Konik Kesitler ve Formülleri

Transkript

1 Konik Kesitler ve Formülleri

2 Konik Kesitler ve Formülleri B 1 (0, b) P (x, y) A 2 ( a, 0) F 2 ( c, 0) F 1 (c, 0) A 1 (a, 0) B 2 (0, b) Şekil 1: Elips x2 a 2 + y2 b 2 = 1.

3 Konik Kesitler ve Formülleri B 1 (0, b) A 1 ( a, 0) A 2 (a, 0) F 1 ( c, 0) F 2 (c, 0) B 2 (0, b) Şekil 2: Yatay Hiperbol x2 a 2 y2 b 2 = 1.

4 Konik Kesitler ve Formülleri M P (x, y) O F ( p 2, 0) x = p 2 x = p 2 Şekil 3: Yatay Parabol 2px = y 2.

5 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

6 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir. Bu doğrulara koordinat eksenleri denir. ve x ekseni, y ekseni ve z ekseni olarak adlandırılır. Genellikle x ve y eksenleri yatay, z ekseni ise düşey olarak düşünülür ve yönlerini Şekil 4 deki gibi belirleriz. Şekil 4: Koordinat sistemleri

7 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu üç koordinat ekseni Şekil 5 da gösterildiği gibi, üç tane koordinat düzlemi belirler. x ve y eksenlerinin içeren düzleme xy düzlemi, y ve z eksenlerinin içeren düzleme yz düzlemi, x ve z eksenlerinin içeren düzleme xz düzlemi adı verilir. Şekil 5: Koordinat düzlemleri Bu üç koordinat düzlemi uzayı, bölge adı verilen, sekiz parçaya böler. Birinci bölge pozitif eksenlerle belirlenen bölgedir.

8 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Şekil 6: Koordinat düzlemleri

9 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzaydaki bir P noktası için a, yz düzleminde olan (yönlendirilmiş uzaklık), b, xz düzlemine olan uzaklık ve c, xy düzlemine olan uzaklık olsun.

10 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu durumda P nktasını (a, b, c) sıralı gerçel sayı üçlüsü ile temsil eder ve a, b, c ye P nin koordinatları deriz; a x koordinatı, b, y koordinatı, c, z koordinatıdır. Dolayısıyla (a, b, c) noktasını bulmak için, Şekil 7 de görüldüğü gibi O başlangıç noktasından başlayıp x eksenin yönünde a birim, sonra y eksenine paralel olarak b birim ve son olarak z eksenine paralel olarak c birim hareket ederiz. Şekil 7:

11 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Şekil 8 te görüldüğü gibi P (a, b, c) noktası bir dikdörtgenler prizması belirler. P noktasından xy düzlemine dikme indirerek elde edeceğimiz, koordinatları (a, b, 0) olan Q noktasına P noktasının xy düzlemindeki izdüşümü denir. Benzer şekilde R(0, b, c) ve S(a, 0, c) noktaları da P nin yz düzlemi ve xz düzlemindeki izdüşümleridir. Şekil 8:

12 Örnek Örnek : (3, 2, 6) noktası

13 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Sıralı gerçel sayı üçlülerinden oluşan R R R = {(x, y, z) x, y, x R} kartezyen çarpımı R 3 ile gösterilir. Uzaydaki P noktaları ile, R 3 deki (a, b, c) sıralı gerçel sayı üçlüleri arasında birebir bir ilişki kurmuştuk. Buna üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemi adı verilir. Birinci bölgenin, koordinatları pozitif sayılardan oluşan noktaların kümesi olduğuna dikkat ediniz.

14 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi İki boyutlu analitik geometride x ve y yi içeren bir denklemin grafiği R 2 de bir eğridir. Üç boyutlu analitik geometride de x, y, z yi içeren bir denklemin grafiği R 3 de bir yüzeydir.

15 Örnek Örnek : Aşağıdaki denklemler R 3 deki hangi yüzeyleri belirler? (a) z = 3 (b) y = 5 Çözüm (a) z = 3 denklemi R 3 deki z koordinatı 3 olan noktaların kümesi olan {(x, y, z) z = 3} Bu Şekil 9 da görüldüğü gibi, xy düzlemine paralel olan ve ondan üç birim yukarıda bulunan yatay düzlemdir. Şekil 9:

16 Örnek... (b) y = 5 denklemi R 3 deki y kooridnatı 5 olan tüm noktaların kümesini temsil etmektedir. Bu Şekil 9 da görüldüğü gibi, xz düzlemine paralel, ondan beş birim sağda bulunan dik düzlemdir. Şekil 10:

17 Not NOT: Bir denklem verildiğinde, bunun R 2 de bir eğriyi mi yoksa R 3 de bir yüzeyimi temsil ettiğinin konudan anlayabilmemiz gerekir. y = 5 örnekte, R 3 te bir düzlemi temsil ederken, iki boyutlu analitik geometri ile ilgilendiğimizde, R 2 de bir doğruyu temsil etmektedir. Şekil 11: y = 5, R 2 de bir doğru

18 Örnek Örnek : çiziniz. R 3 de y = x denklemi ile verilen yüzeyi betimleyerek Çözüm Denklem R 3 deki x ve y koordinatları eşit olan noktaları, bir diğer deyişle {(x, x, z) x, z R} kümesini temsil etmektedir. Bu, xy düzlemini y = x, z = 0 doğrultusunda kesen düzlemdir. Bu düzlemin birinci bölgede kalan kısmı Şekil 12 de çizilmiştir. Şekil 12: y = x düzlemi

19 Üç Boyutta Uzaklık Formülü P 1 (x 1, y 1, z 1 ) ve P 2 (x 2, y 2, z 2 ) noktaları arasındaki P 1 P 2 uzaklığı, dir P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2

20 Örnek Örnek : P (2, 1, 7) ile Q(1, 3, 5) noktaları arasındaki uzaklık tür. P Q = (1 2) 2 + ( 3 + 1) 2 + (5 7) 2 = = 3

21 Kürenin Denklemi Merkezi C(h, k, l) ve yarıçapı r olan kürenin denklemi (x h) 2 + (y k) 2 + (z l) 2 = r 2 dir. Merkezin O noktasında olması özel durumunda b denklem x 2 + y 2 + z 2 = r 2 biçimine dönüşür.

22 Örnek Örnek : x 2 + y 2 + z 2 + 4x 6y + 2z + 6 = 0 ın bir küre denklemi olduğunu gösteriniz ve bu kürenin merkezi ile yarıçapını bulunuz. Çözüm Kareye tamamlayarak verilen denklemi bir küre denklemi biçiminde yeniden yazalım: (x 2 + 4x + 4) + (y 2 6y + 9) + (z 2 + 2z + 1) = (x + 2) 2 + (y 3) 2 + (z + 1) 2 = 8 Bu denklemi genel denklemle karşılaştırdığımızda bunun, merkezi ( 2, 3, 1) olan 8 = 2 2 yarıçaplı kürenin denklemi olduğunu görürüz.

23 Örnek Örnek : 1 x 2 + y 2 + z 2 4, z 0 eşitsizliklerinin R 3 de tanımladığı bölgeyi bulunuz. Çözüm verilen 1 x 2 + y 2 + z 2 4 eşitsizliği, 1 x 2 + y 2 + z 2 2 şeklinde yazılırsa, bunun başlangıç noktasından en az 1 ve en çok 2 olan noktaları temsil ettiği görülür.

24 Örnek... z 0 olduğu da verildiğinden, bu noktalar xy düzleminin üzerinde ya da altında kalır. Dolayısıyla verilen eşitsizlikler x 2 + y 2 + z 2 = 1 ile x 2 + y 2 + z 2 = 4 kürelerinin arasında yada üzerinde kalan ve xy düzleminin altında ya da üzerinde kalan noktaları belirlemektedir.

25 Vektörler

26 Vektörler Bilim insanları vektör terimini, büyüklük ve yönü olan (yer değiştirme, hız ya da kuvvet gibi) çokluklar için kullanırlar. Vektörler genelde bir ok ya da yönlü bir doğru parçasıyla temsil edilir. Okun işaret ettiği yön, vektörün yönünü, uzunluğu ise vektörün büyüklüğünü temsil eder. Biz vektörü üstüne bir ok koyarak ( v) ile göstereceğiz.

27 Vektörler A noktasından B noktasına bir doğru boyunca haraket eden parçacığı ele alalım. Şekil de gösterilen, yer değiştirme vektörü v nin başlama (okun kuyruğu) noktası A ve bitiş (uç) noktası B olduğundan vektör v = AB biçiminde gösterilir.

28 Vektörler u = CD vektörününde konumu farklı olmasına karşın aynı yön ve aynı büyüklüğe sahip olduğuna dikkat ediniz. Bu yüzden u ve v vektörlerine denk (ya da eşit) denir ve u = v yazılır. 0 ile gösterilen sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır ve belli bir yönü olmayan tek vektördür.

29 Vektörleri Birleştirme Bir parçacık Şekil 13 da görüldüğü gibi, önce A dan B ye, dolayısıyla AB yer değiştirme vektörüyle, sonra yön değiştirerek BC yer değiştirme vektörüyle B den C ye gitsin. Şekil 13:

30 Vektörleri Birleştirme Bu iki yer değiştirme işleminin sonucu olarak parçacık A dan C ye gitmiştir. Bu sonucu veren AC yer değiştirme vektörüne AB ve BC vektörlerinin toplamı denir ve yazılır. AC = AB + BC

31 Vektörlerin Toplamı u ve v vektörleri v nin başlama noktası ve u nun bitiş noktası aynı olacak şekilde verilsin. Bu durumda u + v toplam vektörü u nun başlama noktasından v nin bitiş noktasına giden vektördür.

32 Skaler Çarpma Vektörleri bir c sayısı ile çarpmakda olanaklıdır. (Vektörlerle karıştırmamak için bu bağlamda c gerçel sayısına skaler diyeceğiz.) Örneğin 2 v vektörünün yönü v nin yönü ile aynı olan ve uzunluğu v nin uzunluğunun iki katı olan v + v ile aynı olmasını isteriz.

33 Skaler Çarpma c skaleri ile v vektörünün c v skaler çarpımı, uzunluğu v nin uzunluğunun c katı, yönü ise c > 0 için v nin yönünün yanısı c < 0 için tersi olan vöktör olarak tanımlanır. c = 0 ya da v = 0 durumunda c v = 0 dır.

34 Vektörler Özelde v = ( 1) v vektörü v ile aynı uzunlukta ancak ters yönlüdür. Bu vektöre v nin negatifi deriz.

35 Vektörler İki vektörün u v farkından vektörünü anlıyoruz. u v = u + ( v)

36 Vektörler - Bileşenler Bazen koordinat sistemini kullanarak vektörleri cebirsel olarak ele almak en uygun yöntemdir. a vektörünü kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasından başlatırsak, bitiş noktasının koordinatları, iki boyutlu koordinat sisteminde (a 1, a 2 ), üç boyutlu koordinat sisteminde (a 1, a 2, a 3 ) olur.

37 Vektörler - Bileşenler Bu koordinatlara a nın bileşenleri denir ve a =< a 1, a 2 > ya da a =< a 1, a 2, a 3 > biçiminde gösterilir. Düzlemde bir noktaya karşılık gelen (a 1, a 2 ) sıralı ikilisi ile karıştırmamak için vektörlerde < a 1, a 2 > gösterimini kullanırız. Şekil 14:

38 Vektörler - Bileşenler Örneğin, Şekil 14 deki vektörlerin hepsi bitiş noktası P (3, 2) olan OP =< 3, 2 > vektörüne denktir. Hepsinin ortak özellişi başladıkları noktadan üç birim sağa ve sonra iki birim yukarıya gidilince bitiş noktalarına erişilmesidir. Bu vektörlerin her birini, a =< 3, 2 > cebirsel vektörünün, birer temsili olarak düşünebiliriz. Başlangıç noktasından başlayıp P noktasına giden OP temsiline P noktasının konum vektörü adı verilir.

39 Vektörler - Bileşenler Verilen A(x 1, y 1, z 1 ) ve B(x 2, y 2, z 2 ) noktaları için, AB ile temsil edilen a vektörü dir. a =< (x 2 x 1 ), (y 2 y 1 ), (z 2 z 1 ) > (1)

40 Örnek Örnek: A(2, 3, 4) noktasından B( 2, 1, 1) noktasına giden yönlü doğru parçasının temsil ettiği vektörü bulunuz. Çözüm: (1) den AB ile temsil edilen vektör a =< 2 2, 1 ( 3), 1 4 >=< 4, 4, 3 > dür.

41 Vektörler - Bileşenler v vektörünün uzunluğu ya da büyüklüğü, onun herhangi bir temsilinin uzunluğu olarak tanımlanır ve v ya da v ile gösterilir. OP doğru parçasının uzunluğunu bulmak için uzaklık formülünü kullanarak aşağıdaki formülleri elde ederiz. İki boyutlu a =< a 1, a 2 > vektörünün uzunluğu a = a a2 2 dir. Üç boyutlu a =< a 1, a 2, a 3 > vektörünün uzunluğu a = a a2 2 + a2 3 dir.

42 Vektörler - Bileşenler a =< a 1, a 2 > ve b =< b 1, b 2 > ise a + b =< a 1 + b 1, a 2 + b 2 > a b =< a 1 b 1, a 2 b 2 > c a =< ca 1, ca 2 > dir. Benzer Şekilde üç boyutlu vektörler için < a 1, a 2, a 3 > + < b 1, b 2, b 3 >=< a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 > < a 1, a 2, a 3 > < b 1, b 2, b 3 >=< a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 > c < a 1, a 2, a 3 >=< ca 1, ca 2, ca 3 > olur.

43 Örnek Örnek: a =< 4, 0, 3 > ve b =< 2, 1, 5 > için a yı ve a + b, a b, 3 b ve 2 a + 5 b vektörlerini bulunuz. Çözüm: a = = 25 = 5 a + b =< 4, 0, 3 > + < 2, 1, 5 > =< 4 2, 0 + 1, >=< 2, 1, 8 > a b =< 4, 0, 3 > < 2, 1, 5 > =< 4 + 2, 0 1, 3 5 >=< 6, 1, 2 > 3 b = 3 < 2, 1, 5 >=< 3.( 2), 3.1, 3.5 >=< 6, 3, 15 > 2 a + 5 b = 2 < 4, 0, 3 > +5 < 2, 1, 5 > =< 8, 0, 6 > + < 10, 5, 25 >=< 2, 5, 31 >

44 Vektörler - Bileşenler V 2 ile tüm iki boyutlu vektörlerin, V 3 ile de tüm üç boyutlu vektörlerin kümesini göstereceğiz. Daha sonra, genel olarak, tüm n boyutlu vektörlerden oluşan V n kümesini ele alacağız. a vektörünün bileşenleri denilen a 1, a 2,..., a n gerçel sayılar olmak üzere, a =< a 1, a 2,..., a n > sıralı n lisine n-boyutlu vektör denir. n = 2 ve n = 3 de olduğu gibi V n de de toplama ve çıkarma işlemleri bileşenler cinsinden tanımlanır.

45 Vektörlerin Özellikleri a, b ve c, V n de vektörler ve c, d skaler olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır: 1. a + b = a + b 2. a + ( b + c) = ( a + b) + c 3. a + 0 = a 4. (k a) + ( a) = 0 5. c( a + b) = c a + c b 6. (c + d) a = c a + d a 7. (cd) a = c(d a) 8. 1 a = a

46 Standart Vektörler V 3 de özel olan üç vektör vardır. Bunlar i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) vektörlerdir. Buradan i, j ve k vektörlerinin pozitif x, y ve z eksenleri yönünde ve 1 uzunluğunda olduğunu görürüz. Benzer Şekilde, iki boyutta, i = (1, 0), j = (0, 1) olarak tanımlanır. Şekil 15:

47 Standart Baz Vektörler a =< a 1, a 2, a 3 > vektörünü a =< a 1, a 2, a 3 >=< a 1, 0, 0 > + < 0, a 2, 0 > + < 0, 0, a 3 > = a 1 < 1, 0, 0 > +a 2 < 0, 1, 0 > +a 3 < 0, 0, 1 > a = a 1 i + a 2 j + a 3 k. biçiminde yazabiliriz. Dolayısıyla V 3 deki her vektör i, j, k standart baz vektörleri cinsinden yazılabilir. Örneğin, < 1, 2, 6 >= i 2 j + 6 k olur.

48 Örnek Örnek: a = i + 2 j 3 k ve b = 4 i + 7 k vektörleri için 2 a + 3 b yi i, j ve k cinsinden yazınız. Çözüm: Özellik 1,2,5,6 ve 7 den 2 a + 3 b = 2( i + 2 j 3 k) + 3(4 i + 7 k) elde ederiz. = 2 i + 4 j 6 k + 12 i + 21 k = 14 i + 4 j15 k

49 Birim Vektör Boyu 1 olan vektörlere birim vektör denir. Örneğin, i, j ve k vektörleri birim vektörlerdir. Genel olarak, a 0 için a ile aynı yönde olan birim vektör u = 1 a a = a a (2)

50 Örnek Örnek: 2 i j 2 k vektörüyle aynı yönde olan birim vektörü bulunuz. Çözüm: Verilen vektörün uzunluğu 2 i j 2 k = ( 1) 2 + ( 2) 2 = 9 = 3 dolayısıyla denklem 2 den, aynı yöndeki birim vektör olarak bulunur. 1 3 (2 i j 2 k) = 2 3 i 1 3 j 2 3 k

51 İş ve İç çarpım Fizik ve mühendislikte iki vektörün işin içine girdiği durumlardan biri, bir kuvvetin yaptığı işi hesaplarken ortaya çıkar. Şekil 16 deki gibi, sabit F = P R kuvvetinin başka bir yönü olan bir vektör olduğu durumunu ele alalım. Şekil 16:

52 İş ve İç çarpım Kuvvet, parçacığı P den Q ye götürüyorsa, D = P Q vektörüne yer değiştirme vektörü denir. Bu durumda ortada iki vektör vardır: F vektörüyle D yer değiştirme vektörü.

53 İş ve İç çarpım F kuvvetinin yaptığı iş D vektörünün D uzunluğu ile F kuvvetinin hareket yönündeki bileşeninin büyüklüğünün çarpımıyla tanımlanır. Bu bileşen Şekil 1 den dir. P S = F cos θ

54 İş ve İç çarpım Dolayısıyla, F kuvvetinin yaptığı iş olarak tanımlanır. W = D ( F cos θ) = F D cos θ (3) İşin skaler bir nicelik olduğuna dikkat ediniz; kendisinin yönü yoktur. Ancak değeri, kuvvet ile yer değiştirme vektörünün arasındaki açıya bağlıdır. Denklem 3 in ifadesini, kuvvet ve yer değiştirme vektörleri olmasalar dahi, iki vektörün iç çarpımını tanımlamak için kullanacağız.

55 İç çarpım Sıfırdan farklı a ve b vektörlerinin iç çarpımı, θ açısı, a ile b arasındaki 0 θ < π koşulunu sağlayan açı olmak üzere, a. b = a b cos θ sayısı olarak tanımlanır. Eğer a ve b vektörü sıfır ise a. b sıfırdır. a. b iç çarpımının sonucu bir vektör değildir. Bu bir gerçel sayı, başka bir değişle, bir skalerdir. Bu yüzden, iç çarpımına skaler çarpımda denir.

56 Örnek Örnek: Aralarında pi/3 açısı olan 4 ve 6 büyüklüğündeki a ve b vektörleri için a. b yı bulunuz. Çözüm: tanımdan bulunur. a. b = a b cos(π/3) = = 12

57 İç çarpım Sıfırdan farklı iki a ve b vektörüne, aralarındaki açı θ = π/2 ise, dik ya da ortogonal denir. Böyle vektörler için dır. a. b = a b cos(π/2) = 0 Diğer yandan a. b = 0 ise cos θ = 0, bir dişer değişle θ = π/2 olur. 0 vektörü tüm vektörlere dik kabul edilir. Dolayısıyla, iki a ve b vektörünün dik olmasının gerek ve yeter koşulu a. b = 0 olmasıdır.

58 Bileşenleri Cinsinden İç Çarpım Bileşenleri cinsinden verilen iki vektörü ele alalım a =< a 1, a 2, a 3 > ve b =< b 1, b 2, b 3 >. a ve b nin iç çarpımı dür. a. b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

59 Örnek Örnek: < 2, 4 >. < 3, 1 >= 2(3) + 4( 1) = 2 < 1, 7, 4 >. < 6, 2, 1 2 >= ( 1)6 + 7(2) + 4( 1 2 ) = 6 ( i + 2 j 3 k).(2 j k) = 1(0) + 2(2) + ( 3)( 1) = 7

60 Örnek Örnek: 2 i + 2 j k vektörünün 5 i 4 j + 2 k vektörüne dik olduğunu gösteriniz. Çözüm: (2 i + 2 j k).(5 i 4 j + 2 k) = 2(5) + 2( 4) + ( 1)2 = 0 olduğundan bu vektörler diktir.

61 İç Çarpımın Özellikleri a, b ve c V 3 de vektörler ve k skaler olamak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır: 1. a. a = a 2 2. a. b = b. a a = 0 4. (k a). b = k( a. b) = a.(k b) 5. a.( b + c) = a. b + a. c

62 Vektörel Çarpım a ve b vektörlerinin a b vektör çarpımı, iç çarpımın aksine, bir vektördür. Bu yüzden vektörel çarpım olarak adlandırılır. a ve b nin her ikisine de dik olduğu için a b nin geometride oldukça kullanışlı olduğunu göstereceğiz.

63 Vektörel Çarpım Sıfırdan farklı üç boyutlu a ve b vektörlerinin vektörel çarpımı, θ açısı, a ile b arasındaki 0 θ < π koşulunu sağlayan açı, n, a ve b nin ikisine birden dik olan ve yönü Sağ el kuralı ile belirlenmiş birim vektör olmak üzere, olarak tanımlanır. a b = ( a b sin θ) n

64 Vektörel Çarpım Sağ el kuralında sağ elinizin parmaklarını a dan b ye doğru θ açısı kadar döndürdüğünüzde baş parmağınız n nin yönünü gösterir.

65 Vektörel Çarpım a nın ya da b nin sıfır olduğu durumda a b sıfır vektörü olarak tanımlanır. a b vektörü n ile aynı doğrultudadır ve dolayısıyla a b vektörü a ve b nin her ikisinede ortogonaldir.

66 Sıfırdan farklı a ve b vektörleri ancak ve ancak aralarındaki açı 0 ya da π iken paraleldir. Her iki durumda da sin θ = 0 dır ve buradan a b = 0 elde edilir. Sıfırdan farklı a ve b vektörleri ancak ve ancak a b = 0 ise paraleldir.

67 Örnek Örnek: i j ve j i vektörlerini bulunuz. Çözüm: Standart baz vektörleri olan i ve j nin uzunlukları 1 ve aralarındaki açı π/2 dir. Sağ el kuralına göre i ve j ye dik olan birim vektör k dır.

68 Örnek... Dolayısıyla, i j = ( i j sin(π/2) k) = k dır. Diğer yandan sağ el kuralını j ve i vektörlerine (bu sıra ile) uygularsak n vektörünün aşağıya doğru, n = kolduğunu görürüz. Dolayısıyla, j i = k dır.

69 Vektörel Çarpım Yukarıdaki örnekten i j j i olduğunu görüyoruz, dolayısıyla vektörel çarpım değişmeli değildir. Benzer şekilde j k = i k i = j k j = i i k = j olduğu gösterilebilir.

70 Vektörel Çarpım Genel olarak sağ el kuralından elde edilir. b a = a b Vektörel çarpımın sağlamadığı bir diğer cebirsel özellik ise çarpma için birleşme özelliğidir; genelde ( a b) c a ( b c) dir.

71 Vektörel Çarpımın Özellikleri a, b ve c V 3 de vektörler ve c skaler olamak üzere 1. a b = b a 2. (c a) b = c( a b) = a (c b) 3. a ( b + c) = a b + a c dir. 4. ( a + b) c) = a c + b c

72 Bileşenleri Cinsinden Vektörel çarpım a b bileşenleri cinsinden veren ifadeyi kolay anımsayabilmek için determinant gösterimini kullanariz. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ile b = b1 i + b 2 j + b 3 k vektörel çarpımını şeklinde yazarız. a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3

73 Bileşenleri Cinsinden Vektörel çarpım Üçüncü dereceden determinant a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 a 2 b 1 b 3 c 1 c 3 + a 3 b 1 b 2 c 1 c 2 şeklinde tanımlanır.

74 Bileşenleri Cinsinden Vektörel çarpım İkinci dereceden determinant a b c d olarak tanımlanır. = ad bc

75 Örnek Örnek: a =< 1, 3, 4 > ve b =< 2, 7, 5 > ise a b = i j k = i j k ( 15 28) i ( 5 8) j + (7 6) k = 43 i + 13 j + k dır.

76 Doğru Denklemi xy-düzleminde bir doğru, üzerindeki bir nokta ile yönü (eğimi ya da eğim açısı) verildiğinde belirlenir. Bunlardan, doğrunun denkleminin nokta-eğim biçimi yazılabilir.

77 Doğru Denklemi Benzer şekilde üç boyutlu uzayda bir L doğrusu, üzerindeki bir P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktası ve yönü ile belirlenir.

78 Doğru Denklemi Üç boyutta bir doğrunun yönü en kolay bir vektörle belirlenir, dolayısıyla v yi L doğrusuna paralel bir vektör alalım. L nin vektör denklemi r = r 0 + t v, t R (4) t parametresinin her değeri L üzerindeki bir noktanın konum vektörünü verir.

79 Doğru Denklemi Bir diğer deyişle, t değiştikçe L doğrusu r vektörünün ucu ile taranır. Şekil 17: Şekil 17 de görüldüğü gibi, L üzerindeki noktaların P 0 ın bir yanındakiler t nin pozitif değerlerine, diğer yanındakiler ise t nin negatif değerlerine karşılık gelir.

80 Doğru Denklemi L nin yönünü veren v vektörünü bileşenleri cinsinden v =< a, b, c > olarak yazarsak, t v =< ta, tb, tc > olur. r =< x, y, z > ve r 0 =< x 0, y 0, z 0 > alınırsa vektör denklemi (4) < x, y, z >=< x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc >, t R biçimine dönüşür.

81 Doğru Denklemi < x, y, z >=< x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc >, t R İki vektör ancak karşı gelen bileşenleri eşit ise eşittir. Dolayısıyla t R olmak üzere, üç tane skaler denklem elde ederiz: x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct (5) Bu denklemlere P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve v =< a, b, c > vektörüne paralel olan L doğrusunun parametrik denklemleri denir. t parametresinin her değeri L üzerinde bir (x, y, z) noktası verir.

82 Örnek Örnek : (a) (5, 1, 3) noktasından geçen ve i + 4 j 2 k vektörüne paralel olan doğrunun vektör ve parametrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğru üzerinde iki farklı nokta daha bulunuz. Çözüm: (a) Burada r 0 =< 5, 1, 3 >= 5 i + j + 3 k ve v = i + 4 j 2 k olduğundan vektör denklemi (4) r = (5 i + j + 3 k) + t( i + 4 j 2 k) ya da dir. r = (5 + t) i + (1 + 4t) j + (3 2t) k

83 Örnek... Parametrik denklemler ise dir. x = 5 + t y = 1 + 4t z = 3 2t (b) Parametreyi t = 1 seçersek x = 6, y = 5 ve z = 1 olur, bu da doğru üzerindeki (6,5,1) noktasını verir. Benzer şekilde t = 1 için (4,-3,5) noktası bulunur.

84 Doğru Denklemi Bir doğrunun vektör denklemi ya da parametrik denklemleri tek değildir. Eğer noktayı ya da parametreyi değiştirirsek, veya başka bir paralel vektör seçersek, denklemler değişir. Örneğin, örnekte (5,1,3) noktası yerine (6,5,1) noktasını alırsak doğrunun parametrik denklemi olur. x = 6 + t y = 5 + 4t z = 1 2t

85 Doğru Denklemi Ya da (5,1,3) noktasını değiştirmez de 2 i + 8 j 4 k yi paralel vektör olarak alırsak elde ederiz. x = 5 + 2t y = 1 + 8t z = 3 4t

86 Doğru Denklemi L doğrusunu belirlemenin bir diğer yolu da Denklem (5) den t parametresini yok etmektir. a, b ve c nin hiç biri 0 değilse, her bir denklemi t için çözüp, sonuçları birbirine eşitlersek x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c elde ederiz. Bu denklemlere L nin simetrik denklemleri denir. (6)

87 Doğru Denklemi Denklem (6) de, paydada bulunan a, b, c sayılarının L nin yön sayıları, bir diğer deyişle L ye paralel bir vektörün bileşenleri olduğuna dikkat ediniz. a, b ve c den birinin 0 olduğu durumda da t yi yok edebiliriz. Örneğin a = 0 durumunda denklemi biçiminde yazabiliriz. x = x 0 ; y y 0 b = z z 0 c Bu, L doğrusunun x = x 0 düşey düzleminde olduğu anlamına gelir.

88 Örnek Örnek : (a) A(2, 4, 3) ve B(3, 1, 1) noktalarından geçen doğrunun parametrik ve simetrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğrunun xy-düzlemini kestiği noktayı bulunuz. Çözüm : (a) Doğruya paralel olan bir vektör açık olarak verilmemiş olsa da, AB ile temsil edilen v vektörünün doğruya paralel olduğunu gözlemleyiniz: v = AB =< 3 2, 1 4, 1 ( 3) >=< 1, 5, 4 > v =< 1, 5, 4 >

89 Örnek... Bu durumda yön sayıları a = 1, b = 5 ve c = 4 dür. P 0 olarak (2, 4, 3) noktasını alırsak parametrik denklemler (5) x = 2 + t y = 4 5t z = 3 + 4t ve simetrik denklemler (6) olarak bulunur. x 2 1 = y 4 5 = z + 3 4

90 Örnek... (b) Doğru, xy-düzlemini z = 0 iken keseceği için simetrik denklemde z = 0 alır ve x 2 1 = y 4 5 = 3 4 elde ederiz. Bu, x = 11 4 ve y = 1 4 verir. Dolayısıyla doğru, xy-düzlemini ( 11 4, 1 4, 0) noktasında keser.

91 Örnek Örnek : x = 1 + t y = 2 + 3t z = 4 t x = 2s y = 3 + s z = 3 + 4s parametrik denklemleri ile verilen L 1 ve L 2 doğrularının aykırı doğrular olduğunu, başka bir deyişle, kesişmediklerini ve paralel olmadıklarını (dolayısıyla da aynı düzlemde bulunmadıklarını) gösteriniz. Çözüm : < 1, 3, 1 > ve < 2, 1, 4 > vektörleri(bileşenleri orantılı olmadığından) paralel olmadığı için doğrular da paralel değildir.

92 Örnek... L 1 ve L 2 doğrularının kesiştikleri noktada aşağıdaki denklemlerin t ve s çözümü olması gerekir. 1 + t = 2s 2 + 3t = 3 + s 4 t = 3 + 4s Ancak ilk iki denklemden t = 11 5 ve s = 8 5 elde ederiz ve bunlar üçüncü denklemi sağlamaz. Dolayısıyla üç denklemi birden sağlayan t ve s değerleri olmadığından L 1 ve L 2 kesişmezler. Bu da L 1 ve L 2 nin aykırı doğrular olduğunu gösterir.

93 Düzlemler Uzaydaki bir düzlem, üzerinde bulunan bir P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktası ile düzleme ortagonal bir n vektörü ile belirlenir. n ortogonal vektörüne normal vektör denir. P 0 (x 0, y 0, z 0 ) noktasından geçen ve normal vektörü n =< a, b, c > olan düzlemin skaler denklemi: dir. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (7)

94 Örnek Örnek : (2, 4, 1) noktasından geçen ve normal vektörü n =< 2, 3, 4 > olan düzlemin bir denklemini bulunuz. Kesenlerini bularak düzlemi çiziniz. Çözüm : Denklem (7) de a = 2, b = 3, c = 4, x 0 = 2, y 0 = 4 ve z 0 = 1 alarak, düzlemin bir denklemini olarak elde ederiz. 2(x 2) + 3(y 4) + 4(z + 1) = 0 2x + 3y + 4z = 12

95 Örnek x kesenini bulmak için bu denklemde y = z = 0 alırsak, x = 6 çıkar. Benzer şekilde y keseni olarak 4 ve z-keseni olarak 3 bulunur. Bu bilgi düzlemin birinci bölgede kalan kısmını çizmemizi sağlar.

96 Düzlemler Denklem (7) deki terimleri düzenleyerek, düzlemin denklemini, ax + by + cz + d = 0 (8) biçiminde yeniden yazabiliriz. Denklem (8) e x, y ve z ye göre doğrusal denklem denir.

97 Örnek Örnek : P (1, 3, 2), Q(3, 1, 6) ve R(5, 2, 0) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. Çözüm : dir. P Q ve P R ye karşılık gelen a ve b vektörleri a =< 2, 4, 4 > b =< 4, 1, 2 > a ve b nin her ikisi de düzlemde olduğundan onların a b vektörel çarpımı düzleme diktir ve düzlemin normal vektörü olarak alınabilir.

98 Örnek... Buradan n = a b = i j k = 12 i + 20 j + 14 k bulunur. P (1, 3, 2) noktası ve n normal vektörünü kullanarak düzlemin denklemi olarak bulunur. 12(x 1) + 20(y 3) + 14(z 2) = 0 6x + 10y + 7z = 50

99 Örnek Örnek : (a) x + y + z = 1 ve x 2y + 3z = 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulunuz. (b) Bu iki düzlemin kesişme doğrusunun simetrik denklemlerini bulunuz. Çözüm : (a) Verilen düzlemlerin normal vektörleri n 1 =< 1, 1, 1 > n 2 =< 1, 2, 3 > olduğundan düzlemlerin arasındaki θ açısı, cos θ = n 1 n 2 1(1) + 1( 2) + 1(3) = = 2 n 1 n θ = cos 1 ( 2 42 ) 72 o olarak bulunur.

100 Örnek... (b) Önce L üzerinde bir nokta bulmamız gerekir. Örneğin iki düzlemin denklemlerinde z = 0 alarak doğrunun xy-düzlemini kestiği noktayı bulabiliriz. Bu, x + y = 1 ve x 2y = 1 denklemlerini verir ve çözümü x = 1, y = 0 dır. Dolayısıyla (1, 0, 0) noktası L doğrusu üzerindedir.

101 Örnek... Şimdi, L doğrusunun her iki düzlemin de üzerinde olduğundan her iki normal vektöre de dik olduğunu gözlemleriz. Dolayısıyla L doğrusuna paralel olan bir v vektörü i j k v = n 1 n 2 = = 5 i 2 j 3 k vektörel çarpımıyla verilir ve dolayısıyla L doğrusunun simetrik denklemi x 1 = y 5 2 = z 3 olarak yazılabilir.

102 Örnek...

103 Nokta-Düzlem Arası Uzaklık P (x 0, y 0, z 0 ) noktasından ax + by + cz + d = 0 düzlemine olan D uzaklığını veren formül: biçiminde yazılabilir. D = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (9)

104 Fonksiyonlar ve Yüzeyler

105 İki Değişkenli Fonksiyonlar Dairesel silindirin V hacmi, r yarıçapına ve h yüksekliğine bağlıdır. Aslında, V = πr 2 h olduğunu biliyoruz. V ye r ve h nin fonksiyonu deriz ve V (r, h) = πr 2 h yazarız.

106 İki Değişkenli Fonksiyonlar iki değişkenli f fonksiyonu, D kümesinden her bir sıralı (x, y) gerçel sayı ikilisine, f(x, y) ile gösterilen tek bir gerçel sayı karşılık getiren kuraldır. D, f nin tanım kümesidir ve f nin aldığı değerlerin {f(x, y) (x, y) D} kümesine de görüntü kümesi denir. f nin genel bir (x, y) noktasında aldığı değeri sıklıkla z = f(x, y) ile gösteririz. x ve y bağımsız değişkenler, z ise bağımlı değişkendir.

107 İki Değişkenli Fonksiyonlar Tanım kümesi, R 2 nin, xy-düzleminin, bir alt kümesidir. Tanım kümesini mümkün olan tüm girdilerin kümesi, görüntü kümesini de çıktıların kümesi olarak düşünebiliriz. Fonksiyon, tanım kümesi belirtilmeden, bir formül ile verildiğinde tanım kümesi olarak, verilen ifadenin iyi tanımlı gerçel sayı değerleri ürettiği tüm (x, y) ikililerinin kümesi alınır.

108 Örnek Örnek : f(x, y) = 4x 2 + y 2 ifadesiyle verilen f(x, y) fonksiyonu tüm (x, y) sıralı gerçel sayı ikilileri için tanımlı olduğundan tanım kümesi R 2, tüm xy-düzlemidir. Görüntü kümesi ise tüm negatif olmayan gerçel sayılar, [0, ) dur. [x 2 0 ve y 2 0 olduğundan tüm x ve y ler için f(x, y) 0 olduğuna dikkat ediniz.]

109 Örnek Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve f(3, 2) yi hesaplayınız. x + y + 1 (a) f(x, y) = (b) f(x, y) = x ln(y 2 x) x 1 Çözüm : (a) f(3, 2) = = 6 2 f için verilen ifade, paydanın 0 olmadığı ve karekökün içindeki terimin negatif olmadığı durumda anlamlıdır. Bu yüzden tanım kümesi D = {(x, y) x + y + 1 0, x 1} dir.

110 Örnek... x + y ya da y x 1 eşitsizliği y = x 1 doğrusunun üzerinde ya da üstündeki noktaları verir. x 1 ise x = 1 doğrusunun üzerindeki noktaların alınmaması gerektiğini söyler.

111 Örnek... (b) f(x, y) = x ln(y 2 x) f(3, 2) = 3 ln(2 2 3) = 3 ln 1 = 0 ln(y 2 x) yalnızca y 2 x > 0, ya da x < y 2 iken tanımlı olduğu için, tanım kümesi D = {(x, y) x < y 2 } dir. Bu, x = y 2 parabolünün solundaki noktaların kümesidir.

112 Grafikler Tanım kümesi D olan iki değişkenli bir f fonksiyonunun grafiği, D deki (x, y) ler için z = f(x, y) koşulunu sağlayan R 3 deki (x, y, z) noktalarının kümesidir. Bir değişkenli f fonksiyonunun grafiği y = f(x) denklemi ile verilen C eğrisi olduğu gibi, iki değikenli f fonksiyonunun grafiği de z = f(x, y) denklemiyle verilen S yüzeyidir.

113 Grafikler f nin S grafiğini xy-düzlemindeki D tanım kümesinin tam üstünde ya da altında görebiliriz.

114 Örnek Örnek : f(x, y) = 6 3x 2y fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : f nin grafiği z = 6 3x 2y ya da 3x + 2y + z = 6 denklemi ile verilir ve bu bir düzlemi temsil eder. Kesenleri bularak grafiğin birinci bölgede kalan kısmını Şekil 18 de çiziyoruz. Şekil 18:

115 Grafikler Örnekteki fonksiyon f(x, y) = ax + by + c biçiminde olan ve doğrusal fonksiyon adı verilen fonksiyonların özel bir durumudur. Bu fonksiyonların grafikleri z = ax + by + c ya da ax + by z + c = 0 denklemi ile verildikleri için birer düzlemdir.

116 Örnek Örnek : f(x, y) = x 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : y ye hangi değeri verirsek verelim f(x, y) nin değerinin x 2 olduğuna dikkat ediniz.

117 Örnek... Grafiği veren z = x 2 denklemi y yi içermemektedir. Bu, denklemi y = k olan her düşey (xz-düzlemine paralel) düzlemin, grafiği, z = x 2 denklemi ile verilen parabol boyunca kesmesi demektir. Şekil 19 de grafiğin xz-düzleminde alınan z = x 2 parabolünün y ekseni boyunca kaydırılırak oluşturulması gösterilmektedir. Şekil 19: Dolayısıyla grafik, parabolik silindir adı verilen ve aynı parabolün sonsuz tane kaydırılmış kopyasından oluşan bir yüzeydir.

118 Grafikler Kesitlerin (dilimlerin) şekillerini belirleyerek başlamak genelde iki değişkenli fonksiyonların grafiğini çizmeyi kolaylaştırır. Örneğin, x i, x = k (bir sabit) olarak sabitlersek ve y yi değiştirirsek sonuç tek değişkenli z = f(x, y) fonksiyonudur ve grafiği z = f(x, y) denklemi ile verilen yüzeyin x = k düşey düzlemi ile kesişimidir. Benzer şekilde yüzeyi y = k düşey düzlemiyle dilimleyip z = f(x, k) eğrilerine bakabilir, ya da z = k yatay düzlemleri ile dilimleyebiliriz. Tüm bu eğrilere z = f(x, y) yüzeyinin izleri (ya da kesitleri) denir.

119 Örnek Örnek : İzlerini kullanarak f(x, y) = 4x2 + y 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : Grafiğin denklemi z = 4x 2 + y 2 dir. x = 0 alırsak z = y 2 çıkar. Dolayısıyla yz-düzleminin, grafikle kesişimi bir paraboldür. x = k (bir sabit) alırsak z = 4k 2 + y 2 çıkar. Bu, grafiği yz-düzlemine paralel düzlemlerle kestiğimizde yukarıya doğru açılan paraboller elde edeceğimiz anlamına gelir.

120 Şekil 20: Örnek... Benzer şekilde y = k alırsak, z = 4x 2 + k 2 izleri yukarıya doğru açılan parabollerdir. z = k alırsak bir elips ailesi olan, 4x 2 + y 2 = k yatay izleri elde ederiz. İzlerin şekillerini belirledikten sonra Şekil 20 sa gösterildiği gibi grafiği çizebiliriz.

121 Örnek Örnek : f(x, y) = y 2 x 2 nin grafiğini çiziniz. Çözüm : x = k düşey düzlemlerindeki izler yukarıya doğru açılan z = y 2 k 2 parabolleridir.

122 Örnek... y = k daki izler ise aşağıya doğru açılan z = x 2 + k 2 parabolleridir.

123 Örnek... Yatay izler, y 2 x 2 = k ile verilen hiperbol ailesidir.

124 Örnek... İzler bir araya getirilerek bir hiperbolik paraboloit olan z = y 2 x 2 yüzeyi çizilmiştir. Yüzeyin başlangıç noktasına yakın bölümünün bir eyere benzediğine dikkat ediniz.

125 İkinci Dereceden Yüzeyler x, y ve z cinsinden ikinci dereceden denklemlerin grafiklerine ikinci dereceden yüzey denir.

126 Örnek Örnek : x 2 + y2 9 + z2 4 = 1 denklemi ile verilen ikinci dereceden yüzeyi çiziniz. Çözüm : xy-düzlemindeki (z = 0) iz, x 2 + y 2 /9 = 1 denklemi ile verilen elipstir. Genelde, z = k düzlemindeki yatay izler x 2 + y2 9 = 1 k2 4 z = k denklemi ile verilir. Bu izler, k 2 < 4 ya da 2 < k < 2 koşulu altında, elipstir.

127 Örnek... Benzer şekilde düşey izler de elipstir: y z2 4 = 1 k2 x = k ( 1 < k < 1 ise) x 2 + z2 4 = 1 k2 9 y = k ( 3 < k < 3 ise)

128 Örnek... Şekil 21, çizilmiş birkaç izin yüzeyin şeklini nasıl belirttiğini göstermektedir. Tüm izleri elips olduğu için, bu yüzeye elipsoit denir. Yüzeyin koordinat düzlemlerinin her birine göre simetrik olduğuna dikkat ediniz: bu, denklemin x, y ve z nin yalnızca çift kuvvetlerinden oluşmasının bir sonucudur. Şekil 21:

129 Örnek... Örnekteki elipsoit, (z-ekseni gibi) bazı düşey doğruların onu birden fazla kez kestiğinden dolayı, bir fonksiyonun grafiği değildir. Ancak şeklin üst ya da alt yarısı bir fonksiyonun grafiğidir. Elipsoidin denklemini z için çözersek ) z 2 = 4 (1 x 2 y2 z = ±2 1 x 9 2 y2 9 elde ederiz.

130 Örnek... Bu yüzden f(x, y) = 2 1 x 2 y2 9 ve g(x, y) = 2 fonksiyonlarının grafikleri elipsoidin üst ve alt yarısıdır. 1 x 2 y2 9

131 Örnek... f ve g nin ikisininde tanım kümeleri 1 x 2 y2 9 0 x2 + y2 9 1 eşitsizliğini sağlayan tüm (x, y) noktalarından, başka bir deyişle x 2 + y 2 /9 = 1 elipsinin üzerinde ya da içinde olan tüm noktalardan oluşur.

132 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Standart biçimdeki altı temel ikinci dereceden yüzeyin bilgisayar tarafından çizilmiş grafiklerini görelim. Tüm bu yüzeyler z-eksenine göre simetriktir. Bir ikinci dereceden yüzey diğer bir eksene göre simetrik ise, denklemi de ona uygun olarak değişir.

133 Örnek Örnek : x 2 + 2z 2 6x y + 10 = 0 ikinci dereceden yüzeyini sınıflandırınız. Çözüm : Denklemi kareye tamamlayarak yeniden yazarsak elde ederiz. y 1 = (x 3) 2 + 2z 2 Bu denklemin bir eliptik paraboloit olduğunu görürüz.

134 Örnek... Ancak, paraboloidin ekseni y-eksenine paraleldir ve grafik, köşesi (3, 1, 0) noktasında olacak şekilde kaydırılmıştır. y = k (k > 1) düzlemindeki izler (x 3) 2 + 2z 2 = k 1 y = k elipsleridir. xy-düzlemindeki iz ise y = 1 + (x 3) 2, z = 0 denklemleri ile verilen paraboldür.

135 Örnek...

136 Vektör Fonksiyonları

137 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri Genel olarak, bir fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı görüntü kümesindeki bir elemanla eşleyen bir kuraldır. Vektör değerli fonksiyon, ya da vektör fonksiyonu da basitçe tanım kümesi bir gerçel sayılar kümesi, görüntü kümesi ise bir vektör kümesi olan bir fonksiyondur.

138 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri Biz en çok görüntü kümesi üç boyutlu vektörler olan r vektör fonksiyonlarıyla ilgileneceğiz. Bunun anlamı, r nin tanım kümesindeki her t için,v 3 de r(t) ile gösterilen tek bir vektör olmasıdır.

139 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri r(t) vektör fonksiyonunun bileşenlerini f(t), g(t) ve h(t) ile gösterirsek, f, g ve h, r nin bileşen fonksiyonları denilen, gerçel değerli fonksiyonlardır ve r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k yazabiliriz. Vektör fonksiyonlarının çoğu uygulamasında zamanı gösterdiği için, bağımsız değişkeni t harfi ile gösteririz.

140 Örnek Örnek: r(t) = t 3, ln(3 t), t ise bileşen fonksiyonları dir. f(t) = t 3, g(t) = ln(3 t), h(t) = t

141 Örnek... Genelde yaptığımız gibi, r nin tanın kümesinin r(t) nin tanımlı olduğu tüm t değerlerinden oluştuğunu varsayıyoruz. t 3, ln(3 t) ve t ifadelerinin hepsi de 3 t > 0 ve t 0 için tanımlıdır. Bu yüzden r nin tanım kümesi [0, 3) aralığıdır.

142 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri r vektör fonksiyonunun limiti bileşen fonksiyonlarının limitleri olarak aşağıda tanımlanmıştır: r(t) = f(t), g(t), h(t) ve bileşen fonksiyonların limiti varsa, lim r(t) = lim f(t), lim g(t), lim h(t) t a t a t a t a (10) dir. Not: lim r(t) = L ise bu tanım r(t) nin boyunun ve yönünün t a L nin boyu ve yönüne yaklaşmasına denktir. Vektör fonksiyonlarının limitleri de gerçel değerli fonksiyonların limitlerinin sağladığı kuralları sağlar.

143 Örnek Örnek: r(t) = (1 + t 3 ) i + te t j + sin t k ise lim r(t) limitini t t 0 bulunuz. Çözüm: Tanım 10 den r nin limitinin bileşenleri, r nin bileşenlerinin limitleridir: [ lim r(t) = lim (1 + t 3 ) ] [ i + lim te t ] [ ] sin t j + lim k = i + t 0 t 0 t 0 t 0 t k

144 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri lim r(t) = r(a) t a ise, r vektör fonksiyonuna a noktasında süreklidir denir. Tanım 10 den, r fonksiyonunun ancak ve ancak f, g ve h bileşen fonksiyonları a da sürekli olduğunda sürekli olacağını görürüz.

145 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri Sürekli vektör fonksiyonları ile uzay eğrileri arasında yakın bir ilişki vardır. f, g ve h fonksiyonları I aralığında gerçel değerli sürekli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, t değişkeni I aralığıdaki değerleri alarak değiştikçe x = f(t) y = g(t) z = h(t) (11) olmak üzere, uzaydaki (x, y, z) noktalarının C kümesine uzay eğrisi denir.

146 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri (11) deki denklemlere C nin parametrik denklemleri, t ye de parametre denir. C yi, t zamanındaki konumu (f(t), g(t), h(t)) olan hareket halindeki bir parçacığın izlediği yol olarak düşünebiliriz.

147 Vektör fonksiyonları ve uzay eğrileri r(t) = f(t), g(t), h(t) vektör fonksiyonunu ele alırsak, r(t), C üzerindeki P (f(t), g(t), h(t)) noktasının konum vektörü olur. Dolayısıyla, sürekli olan her r vektör fonksiyonu Şekil 22 de gösterildiği gibi, hareket eden r(t) vektörünün ucunun taradığı bir C uzay eğrisi tanımlar. Şekil 22:

148 Örnek Örnek: r(t) = 1 + t, 2 + 5t, 1 + 6t vektör fonksiyonunun tanımladığı eğriyi betimleyiniz. Çözüm: Karşıgelen parametrik denklemler x = 1 + t y = 2 + 5t z = 1 + 6t olup bunu (1, 2, 1) noktasından geçen ve 1, 5, 6 vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi olarak algılıyoruz.

149 Örnek... Ya da, r 0 = 1, 2, 1 ve v = 1, 5, 6 olmak üzere, fonksiyonu r = r 0 + t v biçiminde yazabilir ve bunun bir doğrunun vektör denklemi olduğunu gözlemleyebiliriz.

150 Örnek Örnek: Vektör denklemi olan eğriyi çiziniz. r(t) = cos t i + sin t j + t k Çözüm: Bu eğrinin parametrik denklemleri dir. x = cos t y = sin t z = t x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 olduğundan, eğri x 2 + y 2 = 1 çembersel silindirin üzerindedir.

151 Örnek... (x, y, z) noktası, xy düzleminde saat yönünün tersi yönde hareket eden, (x, y, 0) noktasının tam üstündedir. z = t olduğundan z arttıkça eğri silindirin üstünde dönerek yükselmektedir. Şekil 23 de gösterilen bu eğriye helis denir. Şekil 23:

152 Vektör Fonksiyonlarının Türevi Şekil 24:

153 Vektör Fonksiyonlarının Türevi Teorem: f, g, h türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere, r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k ise r (t) = f (t), g (t), h (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k dir. (12)

154 Vektör Fonksiyonlarının Türevi r (t) vektörüne, r (t) tanımlı ve r (t) 0 olduğunda, r nin tanımladığı eğrinin P noktasındaki teğet vektörü denir. P den geçen ve r (t) teğet vektörüne paralel olan doğruya C nin P noktasındaki teğet doğrusu adı verilir. Bazı durumlarda T (t) = r (t) r (t) formülü ile tanımlanan birim teğet vektörünü de kullanacağız.

155 Örnek Örnek: (a) r(t) = (1 + t 3 ) i + te t j + sin 2t k fonksiyonunun türevini bulunuz. (b) t = 0 a karşılık gelen noktadaki birim teğet vektörünü bulunuz. Çözüm: (a) Teoremden r nin her bir bileşeninin türevini alalım: r (t) = 3t 2 i + (1 t)e t j + 2 cos 2t k (b) r(0) = i ve r (0) = j + 2 k olduğundan (1, 0, 0) noktasındaki birim teğet vektörü olarak bulunur. T (0) = r (0) r (0) = j + 2 k = 1 5 j k

156 Vektör Fonksiyonlarının Türevi I aralığında tanımlı r(t) vektör fonksiyonu ile verilen eğriye, r (t) sürekli ve (yalnızca belki I nın uc noktaları dışında) r (t) 0 ise, düzgün denir. Örneğin Şekil 25 teki helis, r (t) hiçbir zaman 0 olmadığı için düzgündür. Şekil 25:

157 Türev Kuralları Theorem: u ve v türevlenebilir vektör fonksiyonları, c bir skaler ve f bir gerçel değerli fonksiyon olmak üzere 1. d dt [ u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) 2. d dt [c u(t)] = c u (t) 3. d dt [f(t) u(t)] = f (t) u(t) + f(t) u (t) 4. d dt [ u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) 5. d dt [ u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) 6. d dt [ u(f(t))] = f (t) u (f(t)) (zincir kuralı) dir.

158 Vektör Fonksiyonlarının İntegrali r(t) sürekli vektör fonksiyonunun belirli integrali de, sonucun bir vektör olması dışında, gerçel değerli fonksiyonlarınki gibi tanımlanır. Dolayısıyla r nin integralini f, g ve h bileşen fonksiyonlarının integralleri cinsinden ifade edebiliriz. b a ( b r(t)dt = a ) ( b ) ( b ) f(t)dt i + g(t)dt j + h(t)dt k a a

159 Örnek Örnek: r(t) = 2 cos t i + sin t j + 2t k ise, C sabit bir vektör olmak üzere ( ) ( ) ( ) r(t) dt = 2 cos t dt i + sin t dt j + 2t dt k = 2 sin t i cos t j + t 2 k + C dir. π 2 0 ] π r(t) dt = [2 sin t i cos t j + t 2 2 k = 2 i + j + π2 0 4 k

160 Yay Uzunluğu ve Eğrilik Eğri, f, g ve h sürekli olmak üzere, r(t) = f(t), g(t), h(t), a t b vektör denklemiyle, ya da eşdeğer olarak x = f(t), y = g(t), z = h(t) parametrik denklemleri ile verilmiş olsun.

161 Yay Uzunluğu ve Eğrilik Eğer t parametresi a dan b ye artarken, eğri tam bir kez taranıyor ise uzunluğunun L = = b a b a [f (t)] 2 + [g (t)] 2 + [h (t)] 2 dt (dx ) 2 + dt ( ) dy 2 + dt ( ) dz 2 dt dt (13) ile gösterilebilir.

162 Yay Uzunluğu ve Eğrilik Bu formülün daha kısa olarak L = b a biçiminde yazılabileceğine dikkat ediniz. r (t) dt (14)

163 Örnek Örnek: r(t) = cos t i + sin t j + t k vektör denklemi ile verilen çembersel helisin (1, 0, 0) noktasından (1, 0, 2π) noktasına kadar olan uzunluğunu bulunuz. Çözüm: r (t) = sin t i + cos t j + k olduğundan r (t) = ( sin t) 2 + cos 2 t + 1 = 2 dir. (1, 0, 0) dan (1, 0, 2π) ye olan yay parçası 0 t 2π parametre aralığı ile belirlenir ve dolayısıyla formül 14 den L = 2π 0 r (t) dt = 2π 0 2 dt = 2 2π elde ederiz.

164 Parametrik Yüzeyler Tek bir t parametresine bağlı r(t) vektör fonksiyonları ile uzay eğrilerini betimlediğimiz gibi, benzer şekilde u ve v gibi iki parametreye bağlı r(u, v) vektör fonksiyonları ile yüzeyleri betimleyebiliriz.

165 Parametrik Yüzeyler r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k (15) uv düzlemindeki bir D bölgesinde tanımlı vektör değerli bir fonksiyon olsun. Burada r nin bileşenleri olan x, y ve z, D ye bölgesindeki u ve v ye bağlı iki değişkenli fonksiyonlardır. R 3 de x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) (16) şeklinde verilen tüm (x, y, z) noktalarına, (u, v), D kümesinde değişmek üzere, S, parametrik yüzeyi ve Denklem 16 ye de S nin parametrik denklemleri denir. Her u ve v seçimi S de bir nokta verir; tüm seçimleri yaparak S nin tamamını elde ederiz.

166 Parametrik Yüzeyler Bir diğer deyişle, (u, v), D bölgesini tarayacak şekilde değiştikçe, r(u, v) vektörünün ucu da S yüzeyini tarar.

167 Örnek Örnek: r(u, v) = 2 cos u i + v j + 2 sin u k vektör denklemi ile verilen yüzey silindir belirtir.

168 Parametrik Yüzeyler Örnekte u ve v üzerinde hiçbir kısıtlama koymadığımız için silindirin tamamını elde ettik. Ancak, örneğin, u ve v üzerine 0 u π/2 0 v 3 kısıtlamasını koyarsak, x 0, z 0, 0 y 3 olur ve şekil?? de gösterilen uzunluğu 3 olan çeyrek silindiri elde ederiz.

169 Örnek Örnek: x 2 + y 2 + z 2 = a 2 küresinin parametrik temsili dir. x = a sin φ cos θ y = a sin φ sin θ z = a cos φ

170 Örnek Örnek: x 2 + y 2 = 4 0 z 1 silindirinin parametrik gösterimi, 0 θ 2π ve 0 z 1 olmak üzere x = 2 cos θ z = 2 sin θ z = z dir.