ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI"

Transkript

1 ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Doç. Dr. Cihat ARSLANTÜRK Doç. Dr. Yusuf Ali KARA ERZURUM

2 BÖLÜM MATEMATİKSEL TEMELLER ve HATA ANALİZİ.. GİRİŞ Saısal ötemler, matematik problemlerii, aritmetik işlemlerle çözülebilmelerii sağlaacak şekilde formüle edildiği tekiklerdir. Çeşitli saısal ötemler olmasıa karşı, hepsii ortak bir özelliği vardır: hepsi, değişmez bir şekilde çok saıda zahmetli aritmetik işlem içerir. Bu edele, hızlı ve verimli saısal bilgisaarları gelişmesile so ıllarda mühedislik problemlerii çözümüde saısal ötemleri öemli bir rol alması hiç de şaşırtıcı değildir. Saısal ötemleri öğrememizi gerektire birçok ede saılabilir.. Mühedislik ugulamalarıda hiç de adir olmaa ve aalitik ollarda çözülmesi çoğu zama olaaksız ola büük saıda deklem sistemlerii, doğrusallıkta sapmaları ve karmaşık geometrileri çözmei başarabilirler.. Mühedislikte, çoğu zama ticari olarak suula ve saısal ötemleri içere paket bilgisaar programlarıı kullamak zorululuğu ortaa çıkar. Bu programları akılcı bir şekilde kullaılması geellikle ötemleri arkasıdaki temel kuramı bilmekle mümküdür.. Eğer saısal ötemlerde alıorsaız ve bilgisaar programlamada ustasaız, pahalı azılımlara para ödemee gerek kalmada problemleriizi çözebilirsiiz. 4. Saısal ötemlerle uğraşırke, bilgisaar programcılığıız da bua paralel olarak gelişecektir. 5. Saısal ötemler matematik alaışıızı güçledirecek araçlardır. Saısal ötemleri bir işlevi de üksek matematiği basit aritmetik işlemlere idirgemek olduğuda, başka zama belirsiz kala bazı kouları arıtılarıa girer. Bu alteratif bakış açısıla daha derilemesie bir kavraış ve açıklaıcı bilgi ediilebilir... MATEMATİK MODELLEME ve MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Matematik bir model, e geel alamıla, fiziksel bir sistemi vea bir süreci aa özelliklerii matematik terimlerle ifade ede bir eşitlik vea formül olarak taımlaabilir. E geel halde matematik model aşağıdaki biçimde bir foksioel ilişki olarak gösterilebilir. Bağımlı değişke=f (bağımsız değişkeler, parametreler, zorlaıcı foksiolar (. Burada bağımlı değişke sistemi davraışıı vea koumuu belirte bir özelliktir, bağımsız değişkeler geellikle zama vea koum gibi sistemi davraışıı

3 belirlee bouttur, parametreler sistemi özelliklerii ve apısıı asıtırlar, zorlaıcı foksiolar ise sistemi etkilee dış etkelerdir. (. eşitliği ile verile foksiou gerçek matematiksel ifadesi, basit bir cebirsel bağıtı olabileceği gibi çok uzu karmaşık diferasiel deklem takımları da olabilir. Tablo. bu foksioları ve bulara ait örekleri içermektedir. Tablo. Bazı Mühedislik Problemleri ve bulara ait örekler Cebrik Deklemler F = ma; σ = Eε Algebraic Equatios Adi Diferasiel Deklemler, ADD dv d (Ordiar Differetial Equatio, ODE F = m = m dt dt Kısmi Diferasiel Deklemler, KDD (Partial Differetial Equatio, PDE T T + = q (. eşitliği ile verile matematiksel modele, bir cismi mometumudaki zamaa göre değişimii cisme etki ede bileşke kuvvetle oratılıdır ifadesi ile verile Newto u ikici asası örek olarak verilebilir. Bu ifade matematiksel olarak aşağıdaki şekilde azılabilir. F = m.a (. Burada F, cisme etkie et kuvvet (N, m, cismi kütlesi (kg ve a, cismi ivmesidir (m/s. İkici asa, her iki taraf m e bölüerek Eşitlik (. e bezer şekilde aşağıdaki gibi eide azılabilir. a = F m (. Burada a, sistemi davraışıı asıta bağımlı değişke; F, zorlaıcı foksio ve m, sistemi bir özelliğidir. Bu basit durum içi bağımsız değişke oktur, çükü heüz ivmei kouma a da zamaa göre asıl değiştiğii belirlemedik. Eşitlik (. basit bir cebirsel ifadedir ve kolalıkla çözülebilir. Acak, diğer fiziksel olaları matematik modelleri çok daha karmaşık olabilir. Bular a tam olarak çözülemez, a da daha karmaşık matematiksel çözüm tekikleri gerektirirler. Yerüzüe akı bir ükseklikte serbest düşe bir cismi so hızıı elde etmek içi Newto u ikici asasıı kullaalım. Burada düşe cisim üksek bir erde atlaa bugee jumper (Şekil.a vea bir paraşütçü Şekil (.b olsu. İvme, hızı zamaa göre değişimi olarak ifade edilir ve (. eşitliğide erie azılırsa dv F = (.4 dt m Cisme etkie et kuvvet, ağırlık ve ters ödeki hava direcii bileşkesidir.

4 Şekil. Serbest düşe cisimlere etki ede kuvvetler F = F D + F U (.5 Eğer aşağı ö pozitif kabul edilirse, F D = mg (.6 azılabilir. Hava direcii hızla doğru oratılı olarak değiştiği kabul edilebilir. F U = cv (.7 Burada c (kg/s, direç katsaısı olarak isimledirilir. Gerekli basitleştirmeler apılarak aşağıdaki ADD elde edilir. dv dt c = g v (.8 m Eğer başlagıçta paraşütçü hareketsiz ise, (t= ike v= diferasiel deklemi çözümü aşağıdaki şekilde elde edilir. mt [ e ] (c / mg v(t = (.9 c

5 Eşitlik (.9 ile (. karşılaştırılırsa; v(t, bağımlı değişke; t, bağımsız değişke, c ve m, parametreler ve g, zorlaıcı foksio olarak karşımıza çıkar. Örek. Kütlesi 68. kg ola bir paraşütçü, dura bir hava balouda atlamaktadır. Paraşütçüü hızıı zamala değişimii buluuz. Çözüm: Saısal değerler (.9 eşitliğide erlerie azılırsa, hızı zamaa göre değişimii vere ifade elde edilir..855 t [ e ] v(t = 5.9 (. Dikkat edilirse bu foksiou alacağı maksimum değer v=5.9 m/s kadardır. 6 So hız 5 4 v, m/s t,s Şekil. Düşe paraşütçü problemii aalitik çözümü. Paraşütçüü hızı zamala artmakta ve asimptotik olarak bir so hız değerie ulaşmaktadır. Eşitlik (.9 orijial diferasiel deklemi tamame sağladığıda aalitik vea tam çözüm olarak adladırılır. Acak e azık ki birçok matematik model tam olarak çözülemez. Birçok durumda tam çözüme aklaşmak içi tek seçeek, saısal bir çözüm geliştirmektir. Daha öce aıldığı gibi saısal ötemler, matematiksel problemleri cebirsel işlemlerle çözülebilmesi içi eide ifade edildiği problemlerdir. Bu ise Newto u ikici asasıda hızı zamaa göre türevii aklaşık olarak Şekil. te görüldüğü gibi ifade edilmesile gösterilebilir. 4

6 Şekil. v i t e göre birici türevi içi solu fark aklaşımıı kullaılması dv dt v t = v(t t v(t t i+ i (. i+ i Bu ifade türevi aklaşık olarak hesaplamasıı sağlar. Burada, v(ti, ti başlagıç aıdaki hız, v(ti+ ise soraki ti+ aıdaki hızı göstermektedir. Türevi bu değeri (.8 deklemide erie azılır ve ifade eide düzeleirse, v(t c v(t i + g + = v(t i (t i t i m + (. i Örek. Örek. deki hesaplamaı saısal olarak apı. Çözüm: (. eşitliği kullaılarak istee hesaplama apılır. Başlagıçta t= ve v(t= olarak bilimektedir. Zama adımı saie olarak alıırsa,.5 v(t = ( ( = 9.6 m / s v(t = (9.6 ( =. m / s 68. Zama ilerletilerek diğer zamalara ait çözümler elde edilir. Saısal çözüm, tam çözüm ile birlikte Şekil.4 te gösterilmiştir. Saısal çözümü de tam çözümü asıl karakteristiğii akaladığıı sölemek mümküdür. Acak sürekli eğrisel bir foksio içi doğrusal parçalı bir aklaşım kullaıldığıda, tam ve saısal 5

7 çözümler arasıda bir fark vardır. Bu farkı küçültmei olu daha küçük bir zama adımı kullamaktır. Adımı küçültmei daha fazla doğruluk sağladığı, acak, hesaplama zamaıı da artırdığıı farkıda olmak gerekir. Şekil.4 Düşe paraşütçü problemide aalitik ve saısal çözümleri karşılaştırılması.. YAKLAŞTIRMA ve YUVARLATMA HATALARI Her e kadar, saısal tekikler aalitik çözüme akı souçlar verse de, saısal ötem bir aklaştırma içerdiğide tam çözümle arada bir fark (hata ortaa çıkmaktadır. Saısal ötemleri iki aa hata türü uvarlatma ve kesme hatalarıdır. Yuvarlatma hatası, bilgisaarları büüklükleri sadece belirli saıda haele gösterebilmeleride kaaklaır (makiee bağlı. Kesme hatası, saısal ötemleri, gerçek matematik işlem ve büüklükleri ifade edebilmek içi aklaştırma kullaabilmesi soucuda oluşa farklılıklardır (öteme bağlı.... Alamlı Basamaklar Bir hesapta saıla çalışıorsak buu güvele kullaabileceğimize dair garatimiz olmalıdır. Öreği Şekil. de verildiği gibi bir otomobili hız ve kilometre göstergelerii düşüelim. Hız göstergeside otomobili 49 ile 5 km/saat hızla gittiği alaşılabilir. 6

8 Şekil.5 Alamlı basamak kavramıı göstermek içi bir otomobili hız ve kilometre göstergeleri İbre gösterge üzerideki işaretleri orta oktasıda daha uzu olduğu içi, aracı aklaşık olarak 5 km/saat hızla hareket ettiğii güvele söleebiliriz. Bu okumaa güveiriz, çükü bu göstergei okuacak iki vea daha fazla kişi de aı souca ulaşacaklardır. Acak hızı okumasıda oktada sora bir odalık basamak daha olmasıda ısrar edilecek olursa, bir kişi 49.8, bir başkası 49.9 km/saat diebilecektir. Dolaısı ile bu aleti sıırları edeile okumaı sadece ilk iki basamağı güvele kullaılabilir. Öte ada kilometre göstergesi altı kesi basamak göstermektedir. Bir saıı alamlı basamakları güvele kullaılabilecek ola basamaklardır. Kesi bilie basamak saısıa ek olarak bir de tahmi edile basamağı ifade ederler. Bua göre hız göstergesi alamlı basamak, kilometre göstergesi ise 7 alamlı basamak göstermektedir. Geellikle bir saıı alamlı basamaklarıı bulmak kola olsa da, bazı karışık durumlar olabilmektedir. Öreği, sıfırlar her zama alamlı basamak değildir, çükü sadece odalık oktaı erii belirler..845,.845 ve.845 saılarıı hepside dört alamlı basamak vardır. Bezer biçimde büük saılarda, sağ taraftaki sıfırları kaç taesii alamlı olduğu açık değildir. Öreği, 45 saısıı sıfırlarıı güvele biliip bilimemesie bağlı olarak üç, dört vea beş alamlı basamağı olabilir. Bu tür belirsizlikler bilimsel otaso kullaılarak giderilebilir , 4.5 4, saıları sırasıla üç, dört ve beş alamlı basamağa kadar bilimektedir.... Doğruluk ve Hassaslık Doğruluk, hesaplaa a da ölçüle değeri gerçek değere e kadar uduğuu ifade eder. Hassaslık ise, hesaplaa a da ölçüle değerleri kedi aralarıda e kadar 7

9 uumlu olduklarıı ifade eder. Şekil. deki hedef tahtasıdaki her bir mermi deliği, saısal bir tekiği tahmileri olarak, hedefi ortası da gerçek olarak düşüülebilir. Şekil.6 Doğruluk ve hassaslık kavramlarıı açıklamak içi hazırlamış hedefe atış öreği (a alış ve belirsiz (b doğru ve belirsiz (c alış ve hassas (d doğru ve hassas... Hata Taımları Saısal hatalar gerçek matematik işlemleri ve büüklükleri aklaştırmalarla ifade edilmeleride doğar. Bular kesme ve uvarlatma hatalarıdır. Gerçek ve aklaşık souç arasıdaki ilişki, Gerçek değer = aklaştırma + hata (. Şeklide ifade edilebilir. Bu durumda gerçek saısal hata, Et, aşağıdaki şekilde ifade edilir. Et = gerçek değer aklaştırma (.4 Bu taımı eksikliği, icelemekte ola değeri mertebesii hiç dikkate almamasıdır. Öreği bir satimetrelik bir hata, iki şehir arasıdaki mesafe içi alamlı değilke, bir kalemi bouu ölçümü içi alamlıdır. Büüklükleri mertebelerii de dikkate almaı bir olu haı gerçek değere göre ormalize edilmesidir. Gerçek orasal bağıl hata = gerçek hata / gerçek değer Gerçek bağıl üzde hata aşağıdaki şekilde taımlaır. εt = (gerçek hata/ gerçek değer % (.5 Burada t idisi hataı gerçek değerle ormalize edildiğii göstermektedir. Acak saısal ötem ugulamalarıda gerçek değer bilimediğide bu hata 8

10 hesaplaamaz. Bu durumda hata, gerçeği e ii bilie tahmiie göre ormalize edilir. εa = (aklaşık hata/ aklaştırma % (.6 Burada a idisi hataı bir aklaştırma ile ormalize edildiğii göstermektedir. Saısal ötemlerdeki zor işlerde biri de gerçek değer hakkıda bilgi sahibi olmada hata tahmileri apmaktır. Öreği belirli saısal ötemler, aıtı hesaplamak içi iteratif aklaşım kullaır. Bularda mevcut aklaştırma, bir öceki aklaşım esas alıarak apılır. Bu tip durumlarda hata, geellikle o adaki aklaştırma ile bir öceki aklaştırma arasıdaki fark olarak tahmi edilir. Dolaısıla, bağıl üzde hata aşağıdaki ifadele buluur: εa = (mevcut aklaştırma-öceki aklaştırma /(mevcut aklaştırma % Çoğu zama hesap aparke hataı işareti ile ilgilemeebiliriz, acak üzdei mutlak değerii öcede verile bir εs toleras değeride daha küçük olup olmadığı bizi ilgiledirir. Bu durumda aşağıdaki şart sağlaıcaa kadar hesaba devam edilir. ε a < ε s (.7 Bu bağıtı sağlaırsa, soucu daha öce belirlemiş, kabul edilebilir hata sıırları içide kaldığı kabul edilir. Hataları alamlı basamak saısıla da ilişkiledirmek ararlı olacaktır. Aşağıdaki ölçüt gerçekleştiği takdirde soucu e az alamlı basamak içi kesilikle doğru olduğu literatürde ispatlamıştır...4. Yuvarlatma Hataları ε = %(.5 (.8 s Daha öce belirtildiği gibi, uvarlatma hataları bilgisaarları hesaplar sırasıda sadece belirli saıda alamlı basamağı saklamalarıda kaaklaır. π, e, 7 gibi saılar sabit saıda alamlı basamakla azılamaz. Bu edele bilgisaarda tam olarak ifade edilemezler. Arıca bilgisaarlar -tabalı gösterim kulladıklarıda bazı -tabalı tamsaıları da hassas olarak ifade edemezler. Alamlı basamakları bu şekilde ihmal edilmeleride doğa farka uvarlatma hataları deir...4. Saıları bilgisaarda gösterimi Saısal uvarlatma hataları doğruda saıları bilgisaarda saklama şeklile ilgilidir. Bilgii gösterildiği e temel birim kelime olarak biliir. Bu büüklük bir dizi iki tabaıa göre azılmış saı vea bit te medaa gelir. Saılar tipik olarak bir vea daha fazla kelime şeklide saklaır. Buu asıl apıldığıı alamak içi, öce saı sistemlerile ilgili bazı bilgileri gözde geçirmek gerekir. 9

11 Saı sistemleri. E bilie saı sistemi -tabalı saı sistemidir. O tabalı sistem saıları göstermek içi o adet rakam kullaır. Bilgisaarlar ise -tabalı sistem kullaır. Buu durum, saısal bilgisaarları matık birimlerii açık/kapalı koumlu elektroik elemalar olmasıla ilgilidir. Şekil.7 sistemleri ve tabalarıa göre asıl çalıştığı görülmektedir. Şekil.7 (a Odalık ( tabalı (b İkili (-tabalı sistemler Tamsaıları gösterimi. İşaretli büüklük ötemi adı verile e doğruda aklaştırmada, kelimei ilk biti işareti gösterir, pozitif egatif alamıa gelir. Geri kala bit ler saıı saklamakta kullaılır. Öreği -7 saısıı tamsaı değeri 6-bitli bir bilgisaarda Şekil.8 deki görüldüğü gibi saklaır. Şekil.8-7 odalık tamsaısıı 6-bitli bir bilgisaarda işaretli büüklük ötemile gösterimi Örek. 6-bitli bir bilgisaarda gösterilebilecek -tabalı tamsaıları aralığıı buluuz. Çözüm: 6 bitte ilki işareti gösterir. Geri kala 5 bit sıfırda e kadar ikili saıları içerir. Üst sıır odalık bir saıa aşağıdaki şekilde

12 döüştürülebilir. 4 ( + ( + + ( + ( = 767 O halde 6-bitli bir bilgisaar kelimesi -767 de 767 e kadar bir aralıktaki saıları saklaabilir. Dahası sıfır zate olarak taımladığıda eksi sıfırı taımlamak içi saısıı kullamak gereksizdir. Bu edele saı, ek bir egatif saıı, -768 i göstermek içi kullaılabilir. Bu durumda aralık [-768, 767] şeklidedir. Bu örek, saısal bilgisaarları tamsaıları göstermekteki sıırlı eteeklerii ii bir biçimde alatır. İşaretli üs Matis İşaret İşaret Saı Şekil.9 Kaa oktalı bir saıı bir kelimede saklama olu Kaa oktalı saı gösterimi. Kesirli icelikler, bilgisaarda tipik olarak kaa okta apısıda gösterilir. Bu aklaşımda saı matis dee kesirli kısım ile üs dee bir tamsaı kısım şeklide gösterilir (m.b e. Burada m=matis, b=kullaıla saı sistemii tabaı ve e=üs tür. Öreği saısı, -tabalı kaa okta sistemide,.5678 şeklide gösterilebilir. Şekil.9, kaa oktalı bir saıı bir kelime olarak saklaabileceği ollarda birii göstermektedir. İlk bit işaret içi, sorakiler işaretli üs içi, geri kala bitler de matis içi arılır. Saıı başıda sıfırlar olması halide geellikle matisi ormalize edildiğie dikkat edi. Öreği, /4= iceliğii sadece dört odalık basamağıı saklamasıa izi vere -tabalı kaa okta sistemide sakladığıı varsaalım. Bu durumda saı.94 şeklide saklaacaktır. Osa bu işlemi aparke, odalık oktaı sağıdaki gereksiz sıfırı azılması bizi, beşici odalık basamaktaki rakamıı atmak zoruda bırakır. Saı baştaki sıfırı kaldıracak şekilde matisi ile çarparak ve üssü bir azaltarak ormalize edilebilir..94 Bölece saı saklarke ek bir alamlı basamak daha bırakılabilir. Normalizasou bir soucu m i mutlak değerii sıırlı olmasıdır. Yai, m < b (.9

13 Burada b tabadır. Öreği -tabalı sistemde m,. ile aralığıda; -tabalı sistemde.5 ile aralığıda değişecektir. Kaa okta gösterimi, hem kesirleri hem de çok büük saıları bilgisaarlarda gösterilmesie olaak taır. Acak bazı sakıcaları vardır. Öreği, kaa oktalı saılar tamsaılara göre daha fazla er tutar ve işlemler daha uzu sürer. Daha da öemlisi, matis sadece solu saıda alamlı basamak tutabildiğide, bir hata kaağı oluşturur. Bölece uvarlatma hataları ortaa çıkar. Örek.4 7-bitli kelimeler kullaarak bilgi saklaa bir makie içi saal kaa oktalı saılar grubu oluşturu. İlk biti saıı işareti içi aırı, soraki üç biti üssü işareti ve büüklüğü, so üçüü de matis içi kullaı. Çözüm: Şekil. Örek.4 içi mümkü ola e küçük pozitif kaa oktalı saı Mümkü ola e küçük pozitif saı Şekil. da gösterilmiştir. İlk, saıı pozitif olduğuu gösterir. İkici basamaktaki, üssü egatif olduğuu belirtir. Üçücü ve dördücü basamaktaki ler ise üsse maksimum değerii verir. + = Yai üs olacaktır. So olarak da matis so üç basamaktaki ile verilmiştir ve, + + =.5 soucuu verir. Daha küçük bir matis kullamak mümküse de (,, gibi, ormalizasola getirile sıırlama edeile kullaılmıştır (Eşitlik.9. Dolaısıla bu sistemde mümkü ola e küçük saı +.5 -, vea -tabalı sistemde.65 tir. Bir soraki e büük saı ise matisi artırarak aşağıdaki gibi buluur. = ( + + = (.785 = ( + + = (.975

14 = ( + + = (.975 -tabalı eşdeğerleri.565 büüklüğüdeki aralıklarla sıraladığıa dikkat edi. Bu oktada artırmaa devam edebilmek içi üssü değerie azaltmalıız. Bu da, + değerie eşittir. Matis eide e küçük değeri ola e getirilir. Bölece bir soraki saı = ( + + = (.5 olur. Bu durumda aralık hala =.565 değerie eşittir. Acak şimdi matis artırılarak daha büük saılar oluşturuldukça aralık.5 değerie erişmiştir. = ( + + = (.565 = ( + + = (.875 = ( + + = (.875 Bu düze daha büük her değere ulaştıkça aşağıdaki maksimum saı elde edilicee kadar tekrarlaır. = ( + + = (7 Elde edile so saı grubu Şekil. de gösterilmiştir. Şekil. Örek.4 e geliştirile saal saı sistemi. Her bir değer bir çetikle gösterilmiştir. Sadece mümkü ola saılar gösterilmiştir. Tümüle eşdeğer bir grup ta egatif öde uzaacaktır.

15 Şekil. kaa okta gösterimii bilgisaar uvarlama hataları açısıda öemli ola birçok öüü ifade eder.. Gösterilebilecek büüklükleri aralığı sıırlıdır. Tamsaı durumuda olduğu gibi, gösterilemee büük pozitif ve egatif saılar vardır. Kabul edile aralığı dışıdaki saıları kullaılmasıa kalkışıldığıda, üstte taım sıırıı aşma deile hata oluşur. Kaa okta gösterimii büük saıları aıda küçük saıları da gösterememe gibi ek bir sıırlaması daha vardır. Bu durum Şekil. de sıfırla ilk pozitif saı arasıda kala altta taım sıırıı aşma deliği ile gösterilmiştir.. Aralık içide gösterilebile sadece solu saıda büüklük vardır. Dolaısıla, hassaslığı derecesi sıırlıdır. Elbette ki irrasoel saılar tam olarak gösterilemez. Dahası gruptaki değerlerde birile tam olarak örtüşmee rasoel saılar da hassas olarak gösterilemezler. Her iki durumu da aklaşık olarak göstermemiz soucu oluşa hatalara iceleme hataları deir. Gerçek aklaştırma iki şekilde apılır: budaarak vea uvarlaarak. Öreği π= değerii - tabalı saı sistemide edi alamlı basamakla saklaacağıı varsaalım. Eğer budama apılacaksa π=.459, uvarlatma apılacaksa π=.459 şeklide saklaır. Geişletilmiş hassaslık: Şekil. deki saal saı sistemi, kouu açıklaabilmek içi kullaıla abartılmış bir durumdu. Ticari bilgisaarlar çok daha büük kelimeler kullaırlar, dolaısıla saıları gerekede daha fazla hassaslıkla temsil edilmelerii sağlarlar. Öreği IEEE formatıı kullaa bilgisaarlar matis içi 4 bit kullaılmasıa izi verirler, bu da -8 ile 9 aralığıda -tabalı edi alamlı basamaklı hassaslık alamıa gelir. Buula birlikte, uvarlatma hatalarıı kritik olabileceği durumlar da vardır. Bu durumlarda kullaıla kelimeleri saısı iki katıa çıkarılarak çift katlı hassaslık sağlaır. 6 odalık basamak hassaslık -8 ile 8 arasıda bir aralık sağlar...4. Bilgisaar saılarıı aritmetik işlemleri Bilgisaar saı sistemlerii sıırlamaları bir aa, bu saılarla apıla gerçek aritmetik işlemler de uvarlatma hatalarıa ol açabilir. Basit toplama, çıkarma, çarpma ve bölmee uvarlatma hatalarıı etkisii göstermek içi ormalize edilmiş -tabalı saıları kullaacağız. Diğer sa tabalı sistemler de bezer şekilde davraacaklardır. Tartışmaı basitleştirmek içi 4-basamaklı matis ve -basamaklı üs kullaa saal bir odalıklı bilgisaar ele alacağız. Arıca budama kullaılacaktır. İki kaa oktalı saı topladığıda, üssü küçük ola saıı matisi üsler aı olacak şekilde değiştirilir. Bu işlem odalık oktaı aı hizaa gelmesii sağlar. Öreği,.557 ile.48 - saılarıı toplamak isteelim. İkici saıı matisideki okta üsleri farkıa eşit saıda basamak kadar sola kadırılır. Şimdi saılar toplaabilir. 4

16 Souç.6. saısıa budaır. İkici saıı sağa doğru kadırtıla iki basamağı işlem souda kabedilmiş olur. 4-basamak matis ve -basamak üs kullaa saal bir bilgisaarda, küçük bir saı, öreği. ile büük bir saıı, öreği 4 i toplamak isteelim. Küçük saıı üssü büük olaa uacak şekilde değiştirelim: Şimdi saıı budaırsa.4. 4 buluur. Bu durumda bir uvarlama hatası ortaa çıkar...5. Kesme Hataları ve Talor Serisi Eğer f foksiou ve ilk + türevi ve i içere bir aralıkta sürekli ise f foksiouu teki değeri f ( = f ( = k= f ( +! f (k ( k! ( ( f ( +! + R şeklide ifade edilir. Burada R kala olup, ( f + + ( (! ( + R (. R = ( t! f (+ (t dt (. ifadesile verilir ve t boş vea alacı değişkedir (dumm variable. (. eşitliği Talor serisi olarak biliir. Eğer kala ihmal edilirse eşitliği sağ tarafı f foksiouu Talor poliom aklaştırmasıdır. Talor serisi, herhagi bir düzgü foksiou aklaşık olarak bir poliom olarak ifade edilmesii sağlar. (. eşitliği kalaı ifade etme şekilleride biridir ve itegral formu adı verilir. Alteratif bir ifade ortalama değer teoremi ardımıla üretilir ve kalaı türev vea Lagrage formu olarak biliir. 5

17 R (+ f ( ξ + = ( ( +! (. Burada idisi kalaı ici derece aklaştırma içi azıldığıı gösterir. ξ, ile arasıda değer ala bir saıdır. Talor seri açılımıı pratikteki değeri şudur; sadece birkaç terim kullaılsa bile aklaştırma birçok durumda, bizi ilgilediği kadarıla gerçek değere çok akı souçlar verecektir. Yeteri kadar doğruu kaç terimle sağlaacağı, açılımı kala terimi esas alıarak buluur. Çoğu zama Talor serisii h=i+-i ile taımlaa bir adımla basitleştirerek aşağıdaki şekilde azmak kolalık sağlar: f ( +!!! ( f ( i f ( i f ( i i+ = f ( i + h + h + + h R (. Kala terimi ise bu durumda şöle azılır. R (+ f ( ξ = h ( +! + (.4 Bu bağıtıı iki öemli soruu vardır. İlki ξ tam olarak bilimemekte, sadece i ile i+ arasıda er almaktadır. İkicisi, (.4 eşitliğii hesaplamak içi foksiou (+. türevii bulmalıız. Buu apabilmek içi f( i bilmeliiz. Acak f( i bilsedik zate Talor seri açılımıa ihtiacımız olmazdı. Bu ikileme rağme (.4 eşitliği ie de kesme hatalarıı alamamız açısıda ararlıdır. Buu edei eşitlikte er ala h terimi üzeride kotrolümüz olmasıdır. Başka bir deişle f( i te e kadar uzakta hesaplamak istediğimizi seçebiliriz ve açılımda kaç terim olacağıı kotrol edebiliriz. Dolaısıla (.4 eşitliği geellikle R + = O(h (.5 şeklide azılır. O(h + sembolü kesme hatasıı h + mertebeside olduğuu gösterir. Öreği hata O(h ise adımı arıa idirmek hataı da arıa idirecektir. Öte ada hata O(h ise adımı arıa idirmek hataı dörtte bire idirecektir. Örek.5 f(=cos( foksiouu =π/4 civarıdaki Talor serisi açılımıı = da 6 a kadar ola terimlerii kullaarak, =π/ oktasıda f foksiouu ve türevii değerlerii buluuz. Çözüm: Gerçek foksio bilidiğide, f(π/=.5 gerçek değer olarak buluur. 6

18 f ( f ( f ( f ( = cos( = si( = cos( = si( (.8 deklemide. derece aklaştırma f ( ( = f ( + ( ( = π / 4! f π π π π π π π π f ( = cos( si( ( f ( = cos( si( ( = ε t = % = %4.4.5 (.8 deklemide. derece aklaştırma f ( π f ( ε = f ( = f (! f (! + ( + ( π cos( 4 π si( ( 4 π = %.5 t = devam edilirse aşağıdaki tablo oluşturulur. cos( %.449 π ( 4 π π 4 = Mertebe, f(π/ ε t (%

19 Talor serisi vs. gerçek foksio.9. mert 6. mert gerçek fok Şekil. Cos( foksiou ve Talor serisi açılımları 8

20 BÖLÜM CEBİRSEL DENKLEMLERİN KÖKLERİ.. GİRİŞ f(=a +b+c ikici derece deklemii köklerii bulmaı bilioruz. Bu deklemi köklerii f(= şartıı sağlaa değerleri olarak taımlaabiliriz. Bu edele deklemi köklerie baze deklemi sıfırları adı verilir. Bir ikici derecede poliom gibi kökleri doğruda bulua deklemler olmasıa karşı, f(=e - - gibi basit görüe bir foksio bile aalitik olarak çözülemeebilir. Bu tip durumlarda tek seçeek aklaşık çözüm tekikleridir. Yaklaşık çözüm elde etmek içi kullaılacak ötemlerde biri, foksiou çizerek ekseii kestiği oktaı belirlemektir. Acak bu ötem kökleri kaba bir tahmiii içerdiğide her zama kullaılması ugu değildir. Alteratif bir ötem deeme-aılma ötemidir. Bu ötemde içi bir değer tahmi edilir ve f( foksiouu sıfır olup olmadığıa bakılır. Eğer değilse ei bir değer tahmi edilir. Bu süreç f( i sıfıra akı bir değer almasıa kadar tekrarlaır. Bu tip rastgele ötemler elbette mühedislik gereksiimleri içi verimsizdir ve ugu değildir. Bu aşamada aklaşık souç vere, acak sistematik olarak doğru köke aklaşa ötemler iceleecektir. Bu sistematik ötemler ile bilgisaarları bileşimi kök bulma problemii basit ve verimli bir hale sokar... KAPALI YÖNTEMLER Foksioları kökleri civarıda işaret değiştirmeleri gerçeğide ararlaa ötemler, kökü ilk tahmii içi kökü arasıda olduğu iki değer gerektirir. Bu üzde bu ötemler, kapalı ötemler olarak biliir. Adıda da alaşılacağı gibi, ilk tahmi değerleri kökü farklı alarıda olmalıdır. Şekil (. de verile bir foksiou ele alalım. f( i sıfır apa bir değeri f( i köküdür (root. Yai f(r = ise r değerie f( foksiouu köküdür deir. Şekil. de, verile foksiou =4 civarıda bir kökü olduğu görülmektedir. Kökü sağ ve soluda foksiou değerii işaret değiştirdiği grafikte açıkça görülmektedir. 9

21 6 5 4 f( Şekil. Bir f( foksiouu eğrisi a kökü soluda (alt değer ü kökü sağıda (üst değer olmak üzere öreği f ( = > ike f ( = 6 > dır. Şekil (. kökleri alt sıır ve üst sıırla a ü belirlee aralıkta alabileceği vea (olamaacağı birkaç durumu göstermektedir. Şekil. Bir kökü alt ve üst sıırla belirlee aralıkta birkaç değişik şekilde geel olarak gösterilmesi Şekil., kökleri belirlee bir aralıkta alabileceği birkaç şekli gösterir. Geel olarak eğer f(a ve f(ü farklı işarete sahip iseler aralıkta tek saıda kök vardır. Şekil 5. (a ve 5. (c de olduğu gibi f(a ve f(ü aı işarete sahip iseler, aralıkta a hiç kök oktur vea çift saıda kök vardır. Bu geellemeler çoğulukla doğru olsa da, doğru olmadığı bazı durumlar vardır. Öreği ekseie teğet geçe foksiolar ve süreksiz foksiolar bu kuralı bozarlar (Şekil.a ve.b.

22 Şekil. Geel durumlara umaa istisalar (a katlı kök (b süreksiz foksio... Aralığı İkie Bölme Yötemi Eğer bir foksio bir aralıkta işaret değiştiriorsa, foksiou orta oktadaki değeri hesaplaır. Daha sora kökü eri, işareti değiştiği aralığı ortasıda kabul edilir. Daha akı tahmiler elde etmek içi bu süreç tekrarlaır. Yöteme ilişki algoritma aşağıda verilmiştir. Adım : Adım : Adım : Tablo.. Aralığı ikie bölme ötemie ait algoritma f(a f(ü< şartıı sağlaa a ve ü değerlerii tahmi et. Aşağıdaki eşitliği kullaarak kök içi tahmii bir değer hesapla r=(a+ü/ Eğer f(a f(r< ise kök soldaki alt aralıktadır. ü=r azarak Adım e dö. Eğer f(a f(r> ise kök sağdaki alt aralıktadır. a=r azarak Adım e dö. Eğer f(a f(r= ise kök r e eşittir. Hesaplamada çıkı. Bu aşamada ötemi e zama durdurulacağıa karar verilmesi gerekir. Daha öce taımladığı gibi bağıl üzde hata aşağıdaki şekilde hesaplaabilir. ei eski r r ei r εa = ε s (. Yaklaşık hata, εs gibi belirlemiş bir toleras üzde hatada küçük olduğuda hesap durdurulabilir. Yukarıdaki kriter, durdurma kriteri olarak isimledirilir. Yaklaşık olarak hesaplaacak ola kökü e az alamlı basamak içi kesilikle doğru olması isteiorsa εs aşağıdaki gibi hesaplamalıdır. ( εs = %.5 (.

23 Örek.. Şekil (. ile grafiği verile aşağıdaki foksiou köküü buluuz f ( = ( e (. Çözüm: Tablo (. ile verile algoritma ugulaırsa, ilk üç iteraso aşağıdaki şekilde elde edilir..iter Adım : a= ü=6 f( = f(6 = f(.f(6< Adım : r=(+6/ =4 f(4 =.5687 Adım : f( f(4> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=4. İter Adım : a=4 ü=6 r=(4+6/ =5 f(5 =-.448 Adım : f(4 f(5< olduğuda kök sol alt aralıktadır. ü=5. İter Adım : a=4 ü=5 r=(4+5/ =4.5 f(4.5 =.558 Adım : f(4 f(4.5> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=4.5 Ardışık iki iteraso içi toleras εs=%. olarak alıırsa ve Tablo. ile verile MATLAB kodu ardımıla çözüm Tablo. de görüldüğü gibi elde edilir. Tablo.. Aralığı ikie bölme algoritmasıa göre azılmış MATLAB programı fuctio [,] = eample (fok format short %programı çalıştırmak içi komut satırıa [,]=eample ('fok ' azıız. a=; %a = iput ('alt sıırı gir a='; u=6; %u = iput ('alt sıırı gir a='; es=.; %es = iput ('istee toleras değerii gir es='; mait=; %mait = iput ('maksimum iteraso saısıı gir mait= '; a( = a; b( = u; a( = feval('fok ',a(; b( = feval('fok ',b(; if a(*b( >. error (' Foksio uç oktalarda aı işarete sahip'; ed for i= : mait (i=(a(i+b(i/; (i=feval('fok ',(i; if (abs(-(i/a(i*<es disp('aralığı ikie bölme ötemi akısadı';break; ed if (i==. disp('kökü tam değeri elde edildi';break; elseif (i*a(i<

24 a(i+=a(i;a(i+=a(i; b(i+=(i;b(i+=(i; else a(i+=(i;a(i+=(i; b(i+=b(i;b(i+=b(i; ed; iter=i; if (iter>=mait disp('arzu edile toleras içi kök buluamadı'; ed ed =legth(;k=:; out=[k' a(:' b(:' ' ']; disp (' step a u r f(r'; disp(out fuctio f=fok ( f=667.8/*(-ep(-.4684*-4; Tablo.. Örek.. içi iterasolar İter o. a ü r f( a f( ü f( r ε a % Örek.. Aralığı ikie bölme ötemii kullaarak ü değerii εs= -4 olacak şekilde hesaplaıız. [Hatırlatma: f(= - deklemii pozitif kökü tür.]

25 Çözüm: Kök Kök Şekil.4 f(= - foksiouu kökleri Şekil.4 te görüldüğü gibi, deklemi pozitif kökü [.5, ] aralığıdadır. a=.5 ve ü= başlagıç aralığı olarak belirleir ve iterasoa başlaır. Tablo (. ile verile algoritma ugulaırsa, ilk üç iteraso aşağıdaki şekilde elde edilir..iter. İter. İter Adım : a=.5 ü= f(.5 = -.75 f( = f(.5.f(< Adım : r=(.5+/ =.75 f(.75 =.65 Adım : f(.5 f(.75< olduğuda kök sol alt aralıktadır. ü=.75 Adım : a=.5 ü=.75 r=(.5+.75/ =.65 f(.65 =-.598 Adım : f(.5 f(.65> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=.655 Adım : a=.65 ü=.75 r=( / =.6875 f(.6875 =-.54 Adım : f(.65 f(.6875> olduğuda kök sağ alt aralıktadır. a=.6875 Tablo.4. Örek.. içi iterasolar İter o. a ü r f( a f( ü f( r ε a % E E-5-8.9E E-5.68E-5 -.6E

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ M. Turha ÇOBAN Ege Üiversitesi, Mühedislik Fakultesi, Makie Mühedisliği Bölümü, Borova, İZMİR Turha.coba@ege.edu.tr Özet: Kimyasal degei

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

AÇIK ĐŞLETME BASAMAKLARI TENÖR KONTROLÜNDE JEOĐSTATĐSTĐKSEL TAHMĐN MODELĐ SEÇĐMĐ

AÇIK ĐŞLETME BASAMAKLARI TENÖR KONTROLÜNDE JEOĐSTATĐSTĐKSEL TAHMĐN MODELĐ SEÇĐMĐ Eskişehir Osmagazi Üiversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XXI, S., 2008 Eg&Arch.Fac. Eskişehir Osmagazi Uiversity, Vol..XXI, No:, 2008 Makalei Geliş Tarihi : 2.02.2007 Makalei Kabul Tarihi : 23.03.2007 AÇIK

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 YENĐ BĐR ADAPĐF FĐLRELEE YÖNEĐ: HĐBRĐD GS-NLS ALGORĐASI Sedat ĐRYAKĐ * eti HAUN ** Osma Hilmi KOÇAL ** Özet: Bu makalede, adaptif

Detaylı

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması

Detaylı

3. Bölüm Paranın Zaman Değeri. Prof. Dr. Ramazan AktaĢ

3. Bölüm Paranın Zaman Değeri. Prof. Dr. Ramazan AktaĢ 3. Bölüm Paraı Zama Değeri Prof. Dr. Ramaza AktaĢ Amaçlarımız Bu bölümü tamamladıkta sora aşağıdaki bilgi ve becerilere sahip olabileceksiiz: Paraı zama değeri kavramıı alaşılması Faiz türlerii öğremek

Detaylı

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi Cilt: 8, No: 4, 011 (75-80) Electroic Joural of Machie Techologies Vol: 8, No: 4, 011 (75-80) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com e-issn:1304-4141

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

Bilginin Görselleştirilmesi

Bilginin Görselleştirilmesi Bilginin Görselleştirilmesi Bundan önceki konularımızda serbest halde azılmış metinlerde gerek duduğumuz bilginin varlığının işlenmee, karşılaştırmaa ve değerlendirmee atkın olmadığını, bu nedenle bilginin

Detaylı

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 04

YAPIM YÖNETİMİ - EKONOMİSİ 04 İşaat projelerii içi fiasal ve ekoomik aaliz yötemleri İşaat projeleri içi temel maliyet kavramları Yaşam boyu maliyet: Projei kafamızda şekillemeye başladığı ada itibare başlayıp kullaım ömrüü tamamlayaa

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ 4. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ PARANIN ZAMAN DEĞERİ VE GETİRİ ÇEŞİTLERİ Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Paraı Zama Değeri Paraı Zama Değeri Yatırım

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

BÖLÜM 8 ALAN ETKİLİ TRANSİSTÖRLER (JFET) Konular:

BÖLÜM 8 ALAN ETKİLİ TRANSİSTÖRLER (JFET) Konular: ALAN ETKİLİ TRANİTÖRLER (JFET) BÖLÜM 8 8 Koular: 8.1 Ala Etkili Joksiyo Trasistör (JFET) 8. JFET Karakteristikleri ve Parametreleri 8.3 JFET i Polarmaladırılması 8.4 MOFET 8.5 MOFET i Karakteristikleri

Detaylı

Süzgeç. Şekil 4.1 Süzgeçlemedeki temel fikir

Süzgeç. Şekil 4.1 Süzgeçlemedeki temel fikir Deey 4: ayısal üzgeçler Amaç Bu deeyi amacı solu dürtü yaıtlı (FIR) ve sosuz dürtü yaıtlı (IIR) sayısal süzgeçleri taıtılması ve frekas yaıtlarıı icelemesidir. Giriş iyal işlemede süzgeçleme bir siyali

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

GaAs-TABANLI FİBER GLAS VE LAZERLERDE KILAVUZLANMIŞ ELEKTROMANYETİK ALAN MODLARININ ÖZELLİKLERİNİN İNCELENMESİ

GaAs-TABANLI FİBER GLAS VE LAZERLERDE KILAVUZLANMIŞ ELEKTROMANYETİK ALAN MODLARININ ÖZELLİKLERİNİN İNCELENMESİ P A M U K K A L Ü N İ V R S İ T S İ M Ü H N D İ S L İ K F A K Ü L T S İ P A M U K K A L U N I V R S I T Y N G I N R I N G C O L L G M Ü H N D İ S L İ K B İ L İ M L R İ D R G İ S İ J O U R N A L O F N G

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI

DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI Ercie Üiveritei Mühedilik Fakültei Makia Mühediliği Bölümü DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI (DERS NOTLARI) Doç.Dr. Sebahatti ÜNALAN Kaeri, Elül BÖLÜM I. GİRİŞ. ROBLEM ve DİFERANSİYEL ÇÖZÜM Mühedilik

Detaylı

YAPAY SİNİR AĞLARI İLE KARAKTER TABANLI PLAKA TANIMA

YAPAY SİNİR AĞLARI İLE KARAKTER TABANLI PLAKA TANIMA YAPAY SİNİR AĞLARI İLE KARAKTER TABANLI PLAKA TANIMA Cemil ÖZ 1, Raşi KÖKER 2, Serap ÇAKAR 1 1 Sakara Üiversiesi Mühedislik Fakülesi Bilgisaar Mühedisliği Bölümü, Eseepe, Sakara 2 Sakara Üiversiesi Tekik

Detaylı

A dan Z ye FOREX. Invest-AZ 2014

A dan Z ye FOREX. Invest-AZ 2014 A da Z ye FOREX Ivest-AZ 2014 Adres Telefo E-mail Url : Büyükdere Caddesi, Özseze ş Merkezi, C Blok No:126 Esetepe, Şişli, stabul : 0212 238 88 88 (Pbx) : bilgi@ivestaz.com.tr : www.ivestaz.com.tr Yap

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ WIND ENERGY POTENTIAL OF NIGDE PROVINCE

NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ WIND ENERGY POTENTIAL OF NIGDE PROVINCE Niğde Üiersitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 1, Sayı, (1), 37-47 NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ Uğur YILDIRIM 1,* Yauz GAZİBEY, Afşi GÜNGÖR 1 1 Makie Mühedisliği Bölümü, Mühedislik Fakültesi,

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

n 1 1. Pratik Bilgi-1 in y a(x r) k türünden 2. Pratik Bilgi-1 x a(y k) r türünden

n 1 1. Pratik Bilgi-1 in y a(x r) k türünden 2. Pratik Bilgi-1 x a(y k) r türünden Pratik Bilgi-1 (İtegralsiz Ala Bulma) a eğrisi ile ve 0 doğrularıı sıırladığı ala ise, a eğrisi ile 0 ve a doğrularıı sıırladığı ala dir. Ugulama-1.1 Muharrem Şahi eğrisi ile ve 0 doğrularıı sıırladığı

Detaylı

Bölüm 4. Görüntü Bölütleme. 4.1. Giriş

Bölüm 4. Görüntü Bölütleme. 4.1. Giriş Bölüm 4 Görüü Bölüleme 4.. Giriş Görüü iyileşirme ve görüü oarmada arklı olarak görüü bölüleme görüü aalizi ile ilgili bir problem olup görüü işlemei göserim ve aılama aşamalarıa görüüyü hazırlama işlemidir.

Detaylı

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects Uşak Üiversitesi Sosyal Bilimler Dergisi (2012) 5/2, 89-101 Yatırım Projeleride Kayak Dağıtımı Aalizi Bahma Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmaı amacı, yatırım projeleride kayak dağıtımıı icelemesidir. Yatırım

Detaylı

DENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir.

DENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir. DENEY NO: 7 MOSFET ÖLÇÜMÜ ve UYGULAMALARI DENEYĐN AMACI: Bu deeyi amacı MOS elemaları temel özelliklerii, ve p kaallı elemaları temel uygulamalarıı öğretmektir. DENEY MALZEMELERĐ Bu deeyde 4007 MOS paketi

Detaylı

İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM

İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM 17 Şubat 01 CUMA Resmî Gazete Sayı : 807 TEBLİĞ Bilgi Tekolojileri ve İletişim Kurumuda: İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam,

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK AKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY ÖYÜ DENEY I VİDALARDA OTOBLOKAJ DENEY II SÜRTÜNME KATSAYISININ BELİRLENMESİ DERSİN

Detaylı

ON THE TRANSFORMATION OF THE GPS RESULTS

ON THE TRANSFORMATION OF THE GPS RESULTS Niğde Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 6 Sayı -, (00), 7- GPS SONUÇLARININ DÖNÜŞÜMÜ ÜZERİNE BİR İNCELEME Meti SOYCAN* Yıldız Tekik Üiversitesi, İşaat Fakültesi, Jeodezi Ve Fotogrametri Mühedisliği

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

HARMONİK VE SIÇRAMA İÇEREN ELEKTRİK GÜÇ ŞEBEKESİ GERİLİM İŞARETİNE KİLİTLENMENİN YİNELENEN EN KÜÇÜK KARELER METODUYLA İNCELENMESİ

HARMONİK VE SIÇRAMA İÇEREN ELEKTRİK GÜÇ ŞEBEKESİ GERİLİM İŞARETİNE KİLİTLENMENİN YİNELENEN EN KÜÇÜK KARELER METODUYLA İNCELENMESİ P AM U K K A L E Ü N İ V E R S İ E S İ M Ü H E N D İ S L İ K F A K Ü L E S İ P A M U K K A L E U N I V E R S I Y E N G I N E E R I N G F A C U L Y M Ü H E N D İ S L İK B İ L İM L E R İ D E R G İS İ J O

Detaylı

El Hareketini Takip Eden Vinç Sisteminin Giriş Şekillendirici Denetimi

El Hareketini Takip Eden Vinç Sisteminin Giriş Şekillendirici Denetimi Karaelmas Fe ve Mühedislik Dergisi / Karaelmas Sciece ad Egieerig Joural 3 (2), 43-47, 2013 Karaelmas Sciece ad Egieerig Joural Joural home page: http://fbd.beu.edu.tr Araştırma Makalesi El Hareketii Takip

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı Damızlık Değeri, geotipik değer, allel frekasları Aki Pala, aki@comu.edu.tr ttp://members.comu.edu.tr/aki/ Damızlık değeri esabı µ Ökkeş =800 gr gülük calı ağırlık Sürü A Sürü µ Döller µ 500gr 700 DD esabı

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ

TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ SAĞLIK BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ EMRE DİRİCAN

Detaylı

3.2.3 DC Şönt Motora Yolverme... 58 3.2.4 DC Şönt Motorun Devir Sayısı Ayar Metotları... 63 3.2.5 DC Şönt Motorun Dönüş Yönünün Değiştirilmesi...

3.2.3 DC Şönt Motora Yolverme... 58 3.2.4 DC Şönt Motorun Devir Sayısı Ayar Metotları... 63 3.2.5 DC Şönt Motorun Dönüş Yönünün Değiştirilmesi... İÇİNDEKİLER ELEKTRİKLE TAHRİKİN TANII VE TEEL EKANİK BİLGİLER.... GİRİŞ.... ELEKTRİKLE TAHRİKTE HAREKET ŞEKİLLERİ..... Doğrusal Hareket..... Döer Hareket... 4.3 HAREKET OLAYLARININ KİNETİĞİ... 6.4 BİRİ

Detaylı

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ DOKUZ EYLÜL ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ Kerem GÜRBÜZ Hazira, 011 ĐZMĐR ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM

Detaylı

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makine Mühendisliği Bölümü

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makine Mühendisliği Bölümü BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ Makie Mühedisliği Bölümü 1 STAJLAR: Makie Mühedisliği Bölümü öğrecileri, öğreim süreleri boyuca 3 ayrı staj yapmakla yükümlüdürler. Bularda ilki üiversite içide e fazla 10 iş güü süreli

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üversitesi, 25-27 Kasım 2005 İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME Tamer EREN

Detaylı

Hata! Yer işareti tanımlanmamış. Hata! Yer işareti tanımlanmamış. Hata! Yer işareti tanımlanmamış. Hata! Yer işareti tanımlanmamış.

Hata! Yer işareti tanımlanmamış. Hata! Yer işareti tanımlanmamış. Hata! Yer işareti tanımlanmamış. Hata! Yer işareti tanımlanmamış. İÇİNDEKİLER MOTOR KONTROL SİSTEMLERİ VE TEMEL MEKANİK BİLGİLER... Hata! Yer işareti taımlamamış.. GİRİŞ... Hata! Yer işareti taımlamamış.. HAREKET ŞEKİLLERİ... Hata! Yer işareti taımlamamış... Doğrusal

Detaylı

YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI

YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI 2. Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI ÖZET: O. Soydaş 1 ve A. Sarıtaş 2 1 Doktora Öğrecisi, İşaat

Detaylı

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com e-issn:134-4141 Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi 28 (3) 41-48 TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR Makale Düşük Sıcak Kayaklı Isı Pompaları Eerji Maliyet Aalizi Özet Murat KAYA Hitit

Detaylı

FİBER BRAGG IZGARA TABANLI OPTİK SENSÖRÜN ANALİZİ

FİBER BRAGG IZGARA TABANLI OPTİK SENSÖRÜN ANALİZİ FİER RAGG IZGARA TAANLI OPTİK SENSÖRÜN ANALİZİ Lale KARAMAN 1 N. Özlem ÜNVERDİ Elektroik ve Haberleşme Mühedisliği ölümü Elektrik-Elektroik Fakültesi Yıldız Tekik Üiversitesi, 34349, eşiktaş, İstabul 1

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Öğreme Etkili Hazırlık ve Taşıma Zamalı Paralel Makieli Çizelgeleme Problemi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2006 CİLT 2 SAYI 4 (67-72) ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

[Gizli] PROJECT TEAM. Yrd. Doç. Dr. Oğuz ERGĠN

[Gizli] PROJECT TEAM. Yrd. Doç. Dr. Oğuz ERGĠN PROJECT TEAM rd. Doç. Dr. Oğuz ERGĠN Meltem ÖZSO Egi ÖZGER Nezire Nur PEPEOĞLU usuf Our KOÇBERBER ġadi Çağata ÖZTÜRK Özca URT Çağata GÜNGÖR 3..007 Akara ĠÇĠNDEKĠLER ÖZ... 3 GĠRĠġ... 4 PROJE AġAMALARI...

Detaylı

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET Bir nesnenin sabit hızda, net kuvvetin etkisi altında olmadan, düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplamaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

20 (1), 109-115, 2008 20(1), 109-115, 2008. kakilli@marmara.edu.tr

20 (1), 109-115, 2008 20(1), 109-115, 2008. kakilli@marmara.edu.tr Fırat Üiv. Fe ve Müh. il. Dergisi Sciece ad Eg. J of Fırat Uiv. 0 (), 09-5, 008 0(), 09-5, 008 Harmoikleri Reaktif Güç Kompazasyo Sistemlerie Etkilerii İcelemesi ve Simülasyou da KKİİ, Koray TUNÇP ve Mehmet

Detaylı

SIRA-BAĞIMLI HAZIRLIK ZAMANLI İKİ ÖLÇÜTLÜ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME. Tamer EREN a,*, Ertan GÜNER b ÖZET

SIRA-BAĞIMLI HAZIRLIK ZAMANLI İKİ ÖLÇÜTLÜ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME. Tamer EREN a,*, Ertan GÜNER b ÖZET Erciyes Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi 23 (1-2) 95-105 (2007) http://fbe.erciyes.edu.tr/ ISSN 1012-2354 SIRA-BAĞIMLI HAZIRLIK ZAMANLI İKİ ÖLÇÜTLÜ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI

Detaylı

Ölçme Hataları, Hata Hesapları. Ölçme Hataları, Hata Hesapları 2/22/2010. Ölçme... Ölçme... Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu.

Ölçme Hataları, Hata Hesapları. Ölçme Hataları, Hata Hesapları 2/22/2010. Ölçme... Ölçme... Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu. //00 Ölçme Hataları, Hata Hesapları Ölçme Hataları, Hata Hesapları Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu.tr Suu, Doç. Dr. Hade Demirel i ders otlarıda ve Ölçme Bilgisi kitabıda düzelemiştir. Ölçme...

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

Üç Boyutlu Bilgisayar Grafikleri

Üç Boyutlu Bilgisayar Grafikleri 1. Üç Boyutlu Nese Taımlama Yötemleri Bilgisayar grafikleride üç boyutlu eseleri taımlamak içi birçok yötem geliştirilmiştir. Hagi taımlama yötemi avatajlı olduğu üç boyutlu uygulamaı amaç ve gereksiimleri,

Detaylı

Görüntü Stabilizasyonu İçin Paralel İşlev Gören İki Kalman Filtresiyle İşlem Gürültü Varyansının Adaptifleştirilmesi

Görüntü Stabilizasyonu İçin Paralel İşlev Gören İki Kalman Filtresiyle İşlem Gürültü Varyansının Adaptifleştirilmesi Görütü Stabilizasyou İçi Paralel İşlev Göre İki Kalma Filtresiyle İşlem Gürültü Varyasıı Adaptifleştirilmesi Eylem Yama, Sarp Ertürk Kocaeli Üiversitesi Elektroik ve Haberleşme Müh. Bölümü eylem@kou.edu.tr,

Detaylı

Termik Üretim Birimlerinden Oluşan Çevresel-Ekonomik Güç Dağıtım Probleminin Genetik Algoritma Yöntemiyle Çözümü

Termik Üretim Birimlerinden Oluşan Çevresel-Ekonomik Güç Dağıtım Probleminin Genetik Algoritma Yöntemiyle Çözümü ermik Üretim Birimleride Oluşa Çevresel-Ekoomik üç Dağıtım Problemii eetik Algoritma Yötemiyle Çözümü Celal YAŞAR, Serdar ÖZYÖN, Hasa EMURAŞ 3, Mühedislik Fakültesi, Elektrik-Elektroik Müh. Bölümü, Dumlupıar

Detaylı

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir?

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir? KONU:ATOM FİĞİ ebuyukfizikci@otmail.com HAIRLAYAN ve SORU ÇÖÜMLERİ:Amet Selami AKSU Fizik Öğretmei www.fizikvefe.com S.1. Uyarılmış bir idroje atomuda Balmer serisii H β çizgisi gözlemiştir. Bua göre,buu

Detaylı