Eigenvalue-Eigenvector Problemleri

Transkript

1 Bir sistemin özvektörü sistem tarafından temel olarak değiştirilmeyen vektördür. Sadece genliği değişir, genliğin değişme miktarına da özdeğer denir. Yani sistemimizi Amatrisi ile ifade edersek; x A λ x ya da A x = λ x Burada λ, yani özdeğerlerin analitik çözümü şu şekilde olur. λ cinsinden polinom n tane λ bulunur. A x = λ x () (A λi) x = 0 (2) A λi = 0 (3)

2 Örnek A λi = λ 0 2 λ 0 λ λ = 0, λ 2 =, λ 3 = 3 = 3λ + 4λ 2 λ 3 = 0

3 Özdeğerler bulunduktan sonra özvektörler de bulunabilir. A x = λx x x 2 = 0 x 2x 2 x 3 = 0 x 2 x 3 = x = [, x 2 = x ] = 0 0, x 3 =, Biz ise bu analitik çözüm yerine sayısal bir çözüm arıyoruz, Ax = λx, λ =?, x =?

4 Bir benzerlik dönüşümü (similarity transformation) yapalım x = P x (4) AP x = λp x (5) P AP x = λx (6) Ax = λx (7) Burada λ lar değişmedi, P AP ile A nın özdeğerleri aynı. Dolayısı ile problemi daha basit hale getirmek için A yerine P AP nin özdeğerlerini bulabiliriz. Mesela bir A için P AP yi köşegen haline getiren bir P bulursak özdeğer bulma problemi çok basitleşir.

5 A λ A 22 λ... A nn λ x.... x n = 0 λ = A...λ n = A nn x =.. 0, x 2 = Evector X = P x = P I = P Yani köşegen haline getiren P nin sütunları özvektörleri verir. O zaman eğer biz verilen A yı köşegen haline getirecek bir sayısal yöntem bulursak, bu köşegen haline getiren matris bize direkt olarak özvektörleri köşegen haline gelmiş A nın köşegen değerleri ise özdeğerler verir.

6 Jacobi Rotasyonu: bir matrisi köşegen hale getrimek için sayısal bir yöntem x = Rx c = cosθ s = sinθ R = R T (unitary)

7 Jacobi Rotasyonu(Devam) A = R AR = R T AR (8) A kk = c2 A kk + s 2 A ll 2csA kl (9) A ll = c2 A ll + s 2 A kk + 2csA kl (0) A kl = A kl = (c2 s 2 )A kl + cs(a kk A ll ) () A ki = A ik = ca ki sa li i k, i l (2) A li = A il = ca li + sa ki i k, i l (3) A kl ve A lk = 0 olacak şekilde seçersek köşegen olmayan elemanlar sıfır olmuş olur. Bunu bütün elemanlar(k,l) için sıralayarak yaparsak P = R R 2 R 3... R in sıfır yaptığı yerleri R 2 bozacak ama bu etki gitgide yok olur.

8 Jacobi Rotasyonu(Devam) (c 2 s 2 )A kl cs(a kl A ll ) = 0 tan2θ = 2A kl A kk A θ bulunur. Veya cot2θ = ll tan2θ Açı bulunduktan sonra, R matrisi oluşturulur ve R AR de o değer sıfırlanmış olur. Bu işlem bütün off-diagonal yani köşegen dışı elemanlar için tekrarlanır, ta ki matris köşegen olana kadar. Sonuçta elimizde kalan köşegen matrisin köşeleri özdeğerleri, ve P = R R 2...R m nin sütünları da özdeğerleri verir. Burada m matrisi köşegen hale getirek için gereken rotasyon (R) sayısıdır.

9 Ters Üs ve Üs Metodu Bu metodlarda Jacobi metodu gibi özdenklemlerin sayısal çözümü için kullanılır. Ters Üs Metodu: Verilen A x = λ x i çözmek içinbir ilk tahmin seçelim ve bu ilk tahmini v ile gösterelim. A z = v yi çözen z yi bulalım. z v = olarak update edip bu adımları v çok değişinceye kadar z tekrarlayalım.

10 Sonuçta z = ± λ ve son kalan v özdeğer ve özvektör ü verir. İterasyonlar arasında z işaret değiştiriyorsa - işaret değiştirmiyorsa + olan alınır.

11 Ters Üs Metodu Bu metodun çalışma prensibi şöyledir. v = i= v i x i ve z = i= z i x i olarak yazılabilir. A z = v yu çözmüştük, bunları yerine koyarsak; Yani, A i= z i x i = i= v i x i i= λ i z i x i i= v i x i i= (z i λ i v i ) x i = 0 z i = v i λ i

12 Ters Üs Metodu Sonuç olarak z = z i x i = v i λ i x i = λ (v x + v 2 λ λ 2 x 2 + v 3 λ λ 3 x 3...) Dolayısı ile z x i için v ye göre daha iyi bir yaklaşım olur. Bu metod en küçük özdeğeri ve bu özdeğerin özvektörünü verir.

13 Üs Metodu Bu metod ise en büyük özdeğeri bulmada kullanılır. u ilk tahminimiz olsun. z = A u yi bulalım. u = z z ile update edelim. Sonuçta z = ±λ n ve u = x n olur. + ve - ters üs metoddaki gibi seçilir.

14 Üs Metodu Bu metodun çalışma prensibi de benzerdir i= z i x i = A i= v i x i i= (z i λ i v i ) x i = 0. (z i = λ i v i ) λ i v i ) = A u i= z i x i = i= λ i v i x i = λ n λ λ n v x + λ 2 λ n v 2 x v n x n