Sınav süresi 80 dakika. 1. (a) 20 puan 2 dy. Solution: 2 dy. y = 2t denklemi lineer diferansiyel denklemdir. Denklemin integrasyon çarpanını bulalım.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Sınav süresi 80 dakika. 1. (a) 20 puan 2 dy. Solution: 2 dy. y = 2t denklemi lineer diferansiyel denklemdir. Denklemin integrasyon çarpanını bulalım."

Gonca Karabulut
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 May 7, 7 3:-4:3 MATH6 Final Exam / MAT6 Final Sınavı Pag of 7 Your Nam / İsim Soyisim Your Signaur / İmza Sudn ID # / Öğrnci Numarası Profssor s Nam / Öğrim Üysi Kopya çkn vya kopya çkm girişimind bulunan bir öğrnci sınavdan (sıfır) no almış sayılır. Hsap makinsi v cp lfonunuzu kürsüy bırakınız. Bir sorudan am puan alabilmk için, işlmlrinizi açıklamak zorundasınız. Bir cvapa "gidiş yolu" blirilmmişs, sonucunuz doğru bil olsa, ya çok az puan vrilck ya da hiç puan vrilmyck. Kapak sayfasını MAVİ üknmz kalm il doldurunuz. Sınav sürsi 8 dakika. Yandaki abloya hiçbir şy yazmayınız. Soru Puan Puanınız Toplam Elmnr Laplac Dönüşümlri: a, b R, n N, L { f ()} mvcu v F(s) L { f ()} olarak alalım. L {} s,s > L { a } s a, s > a, L { n } n!, s >, sn+ L { n a n! } (s a) n+ L { a sinb} b (s a) + b s L {cosa} s + a,s > L {sina} a s + a, s > s L {cosha} s a, s > a L {sinha} a s a, s > a. (a) puan dy d y, y() y, y R dnklmini çözünüz. L { f (c)} c F( s c ), c > L {u c () f ( c)} cs L { f ()} L {u c ()} cs, s > s L { a f ()} F(s a) L { a s a cosb} (s a) + b Soluion: dy d y dnklmi linr difransiyl dnklmdir. Dnklmin ingrasyon çarpanını bulalım. λ d Dnklmin gnl çözümü y() d ( ) y() + d ( ) y() 4 +C y() 4 +C olarak bulunur. y() y başlangıç koşulu kullanıldığında y() 4+C y C y +4 bulunur. Dolayısıyla, y() 4 + (y + 4) dir. (b) 5 puan If y < a hn y() as. If y > a hn y() as. olacak şkildki a R sayısını bulunuz. Soluion: Eğr y + 4 is ikn (y + 4), dolayısıyla y(). Eğr y + 4 > is ikn (y + 4), dolayısıyla y().

2 May 7, 7 3:-4:3 MATH6 Final Exam / MAT6 Final Sınavı Pag of 7. (a) 5 puan y x 3y difransiyl dnklminin gnl çözümünü bulunuz. 3x + 5y Soluion: Firs Way: Vriln dnklmd x λ x v y λ y alındığında y λx 3λy λ(x 3y) x 3y 3λx + 5λy λ(3x + 5y) 3x + 5y olduğundan dnklm homojn difransiyl dnklmdir. Dolayısıyla y vx dğişkn dönüşümü kullanılır. y vx dy dx xdv dx + v x dv x 3vx + v dx 3x + 5vx 3v 3 + 5v x dv dx 3v 3v 3v 5v v 3 + 5v 3 + 5v x dv 6v 5v 3 + 5v 6v 5v dx 3 + 5v 3 + 5v dx dv 6v 5v x 3 + 5v dx 6v 5v dv x ln 6v 5v lnx + lnc 6v 5v (Cx) 6 y x 5y x (Cx) x 6xy 5y D,D C Scond Way: Vriln difransiyl dnklmi (3y x)dx+(3x+5y)dy şklind ynidn düznlylim.m(x, y) 3y x v N(x,y) 3x+5y alalım. M y N x 3 olduğundan vriln dnklm am difransiyl dnklmdir. Buna gör F x (x,y)dx + F y (x,y)dy olacak şkild bir F(x,y) fonksiyonu vardır. Dolayısıyla F x M(x,y) 3y x F(x,y) (3y x)dx F(x,y) 3xy x + h(y) F y N(x,y) 3x + 5y F y 3x + h (y) 3x + 5y h(y) 5y +C F(x,y) 3xy x + 5y +C (b) puan y 6y + 9y, y(), y () 3 difransiyl dnklmini çözünüz. Soluion: Başlangış dğr problminin çözümü is olarak ld dilir. r 6r + 9 (r 3) r r 3 y(x) c 3x + c x 3x y() y() c y () 3 y 3c 3x + 3c x 3x + c 3x y () 3c + c 3 c 3 y() 3x 3x

3 May 7, 7 3:-4:3 MATH6 Final Exam / MAT6 Final Sınavı Pag 3 of puan x x, x() başlangıç dğr problminin çözününü bulunuz. Soluion: Birinci Yol : Th ignvalu and h corrsponding ignvcors of marix A ar obaind by as follows A λi 3 λ λ (3 λ)( λ) ( 4) λ λ + (λ ) λ λ 3 λ λ (A I)v v (A I)w v 4 w w w w w Th gnral soluion of h givn sysm is () x() c + c + L us find arbirary cofficins c and c by using iniial valu x(). 4 + x() x() c + c c and c 3 Thrfor, h soluion of h iniial valu problm is () x() () x() x() 6 Alrnaif olarak dnklm sisminin çözümün aşağıdaki adımları da akip drk ulaşabiliriz. x c ( + ) c Ψ() ( + ) Ψ () ( + ) Ψ () x() Ψ()Ψ ()x() ( + ) 3 + ( + ) 3 6 w w w

4 May 7, 7 3:-4:3 MATH6 Final Exam / MAT6 Final Sınavı Pag 4 of 7 İkinci Yol : Difransiyl dnklm sismini Laplac Dönüşümü yardımıyla da çözbiliriz. Buna gör L { x } { } L x sl {x} x() L {x} ( ) si L {x} x() s 3 L {x} 4 s + s 3 s + L {x} 4 s + (s 3)(s + ) 4() 4 s 3 (s + ) + () s + L {x} s s + ( 4) + (s 3)() s s + s 5 s + x() L (s ) s 5 (s ) s + (s ) + 3 (s ) (s ) s + 3 (s ) s 5 (s ) 6 (s ) (s ) s 6 (s ) x() L s + 3 (s ) (s ) x() s 6

5 May 7, 7 3:-4:3 MATH6 Final Exam / MAT6 Final Sınavı Pag 5 of puan x x +, x() başlangıç dğr problminin çözümünü bulunuz. 3 Soluion: Birinci Yol : A marisinin özdğr v özvkörlrini bulalım. x() A λi λ 3 λ ( λ)( λ) 3() λ λ and λ λ (A I)v v λ (A + I)w w 3 Ψ() Ψ () Ψ () 3 A Ψ()Ψ 3 () ( ) x() x() A x + A Ax f (x)dx 3 x x 3 x 3 x x x + x x + 3 x x 3 x 3x 3 x + 3 3x x + 3x + x 3 3x dx dx x() x x dx x() x() ( ) + 3 x() + 3 İkinci Yol : Önclikl x Ax homojn sisminin gnl çözümünü bulalım. A λi λ 3 λ ( λ)( λ) 3() λ λ and λ λ (A I)v v λ (A + I)w w 3 x h () c + c

6 May 7, 7 3:-4:3 MATH6 Final Exam / MAT6 Final Sınavı Pag 6 of 7 x p yi is Blirsiz Kasayılar Modunu kullanarak blirlylim. A x p x A B p B x p x p + A 3 A + A + 3B + B B A B A A + 3B + B A B A 3 B 3 x p 3 Ayrıca x p yi blirlmk için paramrlrin dğişimi modu da kullanılabilir. x p Ψ() Ψ 3 ()f()d Ψ () 3 3 x p 3 d 3 x p d 3 x p Vriln difransiyl dnklm sisminin gnl çözümü x() x h + x p c bulunur. c v c sabilrini blirlybilmk için başlangıç koşulunu kullanalım. 3 + c + 3 olarak 3 x() x() c + c + 3c c c + c c,c 3 3 Başlangıç dğr problminin çözümü aşağıdaki gibidir. x() x h + x p + 3. Üçüncü Yol : Laplac Dönüşümü kullanarak çözüm. L { x } { } L x + 3 sl {x} x() L {x} + L { } ( ) 3 si L {x} s s 3 L {x} s + s s s 3 L {x} s s + s + 3 s (s )(s + ) + 3 s s s s + s s s s (s )(s )(s + ) (s )(s + ) 3 s 3 s + s + (s )(s )(s + ) (s )(s + ) 3 s + 3 s + x() L 3 s 3 s + 3 s + 3 s + x() + 3

Benzer belgeler

Sınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası

Sınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası March 16, 2017 [16:00-17:15]MATH216 First Midterm Exam / MAT216 Birinci Ara Sınav Page 1 of 6 Your Name / İsim Soyisim Your Signature / İmza Student ID # / Öğrenci Numarası Professor s Name / Öğretim Üyesi