LİSE MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÖABT Modüler Set VİDEO DESTEKLİ KPSS. pegemkampüs. Video dersler ücretsiz olarak cebinizde SORU.

Transkript

1 KPSS ÖABT 09 LİSE MATEMATİK VİDEO DESTEKLİ KONU ANLATIMLI Modüler Set pegemkampüs Video dersler ücretsiz olarak cebinizde Lütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz. 50 soruda 0 SORU

2 KPSS ÖABT 09 LİSE MATEMATİK VİDEO DESTEKLİ KONU ANLATIMLI Analiz Diferansiyel Denklemler pegemkampüs Video dersler ücretsiz olarak cebinizde Lütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz soruda SORU

3 Komisyon ÖABT Lise Matematik Analiz Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 6.Baskı: 09, Ankara Proje-Yayın: Dilara Araz Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd. Şti. İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara ( ) Yayıncı Sertifika No: 606 Matbaa Sertifika No: 59 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

4 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı adresine e-posta yoluyla ya da numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar... QR kodlar ile ilgili bilgiler bir sonraki sayfada yer almaktadır.

5 Uygulamanızı mağazalarından Pegem Kampüs yazarak indirebilirsiniz. Uygulama İndirme Üyelik Üyelik ekranını eksiksiz doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz. Üye girişi yaptıktan sonra açılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz. Aktivasyon Aktif Kitaplar Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı izlemeye başlayabilirsiniz. QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz. QR Kod Okutma Aktivasyon Kodu Analiz - Diferansiyel Denklemler kitabınızın ilk sayfasında yer almaktadır.

6 İÇİNDEKİLER. BÖLÜM ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR... MUTLAK DEĞER FONKSİYONU... MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER... 4 SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU... 6 İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ... 7 TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU... 8 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ... 8 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ... FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ... LİMİT LİMİT... 8 SAĞ SOL LİMİT... 8 GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ... 0 LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER... ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ... MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ... SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ... 4 TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ... 5 BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ... 7 TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ... 8 / BELİRSİZLİĞİ... 9 BELİRSİZLİĞİ... 0 BELİRSİZLİĞİ... ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN / FORMU... SÜREKLİLİK... 4 SÜREKLİLİK TEOREMLERİ... 4 SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ... 5 Kaldırılabilir Süreksizlik... 5 Sıçrama Süreksizliği... 5 Sonsuz Süreksizliği... 5 Balzano Teoremi... 5 DÜZGÜN SÜREKLİLİK... 7 TÜREV TÜREV SAĞ SOL TÜREV LİMİT SÜREKLİLİK TÜREV İLİŞKİSİ TÜREV ALMA KURALLARI YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ... 6 Parçalı Fonksiyonların Türevi... 6 MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ... 6 SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ TÜREVİN UYGULAMALARI L Hospital Kuralı v

7 ÜSTEL BELİRSİZLİKLER... 77, 0 0, 0 Belirsizlikleri TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU POLİNOM TÜREV İLİŞKİSİ DİFERANSİYEL UYGULAMALARI MAKSİMUM MİNİMUM PROBLEMLERİ... 8 Maksimum Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet Eğim Türev İlişkisi ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR... 9 YEREL EKSTREMUM DEĞERLER Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası TÜREV EKSTREMUM İLİŞKİSİ Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ ASİMPTOT KAVRAMI Düşey Asimptot Yatay Asimptot Eğik-Eğri Asimptot FONKSİYONUN GRAFİKLERİ TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER İNTEGRAL BELİRSİZ İNTEGRAL... 5 TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI... 6 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ... A) Değişken Değiştirme Yöntemi... ÖZEL DÖNÜŞÜMLER... 4 a - İfadesini İçeren İntegraller a İfadesini İçeren İntegraller a ve + a İfadesini İçeren İntegraller... 5 RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ... 6 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ İndirgeme Bağıntıları... 4 B) Kısmi İntegrasyon Yöntemi... 4 BELİRLİ İNTEGRAL Riemann İntegrali İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ Belirli İntegrallerin Özellikleri ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ İNTEGRALDE ALAN İNTEGRALDE HACİM Kabuk Yöntemi... 6 Eğri Uzunluğu Hesabı Dönel Yüzeyin Alanı Pappus Guldin Teoremi ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR TANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ... 7 Seviye Eğrileri Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik Süreklilik Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) vi

8 Çok Değişkenli Fonksiyonların. Türevi Zincir Kuralı... 8 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi... 8 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM MİNİMUM... 8 Yerel Maksimum... 8 Yerel Minimum... 8 Kritik Nokta Eyer Nokta... 8 Kritik Nokta İçin. Türev Testi... 8 Maksimum Minimum Problemleri Kapalı Fonksiyonun Türevi ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL Çift Katlı İntegral Sınır Değiştirme Bölge Değiştirme Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı) Kutupsal Koordinatlara Geçiş İki Katlı İntegralin Uygulamaları... 9 Alan Hesabı... 9 Hacim Hesabı... 9 ORTALAMA DEĞER TEOREMİ Kütle Hesabı AĞIRLIK MERKEZİ ÜÇ KATLI İNTEGRALLER KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR... 0 Kutupsal Koordinatlardaki Denklemi Verilen Eğrinin Çizimi KARDİYOİD EĞRİSİ Gül Eğrilerinin Çizimi... 0 Kutupsal Koordinatlarda Alan... 5 Kutupsal Koordinatlarda Uzunluk Hesabı... 6 DİZİLER SERİLER DİZİ... 8 Sonlu Dizi... 8 Sabit Dizi... 8 EŞİT DİZİLER... 9 ALT DİZİ... 9 DİZİLERDE DÖRT İŞLEM... 0 DİZİLERDE SINIRLILIK... DİZİLERDE MONOTONLUK... ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER... Aritmetik Dizi... Geometrik Dizi... DİZİLERDE LİMİT... 4 Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler... 6 Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları... 7 SERİLER... 8 Geometrik Seri... 0 Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri... Genel Terim Testi... İntegral Testi... p Testi... 4 Karşılaştırma Testi... 4 Karşılaştırma Testinin Limit Formu... 4 Cauchy Kök Testi... 5 vii

9 D alambert Oran Testi... 6 Limit Testi... 7 Alterne Seriler... 7 Mutlak Yakınsaklık Yakınsaklık İlişkisi... 7 KUVVET SERİLERİ... 8 Yakınsaklık Yarıçapı... 8 Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon... 9 Taylor ve Maclaurin Serileri Önemli Maclaurin Seri Açılımları... 4 ÇÖZÜMLÜ TESTLER BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLER DİFERANSİYEL DENKLEMLER... 6 Diferansiyel Denklemlerin ü... 6 Genel ve Özel ler... 6 Varlık ve Teklik Teoremi Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Homojen Diferansiyel Denklemlerin ü Homojen Hâle Dönüştürülebİlİr Dİferansİyel Denklemler... 7 Tam Dİferansİyel Denklemler... 7 İntegrasyon Çarpanı Yardımı İle Dİferansİyel Denklem ü İntegrasyon Çarpanını Bulma Lİneer Denklemler Lineer Diferansiyel Denklemin Yöntemi Bernoullİ Denklemlerİ Rİccatİ Denklemİ BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Bİrİncİ Mertebeden n. Dereceden Dİferansİyel Denklemler Türeve, e veya y ye Göre Çözülebilen Denklemler Türeve Göre Çözülebilen Denklemler e Göre Çözülebilen Denklemler y ye Göre Çözülebilen Denklemler Claİraut Denklemİ Lagrange Denklemİ İndİrgenebİlİr. Mertebeden Dİferansİyel Denklemler YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Yüksek Mertebeden Lİneer Dİferansİyel Denklemler Mertebeden Homojen Olmayan Lineer Denklem... 9 Mertebe İndirgeme... 9 Sabit Katsayılı Denklemler... 9 Farklı Reel Kökler... 9 Katlı Reel Kökler Kompleks Kök Homojen Olmayan (. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler Belirsiz Katsayılar Yöntemi Parametrelerİn Değİşİm Yöntemİ Cauchy Euler Denklemİ ÇÖZÜMLÜ TESTLER viii

10 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR.BÖLÜM PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR Bir fonksiyonun tanım kümesi alt kümelere ayrılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. Z f ( ), # a f ( ) = ] [ f ( ), a < b ] f ( ), b # \ y = f^h+ k, k 0, y = f ^ hin y ekseninde k birim pozitif yönde ötelenmişidir. y = f^h- k, k 0, y = f ^ hin y ekseninde k birim negatif yönde ötelenmişidir. y = f^+ kh, k 0 ise y = f^h in ekseninde k birim sola ötelenmişidir. Uyarı! şeklinde yazılabilen f() parçalı tanımlı fonksiyondur. b > a olmak üzere; = a ve = b değerlerine f nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır. y = f^+ kh, k 0 ise y = f^h in ekseninde k birim sağa ötelenmişidir. y =- f^h, y = f ^ h eksenine göre simetriğidir. y = f^- h, y = f ^ hin y eksenine göre simetriğidir. y -, < - f ( - ) = * ise f() in grafiğini çizelim., $ - - y=f() f( - ) fonksiyonunda + için; -, < - f ( ) = * olup; ( + ), $ - y y = ^ + h y = - y = f^hin grafiği verilmiştir. Buna göre y =- f^+ h fonksiyonunun grafiğini çizelim. y = f^+h ; f^hin ekseninde birim sola ötelenmişidir. y olur. Buradan y y=f(+) y=-f(+) elde edilir.

11 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR.BÖLÜM Tek - Çift Fonksiyonlar f A " B için! A iken -! A olsun. f^- h= f ^ h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir. f^- h=-f ^ h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Z f ^ h ; f ^ h 0 ] f ^ h = [ 0 ; f ^ h = 0 ]-f ^ h ; f ^ h 0 \ şekilde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyonu adı verilir. Tek fonksiyonlar orijin noktasına göre simetriktir. Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir. Uyarı! Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri çizilirken, önce mutlak değer yokmuş gibi fonksiyonun grafiği çizilir ve daha sonra ekseninin altında kalan grafiklerin eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır. NOT Hem tek, hem de çift olan sadece sıfır fonksiyondur. İki tek fonksiyonun çarpımı veya bölümü çift fonksiyondur. Bir fonksiyon çift veya tek olmak zorunda değildir. NOT f ^ h = - fonksiyonunun grafiğini çizelim: y = - için = 0 & y =- ve y = 0 & = olur. y y=- - $ tan f ^ h = fonksiyonu için; ^ - h ^-h $ tan$ ^- h - $ tan f^- h = = =-f ^ h _ -^- h i ^ - h Bu grafikten y olduğundan f ^ h tektir. 4 cos $ g ^ h = fonksiyonu için; + f^h = cos ^-h $ ^-h cos $ g^- h = = + ^-h + olduğundan g ^ h çifttir. = g ^ h grafiği elde edilir.

12 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR.BÖLÜM $ y = 4 bağıntısının grafiğinde koordinatları tam y=f() sayı olan noktaların sayısını bulunuz. -4 $ y = 4 y = f() fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = - f ^ h grafiğini çizelim. y = f ^h & y = f ^h, f ^h in mutlak değer fonksiyonu olup y = - f ^ h fonksiyonunun grafiği ise y = f ^ h in şeklinde bir grafiği vardır. eksenine göre simetriğidir. Şekilden de görüleceği gibi I. bölgede kaç farklı tamsayılı y = f ^h koordinat varsa bağıntıyı sağlayan noktalar bunun 4 katı -4 kadardır. 4 ün pozitif bölen sayısı; 4 = $ & 4 $ = 8 olduğundan koordinatları tam sayı olan 8 $ 4 = farklı nokta vardır. Buradan -4 + y = c, c! IR y = - f ^h + bağıntısının grafiğini çizelim. grafiği elde edilir. H0 H0 G0 G0 y = bağıntısının grafiğini çizelim.,,,, yh0 yg0 yg0 yh0 & & & & + y = c _bbb b - y = c bb `b doğrularının grafiklerini + y = - c bb bb çizersek; y- = c b a y y = & y = ve y = - tir. c y y= -c c -c y=- grafiği elde edilir.

13 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR.BÖLÜM - $ - $ $ + $ - = 0 & - $ - ^ h = 0 in grafiğini çizelim. f () = $ $ - = 0 & - = 0 & = - = 0 & - = 0 & = - = + & - 6 = + 4 & - 6 = + 4 & = 0 0 & $ $ = $ G 0 & $ $ = $ - = = $ =- & - 6 = & 4 = olup eşitliği sağlayan 4 farklı değer vardır. 5 olacağından y y= y= - = 06! eşitsizliğini sağlayan değerleri toplamı kaçtır? - = 06! ve - = - 06! & = + 06! = - 06! & + = 6 dır. grafiği elde edilir. a + b = c, c 0 eşitliğini sağlayan değerleri toplamı; b T = $ d - n dır. a MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER f() = a, a > 0 için f() = a ve f() = a dır. f() = g() f() = g() ve f() = g() tir. Burada eşitliği sağlayan değerleri çözüm kümesinde, sağlamayan değerler çözüm kümesinde olmamalıdır. f() = g() f() = g() veya f() = g() olup değerleri kontrol edilmelidir. f() = g() f() = g() olup değerleri kontrol edilmelidir. f ^h = - olmak üzere Uyarı! $ f ^h = + f ^h eşitsizliğini sağlayan! IR değer- leri toplamını bulalım. $ = & - $ ^ - h = & - = dir. - H ise & = 0 - = - a > 0 ve b > 0 için a G f ^h G b & a G f ^h G b ve - b G f ^h G - a eşitsizlikleri çözümlenmelidir. f ^h G a ve a 0 için - a G f ^h G a dır. f ^h H a & f ^h H a ve f ^h G - a dır. ^a 0h = 5 + olur. ise - + = = 0 - $ - $ - = $ - $ + $ - 0 olduğundan reel kök yoktur. eşitliğini sağlayan kaç farklı değeri vardır? Kökler toplamı dir.

14 .BÖLÜM ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR II. Yol f ^ h = - - fonksiyonunun grafiği ile g ^ h = + fonksiyonunun grafiğinin kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? & - - = + Mutlak değer iki durumda incelenir. I. durum - - = + & = - - G G = - 5 = = - = - 5 = 4 = Q Q =- II. durum - - = = H = - = = 4 = = = Q =- = - > - alınmaz. alınmaz. Tablolar incelenirse =- apsisli noktada kesişmişlerdir. Bu durumda değerlerinin toplamı - dir. f ^ h G g ^ h eşitsizliklerinde f ^ h ve g ^ h fonksiyonlarının kritik noktalarının orta noktası referans nokta olarak seçilir ve reel eksende mutlak değerin tanımı kullanılarak çözüm kümesi bulunur. Şöyle ki; - = in noktasına olan uzaklığı ve + = in - noktasına olan uzaklığı olmak üzere - G + yani in noktasına olan uzaklığı, in - noktasına olan uzaklığından küçük eşit olmalıdır. - + Referans noktası = dir. I - II III, I, II, III veya IV numaralı aralıklardan bulunmalıdır. H olduğu, III ve IV numaralı aralıklarda yukarıdaki tanımlanmaya uygun düşmektedir. Ç.K = <, n olmalıdır. - 6 G + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. IV - G + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. IYol. - G + & G & 5 G 0 & G Ç.K = ;, h olarak bulunur. Referans nokta = 6 ve =-nin orta noktası olan = dir. - 6 I II & in 6 ya olan uzaklığı in - ye olan uzaklığından küçük eşit olmalıdır. Bunu yine III ve IV nolu aralıkta sağlar. Ç.K = [, ) dur. III IV 5

15 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR.BÖLÜM - 6 G + G - eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. İşaret fonksiyonunun değeri -, 0, den başka değer olamaz. Bu yüzden sgn ^ + h = -, sgn ^y - h = 0 ve sgn ^z + h = olmak zorundadır. -6 G + - ve 6 9 -,, & + 0 & - + G -,, y- = 0 y= z+ 0 z - & y z veya z y sıramalarından biri elde edilir. 9 Ç.K = [, ) Ç.K = c-, E 9 tam sayı olmak üzere, Ç.K Ç.K = Ç.K = ;, E olarak bulunur. sgn _ sgn _ sgn ^ - 4hii = - eşitliğini sağlayan de ğerlerinin çözüm kümesini bulunuz. SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU sgn _ sgn _ sgn ^ - 4hii = - & sgn _ sgn ^ - 4hi 0 dır. Pozitif Reel Sayıları e, Negatif Reel Sayıları - e ve & sgn _ sgn ^ - 4hi = - sıfırı 0 a eşleyen parçalı fonksiyondur. Z], f ^h 0 ]] ] sgnf ^h = [] 0, f ^h = 0 olarak tanımlanır. ]] ] -, f ^h 0 \ & sgn ^ - 4h 0 olup sgn ^ - 4h = - dir. & olduğundan ^ - h^ + h 0 dır O hâlde çözüm kümesi " -, 0,, dir. f IR " IR f ^h = sgn ^tan ^r - hh + sgn ^cos ^- h + sin ^- hh ise z kompleks sayı olmak üzere; ]Z] 0, z=0 ]] sgn ^zh = ][ z ]], z!0 ] z \ f ^r h değeri kaçtır? Uyarı şeklinde tanımlanmıştır. f ^rh = sgn ^tan 0h + sgn ( cos ^- r h + sin ^- r h) cos r = - - sin r = 0 = sgn0 + sgn ^- h = 0 - = - olarak bulunur. z = + i olmak üzere sgn ^zh değerlerini bulalım. z = + i ^ 0 olduğundan, y, z! IR olmak üzere sgn ^zh = sgn ^ + h sgn ^y - h sgn ^z + h olduğuna göre +i z = sgn ^ + ih olur. = +i z Yani; sgn ^ + ih =, y, z arasındaki sıralamayı bulunuz i 0 olarak bulunur.!

16 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR.BÖLÜM İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ ]Z] ]] sgn ^f ^hh = [] 0 ]] ]- \,,, f ^h 0 f ^h = 0 f ^h 0 sgn ^ - h = - 4 eşitliğini sağlayan değerlerinin kümesini bulunuz. olduğundan; y sgn ^ - h = - olamaz. sgn() Çünkü olmaz. Dolayısıyla - 0 yani olamaz. = için sgn ^ - h = 0 ve - 4 = 0 olur. grafiği elde edilir. Eşitlik sağlanır. sgn ^ - h = için olmalıdır = için =, = -, = 5 ve = - 5 dir. > olacağından = 5 olur. Dolayısıyla çözüm kümesi $, 5. bulunur. sgn ^ - - h fonksiyonunun grafiğini çizelim. y y=f() -4 - y = f ^h fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre f + + sgnf y = sgn ^f ^hh fonksiyonunun grafiğini çiziniz. dır. - 4 ve - için f ^h 0 olduğundan sgn ^f ^hh = ve için f ^h 0 olduğundan sgn ^f ^hh = ve = - 4 ve = - için f ^h = 0 olduğundan sgn ^f ^hh = 0 olup y - y elde edilir sgn ^f ^hh grafiği şekildeki gibi olur. 7

17 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR.BÖLÜM TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU - - y 4-4 y = f^h Her reel sayı bir tamsayı ile bir kesirli (ondalıklı) sayının toplamı şeklinde yazılabilir. Her! IR için = p+ k olacak şekilde p! Z ve k! 60, h sayıları vardır. Bu yazılımdaki p sayısına in tam değeri adı verilir. ", = p ile gösterilir. " e, =, " r, =, " e, = 5, " r- " r,, = 0,... gibi. f IR " IR olmak üzere y = f^h fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre y = $ sgn^^ fhh in grafiğini çizelim. Reel sayıları tam sayılara dönüştüren f IR " Z " f^h = ", fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir. TANIM - için y = $ sgn^^ fhh 0 dır. $ sgn^^ fhh = $ sgn^^ fhh = ! ^-, 0h -"-, için y = $ sgn^f ^ hh 0 & $ sgn^f ^ hh =- $ sgn^^ fhh =- =- için $ sgn^^ fhh = - & $ sgn^^ fhh = $ sgn^^ fhh = TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ! IR ve k! Z olmak üzere, ", = k & k G k+ " + k, = ", + k y olmak üzere y " y$, = ", + ( + + ( ) + - y y y şeklinde yazılır. Yani; " y$, = y$ ", tir. ", k & H k+ ", H k & H k ", k & k ", G k & k+ dir.! ^0, 4h { } için $ sgn^^ fhh 0 & $ sgn^^ fhh = $ sgn^^ fhh = = için sgn (f()) = 0 $ 4. = 4$ $. ve $ 4. = $. + ) + + ) + + ) tür.! ^4, h için, $ sgn^^ fhh 0 & $ sgn^^ fhh 0 & $ sgn^^ fhh = olur. " + " - 5,, = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. y = y " - 5,! Z olduğundan; " + " - 5,, = ", + " - 5, tir y = 4 grafiği elde edilir. " - 5, için - 5! Z olduğundan ", - 5 = " - 5, yazılabilir. Bunlara göre, " + " - 5,, = ", + ", - 5 = & $ ", = 8 & ", = 9 & 9 G 0 olup Ç.K = [9, 0) dur. 8

18 KPSS ÖABT 09 LİSE MATEMATİK VİDEO DESTEKLİ KONU ANLATIMLI Soyut Cebir Lineer Cebir pegemkampüs Video dersler ücretsiz olarak cebinizde Lütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz soruda SORU

19 Komisyon ÖABT Lise Matematik Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 6.Baskı: 09, Ankara Proje-Yayın: Dilara Araz Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd. Şti. İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara ( ) Yayıncı Sertifika No: 606 Matbaa Sertifika No: 59 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

20 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar... QR kodlar ile ilgili bilgiler bir sonraki sayfada yer almaktadır.

21 Uygulamanızı mağazalarından Pegem Kampüs yazarak indirebilirsiniz. Uygulama İndirme Üyelik Üyelik ekranını eksiksiz doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz. Üye girişi yaptıktan sonra açılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz. Aktivasyon Aktif Kitaplar Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı izlemeye başlayabilirsiniz. QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz. QR Kod Okutma Aktivasyon Kodu Analiz - Diferansiyel Denklemler kitabınızın ilk sayfasında yer almaktadır. iv

22 İÇİNDEKİLER SOYUT CEBİR Sayılar ve Özellikleri Rakam Sayma Sayıları Doğal Sayılar Tam Sayılar Aralarında Asallık Rasyonel Sayılar İrrasyonel Sayılar Reel Sayılar Tek ve Çift Sayılar Ardışık Sayılar Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler Tam Sayılarda Bölünebilme En Büyük Ortak Bölen 4 En Küçük Ortak Kat 4 Euler {-Fonksiyonu 7 {-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri 7 Kongrüanslar 9 Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik 9 Gruplar 9 Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri 9 Mertebe Alt Gruplar Normal Alt Gruplar 4 Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar 5 Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm 6 Homomorfizma 6 İzomorfizma 6 Bölüm Grupları 9 Devirli Gruplar 0 Devirli Grupların Alt Grupları Üreteç Sayısı Çarpım Grupları İzomorf olmayan Abelyan Gruplar Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi Alt Halka 5 Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi 5 Bölüm Halkası 6 İdeal 6 Nilpotent Eleman 6 Polinom Halkası 6 Cisim 7 Cebirsel Sayı 7 Transandant Sayı 7 Sayılabilir Küme 7 lü Test 4 lü Test 47 lü Test 5 lü Test 4 55 v

23 LİNEER CEBİR Hatırlatma: İç İşlem 59 Dış İşlem 59 Grup 59 Alt Grup 59 Halka 59 Vektör Uzayları 60 Alt Vektör Uzayı 6 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Taban (Baz) İç Çarpım Uzayları 68 İç Çarpım 68 Norm 70 Ortonormal Baz 75 Direkt Toplam Uzayı 80 Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar...5 n-lineer Fonksiyonlar...5 Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi 6 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı 6 Matrislerin Polinomu 7 Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler 8 Karakteristik Uzay 9 Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem 0 lü Test 7 lü Test lü Test 6 lü Test 4 40 lü Test 5 44 İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları 8 Lineer Dönüşümler 8 Matrisler ve Matris Uzayları 90 Matris Toplamı 9 Skaler ile Matris Çarpımı 9 Matris Çarpımı 9 Bir Matrisin Transpozu 9 Kare Matrisler 94 Bir Matrisin Tersi 94 Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler) Determinantlar 05 Sarrus Kuralı 06 Minör ve Kofaktör vi

24 SOYUT CEBİR SOYUT CEBİR. Sayılar ve Özellikleri Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur. Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir. Sayma Sayıları {,,, 4,...} kümesi sayma sayılar kümesidir. Doğal Sayılar N = {0,,,,...} kümesidir. N + = {,,,...} pozitif doğal sayılar kümesini ifade eder. Tam Sayılar Z = {...,,, 0,,,,...} kümesidir. Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z ), pozitif tam sayılar (Z + ) ve {0} kümesidir. Ayrıca Z = Z {0} Z + dır. Aralarında Asallık p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayılarını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı ise p ve q aralarında asaldır denir. Rasyonel Sayılar p Q = { : p ve q aralarında asal, q 0} kümesidir. q İrrasyonel Sayılar I = Q sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan q p tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı denir. Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesidir. R ile gösterilir. R = Q Q dür., y, z Z olmak üzere, y =, y. z = 4 ve z = eşitliklerini sağlayan, y, z sayılarının en büyük toplamı en küçük toplamından kaç fazladır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 a, b, c N olmak üzere a + 6b c = 4 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerleri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 Katsayısı büyük olana büyük değer verilir. Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur. a + b + c = 4 olur. a ve b doğal sayılardır. 56 a = b eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır? Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = 7 56 a = 7 a = b tür. Buradan a = 7 seçilirse b = 7 = 4 bulunur. Tek ve Çift Sayılar ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar n, tek tam sayılar n ile gösterilir (n Z). Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler ) T " T = Ç 5) Ç Ç = Ç ) Ç " Ç = Ç 6) T T = T ) T " Ç = T 7) n N olmak üzere T n = T 4) T Ç = Ç 8) n N + olmak üzere Ç n = Ç dir. $ y = & = & = $ z bulunur. y$ z 4 z Bu ifade z = eşitliğinde yerine yazılırsa z = z = " bulunur. z = için = ve y = 4 olup + y + z = 8 z = için = ve y = 4 olup + y + z = 8 bulunur. 8 ( 8) = 6 dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir. Tek ve çift sayılarda bölme işlemine ait kural tanımlanamaz. Örneğin 60, 40 ve sayıları çift sayıdır = Ç, = T, sayısı ne tek ne de çifttir. NOT

25 SOYUT CEBİR Ardışık Sayılar n Z olmak üzere n, n +, n +,... sayılarına ardışık tam sayılar denir. Kural: n Z + için n$ `n+ j n = dir. n Z olmak üzere n, n +, n +,... sayılarına ardışık tek sayılar denir. Kural: n Z + için n = n dir. n Z olmak üzere n, n +, n + 4,... sayılarına ardışık çift sayılar denir. Kural: n Z + için n = n(n + ) dir. Kural: Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide Son Terim İlk Terim Terim Sayısı = + Artış miktarı 5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür. 7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sağdan sola doğru sırasıyla,, sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür. 8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basamağı (birler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür. 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9 un katı ise sayı 9 ile tam bölünür. 0 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 ise verilen sayı 0 ile tam bölünür. ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sırası ile (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç veya in katı ise verilen sayı ile tam bölünür. Hangi n doğal sayıları için (n + ) u (n + ) dir. ve Terim Sayısı (Son terim + İlk terim) Terim Toplamı = dir. Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler ) ( ) ( ) = (+) 5) ( ) / ( ) = (+) ) ( ) (+) = ( ) 6) ( ) / (+) = ( ) ) (+) (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+) 4) (+) ( ) = ( ) 8) (+) / ( ) = ( ) 9) n N olmak üzere ( ) n = (+) dır. 0) n N olmak üzere ( ) n = ( ) dir. ) n N olmak üzere (+) n = (+) dır. Tam Sayılarda Bölünebilme m, n, r Z olmak üzere m n = r olsun. Bu durumda m ve n ye r nin bölenleri (çarpanları) r ye de m ve n nin bir katı denir. m, r nin bir böleni ise bu durum m r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir. ile bölünebilme: Çift tam sayılar ile tam bölünür. ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı veya ün katı ise sayı ile tam bölünür. n = (n )(n + ) olduğundan n N için (n + ) u (n ) dir. (n + ) u (n + ) ve (n + ) u (n ) olduğundan n + u [(n + ) (n )] n + u olur. n N olduğundan ve n + olması gerektiğinden n = 0, elde edilir. Kural: [, ] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı & 0 dir. n Kural: a Z ve m, n N olsun. n < m için a n + dir. m a Kural: n olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun. n u n k dir. 4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basamağı (birler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür.

26 SOYUT CEBİR Kural: n bir doğal sayı ve k bir tek sayı olsun. ( n) u ( k + k n k ) dır. Kural: a, b Z olsun. a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise a sayısı b ile bölündüğünde kalan r dir. {,,..., 600} dizisinde ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır? Teorem: m, n ve r tam sayı olmak üzere, i) m Z iken a u 0 dır. ii) m Z için ± u m ve ±m u m dir. iii) m u ± m = " dir. iv) m u n ise ±m u ±n dir. v) m u n ve n u r ise m u r dir. vi) m u n ve n u m ise m = ±n dir. vii) c 0 olmak üzere cm u cn ise m u n dir. m m m$ m n n n n viii) ve ise $ dir. i) m u n ve m u r ise m u n+r dir. 600 ' = 46 adettir. 000 den küçük kaç doğal sayı 7 ile bölünür? [, 000] kümesinde 000 ) = 58 ve 0 N için 7 u 7 0 olup toplam 58 + = 59 adet sayı 7 ile tam bölünür. Çıkmış Sorular k u m gösterimi k sayısının m sayısını tam bölündüğünü ifade eder. Buna göre a, b ve c tam sayıları için, I. c ab $ ise c a ve c b dir. II. ab $ c ise a c ve b c dir. III. a b ve b c ise a c dir. yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) Yalnız III N = n(n + ) sayısının 4 ile bölünebilmesi için n en az kaç olmalıdır? c sayısı a b yi bölüyor ise c a ve c b doğru olmayabilir, 6 $ tür ama 6 ve 6 yanlıştır. II ve III. öncül doğrudur. Cevap D N = n(n + ) = ( + ) + ( + ) (n + n) = ( n ) + ( n) n` n+ j` n+ j n$ ` n + j = 6 + n` n+ j` n + j = sayısının 4 ile bölünebilmesi için n(n + ) (n + ) çarpanlarından en az biri 4 e bölünmelidir. n + = 4 n = 9 olmalıdır. Tanım: (Asal Sayı) : n > tam sayısının kendisinden ve birden başka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir. Tanım: (Bileşik Sayı): Asal olmayan sayılara bileşik (= combined) sayı denir. Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir. Teorem: Her bileşik sayının en az bir asal çarpanı vardır. Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

27 SOYUT CEBİR Bir sayının tüm bölenlerinin sayısı pozitif bölenlerinin sayısının iki katıdır. Uyarı! N olmak üzere p = olacak şekildeki tüm p asal sayılarını bulunuz. Teorem (Bölme Algoritması): m, n Z, m, n 0 ise m = q. n + r; 0 < r < n olacak şekilde bir tek q ve r tam sayı ikilisi vardır. En Büyük Ortak Bölen: m ve n tam sayılar olmak üzere k m ve k n ise k ye m ve n nin bir ortak böleni denir. m ve n yi bölen en büyük pozitif d tam sayısına m ve n nin en büyük ortak böleni (=obeb = ebob) denir. d = (m, n) ile gösterilir. Uyarı ) Tanıma göre d'nin m ve n'nin obeb'i olması için gerek ve yeter şart i) d u m ve d u n olması, ii) k, k u m ve k u n özelliğindeki bir başka ortak bölen iken k d olmasıdır. ) İkiden fazla sayının obeb'i de benzer şekilde tanımlanır. Uyarı Obeb verilen tam sayıların pozitif lineer toplamlarının en küçüğüdür. Teorem: Sıfırdan farklı iki tam sayının obeb'i tektir. m n Teorem: ` mn, j = d + e, o = ' dir. d d Teorem: (a, b) = ve (a, c) = ise (a, b, c) = 'dir. Teorem: a a c ve (a, b) = ise dir. b c En Küçük Ortak Kat: a, b sıfırdan farklı tam sayılar olsun. a) k N olmak üzere a u k ve b u k ise k'ye a ve b'nin bir ortak katı denir. b) k, a ve b'nin bir ortak katı olsun. Eğer t; a ile b'nin bir başka ortak katı iken k u t ise k'ye a ile b'nin en küçük ortak katı (ekok) denir ve [a, b] = k ile gösterilir. Teorem: a, b 0 iki tam sayı ise (a, b) [a, b] = a b dir. P = ( ) ( + ) sayısının çarpanları p P asal olduğundan çarpanı ve kendisidir. p ( ) ( p) ( p) ( ) tipindedir. = =, p = asaldır. + = = 0, p = asal değil. = = 0, p = asal değil + = =, = N kümesi p = {} tür. N olmak üzere p = şeklindeki tüm p asallarını bulunuz. P = ( ) ( + + ) sayısının çarpanları p p ( ) ( p) ( p) ( ) tipindedir. = =, p = + + = 7 asaldır. = = 0, p = asal değildir. + + = ( + ) = 0 = 0 veya = p = asal değil p = asal değil + + = + + = 0 " 4$ $, = g N kümesi = {7} dir. (a, 4) = ve (b, 4) = iken (a + b, 4) nedir? 4

28 SOYUT CEBİR (a, 4) = olduğundan a = m olacak biçimde bir m tek sayısı ve (b, 4) = olduğundan b = n olacak şekilde bir n tek sayısı vardır. Eğer m ve n sayısı tek olmasaydı, (a, 4) = (b, 4) = 4 olurdu. a + b = m + n = (m + n) olur. m ve n tek olduğundan, m + n çifttir. m + n = k denirse a + b = 4k bulunur. Bu durumda (a + b, 4) = (4k, 4) = 4(k, ) = 4 bulunur. Teorem: n > tam sayısının pozitif bölenlerinin sayısını s(n) ile gösterelim. k k a n P i dir. = % i & sn ( ) = %`ai+ j i = Teorem: i = n > tam sayısının pozitif bölenlerinin toplamını t(n) ile gösterelim. k k a P i+ a i n = P i % i & tn ( ) = % dir. Pi i = i = Teorem: p, asal sayısı için p a b ise p a veya p b dir. p asal sayı değil ise bu teorem doğru olmaz. Örneğin; 8 u 4 fakat 8 4 ve 8 dir. NOT 504 sayısının pozitif bölenlerini ve pozitif bölenlerinin toplamını bulunuz. Sonuç: p asal ve p u a. a..... a n ise en az bir i n için p u ai dir. Sonuç: p, p, p,..., p n asal sayılar ve p p p... p n ise en az bir i n için p = p i dir. 504 = 7 olup s(504) = 4 = 4 olur. 4 7 t504 ^ h = $ $ = 5 $ $ 8 = 560 dır. 7 Uyarı: Örnekten de görüldüğü gibi t(n) değeri (P 0 + P + P a i P 0 a ).(P P )... 0 a k (Pk P k ) Teorem: n > tam sayısı çarpanların sırası hariç bir tek şekilde asal çarpanlarına ayrılabilir. çarpımı ile de hesaplanabilir. Uyarı: Özel olarak t() = s() = tanımlanır. Uyarı: n = p p... p k yazılımında asal p i çarpımlarının bazıları eşit olabilir. p i çarpanı bu yazılımda α i kez yer alıyorsa n sayısı kısaca; t n = p a $ p a... p a t = % p a i ( t # k) t i i = şeklinde yazılabilir. Bu son yazılıma n sayısının standart formu denir. Örneğin; 60 sayısının standart formu 60 = 5 dir. Tanım: t(n) = n ise n tam sayısına mükemmel sayı denir. n t(n) _ b b b 4 İlk dört mükemmel sayı ` 6, 8, 496 ve 88 dir. 4 7 b b 5 6 b 6 a Teorem: p asal ise p mükemmel sayı olamaz. 5

29 SOYUT CEBİR Bir doğal sayının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır. Teorem: n > tam sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı sn ( ) n dir. Teorem: NOT n > tam sayısının tüm bölenlerinin çarpımı ( ) s(n) n s(n) dir. 0 = 5 0 sayısını bölen çift sayılar r, 0 r, 0 r olmak üzere r r 5 r formunda olurlar. Buradan ( + ) ( ) ( ) = 6 = 48 bulunur. t çift (0 ) = 48 dir. 0 ni bölen tek tam sayıların toplamı ise 0 r, r ise r 5 r formundadır. Buradan t tek (0 ) = ( ) ( ) = = 40 elde edilir. 00 ü bölen pozitif tam sayıların toplamı kaçtır? 0 sayısını bölen tek tam sayıların toplamı kaçtır? I. yol t(00) = ( )( 0 + )( ) = 7 4 = 868 dir. II. yol 5 t^00h = $ $ 5 = 7$ 4$ = 868 dir. t tek (0 ) = ( ) = 56 bulunur. Burada çift sayı bölenlerinin toplamı da t çift (0 ) = t(0 ) t tek (0 ) eşitliğiyle bulunabilir t0 ( ) = $ = 40 olup t çift (0 ) = = 84 bulunur. 0 sayısını bölen çift tam sayıların toplamı kaçtır? a + 4 = a b eşitliği kaç farklı (a, b) tam sayı ikilisi için sağlanır? 6

30 SOYUT CEBİR a + 4 = a b eşitliğini a ile bölelim. 4 b = a+ Tam sayı olmalıdır. a 4 = 4 = 8 tane pozitif böleni vardır. Buradan a sayısı 8 = 6 farklı tam sayı olabilir. Buna karşılık b ninde 6 değeri vardır. Yani 6 tane (a, b) tam sayı ikilisi için sağlanır. Verilen sayı; 7 = olup teoreme göre p =, k = tür. Buradan ϕ(7) = = 7 9 = 8 dir. Euler ϕ Fonksiyonu Tanım: n N + olmak üzere Euler fonksiyonu ϕ ile gösterilir ve n den küçük ve n ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı olarak tanımlanır. ϕ(n) = {k N + (k, n) =, k < n} şeklindedir. n = P a $ P a... P a m m ; n sayısının standart gösterimi olmak üzere n sayısı ile aralarında asal ve n sayısından küçük olan pozitif doğal sayıların sayısı ϕ(n) ile gösterilir ve { ` nj = n$ f - p$ f - p... f - p P P P m şeklinde hesaplanır. n k ϕ (n) k, 4, 4 5,,, , 5 6 7,,, 4, 5, 6 6 8,, 5, ,, 4, 5, 7, ,, 7, 9 4 0,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , 5, 7, 4 4,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 78 Sonuç: p asal olmak üzere ϕ(p) = p dir. Teorem: ϕ çarpımsaldır. Yani (r, s) = iken ϕ(r, s) = ϕ(r) ϕ(s) dir. Dolayısıyla; k k k a a a a n = % Pi & {( n) = % { `pi j= % `pi pi i = i = i = k n. = % e. p o dir i i = i i i i Örneğin; ϕ(60) = ϕ(4) ϕ(5); (4, 5) = = ϕ(4) ϕ(). ϕ(5); (, 5) = = 4 = 6 olarak bulunur. Burada ϕ(60) = ϕ() ϕ(0) şeklinde yazılamaz. Çünkü (, 0) dir. ϕ Fonksiyonunun Bazı Özellikleri: Teorem: p asal ise n / k n { ^p h= p olur. k = 0 Örneğin; {( 0 ) + {( ) + {( ) + {( ) + {( 4 ) = 4 j = 6 dır. Teorem: p asal ve k N + ise; ϕ(p k ) = p k p k olur. Teorem: n > olsun. n ile aralarında asal ve n'den küçük doğal n$ {( n) sayıların toplamı dir. 7 sayısından küçük ve 7 ile aralarında asal olan kaç doğal sayı vardır? 7

31 SOYUT CEBİR 400 den küçük ve 400 ile aralarında asal kaç doğal sayı vardır? ϕ(400) = ϕ(4 5) = 400 e ϕ(p p p) = 4 ve p, p, p farklı asallar ise p + p + p kaç olabilir? o $ e o = 60 olur. 5 ϕ(p p p) = ϕ(p) ϕ(p) ϕ(p) = (p ) (p ) (p ) = 4 4 = 4 = = 4 6 = 8 Bu çarpanların birer fazlası asal sayı olmalı. + + = 8 veya = 4 olur. 57 den küçük 57 ile aralarında asal kaç doğal sayı vardır? n ile aralarında asal ve n'den küçük pozitif tam sayıların toplamı 6 ise n nedir? { _ 5 i = 5 $ = 4 $ 5 olur. 5 n.{ (n) = 6 n ϕ(n) = = 5 ( ) = 5 olup 00 den küçük 00 ile aralarında asal olan sayıların toplamı kaçtır? 00 $ { (00) dir. ϕ Euler fonksiyon olmak üzere m = n ise ϕ(m) değeri kaçtır? Burada ϕ(00) = ϕ( 5) = 00 $ e olup istenilen sonuç = için n = = = 8 dir. o $ e o = $ 40 = 000 dir. ϕ(m) = ϕ(n) = n n = n e 8 m dir. o=

32 SOYUT CEBİR Kongrüanslar Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik Tanım: m N + olmak üzere a, b Z için m (a, b) ise, a ve b m modunda denktir denir ve bu durum a / b (mod m) ile gösterilir. Teorem: a ve b tam sayılarının m'ye bölündüklerinde aynı kalanı vermeleri için gerek ve yeter şart a / b (mod m) olmasıdır. Sonuç: a / b (mod m) ve P() Z []; P() tam katsayılı bir polinom olmak üzere P(a) / P(b) (mod m) dir. Çıkmış Sorular toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 Yukarıda tanımlanan "/" bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı yardımıyla tam sayılar m tane farklı denklik sınıfına ayrılırlar. Bu denklik sınıflarına m modundaki kalan sınıflar denir. Bunların kümesi Z m ile gösterilir. 0 = { km. k d Z} = { + km. k d Z} Zm = { 0,,..., m } şeklinde gösterilir. Kalan sınıfları ayrıktır. Yani her tam sayı sadece bir kalan sınıfında kalabilir. NOT NOT / ` -j ` mod 6 j 05 5 /-` mod 6 j 05 5 / 5` mod 6 j / ` mod 6 j 04 7 / ` mod 6 j / ` mod 6 j 0 9 / ` mod 6 j / ` mod 6 j / ` mod 6 j h Tanım: m modundaki kalan sınıfların her birinden bir tek eleman alarak elde edilecek kümeye m modunda bir tam kalanlar sistemi denir. Teorem: a / b (mod m) ve c / d (mod m) ise i) a " c / b " d (mod m) ii) a c / b d (mod m) m iii) a c / b c (mod m) a / b bmod l; d = (c, m) d Örneğin; 4 5 / 4 8 (mod 6) dır. Fakat 6 5 _ 8 (mod 6) dır. Ancak 5 / 8 emod o dir. Burada = (4, 6) dır. Sonuç: a / b (mod m), n N +, c Z olmak üzere i) a n / b n (mod m) ii) a "c / b " c (mod m) iii) a c / b c (mod m) Dolayısıyla / 5+ + ` mod 6j / 9` mod 6j / ` mod 6j Cevap C / 8 (mod 5) P() = P(8) = = 74; 5 ile bölümünden kalan 4 tür. P() = = 9; 5 ile bölümünden kalan 4 tür. Buradan 9 / 74 (mod 5) olup P() / P(8) (mod 5) tir. 9

33 SOYUT CEBİR 0 un 5 ile bölümünden kalan kaçtır? _ = ^mod5h b = 4 ^mod5h b ` = 8 ^mod5h b 4 / ^mod5h b a 87 / (mod 9) ise =? = ^ h $ / 4 ^mod5h dir. Uyarı: Modlar aralarında asal ise çözüm kesin vardır. Teorem: (Çin Kalanlar Teoremi): i < j n için (m i, m j ) = ise / a (m ) kongrüans sisteminin n / a (m ) m = % mi modunda i = bir tek çözüm vardır.. / a n (m n ) Teorem: (Fermat'ın küçük teoremi): p asal ve (a, p) = ise a p / (mod p) dir. Her iki tarafı a ile çarpalım. a p / a (mod p) olur. Burada p, a'nın e denk olan en küçük kuvveti olmayabilir. n asal ve (a,n) = ise a {(n) / (mod n) dir. Teorem: (Euler): n N + ve (a,n) = ise {(n) a {(n) / (mod n) olur. / (mod 9) 8 / 7 (mod 9) / 9 (mod 9) 9 / (mod 9) / 7 (mod 9) 0 / 5 (mod 9) 4 / (mod 9) / 5 (mod 9) 5 / (mod 9) / 6 (mod 9) 6 / 4 (mod 9) / 9 (mod 9) 7 / (mod 9) 4 / 8 / (mod 9) ise 8 / (mod 9) olur. 87 = ( 8 ) / 7(mod 9) dur. = 7 dir. Doğum gününü salı günü kutlayan Ulaş gelecek yıl hangi gün kutlar? Bir haftada 7 gün vardır. Bir yılda 65 gün olup 65 sayısının 7 ile bölümünden kalan dir ve Ulaş gelecek yıl doğum gününü çarşamba günü kutlar. Teorem: / a ( modm) ) / b ( modn) sisteminin bir çözümünün olması için gerek ve yeter şart a / b (mod (m,n)) olmasıdır. Bu durumda çözüm [m,n] modundadır. 0 Ağustos Zafer Bayramı 97 yılında pazar günü kutlanmışsa 986 yılında hangi gün kutlanır? 976, 980 ve 984 artık yıllardır. Yani bu yıllar 66 gündür. Buna göre, 65 + = 4768 gün sonra bu bayram kutlanacaktır sayısı 7 sayısına bölünürse kalan iki bulunur. Öyleyse 986 yılındaki Zafer Bayramı salı günü kutlanır. 0

34 KPSS ÖABT 09 LİSE MATEMATİK VİDEO DESTEKLİ KONU ANLATIMLI Geometri İstatistik ve Olasılık pegemkampüs Video dersler ücretsiz olarak cebinizde Lütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz soruda SORU

35 Komisyon ÖABT Lise Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 6.Baskı: 09, Ankara Proje-Yayın: Dilara Araz Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd. Şti. İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara ( ) Yayıncı Sertifika No: 606 Matbaa Sertifika No: 59 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

36 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Olasılık. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar... QR kodlar ile ilgili bilgiler bir sonraki sayfada yer almaktadır.

37 Uygulamanızı mağazalarından Pegem Kampüs yazarak indirebilirsiniz. Uygulama İndirme Üyelik Üyelik ekranını eksiksiz doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz. Üye girişi yaptıktan sonra açılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz. Aktivasyon Aktif Kitaplar Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı izlemeye başlayabilirsiniz. QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz. QR Kod Okutma Aktivasyon Kodu Analiz - Diferansiyel Denklemler kitabınızın ilk sayfasında yer almaktadır. iv

38 İÇİNDEKİLER. BÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER UZAYDA VEKTÖRLER... İki Vektörün Paralelliği... Vektörlerin Lineer Bileşimi... Lineer Bağımlılık Lineer Bağımsızlık... Standart Birim Vektörleri... Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı... İki Vektör Arasındaki Açı... Dik İzdüşüm Vektörü... Vektörel (Çapraz) Çarpım... 4 Paralelkenarın Alanı... 5 Paralelyüzün Hacmi... 6 lü Test... 9 ler... UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ... İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi... Düzlem... 4 lü Sorular - I... 6 Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı... 9 lü Sorular - II... 9 Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması... Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı... Aykırı İki Doğru Arasındaki En Kısa Uzaklık ve Ortak Dikme ve Dikme Ayaklarının Bulunması... 4 lü Sorular... 4 İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı... 8 Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı... 8 İki Düzlemin Açıortay Düzlemi... 8 lü Sorular... 8 Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti... 0 Uzayda Simetri... lü Sorular... lü Test ler... 9 lü Test ler... 4 YÜZEYLER E DE YÜZEY KÜRE Küre Olma Koşulları Kürenin Parametrik Denklemi Kürenin Teğet Düzlemi SİLİNDİR KONİ Bazı Kuadratik Yüzeyler lü Sorular Silindirin İsimlendirilmesi Dönel Yüzeyler SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR KÜRESEL KOORDİNATLAR lü Test ler... 6 KONİKLER TANIM Genel Konik Denkleminde.y li Terimi Yok Etme ELİPS - HİPERBOL - PARABOL ELİPS Elipsin Denklemi Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri Elipsin Parametrik Denklemi HİPERBOL Hiperbolün Denklemi PARABOL... 7 Parabolün Denklemi... 7 lü Test... 8 ler Karma Test ler Karma Test ler... 9 v

39 . BÖLÜM İSTATİSTİK VE OLASILIK TEMEL KAVRAMLAR Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm Değişken ve Türleri Fonksiyon Evren ve Örneklem İstatistik ve Parametre lü Test ler VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ VERİNİN DÜZENLENMESİ Grafik Çizme OLASILIK TEMEL KAVRAMLAR... 4 Olasılık... 5 Birleşik Olayların Olasılığı... 6 Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı... 6 Olaylar Arasındaki Bağıntılar... 7 Şartlı Olaylar ve Olasılıklar... 7 Bağımsız Olaylar... 8 lü Sorular... 9 TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER... Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri... 7 Varyans Hesabı... 0 Momentler... Moment Çıkaran Fonksiyon... Birleşik Olasılık Dağılımı... 5 Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu... 5 Marjinal Olasılık Fonksiyonları... 6 Kovaryans ve Korelasyon... 8 lü Test ler Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri... 0 Mod (Tepe Değer)... 0 Medyan (Ortanca)... 0 Aritmetik Ortalama... 0 Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması. 0 Ağırlıklı Ortalama DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ Ranj (Açıklık) Mutlak Kayma Varyans ve Standart Kayma Bağıl Değişkenlik Katsayısı STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) z Puanı T Puanı lü Test ler... OLASILIK DAĞILIMLARI OLASILIK Binom Olasılık Dağılımı Poisson Olasılık Dağılımı... 5 Hipergeometrik Olasılık Dağılımı... 5 Normal Olasılık Dağılımı Standart Normal Olasılık Dağılımı... 6 lü Test... 6 ler lü Deneme ler... 7 lü Deneme ler vi

40 UZAYDA VEKTÖRLER.BÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER R = {(, y, z) :, y, z R} kümesine boyutlu vektör uzayı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R ün her noktasına bir vektör karşılık gelir. z AB = ^, -,- 7h AC = ^m -0,,-4h AB = AC & AB $ AC = 0 dr ı. ^m - h+ ^- h$ 0+ ^-7h^- 4h= 0 m + 7 = 0 m =-7 olur. Cevap A 0 P(a, b, c) y Örnek A(,, ) ve B(, a, ) noktaları veriliyor. AB = 6 br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz. OP = ^abc,, h ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gösterilir. OP = ^abc,, h& OP = P = a + b + c dir. AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vektörüne, AB vektörünün yer vektörü denir. A(, y, z ) ve B(, y, z ) ise; AB = ^-, y-y, z-zh OP = AB = ^- h + ^y- yh + ^z- zh Normu olan vektöre birim vektör denir. z A(, y,z ) B(, y,z ) AB = ^, a +, - 4h AB = 6 & + ^a + h + ^- 4h = 6 & ^a + h + 7 = 6 & ^a + h = 9 & a+ = & a = veya a =-4 Çıkmış Sorular Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektörleri için u$ v = 8, u+ v + u- v = 6 olduğuna göre, u+ v değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) P(, y y, z z ) 0 Çıkmış Sorular Uzayda A(,, ), B(, -, -4) ve C(m,, -) noktaları veriliyor. AB = AC olduğuna göre, m kaçtır? A) -7 B) -9 C) 4 D) 9 E) 7 y u+ v = u + v + $ u$ v u- v = u + v + $ u$ v & u+ v - u- v = 4 $ u$ v olur. Buna göre; a u+ v + u- v k$ a u+ v - u- v k= 4$ u+ v - u- v = + u+ v + u+ v =+ 6 u+ v = 8 & u+ v = 9olur. Cevap B

41 UZAYDA VEKTÖRLER.BÖLÜM İki Vektörün Paralelliği a, bd R, k! 0, a! 0, b! 0 olmak üzere, a = k$ b + a// b dir. a = `, y, z j ve b = `, y, z j olmaküzere a// b y z + = = dir. y z V = & V, V,... Vn0, IR uzayının bir alt kümesi olmak üzere detbv, V,... V n l = A olsun. I. A = 0 V kümesi lineer bağımlı, II. A 0 V kümesi lineer bağımsızdır denir. Uyarı Örnek A(, 4, ) ve B(6,, 4) noktaları ile v = ` y, + y, j vektörü veriliyor. Standart Birim Vektörleri z AB // v olduğuna göre, (, y) ikilisini bulunuz. e = `0,0,j AB = `4,, j 0 e = `0,,0j y v = ` y, + y, j y + y AB// v & = = 4 y = 4 & `y, j = `, j olur. + y = e = `,0,0j R vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir. e = i = `00,, j e = j = `00,, j Vektörlerin Lineer Bileşimi V, V, V,..., V n dr vek, k, k,..., k n dr olmak üzere, u = k$ V+ k$ V+ k$ V kn$ Vn vektörüne, V, V, V,..., V n vektörlerinin lineer bileşimi denir. Lineer Bağımlılık Lineer Bağımsızlık IR de V, V, V,... V n vektörleri verilsin. c$ V+ c$ V+ c$ V cn$ Vn = 0 denklemi yalnız c = c = c... = c n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımsız; c = c = c... = c n = 0 değerlerinden en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlı denir. e = k = `00,, j Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı Her A, B! R için; A = `, y, zj ve B = `, y, zj olmak üzere, A$ B = < AB, > = $ + y$ y+ z$ z şeklinde tanımlanan işleme, "R de Öklid iç çarpım işlemi" denir. Özellikleri. A = A$ A, A = A$ A. A$ B = B$ A (değişme özelliği). A$ `B+ Cj = A$ B+ A$ C (çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği)

42 .BÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER Örnek A = ^, a, - h ve B = ^a, 0, h vektörleri veriliyor. A$ B = 5 olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bulunuz. A$ B = 5 a+ a- $ 0 = 5 5a = 5 a = 5 İki Vektör Arasındaki Açı AB,! R verilsin. A ve B vektörleri arasındaki açının ölçüsü a olmak üzere, A$ B = A $ B $ cos a olur. A = B ise α = 90 için cosα = 0 olduğundan A = B + A$ B = 0 olur. Örnek A ile B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45, A = ve B = olduğuna göre, ( A+ B) ( A- B) iç çarpımının sonucunu bulunuz. _ A+ Bi$ _ A- Bi= $ A$ A+ $ A$ B-A$ B-$ B$ B = $ A + A$ B- $ B = $ 8+ $ $ cos 45c - $ 9 = = olur. Örnek A = ^-,, hve B = ^, -, h vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz. Dik İzdüşüm Vektörü A A$ B = A $ B $ cos i = ^- h + + $ + ^- h + $ cos i cos i = = 4 $ 6 0 H u B Örnek A = ^,, h ve B = _ -,- - 4, i vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz. cos i = cos i = A$ B A $ B A$ B = = 6 A = ( ) + ( ) + ( ) = 6 B = ^ - h + ^- - h + 4 = = 4 = 6 6 cos i = 6 $ 6 olur. A = ^, y, zh, B = ^, y, zh vektörleri verilsin. A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü OH = u olsun. A ile B arasındaki açı α olmak üzere; cosa = A$ B dir. cos a = u yazılırsa A $ B A u = A$ B & u = A$ B dik izdüşüm vektörünün A A $ B B uzunluğudur. u = u $ B olacağından B u = A$ B $ B dik izdüşüm vektörünü verir. B

43 UZAYDA VEKTÖRLER.BÖLÜM Çıkmış Sorular Düzlemde A(5, 0) vektörünün B(, -4) vektörü üzerine dik izdüşüm vektörünün uzunluğu kaç birimdir? A) B) C) D) 4 E) 5 a :A vektörü ile B vektörü arasındaki açı P; A vektörü ile B vektörünün yönünü gösteren birim vektör olmak üzere; A ile B nin vektörel çarpımı : C = AB = P$ A $ B $ sin a dır. A(5,0) O H OH = A, B B OH 5$ + 0$ ^-4h = + ^-4h OH = br bulunur. Cevap C B(,-4) Elde edilen C vektörü, düzleme dik olan bir vektördür. e e e C = AB = y z y z A ve B vektörlerinin ait olduğu determinantının değeri, vektörel çarpımı verir. Örnek A = `, 0, j ve B = ^0,, h olduğuna göre, AB kaçtır? Örnek A = `4,, j ve B = `,, j vektörleri veriliyor. A nın B üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunun ve dik izdüşüm vektörünü bulunuz. i j k AB = 0 = i 6j+ k 0 = `, 6, j AB = + ` 6j + A$ B u = = B ` j + + = 8 4 = = 7 olur. Dik izdüşüm vektörü; A$ B u $ 8 4 = B = $ `,, j= `,, j olur. 4 7 B Özellikleri: 6 A, B, C R ve k R olmak üzere; I. A A = 0 Vektörel (Çapraz) Çarpım R te A = `, y, zjve B = `, y, zj vektörleri verilsin. A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı bir C vektörünü verir. C = AB şeklinde gösterilir. II. A B = B A III. A ` B + Cj = `A Bj+ `A Cj IV. `k$ AjB = Ak ` $ Bj= k$ `ABj, k! R V. A B = A $ B $ sin i (θ: A ve B vektörleri arasındaki açıdır.) VI. A B, A = 0 4 & A = A B ve B = A B dr ı. A B, B = 0 4

44 .BÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER Paralelkenarın Alanı Örnek A h Köşelerinin koordinatları A(,, ), B(,, 0) ve C(, 0, ) olan üçgenin alanını bulunuz. B A ve B vektörleri üzerine kurulu paralelkenarın alanı S olsun, S = A B ile hesaplanır. A Köşelerinin koordinatları A, B, C olan üçgenin alanı; Alan = ile hesaplanır. AB AC NOT B C Çıkmış Sorular Dik koordinat düzleminde u= _- 7, i vektörünün orijin etrafında 0 derece döndürülmesi ile oluşan vektör v olsun. Buna göre u ve v vektörlerinin oluşturmuş olduğu paralelkenarın alanı kaç birimdir? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) 6 v AB = `,, j AC = ` 0,, j i j k AB AC = 0 = `+ 668,, j AABC ` & j = ` 6j = 4 br olur. v 0 u u Örnek Paralelkenarın alanı u $ v $ sin 0 % dir. ` u = v j u = ^- 7h + ^ h = 6 Paralelkenarın alanı = 6$ 6$ Köşelerinin koordinatları A(, ), B(, ) ve C(, 5) olan üçgenin alanını bulunuz. Cevap C = 8 olur. Karma Çarpım 6 ABC,,! R için A B, C reel değerine A, B ve C nin karma çarpımı denir ve ba, B, C l ile gösterilir. Özellikleri 6 A, B, C! R için. A B, C = A, B C A(,, 0), B(,, 0) ve C(, 5, 0) olarak düşünelim. AB = ` 0,, j, AC = ` 0,, j i j k AB AC = 0 0 = `00,, 7j 7 AABC ` & j = AB AC = br olur.. ba, B, Cl= detba, BC, l dir. 5

45 UZAYDA VEKTÖRLER.BÖLÜM Paralelyüzün Hacmi θ C A A, B, C! R vektörleri üzerine kurulu paralelyüzün hacmi V olsun. V = ba, BC, l dir. A, B, C vektörleri üzerine kurulu dörtyüzlünün hacmi; B A Çıkmış Sorular E C A B ABC eşkenar üçgen BC = DB BC = DB BC AE = 8birim = Şekilde D, E ve C noktaları D doğrusaldır. Buna göre, kaç birimdir? A) + B) 4 + C) 6-8 D) 4 E) V = ba, BC, l dir. 6 Örnek 4 5c C 0c 8 A = `0,, j, B = `, 0, j ve C = `0,, j vektörleri H 4 üzerine kurulu paralelyüzün hacmini bulunuz. 8-4 A 0c 75c 75c F B 0 cabc,, m = 0 = 6+ 0 = 5 0 D = 6-8 elde edilir. Cevap C V = cabc,, m = br olur. 5 Örnek A = ` 0,, j, B = `0,, jve C = `,, j vektörleri üzerine kurulu dörtyüzlünün hacmini bulunuz. Çıkmış Sorular cabc,, m = 0 0 = ` j$ ` j `0 j = 5+ 6 = Dik koordinat düzleminde, u = (, ) ve v = (-, 5) vektörleri orijin etrafında saat yönünde 4 r radyan döndürüldüğünde sırasıyla p ve r vektörleri elde ediliyor. Buna göre, < p, r > iç çarpımı kaçtır? V = cabc,, m = br olur. 6 6 A) - 7 B) - C) 5 D) 9 E) 6

46 UZAYDA VEKTÖRLER.BÖLÜM Çıkmış Sorular P = ^ cos 5c + cos 5c, sin 5c - cos 5c h P = d- E, 5 n F Bu soruda pratik yol C u = ^, h olduğundan d^, h r = d- A n, - ^ + h $ r = d^-, - 5 h D B ABCDEF bir düzgün altıgen olduğuna göre, n, - ^- + 5h 6-4 n, p, r = + 0 = olur. I. ED + DC + BC = - BA II. ED + EF = BA + AF III. ED $ DC = BC $ BA Cevap E ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II D) I ve III Çıkmış Sorular C) Yalnız III E) II ve III Dik koordinat düzleminde verilen a ve b vektörleri için a = b = eşitlikleri veriliyor. E D r a ve b vektörleri arasındaki açı radyan olduğuna göre, a + b değeri kaçtır? A) B) D) F C) 6 C E) A a > b II. = $ $ 6 $ cos 60c = 8 f = 8 dir. f = f f f olmadığından II. öncül yanlış III. ED $ DC = BC $ BA 0c b BA = - ED a ED + EF = BA + AF... f ED + DC + BC = - BA > I. > 60c B Yönlere bakılırsa eşit olmayacağı görülür. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır. = $ $ 6 $ cos 0c Cevap A = 5 = dir. Cevap D 7

47 UZAYDA VEKTÖRLER.BÖLÜM Çıkmış Sorular D C ABCD kare DG = AF F E 0c A EG = AD α EG = birim % = 0c m(fab) G T B 5 BF = Yukarıdaki verilere göre, kaç birimdir? A) 4 D) 5 C) B) 5 K β β L 0 5 E) 6 A P α S D TK 6 = = olur. KS Dolayısıyla TK = 5 ve KS = 0 olur. 6AK@ açıortay olduğundan C % % ATP teğet kiriş açı, TSA çevre açı ve ikiside aynı yayı gör- 0c F E 60c A = düğünden eşittir. Dolayısı ile & & TSA + SKA dır. 4 0c Buradan 60c 60c 0c G 6 = & = 4 bulunur. 5 0 Cevap B B $ = bulunur. Cevap D Çıkmış Sorular R vektör uzayında u = (, 0, ) v = (, 5, - ) vektörleri veriliyor. Çıkmış Sorular T TA = 6 birim 6 A K Buna göre, u vektörünün v vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu kaç birimdir? L AS = birim A) TS = 5 birim 6TP@ + 6AK@ = " L, P! 6AS@ K! 6TS@ P S C) 5 D) 6 C) D) 5 E) V = ^, 5, - h ve 6AK@ açıortay olduğuna göre, TL uzunluğu kaç birimdir? B) 4 B) U = ^, 0, h Yukarıdaki şekilde 6TA@ çembere T noktasında teğet A) U vektörünün V vektörü üzerine dik izdüşüm uzunluğu - = = dir. 8 E) 7 Cevap A 8

48 .BÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER ÇÖZÜMLÜ TEST. A(,, ), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9) ve D(a, b, c) noktaları veriliyor. CD = $ AB olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 40 B) 4 C) 46 D) 5 E) Köşelerinin koordinatları A(, 4, ), B(, 0, ) ve C(,, 0) olan üçgenin alanı kaç birimkaredir? A) B) 6 C) 0 D) E) 4. u = (,, ) ve v = (0,, ) vektörlerine dik olan birim vektör aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) f,-, p B) f,,- p 6. u = (,, ), v = (,, ) ve w = (, 0, ) vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 6 C) 9 D) E) 6 C) f-,, p D) f-,-, p 6 E) f,-, 4 4 p 4 7. u = (,, 4) ve v = (,, ) vektörleri veriliyor.. a = `0,, j, b = `0,, j ve c = `,, j vektörleri veriliyor. Buna göre, ` a- bj $ c nin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) E) 4 u vektörüne paralel ve w$ v = şartını sağlayan w vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 4, 8) B) (,, 4) C) (, 4, 8) D) (, 6, ) E) ( 4, 8, 6) 4. a = (0,, ), b = (6,, -) ve c = (4,, 5) olduğuna göre, a$ ` bcj nin değeri kaçtır? A) 4 B) 0 C) 0 D) 6 E) 8 8. a = (, +, ), b = (,, ) ve c = (,, ) vektörlerinin aynı düzlemde olması için kaç olmalıdır? A) 5 B) C) 6 D) E) 7 9

49 UZAYDA VEKTÖRLER.BÖLÜM 9. Köşelerinin koordinatları A( 8, 4), B(, 5) ve C(9, ) olan ABC & üçgeninin alanı aşağıdakilerden hangisidir? A) 75 B) 5 C) 77 D) 90 E) 95. a = (4,, 4) ve b = (,, ) vektörleri veriliyor. Buna göre, a- b vektörü ile a vektörü arasındaki dar açının cosinüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) D) E) 4 0. a = (,, ) vektörünün b = (,, ) vektörüne dik izdüşüm vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A) e-,-, o B) e,-, C) e,-, o D) e-,-, o o y 6z = 0 düzlemine dik ve uzunluğu 70 br olan vektör aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 6, ) B) ( 6, 0, ) C) (, 6, 0) D) ( 0, 6, ) E) (, 0, 6) E) e-,-, o. u : u vektörünün uzunluğunu göstermek üzere u = 6, v = 5 ve u$ v = 0 olduğuna göre, u v kaçtır? A) 0 B) 0 C) 40 D) 50 E) u = (0,, ) vektörü veriliyor. v vektörü yz düzleminde olup uzunluğu birimdir. u ile v arasındaki açı r radyan olduğuna göre, u v vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A) ` 9, 0, j B) `0,, j C) `4 0,, j D) `, 0, j E) `6 9, 0, 0j. u : u vektörünün uzunluğunu göstermek üzere, u = 5, v = 0 ve uv = 44 olduğuna göre, u$ v kaçtır? A) 4 B) 6 C) 4 D) 48 E) P(,, 5) noktasının, Q(,, 4) ve R(4,, 5) noktalarından geçen doğruya uzaklığı kaç birimdir? A) B) C) D) 4 E) 0

50 KPSS ÖABT 09 LİSE MATEMATİK VİDEO DESTEKLİ KONU ANLATIMLI Alan Eğitimi pegemkampüs Video dersler ücretsiz olarak cebinizde Lütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz soruda SORU

51 Komisyon ÖABT Lise Matematik Alan Eğitimi Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 6.Baskı: 09, Ankara Proje-Yayın: Dilara Araz Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd. Şti. İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara ( ) Yayıncı Sertifika No: 606 Matbaa Sertifika No: 59 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

52 Sevgili Öğretmen Adayları, ÖN SÖZ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar... QR kodlar ile ilgili bilgiler bir sonraki sayfada yer almaktadır.

53 Uygulamanızı mağazalarından Pegem Kampüs yazarak indirebilirsiniz. Uygulama İndirme Üyelik Üyelik ekranını eksiksiz doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz. Üye girişi yaptıktan sonra açılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz. Aktivasyon Aktif Kitaplar Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı izlemeye başlayabilirsiniz. QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz. QR Kod Okutma Aktivasyon Kodu Analiz - Diferansiyel Denklemler kitabınızın ilk sayfasında yer almaktadır.

54 . BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR? Matematik Nedir? Mutlakçılar Yarı Deneyselciler Teorik-Uygulamalı Matematik Klasik-Modern Matematik Akademik-Okul Matematiği lü Test 5 ler 7. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETME Matematiği Öğrenme ve Öğretme 8 Bilişsel Öğrenme Alanı 8 Duyuşsal Öğrenme Alanı8 Devinişsel Öğrenme Alanı 8 Davranışçı Yaklaşım 8 Klasik Koşullanma 8 Edimsel Koşullanma 9 Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım 9 Fonksiyonalist Yaklaşım 9 Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım 9 Yapılandırmacı Yaklaşım 9 Buluş Yoluyla Öğrenme 0 Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme) Bilgi-İşlem Yaklaşımı Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim) Gerçekçi Matematik Eğitimi Çoklu Zekâ Kuramı Öğrenme Stilleri Matematik Öğretimi Yöntemleri Düz Anlatım Yöntemi Tanımlar Yardımıyla Öğretim Buluş Yoluyla Öğretim Analizle Öğretim Senaryo ile Öğretim Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim Kurallar Yardımıyla Öğretim Deneysel Etkinliklerle Öğretim Oyunlarla Öğretim lü Test 4 ler 5 İÇİNDEKİLER. BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı Programın Özellikleri Eğitim Sistemi6 Öğretim Programının Genel Amaçları 7 Öğretim Programının Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı 8 Öğretim Programının Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı 8 Öğretim Programında Yeterlilik ve Beceriler 8 Öğretim Programında Değerler Eğitimi 9 Öğretim Programının Uygulanmasında Dikkat Edilecek Hususlar 0 Öğretim Programının Yapısı 0 lü Test 6 ler 7 4. BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZME Problem Çözme 8 Problem Nedir?8 Problem Çözme 8 Problemi Anlama 8 İçin Plan Yapma 8 Planın Uygulanması 8 Değerlendirme 8 Problem Çözme Öğretimi 0 Sistematik Liste Yapma 0 Tahmin ve Kontrol 0 Diyagram Çizme 0 Bağıntı Bulma Değişken Kullanma Benzer Problemlerin ünden Yararlanma Geriye Doğru Çalışma Eleme Tablo Yapma Muhakeme etme Problem Kurma Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma Cevabı Zihinde Tutarak Problem Kurma v

55 Matematik Eğitiminde Problem Çözme... Problem Çözme İçin Öğretim... Problem Çözmeye İlişkin Öğretim... Problem Çözme ile Öğretim... lü Test...4 ler BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ Mantık Öğretimi...7 Temel Kavramların Öğretimi...7 Önerme Kavramı...7 Önermenin Olumsuzu (Değili)...8 Bileşik Önermeler...8 Veya Bağlacı ( ) (Dahili Birleşim)...9 Ve Bağlacı ( )...9 Koşullu Önerme ( )...9 İki Yönlü Koşullu Önerme ( )...9 Bileşik Önermelerin Özellikleri...40 Tek Kuvvet Özelliği...40 Değişme Özelliği...40 Birleşme Özelliği...40 Dağılma Özelliği...40 Totoloji ve Çelişki...4 Açık Önermeler...4 Evrensel ve Varlıksal Niceleyiciler...4 İspat Teknikleri...4 İspat Çeşitleri...4 lü Test...47 ler BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİ Kümeler Öğretimi...50 Temel Kavramların Öğretimi...50 Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi...5 Kümelerle İşlemlerin Öğretimi...5 Birleşim İşlemi...5 Kesişim İşlemi...5 Fark İşlemi...5 Kartezyen Çarpım...5 lü Test...55 ler BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Gerçek Sayılar Öğretimi...57 Karekök Kavramı...58 Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi...59 İşlem Özelliklerinin Öğretimi...59 Çarpma İşlemi Öğretimi...59 İşlem Özelliklerinin Öğretimi...60 Bölme İşlemi Öğretimi...60 Gerçek Sayılar...6 Eşitlik Özellikleri...6 Eşitsizlik Özellikleri...6 Asal Sayılar...6 Bölünebilme Kuralları...64 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)...66 Aralıklar...66 Denklem ü...67 lü Test...68 ler BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÖĞRETİMİ Üslü ve Köklü İfadeler Öğretimi 7 Üslü İfadeler Öğretimi...7 Üslü Denklemler...74 Köklü İfadeler Öğretimi...74 lü Test...77 ler BÖLÜM: POLİNOMLAR ÖĞRETİMİ Polinomlar Öğretimi 80 Polinomlar Kümesinde İşlemler Öğretimi...8 Toplama ve Çıkarma Öğretimi...8 Çarpma Öğretimi...8 Bölme Öğretimi...8 Çarpanlara Ayırma Öğretimi...84 Ortak Çarpan Parantezine Alma...84 Gruplandırma...84 Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması...84 a + ab + b İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...85 a - ab + b İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...85 vi

56 a + b + c + (ab + ac + bc) İfadesinin Çarpanlara Ayrılması 86 a - b İfadesinin Çarpanlara Ayrılması 86 a + a b + ab + b İfadesinin Çarpanlara Ayrılması 87 - a İfadesinin Çarpanlara Ayrılması 87 a + b + c Polinomunun Çarpanlara Ayrılması 87 Rasyonel İfadeler ve Denklemler Öğretimi 89 lü Test 9 ler 9 0. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER,, EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR ÖĞRETİMİ İkinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar Öğretimi...94 İkinci Dereceden Denklemler Öğretimi 95 Eşitsizlikler Öğretimi 98 İkinci Dereceden Fonksiyonlar Öğretimi 0 lü Test 0 ler 05 Aritmetik Ortalama 7 Tepe Değer (Mod)7 Ortanca (Medyan)8 Açıklık (Ranj) 8 Standart Sapma8 lü Test ler. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ÖĞRETİMİ Trigonometri Öğretimi 4 Yönlü Açılar Öğretimi4 Trigonometrik Fonksiyonlar Öğretimi 6 Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri 6 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Öğretimi 8 Üçgende Trigonometrik Bağıntıların Öğretimi 8 Toplam ve Fark Formüllerinin Öğretimi0 Yarım Açı Formüllerinin Öğretimi 0 Trigonometrik Denklemlerin Öğretimi lü Test ler 5. BÖLÜM: OLASILIK VE İSTATİSTİK ÖĞRETİMİ Olasılık ve İstatistik Öğretimi...06 Olasılık Öğretimi 07 Toplama Yoluyla Sayma İlkesi 07 Çarpma Yoluyla Sayma İlkesi 07 Permütasyon 07 Tekrarlı Permütasyon08 Kombinasyon 08 Binom Açılımı 09 Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar09 Olay Çeşitleri 0 Kesin ve İmkânsız Olaylar 0 Tümleyen Olay Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar Bağımlı ve Bağımsız Olaylar Koşullu Olasılık Olasılık Çeşitleri İstatistik Öğretimi 5 Veri Toplama 5 Tablo ve Grafikler6 Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri 7. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ÖĞRETİMİ Karmaşık Sayılar Öğretimi...6 Karmaşık Sayılar Öğretimi7 Karmaşık Kökler 7 lü Test 8 ler 9 4. BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA ÖĞRETİMİ Üstel Fonksiyon ve Logaritma Öğretimi...40 Üstel Fonksiyon 4 Logaritma Fonksiyonu 4 Onluk ve Doğal Logaritma 4 Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri4 Üslü ve Logaritmalı Denklemler ve Eşitsizlikler 4 lü Test 44 ler 46 vii

57 5. BÖLÜM: DİZİLER ÖĞRETİMİ Diziler Öğretimi 47 Toplam Sembolü 47 Diziler 48 Monoton Diziler 48 Aritmetik Dizi 49 Geometrik Dizi 49 lü Test 5 ler 5 8. BÖLÜM: TÜREV VE İNTEGRAL ÖĞRETİMİ Türev ve İntegral Öğretimi 74 Türev75 Türevin Uygulamaları76 Belirli İntegral 78 Belirsiz İntegral 79 Belirli İntegralin Uygulamaları 79 lü Test 8 ler 8 6. BÖLÜM: FONKSİYON ÖĞRETİMİ Fonksiyon Öğretimi 54 Fonksiyon Kavramı 55 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi55 Venn Şeması ile Gösterim 56 Liste Biçiminde Gösterim 56 Grafiklerle Gösterim56 Cebirsel Gösterim 57 Fonksiyonların Grafiği57 Fonksiyon Türleri 58 Ters Fonksiyon 59 Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar59 Çift ve Tek Fonksiyon 60 Fonksiyonlarda İşlemler60 Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi 6 Fonksiyonların En Geniş Tanım Kümesi6 Parçalı Fonksiyonlar 6 Mutlak Değer Fonksiyonu 6 lü Test 64 ler BÖLÜM: GEOMETRİ ÖĞRETİMİ Geometri Öğretimi 84 Çocuklarda Geometrik Düşünmenin Gelişimi 85 Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Öğretimi90 Üçgenin Yardımcı Elemanları 9 Pisagor Bağıntısı 9 Trigonometrik Oranlar 9 Analitik Geometri 9 Çember ve Daire9 Geometrik Cisimler 94 Dönüşüm Geometrisi 96 lü Test 00 ler 0 Kaynakça 0 7. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖĞRETİMİ Limit ve Süreklilik Öğretimi 67 Limit 67 Süreklilik 69 lü Test 7 ler 7 viii

58 MATEMATİK NEDİR?.BÖLÜM MATEMATİK NEDİR? Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve düzen bilimi, kimilerine göre evrensel bir dil, kimilerine göre ise medeniyetten medeniyete zenginleşerek aktarılan sayılar, şekiller, uzaylar gibi soyut varlıkları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Ortak bir tanıma ulaşamamakla birlikte her tanımlamanın ya da betimlemenin doğruluk payının olduğu söylenebilir. Tanımlamaların büyük bir kısmında matematiğin konusunun sayılar, şekiller, fonksiyonlar vb. soyut varlıklar olduğu ve düşünme yapısının da tümdengelim olduğu ifade edilmektedir. Örnek İki çift sayının çarpımı, çifttir. önermesinde matematiksel düşüncenin hangi işletim yolu kullanılmaktadır? A) İndirgeme B) Genelleme C) Soyutlama D) Tümevarım E) Tümdengelim İki çift sayının çarpımı çifttir. önermesinin doğruluğu gösterilirken n ve k gibi iki çift sayı alınıp çarpılarak ispat yapılır. Yani en genel durum için önermenin doğruluğu gösterilmiş olur ve bilinir ki önerme her özel durum için de doğrudur. Genelden özele şeklinde özetlenebilen bu düşünce yapısı tümdengelimdir. Cevap E Bugünkü matematik bilginin ortaya çıkışı ile ilgili olarak iki yaklaşımdan söz edilmektedir:. Matematiği insanoğlu kendi icat etti.. Matematik evrende vardı, insanoğlu bunu yaşarken fark etti. Her iki ekolün de savunanları kendi yaklaşımlarını haklı çıkaracak bazı kanıtlar ortaya koymaktadır. Bunlardan ikinci yaklaşımı benimseyen grubun sunduğu örneklerden belki de en önemlisi Fibonacci Sayıları ve Altın Oran dır. İtalyan Matematikçi Leonardo Fibonacci nin meşhur tavşan probleminden yola çıkarak ulaştığı Fibonacci Dizisi,,,, 5, 8,, şeklinde olup bu dizideki her bir terimin kendinden önceki terime oranlanmasıyla oluşan yeni dizinin yakınsadığı,68 değeri de Altın Oran olarak bilinmektedir. Gerek ardışık Fibonacci sayıları ve gerekse Altın Oran sayısı doğada, resimde, müzikte, mimaride ve daha pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde insanoğlunun karşısına çıkmaktadır. Matematik yeni bilgilerin üretimi konusunda kendi kendine yeterlik özelliği ile diğer bilim dallarından farklılaşmaktadır. Yani matematiğin bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında dil ve mantık dışında bir şeye ihtiyaç yoktur. Matematik, belli bir düzen ve mantıksal sıralamaya sahip kavram ve işlemler üzerine kurulu bir bilimdir. Bu düzen veya intizamı bulmak ve keşfetmek ve sonrasında anlamlandırmak, tam anlamıyla matematik yapmak demektir. Mevcut matematik bilgisinin oluşmasına yönelik teorik matematikçiler amaç olarak matematik görüşünü savunurken uygulamalı matematikçiler ise araç olarak matematik görüşünü desteklemektedir. Genel inanış ise, bugünkü bilgilerin büyük kısmının matematik yapma amacıyla ve bir kısmının da günlük yaşam problemlerine çözüm ararken ortaya çıktığı yönündedir. Örnek Matematiksel bilginin türeyişinde katkısı olan bilim dalları hangileridir? A) Sosyoloji-Psikoloji B) Dil-Mantık C) Fizik-Kimya D) Tıp-Biyoloji E) Tarih-Edebiyat Matematiğin kendi kendine yeterlik özelliği olduğu hatırlanırsa yeni bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında katkısı olan bilim dalları sadece dil ve mantıktır. Cevap B Matematik bilgisinin doğasına bakış farklılaşabilmektedir. Matematik felsefesine bakıldığında bu farklı algılamalardan dolayı ortaya mutlakçı, kesinlikçi ve öznelci felsefeler çıkmıştır. Mutlakçılar Eflatuncular, matematiğin nesne ve yapılarının insandan bağımsız olarak var olduğunu iddia etmektedirler. Onlara göre matematik yapmak, bizden önce var olan bu nesne ve yapıların keşfedilmesidir. Matematiğin doğasına deneysel olarak bakan görüş, matematiksel doğruların deneysel yollarla genellenebileceğini söyler. Deneyselcilik, matematiği sağlam temeller üzerinde inşa etmeyi amaçlamış ve bunu deneysel kanıtlamalarla yapmaya çalışmıştır. Matematiği kendi içinde tutarlı bir yapıya kavuşturmak amacıyla onu mantıksal önermelere indirgemeye çalışan mantıkçılar olmuştur. Onlara göre matematik, mantıktan başka bir şey değildir. Mantığı kullanmaktaki amaç, matematiği kesin biçimde tanımlanmış çıkarsama kurallarına ve aksiyomlara dayandırmaktır. Bu görüşü savunanların başında Frege, Russell ve Peano gelmektedir.

59 MATEMATİK NEDİR?.BÖLÜM Formalistlere göre matematik, soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Sistemi oluşturan terimler anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeler içerikten yoksun birer önerme kalıbıdırlar. Formalistler matematiği, aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalışmışlardır. Bu görüşü savunanların başında Hilbert gelmektedir. Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullanmadan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğruluğunu görebilmesi, hissedebilmesidir. Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik arar. Onlar matematiksel kesinliği, insanın matematiksel tümevarım yeteneğine bağlamaktadır. Bildiğimiz en meşhur sezgiciler Brouwer ile Poincare dir. Yarı Deneyselciler Lakatos a göre, matematik felsefesi tarih, yöntem ve yanlışlanabilir bilgi kuramı boyutlarında ele alınmalıdır. Sosyal ve kültürel bir ürün olması nedeniyle matematikçiler yanılabilir ve ürünleri de mükemmel olmayabilir. Yarı deneyselci yaklaşım yanlışlanabilirlik kavramına vurgu yapar ve bu sistemde kuramlar ispatlanmaz, açıklanır ve doğrulukları onaylanır. Onlara göre, matematiksel doğrular her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır, dinamik bir yapıya sahiptir. Mutlakçılardan ve yarı deneyselcilerden farklı olarak gelenekselcilere göre, matematiğin bilgileri ve doğrulukları, dilbilim geleneklerinden etkilenir ve onlar tarafından şekillenir. Wittgenstein a göre, matematiksel ve mantıksal doğrular, dilin kabul edilen kurallarına ve gramerine bağlıysa ve bu durumda doğrular dilin kurallarını ve gramerini bozuyorsa yanlışlanabilirlikleri söz konusudur. Örnek Matematiği soyut nesne ve ilişkiler olarak ele alan ve sistemi oluşturan terimleri anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeleri içerikten yoksun birer önerme kalıbı olarak görenler hangi yaklaşımın savunucularıdır? A) Sezgici yaklaşım B) Deneyselci yaklaşım C) Mutlakçı yaklaşım D) Formalist yaklaşım E) Mantıkçı yaklaşım Formalist yaklaşımı savunanlar, matematiği soyut nesne ve ilişkileri konu alan bir sistem olarak görmektedirler. Cevap D Matematiği kendi içinde farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. Teorik-uygulamalı matematik, klasik-modern matematik, akademik-okul matematiği gibi. Teorik-Uygulamalı Matematik Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutuyla teorik (pür) matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve bu durumun kişiyi entelektüel doyuma ulaştırmasıdır. Hardy nin dediği gibi, "Teorik matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur." Teorik matematikçilerin ortaya koyduğu matematiksel bilgilerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matematikçilerin işidir. Biliyoruz ki çoğu teorik matematik ürünü daha sonraları pratik uygulama alanı bulmuştur. Klasik-Modern Matematik Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel işlemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan bir geometrinin ele alındığı matematiktir. 960 lı yıllarda ABD de başlatılan eğitim reformlarının sonucunda modern matematik kavramı ortaya çıkmıştır. Modern matematik, küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanılarak yapılan soyutlamalar ve birbirinden bağımsız gibi görünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlantılı hâle gelmiştir. Modern matematik müfredatı ülkemizde 970 li yılların başında uygulanmaya başlanmıştır. Akademik-Okul Matematiği Akademik matematik, teorik matematikçilerin uğraştığı matematik olarak tanımlanabilir. Akademik matematiğin amacı, matematiğin ulaşmış olduğu birikimi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır. Okul matematiği Toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz? sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili Ne öğretelim? ve Nasıl öğretelim? konusu ile ilgilenir. Akademik matematik ürünü bilgilerin genç nesillere aktarılması, okul matematiğinin işidir. Okullarda öğretilen matematiğin amacı her düzeyde bazı farklılıklar göstermektedir. İlköğretim ve ortaöğretim düzeyinde okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen matematik kültürü vermek ve temel matematiksel beceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini geliştirmektir. Yükseköğretim düzeyindeki okul matematiğinin amacı ise öğrenim görülen alana göre farklılaşmaktadır. Örneğin, Fen Fakültesi Matematik bölümünde okutulan matema-

60 .BÖLÜM MATEMATİK NEDİR? tiğin amacı, öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak iken Eğitim Fakültesinde okutulan matematiğin amacı, öğretmen adayına sahip olması gereken alan bilgisini sağlayan matematiği kazandırmaktır. Bu çerçevede matematik öğretiminin genel amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir: Öğrencilerin açık-seçik ve mantıklı düşünüp iletişim kurabilmelerine yardımcı olma Günlük yaşamda, gerçek dünyada ve başka konu alanlarında kullanılabilecek gerekli becerileri sağlama Örüntüleri, ilişkileri tanıma ve genelleme yapabilme yeteneğini geliştirme Yaratıcılığı ve sezgisel düşünmeyi geliştirme Zihinsel bağımsızlığı geliştirme Estetik değerleri geliştirme Dünyaya ve öteki kültürlere ilgiyi artırma Toplumun gelişmesine katkıda bulunma Buna göre okulda iyi bir matematik eğitimi alan öğrenci; Matematiğe değer vermeyi öğrenir, Matematiksel düşünme becerisi kazanır, Matematiği iletişim aracı olarak kullanır, Problem çözme becerisi kazanır. Örnek Aşağıda, matematik tarihinden bazı olaylar verilmiştir. I. Harezmi nin ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik çalışmaları II. Euler in i = - gösterimini kullanması III. Apollonuis un koniklerle ilgili çalışmaları IV. Descartes in analitik geometriyle ilgili çalışmaları Bu olayların kronolojik sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? A) I - III - IV - II B) III - IV - I - II C) III - I - IV - II D) I - III - II - IV E) III - I - II - IV İkinci dereceden denklemlerin çözümleriyle ilgili çalışmalar yapan Harezmi yıllarında, gösterimini ilk kez kullanan Euler yıllarında, i = - koniklerle ilgili çalışmalar yapan Apollonios M.Ö yıllarında ve analitik geometriyle ilgili çalışmalar yapan Descartes yıllarında yaşamıştır. Buna göre söz konusu olayların kronolojik sırası III-I-IV-II olur. Cevap C Örnek Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve böylece matematik biliminin farkında olmasını sağlamak hangi düzeyde okul matematiğinin amacıdır? A) Okul öncesi B) İlköğretim C) Ortaöğretim D) Yükseköğretim (Fen fakültesi) E) Yükseköğretim (Eğitim fakültesi) Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak, Yükseköğretim (Fen fakültesi) düzeyinde okutulan matematiğin amacını ifade etmektedir. Cevap D

61 MATEMATİK NEDİR?.BÖLÜM ÖABT Çıkmış Soru Mehmet Öğretmen bilgisayar ortamında yarıçapları farklı olan O eş merkezli hareketsiz iki çember ile O merkezi etrafında dönebilen bir doğru parçası çizmiştir. Daha sonra, bu doğru parçasını O etrafında, saat yönünde bir tam tur döndüren Mehmet Öğretmen Herhangi bir anda doğru parçası, büyük çember ile küçük çemberi sadece birer noktada kestiği için her iki çemberde eşit sayıda nokta vardır. açıklamasını yapmıştır. O Bir öğrenci, büyük çemberin çevresinin daha uzun olduğunu, bu yüzden iki çemberin eşit sayıda noktaya sahip olmalarının kabul edilemez olduğunu ifade etmiştir. Buna göre, öğrencinin bu durumla ilgili yaşadığı zorluğu gidermek isteyen öğretmenin aşağıdaki matematikçilerden hangisinin çalışmalarından yararlanması en uygundur? A) Cantor B) Descartes C) Fibonacci D) Boole E) Apollonius : Farklı yarıçapa sahip iki çemberin üzerindeki noktaların sayısının eşit olamayacağını düşünen söz konusu öğrencinin çemberi bir noktalar kümesi olarak göremediği ve etkinlikte yapılan işin sonsuz sayıda nokta içeren iki kümenin elemanlarının birebir eşlenmesi olduğunu kavrayamadığı anlaşılmaktadır. Öğrencisinin bu durumla ilgili yaşadığı zorluğu gidermek isteyen öğretmenin kümeler kuramının kurucusu olarak bilinen Cantor un çalışmalarından yararlanması en uygundur. Cevap A 4

62 .BÖLÜM MATEMATİK NEDİR? ÇÖZÜMLÜ TEST. Seda Öğretmen öğrencilerine matematiğin doğası konusunda fasulye bitkisinin helis eğrisi şeklinde büyüdüğü, bal peteklerinin her zaman altıgen olduğu, insan yüzünün uzunluğunun genişliğine oranının sabit olduğu gibi örnekler vermektedir. Buna göre Seda Öğretmen'in matematiğin doğasına ilişkin hangi görüşe sahip olduğu söylenebilir? A) Matematik icattır. B) Matematik keşiftir. C) Matematik hayattır. D) Matematik mutluluktur. E) Matematik mucizedir. 4. Bir sınıftaki öğrencilerden bazılarının matematiksel bilgiye ilişkin görüşleri aşağıdaki gibidir. I. Matematiksel bilgilerin büyük bir kısmı deneysel etkinliklerden elde edilmiştir. II. Matematiksel bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşı sonucunda elde edilmiştir. III. Matematiksel bilgilerin büyük bir kısmı doğal afetlerle mücadele sırasında elde edilmiştir. Buna göre öğrenci görüşlerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III. Pelin Öğretmen öğrencilerine bir çember yayı üzerinde nokta işaretletir, iki noktayı birleştirerek çember içinde oluşan bölge sayısını buldurur. Sonra aynı işlemi çember üzerinde, 4 ve 5 nokta işaretleterek tekrar ettirir. Bu etkinlikten hareketle öğrencilerden çember üzerinde işaretlenen nokta sayısı ile çember içinde oluşan bölge sayısı arasında bir ilişki olup olmadığını düşünmelerini ister. Öğrencilerin alınan n nokta için n- bölge bulunduğunu söylemeleri üzerine, etkinliği son kez çember üzerinde 6 nokta alarak tekrar etmelerini ister. Pelin Öğretmen bu etkinlikle hangi düşünme yapısına dikkat çekmeyi amaçlamaktadır? A) İndirgeme B) Özelleştirme C) Tümevarım D) Tümdengelim E) Soyutlama 5. Aşağıdakilerden hangisi matematik derslerinde doğadan ve günlük yaşamdan örnekler vermenin sağlayacağı öncelikli yararlardan değildir? A) Matematiğe değer verme B) Matematiğin önemini anlama C) Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirme D) Farklı alanlarda matematikten yararlanma E) Matematik dersinde başarılı olma. Kaan Öğretmen öğrencilerine Bir dişi arının hem annesi hem babası vardır. Buna karşın erkek arının yalnız annesi vardır. Buna göre elinizde bir erkek arı olsa, bu arı 0 nesil geriden kaç arıdan gen almıştır? sorusunu yönelterek hangi bilgiye dikkat çekmeyi amaçlamaktadır? A) Fourier serisi B) Taylor dizisi C) McLaurin serisi D) Fibonacci dizisi E) Cauchy dizisi 6. Matematik bilgisinin doğasına ilişkin farklı algılamalardan dolayı ortaya mutlakçı ve yarı deneyselci felsefeler çıkmıştır. Aşağıdakilerden hangisi mutlakçı yaklaşımı savunan bilim adamlarından değildir? A) Lakatos B) Hilbert C) Frege D) Russell E) Poincare 5

63 MATEMATİK NEDİR?.BÖLÜM 7. Matematiksel doğruların her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kaldığını ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açık olduğunu ileri sürenler hangi yaklaşımın savunucularıdır? A) Sezgici yaklaşım B) Formalist yaklaşım C) Mantıkçı yaklaşım D) Yarı deneyselci yaklaşım E) Geleneksel yaklaşım 9. Doğal sayılar kümesini aksiyomatik olarak tanımlayan ve matematik felsefesinin önemli mantıkçılarından biri olan bilim insanı aşağıdakilerden hangisidir? A) Peano B) Russell C) Pascal D) Poincare E) Cantor 8. Klasik matematik bilgisine dayalı öğretim programları uygulaması ülkemizde hangi yıllarda terk edilmiştir? A) 950 li yıllar B) 960 lı yıllar C) 970 li yıllar D) 980 li yıllar E) 990 lı yıllar 0. Sevgi Öğretmen öğrencilerini gruplara ayırarak sınıfta işlediği konu ile ilgili yeni kavramlar üzerinde tartışmalarını ister. Sevgi Öğretmen'in bu etkinliği yapmasının öncelikli amacı aşağıdakilerden hangisidir? A) Matematiğe değer verme B) Problem çözme C) Matematikte öz güven sağlama D) Matematiksel düşünme E) Matematik dilini kullanma 6

64 .BÖLÜM MATEMATİK NEDİR? ÇÖZÜMLER. Derste verilen örnekler doğada matematiğin var olduğu ve insanoğlunun bu durumu yaşarken fark ettiğine yönelik olup Seda Öğretmen'in Matematik keşiftir. görüşünü benimsediği söylenebilir. Cevap B 6. Hilbert, Russell, Poincare ve Frege mutlakçı görüşe sahip iken Lakatos yarı deneyselci olarak mutlakçı yaklaşımı savunanlardan değildir. Cevap A 7. Yarı deneyselci yaklaşıma göre, matematiksel doğrular her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır.. Pelin Öğretmen öncelikle öğrencilerine sonlu sayıda özel durum üzerinden bir genelleme yaptırmış, sonrasında ise yaptıkları genellemenin hatalı olduğunu fark etmelerini sağlamıştır. Yeter sayıda özel durumdan hareketle matematiksel ilişkiler üzerinde genelleme yapmak Tümevarımsal düşünme yapısını işaret etmektedir. Cevap D Cevap C li yılların başında klasik matematik bilgisine dayalı öğretim programları terk edilerek ülkemizde modern matematik müfredatı uygulanmaya başlanmıştır.. Kaan Öğretmen'in sormuş olduğu arı probleminin çözümünde önceki nesillerden gen veren arı sayıları öğrencileri,,,,5,8,,,4,55, dizisine ulaştıracak olup bu dizi matematikte Fibonacci dizisi olarak bilinir. Cevap D Cevap C 9. Doğal sayılar kümesini aksiyomatik olarak tanımlayan mantıkçı görüşe sahip İtalyan matematikçi Giuseppe Peano dur. 4. Öğrencilerin matematiksel bilgiye ilişkin görüşlerinden sadece Matematiksel bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşı sonucunda elde edilmiştir. bilgisi yani Yalnız II doğrudur. Cevap B Cevap A 0. Sevgi Öğretmen'in öğrencilerinin matematiksel kavramlar üzerinde tartışmalarını istemesinin öncelikli amacının öğrencilerin matematik dilini kullanarak iletişim kurmalarını sağlamak olduğu söylenebilir. 5. Matematik dersinde başarılı olma, matematik derslerinde doğadan ve günlük yaşamdan örnekler vermenin sağlayacağı öncelikli yararlardan değildir. Cevap E Cevap E 7

65 .BÖLÜM MATEMATİ İ Ö RENME VE Ö RETME MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETME Hayatımız boyunca sahip olduğumuz öğrenmelerimizi bilişsel, duyuşsal ve devinişsel olarak üç farklı öğrenme alanına ayırabiliriz. Bilişsel Öğrenme Alanı Bu alan teori, kural, kavram, problem çözme yöntemleri gibi zihinsel düşünmeyi gerektiren öğrenmeleri içermektedir. Bilişsel öğrenmeler Bloom taksonomisi olarak bilinen ve yüzeysel öğrenmeden derinlemesine öğrenmeye doğru sıralanmış bilgi - anlama - uygulama - analiz - sentezdeğerlendirme basamaklarından oluşmaktadır. Son yıllarda mevcut tek boyutlu taksonomi bilgi boyutu ve bilişsel süreç boyutu şeklinde iki boyutlu olarak yenilenmiştir. Örnek Bir bilginin uzun süreli bellekte var olan bir şemayla ilişkilendirilmesi veya yeni bir şema oluşturulmasına ne denir? A) Davranış B) Öğrenme C) Algı D) Bellek E) Hatırlama Bir bilginin bellekte daha önceden var olan bir şemayla ilişkilendirilmesi veya yeni bir şema oluşturulmasına öğrenme denir. Cevap B BİLGİ BOYUTU A. OLGUSAL BİLGİ B. KAVRAMSAL BİLGİ C. İŞLEMSEL BİLGİ D. ÜSTBİLİŞSEL BİLGİ. Hatırlama. Anlama BİLİŞSEL SÜREÇ BOYUTU. Uygulama Duyuşsal Öğrenme Alanı 4. leme Değerlendirme Yaratma Bu alan ilgi, tutum, inanç, sevgi, korku gibi manevi boyutu olan öğrenmeleri içermektedir. Bu alana özgü öğrenmeler de alma - davranımda bulunma - kıymet biçme-yeniden düzenleme - kendine mal etme şeklinde basitten karmaşığa hiyerarşik bir yapıya sahiptir. Devinişsel Öğrenme Alanı Bu alan kısaca becerilerin elde edilmesi ve uygulanmasını içermektedir. Bu alanla ilgili öğrenmeler acemilikten ustalığa doğru gözlem - taklit - uygulama pekiştirme-yeni duruma uydurma şeklinde sıralanabilir. Eğitim tarihine bakıldığında birçok eğitim bilimcinin öğrenmenin nasıl oluştuğu sorusuna cevap aradığı ve araştırmaları sonucunda bazı öğrenme modelleri önerdiği görülmektedir. Mevcut öğrenme kuramları, ilgilendikleri ana unsur itibariyle davranışçı yaklaşımlar ve bilişsel yaklaşımlar şeklinde iki sınıfa ayrılabilir Davranışçı Yaklaşım Bu akım insan ve hayvan davranışlarında, çevrenin etkisiyle oluşan değişimlerin gözlem ve deneylerle tespit edilmesi ve incelenmesi üzerine kurulmuştur. Davranışçılar, canlıyı etkileyen dış uyarıcıların olduğunu ve bu uyarıcılara karşı verilen tepkiler sonucu davranışların oluştuğunu varsayarlar. Bu yaklaşıma göre insanın nasıl öğrendiği ya da bildiğine ilişkin çalışmalar, beynin içinde ne olup bittiğinden çok insanın hangi uyaranlara ne gibi tepkiler verdiği üzerinde durmalıdır. Davranışçılar öğrenmeyi koşullanma ve model alma ile açıklamaktadır. Koşullanmanın gerçekleşebilmesi için uyarıcı (etki)-tepkipekiştireç döngüsünün tamamlanması gereklidir. Eğitim, bireyde istendik davranışları geliştirme süreci olarak tanımlanır. Davranışları değiştirmeyi amaçlar. Öğrenme, uyarıcı-tepki arasında bağ kurma işlemidir. Bir uyarıcıya istenilen tepkinin verilmesi öğrenme olarak kabul edilir. Öğrencinin olumlu davranışları pekiştirilir ve alışkanlık oluşturulur. Davranışçı yaklaşıma göre temel öğrenme süreci vardır: klasik koşullanma, edimsel (operant) koşullanma, gözlem yoluyla öğrenme. Klasik Koşullanma Klasik koşullanma Rus bilim adamı Ivan Petroviç Pavlov un yaptığı çalışmalar sonucu ortaya koyduğu bir öğrenme kuramıdır. Pavlov organizmanın başlangıçta nötr olan ve herhangi bir tepkiye yol açmayan bir uyarıcının organizmanın herhangi bir tepkisine neden olan bir uyarıcıyla birlikte verilmesi durumunda nötr olan uyarıcıya organizmanın tepki verebileceğini ileri sürmüştür. Klasik koşullanma ilkeleri; bitişiklik, haber vericilik, genelleme, ayırt etme, sönme, kendiliğinden geri gelme şeklindedir. 8