Doç.Dr.Erkan ÜLKER, Selçuk Üniversitesi Mühendislik F, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

Transkript

1 Sayfa 1

2 Curve Fitting with RBS Functional Networks RBS fonksiyonel ağı ile eğri uygunluğu Andr es Iglesias, Akemi G alvez Department of Applied Mathematics and Computational Sciences, University of Cantabria, Spain {iglesias,galveza}@unican.es ÖZET Bu makale de ayrık eğri uygunluğu problemini incelenmiştir. Bu literatürde çok önem verilen klasik bir problemdir. Son yıllarda bu tür uygulamalarda yapay zekâ tekniklerinin kullanımı da artmıştır. RBS fonksiyonel ağı, NURBS yüzeylerinin fonksiyonel yapısını kullanan b-spline ağırlıklı fonksiyonel ağ tabanlı bir uygulamadır. Bu makalede RBS fonksiyonel ağı kullanılarak eğri uygunluğu hesaplanmıştır. Öncelikle detaylar anlatılmış daha sonra bu metodun yüksek performansı bir örnek üzerinde anlatılmıştır. 1. GİRİŞ Son 10 yılda, Çok boyutlu karmaşık veri noktalarından eğri uydurma literatrüde çok klasik bir uygulamadır. Şimdiye kadar çok farklı alanlarda uygulamaları yapılmış olan bu problem son yıllarda yapay zeka teknikleri kullanılarak yapılan çözümleri artmaktadır. İnsan beyninden etkilenen yapay sinir ağları metodu ile datalardan öğrenme kabiliyeti kullanılmıştır. YSA çok popüler olmasına rağmen bazı yönleriyle kısıtlamaktadır. Bu kısıtlamaları gidermek üzere farklı yapay zeka teknikleri de kullanılmıştır. Bunun sonucunda da fonksiyonel ağ kavramı oluşmuştur. Yani FA, YSA dan türemiş ve sinirsel fonksiyonlar yerine scaler ağırlıklar alan bir metottur. Açıkça görülmektedir ki eğri uydurma problemi, en uygun uygunluk fonksiyonu seçilirse daha verimli olur. Diğer bir deyişle logaritmik bir fonksiyon kullanan elips ile veya sınırlandırılmış trigonometrik fonksiyonlarla mı çözüleceği karışıktır. En popüler çözüm sınırlandırılmış trigonometrik fonksiyonlarladır. Bu fonksiyonun özellikleri süreklilik, değişkenlik, hesaplaması kolay, farklılaştırılabilmesi ve bütünleşmektir. Buna rağmen yüksek değerlikli polinomlar, küçük değerlikli polinomlara göre daha dalgalıdır. Ayrıca polinomların katsayıları için de bir geometrik yorum yapılamaktadır. Bu NURBs eğrisi için büyük bir avantajdır. Çünkü NURBs birçok alanda standart bir de facto oluşturmaktadır. Bu makalede eğri uydurma problemini nurbs eğrilerine uydurarak gerçekleştirilmektedir. Bu işlem RBS (Rational B-spline) fonksiyonel ağı yardımıyla yapılmaktadır. 2 Curve fitting problem Çok boyutlu verilerden oluşan noktalarımız var : Ve eğri uydurma parametrik eğri vektör değerleri ise : C(t) = Ci : vektör katsayısı fi(t) blending fonksiyon C(t) and t ise parametrik eğrinin parametreleri Bu makalede vektörler koyu renkle yazılmıştır Sayfa 2

3 Γ Kartezyen komponenti için hatanın (squared errors) minimizasyon fonksiyonu : Fakat bizim her veri noktası ile ortak bir parametre değerine tj, ihtiyacımız vardır. Qj, j = 1,..., m. Cγ i, i = 0,..., n, katsayı bilgisi veri noktaları tarafından tanımlanmalı 1. İlk olarak, dikkatlice seçilmiş uygun bir uydurma fonksiyonu tespit edilmeli 2. Düzenli bir data noktalarının parametrelendirme olmalı 3. lineer kombinasyon katsayısı alınacak 3 NURBS curves U = {u0, u1, u2,..., ur 1, ur knot vektörü Nurbs formülü Knot fonksiyonu olmak üzere NURBs eğrisi şu şekilde hesaplanır: Pi ler kontrol noktaları Ni,k lar yukarıdaki formülle hesaplanmış temel fonksiyonu Wi ağırlık değerleri t [0-1] aralığında bir değer r = k + n. Knot vektörü iki şekilde gruplandırılabilir : Sayfa 3

4 1. uniform knot vector: her bir knot sadece bir sefer görünür ve birbirini izleyen knotlar arasındaki uzaklık eşittir. 2. non-uniform knot vectors: içteki knot tek sefer görünmesine rağmen sonuncu knot defalarca tekrarlanır. Bspline eğrilerinde genellikle kontrol noktaları arasındaki ara değeri bulunmaz ama non-uniform(periyodik) knot vektörlerde interpolasyon görülür. Bu makalede non-uniform knot vector leri kullanılmıştır. 4 Functional Networks Bu bölümde FA dan ve FA ile YSA arasındaki faklardan bahsedilecektir. 4.1 Components of a functional network Şekil-1 2 gerçel sayı arasındaki FA yı göstermektedir. F fonksiyonu Bu formülün genel olarak çözümü : FA nın bazı katmanları 1. depolama ünitesinin bazı katmanları a. İlk katman giriş unitesidir. Bu örnekte x1 ve x2 giiriş katmandır. b. İkincisi depolama ünitesinin ara katmanı. Bunlar nöron değil ara bilgileri depolayan birimlerdir. Örnekte siyah küçük dairelerle gösterilen iki tane ara birim var. Bu katman ise sonuç, yani geri dönmüş değerini verir. Örnekte u = f 1(f(x1) + f(x2)). 2. Bir veya daha fazla katmanlı nöron ve hesaplama uniti Bir nöron bir katmanda hesapladığı değerin sonuç değerini diğer katmana giriş değeri olarak verir. Örnekte 3 katmanlı bir nöron var: ilki fonksiyonların çıkışını veriri, ikincisi girişlerin toplamını verir sonuncusu ise ilk katman sonucunu diğerinin girişine verirken tersini alır. 3. Yönetim linkleri kümesi: örneğin bu örnekte FA çok katmanlı bir ağdır Sayfa 4

5 4.2 Differences between functional and neural Networks Bu bölümde FA ile YSA arasındaki farktan bahsedilmektedir. Fa nın avantajları anlatılacaktır. 1. YSA da her bir nöron bir çıkış değeri döndürür y =f(_wikxk) x1, x2,..., xn girişler. YSA da tek bir argümanı vardır oysa FA bir çok argümanı olabilir şekil-2 deki gibi. 2. YSA da tek değişkenlidir ama FA çok değişkenli olabilir. (multivariate.) 3. Verilen bir FA da ağ fonksiyonu farklı olabilir ama YSA da hepsi aynıdır. 4. YSA da ağırlıklar vardır ve bunlar öğrenilmelidir ama FA da ağırlık yoktur. 5. YSA da nöron çıkışları farklıdır, ama FA da ise rastlantısal değerler olabilir. Bu özellikler göstermektedir ki FA YSA dan daha ilginç olanaklar göstermektedir. Bu demektir ki bazı problemler FA ile çözümü YSA dan daha verimli olabilir. 5. RBS functional Networks Bu makalede yeni bir FA metodundan bahsedilmektedir. İş akış şeması şekil-3 de gösterildiği gibidir. İ ve t parametleri verilmiştir. Temel fonksiyon Nik hesaplanıyor. Ve daha sonra da wipini,k(t) (i = 0,..., n). Hesaplanıyor. Vektörel ve skaler olmak üzere iki tane farklı zaman operatörü düşünülmüştür. Şekil-3 e bakıldığında diğer bölümlerle ilk 3 katmanının aynı olduğu görülmektedir. Bu da göstermektedir ki RBS paralelizasyona uygundur Sayfa 5

6 Çalışmamız Bir Sonraki bölümümüzde NURBS eğrilerinin eğri uydurmaya en iyi aday olduğunu anlatmaktadır. Daha önceki bölümlerde anlatıldığı gibi FA, fonksiyonel yapı gerektiren problemlere uygunluğu gösterilmiştir. Buradan yola çıkarak RBS fonksiyonel ağı oluşturulmuştur. Verilen bir nokta kümesinde NURBS eğrileriyle özdeşleştirilmiş bir RBS FA sı oluşturulmuştur. n + 1 kontrol noktası, k dizside problemin çözümünü ifade eder. FA da denetleyerek (supervised) öğrenme ile eğitilmiştir. Giriş çıkış değerleri YSA sadece ağırlıklar öğrenilir FA da ise yapısal öğrenme boyunca öğreniyor ve parametrik öğrenme boyunca da hesaplar. Bu çalışmada RBS FA nın topolojisi yapısal öğrenmeye karşılık gelmektedir, parametrik öğrenmede nöron fonksiyonlarına. Yapısal öğrenmeye erişmek için, Knot vektör tanımı ve parametreler oluşturulmuş olmalı. Parametre optimizsayonu şu şekilde yapılabilir: centripetal methotu ile Sayfa 6

7 Bu aşamada parametre değerleri hesaplanıyor. FA nın ilk katmanının sinirsel fonksiyonunda knot vektörünün bilinmesi gerekir. Bu da şu ortalama metoduna göre hesaplanır Bu 3 formülün birlikte kullanımıyla Gaussian elimination yöntemiyle çözülüyor. Parametrik öğrenme genellikle bu verilen fonksiyon ailelerinin kombinasyonlarıyla gerçekleştirilmektedir. Vektör ağırlıkları ile ilgili formüller verilmiş. Ayrıca bu çalışmada meta-heuristic bir algoritma olan Particle Swarm Optimization (PSO) da kullanılmıştır. PSO kullanılarak k- boyutlu bir problemin potansiyel çözümleri tanımlanmış Sayfa 7

8 SONUÇ: Bu metot farklı verilere uygulanmıştır. Şekil 4 ve 7 de görüldüğü gibi. Veriler siyah, kontrol noktaları yeşil ve sonuç eğri uydurma değerleri ise kırmızı ile gösterilmiştir. Bu metot şunları sağlamaktadır ve 9 a göre noktaların parametre değerlerini u kullanarak knot vektörünü ve 13 deki PSO metodunu kullanarak wi ağırlıklarını PSO metodunu kullanarak wi ağırlıklarını 4. Kontrol noktalarını ilk iki örnek 2-boyutlu k = 3 ve 4 kontrol noktalı input dataları 30 noktadan oluşmakta. Şekil6 ve 7 ise 3-boyutlu, input değerleri 30 ve e200 noktadan oluşulmakta. Kısaca bu çalışmada veri noktalarına en uyan eğriyi çizdiren bir metot geliştirilmiş. NURBS eğrilerinin matematiksel karmaşıklığından uzak, B-spline temel fonksiyonu ağırlıklı, FA tabanlı RBS fonksiyonu anlatılmıştır. Metot minimum giriş değerleriyle güçlü sonuçlar vermektedir Sayfa 8