Ocak Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği. Doç.Dr. Ogün Dogru. Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi

Transkript

1 Ocak 2012 Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği Doç.Dr. Ogün Dogru Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi

2 Proje Herkes tarafından kabul görmüş yada ispatlanmış olan bilimsel yöntemler kullanılarak, insanlığa ve farklı bilim dallarına yarar sağlayan sonuçların elde edildiği yada yeni hükümlerin ispatlandığı bir ekip çalışmasıdır.

3 Projenin Giriş Kısmı Bu kısımda, sunulacak projenin konusu ve amacı özetlenip, kapsamı hakkında referanslara dayalı açıklayıcı bilgilere yer verilmesi öngörülür. Projenin konusu ne kadar karmaşık olursa olsun onun uygun ve anlaşılabilir bir dille özetlenmesi sizin proje konunuza olan hakimiyetinizin bir göstergesidir.

4 Projenin Amacı Güncel ve teknolojik bilgileri daha çok kullanmak, Mantıksal ve yaratıcı düşünceyi özendirmek, Problem çözme yeteneğini geliştirmek, Eleştiri yapma ve sorgulama becerisini artırmak, Yeni ispat teknikleri geliştirmek,

5 Projenin Amacı Gerek Yaşantımıza gerekse mesleğimize, farklı bakış açılarıyla yaklaşma yeteneğini geliştirmek

6 Projenin Hedefleri İnsanlığa ve farklı bilim dallarına fayda sağlayan (disiplinler arası) sonuçlar elde etmek. Özellikle Matematik, farklı bilim dallarının yararlandığı bir temel bilim dalı olduğundan bu tip sonuçları içinde yoğun bir şekilde barındırır.

7 Projenin Hedefleri Eldeki verilerden hareketle yararlı ve orijinal sonuçlara ulaşmak

8 Projenin Hedefleri Daha önce ispatlanan şeyleri genişletmek veya genelleştirmek a b n a b n a b n a b n

9 Projenin Hedefleri Daha önce yapılan ispatları basite indirgemek, Zor olan bir problemi daha basit yöntemlerle çözmek, yada zor bir işlemi daha basit bir düzeye indirgeyip anlatımı kolaylaştırarak anlaşılabilirliği artırmak,

10 x113 = 13673

11 Konvekslik ve Konkavlık

12 Kullanılan Materyal ve Yöntem Bir hesaplamayı öncekilere göre daha kolay bir şekilde veya daha az veri ışığında yapabilmek, elde edilen sonucu kuvvetlendirir. Derlenecek verilerin yapısı ve kullanılacak metodlar detaylı bir şekilde anlatılmalıdır.

13 Başarı Kriterleri Beklenen nedir? Kabaca ne gibi sonuçlar elde edilirse projenin başarılı sayılacağı açık bir dille belirtilmelidir.

14 Başarı Kriterleri Çalışma esnasında projenin planlanan şekilde gitmesine engel teşkil edecek durumların ortaya çıkma ihtimaline karşı bir B planı da verilmelidir.

15 Elde Edilen Sonuçlar Araştırmalar ve çalışmalar sonucunda elde edilen sonuçlar ispatlarıyla birlikte ayrıntılı bir şekilde sunulur.

16 Elde Edilen Sonuçlar Sonucun daha önceki sonuçlarla karşılaştırması yapılır ve elde edilen sonuçların öncekilere göre avantajları ve dezavantajları belirtilir. Matematiksel bakış açısıyla, kullanılan yöntem açısından ispatların (kısalık uzunluk gibi) avantajları belirtilir.

17 Değerlendirme Son aşamada, proje süresince belli aralıklarla ve proje sona erdikten sonra proje sonuçlarının ve etkisinin değerlendirmesi yapılır. Sonuçlar daha önce yapılan çalışmalarla karşılaştırılarak çalışmanın amacına ne ölçüde ulaşıldığı belirtilir. Proje çalışmalarında elde edilen sonuçlar bir rapor halinde yazılır.

18

19 Matematikçiler; varsayımların doğruluğunu veya yanlışlığını matematiksel ispatlarla ortaya koyan bilim insanlarıdır. Dolayısıyla Matematikçilerin yaptıkları, ispata dayandığından sonsuza dek doğruluğunu korurlar.

20 Bir olguyu açıklamak yada bir sonuca, bir hüküme ulaşabilmek için öne sürülmüş fikirlere yada koşullara hipotez denir. Hüküm; bazı öne sürülmüş fikirler yada koşullar ışığında elde edilecek olan sonuçtur. Teorem; ispatlanması gereken ve hipotezin ışığında bir hüküm içeren önermedir.

21 Lemma (Yardımcı Teorem); Teoremlerin ispatında kullanılan sonuçların yer aldığı önermelerdir ve ispata dayanırlar. Teoremler verilmeden önce kullanılan kavramlar tanımlanır.

22 Tanım olarak bilinen bazı kavramlar aslında matematiksel ispatlara dayanır ve böylece tanım olmaktan çıkarlar. Bazı tanımları genişletmek yada genelleştirmek için başka tanımlar yaparız.

23 Gamma Fonksiyonu

24 Gamma fonksiyonu; şeklinde bir genelleştirilmiş integralle tanımlanır. Bu fonksiyona genelleştirilmiş faktöriyel fonksiyonu da denilmektedir.

25 Gamma fonksiyonun sağladığı bazı eşitlikler aşağıdaki şekildedir. Son ifadede x=0 yazılmasıyla; elde edilir.

26 Eğer ifadesinde x yerine 5/2 yazılırsa; elde edilir.

27 Kesirli Basamaktan Türevler

28 Ayrıca olmak üzere, Gamma fonksiyonu yardımıyla tanımlanan ifade bize bir fonksiyonun kesirli basamaktan türevlerini göstermektedir. Eğer ise olmak üzere ve olacağından, yazılabilir.

29 Örneğin f(x) fonksiyonun 5/2 inci basamaktan türevi şeklinde hesaplanır.

30 Eğer ise olup, Gamma fonksiyonun özellikleri kullanıldığında bulunur.

31 Örneğin basamaktan türevi ifadesi yardımıyla fonksiyonunun 3/2 inci

32 İstatistiksel Yakınsama

33

34

35 Her hangi bir yakınsak dizi istatistiksel yakınsaktır fakat tersi doğru olmayabilir. İstatistiksel yakınsak olan bir dizi sınırsız da olabilir. Örneğin x k L L 1, 2, if if k k m m,( m,...) dizisi L 2 ye istatistiksel yakınsak olmasına rağmen L L 1 2 için yakınsak değildir.

36 Tanımlanan fonksiyonlar ilk bakışta anlamsız gelebilir. Bu nedenle örneklendirme yapılarak konuya açıklık getirilmelidir.

37 Dirac-Delta Fonksiyonu

38 Dirac-delta fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonuna Matematikçiler ilk başta bir anlam verememişlerdir. Oysa 1933 de P. Dirac ve E. Shrödinger bu fonksiyonun yer aldığı kuantum mekaniğindeki çalışmalarıyla Nobel ödülü almışlar ve sonraları bu fonksiyon sıklıkla kullanılan bir fonksiyon haline gelmiştir.

39 Örneğin, bazı matematiksel modellerde patlama adı verilen çok yüksek değerler ortaya çıkabilir. Buna ani voltaj yükselmeleri veya yıldırım düşmelerini örnek verebiliriz. Bu tip problemlerin matematiksel modeli yapıldığında tipinde bir diferensiyel denklemle karşılaşılır. Burada g(t), aralığında çok büyük, diğer durumlarda ise sıfır olan bir fonksiyon olarak karşımıza çıkar.

40 g(t) fonksiyonu üzerinde çok yüksek ve ani bir etki olduğundan buna etki fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir. Eğer g(t), zamana bağlı voltaj değişimini gösterirse I(n) de aralığı boyunca toplam voltaj etkisini gösterir.

41 Özel olarak sabit olmak üzere ve n çok küçük bir pozitif şeklindeki bir fonksiyon Dirac-delta tipindedir. Gerçekten; olup, sağlanır. ve t=0 için de

42 Bir diğer örnek, daire için Dirihlet probleminin çözümü olan dur. fonksiyonun çekirdeği olan Poisson çekirdeğidir ki bu da bir deltasal çekirdektir. Gerçekten dir. için ve

43 Matematikte özel durumlarda ortaya çıkan sonuçlar her zaman geçerli olmayabilir. Bu sebeple bir genelleştirme yapılırken mutlaka ispata dayandırılmalıdır. Örneğin; yarı çapı r olan bir kürenin hacmini V ile yüzey alanını da S ile gösterirsek; ve yani, elde ederiz. Oysa bu durum başka cisimler için geçerli olmayabilir.

44 Bir başka örnek olarak aşağıdakini verebiliriz.

45 Kullanılan tanımlar ve geçerli olduğu bölgeler iyi bilinmelidir. Örneğin, x pozitif bir tamsayı olmak üzere ifadesinden taraf tarafa türev alırsak; olur. Sizce bunun yorumu nedir?

46

47 Yaklaşımlar Teorisi, Analiz ve Uygulamalı Matematiğin arakesitinde yer alan ve halen güncelliğini koruyan, aktif çalışmaların yapıldığı bir alandır. Bu teorideki çalışmalara cebirsel polinomların C[ a, b] uzayında, trigonometrik polinomların ise C *[, ] uzayında yoğun olduğunu belirten Weierstrass ın (1885) teoremlerinden sonra ağırlık verilmiştir.

48 1912 yılında Weierstrass ın bu teoremini sağlayan bir polinom örneği S.N. Bernstein tarafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır. n k k n n k n x x p f x f B 0, ] [0,1 ), ( ) ( ) )( ( burada k n k k n x x k n x P ) (1 ) (, şeklindedir.

49 Yaklaşımlar teorisinde operatör dizilerinin yaklaşımının elde edilebilmesi için gerek ve yeter koşulların bulunması kolay değildir. Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun lineer pozitif operatör dizisiyle düzgün yaklaştırılması için gerek ve yeter koşullar ilk kez toplam biçimindeki özel tipten bir lineer pozitif operatör dizisi için 1951 yılında H. Bohman tarafından verilmiştir.

50

51 Bohman ın bu teoreminden sonra daha genel olarak herhangi bir lineer pozitif operatör dizisi için kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun lineer pozitif operatör dizisiyle düzgün yaklaştırılması için gerek ve yeter koşullar 1953 yılında P.P. Korovkin tarafından verilmiştir. Bu teoremler literatürde bazen Bohman- Korovkin teoremleri olarak, çoğu kez de Korovkin teoremleri olarak yer almaktadırlar.

52

53

54 Korovkin, sürekli fonksiyonlar için verdiği bu teoremi tüm reel eksende 2 periyodlu sürekli fonksiyonlar uzayı olan 1, sin x cos x C *[ a, b] uzayı için de ve test fonksiyonlarını kullanarak ifade ve ispat etmiştir.

55

56 P.P. Korovkin, Linear Operators and Approximation Theory, Hindustan Pub. Corp., Delhi, (1960). G. G. Lorentz, Approximation of Functions, Holt, New York, R.A. DeVore, The Approximation of Continuous Functions by Positive Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

57 F. Altomare and M. Campiti, Korovkin Type Approximation Theory and Its Applications, de Gruyter Stud. Math. 17, Berlin, A. Hacıyev ve H.H. Hacısalihoğlu, Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yaklaşım Özellikleri, Ankara Üniversitesi Yayınları, 1997.

58 Çeşitli metodlarla bazı uzaylardaki fonksiyonların lineer pozitif operatör dizileriyle düzgün, noktasal yada istatistiksel yakınsaklığının sağlandığı operatörleri oluşturmak. Düzgünleştirme modülü, Lipschitz tipli fonksiyonlar ve Peetre K-fonksiyonları yardımıyla fonksiyonların lineer pozitif operatörlerle yaklaşımının hızını belirlemek. Bazı test fonksiyonlarını koruyan ve daha hızlı yaklaşım veren King tipli l.p.o. dizileri oluşturmak.

59 İlk genelleşmelerin Lupaş ve Phillips tarafından yapıldığı ve daha hızlı yaklaşım veren q-tipli l.p.o. dizileri oluşturmak. Tanımlanan l.p.o. dizisinin monotonluğu ile ilgili sonuçların elde edilebilmesi için fonksiyonun sağlaması gereken koşulların belirlenmesi (artanlık, azalanlık, konvekslik, konkavlık gibi) Tüm reel eksende düzgün yakınsamanın sağlandığı l.p.o. dizilerinin ağırlıklı uzaylarda yaklaşım özelliklerinin incelenmesi. (Global yaklaşım)

60 İki yada çok değişkenli fonksiyon uzaylarında l.p.o. dizileri ile yaklaşım. L.p.o. dizilerinin türevlerinin özellikleri. (simultaneous yaklaşım, test fonksiyonlarının sağladığı diferensiyel denklemlerin bulunması, bölünmüş farklarla ifadeler v.b.) Fonksiyonların l.p.o. dizileriyle yaklaşımının test fonksiyonlarını içeren eşitsizliklerle (quantitative tahminler) gösterilmesi

61 L.p.o. dizisi için elde edilmiş olan bir quantitative tahmin yada yaklaşım hızı veren bir tahminden yararlanarak operatör içerisinde yer alan fonksiyonun hangi koşullar altında hangi uzayda (saturation sınıfı) olacağının belirlenmesi. (ters sonuçlar) L.p.o. dizileriyle fonksiyonların noktasal yaklaştırılmasındaki yaklaşım hızını veren asimptotik tahminler ve bunların elde edilmesi için gerekli koşullar.

62 Katılımınız için teşekkürler