası ile aynı) gelinmişir. 9 nokasında(3 nokası ile aynı) dış nokaya geçilmiş, saa yönünde numaralanmaya devam edilerek 0 nokasına gelinmişir. Kesiin düşey ve yaay kol uzunluğu aynı olmasına rağmen donaı sayıları farklıdır. Bu nedenle numarası görülen donaıların koordinaları Beonarme000 e verildiken sonra yaay kollardaki ara çubukların koordinaları üreilmişir. 3 9 Beon: B4.4 (f ck =4.4 N/mm, γ mc =.5, f cd =7.6 N/mm ) Çelik: Ç N/mm, γ ms =.5, f yd =43.69 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): mm Donaı aralığı: 00 mm 4 0 x Kesi koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Donaı koordinaları: Noka x[mm] y[mm] in anlamı: 7 nolu çubuk ile 8 nolu çubuk arasındaki çubukların koordinalarını donaı aralığını(=00 mm) dikkae alarak oomaik üre Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =48 mm Beonarme000 A s =48 mm DÜNDAR/ŞAHİN(990) A s =4056 mm RODRIQUEZ/OCHOA(999) A s =398 mm DÜNDAR/TOKGÖZ(00) A s =4059 mm CHİOREAN(03) Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

16 Teorikörnek3: L kesi 600 mm Beon: C5/30 (f ck =5 N/mm, γ mc =.5, f cd =0 N/mm ) Çelik: B40C (f yk =40 N/mm, γ ms =.5, f yd =365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 30 mm Donaı aralığı: 00 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =3079 mm Beonarme000 A s =3059 mm MARJANİ(989) 30 Teorikörnek4: L kesi 90.5 mm Beon: B36. (f ck =36. N/mm, γ mc =.5, f cd =4.3 N/mm ) Çelik: Ç40.73 (f yk =40.73 N/mm, γ ms =.5, f yd =357.6 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 9.05 mm Donaı aralığı: 55 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =000 mm Beonarme000 A s =996.8 mm HSU(985) A s =996.8 mm DÜNDAR/TOKGÖZ(00) Teorikörnek5: C kesi mm Beon: B37.88 (f ck =37.88 N/mm, γ mc =.5, f cd =6.5 N/mm ) Çelik: Ç40.73 (f yk =40.73 N/mm, γ ms =.5, f yd =357.6 N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 9.05 mm Donaı aralığı: 50 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =757 mm Beonarme000 A s =600 mm MARJANİ(989) A s =60 mm TOKGÖZ(006) mm Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

17 Teorikörnek6: T kesi mm 76. Beon: B50.6 (f ck =50.6 N/mm, γ mc =.5, f cd =33.44 N/mm ) Çelik: Ç53.9 (f yk =53.9 N/mm, γ ms =.5, f yd =6.3 N/mm ) Beon örüsü(paspayı):.7 mm Donaı aralığı: 55 mm Beonarme000 ve diğer araşırmacıların sonuçları: A s =9 mm Beonarme000 A s =8 mm TOKGÖZ(006) Sonuçlar neden farklı? Yukarıda verilen farklı araşırmacıların çözümleri, az da olsa farklıdır. Farkın nedeni nedir? Nedenler:.Beon ve çelik için farklı model kullanılması(eşdeğer dikdörgen parabol veya eşdeğer dikdörgen gerilme modeli)..çözüm için farklı yönem kullanılması(analiik, inegrasyon, ierasyon, deneysel). 4.İerasyon yönemi kullanıldığında durdurma krierinin farklı olması. 5.Aynı kesi için oplam donaı alanı belli iken kuvvelerin hesaplanması(aşıma gücü) veya kuvveler belli iken gerekli donaı alanının hesaplanması(kesi hesabı). 6.Dairesel veya halka bir kolonun modellenmesinde kullanılan noka sayısının farklı olması. 7.Sargı ekisinin dikkae alınması veya alınmaması. 8.İngiliz birimlerinin SI birimlerine dönüşürülmesinde yapılan yuvarlamalar. 9.Donaı sayısının veya donaı çubuklarının kesieki yerinin, az da olsa, farklı dolması. Beonarme000 her durumda çözüm bulabilir mi? Bazı durumlarda, nadir de olsa, beonarme000 çözüm bulamayabilir. Nedenler:.Kesi çok karmaşıkır, çok dar açılı kenarlar vardır..n d, M xd, M yd asarım kuvveleri aşırı değerlerdedir, özellikle momenler aşı büyükür. 3.Max ierasyon sayısı çok küçük seçilmişir. 4.Tolerans çok küçük seçilmişir. Çözüm bulunamaması durumunda yukarıdaki nedenleri konrol ediniz, gerekirse donaı planını değişirerek deneyiniz. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

18 Diğer Örnekler: Tes İzleyen örneklerde TS ve Deprem Yönemeliği-007 dikkae alınmışır. Örnek0: Dikdörgen kesi d=500 mm Eşdeğer Basınç alanı 30 Akmış donaı Beon: C35/45 (f ck=35 N/mm, γ mc=.5, f cd=3.33 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 30 mm Donaı aralığı: b kenarında 50 mm, d kenarında 00 mm Hesaplanan donaı: 377 mm Seçilen donaı: 0F4(539 mm ) Donaı oranı: 0.03 Bu örneke; kesi boyuları, malzemesi, donaı sayısı ve yeri ve asarım kuvveleri mulak değerce aynı olan bir kolonun momenlerinin işarei değişirilerek dör ayrı çözüm yapılmışır. Simerik kesilerde momenin işarei değişiğinde hesaplanan donaı alanının değişmediğine, faka basınç alanının yerinin değişiğine dikka ediniz. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

19 Örnek0: Dikdörgen kesi 700 mm Beon: C5/30 (f ck=5 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): b kenarında 35 mm, d kenarında 70 mm Donaı aralığı: b kenarında 50 mm, d kenarında 00 mm Hesaplanan donaı: 6488 mm Seçilen donaı: 0F(7603 mm ) Donaı oranı: Örnek03: Daire kesi 50 Beon: C0/5 (f ck=5 N/mm, γ mc=.5, f cd=3.33 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 50 mm Donaı aralığı: 00 mm Hesaplanan donaı: 4454 mm Seçilen donaı: 3F(494 mm ) Donaı oranı: 0.05 Örnek04: Sekizgen kesi 50 Beon: C0/5 (f ck=5 N/mm, γ mc=.5, f cd=3.33 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 50 mm Donaı aralığı: 00 mm Hesaplanan donaı: 476 mm Seçilen donaı: 3F(494 mm ) Donaı oranı: Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

20 Örnek05: Halka kesi 40 Beon: C40/50 (f ck=40 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 40 mm Donaı aralığı: 0 mm Hesaplanan donaı: 39 mm Seçilen donaı: 4F6(485 mm ) Donaı oranı: Örnek06: Kuu kesi mm Beon: C0/5 (f ck=5 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 40 mm Donaı aralığı: 60 mm Hesaplanan donaı: 507 mm Seçilen donaı: 8F0(5665 mm ) Donaı oranı: 0.08 Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

21 Örnek07: T kesi mm Beon: C0/5 (f ck=5 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 40 mm Donaı aralığı: 60 mm Hesaplanan donaı: 4047 mm Seçilen donaı: 0F8(5089 mm ) Donaı oranı: 0.0 Örnek08: I kesi Beon: C30/37 (f ck=30 N/mm, γ mc=.5, f cd=0 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 30 mm Donaı aralığı: 00 mm Hesaplanan donaı: 3054 mm Seçilen donaı: 36F6(738 mm )- Min donaı Donaı oranı: 0.03 Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

22 Örnek09: Dolu çokgen kesi mm mm Beon: C5/30 (f ck=5 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 30 mm Donaı aralığı: 00 mm Hesaplanan donaı: 03 mm Seçilen donaı: 8F4(77 mm ) Donaı oranı: 0.04 Örnek0: Dolu çokgen kesi 6 Kesi koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Beonarme000 bu kesii oomaik üreemez. Kesi koordinalarının programa verilmesi gerekir. Donaı koordinaları seçilen donaı aralığı(=00 mm) dikkae alınarak program arafından oomaik üreilir. 300 mm Beon: C8/ (f ck=8 N/mm, γ mc=.5, f cd= N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 30 mm Donaı aralığı: 00 mm Hesaplanan donaı: 53 mm Seçilen donaı: 4F4(55 mm ) Donaı oranı: Örnek: Dolu çokgen kesi Kesi koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Beonarme000 bu kesii oomaik üreemez. Kesi koordinalarının programa verilmesi gerekir. Donaı koordinaları seçilen donaı aralığı(=00 mm) dikkae alınarak program arafından oomaik üreilir. 400 mm Beonarme000 bu kesii oomaik üreemez. Kesi koordinalarının Kesi koordinaları: programa verilmesi gerekir. Noka x[mm] y[mm] Donaı koordinaları seçilen donaı Beon: C0/5 (f ck=8 N/mm, γ mc=.5, f cd=3.33 N/mm aralığı(=00 mm) dikkae alınarak ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm program arafından oomaik üreilir. ) Beon örüsü(paspayı): 40 mm Donaı aralığı: 00 mm Hesaplanan donaı: 909 mm Seçilen donaı: 5F(9503 mm ) -Min donaı Donaı oranı: Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

23 Örnek: Dolu çokgen kesi y mm mm Beon: C5/30 (f ck=5 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 40 mm Donaı aralığı: 50 mm Hesaplanan donaı: 584 mm Seçilen donaı: 0F0(683 mm ) Donaı oranı: Uyarı: M yd =68 kn.m (Min momen) 0 Programa M yd=00 kn.m olarak verilmişir. Ancak, program Min M yd=(50.03x900)x4000=68000 knmm=68 knm almışır. x Kesi koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Beonarme000 bu kesii oomaik üreemez. Kesi koordinalarının programa verilmesi gerekir. Donaı koordinaları seçilen donaı aralığı(=00 mm) dikkae alınarak program arafından oomaik üreilir. Örnek3: Boşluklu çokgen kesi 550 mm Beon: C5/30 (f ck=5 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 40 mm Donaı aralığı: 0 mm Hesaplanan donaı: 764 mm Seçilen donaı: 8F4(77 mm ) Donaı oranı: Min donaı Kesi koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Donaı koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

24 Örnek4: Boşluklu çokgen kesi y mm mm x Beon: C8/0 (f ck=8 N/mm, γ mc=.5, f cd= N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 00 mm Donaı aralığı: 00 mm Hesaplanan donaı: 788 mm Seçilen donaı: 76F4(3438 mm ) -Min donaı Donaı oranı: 0.03 Beonarme000 bu kesii oomaik üreemez. Kesi ve donaı koordinalarının programa verilmesi gerekir. Kesi koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Donaı koordinaları: Noka x[mm] y[mm] Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

25 Örnek4: Kuu kesi-köprü ayağı güçlendirme 700x300 mm kesili bir köprü ayağının erafına manolama yapılarak ayak güçlendirilecekir. Kuu kesili yeni ayağın şekilde verilen kuvveleri aşıması gerekmekedir. Eski ayak hesapa yok varsayılacakır. Güçlendilecek Köprü eski ayağı 700x300 mm Köprü eski ayağı erafına yapılacak mano mm mm Beon: C40/50 (f ck=40 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı): 50 mm Donaı aralığı: 00 mm Hesaplanan donaı: 748 mm Seçilen donaı: 448F0(40743 mm ) Donaı oranı: Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

26 Örnek5: Kare kesi M yd =-70 knm N d =7000 kn M xd =70 knm Eksenel kuvvei çok yüksek olan ve solda kesii görülen kolon C40/50 beonu ve B40C çeliği ile üreilecekir. Mimari nedenlerle kolon kare kesili olacakır ve boyuları en fazla 600x600 mm olmak zorundadır. Donaı çapının F0 yı aşmamsı, donaı aralığının da 50 mm den az olmaması isenmekedir. Özele: Beon: C40/50 (f ck=40 N/mm, γ mc=.5, f cd=6.67 N/mm ) Çelik: B40C (f yk=40 N/mm, γ ms=.5, f yd=365. N/mm ) Beon örüsü(paspayı) 50 mm Maks Kolon boyuu: 600x600 mm Maks donaı çapı F0 Min donaı aralığı 50 mm 600 mm Kesi boyuları müsaade edilen üs sınır (600x600 mm) ve donaı aralığı müsaade edilen al sınır (50 mm) seçilerek yapılan soldaki çözümde donaı çapının verilen üs sınırı aşığı ve ayrıca donaı oranının da üs sınırı aşığı görülmekedir. Kesi büyüülemeyeceği ve donaı aralığı daha küçük seçilemeyeceği için bu donaı planı yeersizdir. Çözüm üreebilmek için soldaki donaı planı kullanılmışır. Aşırı basınç kuvveini karşılayabilmek için kenarlardan 50 mm içeride olan ikinci sıra çubuklar konmuşur. İkinci sıra donaılar dışakilere nazaran daha az momen alacaklardır. Yani bu donaı planı pek de ekonomik olmayacakır. Ancak kısılamalar nedeniyle daha iyi bir çözüm mümkün değildir. Bu çözümde donaı çapı F6 ye düşmüş, ancak donaı oranı üs sınırı az da olsa aşmış, %4olan üs sınır %4.0 olmuşur. Fark önemsenemeyecek kadar küçükür. Bu nedenle çözüm kabul edilebilir. Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,

27 Kaynaklar ÖZMEN, G., (03), Eğik Eğilme Ekisindeki Dikdörgen Kolon Kesilerinin boyulandırılması hp:// DÜNDAR C., TOKGÖZ, S., (00), Beonarme kolonların normal kuvve-momen ekileşim diyagramları, Çukurova üniversiesi Müh.Mim.Fak. Dergisi, Cil 5, Sayı - hp:// 59_7.pdf TOKGÖZ, S, (006), Öngerilmeli ve beonarme elemanların iki eksenli eğilme ve eksenel yük ekisi alında davranışı, Dokora ezi, Çukurova üniversiesi, Adana hp://library.cu.edu.r/ezler/57.pdf DÜNDAR C., TOKGÖZ, S., (00), Değişik Gerilme Dağılım Modelleri ile Poligonal Beonarme Elemanların Eğik Eğilme ve Eksenel Yük Alında Tasarımı 6. Teknik Kongre, Ankara hp:// RODRIQUEZ, J. A., OCHOA, J. D. (999), Biaxial ineracion diagrams for shor RC columns of any cross secion., J. Sruc. Eng., ASCE, 5(6), DÜNDAR, C., ŞAHİN, B.,(99), Eğik Eğilme ve Eksenel Yük Alında Gelişigüzel Geomeriye Sahip Beonarme Elemanların Tasarımı, İMO, Teknik Dergi, C.3, S. hp:// YEN, J. Y., (99), Quasi-Newon mehod for reinforced concree column analysis and design., J. Sruc. Eng., ASCE, 7(3), ÇAKIROĞLU, A., ÖZER, E., (990), Dikdörgen ve Daire Beonarme Kesilerde Taşıma Gücü Formülleri ve Yaklaşık Merebeleri, İMO Teknik Dergi, 990, Cil, Sayı. hp:// ERSOY, U., (990), Taşıma Gücü Yönemi Varsayımları ile İlgili Bir İrdeleme, İMO, Teknik Dergi, C., S. hp:// MARJANİ, F., (989), Design of Reinforced Concree Columns Under Biaxial Bending, Yüksek Lisans ezi, ODTÜ, İnşa Müh. Bölümü, Ankara KIRAL, E., DÜNDAR, C., (987), Eğik Eğilme ve Eksenel Basınç Alındaki Beonarme Kesilerin Bilgisayar ile Hesabı, Teknik Yayınevi, No 4., Adana DURMUŞ, A, EYÜBOĞLU, U., (984), İki doğruluda bileşik eğilme ekisindeki beonarme kesilerin aşıma gücüne göre hesabı, Deprem Araşırma büleni, No 46., Ankara ÇAKIROĞLU, A. ÖZER, E., (983), Eğik Eğilme ve Eksenel Kuvve Ekisindeki Dikdörgen Beonarme Kesilerde Taşıma Gücü Formülleri, Yesa Yayınları-, İsanbul MAGALHAES, M. P., (979), Biaxially loaded concree secions., J. Sruc. Division, ASCE, 05 (ST), FURLONG, R., W., (979), Concree columns under biaxially eccenric hrus, ACI J., V. 76, No:0 Ahme TOPÇU, Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Mühendislik Mimarlık Fakülesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Eskişehir,