1. Giriş 1.1 Ses Tanıma Sistemi
|
|
- Mehmet Karahan
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 1 1. Giriş Rastlantısal değişkenler ve işleyişler hakkındaki çalışmalar birçok farklı alan için temel oluşturmaktadır. Temel olasılıkla ilgili birçok kavram şansa oyunlarından hareketle elde edilebilir. Gerçekte olasılık kuramı şans oyunlarının matematiksel olarak çalışılması ile elde edilmiştir. Günümüzde büyük bir kumar sektörü olasılık kuramının altyapısı üzerine kurulmuştur. Kumarhaneler kişileri kendine çekecek kadar kazanmaya olanak veren oyunlarla donatılmıştır. Öte yandan olasılık her zaman kumarhanenin lehinedir ve kumarhane sahipleri bilirler ki oynanmaya devam edildikçe olasılık kuramı kendilerinin kazanmasını garanti edecektir. Diğer bir olasılık kuramı uygulamasında ise hisse senedi yatırımcıları büyük bir zaman ve çaba harcayarak piyasalardaki rastlantısal dalgalanmaları önceden tespit etmeye çalışırlar. Günlük işlem yapanlar günlük dalgalanmalardan, uzun vadeli yatırım yapanlar ise çok daha uzun zamanda kademe kademe oluşan gidişattan faydalanmaya çalışırlar. Bu kademeli gidişatlar ve dalgalanmaların doğası rastlantısaldır ve sadece olasılık kuramı bakış açısı ile tanımlanabilirler. Rastlantısal oluşumları yöneten diğer bir iş dalı ise sigorta endüstrisidir. Sigorta ikramiyeleri çeşitli olayların meydan gelme olasılığının dikkatli bir şekilde çalışılması ile hesaplanmaktadır. Örneğin bir araç sigorta satıcısı çeşitli sürücülerin olası kaza yapma olasılıklarını değerlendirip bunları sınıflandıracak ve her bir sınıfa o sınıfın kaza yapma olasılığına bağlı olarak ayrı bir ikramiye belirleyecektir. Diğer bir uygulamada ise bir meteorolog şu anki ve geçmişteki hava koşullarına göre geleceğe ilişkin bir hava tahmininde bulunmaya çalışır. Hava olayları rastlantısal olduğunda dolayı gelecek havaya ilişkin bildirimler olasılıkla ifade edilir (salı günü %40 olasılıkla yağmurlu gibi). Olasılık kuramı kendine bu kadar çok uygulama alanı bulduğundan, öğrenciler girdikleri alana göre farklı derecelerde olasılığı anlamak isterler. Örneğin kendisini sadece kart oyunlarında geliştirmek isteyen biri için ayrık olasılık kavramını anlaması yeterli olabilir. Operasyon yönetimi ile uğraşacaklar için kuyruk teorisini ve dolayısı ile Markov ve ilgili rastlantısal işleyişleri anlamak gerekir. Bir haberleşme mühendisi için gürültüye ilişkin modelleri ve en az gürültülü sistem tasarımını iyi bir şekilde anlamak gerekir. Bu derste işlenecek konular farklı disiplinlerin ihtiyacını da karşılayabilir ancak daha çok elektrik, elektronik ve bilgisayar mühendisliği üzerine odaklanılmıştır. Konulara başlamadan önce olasılık ve rastlantısal işleyişler kuramının çeşitli mühendislik uygulamalarında nasıl kullanıldığını göstermek için birkaç örnek incelenecektir. 1.1 Ses Tanıma Sistemi Birçok araştırmacı bilgisayar ile ses tanıma üzerine çalışmaktadır. Bir uygulama söylenen komutların bilgisayar tarafından anlaşılmasıdır. Basit bir ses tanıma sistemi şablona dayalı tanıma prosedürünü kullanabilir. Tanımladığımız ve olası kelimeleri içeren bir sözlük oluşturabiliriz ancak bu durumda tanınması gereken olası alternatifleri kısıtlamış oluruz. Her kelimeye ilişkin şablon kelimenin konuşulduğu gibi sayısallaştırılması ile elde edilir. Aşağıdaki şekilde bu şekilde oluşturulmuş basit bir sözlük gösterilmektedir.
2 2 Şekil 1. Ses tanımaya ilişkin ses şablonları içeren basit bir sözlük Şablon kelimenin zaman dalga biçimi, spektrumu yada seçilen bazı özelliklerini içeren bir vektör ün saklanması ile oluşturulabilir. Genel olarak dalga biçiminin zarfı, enerji, belli bir aralıkta sıfır değerini alma sayısı gibi özellikler saklanır. Ses tanıma oldukça teferruatlı bir iştir. Çeşitli faktörler bu işin gerçekleştirilmesini zorlaştırabilir. Örneğin etraftaki seslerin girişimi, genlik ve konuşulan kelimenin süresinin değişkenliği, konuşanın yüksek yada alçak sesle konuşması gibi sesin karakteristiklerinde meydana gelen değişimler ve sözlüğün saklanma alanı bu faktörlerden sadece birkaçıdır. Aşağıdaki şekilde aynı kelimenin farklı konuşmacılar tarafından söylenmesi durumundaki değişiklikler gösterilmektedir. Şekil 2. Farklı konuşmacılarla şablondaki değişimler
3 3 Yukarıdaki şekilden de görüleceği gibi konuşmacıdan konuşmacıya şablonlar oldukça fazla değişmektedir. Bu değişkenlik olasılık ve rastlantısal işleyişler kuramı ile tanımlanabilir. Böylece ses üretme ve tanıma ile ilgili modellerde bu olasılık tanımlamaları kullanılabilir. 1.2 Radar Sistemi Olasılık ve rastlantısal işleyişlerle bağlantılı olan klasik bir sorun da sinyal sezimlemesi ve kestirimidir. Böyle bir probleme bir örnek basit bir radar sistemidir. Bilinen bir sinyal elektromanyetik dalgaya dönüştürülüp antenle yayımlanır ve bu dalga bir uçağa çarpıp yansıyıp geri gelir. Geri gelen dalgadan elde edilen sinyal işlenerek uçak hakkında bilgi edinilmeye çalışılır. Geri gelen sinyal gürültü ve girişim içermesinin yanı sıra rastlantısallık ta gösterebilir. İlk olarak yansıyan bir sinyal olup olmadığını tespit etmek gerekir. Genellikle belli bir yanlış alarm seviyesine sahip olan bir uçak nesnesinin doğru olarak sezimlenmesi olasılığı en büyük yapılmak istenir. İlk olarak uçağın orada olduğuna karar verdikten sonra yansıyan sinyalin birçok rastlantısal parametresini kestirerek uçak hakkında bilgi alınılmaya çalışılır. Yansıyan sinyalin ulaşma zamanında uçağın radara olan mesafesini, yansıyan sinyalin frekansından uçağın hızını bulmak mümkün olur. Ancak elde edilen sinyal gürültü ve girişime maruz kaldığından sinyale ilişkin parametreleri tam bir kesinlikle kestirmek mümkün olmaz. Bu rastlantısal bozuculara ilişkin doğru bir modelle beraber en doğru kestirimi yapabilmek için prosedürler geliştirilebilir. Aynı zamanda olasılık ve rastlantısal işleyişler kuramını kullanarak sistemin başarımı da analiz edilebilir. Şekil 3. Radar sistemi 1.3 Haberleşme Ağı Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir haberleşme ağındaki bir düğümü göz önüne alalım. Düğüm kendine farklı kaynaklardan gelen bilgiyi alıp onu varacağı hedefe uygun olarak yönlendirmelidir.
4 4 Şekil 4. Radar sistemi Tipik olarak bir düğüm sabit bir hızla veriyi iletir. Paketlerin düğüme varışları rastlantısal olduğundan hemen yönlendirilemeyecek paketlerin geçici olarak saklanmasına imkan tanıyan bir tampon kapasitesi mevcuttur. Paketlerin düğüme varışlarına ilişkin bir rastlantısal model ağ tasarımcısına ne kadarlık bir tampon ihtiyacı olduğu ve tampon aşımı olasılığı hakkında bir bilgi sahibi olma olanağı tanır. Paketin düğümde uğrayacağı gecikme gibi diğer parametreler de istatistiksel olarak modellenebilir. Düğümlerin birinde bir paket üretildiğinde paketin hedefine ilişkin bir yol da belirlenmelidir. Bazı düğümler diğerlerine göre daha yoğun olabilirler ve ağdaki yoğunluk çok dinamik bir yapıya sahiptir. Dolayısı ile paketlerin yoluna ilişkin karar olasılığa dayalı olarak verilmelidir. Paketin kaybolma riskinin en az olduğu yada en az gecikme ile hedefe ulaşacağı yolu bulmak gerekir. Yol belirleleme (routing), akış kontrolü ve bunlar gibi protokoller olasılık kuramının alt yapısı ile temellenmişlerdir.
5 5 2. Olasılık Kuramına Giriş Birçok elektrik-elektronik mühendisliği bölümü öğrencisi zaman domeni yada frekans domenini kullanarak; sinyallerin sürekli ve geçici durumu bakışı ile sistemleri irdelemekte ve analiz etmektedir. Ancak bu yöntemler ne sinyaldeki değişkenliği nede gürültü ve girişim gibi bozucuları hesaba katmaktadır. Olasılık ve rastlantısal işleyişler kuramı çeşitli olaylardaki belirsizliği modellemede oldukça kullanışlıdır. Çoğu sistemin başarımı gürültüden olumsuz olarak etkilenmektedir. Bundan dolayı gürültüyü mümkün olduğunca elemine ederek istenen sinyali iyileştiren sistemleri tasarlamak bir gerekliliktir. Bir deterministik sinyal yada fonksiyon ve gürültü gibi bir stokastik yada rastlantısal bir olgu birbirinde nasıl ayrılabilir? İstenen sinyalle beraber bulunan herhangi bir istenmeyen sinyal genellikle gürültü olarak tanımlanır. Bu tanım hem determnistik hem de deterministik olmayan sinyalleri kapsamaktadır. Deterministik bir sinyal parametre değerleri ile ifade edilebilir. Örneğin sinüsoid verilen genlik, frekans ve faz değerleri ile mükemmel bir biçimde tekrar oluşturulabilir. Gürültü gibi stokastik sinyaller ise bu özelliğe sahip değillerdir. Çeşitli parametreler ile yaklaşık olarak tekrar oluşturulsalar da rastlantısal yapıları onların geçmiş değerlerine bakılarak tekrar oluşturulmalarını engeller. Daha önce de bahsedildiği gibi aynı kelimenin farklı konuşmacılar tarafından söylenmesi bile deterministik değildir; değişkenliğe sahiptir ve rastlantısal dalgalanmalar olarak modellenebilir. Tüm geçmişi olduğu gibi bilinen bir stoksatik sinyalin bile gelecekteki bir değerini genlik, frekans ve faz gibi özelliklerinden hesaplamak mümkün değildir. Ancak rastlantısal bir sinyalin genliği yada fazı belli bir olasılıkla tahmin edilebilir. Olasılık kuramı; haberleşme, sinyal işleme, kontrol ve bilgisayar gibi farklı birçok alanda model oluşturma ve analiz yapabilmek için bir araçtır. Olasılığın ve rastlantısal işleyişlerle çalışılmasının nedeni belki de karmaşık sistemleri ve olayları modelleyebilmeyi sağlamaktır. 2.1 Deneyler, Örnek Uzayları ve Olaylar Olasılık ve kumar arasındaki ilişki bir süredir bilinmektedir. Yıllar boyunca bazı ünlü bilim adamları ve matematikçiler olasılığa zaman ayırmıştırlar. Galileo zar oyunları hakkında yazmış, Laplace bazı kumar oyunlarının olasılıkları ilgili çalışmış, Pascal ve Bernoulli şans oyunları ile ilgili çalışmalar yaparken olasılığın temel teorisini oluşmasına sebep olmuşlarıdr. Bu erken çalışmadan buyana olasılık kuramı matematiğin oldukça gelişmiş bir dalı olmuştur. Temel olasılık kuramının bu başlangıç kısımlarında temel fikirleri açıklamak için şans oyunları sıkça kullanılacaktır. Deney: Gerçekleştirilen ve bazı sonuçlar üreten prosedürlerdir. Genellikle E harfi deneyi göstermek için kullanılır. (Örneğin deney E 5 bir bir bozuk parayı 5 kez atmayı temsil edebilir) Sonuç: Bir deneyin olası sonucudur. Yunan alfabesindeki ksi (ξ) karakteri ile gösterilir. E 5 deneyinin sonuçları örneğin tura-tura-yazı-tura-yazı biçimindeki bir dizi olabilir.
6 6 Olay: Olay sonuçların belli bir dizisidir. Örneğin E 5 deneyi ile ilişkilendirilen bir C olayı turaların sayısının çift sayı olması olabilir. Örnek Uzayı: Bir deneyin sonuçlarının tüm olası sonuçlarını içeren kümedir S harfi ile gösterilir. Eğer S sonlu ise örnek uzayı ayrık örnek uzayı olarak isimlendirilir. Diğer durumlarda ise sürekli örnek uzayı olarak isimlendirilir. Bazı durumlarda örneğin bir bozuk paranın atılmasında paranın dik gelmesi gibi olma olasılığı çok düşük olan sonuçlar mevcut olabilir bu gibi durumlar örnek uzayına genellikle dahil edilmezler.
7 7
8 8
9 9 2.2 Olaslığın Aksiyomları Bu kısımda; deney, sonuç ve olay kavramı tanıtıldıktan sonra ikinci adım olarak çeşitli sonuç ve olaylara olasılık atama gerçekleştirilecektir. Bunun için olasılığın dikkatli bir biçimde tanımlanması gerekir. Olasılık ve olası sözcükleri günlük konuşmalarda sıkça kullanılır. Meteorologlar akşam haberlerinde yarın yağmur yağması olası yada daha ayrıntılı olarak %70 yağmur yağma olasılığı var diyebilirler. Her ne kadar hassas bir ifade kullanılmış olsa da bunu çeşitli biçimlerde yorumlayabiliriz. Belki izleyicilerin %70 nin yarın yağmurla karşılaşacakken diğer %30 nun karşılaşmayacağı da denmek isteniyor olabilir. Yarın tekrarlanmaz ve bu deney yalnız bir kez yapılabilir. Sonuç yağmurun yağması yada yağmaması olacaktır. Meteorolog nasıl olsa yarın tekrarlanamaz ve tahmininin doğruluğu test edilemez diye böyle bir yorum da yapmış olabilir. Ancak benzer durumlar ile test yapılabilir. Benzer meteorolojik koşullar altındaki bir günün ertesi gününde %70 ihtimalle yağmur yağabilir diyebiliriz. Gerçekte bulunan meteorolojik koşullara göre meteorolog kendinin geçmiş deneyimlerine göre tahmin yaparak %70 ihtimalle yağmur yağacağını bildirmektedir. Günlük yaşantımızdaki kullanımından da bildiğimiz gibi olasılık kelimesi çeşitli olayların olmasının olasılığını ifade eder. Yani daha genel bir ifade ile olasılık bir olayın olması olasılığına ilişkin rakam değerleri üreten bir fonksiyondur. Böyle bir fonksiyonu tanımlamanın birçok yolu vardır. Duruma göre çeşitli olaylara ilişkin olasılık belirlemenin birçok yolu bulunmaktadır. Ancak olaylara ilişkin olasılık belirleyen herhangi bir yöntemin sağlaması gereken 3 tane aksiyom bulunmaktadır. Aksiyom 1: Herhangi bir A olayı için Pr(A) 0 dır. Aksiyom 2: Eğer S bir deneye ilişkin örnek uzayı ise Pr(S)=1 dir. Aksiyom 3.a: Eğer ise Pr Pr Pr dir. Yukarıdaki aksiyomlar oldukça açıktır ve bunların ispat edilmesine gerek yoktur. Belirtilen aksiyomlardan ve az sonra belirtilecek aksiyomdan hareketle tüm olasılık kuramı elde edilebilir. Diğer aksiyoma geçmeden önce aksiyom 3.a dan elde edilen sonucu inceleyelim. Sonuç 1: M adet birbirini dışlayan küme olduğu varsayılsın ve bu kümeler,,, biçiminde gösterilsin. için; Pr biçimindedir. (1) Aksiyom 3.b: Sonsuz sayıdaki birbirini dışlayan küme, 1,2,3,, için Pr (2) Aksiyom 3.a ve sonuç1 aslında aksiyom 3.b nin özel durumlarıdır.
10 10 Teorem 1: A ve B gibi herhangi iki küme için; Pr Pr Pr Pr (3) biçimindedir. İspat: Aşağıdaki şekilde Venn diyagramı gösterilmektedir. Şekil 5. Teorem 1 in ispatı için Venn diyagramı A ve B nin kapladığı alanları bunların olasılıkları olarak düşünürsek nin olasılığının denklem (3) teki gibi olduğu rahatça anlaşılır. Teorem 2: Pr 1Pr İspat: 1Pr Pr Aksiyom 2 Pr Pr Aksiyom 3.a Pr 1Pr Teorem 3: ise Pr Pr İspat: Exercise 2.4 ü incele 2.3 Olasılık Belirleme Önceki kısımda olasılık bir olayın yada olayların olması olasılığının ölçüsü olarak tanımlandı. Belli olayların olasılıkların nasıl belirleneceği ise belirtilmedi. Bu kısımda olayların içinden bir olayın olması olasılığını gösteren olasılıklar belirlenmeye çalışılacaktır. Bu amaçla iki yöntem kullanılmaktadır. Çoğu deneyde deneye ilişkin tüm sonuçları deneyin temel bazı sonuçlarından elde etmek mümkün olur. Bu temel sonuçlara atomik sonuçlar ismi verilir. Bunlar daha basit olaylara ayrıştırılamayan en temel olaylardır. Bu atomik sonuçlar ile daha karmaşık ve daha ilgi çekici olaylar elde edilebilir. Çoğu kez bir deneydeki tüm atomik olaylara eşit bir olasılık değeri atanabilir. Bu durumda M adet dışlayan eksiksiz atomik olayın her biri için 1/M olasılığı belirlenebilir. Bunu açıklamak için bir E deneyine ilişkin M adet atomik sonucu
11 11, biçiminde gösterelim. Bu olayların eksiksiz ve dışlayan olduğunu varsayalım ( ) ve ( ). Sonuç 1 ve aksiyom 2 ye göre; Pr Pr Pr Pr Pr 1 (4) biçiminde olur. Eğer her atomik sonuç eşit olasılıklı ise Pr 1/ olur. Bu olaylara ilişkin olasılık değerleri belirlendikten sonra daha kapsamlı olaylara ilişkin olasılıklar da belirlenebilir. Bu yaklaşım ile olasılık belirlemeye klasik yaklaşım denilir.
12 12
13 13 Olasılık belirlemede klasik yaklaşım kullanırken dikkat edilmelidir. Atomik olaylar kümesi yanlış olarak tanımlanırsa yanlış sonuçlar elde edilir. Örnek 2.8 de iki zarın yüzeyindeki sayıların toplamının farklı olmasına karşın bu toplamları atomik olaylar olarak belirlenebilirdi. Pr 2 Pr 3 Pr 12 1/11 (5) Oysa oyunlarla uğraşan herkes bilir ki zarlar toplamının 2 gelmesi olasılığı 7 gelmesi olasılığından çok daha küçüktür. Buradaki problem belirlenen atomik olayların en temel sonuçlar olmaması ve bunların daha basit olaylara ayrıştırılabilmeleridir. Klasik yaklaşımda karşılaşılan tek problem bu değildir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin boyunun ölçülmesi deneyini göz önüne alalım. Ölçüm sonucu en yakın değere yuvarlanıyor olsun. Bu deneye ilişkin atomik sonuçlar sınıftaki tüm öğrencilerin boyları olacaktır. Ancak her boya eşit olasılık atamak pek doğru olmayacaktır çünkü çok uzun yada çok kısa boylu olma olasılığının orta boylu olma olasılığına göre çok daha küçük olması gerekir. Bu durumda boylara ilişkin olasılık atamaları nasıl yapılmalıdır. Klasik yaklaşımla olasılık belirlemeye ilişkin sorunlar nispi (relative) frekans yaklaşımı ile çözümlenebilir. Nispi frekans yaklaşımı deneyin tekrarlanabilmesini gerektirir. Yani bir A olayı yapılan deney sonucu elde ediliyorsa bir çok deney sonucu A olayının kaç kez gözlemlendiğini ölçmek gerekir. Eğer n deneyin tekrarlanma sayısını ve A olayının görülme sayısını gösteriyorsa A olayının olasılığı aşağıdaki gibi belirlenebilir. Pr lim (6) Olasılık belirlemede kullanılan bu yaklaşım deneysel sonuçlara dayalıdır.
14 14 Bir olayın olasılığını tam bir şekilde nispi frekans yaklaşımı ile ölçmek istiyorsak sonsuz sayıda tekrara ihtiyacımız olacaktır. Bu yöntemin en önemli eksiği de budur. Öte yandan ilgilenilen çoğu rastlantısal oluş tekrarlanabilir değildir. Durum bir kez oluşabilir ve biz buna nispi frekans yaklaşımı ile olasılık belirleyemeyiz. 2.4 Bileşik ve Koşullu Olasılık A ve B gibi iki kümenin olduğunu varsayalım. Daha önceki kısımda iki kümenin bileşimine ( ) ilişkin olasılığın nasıl hesaplandığını gösteren birkaç örnek çözülmüştü. En az bileşime ilişkin olasılığa olan ihtiyaç kadar iki kümenin kesişiminin ( ) olasılığını da hesaplama ihtiyacı duyulur. Bu olasılığa bileşik (joint) olasılık (Pr denilir. Genellikle Pr, notasyonu ile gösterilir. Bu tanım ve notasyon herhangi bir sayıdaki küme için genişletilebilir.,,,.olaylarının bileşik olasılığı Pr olur ve daha basit bir notasyonla Pr,,, biçiminde gösterilir. Bileşik olasılığın ne olduğunu gösterdikten sonra sıra nasıl hesaplandığını göstermeye geldi. Aksiyom 3.a ve teorem 1 karşılaştırıldığında A ve B nin birbirini dışlaması durumunda bileşik olasılıklarının 0 olduğu görülür. Yani A ve B birbirini dışlıyor ise Pr, Pr 0. Bu ise asla olmayacak olan bir olay anlamına gelir. Genel olarak A ve B ye ilişkin bileşik olasılığını hesaplamak için olasılık kuramında 2 yol bulunmaktadır. Birincisi olarak klasik yaklaşım kullanılabilir. İki olay (A ve B) atomik sonuçlar olarak ifade edilir ve daha sonra yi atomik sonuçların bir kümesi olarak yazılabilir. Alternatif olarak nispi frekans yaklaşımını kullanılabilir. Eğer, yapıaln n adet
15 15 denemede A ve B nin aynı anda oluşmasının sayısını gösteriyorsa bileşik olasılık aşağıdaki gibi yazılabilir. Pr, lim, (7) Örnek 2.11: Standart bir deste oyun kartında 52 kart bulunur. 13 er adet maça, kupa, karo ve sinek şeklindeki 4 takım (as,2,3,4,,10,vale,kız,papaz); iki kırmızı takım (kupa ve karo) ve iki siyah takım (maça ve sinek). Öte yandan valeler, kızlar ve papazlar suratlı kağıtlar diğerleri rakamlı kağıtlar olarak isimlendirilir. Kartların iyi bir şekilde karıştırıldığını ve desteden bir kart seçildiğini varsayalım. Deney seçilebilecek 52 farklı karta ilişkin 52 atomik sonuca sahiptir. Bu durumda her bir atomik sonuç 1/52 olasılığına sahip olur. Olaylar A={kırmızı kart seçilmesi}, B={rakamlı kart seçilmesi} ve C={kupa seçilmesi}. 26 kırmızı kart olduğundan A 26 atomik sonuca sahiptir ve Pr 1/2 dir. Benzer şekilde Pr 10/13, Pr 1/4 tür. A ve B olayının birlikte gerçekleştiği 20 sonuç vardır; Pr, 5/13. Benzer şekilde Pr, 1/4, Pr, 5/26 olur. Bu örnekte ilginç bir sonuçta Pr, Pr olmasıdır çünkü ve bunun sonucu dir. Bir olayın görülmesi başka bir olayın görülmesine bağlı olabilir. Önceki örnekte A={kırmızı kart seçilmesi} olayının olasılığı Pr 1/2. Eğer C={kupa seçilmesi} olayının gerçekleştiği biliniyorsa A kesindir yani olasılığı 1 dir çünkü tüm kupalar kırmızı renklidir. Benzer şekilde C olayının gerçekleşmediği biliniyor ise geriye 39 kart kalır ve bunların 13 tanesi kırmızıdır (hepsi karo) ve bu durumda A nın olasılığı 1/3 olur. Açıktır ki A nın olasılığı C olayının olmasına bağlıdır. C olayının gerçekleşmesi bilgisi ile A nın olaslığı; A nın C ile koşullu olasılığı olarak isimlendirilir. Tanım: A nın B nin gerçekleşmesine bağlı koşullu olasılığı aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. Pr, (8) Bazı durumlarda koşullu olasılığı hesaplama bileşik olasılığı hesaplamaktan daha kolay olmaktadır ve aşağıdaki denklemler bileşik olasılığı hesaplamak için daha uygun bir yol olmaktadır. PrA, B Pr Pr Pr Pr (9) Buradan hareketle ikiden fazla olay için denklemler genişletilebilir. Pr,, Pr, Pr,, Pr (10) Daha genel bir biçimde,,, ile gösterilen M adet olayın bileşik olasılığı Pr,,,,,, Pr,,, Pr (11)
16 16 Örnek 2.12: İskambil kağıtları deneyine geri dönelim. Bu sefer desteden rastgele 2 kart seçildiğini varsayalım. İkinci kart seçildiğinde ilk kartın desteye geri konulmadığını varsayalım. İlk seçimde hangi kartın seçildiği biliniyorsa ikinci kartın seçilmesindeki olasılıklar biraz daha farklı olacaktır. Bu durumu açıklamak için A={ilk kart maça} ve B={ikinci kart maça} olduğunu kabul edelim. A olayının olasılığı bir önceki örnekteki gibi Pr 1/4 hesaplanabilir. Benzer şekilde ilk kartın ne seçildiğini bilmiyorsak Pr 1/4 tür. A ve B nin bileşik olasılığını hesaplamak için biraz saymamız gerekir. İlk kart seçildiğinde 52 olası sonuç vardır. Geriye hiçbir kart konulmadığından ikinci kart seçildiğinde 51 olası sonuç olacaktır. Bu deneyde desteden iki kart çekildiğinden 52x51 olası sonuç bulunur ve bunların hepsi eşit olasılıklıdır (1/(52x51)). Benzer şekilde 13x12 sonuç olayına aittir. A ve B nin bileşik olasılığı Pr, 1/17 olur. İkinci kartın; ilk kartın maça olması durumunda, maça olma olasılığı, / 4/17 olur. Öte yandan bu koşullu olasılığı doğrudan hesaplamak bileşik olaslığı hesaplamaktan daha kolaydır. Eğer ilk seçilen kartın maça olduğu biliniyorsa destede 51 kart kalmış olduğuna göre ikinci kartın maça olması olasılığı 4/17 dir. Bir kez koşullu olasılık hesaplandıktan sonra Pr, Pr Pr 1/17 olarak bulunur. Örnek 2.13: Poker oyununda standart 52 kartlık destedeki 5 kart ile uğraşılır. Maçalarla floş yapma olasılığı nedir? (Floş 5 kartında aynı takımdan oluşması.) Herhangi bir takımla floş yapma olasılığı nedir? Bu sorulara cevap verebilmek için önceki örneğin biraz daha genişletilmesi gerekir. i inci kartın maça olduğu olayı göstersin 1,2,,5. Pr 1/4 Pr, Pr Pr /17 Pr,, Pr, Pr, /850 Pr,,, Pr,, Pr,, /4165 Pr,,,, Pr,,, Pr,,, /66640 Herhangi bir takımdan floş yapma olasılığını bulabilmek için aşağıdaki adımlar takip edilebilir. Prş Prç ş ş ş ş Prç ş Pr ş Pr ş Pr ş Dört olayın da olması olasılığı eşit olduğundan Prş 4ç ş
17 Bayes Teoremi Bu kısımda koşullu olasılıkla ilgili birkaç sonuç elde edilecektir. Bu sonuçlar oldukça basit ancak çok kullanışlı olduklarından burada ayrı bir kısımda inceleneceklerdir. Aşağıda belirtilen teorem aslında bir önceki kısımda ispat edilmiştir. Teorem 4: A ve B ile gösterilen herhangi iki olay için Pr 0 olmak üzere (12) İspat: Pr, Pr Pr olduğu daha önce gösterilmişti (denklem (9)). Teorem 4 Pr nin hesaplanmasının Pr ya göre zor olduğu durumlarda kullanışlı olmaktadır. Teorem 5:,,, ile gösterilen olayların birbirini dışlayan ( )ve eksiksiz ( ) olduklarını varsayalım. Pr 1 (13) Buradan da; Pr Pr (14) elde edilir. İspat: Aşağıda gösterilen Venn diyagramını inceleyelim. Şekil 6. Toplam olasılık teoremini ispatlamak için kullanılan Venn diyagramı Venn diyagramından da görüleceği gibi A olayı aşağıdaki gibi yazılabilir. A (15) Pr Pr (16)
18 18 ler birbirini dışladığından ler de birbirini dışlar. Buna göre denklem (16) aşağıdaki gibi yazılabilir. Pr Pr, (17) Pr Pr (Teorem 5) (18) Son olarak teorem 4 ve 5 teki sonuçlar birleştirilirse Bayes teoremi elde edilir. Teorem 6 (Bayes Teoremi):,,, ile gösterilen olayların birbirini dışlayan ( )ve eksiksiz ( ) olduklarını varsayalım. (19) Terminolojik olarak Pr, olayının priori olasılığı ise posteriori olasılığı olarak bilinir. Priori: Bilinen bir modelle elde edilen olasılık Posteriori: Bazı belli olayları gözlemledikten sonra elde edilen olasılık. Daha ileride mühendislik uygulaması olarak Bayes teoreminin sinyal sezimlemede nasıl kullanıldığı gösterilecektir. Örnek 2.14: Bir konser salonunda 30 sıra sandalye bulunmaktadır. Sıra 1 de 11 sandalye, sıra 2 de 12 sandalye, sıra 3 te 13 sandalye olacak şekilde artarak sıra 30 da 40 sandalye olacak şekilde bir dağılım yapılmıştır. Rastgele olarak seçilecek bir sıradan rastgele olarak seçilecek olan bir sandalyenin sahibine bir ödül verilecektir. Sandalye 15 in sıra 20 nin seçilmiş olmasından sonraki seçilme olasılığını ve sıra 20 nin sandalye 15 seçilmiş olmasından sonraki seçilme olasılığını bulunuz. Çözüm: Sorunun ilk kısmının çözümü daha kolaydır. Sıra 20 nin seçilmiş olduğu biliniyorsa Pr /30 olur. Bayes teoremine başvurmadan sandalye 15 in seçildiğini bilerek sıra 20 nin seçilme olasılığını bulmak oldukça zor olacaktır. Bayes teoremi kullanıldığında, Pr 15 20Pr Pr 15 Pr Pr
19 19 Sıra 20 nin seçilmiş olmasının priori olasılığı 1/30= dür. Sandalye 15 in de ek olarak sıra 20 den seçilmiş olması olasılığı ise daha düşüktür. Bazı bakışa göre bu pek mantıklı olmayabilir çünkü eğer sandalye 15 in seçilmiş olduğunu biliniyorsa bazı sıraların seçilme olasılığı kalmamış olur (sıra 1-4 te 15 ten az sandalye vardır). Bundan dolayı sıra 20 nin seçilmiş olması olasılığının; hangi sandalyenin seçilmiş olduğu hakkında bir bilgi sahibi olunmadığı duruma göre daha büyük olması gerektiği beklenebilir. Olasılığın neden düştüğünü anlamak için sandalye 15 in seçilmiş olduğunun biliniyor olmasından sonra sıra 5 in seçilmiş olma olasılığını hesaplamaya çalışın. Sandalye 15 in seçilmiş olması olasılığı bazı sıraların seçilmesini daha olası yaparken bazı sıraların seçilmesi olasılıklarını düşürmekte bazılarını ise imkansız yapmaktadır. 2.6 Bağımsızlık Örnek 2.14 te bir olayın gözlemlenmesinin başka bir olayın görülmesi olasılığı üstünde etkisi olduğu görülmüştür. Örnekteki durumda sandalye 15 in seçilmiş olması durumunda sıra 20 nin seçilmiş olma olasılığı düşmektedir. Buna 20 ç olayının 15 ç olayına istatiksel olarak bağlı olması denilir. Eğer konser salonunun düzeni her sırada eşit sayıda sandalye olacak şekilde değişirse, 15 ç olayının 20 ç olayının olasılığı üzerinde bir etkisi olmayacaktır. Bu durumda A ve B olayları istatistiksel olarak bağımsızdır denilir. Matematiksel olarak A ve B olayları bağımsız ise Pr olur. Yani A nın priori olasılığı posteriori olasılığı ile aynıdır. Pr (20) Pr, Pr Pr (21) Eğer Pr ise denklem (20) ve (21) deki eşitliklerde sağlanmaz. Buradan da belirtilen bu üç koşulun herhangi birinin bağımsızlığı test etmede kullanılabileceği sonucuna varılabilir. Tanım: Aşağıdaki ifade geçerli olursa iki olay için bağımsızdır denilir. Pr, Pr Pr (22) Örnek 2.15: İki zarın aynı anda atılması deneyini göz önüne alalım. Birinci zarın kırmızı ikinci zarın ise beyaz olduğunu varsayalım. ü 2 üçü 2 ş ü 4 üü 4 ş ü 3 Az sonrada görüleceği gibi bağımsızlığı ispatlamak çeşitli yollar bulunmaktadır. Olası yolardan biri Pr, ile Pr Pr yi kıyaslamaktır. Tanımlanan olaylarda Pr 1/3, Pr 1/2, Pr 1/18 dir. 36 olası atomik olaydan 6 sı ye aittir yani
20 20 Pr, 1/6 dır. Pr Pr 1/6 olduğundan A ve B olaylarının bağımsız olduğuna karar verilebilir. Olay A ve C için durum incelenirse 36 atomik sonuçtan ye ait 2 sonuç bulunur ve Pr, 1/18 olur. Pr Pr 1/54 olduğundan A ve C olayları bağımsız değildirler. Son olarak B ve C olaylarını inceleyelim. Açıkça görülmektedir ki B ve C olayları birbirini dışlamaktadır (Pr, 0). Pr Pr 1/36 olduğundan bu iki olayda birbirine bağlıdır. İncelenen örnekteki bir noktadan özellikle bahsetmekte fayda vardır. Genellikle birbirini dışlama ile bağımsızlık birbirine eşdeğer gibi düşünülerek hata yapılmaktadır. Birbirini dışlama ile bağımsızlık aynı şey değildir. A ve B gibi iki olay asla hem birbirini dışlayıp hem de bağımsız olamazlar (,). Yani birbirini dışlayan olayların istatistiksel olarak birbirine bağlı olması gerekir. Tanım: A, B ve C olayları eğer ikişerli olarak bir birinden bağımsızlar ise bu olayların hepsi birbirinden bağımsızdır. Pr, Pr Pr (23) Pr, Pr Pr (24) Pr, Pr Pr (25) Pr,, Pr Pr Pr (26) Tanım: Eğer,,, olaylarının bir alt kümesi bağımsız ise bu olayların tümü de bağımsızdır. Pr,,, Pr Pr Pr (27) İki yolla bağımsızlık bulunabilir. Bunlardan biri örnek 2.15 te olduğu gibi bileşik yada koşullu olasılıklar hesaplanabilir ve bağımsızlık testi yapılabilir. Alternatif olarak bağımsız olduğu kabulü ile bileşik yada koşullu olasılıklar hesaplanabilir çünkü diğer türlü hesaplama zor olabilir. İkinci yaklaşım mühendislik uygulamalarında yoğun bir biçimde kullanılmaktadır. Örneğin gürültü sinyallerinin belli çeşitleri bu yolla modellenebilir. Bir zaman dalga biçimi ye sahip olunduğunu varsayalım. gürültülü bir sinyal olsun ve,,, anlarında sinyalden örnekler alınıyor olsun. Alınan örneklerin bir eşik değerini aşması olasılığı ile ilgileniliyor olabilir. Bu durumda Pr, 1,2,, olan olaylar tanımlanabilir. Pr,,, bileşik olasılığı nasıl hesaplanabilir? Bazı durumlarda gürültünün zamandaki bir noktadaki değerinin zamandaki diğer bir noktadaki değerini etkilemediğini kabul etmek için birçok sebep bulunur. Bundan dolayı bu olayları bağımsız kabul ederek; Pr,,, Pr Pr Pr biçiminde hesaplanabilir.
21 Ayrık Rastlantısal Değişkenler Bir E deney yapıldığını ve bu deneye ilişkin örnek uzayının S ile gösterildiğini varsayalım. Öte yandan de bu deneye ilişkin bir sonucu gösteriyor olsun. Sonuçların biçiminde bir fonksiyonunu tanımlamak kullanışlı olmaktadır. Tanımlanan bu f fonksiyonu E deneyine ilişkin olası tüm sonuçları içeren bir domene sahiptir. Fonksiyonun kapsadığı alan sonuçları sayısal olarak nasıl ifade ettiğine bağlıdır ancak genellikle gerçel sayıların yada gerçel sayıların bir alt kümesinin kümesi olmaktadır. Tanım 1: Rastlantısal bir değişken örnek uzayı S nin elemanlarının gerçel değerli bir fonksiyonudur. Örnek uzayı S olan bir E deneyinde rastlantısal X değişkeni olası tüm sonuçları biçiminde bir kurala göre haritalandırır. Rastlantısal X değişkeni sonlu yada sayılabilir sonsuz sayıda değerler alırsa X e ayrık rastlantısal değişken denilir. Öte yandan sayılamaz sonsuz sayıdaki noktadan oluşuyorsa X e sürekli rastlantısal değişken denilir. bir deneyin sonuçlarına bağlı olarak değerler alan bir rastlantısal değişken olduğundan, bu rastlantısal değişken aldığı değere göre tanımlanamaz. X in aldığı belli değer yada değerlere ilişkin olasılıkları belirterek bir tanım yapılmalıdır (Pr 3, Pr 8). Şimdilik ayrık değerler alan rastlantısal değişkenler üzerine yoğunlaşılacak ve rastlantısal değişkenler Pr biçiminde tanımlanacaktır. Daha sonraki konularda ise sürekli rastlantısal değişkenler de incelenecektir ve o zaman görülecektir ki burada yapılan tanımlar yetersizdir ve diğer tanımlar o zaman yapılacaktır. Tanım 2: Olasılık kümelenme fonksiyonu (probability mass function) PMF, rastlantısal değişken X in olası tüm değerlerine bir olasılık atayan bir fonksiyondur. Rastlantısal değişken X in aldığı x değeri PMF deki x değeridir ( =x). Büyük harfler rastlantısal değişkenleri küçük harfler ise rastlantısal değiikenin aldığı varsayılan sabit bir değeri ifade eder. Örnek 2.16: Ayrık bir rastlantısal değişken bir bozuk paranın fırlatılması ile tanımlanabilir. Sonuçların örnek uzayı, biçimindedir. Rastlantısal X değişkeni 0 ve 1 biçiminde tanımlanabilir. Yani T,Y örnek uzayı {0,1} kümesine X rastlantısal değişkeni ile haritalandırılmıştır. Hilesiz bir para olduğunu varsayarsak olasılık kümelenme fonksiyonu 0 1/2 ve 1 1/2 olur. Dikkat edilecek olursa haritalandırma tek bir şekilde değil birçok şekilde yapılabilir yani örnek uzayı T,Y gerçel sayılardan herhangi ikisine haritalandırılabilir (mesela {1,2}). Örnek 2.17: Hilesiz bir bozuk parayı atma eyleminin n kez tekrarlandığını ve tura, yazı ların gözlemlendiğini varsayalım. Rastlantısal bir Y değişkeni, n denemede gelen yazıların sayısını ifade edecek biçimde tanımlanabilir. Bu fonksiyon için olasılık kümelenme fonksiyonu, 0,1,, biçiminde olur. Bu PMF nin nasıl elde edildiğine ilişkin ayrıntılar daha sonra gösterilecektir. Örnek 2.18: Tekrar bozuk para atma deneyi ancak bu kez bozuk para ilk tura gelinceye kadar atılmaya devam ediyor. Rastlantısal Z değişkeni ilk tura gözlemleninceye kadar yapılan
Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
DetaylıOlasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıRastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir?
Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir? Rastgelelik en basit anlamda kesin olarak bilinememektir. Rastgele olmayan deterministiktir (belirli). Bazı rastgele olgu örnekleri şöyle
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo
DetaylıMatematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran
Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıVeri Ağlarında Gecikme Modeli
Veri Ağlarında Gecikme Modeli Giriş Veri ağlarındaki en önemli performans ölçütlerinden biri paketlerin ortalama gecikmesidir. Ağdaki iletişim gecikmeleri 4 farklı gecikmeden kaynaklanır: 1. İşleme Gecikmesi:
DetaylıKüme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur
Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık
DetaylıŞartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa;
Şartlı Olasılık Bir olayın (A ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Pr[A A 2 Pr A A Pr A A = Pr[A A 2 2 2 Pr[A Pr[A 2 2 A A 2 S Pr[A A 2 A 2 verildiğinde (gerçekleştiğinde)
DetaylıFaktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylıİstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY
İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1
Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)
Detaylı1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi
1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri
DetaylıTablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01
Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin
DetaylıOlasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere
DetaylıKESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıAnkara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1
1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıRastgele değişken nedir?
Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek
DetaylıÖrnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
DetaylıOLASILIK (Probability)
OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
DetaylıDeney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları
Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı
DetaylıBAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş
BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik
DetaylıToplam Olasılık Prensibi
1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
DetaylıBekleme Hattı Teorisi
Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
DetaylıBKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A B BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 )
4. SUNUM 1 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, rastlantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HİPOTEZ TESTLERİ denir. Sonuçların rastlantıya bağlı
DetaylıBÖLÜM 1 GİRİŞ: İSTATİSTİĞİN MÜHENDİSLİKTEKİ ÖNEMİ
BÖLÜM..AMAÇ GİRİŞ: İSTATİSTİĞİ MÜHEDİSLİKTEKİ ÖEMİ Doğa bilimlerinde karşılaştığımız problemlerin birçoğunda olaydaki değişkenlerin değerleri bilindiğinde probleme kesin ve tek bir çözüm bulunabilir. Örneğin
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylı2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıIE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R
IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık
Detaylı0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
Detaylı8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
DetaylıTanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu
Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına
Detaylı1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...
1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar
DetaylıProgramlama Dilleri 1. Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları
Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları Ders 3 Genel Bakış Giriş Rastgele Sayı Rastgele Sayı Üreteci rand Fonksiyonunun İşlevi srand Fonksiyonunun İşlevi Monte Carlo Yöntemi Uygulama 1: Yazı-Tura
DetaylıOlasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.
Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı
DetaylıŞekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi
6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen
DetaylıAyrık-Zaman Sistemler
Ayrık-Zaman Sistemler Bir ayrık-zaman sistemi, bir giriş dizisi x[n] yi işleyerek daha iyi özelliklere sahip bir çıkış dizisi y[n] oluşturur. Çoğu uygulamalarda ayrık-zaman sistemi bir giriş ve bir çıkıştan
DetaylıRASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 2007
RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 007 1 Tekdüze Dağılım Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk
DetaylıŞekil 1.1 Genliği kuvantalanmamış sürekli zamanlı işaret. İşaretin genliği sürekli değerler alır. Buna analog işaret de denir.
İŞARETLER Sayısal işaret işleme, işaretlerin sayısal bilgisayar ya da özel amaçlı donanımda bir sayılar dizisi olarak gösterilmesi ve bu işaret dizisi üzerinde çeşitli işlemler yaparak, istenen bir bilgi
DetaylıSÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıYapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )
İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.
Detaylı= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz.
Siyasal Bilgiler Fakültesi İktisat Bölümü Matematiksel İktisat Ders Notu Prof. Dr. Hasan Şahin Faz Diyagramı Çizimi Açıklamarı = 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,
Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıBu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
Detaylı13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
DetaylıStokastik Süreçler. Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir.
Bir stokastik süreç ya da rastgele süreç şöyle tanımlanabilir. Zamanla değişen bir rastgele değişkendir. Rastgele değişkenin alacağı değer zamanla değişmektedir. Deney çıktılarına atanan rastgele bir zaman
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıSÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI
SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde
DetaylıBu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)
Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek
DetaylıSimülasyonda İstatiksel Modeller
Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıEXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME
EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME GİRİŞ Bu bölümde benzetim için excel örnekleri önerilmektedir. Örnekler excel ile yapılabileceği gibi el ile de yapılabilir. Benzetim örnekleri
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıİSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK
1. 52 iskambil kağıdı ile oynanan bir kağıt oyununda çekilen kart vale ya da kız ise 3$, papaz ya da as ise 5$ kazanılmaktadır. Başka herhangi bir kartın çekilmesi durumunda oyun kaybedilmektedir. Oyunun
DetaylıBir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler
Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü
DetaylıÇözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.
1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.
DetaylıAKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıElektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3
Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3 Faz ve Grup Hızı Güç ve Enerji Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Eğik Gelişi Dik Kutuplama Paralel Kutuplama Faz ve Grup
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
Detaylı11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
Detaylı2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım
2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıEME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Rassal Sayı ve Rassal Değer. Üretimi. Rassal Sayı Üretimi
..4 EME 7 Rassal Sayı ve Rassal Değer Üretimi SİSTEM SİMÜLASYONU Rassal Sayı ve Rassal Değer Üretimi Ders Girdi Analizi bölümünde gözlemlerden elde edilen verilere en uygun dağılımı uydurmuştuk. Bu günkü
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
Detaylı