ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
|
|
- Ebru Görgülü
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Doç. Dr. Cihat ARSLANTÜRK Doç. Dr. Yusuf Ali KARA ERZURUM
2 BÖLÜM MATEMATİKSEL TEMELLER ve HATA ANALİZİ.. GİRİŞ Saısal ötemler, matematik problemlerii, aritmetik işlemlerle çözülebilmelerii sağlaacak şekilde formüle edildiği tekiklerdir. Çeşitli saısal ötemler olmasıa karşı, hepsii ortak bir özelliği vardır: hepsi, değişmez bir şekilde çok saıda zahmetli aritmetik işlem içerir. Bu edele, hızlı ve verimli saısal bilgisaarları gelişmesile so ıllarda mühedislik problemlerii çözümüde saısal ötemleri öemli bir rol alması hiç de şaşırtıcı değildir. Saısal ötemleri öğrememizi gerektire birçok ede saılabilir.. Mühedislik ugulamalarıda hiç de adir olmaa ve aalitik ollarda çözülmesi çoğu zama olaaksız ola büük saıda deklem sistemlerii, doğrusallıkta sapmaları ve karmaşık geometrileri çözmei başarabilirler.. Mühedislikte, çoğu zama ticari olarak suula ve saısal ötemleri içere paket bilgisaar programlarıı kullamak zorululuğu ortaa çıkar. Bu programları akılcı bir şekilde kullaılması geellikle ötemleri arkasıdaki temel kuramı bilmekle mümküdür.. Eğer saısal ötemlerde alıorsaız ve bilgisaar programlamada ustasaız, pahalı azılımlara para ödemee gerek kalmada problemleriizi çözebilirsiiz. 4. Saısal ötemlerle uğraşırke, bilgisaar programcılığıız da bua paralel olarak gelişecektir. 5. Saısal ötemler matematik alaışıızı güçledirecek araçlardır. Saısal ötemleri bir işlevi de üksek matematiği basit aritmetik işlemlere idirgemek olduğuda, başka zama belirsiz kala bazı kouları arıtılarıa girer. Bu alteratif bakış açısıla daha derilemesie bir kavraış ve açıklaıcı bilgi ediilebilir... MATEMATİK MODELLEME ve MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Matematik bir model, e geel alamıla, fiziksel bir sistemi vea bir süreci aa özelliklerii matematik terimlerle ifade ede bir eşitlik vea formül olarak taımlaabilir. E geel halde matematik model aşağıdaki biçimde bir foksioel ilişki olarak gösterilebilir. Bağımlı değişke=f (bağımsız değişkeler, parametreler, zorlaıcı foksiolar (. Burada bağımlı değişke sistemi davraışıı vea koumuu belirte bir özelliktir, bağımsız değişkeler geellikle zama vea koum gibi sistemi davraışıı
3 belirlee bouttur, parametreler sistemi özelliklerii ve apısıı asıtırlar, zorlaıcı foksiolar ise sistemi etkilee dış etkelerdir. (. eşitliği ile verile foksiou gerçek matematiksel ifadesi, basit bir cebirsel bağıtı olabileceği gibi çok uzu karmaşık diferasiel deklem takımları da olabilir. Tablo. bu foksioları ve bulara ait örekleri içermektedir. Tablo. Bazı Mühedislik Problemleri ve bulara ait örekler Cebrik Deklemler F = ma; σ = Eε Algebraic Equatios Adi Diferasiel Deklemler, ADD dv d (Ordiar Differetial Equatio, ODE F = m = m dt dt Kısmi Diferasiel Deklemler, KDD (Partial Differetial Equatio, PDE T T + = q (. eşitliği ile verile matematiksel modele, bir cismi mometumudaki zamaa göre değişimii cisme etki ede bileşke kuvvetle oratılıdır ifadesi ile verile Newto u ikici asası örek olarak verilebilir. Bu ifade matematiksel olarak aşağıdaki şekilde azılabilir. F = m.a (. Burada F, cisme etkie et kuvvet (N, m, cismi kütlesi (kg ve a, cismi ivmesidir (m/s. İkici asa, her iki taraf m e bölüerek Eşitlik (. e bezer şekilde aşağıdaki gibi eide azılabilir. a = F m (. Burada a, sistemi davraışıı asıta bağımlı değişke; F, zorlaıcı foksio ve m, sistemi bir özelliğidir. Bu basit durum içi bağımsız değişke oktur, çükü heüz ivmei kouma a da zamaa göre asıl değiştiğii belirlemedik. Eşitlik (. basit bir cebirsel ifadedir ve kolalıkla çözülebilir. Acak, diğer fiziksel olaları matematik modelleri çok daha karmaşık olabilir. Bular a tam olarak çözülemez, a da daha karmaşık matematiksel çözüm tekikleri gerektirirler. Yerüzüe akı bir ükseklikte serbest düşe bir cismi so hızıı elde etmek içi Newto u ikici asasıı kullaalım. Burada düşe cisim üksek bir erde atlaa bugee jumper (Şekil.a vea bir paraşütçü Şekil (.b olsu. İvme, hızı zamaa göre değişimi olarak ifade edilir ve (. eşitliğide erie azılırsa dv F = (.4 dt m Cisme etkie et kuvvet, ağırlık ve ters ödeki hava direcii bileşkesidir.
4 Şekil. Serbest düşe cisimlere etki ede kuvvetler F = F D + F U (.5 Eğer aşağı ö pozitif kabul edilirse, F D = mg (.6 azılabilir. Hava direcii hızla doğru oratılı olarak değiştiği kabul edilebilir. F U = cv (.7 Burada c (kg/s, direç katsaısı olarak isimledirilir. Gerekli basitleştirmeler apılarak aşağıdaki ADD elde edilir. dv dt c = g v (.8 m Eğer başlagıçta paraşütçü hareketsiz ise, (t= ike v= diferasiel deklemi çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir. mt [ e ] (c / mg v(t = (.9 c
5 Eşitlik (.9 ile (. karşılaştırılırsa; v(t, bağımlı değişke; t, bağımsız değişke, c ve m, parametreler ve g, zorlaıcı foksio olarak karşımıza çıkar. Örek. Kütlesi 68. kg ola bir paraşütçü, dura bir hava balouda atlamaktadır. Paraşütçüü hızıı zamala değişimii buluuz. Çözüm: Saısal değerler (.9 eşitliğide erlerie azılırsa, hızı zamaa göre değişimii vere ifade elde edilir..855 t [ e ] v(t = 5.9 (. Dikkat edilirse bu foksiou alacağı maksimum değer v=5.9 m/s kadardır. 6 So hız 5 4 v, m/s t,s Şekil. Düşe paraşütçü problemii aalitik çözümü. Paraşütçüü hızı zamala artmakta ve asimptotik olarak bir so hız değerie ulaşmaktadır. Eşitlik (.9 orijial diferasiel deklemi tamame sağladığıda aalitik vea tam çözüm olarak adladırılır. Acak e azık ki birçok matematik model tam olarak çözülemez. Birçok durumda tam çözüme aklaşmak içi tek seçeek, saısal bir çözüm geliştirmektir. Daha öce aıldığı gibi saısal ötemler, matematiksel problemleri cebirsel işlemlerle çözülebilmesi içi eide ifade edildiği problemlerdir. Bu ise Newto u ikici asasıda hızı zamaa göre türevii aklaşık olarak Şekil. te görüldüğü gibi ifade edilmesile gösterilebilir. 4
6 Şekil. v i t e göre birici türevi içi solu fark aklaşımıı kullaılması dv dt v t = v(t t v(t t i+ i (. i+ i Bu ifade türevi aklaşık olarak hesaplamasıı sağlar. Burada, v(ti, ti başlagıç aıdaki hız, v(ti+ ise soraki ti+ aıdaki hızı göstermektedir. Türevi bu değeri (.8 deklemide erie azılır ve ifade eide düzeleirse, v(t c v(t i + g + = v(t i (t i t i m + (. i Örek. Örek. deki hesaplamaı saısal olarak apı. Çözüm: (. eşitliği kullaılarak istee hesaplama apılır. Başlagıçta t= ve v(t= olarak bilimektedir. Zama adımı saie olarak alıırsa,.5 v(t = ( ( = 9.6 m / s v(t = (9.6 ( =. m / s 68. Zama ilerletilerek diğer zamalara ait çözümler elde edilir. Saısal çözüm, tam çözüm ile birlikte Şekil.4 te gösterilmiştir. Saısal çözümü de tam çözümü asıl karakteristiğii akaladığıı sölemek mümküdür. Acak sürekli eğrisel bir foksio içi doğrusal parçalı bir aklaşım kullaıldığıda, tam ve saısal 5
7 çözümler arasıda bir fark vardır. Bu farkı küçültmei olu daha küçük bir zama adımı kullamaktır. Adımı küçültmei daha fazla doğruluk sağladığı, acak, hesaplama zamaıı da artırdığıı farkıda olmak gerekir. Şekil.4 Düşe paraşütçü problemide aalitik ve saısal çözümleri karşılaştırılması.. YAKLAŞTIRMA ve YUVARLATMA HATALARI Her e kadar, saısal tekikler aalitik çözüme akı souçlar verse de, saısal ötem bir aklaştırma içerdiğide tam çözümle arada bir fark (hata ortaa çıkmaktadır. Saısal ötemleri iki aa hata türü uvarlatma ve kesme hatalarıdır. Yuvarlatma hatası, bilgisaarları büüklükleri sadece belirli saıda haele gösterebilmeleride kaaklaır (makiee bağlı. Kesme hatası, saısal ötemleri, gerçek matematik işlem ve büüklükleri ifade edebilmek içi aklaştırma kullaabilmesi soucuda oluşa farklılıklardır (öteme bağlı.... Alamlı Basamaklar Bir hesapta saıla çalışıorsak buu güvele kullaabileceğimize dair garatimiz olmalıdır. Öreği Şekil. de verildiği gibi bir otomobili hız ve kilometre göstergelerii düşüelim. Hız göstergeside otomobili 49 ile 5 km/saat hızla gittiği alaşılabilir. 6
8 Şekil.5 Alamlı basamak kavramıı göstermek içi bir otomobili hız ve kilometre göstergeleri İbre gösterge üzerideki işaretleri orta oktasıda daha uzu olduğu içi, aracı aklaşık olarak 5 km/saat hızla hareket ettiğii güvele söleebiliriz. Bu okumaa güveiriz, çükü bu göstergei okuacak iki vea daha fazla kişi de aı souca ulaşacaklardır. Acak hızı okumasıda oktada sora bir odalık basamak daha olmasıda ısrar edilecek olursa, bir kişi 49.8, bir başkası 49.9 km/saat diebilecektir. Dolaısı ile bu aleti sıırları edeile okumaı sadece ilk iki basamağı güvele kullaılabilir. Öte ada kilometre göstergesi altı kesi basamak göstermektedir. Bir saıı alamlı basamakları güvele kullaılabilecek ola basamaklardır. Kesi bilie basamak saısıa ek olarak bir de tahmi edile basamağı ifade ederler. Bua göre hız göstergesi alamlı basamak, kilometre göstergesi ise 7 alamlı basamak göstermektedir. Geellikle bir saıı alamlı basamaklarıı bulmak kola olsa da, bazı karışık durumlar olabilmektedir. Öreği, sıfırlar her zama alamlı basamak değildir, çükü sadece odalık oktaı erii belirler..845,.845 ve.845 saılarıı hepside dört alamlı basamak vardır. Bezer biçimde büük saılarda, sağ taraftaki sıfırları kaç taesii alamlı olduğu açık değildir. Öreği, 45 saısıı sıfırlarıı güvele biliip bilimemesie bağlı olarak üç, dört vea beş alamlı basamağı olabilir. Bu tür belirsizlikler bilimsel otaso kullaılarak giderilebilir , 4.5 4, saıları sırasıla üç, dört ve beş alamlı basamağa kadar bilimektedir.... Doğruluk ve Hassaslık Doğruluk, hesaplaa a da ölçüle değeri gerçek değere e kadar uduğuu ifade eder. Hassaslık ise, hesaplaa a da ölçüle değerleri kedi aralarıda e kadar 7
9 uumlu olduklarıı ifade eder. Şekil. deki hedef tahtasıdaki her bir mermi deliği, saısal bir tekiği tahmileri olarak, hedefi ortası da gerçek olarak düşüülebilir. Şekil.6 Doğruluk ve hassaslık kavramlarıı açıklamak içi hazırlamış hedefe atış öreği (a alış ve belirsiz (b doğru ve belirsiz (c alış ve hassas (d doğru ve hassas... Hata Taımları Saısal hatalar gerçek matematik işlemleri ve büüklükleri aklaştırmalarla ifade edilmeleride doğar. Bular kesme ve uvarlatma hatalarıdır. Gerçek ve aklaşık souç arasıdaki ilişki, Gerçek değer = aklaştırma + hata (. Şeklide ifade edilebilir. Bu durumda gerçek saısal hata, Et, aşağıdaki şekilde ifade edilir. Et = gerçek değer aklaştırma (.4 Bu taımı eksikliği, icelemekte ola değeri mertebesii hiç dikkate almamasıdır. Öreği bir satimetrelik bir hata, iki şehir arasıdaki mesafe içi alamlı değilke, bir kalemi bouu ölçümü içi alamlıdır. Büüklükleri mertebelerii de dikkate almaı bir olu haı gerçek değere göre ormalize edilmesidir. Gerçek orasal bağıl hata = gerçek hata / gerçek değer Gerçek bağıl üzde hata aşağıdaki şekilde taımlaır. εt = (gerçek hata/ gerçek değer % (.5 Burada t idisi hataı gerçek değerle ormalize edildiğii göstermektedir. Acak saısal ötem ugulamalarıda gerçek değer bilimediğide bu hata 8
10 hesaplaamaz. Bu durumda hata, gerçeği e ii bilie tahmiie göre ormalize edilir. εa = (aklaşık hata/ aklaştırma % (.6 Burada a idisi hataı bir aklaştırma ile ormalize edildiğii göstermektedir. Saısal ötemlerdeki zor işlerde biri de gerçek değer hakkıda bilgi sahibi olmada hata tahmileri apmaktır. Öreği belirli saısal ötemler, aıtı hesaplamak içi iteratif aklaşım kullaır. Bularda mevcut aklaştırma, bir öceki aklaşım esas alıarak apılır. Bu tip durumlarda hata, geellikle o adaki aklaştırma ile bir öceki aklaştırma arasıdaki fark olarak tahmi edilir. Dolaısıla, bağıl üzde hata aşağıdaki ifadele buluur: εa = (mevcut aklaştırma-öceki aklaştırma /(mevcut aklaştırma % Çoğu zama hesap aparke hataı işareti ile ilgilemeebiliriz, acak üzdei mutlak değerii öcede verile bir εs toleras değeride daha küçük olup olmadığı bizi ilgiledirir. Bu durumda aşağıdaki şart sağlaıcaa kadar hesaba devam edilir. ε a < ε s (.7 Bu bağıtı sağlaırsa, soucu daha öce belirlemiş, kabul edilebilir hata sıırları içide kaldığı kabul edilir. Hataları alamlı basamak saısıla da ilişkiledirmek ararlı olacaktır. Aşağıdaki ölçüt gerçekleştiği takdirde soucu e az alamlı basamak içi kesilikle doğru olduğu literatürde ispatlamıştır...4. Yuvarlatma Hataları ε = %(.5 (.8 s Daha öce belirtildiği gibi, uvarlatma hataları bilgisaarları hesaplar sırasıda sadece belirli saıda alamlı basamağı saklamalarıda kaaklaır. π, e, 7 gibi saılar sabit saıda alamlı basamakla azılamaz. Bu edele bilgisaarda tam olarak ifade edilemezler. Arıca bilgisaarlar -tabalı gösterim kulladıklarıda bazı -tabalı tamsaıları da hassas olarak ifade edemezler. Alamlı basamakları bu şekilde ihmal edilmeleride doğa farka uvarlatma hataları deir...4. Saıları bilgisaarda gösterimi Saısal uvarlatma hataları doğruda saıları bilgisaarda saklama şeklile ilgilidir. Bilgii gösterildiği e temel birim kelime olarak biliir. Bu büüklük bir dizi iki tabaıa göre azılmış saı vea bit te medaa gelir. Saılar tipik olarak bir vea daha fazla kelime şeklide saklaır. Buu asıl apıldığıı alamak içi, öce saı sistemlerile ilgili bazı bilgileri gözde geçirmek gerekir. 9
11 Saı sistemleri. E bilie saı sistemi -tabalı saı sistemidir. O tabalı sistem saıları göstermek içi o adet rakam kullaır. Bilgisaarlar ise -tabalı sistem kullaır. Buu durum, saısal bilgisaarları matık birimlerii açık/kapalı koumlu elektroik elemalar olmasıla ilgilidir. Şekil.7 sistemleri ve tabalarıa göre asıl çalıştığı görülmektedir. Şekil.7 (a Odalık ( tabalı (b İkili (-tabalı sistemler Tamsaıları gösterimi. İşaretli büüklük ötemi adı verile e doğruda aklaştırmada, kelimei ilk biti işareti gösterir, pozitif egatif alamıa gelir. Geri kala bit ler saıı saklamakta kullaılır. Öreği -7 saısıı tamsaı değeri 6-bitli bir bilgisaarda Şekil.8 deki görüldüğü gibi saklaır. Şekil.8-7 odalık tamsaısıı 6-bitli bir bilgisaarda işaretli büüklük ötemile gösterimi Örek. 6-bitli bir bilgisaarda gösterilebilecek -tabalı tamsaıları aralığıı buluuz. Çözüm: 6 bitte ilki işareti gösterir. Geri kala 5 bit sıfırda e kadar ikili saıları içerir. Üst sıır odalık bir saıa aşağıdaki şekilde
12 döüştürülebilir. 4 ( + ( + + ( + ( = 767 O halde 6-bitli bir bilgisaar kelimesi -767 de 767 e kadar bir aralıktaki saıları saklaabilir. Dahası sıfır zate olarak taımladığıda eksi sıfırı taımlamak içi saısıı kullamak gereksizdir. Bu edele saı, ek bir egatif saıı, -768 i göstermek içi kullaılabilir. Bu durumda aralık [-768, 767] şeklidedir. Bu örek, saısal bilgisaarları tamsaıları göstermekteki sıırlı eteeklerii ii bir biçimde alatır. İşaretli üs Matis İşaret İşaret Saı Şekil.9 Kaa oktalı bir saıı bir kelimede saklama olu Kaa oktalı saı gösterimi. Kesirli icelikler, bilgisaarda tipik olarak kaa okta apısıda gösterilir. Bu aklaşımda saı matis dee kesirli kısım ile üs dee bir tamsaı kısım şeklide gösterilir (m.b e. Burada m=matis, b=kullaıla saı sistemii tabaı ve e=üs tür. Öreği saısı, -tabalı kaa okta sistemide,.5678 şeklide gösterilebilir. Şekil.9, kaa oktalı bir saıı bir kelime olarak saklaabileceği ollarda birii göstermektedir. İlk bit işaret içi, sorakiler işaretli üs içi, geri kala bitler de matis içi arılır. Saıı başıda sıfırlar olması halide geellikle matisi ormalize edildiğie dikkat edi. Öreği, /4= iceliğii sadece dört odalık basamağıı saklamasıa izi vere -tabalı kaa okta sistemide sakladığıı varsaalım. Bu durumda saı.94 şeklide saklaacaktır. Osa bu işlemi aparke, odalık oktaı sağıdaki gereksiz sıfırı azılması bizi, beşici odalık basamaktaki rakamıı atmak zoruda bırakır. Saı baştaki sıfırı kaldıracak şekilde matisi ile çarparak ve üssü bir azaltarak ormalize edilebilir..94 Bölece saı saklarke ek bir alamlı basamak daha bırakılabilir. Normalizasou bir soucu m i mutlak değerii sıırlı olmasıdır. Yai, m < b (.9
13 Burada b tabadır. Öreği -tabalı sistemde m,. ile aralığıda; -tabalı sistemde.5 ile aralığıda değişecektir. Kaa okta gösterimi, hem kesirleri hem de çok büük saıları bilgisaarlarda gösterilmesie olaak taır. Acak bazı sakıcaları vardır. Öreği, kaa oktalı saılar tamsaılara göre daha fazla er tutar ve işlemler daha uzu sürer. Daha da öemlisi, matis sadece solu saıda alamlı basamak tutabildiğide, bir hata kaağı oluşturur. Bölece uvarlatma hataları ortaa çıkar. Örek.4 7-bitli kelimeler kullaarak bilgi saklaa bir makie içi saal kaa oktalı saılar grubu oluşturu. İlk biti saıı işareti içi aırı, soraki üç biti üssü işareti ve büüklüğü, so üçüü de matis içi kullaı. Çözüm: Şekil. Örek.4 içi mümkü ola e küçük pozitif kaa oktalı saı Mümkü ola e küçük pozitif saı Şekil. da gösterilmiştir. İlk, saıı pozitif olduğuu gösterir. İkici basamaktaki, üssü egatif olduğuu belirtir. Üçücü ve dördücü basamaktaki ler ise üsse maksimum değerii verir. + = Yai üs olacaktır. So olarak da matis so üç basamaktaki ile verilmiştir ve, + + =.5 soucuu verir. Daha küçük bir matis kullamak mümküse de (,, gibi, ormalizasola getirile sıırlama edeile kullaılmıştır (Eşitlik.9. Dolaısıla bu sistemde mümkü ola e küçük saı +.5 -, vea -tabalı sistemde.65 tir. Bir soraki e büük saı ise matisi artırarak aşağıdaki gibi buluur. = ( + + = (.785 = ( + + = (.975
14 = ( + + = (.975 -tabalı eşdeğerleri.565 büüklüğüdeki aralıklarla sıraladığıa dikkat edi. Bu oktada artırmaa devam edebilmek içi üssü değerie azaltmalıız. Bu da, + değerie eşittir. Matis eide e küçük değeri ola e getirilir. Bölece bir soraki saı = ( + + = (.5 olur. Bu durumda aralık hala =.565 değerie eşittir. Acak şimdi matis artırılarak daha büük saılar oluşturuldukça aralık.5 değerie erişmiştir. = ( + + = (.565 = ( + + = (.875 = ( + + = (.875 Bu düze daha büük her değere ulaştıkça aşağıdaki maksimum saı elde edilicee kadar tekrarlaır. = ( + + = (7 Elde edile so saı grubu Şekil. de gösterilmiştir. Şekil. Örek.4 e geliştirile saal saı sistemi. Her bir değer bir çetikle gösterilmiştir. Sadece mümkü ola saılar gösterilmiştir. Tümüle eşdeğer bir grup ta egatif öde uzaacaktır.
15 Şekil. kaa okta gösterimii bilgisaar uvarlama hataları açısıda öemli ola birçok öüü ifade eder.. Gösterilebilecek büüklükleri aralığı sıırlıdır. Tamsaı durumuda olduğu gibi, gösterilemee büük pozitif ve egatif saılar vardır. Kabul edile aralığı dışıdaki saıları kullaılmasıa kalkışıldığıda, üstte taım sıırıı aşma deile hata oluşur. Kaa okta gösterimii büük saıları aıda küçük saıları da gösterememe gibi ek bir sıırlaması daha vardır. Bu durum Şekil. de sıfırla ilk pozitif saı arasıda kala altta taım sıırıı aşma deliği ile gösterilmiştir.. Aralık içide gösterilebile sadece solu saıda büüklük vardır. Dolaısıla, hassaslığı derecesi sıırlıdır. Elbette ki irrasoel saılar tam olarak gösterilemez. Dahası gruptaki değerlerde birile tam olarak örtüşmee rasoel saılar da hassas olarak gösterilemezler. Her iki durumu da aklaşık olarak göstermemiz soucu oluşa hatalara iceleme hataları deir. Gerçek aklaştırma iki şekilde apılır: budaarak vea uvarlaarak. Öreği π= değerii - tabalı saı sistemide edi alamlı basamakla saklaacağıı varsaalım. Eğer budama apılacaksa π=.459, uvarlatma apılacaksa π=.459 şeklide saklaır. Geişletilmiş hassaslık: Şekil. deki saal saı sistemi, kouu açıklaabilmek içi kullaıla abartılmış bir durumdu. Ticari bilgisaarlar çok daha büük kelimeler kullaırlar, dolaısıla saıları gerekede daha fazla hassaslıkla temsil edilmelerii sağlarlar. Öreği IEEE formatıı kullaa bilgisaarlar matis içi 4 bit kullaılmasıa izi verirler, bu da -8 ile 9 aralığıda -tabalı edi alamlı basamaklı hassaslık alamıa gelir. Buula birlikte, uvarlatma hatalarıı kritik olabileceği durumlar da vardır. Bu durumlarda kullaıla kelimeleri saısı iki katıa çıkarılarak çift katlı hassaslık sağlaır. 6 odalık basamak hassaslık -8 ile 8 arasıda bir aralık sağlar...4. Bilgisaar saılarıı aritmetik işlemleri Bilgisaar saı sistemlerii sıırlamaları bir aa, bu saılarla apıla gerçek aritmetik işlemler de uvarlatma hatalarıa ol açabilir. Basit toplama, çıkarma, çarpma ve bölmee uvarlatma hatalarıı etkisii göstermek içi ormalize edilmiş -tabalı saıları kullaacağız. Diğer sa tabalı sistemler de bezer şekilde davraacaklardır. Tartışmaı basitleştirmek içi 4-basamaklı matis ve -basamaklı üs kullaa saal bir odalıklı bilgisaar ele alacağız. Arıca budama kullaılacaktır. İki kaa oktalı saı topladığıda, üssü küçük ola saıı matisi üsler aı olacak şekilde değiştirilir. Bu işlem odalık oktaı aı hizaa gelmesii sağlar. Öreği,.557 ile.48 - saılarıı toplamak isteelim. İkici saıı matisideki okta üsleri farkıa eşit saıda basamak kadar sola kadırılır. Şimdi saılar toplaabilir. 4
16 Souç.6. saısıa budaır. İkici saıı sağa doğru kadırtıla iki basamağı işlem souda kabedilmiş olur. 4-basamak matis ve -basamak üs kullaa saal bir bilgisaarda, küçük bir saı, öreği. ile büük bir saıı, öreği 4 i toplamak isteelim. Küçük saıı üssü büük olaa uacak şekilde değiştirelim: Şimdi saıı budaırsa.4. 4 buluur. Bu durumda bir uvarlama hatası ortaa çıkar...5. Kesme Hataları ve Talor Serisi Eğer f foksiou ve ilk + türevi ve i içere bir aralıkta sürekli ise f foksiouu teki değeri f ( = f ( = k= f ( +! f (k ( k! ( ( f ( +! + R şeklide ifade edilir. Burada R kala olup, ( f + + ( (! ( + R (. R = ( t! f (+ (t dt (. ifadesile verilir ve t boş vea alacı değişkedir (dumm variable. (. eşitliği Talor serisi olarak biliir. Eğer kala ihmal edilirse eşitliği sağ tarafı f foksiouu Talor poliom aklaştırmasıdır. Talor serisi, herhagi bir düzgü foksiou aklaşık olarak bir poliom olarak ifade edilmesii sağlar. (. eşitliği kalaı ifade etme şekilleride biridir ve itegral formu adı verilir. Alteratif bir ifade ortalama değer teoremi ardımıla üretilir ve kalaı türev vea Lagrage formu olarak biliir. 5
17 R (+ f ( ξ + = ( ( +! (. Burada idisi kalaı ici derece aklaştırma içi azıldığıı gösterir. ξ, ile arasıda değer ala bir saıdır. Talor seri açılımıı pratikteki değeri şudur; sadece birkaç terim kullaılsa bile aklaştırma birçok durumda, bizi ilgilediği kadarıla gerçek değere çok akı souçlar verecektir. Yeteri kadar doğruu kaç terimle sağlaacağı, açılımı kala terimi esas alıarak buluur. Çoğu zama Talor serisii h=i+-i ile taımlaa bir adımla basitleştirerek aşağıdaki şekilde azmak kolalık sağlar: f ( +!!! ( f ( i f ( i f ( i i+ = f ( i + h + h + + h R (. Kala terimi ise bu durumda şöle azılır. R (+ f ( ξ = h ( +! + (.4 Bu bağıtıı iki öemli soruu vardır. İlki ξ tam olarak bilimemekte, sadece i ile i+ arasıda er almaktadır. İkicisi, (.4 eşitliğii hesaplamak içi foksiou (+. türevii bulmalıız. Buu apabilmek içi f( i bilmeliiz. Acak f( i bilsedik zate Talor seri açılımıa ihtiacımız olmazdı. Bu ikileme rağme (.4 eşitliği ie de kesme hatalarıı alamamız açısıda ararlıdır. Buu edei eşitlikte er ala h terimi üzeride kotrolümüz olmasıdır. Başka bir deişle f( i te e kadar uzakta hesaplamak istediğimizi seçebiliriz ve açılımda kaç terim olacağıı kotrol edebiliriz. Dolaısıla (.4 eşitliği geellikle R + = O(h (.5 şeklide azılır. O(h + sembolü kesme hatasıı h + mertebeside olduğuu gösterir. Öreği hata O(h ise adımı arıa idirmek hataı da arıa idirecektir. Öte ada hata O(h ise adımı arıa idirmek hataı dörtte bire idirecektir. Örek.5 f(=cos( foksiouu =π/4 civarıdaki Talor serisi açılımıı = da 6 a kadar ola terimlerii kullaarak, =π/ oktasıda f foksiouu ve türevii değerlerii buluuz. Çözüm: Gerçek foksio bilidiğide, f(π/=.5 gerçek değer olarak buluur. 6
18 f ( f ( f ( f ( = cos( = si( = cos( = si( (.8 deklemide. derece aklaştırma f ( ( = f ( + ( ( = π / 4! f π π π π π π π π f ( = cos( si( ( f ( = cos( si( ( = ε t = % = %4.4.5 (.8 deklemide. derece aklaştırma f ( π f ( ε = f ( = f (! f (! + ( + ( π cos( 4 π si( ( 4 π = %.5 t = devam edilirse aşağıdaki tablo oluşturulur. cos( %.449 π ( 4 π π 4 = Mertebe, f(π/ ε t (%
19 Talor serisi vs. gerçek foksio.9. mert 6. mert gerçek fok Şekil. Cos( foksiou ve Talor serisi açılımları 8
20 BÖLÜM CEBİRSEL DENKLEMLERİN KÖKLERİ.. GİRİŞ f(=a +b+c ikici derece deklemii köklerii bulmaı bilioruz. Bu deklemi köklerii f(= şartıı sağlaa değerleri olarak taımlaabiliriz. Bu edele deklemi köklerie baze deklemi sıfırları adı verilir. Bir ikici derecede poliom gibi kökleri doğruda bulua deklemler olmasıa karşı, f(=e - - gibi basit görüe bir foksio bile aalitik olarak çözülemeebilir. Bu tip durumlarda tek seçeek aklaşık çözüm tekikleridir. Yaklaşık çözüm elde etmek içi kullaılacak ötemlerde biri, foksiou çizerek ekseii kestiği oktaı belirlemektir. Acak bu ötem kökleri kaba bir tahmiii içerdiğide her zama kullaılması ugu değildir. Alteratif bir ötem deeme-aılma ötemidir. Bu ötemde içi bir değer tahmi edilir ve f( foksiouu sıfır olup olmadığıa bakılır. Eğer değilse ei bir değer tahmi edilir. Bu süreç f( i sıfıra akı bir değer almasıa kadar tekrarlaır. Bu tip rastgele ötemler elbette mühedislik gereksiimleri içi verimsizdir ve ugu değildir. Bu aşamada aklaşık souç vere, acak sistematik olarak doğru köke aklaşa ötemler iceleecektir. Bu sistematik ötemler ile bilgisaarları bileşimi kök bulma problemii basit ve verimli bir hale sokar... KAPALI YÖNTEMLER Foksioları kökleri civarıda işaret değiştirmeleri gerçeğide ararlaa ötemler, kökü ilk tahmii içi kökü arasıda olduğu iki değer gerektirir. Bu üzde bu ötemler, kapalı ötemler olarak biliir. Adıda da alaşılacağı gibi, ilk tahmi değerleri kökü farklı alarıda olmalıdır. Şekil (. de verile bir foksiou ele alalım. f( i sıfır apa bir değeri f( i köküdür (root. Yai f(r = ise r değerie f( foksiouu köküdür deir. Şekil. de, verile foksiou =4 civarıda bir kökü olduğu görülmektedir. Kökü sağ ve soluda foksiou değerii işaret değiştirdiği grafikte açıkça görülmektedir. 9
21 6 5 4 f( Şekil. Bir f( foksiouu eğrisi a kökü soluda (alt değer ü kökü sağıda (üst değer olmak üzere öreği f ( = > ike f ( = 6 > dır. Şekil (. kökleri alt sıır ve üst sıırla a ü belirlee aralıkta alabileceği vea (olamaacağı birkaç durumu göstermektedir. Şekil. Bir kökü alt ve üst sıırla belirlee aralıkta birkaç değişik şekilde geel olarak gösterilmesi Şekil., kökleri belirlee bir aralıkta alabileceği birkaç şekli gösterir. Geel olarak eğer f(a ve f(ü farklı işarete sahip iseler aralıkta tek saıda kök vardır. Şekil 5. (a ve 5. (c de olduğu gibi f(a ve f(ü aı işarete sahip iseler, aralıkta a hiç kök oktur vea çift saıda kök vardır. Bu geellemeler çoğulukla doğru olsa da, doğru olmadığı bazı durumlar vardır. Öreği ekseie teğet geçe foksiolar ve süreksiz foksiolar bu kuralı bozarlar (Şekil.a ve.b.
22 Şekil. Geel durumlara umaa istisalar (a katlı kök (b süreksiz foksio... Aralığı İkie Bölme Yötemi Eğer bir foksio bir aralıkta işaret değiştiriorsa, foksiou orta oktadaki değeri hesaplaır. Daha sora kökü eri, işareti değiştiği aralığı ortasıda kabul edilir. Daha akı tahmiler elde etmek içi bu süreç tekrarlaır. Yöteme ilişki algoritma aşağıda verilmiştir. Adım : Adım : Adım : Tablo.. Aralığı ikie bölme ötemie ait algoritma f(a f(ü< şartıı sağlaa a ve ü değerlerii tahmi et. Aşağıdaki eşitliği kullaarak kök içi tahmii bir değer hesapla r=(a+ü/ Eğer f(a f(r< ise kök soldaki alt aralıktadır. ü=r azarak Adım e dö. Eğer f(a f(r> ise kök sağdaki alt aralıktadır. a=r azarak Adım e dö. Eğer f(a f(r= ise kök r e eşittir. Hesaplamada çıkı. Bu aşamada ötemi e zama durdurulacağıa karar verilmesi gerekir. Daha öce taımladığı gibi bağıl üzde hata aşağıdaki şekilde hesaplaabilir. ei eski r r ei r εa = ε s (. Yaklaşık hata, εs gibi belirlemiş bir toleras üzde hatada küçük olduğuda hesap durdurulabilir. Yukarıdaki kriter, durdurma kriteri olarak isimledirilir. Yaklaşık olarak hesaplaacak ola kökü e az alamlı basamak içi kesilikle doğru olması isteiorsa εs aşağıdaki gibi hesaplamalıdır. ( εs = %.5 (.
23 Örek.. Şekil (. ile grafiği verile aşağıdaki foksiou köküü buluuz f ( = ( e (. Çözüm: Tablo (. ile verile algoritma ugulaırsa, ilk üç iteraso aşağıdaki şekilde elde edilir..iter Adım : a= ü=6 f( = f(6 = f(.f(6< Adım : r=(+6/ =4 f(4 =.5687 Adım : f( f(4> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=4. İter Adım : a=4 ü=6 r=(4+6/ =5 f(5 =-.448 Adım : f(4 f(5< olduğuda kök sol alt aralıktadır. ü=5. İter Adım : a=4 ü=5 r=(4+5/ =4.5 f(4.5 =.558 Adım : f(4 f(4.5> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=4.5 Ardışık iki iteraso içi toleras εs=%. olarak alıırsa ve Tablo. ile verile MATLAB kodu ardımıla çözüm Tablo. de görüldüğü gibi elde edilir. Tablo.. Aralığı ikie bölme algoritmasıa göre azılmış MATLAB programı fuctio [,] = eample (fok format short %programı çalıştırmak içi komut satırıa [,]=eample ('fok ' azıız. a=; %a = iput ('alt sıırı gir a='; u=6; %u = iput ('alt sıırı gir a='; es=.; %es = iput ('istee toleras değerii gir es='; mait=; %mait = iput ('maksimum iteraso saısıı gir mait= '; a( = a; b( = u; a( = feval('fok ',a(; b( = feval('fok ',b(; if a(*b( >. error (' Foksio uç oktalarda aı işarete sahip'; ed for i= : mait (i=(a(i+b(i/; (i=feval('fok ',(i; if (abs(-(i/a(i*<es disp('aralığı ikie bölme ötemi akısadı';break; ed if (i==. disp('kökü tam değeri elde edildi';break; elseif (i*a(i<
24 a(i+=a(i;a(i+=a(i; b(i+=(i;b(i+=(i; else a(i+=(i;a(i+=(i; b(i+=b(i;b(i+=b(i; ed; iter=i; if (iter>=mait disp('arzu edile toleras içi kök buluamadı'; ed ed =legth(;k=:; out=[k' a(:' b(:' ' ']; disp (' step a u r f(r'; disp(out fuctio f=fok ( f=667.8/*(-ep(-.4684*-4; Tablo.. Örek.. içi iterasolar İter o. a ü r f( a f( ü f( r ε a % Örek.. Aralığı ikie bölme ötemii kullaarak ü değerii εs= -4 olacak şekilde hesaplaıız. [Hatırlatma: f(= - deklemii pozitif kökü tür.]
25 Çözüm: Kök Kök Şekil.4 f(= - foksiouu kökleri Şekil.4 te görüldüğü gibi, deklemi pozitif kökü [.5, ] aralığıdadır. a=.5 ve ü= başlagıç aralığı olarak belirleir ve iterasoa başlaır. Tablo (. ile verile algoritma ugulaırsa, ilk üç iteraso aşağıdaki şekilde elde edilir..iter. İter. İter Adım : a=.5 ü= f(.5 = -.75 f( = f(.5.f(< Adım : r=(.5+/ =.75 f(.75 =.65 Adım : f(.5 f(.75< olduğuda kök sol alt aralıktadır. ü=.75 Adım : a=.5 ü=.75 r=(.5+.75/ =.65 f(.65 =-.598 Adım : f(.5 f(.65> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=.655 Adım : a=.65 ü=.75 r=( / =.6875 f(.6875 =-.54 Adım : f(.65 f(.6875> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=.6875 Tablo.4. Örek.. içi iterasolar İter o. a ü r f( a f( ü f( r ε a % E E-5-8.9E E-5.68E-5 -.6E
SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace
DetaylıLİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
DetaylıSAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
Detaylı0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322
Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem
DetaylıBASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
DetaylıBÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
DetaylıDERS 5. Limit Süreklilik ve Türev
DERS 5 imit Süreklilik ve Türev İlk dersimizi solarıda, it sözüğü kullaılmada bu sözükle iade edile kavram ele alımıştıbak.. Bu dersimizde, it kavramıa biraz daa akıda bakaağız ve bu kavram ardımıla süreklilik
DetaylıPOLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri
DetaylıM Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R
İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY
Detaylıİşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.
OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre
Detaylı(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
DetaylıTümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
Detaylı4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin
4/16/013 Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyası içi Tahmi Kitle ve Öreklem Öreklem Dağılımı Nokta Tahmii Tahmi Edicileri Özellikleri Kitle ortalaması içi Aralık Tahmii Kitle Stadart Sapması içi Aralık Tahmii
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
Detaylı5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii
DetaylıALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim
DetaylıPOLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,
POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x
Detaylın 1 1. Pratik Bilgi-1 in y a(x r) k türünden 2. Pratik Bilgi-1 x a(y k) r türünden
Pratik Bilgi- (İtegralsiz Ala Bulma) a eğrisi ile ve 0 doğrularıı sıırladığı ala ise, a eğrisi ile 0 ve a doğrularıı sıırladığı ala dir. Ugulama-. Muharrem Şahi eğrisi ile ve 0 doğrularıı sıırladığı bölgei
DetaylıCebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi
3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada
DetaylıALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri
DetaylıKi- kare Bağımsızlık Testi
PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm
DetaylıSTATİK MUKAVEMET İÇİN TASARIM (Design for Static Strength) Maksimum Normal Gerilme Teorisi (Maximum Normal Stress Theory)
Gücelleme:04/11/018 TATİK MUKAVEMET İÇİN TAARIM (Desig for tatic tregth) MUKAVEMET TEORİLERİ (Failure Theories) Maksimum Normal Gerilme Teorisi (Maximum Normal tress Theor) Üç asal gerilmede birisii, malzemei
Detaylı1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
DetaylıTahmin Edici Elde Etme Yöntemleri
6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme
DetaylıTOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.
DetaylıDENEY 4 Birinci Dereceden Sistem
DENEY 4 Birici Derecede Sistem DENEYİN AMACI. Birici derecede sistemi geçici tepkesii icelemek.. Birici derecede sistemi karakteristiklerii icelemek. 3. Birici derecede sistemi zama sabitii ve kararlı-durum
DetaylıTAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)
3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda
DetaylıÖğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı
Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar
DetaylıHARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI
HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme
Detaylı2.2. Fonksiyon Serileri
2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m
DetaylıİSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr
İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık
DetaylıKÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.
1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie
DetaylıBAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
Detaylısorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir
BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak
DetaylıORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze
DetaylıAnaliz II Çalışma Soruları-2
Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II
DetaylıDoç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ
TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim
DetaylıGAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ. KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuarı III
GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENİSLİĞİ BÖLÜMÜ KM 482 Kimya Mühedisliği Laboratuarı III eey No : 2-a eeyi adı : Kesikli istilasyo eeyi amacı : a) Kolodaki basıç kaybıı belirlemek,
DetaylıTG 12 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hakkı saklıdır. Hagi amaçla olursa olsu, testleri tamamıı vea
DetaylıMÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK)
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) Prof. Dr. Meti OLGUN Akara Üiversitesi Ziraat Fakültesi Tarımsal Yapılar ve Sulama Bölümü HAFTA KONU 1 Giriş, temel kavramlar, statiği temel ilkeleri 2-3 Düzlem kuvvetler
DetaylıPROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları
PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
DetaylıYard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Değişim Oraı: oksiouu değişimii ile, i değişimii İle östere. Değişim oraı olur. Diğer tarata olduğuda, Değişim oraı ve 0, alalım. Örek: Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol olur. 0,
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a
Detaylı4/4/2013. Ders 8: Verilerin Düzenlenmesi ve Analizi. Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler
Ders 8: Verileri Düzelemesi ve Aalizi Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler Bir kitlei tamamıı, ya da kitlede alıa bir öreklemi özetlemekle (betimlemekle)
DetaylıProblem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar
DetaylıGERİLİM ANALİZİ. YÜZEY KUVVETİ: bir cismin dış yüzeyi boyunca etki eder ve başka bir cisimle teması sonucu oluşur.
GRİLİM ANALİZİ Her biri matematiksel teoriler ola elastisite, viskoite vea plastisite teorileri kedi içleride bir düee sahip olup kuvvet, gerilim, deformaso ve birim deformaso davraışları gibi parametreler
DetaylıDiziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı
DetaylıBİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahmileme ve Hipotez Testlerie Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üiversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr
DetaylıTÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
DetaylıVenn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak
Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt
DetaylıPOLĐNOMLAR YILLAR ÖYS
YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır
DetaylıÖrnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1
Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault
DetaylıTUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi
TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,
DetaylıNOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ
NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. KULLANILAN ŞEKİLLERİN VE NOTLARIN TELİF HAKKI KİTABIN YAZARI VE BASIM EVİNE AİTTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ Ekoometri: Sözcük
DetaylıAKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ
AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde
Detaylı3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsayılı Diferansiyel Denklemi
3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsaılı Diferansiel Denklemi (n). (n) + (n-). (n-) + + 2. +. + = Q() Değişken dönüşümü apalım. Diferansiel denklemi sabit katsaılı ( erine t bağımsız değişkeni )
DetaylıİSTATİSTİK DERS NOTLARI
Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme
DetaylıStandart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme
5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli
Detaylı18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005
8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi
DetaylıGİRİŞ. Daha karmaşık yapıda olan ve bu ders kapsamına girmeyen denklemler için örnekler ise;
GİİŞ Matematik bakış açısıyla doğrusal modelleri büyük bir avataı vardır. Doğrusal olmaya sistemleri matematiği aalitik yötemlerle oldukça zordur ve geellikle bir ümerik bir çözüm elde edebilmek içi bilgisayar
DetaylıKİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ
KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ M. Turha ÇOBAN Ege Üiversitesi, Mühedislik Fakultesi, Makie Mühedisliği Bölümü, Borova, İZMİR Turha.coba@ege.edu.tr Özet: Kimyasal degei
DetaylıBileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:
1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki
DetaylıHİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.
HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya
DetaylıSAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:
www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK
DetaylıMAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler
MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması
Detaylı- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
DetaylıMEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ
MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme
DetaylıBölüm 5: Hareket Kanunları
Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı
DetaylıDÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ
DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research
Detaylı(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.
Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..
DetaylıBİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül
BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ A.Saide Sarıgül DENEYİN AMACI: Akastre bir çubuğu modal parametrelerii (doğal frekas, titreşim biçimi, iç söümü) elde edilmesi. TANIMLAMALAR: Modal aaliz: Titreşe bir sistemi
DetaylıIII.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)
III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak
Detaylıİstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı
İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi
Detaylın, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide
Detaylı5. BORULARDAKİ VİSKOZ (SÜRTÜNMELİ) AKIM
5. ORURKİ İSKOZ (SÜRTÜNMEİ) KIM 5.0. oru Sistemleri Çözüm Yötemleri oru sistemleriyle ilgili problemleri çözümüde tip çözüm yötemi vardır. ular I. Tip, II. Tip ve III. Tip çözüm yötemleridir. u çözüm yötemleride
DetaylıSİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici
DetaylıAÇIK ĐŞLETME BASAMAKLARI TENÖR KONTROLÜNDE JEOĐSTATĐSTĐKSEL TAHMĐN MODELĐ SEÇĐMĐ
Eskişehir Osmagazi Üiversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XXI, S., 2008 Eg&Arch.Fac. Eskişehir Osmagazi Uiversity, Vol..XXI, No:, 2008 Makalei Geliş Tarihi : 2.02.2007 Makalei Kabul Tarihi : 23.03.2007 AÇIK
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği
HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun
DetaylıYENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI
Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 YENĐ BĐR ADAPĐF FĐLRELEE YÖNEĐ: HĐBRĐD GS-NLS ALGORĐASI Sedat ĐRYAKĐ * eti HAUN ** Osma Hilmi KOÇAL ** Özet: Bu makalede, adaptif
DetaylıÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ
İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama
DetaylıSBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ
SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Ergu Karaağaoğlu H.Ü. Tıp Fakültesi Biyoistatistik ABD ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI
DetaylıOLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza
Detaylı8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden
MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9
DetaylıYER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.
YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
DetaylıTĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz
TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (
DetaylıBir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı
5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.
Detaylıİstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi
Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi Cilt: 8, No: 4, 011 (75-80) Electroic Joural of Machie Techologies Vol: 8, No: 4, 011 (75-80) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com e-issn:1304-4141
DetaylıPARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
DetaylıMONTE CARLO BENZETİMİ
MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,) rassal değişkeler kullaılarak (zamaı öemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da determiistik problemleri çözümüde kullaıla bir tekiktir. Mote Carlo simülasyou, geellikle statik
DetaylıÖğretim Üyesi. Topoğrafya İnşaat Mühendisliği
Öğretim Üyesi Mehmet Zeki COŞKUN Y. Doç. Dr. İşaat Fak., Jeodezi ve Fotogrametri Müh. Ölçme Tekiği Aabilim Dalı (1) 85-6573 coskumeh@itu.edu.tr http://atlas.cc.itu.edu.tr/~cosku Adres Öğreci görüşme saatleri:
DetaylıLİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ
LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel
DetaylıNÜMERİK ANALİZ. Sayısal Yöntemlerin Konusu. Sayısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! Denklem Çözümleri
Saısal Yöntemler Neden Kullanılır?!! NÜMERİK ANALİZ Saısal Yöntemlere Giriş Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU 2016 Günümüzde ortaa konan problemlerin bazılarının analitik çözümleri apılamamaktadır. Analitik
Detaylı2.2 Bazıözel fonksiyonlar
. Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()
Detaylı