ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ"

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Dyae YAŞAR SONLU DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA ÇARPANLARA AYIRMA MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ADANA, 2009

2 ÖZ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ SONLU DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA ÇARPANLARA AYIRMA Dyae YAŞAR ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI Daışma: Doç. Dr. Goca AYIK Yıl: 2009, Sayfa: 63 Jür: Doç. Dr. Goca AYIK Doç. Dr. Hayrullah AYIK Yrd. Doç. Dr. Ers KIRAL Bu çalışmada öcelkle yarıgrup teorsdek temel taım ve teoremler, bağıtılar, deklkler, kogrüaslar, solu döüşümler yarıgrubu, kısm döüşümler yarıgrubu, bu yarıgruplar üzerde dealler, raklar ve Gree deklk bağıtıları taımlamıştır. Daha sora döüşüm yarıgrupları üzerde üç farklı çarpalara ayırma yötemler taım ve tekkler verlmştr. So olarak [AAH, 2005] makalesdek souçlara ayrıtılı olarak yer verlerek solu döüşümler yarıgrubu ve sguler döüşümler yarıgrubu ç doğuray kümeler celemştr. Aahtar Kelmeler: Döüşüm yarıgrupları, çarpalara ayırma, doğuray kümeler, raklar. I

3 ABSTRACT MSc. THESIS FACTORISATIONS IN FINITE TRANSFORMATIONS SEMIGROUP Dyae YAŞAR DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: Doç. Dr. Goca AYIK Year: 2009, Pages: 63 Jury: Doç. Dr. Goca AYIK Doç. Dr. Hayrullah AYIK Yrd. Doç. Dr. Ers KIRAL I ths study, frst we gave fudametal theorems ad deftos semgroup theory. That s, relatos, equvalece, cogruas, full trasformato semgroups, partal trasformato semgroups, deals o these semgroups, raks ad Gree equvalece relatos. The, we troduce three dfferet techques ad deftos of factorzatos trasformato semgroups. Fally, we meto about that results of the paper [AAH, 2005] so we vestgate geeratg sets for full trasformato semgroup, ad sgular trasformato semgroup. Key Words: Trasformato semgroups, factorsatos, geeratg sets, raks. II

4 TEŞEKKÜR Bu tez hazırlaması aşamasıda yardımlarıı, desteğ ve sabrıı esrgemeye daışmaım sayı Doç.Dr. Goca AYIK a çok teşekkür ederm. Ayrıca yüksek lsasımı başlagıç aşamasıda btş aşamasıa kadar baa destek ve moral vere Arş. Gör. Demet PARLAK SÖNMEZ e teşekkür ederm. Öğrem sürem boyuca madd ve maev her türlü zorlukla baş ederek be bu gülere getre ve ayaklarımı üzerde durmayı öğrete hayat uzmaı aem Hatce ATALAR a sosuz teşekkürlerm suarım. III

5 ĐÇĐNDEKĐLER SAYFA ÖZ...I ABSTRACT...II TEŞEKKÜR...III ĐÇĐNDEKĐLER...IV. GĐRĐŞ TEMEL TANIMLAR Bağıtılar, Deklkler, Kogrüaslar Tüm Döüşümler Yarıgrubu Đdealler Raklar Gree Deklk Bağıtıları DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI 3.. Döüşümler Grafğ ve GM Yötem Đle Çarpalara Ayırma Lpscomb Yötem Đle Çarpalara Ayırma AAH Yötem Đle Çarpalara Ayırma Doğuray Kümeler Solu Döüşümler Yarıgrubuda Raklar...5 KAYNAKLAR...60 ÖZGEÇMĐŞ...63 IV

6 .GĐRĐŞ Dyae YAŞAR. GĐRĐŞ Herhag br X kümesde ye X kümese ola tüm döüşümler kümes göz öüde buluduralım. Bu kümey T X le gösterelm. T X kümes döüşümler bleşkes şlem le br yarıgruptur. Bu yarıgruba tüm döüşümler yarıgrubu der. Tüm döüşümler yarıgrubu le lgl çalışmalar so ell yılda oldukça artmıştır. Blgsayar blmdek gelşmeler bu lg artmasıa yardımcı olmuştur. Bu zamaa kadar yapıla çalışmalarda X hem solu hem de sosuz olması durumları göz öüde buludurulmuştur. Özellkle [Hardy, Wrght, 979] ve [Hggs, Howe, Ruskuc 998] makalelerde X hem solu hem de sosuz olması durumuda T X özellkler celemş ve çeştl souçlar elde edlmştr. Herhag br S yarıgrubu T X br alt yarıgrubua zomorfk olduğuda TX yarıgrubu yarıgrup teorde oldukça öeml br yer tutmaktadır. Bu sebeple T X yapısıı ve elamalarıı özellkler bulmak ve T X doğuray kümes bulmak uzu zamadır çalışılmaktadır. Bu çalışmalara örek olarak [Araujo, Braco, Ferades,Gomes,Ruskuc, 200], [Ayık,Ayık,Howe,Ülü,2005], [Ayık, Ruskuc, 999], [Feraedes, 2002], [Gayushk,Mazorchuk, preprt],[gomes, Howe, 987], [Gomes, Howe, 992], [Hggs, Howe, Mtchell, Ruskuc, ], [Hggs, Howe, Ruskuc 998], [Howe,966],[Howe, 995],[Howe, McFadde,990],[Howe, 97], [Howe, 978] [Howe, Ruskuc, 994],[Keares,Szedre, Wood, 200], [Lpscomb, 996], [Ruskuc, 998], makalaler vereblrz. X={,2,,} solu br küme olması durumuda T X yarıgrubu kısacat olarak gösterlr ve solu döüşümler yarıgrubu der. ST ve Ssırasıyla T sgüler döüşümler alt yarıgrubuu ve bjektf döüşümler grubuu gösters. Klask solu döüşümler yarıgrubu hakkıdak termolojy br arada bulacağımız kayaklara örek olarak [Gayushk,Mazorchuk, preprt],[howe,966], [Lavers,998] çalışmalarıı vereblrz. Solu döüşüm yarıgruplarıı çarpalara ayrılması yarıgruplar teors so yıllarda sıkça çalışıla br kousudur. Bz de bu tezde üç farklı çarpalara ayırma

7 2.GĐRĐŞ Dyae YAŞAR yötem celedk. Öcelkle tez 2. bölümüde yarıgrup teorsde kullaıla temel taım ve teoremler, bağıtılar, deklkler, kogrüaslar, T ve PT döüşüm yarıgrupları ve bu yarıgruplar üzerde dealler, rak ve Gree deklk bağıtıları fade edlmştr. Tez 3. bölümüde se lk olarak Gayushk ve Mazorchuk tarafıda taımlaa tekğ celedk. Bu tekkle V br küme ve E V V olmak üzere Γ = ( V, E ) şeklde br kl olarak taımlaa Γ = ( V, E ) grafğ N dek her kısm döüşümüü yölü grafğ olduğu ve grafğ çok yer kaplaması edeyle daha az yer kaplaya br leer gösterm taımlamıştır. Döüşümler takdm ç grafk gösterm [Suschkewtsch, A.] da verlmştr. Đkc yötem ola Lpscomb yötem grafk temsl çarpalara ayrılması göstermde çarpalar devr veya patkalar olup br devre bağlaa patkaı paratez le bterke, devr ( ) paratez çde yazıldığı gösterlmştr. Lpscomb yötemyle lgl daha geş souçları [Lpscomb, 996] da bulablrsz. So yötem ola AAH çarpalara ayırma yötemde se öce T lkel elemaları ç patka-devr adı verle br gösterm oluşturulmuş ve T dek keyf br döüşümüü patka-devrler çarpımı olarak yazılması ç br algortma taımlamıştır. Sorasıda se bu tekklerle T ç doğuray kümeler taımlamış ve S T ( = T \ S ) dek her döüşümü 2-patkaları br brleşm olduğu ye br spatla fade edlmştr. T yarıgrubu hakkıda daha fazla blg ç [Clfford-Presto, 96], [Hggs, 992] ve [Petrch, 973] e bakablrsz. Bu üç yötem br örek le açıklayalım. T olarak alalım. döüşümü = olarak taımlası. Bu döüşümü Gayushk ve Mazorchuk yötemde bahsedle Γ grafğ aşağıdak gbdr.

8 3.GĐRĐŞ Dyae YAŞAR Gayushk ve Mazorchuk yötemde taımlaa tekk le çarpalara ayrılmış hal = ( [[[[5]; 4], [2]; 9], [[[0]; ], [6]; 6]; 3], 2, 4) (, 8) ([[5]; 7],3) şekldedr. Lpscomb yöteme göre döüşümüü çarpalara ayrılmış hal se = (0 6 3 ( (2 9 3 (3 2 4) ( 8)(3 7)(5 7 dr. se So olarak [AAH] yöteme göre döüşümüü çarpalara ayrılmış şekl =[0,,6,3,2,4 3][5,4,9,3 3][5,7,3 7][2,9 9][6,6 6][,8 ] dr. Bu çalışmaı so bölümüde [AAH, 2005] makalesdek souçlara ayrıtılı olarak yer verlmştr. Dereces ola tüm sgüler döüşümler yarıgrubuu S T ( = T \ S ) le göstereceğz. T de, kullaılarak S T T dek tüm 2-patkalar tarafıda doğurulduğu blyor olup T dek tüm 2-patkalar tarafıda doğurulur. So bölümde patka-devrler S T ve T ç ye br doğuray kümes ç alteratf spat verlmştr. Ayrıca her m {2, K, } ç S T, uzuluğu m ola patka-devrler tarafıda doğurulduğu gösterlmştr.

9 4.GĐRĐŞ Dyae YAŞAR Ayrıca r ç K, r = { T : m( ) r} ve T, = K, S olarak r r taımlaır. Bu durumda K, = T, = T, = T ve K, = ST dr. Her T ç S ve yı çere T e küçük alt yarıgrubuu x y ç ( x y ), X le gösterelm. Her [ x, y y] = T dr. So olarak cot( T, r ) = pr ( ) olduğu gösterlmştr.

10 5 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR 2.TEMEL TANIMLAR Boşta farklı S kümes üzerde br µ kl şlem (ya µ : S S S ) taımlı se ( S, µ ) klse br grupod der. Eğer µ kl şlem brleşme özellğe sahpse ya (( x, y), z) = x, ( y, z) ( ) µ µ µ µ se ( S, µ ) klse br yarıgrup der. (Burada döüşüm semboller sağıa yazılmıştır.) Đkl şlem cebrsel olarak alışık olduğumuz çarpma olarak alırsak otasyo bakımıda daha kolay br gösterme sahp oluruz. Bu durumda ( x, y ) µ yere x. y veya xy olarak yazarsak yukarıdak eştlk ( xy) z = x( yz) elemater cebrdek brleşme özellğ formua döüşmüş olur. N olmak üzere le tae x elemaıı çarpımıı fade edeceğz. S kardal sayısıa S dereces dyeceğz. Yarıgrubu çarpımsal otasyoda fade ederke çarpmaı e olduğu çerkte bell se ( S,.) yere sadece S yazacağız. Eğer br S yarıgrubuda her x, y S ç xy = yx oluyorsa S ye değşmel yarıgrup der. (Grup teordek abela fades de kullaılır.) Br S yarıgrubu, eğer her x S ç x x = x = x koşuluu sağlaya br elemaıa sahp se elemaıa brm elema, S ye de brm elemalı yarıgrup veya daha geel fade le br mood der. Br S

11 6 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR yarıgrubuu e fazla br tae brm elemaı vardır. Eğer, her x S ç x' = ' x = x koşuluu sağlıyorsa o zama ' = ' ( çükü brmdr) = ( çükü brmdr). Eğer S brm elemaa sahp değl se mood formua getrmek ç ekstra br brm elema kolayca ekleeblr. Her s S ç s = s = s ve = olarak taımlayalım. Rut kotroller soucu S { } br mood olur. Şmd kümes S S, S brm elemaa sahp se S = S { }, aks halde olarak taımlayalım. S kümes eğer gerekl se br brm ekleerek S de elde edle mood olarak adladıracağız. E az k elemalı br yarıgrup S, her x S ç x0 = 0x = 0 koşuluu sağlaya br 0 elemaıa sahp se 0 elemaıa sıfır elema, S kümese de sıfırlı yarıgrup der. Br S yarıgrubuu e fazla br tae sıfır elemaı vardır. E az k elemalı br yarıgrup S olmasıda kastımız br tek elemada oluşa { e } trval yarıgrubuu sıfır olarak alımamasıdır ( e 2 = e ). Bezer şeklde, eğer S sıfır elemaa sahp değl se ekstra br sıfır elema kolayca ekleeblr. Her s S ç s0 = 0s = 0

12 7 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR olarak taımlarsak brleşme hala geçerl olup S { 0} olarak geşleteblrz. O halde S, S sıfır elemaa sahp se 0 S = S { 0 }, aks halde olarak taımlayalım. edle yarıgrup olarak adladıracağız. 0 S kümes eğer gerekl se br sıfır ekleerek S de elde Bu ekstra brm ve sıfır elema ekleyeblme çok kolay olmasıa karşı, yarıgrupları çalışılmasıı, sıfırlı moodlerle çalışılması ç ks brde kısaltamayız. Bu ekleme ş yaparke yarıgrubu hayat özellkler kurba etmemelyz. Eğer grup ola br yarıgruba sıfır elemaıı eklersek grup olmaya br yarıgrup elde ederz. Sıfırlı yarıgruplar çde, herhag k elemaıı çarpımı sıfır ola oldukça trval ull yarıgruplar le karşılaşırız. Boşta farklı herhag br S yarıgrubuda çarpmayı a, b S ç ab = a olarak taımlarsak sol sıfır yarıgrup olarak adladırıla yarıgrubu elde ederz. Sağ sıfır yarıgrup bezer şeklde taımlaır. Herhag br X kümesde ye X kümese ola tüm döüşümler kümes göz öüde buluduralım. Bu kümey T X le gösterelm. T X kümes döüşümler bleşkes şlem le br yarıgruptur. Bu yarıgruba tüm döüşümler yarıgrubu der. X={,2,,} solu br küme olması durumuda kısacat olarak gösterlr ve solu döüşümler yarıgrubu der. Eğer I = [ 0,] kapalı aralığıda, x y I ç T X yarıgrubu ( x y) xy = m,

13 8 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR olarak taımlayalım. Brleşme özellğ sağlaır. Kolayca görüleceğ gb 0 sıfır elema, se brm elemadır. Eğer A ve B kümeler br S yarıgrubuu alt kümeler se o zama { :, } AB = ab a A b B olarak taımlayalım. S her A, B, C alt kümes ç ( ) = ( ) A BC AB C olduğu kolayca kotrol edleblr olup ABC ve A, A2,..., A alamlıdır. = değl A { a a : a, a A} alamı A { a 2 : a A} A = dır. Notasyoda bastlk bakımıda tek elemalı kümelerle lgl olarak A{ b } yere Ab yazılacaktır. Eğer a brm elemasız br S yarıgrubuu elemaı se o zama Sa kümes a yı çermes gerekmez. Aşağıdak göstermler stadarttır: = { } S a Sa a = { } as as a = { } S as SaS Sa as a Dkkat edlecek olursa S a, as, S as kümeler S alt kümelerdr ve elemaıı çermezler. Eğer br S yarıgrubu her a S ç as = a ve Sa = S (*) (*) özellğe sahp se S br gruptur. (*) özellğ her a, b S ç

14 9 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR ax = b, ya = b olacak şeklde x, y S olmasıa dek olduğu açıktır. Eğer G br grup se o zama G { 0} br yarıgruptur. Bu yolla oluşturula yarıgruba 0-grup veya sıfırlı grup der. Öerme 2.. Br sıfırlı yarıgrup S br 0-gruptur. Her a S \{ 0 } ç as = S ve Sa = S. Đspat. ( ) S 0 = olduğuu ya sıfırlı yarıgrup S br 0-grup kabul edelm. G a G = S \{ 0 } alalım. ag = Ga = G dr. as = ag { 0} ve Sa = Ga { 0} olduğuda as = Sa = S dr. ( ) S sıfırlı yarıgrubu her a S \{0} ç as = S, Sa = S olduğuu kabul edelm. G = S \{0} olsu. S de e az k elema olacağıda G dr.g grup olduğuu göstermek ç lk olarak G çarpma le kapalı olduğuu göstermelyz. Kabul edelm k G kapalı olması ya a, b G ç ab = 0 olsu. O zama ( )( ) ( ) 0 { 0} 2 S Sa bs S ab S S S = = = = 2 ve böylece S as S { 0} = = olup S e az k elema çermes le çelşr. O halde G kapalılık özellğe sahptr. Her a S \{0} ç as = S ve Sa = S olduğuda her a, b G ç ax = b ve ya = b olacak şeklde x, y S elemaları vardır. x, y sıfır olamayacağıda x, y G dr. O halde G br gruptur. Br S yarıgrubuu boşta farklı br T alt kümes çarpma şleme göre kapalı se ya her x, y T ç xy T

15 0 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR oluyorsa T ye S alt yarıgrubu der. Bu koşulu daha geel olarak 2 T T fade edeblrz. Brleşme özellğ S de sağladığıda T de de sağlaır ve T de br yarıgruptur. Bazı özel alt yarıgruplara örek olarak, S keds, {0} ve {} veya daha geel olarak 2 e oluşa { e } alt yarıgrubuu vereblrz. = e ola ya S dempotet herhag br elemaıda S br alt yarıgrubu S dek çarpma şlem le grup oluyorsa o alt yarıgruba S alt grubu der. Bua e trval örekler { 0 },{ } ve { e } dr. S boşta farklı T alt kümes S br alt grubu olması ç gerek ve yeter koşul her a T ç at x, y S ç = T ve Ta = T olmasıdır. ( S,.) ve (,.) T k yarıgrup ve ϕ : S T br döüşüm olsu. Eğer her ( xy) = ( x) ( y) ϕ ϕ ϕ oluyorsa ϕ ye br homomorfzm der. ( S,., S ) ve (,., T ) T ola moodler se yukarıdak koşula ek olarak T sırasıyla brmler S ve ( ) ϕ = S T oluyorsa ϕ ye br homomorfzma der. Bu homomorfzmaları aralarıdak farkı belrtmek ç yarıgrup homomorfzması ve mood homomorfzması fadeler kullaılır. Burada S ye ϕ taım kümes (doma), T ye de değer kümes (codoma) der. φ görütü veya maj kümes { s : s S} ϕ olarak taımlaır. Eğer ϕ brebr se φ ye br moomorfzm der. Br ϕ : S T homomorfzması, tersr ya ϕϕ, S üzerde brm döüşüm ϕ ϕ de T üzerde brm döüşüm olacak şeklde ϕ :T S br ϕ homomorfzması varsa ϕ : S T

16 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR homomorfzmasıa br zomorfzma der. Eğer br ϕ : S T zomorfzması varsa S ve T ye zomorfk der ve S T yazılır. Ya (,.) ϕ : S T ye brebr, örte ve her a, b S ç S ve (, ) T k yarıgrup olsu. ( a. b) = ( a) ( b) ϕ ϕ ϕ br ϕ döüşümü varsa S ve T zomorfktr. Örek 2.2. Küçük yarıgrupları Cayley tablosu dele çarpım tablolarıyla göstermek daha elverşldr. Bu tablolar S elema sayısıa deksl olarak S tae satır ve S tae sütuda oluşa kare matrslerdr. a, b S ç a-yıcı satır ve b-yc sütuu kesşm ab çarpımı şeklde yazılır. Öreğ T2 = e =, a, b, c 2 = = = yarıgrubuu Cayley tablosu e a b c e e a b c a a e c b b b b b b c c c c c 2 2 matrsler kümes S matrs çarpma şlem le br yarıgruptur S = E =, A, B, C 0 = = = S Cayley tablosu aşağıdak gbdr.

17 2 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR E A B C E E A B C A A E c B B B B B B C C C C C Brebr örte döüşümü e a b c ϕ = E A B C olarak alıırsa T 2 S ye zomorfk olduğu görülür. Eğer ϕ : S S homomorfzma se ϕ ye S br edomorfzm der, eğer bu ϕ edomorfzm brebr ve örte se ϕ ye br otomorfzm der. S ve T k yarıgrup se S T kartezye çarpımı üzerdek çarpmayı ( s, t)( s ', t ') = ( ss ', tt ') olarak taımlarsak S T kartezye çarpımı br yarıgrup olur. Bu yarıgruba S ve T drekt çarpımı der. S br yarıgrup ve I olmak üzere { U : I} yarıgruplarıı dekslemş br ales olsu. Tüm kümes de S alt U altyarıgruplarıı kesşm U, boşta farklı se S br alt yarıgrubu olduğu kolayca görülür. S boşta farklı her A alt kümes ç e az br tae A yı çere S br alt yarıgrubu vardır. (E azıda S keds vardır.) Böylece A yı çere S tüm altyarıgruplarıı kesşm A yı çere S br alt yarıgrubudur. Bu yarıgrubu A le gösterrz ve bu alt yarıgrup aşağıdak k özellk le taımlaır:. A A,

18 3 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR 2.Eğer U, A yı çere br alt yarıgrup se o zama A U dur. A alt yarıgrubu, A dak elemaları solu çarpımı şeklde yazılable S tüm elemalarıı çerr. Eğer A = S se A ya doğurayları kümes veya S =,,..., se A yı doğuray kümes der. Özel olarak A solu olablr. A { a a a } a a a olarak yazacağız. Özellkle A { a}, 2,..., durumuda 2 = tek elemalı br küme olması 2 {,,...,,...} a = a a a olur. a ya a tarafıda doğurula S moogec alt yarıgrubu der. Eğer S yarıgrubu ç S yarıgrup der. = a olacak şeklde br a elemaı varsa o zama S ye moogec Clfford&Presto (96), grup teordek termlojye paralel olarak tek doğuraylı yarıgruba 'devrl' (cyclc) fades kullamıştır. Fakat buu aslıda yarıgruplarda taımı tam olarak karşılamamaktadır. 2 a br S yarıgrubuu br elemaı olsu ve a { a, a,..., a,...} = moogec alt yarıgrubuu göz öüde buluduralım. a a a lstesde hç tekrar yoksa 2,,...,,... ya; = = m a a m se ( a,.) doğal sayıları toplama şlem le oluşturduğu (, + ) N yarıgrubua zomorfktr. Ayrıca bu durumda a sosuz moogec yarıgruptur ve a, S de sosuz dereceye sahptr. S br mood se a br alt mooddr ve 2 = {,,,...,,...} olduğuda ( a,.) ( 0, + ) a a a a N dr.

19 4 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR 2. Bağıtılar, Deklkler ve Kogrüaslar Eğer X br küme se X bağıtı der. X üzerdek tüm bağıtıları kümes ve ( ) { } X br ρ alt kümese X üzerde br B X le gösterelm., X X X = x, x : x X kümeler X üzerdek bağıtılara örek olarak vereblrz. ρ, X üzerde br bağıtı ve A X olmak üzere ρ { } [ A] = y X : ( a, y) ρ, ( a A) olarak taımlayalım. x X ç ρ { x} üzere ρo σ kümes yere [ x] ρ yazacağız. ρ, σ BX olmak {( x, y) X X : z X,( x, z),( z, y) } ρo σ = σ ρ olarak taımlaır. Her ρ, σ, τ BX ç ρ σ se ρoτ σ o τ ve τ o ρ τ o σ olduğu açıktır. Ayrıca B X, o şlem le br yarıgruptur. Dkkat edlecek olursa X = olmak üzere ρ B X olmak üzere 2 X X = olup B = dr. X 2 2 { ρ} ( ρ ) :,(, ) dom = x X y X x y kümese ρ u taım kümes { ρ} ( ρ ) :,(, ) m = y X x X x y kümese ρ u değer kümes der.

20 5 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Kolayca görüleceğ gb ρ, σ BX ç ρ σ ve ρ [ x] x dom( ρ ) m( ρ) m( σ ) ρ [ A] = { ρ [ a] : a A} se dom( ρ ) dom( σ ), dur. A X se U şekldedr. Her ρ BX ç ρ u ters ρ {( x, y) X X : ( y, x) ρ} = olarak taımlaır. olmak üzere ρ de B X br elemaıdır. Ayrıca ρ, β,, 2, L, B X ( ρ ) = ρ ( ) o olo = o oko 2 ρ β ρ β = = ve dr. Dkkat edlecek olursa ( ) ( dom ρ m ρ ), m( ρ ) dom( ρ ) [ ] ( ρ ) ρ x x ra dr. ρ, X üzerde herhag br bağıtı olsu. Her X Her x y X Her x y X x ç ( ) ρ x, x se ρ ya yasımalı, ç ( x, y) ρ ke ( x) ρ, ç ( x, y) ρ ve ( x) ρ atsmetrk Her x y, z X y, se ρ ya smetrk y, olduğuda x = y se ρ ya, ç ( x, y) ρ ve ( y, z) ρ olduğuda ( z) ρ ya geçşmel der. Bu taımları aşağıdak gb de fade edeblrz. Eğer X x, se ρ ρ se ρ ya yasımalı, ρ = ρ se ρ ya smetrk, ρ ρ ρ o se ρ ya geçşmel der. ρ, yasıma, smetr ve geçşme özellklere sahp se ρ ya X üzerde br deklk bağıtısı der.

21 6 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Örek 2... Yarıgruplar zomorfklğ br deklk bağıtısıdır. Ya; () S S () S () S T se T S dr. T se T K olsu. ϕ : S T ve ψ :T K zomorfzmaları olduğuda ψ o ϕ : S K br zomorfzm olup S K dr. O halde yarıgrupları zomorfklğ br deklk bağıtısıdır. Dkkat edlecek olursa ρ br deklk bağıtısı se o zama ( ) ( ) X dom ρ dom X ( ) ( ) X m ρ m X dom = m = X dr. olup ( ρ ) ( ρ ) Eğer ρ, X üzerde br deklk bağıtısı se o zama ( x, y) xρ y veya x y ( mod ρ ) yazacağız. [ x] ρ yere baze ρ kümese ρ -sııfı veya deklk sııfı dyeceğz. X ρ otasyou le tüm deklk sııflarıı kümes göstereceğz. ρ : X X ρ döüşümüü, her x X ve bu döüşüme doğal döüşüm der. Eğer Φ : X Y br foksyo se ç ρ ( x) ρ [ x] Φ = olarak taımlaır o Φ kümese Φ çekrdeğ der ve ker Φ le gösterlr. Dkkat edlecek olursa ρ br deklk bağıtısı se ker ρ dur. Eğer { : } { : } ρ I, X üzerdek deklk bağıtılarıı boş olmaya br ales se ρ I de X üzerde br deklk bağıtısıdır. R, X üzerde herhag br deklk bağıtısı se R y çere deklk bağıtılarıı br ales boş değldr e azıda X X deklk bağıtısı vardır. Böylece X üzerde R y çere tüm deklk bağıtılarıı kesşm de br deklk bağıtısıdır. Bu deklk bağıtısı X üzerde R y çere tek e küçük deklk bağıtısıdır. = ρ

22 7 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Kogrüaslar yarıgrup teorde e öeml kavramlarda brdr. Bu kavram grup teorde bölüm gruplarıda yer ala ormal alt grup kavramıı eksklğ karşılar. x, y, a S ç S br yarıgrup, R de S de br bağıtı (ya R S S ) olsu. Eğer her ( x, y) R ( ax, ay) R se R ye sol uyumlu, ( x, y) R ( xa, ya) R se R ye sağ uyumlu der. Her a, b S ç ( x, y) R ( axb, ayb) R se R ye uyumlu der. Sol uyumlu br deklk bağıtısıa sol kogrüas, sağ uyumlu br deklk bağıtısıa sağ kogrüas, uyumlu br deklk bağıtısıa da kogrüas der. Teorem ρ br S yarıgrubu üzerde br kogrüas olsu. () Eğer ( x, x% ) ρ ve ( y, y% ) ρ se o zama ( xy, xy %%) ρ dur. () a, b S ç S ρ üzerde çarpmayı [ a] [ b] = [ ab] ρ ρ ρ olarak taımlayalım. S ρ bu şlem le br yarıgrup ve ρ : S S ρ br homomorfzmadır.

23 8 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Đspat. () ( x, x% ) ρ ve ( y, y% ) ρ olsu. ρ br deklk bağıtısı olduğuda ( y, y) ρ dur. ρ uyumlu olduğuda ( xy, xy % ) ρ dur. Bezer şeklde ( xy %, xy %%) ρ olur. ρ geçşme özellğe sahp olup ( xy, xy %%) ρ dur. () ( ρ [ a] ρ [ b] ) ρ [ c] ρ [ a] ( ρ [ b] ρ [ c] ) Ayrıca ρ [ a] ρ [ a] = olup S ρ bu şlem le br yarıgruptur. = olarak taımlarsak, [ a] [ b] = [ a] [ b] = [ ab] = [ ab] ρ ρ ρ ρ ρ ρ olup ρ : S S ρ br homomorfzmadır. 2.2 Tüm Döüşümler Yarıgrubu Gruplarda br küme permütasyolarıı grubu gb yarıgruplarda da br kümede ye o küme kedse daha geel döüşümler kavramı vardır. X ve Y k küme olsu. X de Y ye br foksyo f (x) Y olmak üzere f x = f ( x) x X şekldedr. Bu durum geelde f : X Y şeklde fade edlr. f ( x ) elemalarıa f foksyouu x elemaları üzerdek değer der. Daha öce bölümüde taımlaa br döüşüm, br kümede o küme kedse gde br foksyodur. X, Y, Y ', Z kümeler ç Y Y ' olmak üzere f : X Y, g : Y ' Z k foksyo olsu. Bu durumda f ve g foksyolarıı çarpım veya bleşkes ola gf foksyouu şu şeklde taımlayablrz: gf bleşkes, x X olmak üzere X de ( ) Z ye br foksyodur ve gf ( x) g f ( x) = şeklde gösterlr. Özel olarak, ayı küme üzerdek k tam döüşümü bleşkes alablrz ve elde edle bleşke de br tam döüşüm olur. Yukarıdak taım kısm foksyolar ç de br geelleme sağlar. X de Y ye br kısm döüşüm (foksyo), X ' X olmak üzere : X ' Y şekldedr. Bu

24 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR durumda kısm döüşümü, X ' kümes elemaları üzerde taımlıdır. Baze bu gösterm yapılmada ı kısm döüşüm olduğu belrtlp : X Y şeklde de yazılablr. : X Y ve β :Y X k kısm döüşüm olsu. Bu k foksyou çarpımı veya bleşkes ola β kısm döüşümü ve β sırasıyla x ve ( x) elemaları üzerde taımlı olmak üzere tüm x X elemaları üzerde taımlıdır ve β ( ) ( x) β ( x) = şekldedr. Özel olarak, ayı küme üzerdek k kısm döüşümü bleşkes alablrz ve souç ayı küme üzerde ye br kısm döüşüm olur. Souç olarak, tüm döüşümler bleşke taımıı, kısm döüşümler bleşke taımıı br özel durumu olduğuu söyleyeblrz. Öerme (kısm) Foksyoları bleşkes brleşmldr. Ya, β ve γ kısm döüşümler olmak üzere γ ( β ) bleşkes taımlı olması ç gerek ve yeter koşul ( γβ ) bleşkes taımlı olmasıdır ve eğer ks de taımlı se γ ( β ) = ( γβ ) dır. X Y Z V γβ β γ x y z v β ( ) = ( ) γ β γβ 9

25 20 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Gruplarda br küme permütasyolarıı grubu gb yarıgruplar da da br kümede ye o küme kedse daha geel döüşümler kavramı vardır. Br X kümesdek tüm permütasyoları smetrk grubu ( S ), o a bezer olarak, X te X e tüm döüşümler yarıgrubu ( T, o ) vardır. Özel olarak X = X = {, 2,..., } X solu kümes ç tüm döüşümler yarıgrubu ( T, o ) şeklde göstereceğz. X te X e tüm kısm döüşümler kümese kısm döüşümler yarıgrubu der ve ( PT, o ) le gösterlr. Bezer şeklde X solu se ( ) X PT, o le gösterlr. Yukarıda bahsedldğ gb tüm bu yarıgruplarda şlem bleşke şlem olup bu şlem brleşmeldr. ( S ), o, X te X e tüm brebr örte döüşümler çeryor olup ( T, o ) alt yarıgrubudur (ayı zamada alt grubudur.). Bezer şeklde ( T, ) X ( PT, o ) alt yarıgrubudur. X X {, 2,..., } X = =, X = se X o de S =!, T = ve PT ( ) = + olduğu yukarıdak foksyo taımı le lşkl olarak düşüüldüğüde açıktır. Eğer S, tüm döüşümler yarıgrubu T br alt yarıgrubu se S ye döüşümler yarıgrubu veya döüşümler yarıgrubu der. Br S yarıgrubuda T ye br ϕ homomorfzmasıa S temsl der. Eğer ϕ brebr se ϕ ye güvelr temsl der. Her durumda ϕ görütüsü Sϕ kümes S ye zomorfk br döüşümler yarıgrubudur. Aşağıdak teorem gruplardak Cayley teoreme bezer olup her yarıgrubu br trasformasyo yarıgrubua zomorfk olduğuu fade etmektedr. Teorem ( Cayley Teorem) Kardaltes ola her solu S yarıgrubu ya T ya da T + br altyarıgrubua zomorfktr.

26 2 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Đspat. Đlk olarak S brm elemaıa sahp olduğuu kabul edelm. { } S = a =, a2,..., a ve k =, 2,..., ç k sayıları aa taımlı olmak üzere ϕ : S T döüşümüü = a eştlğ le tek türlü k k ϕ ( a) 2... = 2... olarak taımlayalım. ϕ : S ϕ ( S ) Ayrıca ( ab) a a( ba ) döüşümü brebr ve örtedr. k ( ) = olup her k =, 2,..., ç k ϕ ( ab)( k ) = ϕ ( a) ϕ ( b)( k ) dr. Böylece her a, b S ç ϕ ( ab) = ϕ ( a) ϕ ( b) olup ϕ br zomorfzmdr. O halde ϕ, S de T br altyarıgrubu ( S ) ϕ ye br zomorfzmadır. Eğer S br brm elema çermyor se, S y S yarıgrubuu br altyarıgrubu olarak göz öüe alablrz. Bu durumda se altyarıgrubua zomorfktr. S, T + br Brm döüşümü I = şeklde gösterelm. Eğer varlığı çerkte alaşılır se I yere I kullaırız. Öerme I döüşümü T ve PT yarıgruplarıı brm elemaıdır. Bua ek olarak T ve PT brer mooddr. Teorem , β PT ç aşağıdakler doğrudur. ) dom( β ) dom( )

27 22 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR ) m( β ) m( β ) ( ) ) rak ( β ) m rak ( ), rak ( β ) =. Đspat. : X Y ve β :Y Z kısm döüşümler ele alalım. Bu k döüşümü bleşke döüşümü β : X Z şekldedr. β ı taım kümesdek tüm elemaları, ı taım kümes tarafıda kapsadığı aşkardır. Bu durumda dom( β ) dom( ) dır. Ayı şeklde β ı görütü kümesdek elemalar da β ı görütü kümes tarafıda kapsaır ve m ( β ) m( β ) dır., β T3 ç 2 3 β = olur = 2 ve 2 3 β = 2 3 rak ( ) = 2 ve rak ( β ) = 3 olmak üzere ( ) ( ) alıırsa rak β = m 2,3 = 2 dr. Öerme T veya PT olsu. ı tersr olması ç gerek ve yeter koşul ı N de br permutasyo olmasıdır. Đspat. tersr olsu. β = β = I olacak şeklde br β (kısm) döüşümü vardır. dom( I ) = N dr. Bu durumda Teorem () de dom( ) = N dr. Ayrıca, x, y N, x y se I ( x) I ( y) ( x) = ( y) olsa ( ) β ( ) dr. Bu durumda ( x) ( y) ( ) β ( ( )) ( ) = olamaz. Aks halde I x = x = y = I y çelşk elde edlr. Böylece brebr ve örte olup br permutasyodur. Terse, br permutasyo olsu = 2...

28 23 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR 2... β = 2... elemaı da br permutasyo ve β = β = I olup tersrdr. N üzerdek 0 kısm döüşümü 0 : N şeklde olup dom( ) = dr. Eğer varlığı çerkte alaşılıyor se 0 yere 0 kullaılır. Öerme , PT yarıgrubuu sıfır elemaıdır. Đspat. ΠΤ ç 0 = 0 = 0 olduğu aşkardır. = olmak üzere Herhag br a X {, 2,..., } 2... a = a a... a elemaıa sabt elema der. Öerme > ç T sağ sıfır elemaı yoktur. T ı br sol sıfır = olmak üzere olması ç gerek ve yeter koşul herhag br a X {, 2,..., } 2... a = a a... a olmasıdır. Bua ek olarak, T yarıgrubuu tae sol sıfırı vardır.

29 24 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR = olmak üzere Đspat. a X {, 2,..., } Herhag br β ç β ( x) ( x) T a 2... a = a a... a = a olduğuda a, le gösterelm. T sol sıfırdır. Bu yüzde T e azıda tae sol sıfır çerr. Özellkle, > ç T yarıgrubu sağ sıfır çermez. Sabt döüşümler rakı ola döüşümlerdr. β T elemaıı rakı e az 2 olsu. Herhag br a T ç β a ı rakı olup x X ç βa ( x) = β ( x) olması mkâsızdır. O halde rakı 2 ola sabt döüşüm sol sıfır elema olamaz. O halde T tae sol sıfır elemaı vardır. elemadır. T yarıgrubu yalızca brm elemada oluşup bu elema ayı zamada sıfır 2.3 Đdealler deal, AS S boşta farklı A alt kümes SA A koşuluu sağlıyorsa A ya sol A koşuluu sağlıyorsa A ya sağ deal ve hem sağ hem de sol deal se A ya (k-yalı) deal der. Her deal (sağ veya sol veya k-yalı deal) br alt yarıgruptur fakat buu ters doğru değldr. Đdeallere örek olarak S keds ve ( eğer S sıfır elemaa sahp se) { 0} kümes vereblrz. Br I deal { } koşuluu sağlıyorsa I ya öz deal der. 0 I S Örek T yarıgrubuu r olmak üzere her { ( ) } K = T m r, r : alt kümes br dealdr.

30 25 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Örek G br grup se G tek deal kedsdr. Gerçekte de I br deal se I elemaıı alalım. Herhag br g G ç g = g. I olup I = G dr. Teorem S br yarıgrup, X de S boşta farklı br alt kümes olsu. { :, } = S X sx s S x X kümes X kümes çere S e küçük sol dealdr. Bezer şeklde { :, } = XS xs s S x X { :,, } = S XS sxt s t S x X kümeler sırasıyla X kümes çere S e küçük sağ ve k yalı dealdr. Đspat. Sadece lk küme ç spatı yapalım dğerler de bezer şeklde spatlaır. Herhag sx S X ve t S ç t ( sx) = ( ts) x S X olup S X sol dealdr ve X kümes çerr. I, X kümes çere herhag br deal olsu. O zama herhag s S ve x X ç sx I olup S X I dr Raklar S br yarıgrup A R de S yarıgrubu ç br takdm olsu. S rakı olarak taımlaır. { } rak( S) = m A : S A R

31 26 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Örek {, 2,..., } kümes üzerdek br σ permutasyou { } { } σ :, 2,...,,2,..., şekldek brebr örte döüşüm olarak taımlası. Ayrıca S le gösterle {,2,..., } G smetrk grubu bu şekldek permutasyolarda oluşmaktadır. Grup teorde gösterldğ üzere her permutasyo ayrık devrler çarpımı şeklde fade edleblr. ({, 2,..., } kümes farklı elemaları a, a2,..., a k olmak üzere ( a a2... a k ) şeklde yazıla ve ( ) (, 2,..., ),, {,,..., } a φ = a = k a φ = a xφ = x x a a a + k 2 k le taımlı br φ foksyoua devr; eğer { a a a } ve { } ayrık se ( a a2... a k ) ve ( b b2... l ),,..., k 2 b, b,..., b l kümeler 2 b devrlere de ayrık der.) Uzuluğu 2 ola ( a a 2 ) şekldek br devre traspozsyo der. Trval durumları ölemek ç 3 kabul edlr. (a) k 3 se ( a a a ) = ( a a ) o( a a ) ol o ( a a )... k k olduğuu ve S tüm traspozsyolar tarafıda üretldğ gösterelm. ( ) 2 Taımdak φ foksyoua bezer olarak, a a ç aφ 2 = a2, a2φ 2 = a, xφ 2 = x, ( x a, a2 ) olacak şeklde br φ 2 foksyou vardır. ( ) 3 a a ç aφ 3 = a3, a3φ 3 = a, xφ 3 = x, ( x a, a3 ) olacak şeklde br φ 3 foksyou vardır. M

32 27 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR ( ) k a a ç aφ k = ak, akφ k = a, xφ k = x, ( x a, ak ) olacak şeklde br φ k foksyou vardır. Bu durumda ( ) ( ) ( ) ( ) a φ φ K φ = a φ φ K φ = a φ K φ = L = a φ = a 2 3 k 2 3 k 2 3 k 2 k 2 a φ φ K φ = a φ φ K φ = a φ K φ = a φ K φ = L = a φ = a k k 3 k 3 4 k 3 k 3 M ( ) ( ) a φ φ K φ = a φ φ K φ = a φ K φ = L = a φ = a k 2 3 k k 2 3 k k 3 k k k x a, a,..., ak ç xφ 2φ3 K φ k = x olup φ = φ2φ3 K φk alıırsa ve 2 ( a a a ) = ( a a ) o( a a ) ol o ( a a )... k k elde edlr. Her permutasyo ya devrdr ya da ayrık devrler çarpımı şeklde yazılır. Bua göre her permutasyo ( a a2... a k ) veya ( a a2... a k ) ( b b2... l ) ( a a a ) = ( a a ) K ( a a )... k k 2 2 ( a a... a )( b b... b ) = ( a a ) K ( a a )( b a ) K ( b b ) 2 k 2 l k 2 l 2 dır. Dolayısıyla S tüm traspozsyolar tarafıda üretlr. b formudadır. gösterelm. (b) τ = ( 2) ve ( 2 ) ζ = K devrler ç aşağıdak eştlkler sağladığıı ζ = ζ ( 3 2 ) ζ = K dr. dr. ζ 2 L = L 2 ve ζ L = L olduğuda ζ = ζ

33 28 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR ζ oτ o ζ = ( 23) ζ τ ζ ( 32) ( 2) ( 2 ) o o = K o o K L = L = ( 23) + ζ oτ oζ = ( + ) ( =,2, K, ) üzerde tümevarım yötem uygulayalım. = 2 ç ζ oτ o ζ = ( 23) durumu yukarıda gösterld = 2 ç eştlk sağlası. Ya ζ oτ o ζ = ( 2 ) olsu = ç ζ oτ o ζ = ( ) olduğuu gösterelm. ( 2 ) ( 2 K 3 2 ) o( 2 ) o( 2 3 K 2 ) o o = o o o o = o o ζ τ ζ ζ ζ τ ζ ζ ζ ζ = L 2 = L 2 = ( ) ( j j + ) o( j j) ol o( 23) o ( 2) o( 23) ol o ( j j + ) = ( j + ) ( j = 2,3, K, ) j üzerde tümevarım yötem uygulayalım. j = 2 ç

34 29 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR L L ( 23) o ( 2) o( 23) = = ( 3) j = 2 ç eştlk sağlası. Bu durumda dr. ( 2 ) o( ) ol o( 23) o( 2) o( 23) ol o ( 2 ) = ( ) j = ç ( ) o ( 2 ) ol o( 23) o( 2) o( 23) ol o ( ) = ( ) olduğuu gösterelm. ( ) o ( 2 ) ol o ( 23) o ( 2) o( 23) ol o( ) = ( ) o ( ) o ( ) L 2 = L = ( ) + ζ o ( j + ) oζ = ( + j), ( =, 2, K,, j =, 2, K ) = 2 ç ζ ( j + ) ζ = ( 3 2 ) ( j + ) ( 2 3 ) o o K o o K L j j j + j + 2 L = j L j j j + 2 L = + ( 2 j 2) = 2 ç ζ ( j + ) ζ = ( j) = ( j = ) ç o o olsu. ( j =,2 ) ( j + ) = ( 2) = ( ) ζ o oζ ζ o o ζ eştlğ sağladığıı gösterelm.

35 30 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR = 2 ç eştlk var olup j = alıırsa ζ ( 2) ζ = ( 2 ) o o olur. ( 2) = ( 2) = ( K 3 2 ) o ( 2 ) o ( 2 3K ) o o o o o o ζ ζ ζ ζ ζ ζ 2 3 L 2 = 2 3 K 2 = ( ) S = (,2 ),(, 2,..., ) ve T ( ) ( ) =, 2,, 2,...,,,2 olduğuu blyoruz. Üstelk bu doğuray kümeler mmum elemaa sahp doğuray kümeler olup dr. rak( S ) = 2 ve rak( T ) = 3 S br yarıgrup, V de S br alt yarıgrubu olsu. S de V relatve r S : V, rakı ( ) ( : ) = m { : ve = } r S V G G S V G S olarak taımlaır. S br yarıgrup T de S br alt kümes K = S / T olsu. S cotget rakı cot( S ), { } cot( S) = m G : G T ve G K = S olarak taımlaır. Dkkat edlecek olursa K = S olarak alıırsa cot( T ) = olduğu görülür Gree Deklk Bağıtıları Gree bağıtıları le düzgü bloklar ve bu bloklar arasıdak lşk sayesde br yarıgrubu yapısıı aalz edeblrz.

36 3 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR Taım S br yarıgrup olsu. x, y S k elemaı S ayı sol deal doğuruyorsa x, y S k elemaıa L-bağlatılıdır der. Ya S x = S y olması ç gerek ve yeter koşul s, t S ç sx y veya ( x, y) L şeklde yazarız. Bezer şeklde, = ve ty = x olmasıdır. Bu durumda x L y x y S k elemaı S ayı sağ deal doğuruyorsa x, y S k elemaıa R-bağlatılıdır der. Ya xs = ys olması ç gerek ve yeter koşul s, t S ç xs y durumda x R y veya ( x, y) R şeklde yazarız. = ve yt = x olmasıdır. Bu Tüm döüşümler yarıgrubu teoremde fade edlmştr. T de L ve R-bağlatılı olması aşağıdak Teorem , β T döüşümler L-bağlatılı olması ç gerek ve yeter koşul m = mβ ve R-bağlatılı olması ç gerek ve yeter koşul ker = ker β olmasıdır. Đspat. L β olsu. Bu durumda = γβ ve β = δ olacak şeklde δ, γ T vardır. O zama m = m( γβ ) mβ ve bezer şeklde mβ m olup m = mβ dr. Terse m = mβ = I olduğuu kabul edelm. Her I ç a = b β = olacak şeklde a, b I seçelm. µ ve ν döüşümler aşağıdak gb taımlayalım. xµ = a xβ = xν = b x = Böylece µ = β ve νβ = olup L β olduğu spatlamış olur. R β olsu. Bu durumda = βγ ve β = δ olacak şeklde δ, γ T vardır. ( x, y) ker ç x = y dr. Böylece xβ = xδ = yδ = yβ

37 32 2. TEMEL TANIMLAR Dyae YAŞAR olup ( x, y) ker β dr. Ya ker ker β olduğu gösterlmş olur. Smetrde dolayı ker β ker olup ker β = ker spatlamış olur. Terse ker β = ker = π olsu. π deklk sııflarıı sayısı m = J elema sayısıa eşttr. Bu da mβ = K olup bu sayıyı q le gösterelm. π her br deklk sııfıda br p (, 2,..., q) üzere J = { j,..., jq} ve K { k,..., kq} taımlayalım. = seçelm. j = p ve k = pβ olmak = olsu. µ ve ν döüşümler aşağıdak gb ( ) j µ = k =,..., q, x J se xµ = rastgele taımlası. ( ) kν = j =,..., q, x I se xν = rastgele taımlası. = dr. Herhag br x {,..., q} ve ( x p ) µ β, π olacak şekldek tek p temsl olsu. O zama xµ = pµ = jµ = k = pβ = xβ dr. Bezer şeklde βν = olduğu gösterlp R β spatlamış olur.

38 33 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Bu bölümde döüşümler üç farklı çarpalara ayırma yötemler ve bu yötemler asıl uyguladığıı göstereceğz. 3.. Döüşümler Grafğ ve GM Yötem Đle Çarpalara Ayırma Bu bölümde Gayushk ve Mazorchuk tarafıda taımlaa tekğ taımlayıp uygulamalarıı göreceğz. Gayushk ve Mazorchuk tarafıda taımlaa tekğ kısaca GM yötem olarak yazacağız. N dek her kısm döüşümü br Γ yölü grafğ le gösterlr. Bu yölü grafk V br küme ve E V V olmak üzere Γ = ( V, E ) şeklde br kldr. V elemalarıa Г ı köşeler ve E elemalarıa Г ı yölü kearları veya okları der. ( a, b) E se a ya ( a, b ) kuyruğu, b ye de ( a, b ) başı der. Γ = ( V, E ) grafğe döüşümler grafğ der ve aşağıdak yolla oluşturulur: Köşeler kümes ola V ı N le çakışması ve x, y N ç ( x, y) olması ç gerek ve yeter şart x dom( ) ve ( x) = y olmasıdır. E Örek = döüşümüü Γ grafğ aşağıdak gbdr: (3.)

39 34 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR Γ = ( N, E) yölü grafğ N br tam (kısm) döüşümler grafğ olması ç gerek ve yeter şart her köşe br (e fazla br) kearı kuyruğu olmasıdır. Γ grafğ bağlatılı bleşeler ayrık brleşmlerde oluşur. Öreğ (3.) grafğde üç tae bağlatılı bleşe vardır. Daha dar br taımıı vermede öce altgrafk taımıı vermelyz. Taım3..2. Γ = ( V, E) br yölü grafk olsu. V V ve E E olacak şeklde br Γ = ( V, E ) yölü grafğe Γ = ( V, E) altgrafğ der. Taım olsu. V boşta farklı ayrık kümeler V ve V 2 ye her parçalaışı ç k ( a, b ) ya da ( b, a ) br kear olacak şeklde a V ve b V2 varsa Γ = ( V, E) yölü grafğe bağlatılı der. Г br yölü grafk se Г ı bağlatılı bleşeler, Г ı maksmal bağlatılı altgrafğdr. Ya Г ı bu bağlatılı altgrafkler, Г dğer bağlatılı altgrafkler br alt grafğ değldr. Γ ı yapısıı alamak ç ou bağlatılı bleşeler yapısıı alamak yeterldr. Buu ç daha fazla grafk termolojl kavrama htyaç duyacağız. Taım Γ = ( V, E) br yölü grafk ve a, b V olsu. Her = 0,, K, k ç ( x, x + ) E olmak üzere x0 = a, x, K, xk = b olacak şekldek köşeler br dzse Г da a da b ye yölü patka der. a köşese patkaı kuyruğu, b köşese de patkaı başı der. Taım Γ = ( V, E) br yölü grafk olsu. Her 0 < j < k ç a = b ve x x olacak şeklde br yölü patka varsa bu tür patkalara (yölü) devr der ve j ( x, x, K, x ) le gösterlr. 0 k

40 35 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR Eğer Γ = ( V, E) yölü grafğde kuyruğu b ola hçbr kear yoksa bu patkaya b le keslr dyeceğz. Bezer olarak sıırsız patkalar taımlayablrz. Bu patkalarda kuyruk olmayablr, baş olmayablr ya da her ks brde olmayablr. Г br yölü grafk ve v, Г ı br köşes olsu. Kuyruğu v ola mümkü e uzu patkaya v rotası der. Burada k durum söz kousudur. Ya rota soludur ya br oktada keslr ya da rota sosuzdur. Öreğ (3.) grafğde 5 oktasıı rotası 5, 7 dr ve 7 oktasıda keslr ve 2, 9, 3, 2, 4, 3, 2, 4, 3,... se 2 oktasıı rotasıdır. Geel olarak, br oktaı brçok farklı rotası olablr. Acak şöyle br durum vardır: Lemma Г br yölü grafk olsu. Aşağıdakler brbre dektr: () Г dak her köşe yalız br rotası vardır. () Г dak her köşe e fazla br kearı kuyruğudur. Her k ç x = x + m ve xk = xk + m olmak üzere xk, xk +, K, xk + m patkası br devr se, x0 = v, x, K sosuz rotası ( xk, xk +, K, xk + m ) devrde solaır dyeceğz. Öerme P T olsu. () Γ ı her köşes yalız br rotası vardır. () Γ dak her x N rotası ya br oktada ya da br devrde solaır. () T olması ç gerek ve yeter şart Γ dak her x N rotasıı br devrle solamasıdır. (v) x, y N olsu. Eğer y, rotasıı br altdzsdr. Γ dak x rotasıda se, y rotası x Đspat: Γ dak her köşe e fazla br kearı kuyruğu olduğuda (), Lemma de spatlaır. (v) ü spatı da () de aşkârdır.

41 36 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR () x = x0, x, K ola x rotasıı keslmedğ varsayalım. Γ solu olduğuda bu rota bazı köşeler tekrarlamalarıı çerr. k, x k ı mmum tekrarlaması ve x k + m, x k ı lk tekrarlaması olsu. Γ dak her köşe e fazla br kearı kuyruğu olduğuda xk = x k + m x k + = x k + m + x k + 2 = x k + m + 2 olup böylece devam eder. Bu durumda rota ( xk, xk +, K, xk+ m ) devr le solaır. Böylece () spatlaır. T se köşeler rotası keslemez. Böylece () soucu olarak, () spatlamış olur. P T ve x N ç Γ dak x rotası tr ( x) le gösterelm. tr ( x), Öerme () de y taımlıdır. N dek taımlaır. x, y N ç ω bağıtısı aşağıdak şeklde xω y tr ( x) ve tr ( y) de e az br ortak köşe vardır. Lemma ω bağıtısı br deklk bağıtısıdır. Đspat. ω ı yasımalı ve smetrk olduğu açıktır. ω ı geçşmel olduğuu spatlayalım. x, y, z N ç xω y ve yω z olsu. a oktası, tr ( x) ve tr ( y) ortak köşes, b oktası tr ( y) ve tr ( z) ı ortak köşes olsu. Geellğ bozmada a oktasıı tr ( y) de lk ortaya çıkışıı, tr ( y) de b oktasıı lk ortaya çıkışıda sora olmadığıı varsayalım. Acak bu durumda Öerme (v) de b oktası tr ( a) dadır. Ayrıca Öerme (v) de b oktasıı tr ( x) de olduğu da söyleeblr. Dolayısıyla xω olup stele spatlamış olur. z ω ı deklk sııflarıa ı yörügeler (orbt) der. x N ç Γ da x yörügeler ο ( x) le göstereceğz. ω ı taımıda herhag x dom( )

42 37 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR ç xω ( x) dr. Bu yüzde tr ( x) dek tüm köşeler ο ( x) de attr. Ayrıca her ο x N ç kısm döüşümüü K = ( x) yörügese kısıtlayablrz. Böylece ( K ) ye br P T ( ο ( x)) kısm döüşümü elde edlr. Dolayısıyla K da seçle köşelere bağlı değldr. ( K ) döüşümü Öerme Her x N ç Γ ( K ) grafğ, Γ ı bağlatılı bleşelerde brdr. Đspat. ω ı taımıda Γ ( K ) bağlatılıdır. Kuyruğu ve başı K ya at ola Γ dak tüm kearları Γ ( K ) çerr. x K olmak üzere ( x, y ), Γ da br kear olduğuu kabul edelm. Bu durumda y tr ( x) ve dolayısıyla xω y olup y K dır. y K olmak üzere ( x, y ), Γ da br kear se bu durumda da y tr ( x) ve xω y vardır, öyle k x K dır. Bu se, Γ ı hçbr bağlatılı altgrafğ Γ ( K ) yı öz alt grafğ olarak çermeyp stele spatlamış olur. Souç K Γ ( K ) döüşümü, ı yörügeler ve Γ ı bağlatılı bleşeler arasıda brebr ve örtedr. Taım 3... Br Γ = ( V, E) yölü grafk olsu. Her x V ç x Г dak rotası tek ve a V de keslyor se Г ya batığı a ola br ağaç der. Örek (3...) de K = ο (3) ç Γ ( K ) bağlatılı bleşe, batığı 7 ola br ağaçtır. Batığı ola ağaçları ayrık brleşmlere orma der. Taım Γ = ( V, E) yölü grafğe V = { a, K, a k } ve E = {( a, a ),( a, a ), K,( a, a ),( a, a )} se br devr der k k k

43 38 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR Γ = ( V, E ), I, yölü grafkler brleşm Γ = U Γ, I V =U V ve I E =U E olmak üzere Γ = ( V, E) şeklde taımlıdır. Öreğ, her yölü grafk, I bağlatılı bleşeler br brleşmdr. Teorem P T olsu. Γ ı her bağlatılı bleşe, () Ya br batığı ola br ağaçtır, () Ya da tüm batıkları kümes üzerde br devr ola ağaçları ormaıı br brleşmdr. Teorem () de ormaı, br batığı ola yalız br ağacı kapsayableceğ belrttk. Batığıda devr ola bu ağacı brleşm, artık br batığı ola br ağaç değldr. Ayrıca Teorem () de sözü edle ormada, batıkları ola trval ağaçlar olablr, öyle k bu ağaçlar sadece batıklarda meydaa gelmştr. Eğer ormadak tüm ağaçlar trval se, Teorem () br devr taımlar. Đspat. P T ve Γ ( K ) = ( K, E ) da, Γ ı br bağlatılı bleşe ve x K olsu. K Lemma ve Öerme () de x Γ ve Γ ( K ) da tek br rotası vardır. Ayrıca K, Γ ı br bağlatılı bleşe oluğuda x çakışır (dolayısıyla her ks de tr ( x) e eşttr). Γ ve Γ dak rotası ( K ) Đlk olarak tr ( x) br a köşesde kesldğ kabul edelm. y K herhag br elema olsu. Taımda tr ( x) ve tr ( y) z gb ortak br köşes vardır. Bu durumda tr ( z), tr ( x) ve tr ( y) br altdzsdr. Acak tr ( x) br a köşesde kesldğde tr ( z) de a köşesde keslmeldr. Bu durumda tr ( y) de a köşesde keslr. Dolayısıyla Γ ( K ), batığı a ola br ağaçtır. Bu da teorem lk kısmıı spatlamış olur. Şmd tr ( x) br ( a, a2, K, a k ) devr le soladığıı kabul edelm. Her a (, 2,, k ) = K ç, a rotaları Öerme () de tektr ve bu edele

44 39 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR a, a, K, a, a, K şekldedr. Her y K ç tr ( y ), tr ( x) le ortak br altdzye + k sahptr, dolayısıyla bazı a ler çermek zorudadır. tr ( y) rotasıdak ( a, a2, K, a k ) devr lk köşes a olmak üzere K dak y köşeler kümes her =,2, K, k ç K le gösterelm. Taımda j ç K K j = dr. Her br j ç x K ve y K j olmak üzere (x,y), Γ ( K ) da br kear olsu. y, y, K köşeler y rotasıda olmak üzere x, y, y, K köşeler x rotasıdadır. Acak tr ( x) ( a, a2, K, a k ) devrdek lk elemaı a ve tr ( y) lk elemaı a j olmak üzere a a j dr. Bu acak x = a ve y = a j durumuda mümküdür. Γ ( K ) dak her kear, K dek bazı elemalarda K j dek bazı elemalara gde ( a, a2, K, a k ) devrdr. Her =,2, K, k ç E = (( K K ) E) \{( a, a )} olmak üzere Γ = ( V, E ) grafğ göz öüe alalım. ( E, kuyruk ve başları K elemaı ola ( a, a ) kearı harç E dek tüm kearları çerr.) ( a, a2, K, a k ) devre Γ0 dyelm. Öcek paragrafta Γ = k ( K ) U Γ dr. Ayrıca her =, 2, K, k ç K ler ayrıktır. ( K ) = 0 Γ yı Teorem () dek gb göstermek ç =, 2, K, k olmak üzere batığı a ola br Γ ağacı vardır. Taımda, Γ kuyruğu a ola hçbr kearı çermez. y K olsu. tr ( y), y = y0, y, K, ym = a, a +, K. şekldedr ve a tr ( y) de lk görüdüğü durum y m = a dr. K taımıda y, K, ym köşeler Γ 0 a bağlı değldr. Dolayısıyla E taımı, y = y0, y, K, ym = a, y Γ dek rotası olmasıı ve keslmes gerektrr. Dğer br fadeyle, Γ dek her köşe a de keslr ve a de Γ, batığı a ola br ağaçtır. Bu da spatı tamamlar.

45 40 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR Örek Örek 3... de verle Γ grafğ üç tae bağlatılı bleşe vardır. Üçücü bleşe, batığı 7 ola br ağaçtır. Đkc bleşe br devrdr. Brc bleşe se şekldek gb (4, 3, 2) devr br brleşm ola br ağaçtır: Souç Γ ı farklı devrler, Γ dak farklı bağlatılı bleşelere attr. P T döüşümüü grafksel gösterm ola Γ gayet açıktır acak fazla yer kaplamaktadır. Bast br matematksel yazı ç daha az yer kaplaya br alteratf olmalıdır. Permutasyolar ç bu devr olarak blr ve şöyle br örekle taımlaablr: Örek = permutasyouu Γ grafğ: şekldedr. Devrler ç kullaıla gösterm kullaarak

46 4 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR = (, 9, 7, 4, 3, 5, 2,, 6 ) ( 2, 8, 4 ) ( 5, 0 ) ( 3 ) yazablrz. Ayrıca bu gösterm tek br şeklde taımlı değldr. Br devr yazarke ou herhag br köşesde başlayablrz. Hatta zcr göstermde devrler sırası keyfdr. Bz bu bölümde tüm kısm döüşümler göstereblmek ç, bu gösterm geelleyeceğz. Teorem buu asıl yapılacağıa dar y br pucudur; bzm tek yapmamız gereke batığı ola ağaçlar ç güzel br gösterm bulmaktır. Bu gösterme leer dyeceğz ve tekrarlayarak taımlayacağız. Kabul edelm k olsu. Eğer, daha başka köşeler var se, P T olmak üzere Γ grafğ, batığı a ola br ağaç Γ dak tek köşe se Γ = [ ] (ya da = [ ] ) yazalım. Eğer Γ da Γ Γ k k (3.2) şeklde gösterelm.

47 42 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR =,2, K, k ç (3.2) grafğ altgrafğ ola Γ grafğ batığı a ola br ağaçtır ve Γ da daha az köşes vardır. =, 2, K, k olmak üzere Γ ç Γ % leer gösterm var olduğuu kabul edelm. Γ ( ve ) ç leer gösterm Γ = [ Γ%, Γ%, K, Γ% ; a ] 2 k şekldedr. Bu gösterm Teorem () dak elemalar ç taımlıdır. Şmd Γ ı bağlatılı ve Teorem () dek gb verldğ varsayalım. Γ, ( a, a2, K, a k ) devrler ve =, 2, K, k ç batığı a ola Γ ayrık ağaçlarıı brleşmdr. =, 2, K, k ç Γ % uygu br leer gösterm olsu. Bu durumda Γ ( ve ) ç leer gösterm Γ = ( Γ%, Γ%, K, Γ% ) 2 k şeklde taımlarız. So olarak, herhag br P T ç bu gösterm, keyf sırayla yazıla tüm bağlatılı bleşeler leer gösterm toplamı olacak şeklde taımlarız. Permutasyolardak klask zcr göstermde olduğu gb ( kısm ) döüşümler leer gösterm, bell bleşeler permutasyolarıa kadar tektr. Bağlatılı bleşeler keyf br sırayla yazılablr ve tekrarlaa şlemler her br adımıda Γ %, Γ % 2, K, Γ % k bleşeler sırası keyf olarak seçleblr. Bu taıma göre alışılmış ( a, a2, K, a k ) devr ([ a ],[ a2], K,[ a k ]) şeklde gösterlr. Bu gösterm pratk olmadığıda ve karmaşa yaratmamak ç [ ] paratezler devrlerde ( ağaçlar harç ) kullamayacağız. Eğer x sabt se ( öreğ (x) = ([x]) şeklde) dögüde yazılmaz. Bu her x N, dögülere bağlı ola göstermde yer almayacağı alamıa gelr. Örek Örek 3...dek yı alalım.

48 43 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR = döüşümüü Γ grafğ aşağıdak gbdr döüşümü Gayushk ve Mazorchuk tarafıda taımlaa tekk le = ( [[[[5]; 4], [2]; 9], [[[0]; ], [6]; 6]; 3], 2, 4) (, 8) [[3], [5]; 7] şeklde yazablrz Lpscomb Yötem Đle Çarpalara Ayırma Lpscomb çarpalara ayırma yötemde döüşümü grafk temsl çzlerek bu temsl yazarke kullaıla çarpalar devr veya patkalardır. Br devre bağlaa patka paratez le bter. Br devr ( ) paratez çe yazılır. Örek olarak aşağıdak döüşümü Lpscomb yötem le çarpalarıa ayıralım = olsu. Lpscomb otasyoua göre bu döüşümü grafk temsl

49 44 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR şekldedr. Lpscomb tarafıda kullaıla otasyolarla (4 3 (5 3 ( 2 ) ( 6 7 ) (8 9 ( 9 ) olup (4 3, (5 3 ve (8 9 öz patkaları, ( 2 ), ( 6 7 ) ve ( 9 ) da devreler göstermektedr. 3.3 AAH Yötem Đle Çarpalara Ayırma Şmd se tam döüşüm yarıgrupları ç [AAH] tarafıda gelştrle çarpalara ayırma yötemde ve buları doğuray kümelerde bahsedeceğz. Öcelkle AAH çarpalara ayırma yötemdek temel kavramları verelm. X = {, 2, K, } ve T de X = { x, K, x m } X, T, x X üzerde tüm döüşümler yarıgrubu olsu. X olmak üzere x = x2,..., xm = xm, xm = xr ve x = x ( x X \ X )

50 45 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR se ya uzuluğu m ve peryodu r ola patka-devr der, kısaca (m-r)-patka-devr olarak yazılır ve = [ x, K, x x ] olarak gösterlr. r = m se ya x m de br m- patka; m 2 ve r = se ya br m-devr; r = m = se ya br lmek der. m r Br (m-r)-patka-devr r se öz patka-devr adıı alır. Dkkat edlecek olursa br tek lmek vardır o da brm döüşüm I = [ ] dr. = [ x, K, x x ] br (m-r)-patka-devr se r ( ) m r r ( ) = { x, K, x m } olarak taımlaır. ve β, T de k patka-devr olsu. Eğer r ( ) r ( β ) = se o zama ve β ya ayrık der. Eğer r ( ) r ( β ) kümes yalızca br elema çeryorsa ve β ya -ortaklı der. Aşağıdak algortmayı kullaarak T her elemaıı patka-devrler br çarpımı olarak yazablrz. AAH Yötem Algortması:, T brm olmaya elemaı ve x X olsu. 2 ( ( x, x, x, K ) dzs X solu olduğuda br tekrara sahptr. Böylece x vardır öyle k x, x, K, x k elemaları ayrıktır fakat x x x x x kx N x k + {,, K, k } dr. Her br x = [ x, x, K, x k x k x x + ] patka-devrlere ı br böle der. ı lk çarpaı ı e uzu bölelerde br olup le gösterlr. Brde fazla e uzu böle varsa lk grds X dek doğal sıralamaya göre e küçük ola seçleblr. Böylece her br [ x, x2, K, xk x] devr x = m{ x, x2, K, x k } olarak yazarız. X X döüşümüü ( ) :

51 46 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR x ( ) x x r ( ) = x x r ( ) ( ) olarak taımlaır ve e ı lk rezüdüsü der. Açıkça ( ) = olduğu görülür. ( ) Bezer prosedürü e uygulayarak ı kc çarpaı 2 ve ı (2) kc rezüdüsü elde edlr. Bu prosedüre ( p) [ ], = [ ] olucaya kadar devam edlrse = K p elde edlr. p Buradak p tamsayısıa ı patka-devr rakı der ve pcr( ) le gösterlr. Eğer = I brm döüşüm se pcr( I ) = 0 dır. Eğer S se ayrık devrler çarpımı olup stadart çarpalara ayırmayı verr Örek β = Yukarıdak algortmayı uygularsak olsu. β = [, 4, 6 4 ] [ 2, 7, 0 7 ] [ 3, 9 3 ] [ 5, 7 7 ] [ 8, 4 4 ] şeklde yazılır. Herhag br döüşümüü patka-devrler çarpımı olarak yazılışı tek türlü değldr. Yukarıdak örekte β yı aşağıdak gb de yazablrz. [ 8, 4, 6 4 ] [ 5, 7, 0 7 ] [, 4 4 ] [ 2, 7 7 ] [ 3, 9 3 ] Eğer paratezlerde doğal sıralamayı göz öüde buludurursak çarpalara ayrılış tek türlüdür. Çarpalara ayrılışta devrler sayısı değşmez. Devrler sayısıı cycl( ) le göstereceğz. ı defekt def( ) le gösterlr ve

52 47 3. DÖNÜŞÜMLERĐN ÇARPANLARA AYRILMASI Dyae YAŞAR def( ) = X \ m( ) olarak taımlaır. Teorem T olsu. () pcr( ) = def( ) + cycl( ) (), 2, K, p, ı çarpaları se o zama her, j {, 2, K, p}, < j ç ve j patka-devrler ya ayrıktır ya da -ortaklıdır. Đkc durumda r ( ) r ( ) = { x} olması yalızca aşağıdak durumlarda ortaya çıkar. j () ve j her ks de öz patka-devrdr. () x, lk elemaı değldr ve j x de br patkadır. Đspat. () = [ x, x2, K, xk xr ] öz patka-devr se x m( ) dır. Her br çarpaı ya devrdr veya öz patka-devrdr. Öz patka-devrler sayısı tam olarak def( ) kadardır. () p = se spatlayacak br şey yoktur. p 2 olsu. = [ y, K, yk yr ] ve = [ z, K, z z ] ( j p ) olarak alalım. Algortmaı taımıda j l s ( ), y,, K yk elemalarıı sabtledğde j de ayrık olmasıda kaçmaı tek yolu j z l de l patka olmasıdır. Burada zl { y, K, yk} olmalıdır. Eğer devr değl se o zama zl m( ) dır ve y m( ) olup zl = y olamaz. br devr olsu. z l y x olarak yazalım. lk elemaıı x olduğuu kabul edersek, o zama [ z, K, zl, x, y, K, yk x] patka-devr de daha uzu olur. Algortma buu mkâsız kılar.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras

RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras RANKI OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI Reports Of Free Groups Otomorfzm Rak Le Algebras Özge ÖZTEKİN Matematk Aa Blm Dalı Name EKİCİ Matematk Aa Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada,

Detaylı

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK *

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * Fteess Codtos For Soe Segroup Fales ad Costructos ad Effcecy Basr ÇALIŞKAN Mateatk Aabl Dalı Hayrullah AYIK Mateatk Aabl Dalı ÖZET

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep GENEEŞTİRİMİŞ UANIK KÜMEER Mehme Şah Gazaep Üverses, Maemak ölümü, 27310, Gazaep ÖZET: u çalışmada öcelkle P ( br al ale olarak buludura bulaık kümeler GF ales br halka olarak yapıladırılmaka ve bu yapıı

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Yüksek Lisas Tezi İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 0 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

Leyla Bugay Haziran, 2012

Leyla Bugay Haziran, 2012 Sonlu Tekil Dönüşüm Yarıgruplarının Doğuray Kümeleri ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Haziran, 2012 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 yılında Monsieur l

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk Gruplar adlı tez çalışması 22/07/2008 tarhde jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes Fe Blmler Est

TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk Gruplar adlı tez çalışması 22/07/2008 tarhde jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes Fe Blmler Est ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR Eda YAZAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her hakkı saklıdır TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk

Detaylı

6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

6. Uygulama. dx < olduğunda ( ) . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) The Efficiency Of Groups And Semigroups *

GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) The Efficiency Of Groups And Semigroups * GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY The Effcency Of Groups And Semgroups * Özer CAN Matematk Ana Blm Dalı Blal VATANSEVER Matematk Ana Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada öncelkle gruplarda, yarıgruplarda,

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Leyla BUGAY YARIGRUPLARIN BRUCK-REILLY GENİŞLEMELERİNİN SONLU TAKDİM EDİLEBİLİRLİĞİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR

GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR Koray BOZDAYI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR 0 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun:

Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun: Grş İSTATİSTİK I Ders Değşkelk ve Asmetr Ölçüler Ortalamalar, serler karşılaştırılmasıda her zama yeterl ölçüler değldr. Ayı ortalamayı sahp serler arklı dağılım göstereblrler. Bu edele serler karşılaştırılmasıda,

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar

Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar Temel Yapılar: Kümeler, Fokyolar, Dzler ve Toplamlar CSC-9 yrık Yapılar Kotat uch - LSU Kümeler Küme, eeler düzez toparlamaıdır İglz alabedek el harler: V { a, e,, o, u} a V bv küçük pozt tek ayılar: Küme

Detaylı

SOYUT CEBİR II Bahar Dönemi

SOYUT CEBİR II Bahar Dönemi 0 4-0 5 B A A R D Ö N E M I A S Ü S O Y U T C E B I R I I D E R S N O T L A R I İster stemez otlarda hatalar buluablr.bu otlarda yazıla herşey %00 doğru olarak kabul etmey.sadece szlere extra yardımcı

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ

BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ BÖLÜM OLSILIK TEORİSİ İstatstksel araştırmaları temel koularıda br souu öede kes olarak blmeye bazı şasa bağlı olayları (deemeler) olası tüm mümkü souçlarıı hag sıklıkla ortaya çıktığıı belrleyeblmektr.

Detaylı

Filbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices

Filbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Sülema Demrel Üverstes B Türe E Sarııar e Blmler Esttüsü Dergs - (00 - lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Bahr TÜREN E SRIPINR Sülema Demrel Üverstes

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

Quality Planning and Control

Quality Planning and Control Qualty Plag ad Cotrol END 3618 KALİTE PLANLAMA VE KONTROL Prof. Dr. Mehmet ÇAKMAKÇI Dokuz Eylül Üverstes Edüstr Mühedslğ Aablm Dalı 1 Qualty Maagemet İstatstksel Proses Kotrol Kotrol Kartları 2 END 3618

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ

RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ ANKI İKİ OLAN SEBEST METABELYEN LİE CEBİLEİ İÇİN Bİ KOMUTATÖ TESTİ Zerrn ESMELİGİL Çukurova Ünverstes, Matematk Bölümü, Adana, 033386084-45, 033386070, e-zerrn@cu.edu.tr ÖZET. Bu çalışmada rankı k olan

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t) III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Dinamik Programlama. Örnek 3: Tıbbi Müdahale Ekiplerinin Ülkelere Dağıtımı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Dinamik Programlama. Örnek 3: Tıbbi Müdahale Ekiplerinin Ülkelere Dağıtımı YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Hafta Determstk Damk Programlama (devam) Damk Programlama Geçe derste küçük ölçekl problemler damk programlamayla yelemel olarak asıl çözüldüğüü gördük. Bu derste, öreklere devam

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ BĠR GRAFIN TERS WIENER ENERJĠSĠ VE TERS WIENER-ESTRADA ĠNDEKSĠ Sez ÇĠZMECĠ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matemat Aablm Dalı OCAK-0 KONYA Her Haı Salıdır TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Sad İNCEOĞLU SONLU BASİT YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA006 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR.

ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR. ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR Ebubekr İNAN DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Mehmet Al ÖZTÜRK ADIYAMAN 2011 Her

Detaylı

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR FE VE MÜHEDİSLİKTE MTEMTİK METOTLR 3. KİTP MTRİS CEBİRİ f 70 İÇİDEKİLER I. MTRİS CEBİRİ ) Matrsler ve Elemaları B) İşlemler C) İk Özel Matrs D) Dyagoal Matrsler E) İz ve Determat F) Bazı Matrs İşlemler

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör AES S Kutusua Bezer S Kutuları Ürete Smulatör M.Tolga SAKALLI Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ tolga@trakya.edu.tr Erca BULUŞ Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ ercab@trakya.edu.tr Adaç ŞAHİN Trakya Üverstes

Detaylı

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2012 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YARIGRUPLARIN

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda

Detaylı

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME 6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

V vektörleri V nin bir bazı ise : { P 0, P 1,..,P n } nokta (n+1)-lisine A afin uzayının bir afin çatısı denir. Λ xyz açısının ölçüsü

V vektörleri V nin bir bazı ise : { P 0, P 1,..,P n } nokta (n+1)-lisine A afin uzayının bir afin çatısı denir. Λ xyz açısının ölçüsü DİFRANSİYL GOMTRİ Taım (Af Uzay): A Φ V de K csm üzerde br vektör uzayı olsu. Aşağıdak öermeler doğrulaya f:axav foksyou varsa A ya V le brleştrlmş af uzay der..,q,r A ç f(,q)+f(q,r)=f(,r). A ve V ç f(,q)

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003

İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003 ISTANBUL BİLGİ UNİVERSİTY İşletme İstatstğ [Type the documet subttle] Ege Yazga ve Yüce Zerey 1/1/3 [Type the abstract of the documet here. The abstract s typcally a short summary of the cotets of the

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı