GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI"

Transkript

1 T.C GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Hazırlayan: Emel ÇETİNKAYA Danışman: Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU 007-TOKAT

2 GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI Emel ÇETİNKAYA YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Bu tez./ / tarihinde aşağıda elirtilen jüri tarafından Oyirliği/Oyçokluğu ile kaul edilmiştir. Ünvanı, Adı ve Soyadı İmza Başkan : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU Üye Üye : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU : Doç. Dr. Muzaffer CAN ONAY : Bu tez, / / 007 tarih ve. sayılı Enstitü Yönetim Kurulu tarafından elirlenen jüri üyelerince kaul edilmiştir. / /007 Prof. Dr. Metin YILDIRIM

3 i ÖZET NÜKLEER KABUK MODELİ KULLANILARAK BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI Emel ÇETİNKAYA Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anailim Dalı Yüksek Lisans Tezi 007, 80 sayfa Danışman : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jüri : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU Jüri : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jüri : Doç. Dr. Muzaffer CAN Bu çalışmada çekirdeğin Kauk modeli kullanılarak çekirdeklerin enerji seviyelerinin enerjisi için oluşturulan formüller yeni yöntemle hesaplanmıştır. Bu formüller kullanılarak azı hafif çekirdeklerin ( 30 4 Si 6, 4 Mg, 0 Ne, 3 6 S 6 ) enerji seviyelerinin enerjileri, saf ve karışık durumlar için hesaplanmıştır. Enerji seviyelerinin incelenmesinde kullanılan modelden elde edilen sonuçlar literatürdeki enzer çalışmaların teorik ve deneysel sonuçları ile karşılaştırılmıştır ve uyum içinde olduğu görülmüştür. Hesaplamalardan görülmüştür ki genel olarak hafif çekirdeklerin enerji seviyelerinin incelenmesinde konfigürasyon karışımı dikkate alınırsa alınan sonuçlar daha hassas olur. Anahtar Kelimeler: Çekirdeklerin enerji seviyeleri, Kauk modeli, Clesh-Gordan katsayıları, Konfigürasyon karışımı

4 ii ABSTRACT CALCULATION OF THE ENERGY LEVELS OF SOME LİGHT NUCLEİ BY USİNG SHELL MODEL Emel ÇETİNKAYA Gaziosmanpaşa University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics Science Masters Thesis 007, 80 pages Supervisor : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jury : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU Jury : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU Jury : Assoc. Prof. Dr. Muzaffer CAN In this study the formulas which are estalished y using the nuclear Shell model for energy levels of nucleus have een investigated from a new method. By using these formulas the energy levels of some light nuclei ( 30 4 Si 6, 4 Mg, 0 Ne, 3 6 S 6 ) have een calculated for pure and mixed states. The results otained from the model which is used to investigate the energy levels have een compared to the theoretical and experimental data from literature and it has seen een seen that the otained results are in good agreement with those data. From calculations it has een seen that if we take account the configuration mixing in investigation of energy levels of light nucleus otained results are more accurate. Keywords: Energy levels, Shell model, Clesh-Gordan coefficients, Configuration mixing

5 iii TEŞEKKÜR Yüksek lisans çalışmalarım oyunca engin ilgi ve tecrüeleriyle yanımda olan, hoşgörü ve desteğini hiçir zaman esirgemeyen saygıdeğer danışman hocam Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU na sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Tez dönemi oyunca üyük ir saır ve iyi niyetle ana yardımcı olan çok değerli arkadaşım Araş. Gör. Erhan ESER e destek ve dostluğundan dolayı çok teşekkür ederim. Ayrıca yardımlarından dolayı arkadaşlarım Araş. Gör. Savaş SÖNMEZOĞLU, Araş. Gör. Songül FİAT ve Hüseyin KOÇ a teşekkür ederim. Hayatım oyunca gösterdikleri maddi-manevi destek ve saırlarından dolayı değerli aileme en içten teşekkürlerimi sunarım.

6 iv İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT. ii TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER iv ŞEKİLLER LİSTESİ.. v TABLOLAR LİSTESİ... vi.giriş..literatür ÖZETLERİ.. 3..Nükleer Enerji Seviyeleri 3..Shell (Kauk) Modeli 4.3.Pertürasyon Teori 9.4. Bağlanma ve Uyarılma Enerjileri 3.5. Konfigürasyon Karışımı Durumları Konfigürasyon Karışımı Uygulamarı HESAPLAMALAR Si 6 Çekirdeği için Enerji Hesaı Mg Çekirdeği için Enerji Hesaı Ne Çekirdeği için Enerji Hesaı S 6 Çekirdeği için Enerji Hesaı SONUÇ ve TARTIŞMA 76 KAYNAKLAR.. 77 ÖZGEÇMİŞ... 80

7 v ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil Sayfa.. C çekirdeğinin uyarılmış durumlarının enerji seviye diyagramı 3. Kare kuyu potansiyeli ve Harmonik osilatör potansiyeli Kauk modeli potansiyeli Kauk modeli potansiyeli enerji düzeyleri Si 6 çekirdeğinin enerji seviyeleri diyagramı Mg çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı Ne çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı S çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı. 75

8 vi TABLOLAR LİSTESİ Talo Sayfa Si un 8 Si koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri 35 6 Mg un 4 Mg koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri Ne nin 0 Ne koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri Si un 30 Si koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri

9 . GİRİŞ İlk kez 9 yılında Rutherford un atom çekirdeğinin varlığını önermesiyle aşlayan çekirdek çalışmaları giderek artan ir önemle günümüze kadar devam etmektedir. Bu konuda fiziğin pek çok dalında, çekirdeğin yapısını düzenleyen kurallar ve çekirdeğin özelliklerinin elirlenmesi üzerine günümüze kadar pek çok çalışma yapılmıştır. Yapılan u çalışmalarda çekirdeklerin uyarılmış durumları, spini, yarıçapı, yarı ömrü, ozunma modları, tesir kesitleri, v. gii özellikleri elirlenmeye çalışılmıştır. Çekirdeklerin uyarılmış durumları yoğun olarak çalışılan ir konu olup, çekirdeğin u özelliğini tanımlamak ve çekirdeklerin enerji seviyelerini (uyarılmış durumlarını) hesaplamak karışık matematiksel işlemler gerektirir. Nükleer ilimciler unun yerine, çekirdeği tanımlayan ve karışık matematiksel işlemleri ortadan kaldıran nükleer modeller geliştirmişlerdir. Herhangi ir çekirdek modeli tek aşına çekirdeğin ütün özelliklerini açıklamakta yeterli değildir. Sonuçta, her iri; ir takım kaullere dayanan ve sınırlı şekilde kullanılailen modeller ortaya çıkmıştır. Çekirdek yapısını ve çekirdeklerin özelliklerini açıklayailmek için ortaya çıkan çekirdek modellerinin temelinde potansiyeller için elirli varsayımlar ulunduğundan modelin aşarısı potansiyel seçiminin doğruluğuna ağlıdır. Bu çekirdek modelleri, çekirdeklerin özelliklerinin anlaşılmasında, çekirdeklere ait deneysel verilerin yorumlanmasında ve ağlanma enerjisinden sorumlu mekanizmaların anlaşılmasında yararlı olmuştur ( Serway, 995). Bu modellerin azıları şunlardır (Dincel, 00 ); - Sıvı damla Modeli - Shell ( kauk) Modeli 3- Fermi-gaz Modeli 4- Kollektif Model 5- Optik Model

10 6- Deformasyon Modeli 7- Doğrudan etkileşme Modeli. Bu çalışmada; Kauk modelini dikkate alarak, azı hafif çekirdekler için enerji seviyeleri, saf durum ve karışık durum dikkate alınarak ayrı ayrı hesaplanmıştır ve enerji seviyelerinin hesaplanmasında kullanılan modelin ne kadar doğru ir yaklaşım olduğu elirlenmiştir. Elde edilen teorik sonuçlar diğer araştırmacıların teorik ve deneysel sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Alınan sonuçlardan genel olarak hafif çekirdeklerin enerji seviyelerinin ulunmasında karışık durumlarının dikkate alınması gerekliliği ortaya konulmuştur.

11 3. LİTERATÜR ÖZETİ.. Nükleer Enerji Seviyeleri Çekirdek atom gii, özellikleri ve yeri kuantum mekaniği kuralları ile elirlenen enerji seviyelerine sahiptir. Uyarılmış durumların yerleri her ir çekirdek için farklıdır, ve uyarılma enerji, E x, her ir çekirdeğin iç yapısına ağlıdır. Her ir uyarılmış durum, durumların açısal momentum, parite ve izospin ini tanımlayan kuantum sayıları ile karakterize edilir. Örnek olarak, Şekil de C çekirdeğinin uyarılmış enerji seviyeleri görülmektedir. π J, T E ( MeV) n (8.7) p (6.0), 5.,0.7 3, ,0 7.65, X 0,0 0.0 Şekil.. C çekirdeğinin uyarılmış durumlarının enerji seviye diyagramı. Diyagramın üstünde ir proton (p) ve nötron (n) için ayrılma enerjileri verilmektedir. Açısal momentum kuantum sayısı, J, kesirli veya tamsayıdır. Bir nükleer enerji seviyesinin paritesi, P, durumun nükleer yapısının nasıl göründüğünü açıklayan ir ifadedir. Eğer tüm

12 4 nükleonların koordinatları korunmuşsa, P= mevcut durumun orijinali gii olduğu, yani değişmediği, P= - mevcut durumun orijinal durumdan farklı olduğu anlamına gelir. İzospin kuantum sayısı, T, kesirli veya tam ir sayıdır. Şekil.de her ir uyarılmış durum için u kuantum sayıları P J, T şeklinde gösterilmektedir. Bu kuantum sayıları ir çekirdekteki nükleonların ağlanma enerjisini etkileyen kuvvet kanunlarının temel simetrilerinin sonuçlarıdır. Bu kuantum sayıları ir uyarılmış durumun aynı çekirdekte ir diğer duruma nasıl ozunacağını (gamma ozunumu) veya farklı ir çekirdekte özel ir duruma nasıl gireceğini elirler ( eta veya alfa ozunumu). Enerji seviyelerini ve onların özelliklerini hesaplamak için ir çok nükleonlar arasındaki etkileşmeleri çözümlemek karışık matematiksel işlemlerdir. Bu yüzden nükleer ilimciler matematiksel işlemleri asitleştirmek ve çekirdeği tanımlamak için nükleer modeller geliştirmişlerdir... Shell (Kauk) Modeli Kauk modeli, protonların ve nötronların sihirli sayıları ile irlikte çekirdeğin kararlılığını ve tek-a lı çekirdeklerin taan durum spin, parite ve dipol momentini üyük ir aşarı ile açıklamaktadır (Krane, 00; Gedikoğlu, 988). Kauk modelinde, çekirdeğin özelliklerinin elirlenmesinde çiftleşmiş nükleonların oluşturduğu kor un etkisi ihmal edilir. Bu modelde, tek A lı ir çekirdeğin taan durum özellikleri, A- tane nükleonun toplam spini sıfır olacak şekilde çiftleştikten sonra, kalan çiftlenmemiş tek nükleonun kuantum sayıları tarafından elirlenir ve aşağıdaki iki temel varsayım üzerine kurulmuştur: - Çekirdekte ulunan nükleonlar, ir V(r) potansiyelinde ağımsız olarak hareket ederler. Bu potansiyel, ir nükleona diğer tüm nükleonlardan gelen ortalama etkiyi gösterir ve sadece radyal uzaklığa ağlı olup, tüm çekirdekler için aynıdır.

13 5 - Enerji seviyelerinin tümü, Pauli dışarlama prensiine göre nükleonlar tarafından doldurulur. A tane nükleon içeren çok nükleonlu ir sistemin Hamiltonyeni; A A A p i H = V( ri) U(r ij) V( ri) i= mi i,j= i= H 0 A p i V( ri ) i= mi A A H' = V( rij ) U(r ij) V( ri ) i,j= i= (.) (.) Burada, p i / m i ve V(r i ) sırasıyla, kinetik enerji ve i. numaralı nükleonun hareket ettiği ortalama merkezsel potansiyeldir. Böyle ir sistemde nükleonlar Pauli dışarlama ilkesine uyarlar. Buna göre dalga fonksiyonu nükleonların yer değiştirmelerine göre antisimetriktir. ψ ( r, r ) = ψ ( r, r ) (.3) Buna göre A nükleonlu ir sistemin genel dalga fonksiyonu aşağıdaki gii ir slater determinantıyla ifade edileilir. ψ (,,3,..., A) ψ () ψ () ψ ()... ψ () a c p ψa() ψ() ψc()... ψ p() = A! ψ ( A) ψ ( A) ψ ( A)... ψ ( A) a c p (.4)

14 6 Burada ψ () i ler i numaralı nükleonun j halini göstermektedir. Çekirdeğin Kauk modeli, j verilen ir nükleonun diğer tüm nükleonlar tarafından içimlenmiş etkili çekici ir potansiyelde hareket ettiğini varsayar. Çekirdekteki potansiyeli aşağıdaki gii sonsuz kare kuyu potansiyeli olarak düşünürsek, ir nötron veya ir protonu ayırmak için onu kuyudan dışarı çıkarmaya yetecek enerjiyi, sonsuz üyüklükte sağlamamız gerekir. V0, r < r0 V() r = 0, r r0 (.5) Sonsuz kuyu potansiyeli, Denklem (.5) ve Şekil a de görüldüğü gii potansiyel ortalama R yarıçapından sonra r ye doğru düzenli olarak azalması gerekirken aniden azaldığından dolayı nükleer potansiyel seçimi için iyi ir yaklaşım değildir. Potansiyel enerjinin irden sıfır olması çok kararlı ir çekirdek olması demektir. Şekil.. a) Kare kuyu potansiyeli, ) Harmonik osilatör potansiyeli

15 7 Diğer taraftan Denklem (.6) daki gii harmonik salınıcı potansiyeli (Şekil ) keskin ir şekle sahip değildir ve yine sonsuz ayrılma enerjisi gerektirir (Krane, 00). Başka ir şekilde izah etmek gerekirse; Kare kuyu potansiyeli ve Harmonik osilatör potansiyeli ile tüm sihirli sayılar elde edilemediğinden dolayı, Kauk modeli potansiyeli için doğru ir potansiyel değildir. Doğru potansiyel tüm sihirli sayıları vermelidir. Bu prolemi ortadan kaldırmak için, Denklem(.7) deki gii, u iki potansiyel arasında ir şekle sahip olan Şekil 3 deki gii ir potansiyel seçeriz (Krane, 00). V(r) V m w r = 0 (.6) V r V = (.7) exp[( r R) / a] ( ) 0 Şekil.3. Kauk modeli potansiyeli R ve a parametreleri sırasıyla ortalama yarıçap ve yüzey kalınlığını verir. /3 R.5 A fm ve a=0.54 fm olarak seçilir. V 0 kuyu derinliği uygun ayrılma enerjilerini verecek şekilde ayarlanır ve 50 MeV merteesindedir. Bu durumda elde edilen enerji düzeyleri aşağıda Şekil 4 de gösterilmiştir.

16 8 Şekil 4 de, solda, ara durum, Şekil 3 de verilen potansiyel ile hesaplanan enerji düzeyleri gösterilmiştir. Her düzeyin sağında o düzeyin kapasitesi, üstünde de o düzeye kadarki toplam nükleon sayısı gösterilmektedir. Kaukların sırasıyla ( ) kadar nükleon doldurmasıyla, 8 ve 0 sihirli sayılarını elde edeiliriz, ancak hesaplamalar daha üyük sihirli sayıları vermemektedir. Şekil 4 ün sağında spin-yörünge etkileşmesinin etkisi gösterilmiştir. Spin-yörünge etkileşmesi l>0 lı düzeylerin iki yeni düzeye ayrılmasına neden olur. Burada Kauk etkisi çok açıktır ve sihirli sayılar tam olarak elde edilmektedir.

17 9 Şekil.4. Solda Kauk modeli potansiyeli enerji düzeyleri; sağda spin-yörünge etkileşmeli Kauk modeli potansiyeli enerji düzeyleri.3. Pertürasyon Teori Fenciler geliştirilen kuramların deneysel gözlemlerle uyumlu olmasını isterler. Bu nedenle hesaplamalarda deneyler kadar sağlıklı olmalıdır. Fakat tam çözüm mümkün değilse yaklaşık hesaplamadan aşka yol yoktur. Buna göre yaklaşık hesaplama, uygulanan deneysel yöntemden kötü değilse, tam çözüme gerek yoktur. Bu yöntemlerden iride

18 0 pertürasyon yöntemidir. Bu yöntem, Schrödinger denklemini tam olarak çözeildiğimiz ir prolemde Hamiltonyene küçük ir katkı geldiği zaman uygulanır. (Karaoğlu, 006) Bu yüzden, nükleer taan durum ve uyarılmış durumların çeşitli özelliklerini hesaplayailmek için u durumlara uygun dalga fonksiyonlarının ilinmesi ve dalga fonksiyonların çok cisimli Shrodinger denkleminin çözülmesi gerekir. Bir sistemin Shrodinger denklemi: ( (),..., ( )) φ( (),..., ( )) Hφ r ra = E r ra (.8) olup, Hamiltonyeni H : A H = Tk ( ) Wkl (, ) A (.9) k= = k< l gii verilir. Bu Hamiltonyen çekirdekteki tüm nükleon çiftlerinin kinetik enerji terimleri T(k) ve nükleon-nükleon etkileşim terimleri W(k,l) nin toplamından oluşur. Bu çok-cisim proleminin kesin ir çözümü ulunmamaktadır. Yaklaşık ir çözüm olarak, tek-parçacık potansiyeli U(k) nın uygulanmasıyla, Shrodinger denklemi aşağıdaki gii yeniden yazılailir; A A A H = T k U k W k l U k = H H k= = k< l k= () { ( ) ( )} (, ) ( ) (.0) Bu denklem herhangi ir U(k) potansiyel seçimi için elette uygundur, fakat residual etkileşimlerin etkisini mümkün olaildiğince azaltmak açısından pertürasyon teoriyi uygulamak avantajlı olacaktır.

19 A H = W( k, l) U( k) A (.) = k< l k= U için yaklaşım olarak genelde Harmonik osilatör potansiyeli veya Saxon-Woods potansiyeli kullanılır. (Brown, 984; 00; Negele, 970). φ ( r) olmak üzere Schrödinger denklemi a, tek parçacık durumları Tφ () r Uφ () r = eφ () r (.) a a a a olur. Burada e a özdeğeri, tek parçacık enerjisini ve a ise nljm> tek parçacık durumlarını gösterir. φ φ ( r() )... φ ( r( A) ) sağlar, tek parçacık fonksiyonları Shrodinger denklemini a a a A H φ = E φ (.3) a a a Pertüre olmayan Hamiltonyen; A H Tk Uk ( ( ) ( )) (.4) k = ve pertüre olmayan enerji; E a A = e (.5) k = ak gii ifade edilir. Burada a ütün tek parçacık durumlarını temsil eder. Ürün fonksiyon ( (),..., ( )) φ a r r A, çok parçacıklı dalga fonksiyonu olmasına rağmen Pauli dışarlama prensiinden dolayı tam ir antisimetriklik gerektirir. E ( 0) enerjili ve A-parçacıklı antisimetrik dalga foksiyonları, φ ( (),..., ( )) a r r A a fonksiyonlarının yaklaşık lineer kominasyonlarının alınmasıyla oluşturulailir. Bir nükleer durumu elirlemek için,

20 toplam açısal momentumu ve izospini iyi tanımlanmış ir dalga fonksiyonu oluşturmak gerekir. Bu seeple, tüm antisimetri ve iyi tanımlanmış toplam açısal momentum ve izospin şartlarının sağlanması için, φ ( (),..., ( )) a r r A lineer kominasyonları gerekir. Şu andan itiaren; ( r(),..., r( A) ) ürün fonksiyonlarının daha komplike φ Γ ile gösterilen gerçek dalga fonksiyonlarını kurmayı aşardığımızı farzediyoruz, urada kuantum numaralarının açıkça elirtilmesi gerektiğinden verilen durumlar ir Γ semolüyle gösterilecek. Γ semolu toplam spin J ve izospin T yi içerir. Denklem (.) ile verilen H () residual etkileşmeler pertürasyon olarak hesaa katılırsa, Shrodinger denkleminin çözümleri olan Ψ Γ gerçek dalga fonksiyonları ile E Γ enerjileri yaklaşık olarak hesaplanailir veya tahmin edileilir. Pertürasyon teorisinde yapılacak ilk şey Ψ Γ nın gerçek özfonksiyon dağılımını ve E Γ gerçek özenerjilerini elirlemektir: φ = φ φ (.6) () Γ Γ Γ E = E E (.7) () Γ Γ Γ Burada () φ Γ ve E () Γ ; sırasıyla pertüre olmayan durumdaki dalga fonksiyonu ve enerjideki küçük değişimleri elirtir. Denklem (.0), (.6) ve (.7) u Denklem (.8) de yerine yazarsak; ( H )( ) ( )( H () φ () E E () () Γ φγ Γ Γ φγ φγ ) =. (.8) Denklem (.8), sıfırıncı ve irinci derece terimlerine ayrılırsa; H φ = E φ (.9) Γ Γ Γ H () φ Γ () H φ Γ = E Γ () φ Γ () E Γ φ Γ (.0)

21 3 Denklem (.0) ü soldan φ Γ ile çarparsak; () E Γ φ Γ φ Γ = φ Γ () H φ Γ φ Γ H - E Γ () φ Γ (.) Denklem (.9) ye göre, H hermit operatör olduğundan, Denklem (.) ün sağdan.terimi sıfır olur. Böylece φ Γ normalize fonksiyonları için; () E Γ = φ Γ () H φ Γ (.) elde edilir. Bu ize; residual etkileşmelerden kaynaklanan H () enerji değişiminin, pertüre olmayan durumdaki residual etkileşmenin eklenen değeri olarak hesaplanaileceğini gösterir. Denklem (.5), (.7) ve (.) e göre φ Γ durumunun enerjisi aşağıdaki gii verilir. E = E E = () Γ Γ Γ φ Γ H H () φ Γ A () = ea φ H φ k Γ Γ (.3) k = Burada irinci terim: tek-parçacık enerjilerinden gelen katkıyı, ikinci terim: residual etkileşmelerden gelen katkıyı verir..4. Bağlanma ve Uyarılma Enerjileri Çekirdeğin ağlanma enerjisi E, çekirdeği serest proton ve nötronlara ayırmak için gerekli olan toplam enerjinin negatif değeri olarak tanımlanır. Genelde ağlanma enerjisi pozitif işaret olsa da urada negatif işaret kullanılmıştır ve çekirdeğin Hamiltonyeninin eklenen değeri ile daha doğrudan ir ilişkisi vardır. Bağlanma enerjisinin kesin değeri, çekirdeğin taan durumunda en üyüktür. n. uyarılmış durumun uyarılma enerjisi Ex ( n ), E ( n ) ağlanma enerjisinden ve taan durum ağlanma enerjisinden aşağıdaki gii ulunur. (Brussaard ve Glaudemans, 977). E ( n) = E ( n)- E (.4) x

22 4 Eylemsiz (hareketsiz) ir koru ve p oritalinde iki nükleonu ulunan ir çekirdek düşünelim. Bu çekirdeğin toplam ağlanma enerjisine katkıda ulunan pek çok terim vardır. Bu durumda çekirdeğin toplam ağlanma enerjisi aşağıdaki şekilde yazılailir. E kor p = e E p E kor (.5) () Γ( ) p Γ ( ) ( ) Denklem (.5) de ki her terim asit ir fiziksel yoruma sahiptir. e p terimi; p yörüngesinde ağımsız olarak hareket ettiği düşünülen iki parçacığı potansiyel kuyudan çıkarmak için gerekli olan enerjinin negatif değerini elirtir. Genellikle u potansiyel kuyunun kor dışındaki parçacıkların sayısına ağlı olmadığı varsayılır. Kor dışındaki iki () parçacığın karşılıklı etkileşmesinden ağlanma enerjisine gelen katkı E Γ ( p ) ile verilmiştir. Bu terim yalnızca p yörüngesine değil aynı zamanda, J Γ spinine ve T Γ izospinine de ağlıdır. Sonuncu terim, E ( kor) ise, kor içindeki parçacıkların ağlanma enerjisini temsil eder. Kapalı kauk korunun eylemsiz (hareketsiz) olduğu kaul edilirse ( u demektir ki; kapalı kauk konfigurasyonunu devam ettirecek ve uyarılmayacak) E ( kor) terimi sait olur. Kor iki nükleon sisteminin taan durumu toplam enerjinin minimumu ile karakterize edilir. İki parçacığın değişik Γ değerlerinde çiftlendiği ve iki nükleondan irinin veya her ikisinin irden farklı ir tek parçacık yörüngesinde uyarıldığı durumların hepsi uyarılmış durumu elirtir. Bu durumda toplam Hamiltonyen aşağıdaki gii alınır: H = H H (.6) kor A A A Hkor = T( k) U( k) ] W( k, ) U( k) (.7) k= 3 3= k< e k= 3

23 5 H A A [ T ( k) U ( k) ] W ( k, ) W (,) U ( ) = (.8) k= k= l= 3 k= k Burada H kor, kor parçacıkları arasındaki etkileşmeyi temsil ediyor (k=3,,a). Kor un hareketsiz olduğu kaul edilirse toplam enerjiye H kor un katkısı sait olur. H terimi ise, iki ekstra parçacıktan gelen katkıyı elirtir ve aşağıdaki gii yazılır. H = (.9) () H H Burada H, tek parçacığın Hamiltonyenini elirtir ve şöyle yazılır: [ ] [ ] H = T() U() T() U() = H () H () (.30) SP. SP. ve artık etkileşmeler ise; A A () H = W (, l) U () W (, l) U () W (,) l= 3 l= 3 (.3) ile verilir. Burada tek parçacık potansiyeli U nun seçimi keyfi olup, A Uk ( ) = Wkl (, ), k=, (.3) l= 3 gii alınailir. Böylece, artık etkileşmeler H () deki tek parçacık terimleri tamamen kalkar ve geriye yalnız iki parçacık terimi W(,) kalır. Diğer ir deyişle, artık etkileşimler () H = (,) ifadesi ile verilir ve görüldüğü gii herhangi ir tek parçacık terimi içermez. W (Kuo and Brown,966; Kuo, 974; Barrett and Kirson, 973; Jiang and et al., 99). l < j Buradan sonra; residual iki cisim etkileşimleri V ( i, j) ile ifade edillecektir. Buna göre, kor dışındaki iki parçacık için artık etkileşmeler;

24 6 () H = (,) (.33) V olur, Denklem (.6), (.9), (.30) ve (.33) dan toplam Hamiltonyen aşağıdaki gii olur. H = H H () H () V(, ) (.34) kor S. P S. P Kor dışındaki iki parçacığı p yörüngesinde ulunan çekirdeğin ağlanma enerjisi, φ Γ (,..., A) durumundaki toplam Hamiltonyenin eklenen değeriyle verilir. Γ( ) φγ (..., ) φ Γ (,..., ) E A = A H A (.35) φ Γ (,... A) dalga fonksiyonu, iki ekstra nükleonu tanımlayan φ Γ (, ) dalga fonksiyonunun antisimetrik çarpımı şeklinde yazılailir. { 00 Γ } φ (,..., A) = A φ ( kor) φ (,) (.36) Γ φ 00( kor) ve φ Γ (, ) fonksiyonları antisimetrik alınır. Antisimetrikleştirici A, tüm parçacık koordinatlarını permute ederek ve yaklaşık lineer kominasyonlarını olarak, antisimetrikleştirme işini gerçekleştirir. Denklem (.35) deki matris elemanının hesaplanmasında doğru sonuçlar, φ φ Γ şeklindeki daha asit çarpım 00( kor) (,) fonksiyonları ile irlikte elde edilir. Denklem (.34) de de olduğu gii toplam Hamiltonyen, φ φ Γ dalga fonksiyonlarının ortanormalitesinden elde 00( kor) ve (,) edilen terimlere ayrıştırılailir. φ φ φ 00 ( kor ) (,) H Γ Γ (,) = φ ( kor) H φ ( kor) φ (,) H () H () φ (,) 00 core 00 Γ S. P. S. P. Γ

25 7 ( 0 ) ( 0 ) φ (, ) V (, ) φ (, ) (.37) Γ Γ Denklem (.37) a dikkatli akılırsa ve tek parçacık enerjileri e = φ (,) H () H () φ (,) = p H p, (.38) p Γ S. P. S. P Γ Γ residual (artık) etkileşmeler, E () Γ ( p ) = φ Γ (,) V (,) φγ (,) = p V (,) p, (.39) Γ gii ve korun ağlanma enerjisi de E ( kor) = φ ( kor) H φ ( kor) (.40) 00 ( kor) 00 gii verilirse Denklem (.37) un Denklem (.5) e denk olduğu görülür. Burada iki parçacık dalga fonksiyonu φ (, ) yi gösterimde kolaylık olması açısından p ile gösterdik. Γ Buraya kadar Coulom enerjisi göz ardı edilmiştir. Coulom enerjisinin toplam ağlanma enerjisine katkısı kolayca dahil edileilir ancak, Coulom kuvvetinin uzun menzilli olmasından dolayı nükleer yapının detaylarına pek önemli ir şekilde ağlı değildir. Coulom enerjisi E C nin hesaplanması için pek çok yaklaşık ifadeler mevcuttur. ( Beiner et al., 975). Denklem (.5) de E ( kor ) terimi, yani kor don gelen katkı için ağlanma enerjisinin deneysel değeri alınailir (Firestone and Shirley, 998; ENSDF, 00). Tek parçacık enerjisi e p, doğrudan kor çekirdeğinin ağlanma enerjisi ile kor nötron çekirdeğinin deneysel ağlanma enerjilerinin kıyaslanmasından elde edileilir.

26 8 durumunda: Örneğin, taan durumu 6 O koru ile d 5 nötronunun çiftlendiği 7 O, n 5 J = 7 6 d = E ( O) E ( O) = (3,77 7,6) MeV = 4, 5 5 / MeV Kor un dışında iki parçacıktan fazla parçacık varsa, örneğin; n parçacık p kauğunda ve m parçacık λ kauğunda iken ağlanma enerjisi aşağıdaki gii olur. E kor p λ = E E kor me ne E p λ (.4) n m () n m ( ) c ( ) λ p Γ ( ) Baştaki dört terim yukarıda açıklanmıştı. Son terim kor dışındaki iki parçacıktan fazla olan parçacıkların etkileşmeleridir ve iki cisim matris elemanıyla hesaplanailir: E () Γ n m n m n m () ( p λ V ( k, ) p λ = C ' E ' ( pλ) Γ (.4) Γ Γ l= k< l Γ' Denklem (.39) deki matris elemanından; () Γ ' ( pλ V (, ) pλ Γ ' E (.43) elde edilir.

27 9.5. Konfigürasyon Karışımı Durumları Şuana kadar ki tartışmalarımıza perture olmamış durumları, φ Γ, dahil etmedik. Bu durumların hepsi tam ir Kauk model karışımını temsil eder. Örneğin: iki aktif yörüngeyi hesaa katarak, p ve λ, p n m ve λ her irinin parçacık dağılımı olmak üzere, saf durumları n m φ Γ ( p α λ β ) ile, ara kuantum numaraları α ve β ile, Jα J β = J Γ ve α Tβ = TΓ ile verilir. T Denklem (.3) dan ( 0) ( ) E = E E verilir. hamiltonyeninden kaynaklanır. φ Γ saf durumunun enerjisi iki durumun toplamı şeklinde ( 0) E katkısı, ağımsız parçacık hareketini tanımlayan H kaynaklanır. k=,.g olmak üzere g tane durum ( ) E katkısı, H () residual (artık) etkileşmesinden ( φ Γ ) k düşünelim: u durumların enerjileri ( 0) ( ) E = E E irirlerinden çok farklı olmadığını düşünelim. Bu durumda k k k residual (artık) etkileşmelerden dolayı, nükleonların ir durumdan diğerine sıçrayaileceğini göz ardı edemeyiz. Dolayısıyla asıl durum tüm ( φ ) durumların Γ k karışımı şeklinde verilmelidir. Amaç, çok parçacık sistemini açıklayan uygun ir lineer kominasyonu ulmaktır. ( φ Γ ) k Kominasyonları aşağıdaki gii yazalım: g p akpφ k k = Ψ =, p=,.., g (.44) Burada kaldırılmıştır. J Γ ve T Γ değerlerini elirten Γ etiketi yazımda kısalık olması açısından Ψp için normalizasyon şartı aşağıdaki ağıntıyla verilir.

28 0 g k= a =, p=,.,g (.45) kp a kp genliğinin karesi, çekirdeğin yorumlanailir. Şimdi özdeğer denkleminin çözülmesi gerekir. φk ile elirtilen durumda ulunma ihtimali olarak H Ψ = Ψ (.46) p E p p Denklem (.0) ve Denklem (.44) i Denklem (.46) de yerine yazılırsa; ( H () H ) g akpφk = E p akpφk k= k= (.47) Denklem (.47) ü sol taraftan φ ile çarparsak; g k= φ E a (.48) () H H φk akp = p p elde edilir. Burada φ k fonksiyonlarının orta normalliği kullanılmıştır. H ın öz durumları aşağıdaki gii olduğundan φ k fonksiyonları H φ = φ, (.49) k E k k H için matris elemanları için,

29 H () k = φ H φk = φ H H φk = φ H φk φ H () φ k = E δ H (.50) k k () k elde edilir. Burada E k terimi tek parçacık enerjisinden gelen katkıyı ve () H k de residual (artık) etkileşmeden gelen katkıyı gösterir. Denklem (.50) yi kullanarak Denklem (.48) i aşağıdaki gii yeniden yazailiriz. g K = H a = E k kp p a ep (.5) Her p değeri için, a kp genliklerini sütun vektörleri olarak yazarsak, Denklem (.5) i matris formunda vereiliriz; H H a H H a H g H gg a p p gp = E P a a... a p p gp. (.5) H ın hermitik olduğundan dolayı, H = H (.53) k k

30 elde edilir. Bu, H lk matrisinin simetrik olduğu anlamına gelir. H E H H... P g H H E H H E g gg p p = 0 (.54) Bu g. dereceden E p denklemine ve E p nin g tane köküne götürür. Değişik kökleri Denklem (.5) da yerine yazarak, her a kp özvektörü için ir denklem elde edilir. Değişik özdeğerlere ait özvektörlerin hepsi mutlaka ortagonal ve normalize olmalıdır; g akpakp ' = δ pp', ( EP EP' için ) (.55) k = ' E = E için ( p p ) uygun özvektörler a kp ve a ak, ir takım ortagonalleştirme P P işlemlerinin yardımıyla ortagonal yapılailirler. Denklem (.5) a p' ile çarpılıp, üzerinden toplamı alındıktan sonra, Denklem (.55) de yerine yazıldığında, g, k= a p' H ek a kp = E δ p pp' (.56)

31 3 elde edilir. Denklem (.56) a dikkat edilirse Denklem (.46) ile özdeş olduğu görülür. Denklem (.56) ün matris şekli aşağıdaki giidir. a a... a g a a H g H... H.... g H H g.... H gg a a... a g a a. g E E.. =.... a gg E g (.57) Böylece a kp matrisleri H k matrisini köşegenleştirir. Denklem (.55), a kp katsayılarının ir ortagonal matrisi (A) oluşturduğu anlamına geliyor. Bu matrisin - T ortagonalliği A =A ağıntısıyla verileilir, urada A - ters matris, A T ise transpoze matristir. Buna göre Denklem (.57) daha kısa olarak, A - H A = E (.58) gii yazılailir. Dalga fonksiyonlarının ve enerjilerin saptanması işlemi aşağıdaki gii özetleneilir. Enerji matrisi, Denklem (.50) de verilen H k matris elemanlarından oluşturulur. Pertüre olmayan Hamiltonyen H, sadece diagonal matris elemanlarına katkıda ulunur. matrisinin diogonalleştirilmesi, Hamiltonyenin gerekli özdeğer ( enerji) ve özvektörlerine (karışık konfigurasyon dalga fonksiyonları) götürür. Kauk modelinde pertürasyon yaklaşımını kullanarak H () in hesaplanmasında, iki parçacık etkileşimlerinin toplamı şeklinde ir varsayım yapılailir: H k

32 4 H () = V ( i, j) (.59) i< j.6. Konfigürasyon Karışımı Uygulamaları Çekirdek içinde, φ ve ortanormal dalga fonksiyonları ile tanımlanan ve aynı φ J spinine ve aynı T izospinine sahip iki durum olduğunu var sayalım. Konfigürasyon karışımı dikkate alınmadan u iki durumun enerjileri φ H φ H = ve φ H φ H = ile verilir. İki dalga fonksiyonunu içeren Ψ p aşağıdaki gii verilir. Ψ = a φ a φ, a a =, p=, (.60) P p p p p p p Denklem (.5) konfigürasyon karışımları ile enerjilerin aşağıdaki gii özdeğer denkleminden elde edildiğini gösteriyor. H H H H a a p p = E p a a p p (.6) Matris elemanları H = H daha önceden Denklem (.50) de tanımlanmıştı. Özdeğerler k k E = E E ; () p p p

33 5 H E H p H H E p = 0 (.6) veya ( H E )( H E ) H = 0 (.63) p p şeklinde verileilir ve çözümlerde aşağıdaki gii olur: { H H ± ( H H ) (H) E p = } (.64) φ ve ile tanımlanan durumlar arası enerji ayrılığı, u iki durum arasındaki φ konfigurasyon karışımı hesaa katıldığında değişir. Konfigürasyon karışımı olmadığındaki enerji ayrılması: = H (.65) H ile ve konfigurasyon karışımı dikkate alındığında ise enerji ayrılması: ' = (H) (.66) ile verilir. Buna göre konfigürasyon karışımı dikkate alındığında, karışık durumların toplam ağlanma enerjisi aşağıdaki gii yazılailir:

34 6 ( ρ ) = ( ) ± ( ) E Γ kor E kor E P,. (.67) u çekirdeğin toplam ağlanma enerjisine katkıda ulunan terimler Denklem (.6) de açıklanmıştı. Denklem (.6) deki E ( ) ( ρ ) Γ terimini ve Denklem (.67) deki (, ) terimini hesaplamak için, her J and T değeri için H, H ve H değerlerinin hesaplanması gerekir. H ve H hesaplamak için, E P ( a )( ) ( J )( δ ) MSDI j j l l J T (, ) 0 ( a j j V j j A x j j J ) a a JT = T a a T ja j J ( ) } T( T ) 3 B C { (.68) denklemi, Denklem (.64) deki H i hesaplamak için, n n n n A ja j jc j j j VSDI (,) j j a c c d T d a d JT = J δ a δ cd l l j j x d d j j J0 j j J0 a d c l l J T a T j j J j j J a d c (.69) denklemi kullanılır. Denklem (.68) ve (.69) daki A, B ve C değerleri aşağıdaki gii alınır (Brussaard and Glaudemans, 977).

35 7 A 0 A B (5 A) MeV, C 0. (.70) Denklem (.68) ve (.69) daki jm a a jm JM ifadeleri Clesch-Gordan katsayıları olarak adlandırılır ve 3-j semolleriyle aşağıdaki şekilde ifade edilir: ja j J ja j J jm a a jm JM = ( ). J ma m M (.7) Görüldüğü gii hafif çekirdeklerin enerjisinin hassaslığı Clesch-Gordan katsayılarını hesaplamak için seçilen formüle ağımlıdır. Bu tezde ; I.I. Guseınov ve B.A. Mamedov un Clesch-Gordan katsayılarının hesaplanması için verdiği formülleri kullanarak ( Guseinov, et al., 995 ) 30 4 Si 6, 4 Mg, 0 Ne, 3 6 S 6 çekirdeklerinin enerjilerini hesaplandı ve literatürdeki sonuçlarla karşılaştırıldı, alınan sonuçların deneysel sonuçlara daha yakın olduğu görüldü. (.7) deki Clesch-Gordan katsayılarını hesaplamak için I.I.Guseınov ve B.A. Mamedov çalışmalarında aşağıdaki formülü vermişlerdir.( Guseinov and Mamedov, 005) ( ll mm ll LM) = δ M. m m ( L ) Fl ( ) ( ) l L l l L FL M L ( l )( l ) F ( l l L ) F ( l l L ) F ( l ) F ( l ) l l L l l L l m l m / ( ) n Fn( l l L) Fl ( ) ( ) m n L M Fl m n L M (.7) n

36 8 Burada F ( n) = n m ( n m) m!/!! inomial katsayılardır ve l l L l l, M L, ve ( ) ( ) [ ] max 0,, min,, l m L M l m L M n l l L l m l m dır.ref.[9] deki aşamaları kullanarak Clesch-Gordan katsayıları aşağıdaki hale gelir ( Guseinov, 985). C ll L mm M ( ) / ( m ) m m m M M ( ll mm ll LM) = (.73) Clesch-Gordan katsayılarının hesaplanmasında inomial katsayılarının kullanılması unların ilgisayar hafızasında saklanmasında kolaylık sağlar. Binomial katsayıların hesaplanmasında,faktoriyel işlemlerinden kaçınmak ve hesaplamaları hızlandırmak amacıyla; ( ) ( ) ( ) F n = F n F n (.74) m m m tekrarlama ağıntısı kullanılmıştır. Bilgisayar yardımıyla hesaplanan inomial katsayıları düzenli olarak hafızada saklanmış ve simetriler uygulanarak hafıza ihtiyacı minimize edilmiştir. l l l = ( ) ( l ) l l3 / ( lll ) 3 (( ) ) ( ) ( ) Fl l 3 l l3 / F l 3 / 3, l l l l l l3 = çift 0, l l l3 = tek (.75)

37 9 Burada; ( lll ) = 3 F l l l l l F l F l ( ) ( ) ( ) l 3 3 l3 3 l l3 l 3. (.76) Denklem (.7) de ja = j ve J = 0 olması durumunda, j j 00 = j (.77) denklemi kullanılır.

38 30 3. HESAPLAMALAR Si 6 Çekirdeği için Enerji Hesaı 8 4 Si4 kor ( ρ ) ( ) ρ Γ( ρ ) EΓ kor E kor e E = (3.) 8 8 ( ) = ( ) = p n ( ) E kor E Si Zm Nm m Si 93,5 (3.) = [ 4., , ,97697] 93,5 = 36,54MeV s / 9 8 ( ) ( ) eρ = e = E Si E Si = 4,05 36,54 = 8,48MeV (3.3)

39 3 e e =, 7MeV e s/ d3/ d3/ = 7,MeV.Durum ( ) s/ T = İzinli Durumlar ( 0,) 8 8 ( ρ ) = ( / ) = ( ) s ( ) / / 8 = E ( Si) es ( s/) V (,) ( s/) EΓ kor EΓ Si s E Si e EΓ s / 0 (3.4) eşitliğinde:. s/ V, s/ = A 00 B C 0.0 ( ) ( ) ( ) ( ) (3.5) ve 00 = = =. j. (3.6) eşitlikleri yerlerine yazılırsa: 4 s/ V s/ = A B C = A B C 0 ( ) (,) ( )

40 3 ( 8 ) ( 8 ) s/ EΓ Si s/ = E Si e A B C (3.7).Durum ( ) d 5/ İzinli Durumlar ( 0,);(,) ( 0,) durumunda: 8 8 ( ρ ) = ( 3/) = ( ) d ( 3/) E kor E Si d E Si e E d Γ Γ 3/ Γ ( 3/) ( 3/) (,) ( 3/) E d d V d Γ = = A 00 B C.0 ( ) (3.8) Denklem (3.3) de yerine yazılırsa: = = d3/ V, d3/ = A. B C = A B C 0 4 ( ) ( ) ( )

41 ( ) ( ) 3/ EΓ Si d = E Si e A B C 3/ d (3.9) elde edilir. (,) durumunda: ( 3/) ( 3/) (,) ( 3/) E d d V d Γ = ( ) ( ) ( ) = A 0 B C. ( ) 6 d3/ V, d3/ = A.5.0,05 B C = 0, 4A B C.5 = 0, 4A B C (3.0) 3.Durum ( )( ) s/ d3/ İzinli Durumlar (,);(,) 8 8 ( / 3/ ) = ( ) d s Γ ( / 3/ ) EΓ Si s d E Si e e E s d 3/ / (,) durumunda: ( ) ( ) (,) ( ) E s d s d V s d Γ / 3/ = / 3/ / 3/

42 = A 0 ( ) B C. 0 ( )( ) = B C (3.) (,) durumunda: ( ) ( ) (,) ( ) E s d s d V s d Γ / 3/ = / 3/ / 3/ = A 0 ( ) B C. 0 ( )( ) (3.) Denklem (3.) de 3 3 ( ) =. = 5.0,363 0 (3.3) yerine yazıldığında, ( s d ) V (,) ( s d ) / 3/ / 3/.4 = A.5.0,. B C = 0,8 A B C (3.4).5 elde edilir. Elde edilen sonuçları çizelgede özetleyelim:

43 35 Konfigürasyon J π T 8 Si Koruna göre Bağ.Enerjileri Uyarılma Enerjileri ( ) / s 0 A B C e s / 0 s/d 3/ B C es e / d3/ s/d 3/ 0,8A B C es e / d3/ ( ) 3/ d 0 A B C e d 3/ ( ) 3/ d 0, 4A B C e d 3/ A e e s/ d3/ 0, A e s e d / 3/ A e e s/ d3/ 0,6 A e e s/ d3/ Talo. 30 Si un 8 Si koruna göre düzenlenmiş enerjileri Talo de A, B ve C 5 5 A = B= MeV = = 0,833MeV ve C = 0 A 30 dır. Toplam Bağlanma enerjisi: 8 ( ) s/ E Si e A B C = 36,54.8, 48 0,833 0,833 = 53,5MeV s d / 3/ için, A e e = 0,833 7, 8,48 =,MeV s/ d3/

44 36 s d / 3/ için, 0, A e e = 0,.0,833 7, 8,48 =,43MeV s/ d3/ ( ) d 3/ için, A e e = 0,833.7,.8,48 =,7 MeV s/ d3/ ( ) d 3/ için, 0,6 A e e = 0,6.0,833.7,.8,48 = 3,04MeV s/ d3/ elde edilir. Bu hesaplamalar konfigürasyon karışımı içermemektedir. Konfigürasyon karışımını göz önüne alalım. ( 0,) seviyesini inceleyelim: ( s ) ve ( ) / 0 d durumları karışırsa u durumların enerjileri, 3/ 0 { ( ) ( ) } Ep = H H ± H H H (3.5) ifadesi ile ulunailir. Burada her ir terimi hesaplayalım.

45 37 ( ) ( ) ( ) H = s V, s e / / s/ 0. = A 00 B C e.0 ( ) s/ 4 = A B C e s/ = A B C e s / ( ) =. 8,48 = 6,96 MeV. (3.6) ( ) (,) ( ) d 3/ H = d V d e 3/ 3/ 0 3. = A 00 B C e d 3/ ( ) 6 = A B C e d 4 3/ = A B C e d 3/ = 5,5MeV (3.7) ( ) ( ) ( ) H = s V, d ' yi / 3/ j j V (, ) j j = ( ) a c d JT 0 ( ) ( j )( j )( j )( j ) ( )( ) AT J δ δ na n nc nd a c d a cd

46 38 j jd l ld la l J T ( ) j ja J0 jd jc J0 ( ) T j ja J jd jc J ( ) eşitliğini kullanılarak hesaplayailiriz. urada: H ( ) = A.0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 00 = 0, = 0,5 değerleri yerine yazıldığında: A.4 H =.0,707.0,5. =,4 A =,7 MeV (3.8)

47 39 elde edilir. (3.6), (3.7) ve (3.8) den alınan değerler Eşitlik (3.5) de yerine yazıldığında: { } E = ± ( 0 ) 6,96 5,5 (,7) (.,7 ) = ± { 3,,9} ( ) = MeV E ( ) E 0 7,5 ( 0 ) = ( 0 ) ( 0 ) E E E 0 = 4,6MeV =,9 MeV (3.9) olarak ulunur. (,) seviyesini inceleyelim: / 3/ s d ve ( ) d durumları karışırsa; 3/ ( ) (,) ( ) d3/ s/ H = s d V s d e e / 3/ / 3/ (3.0) = A 0 B C e e. 0 ( )( ) 0 ( ) d3/ s/

48 40 urada: 3 3 ( ) =. = 5.0,363 0 değerini yerine yazarsak:.4 H = A.5.0,. B C e e.5 d3/ s/ H = 0,8A B C e d e s 3/ / H = 5,5MeV (3.) olarak ulunur. ( ) (,) ( ) d 3/ H = d V d e 3/ 3/ (3.) = A 0 B C e d. 3/ ( ) urada: ( ) 3 0 =. = 5.0, 36 0 yerine yazılırsa:

49 4 6 H = A.5.0,05 B C e d.5 3/ = 0, 4A B C e d 3/ H = 3,9MeV (3.3) ulunur. ( ) (,) ( ) H = s d V d / 3/ 3/ ( ) = A. 0 ( ) ( )( ) ( ) 0 0 ( ) 3 33 ( ) A H =.5 { }.4 5.0, ,36. H = 0, 47MeV (3.4) olarak ulunur. Bu elde edilen (3.), (3.3) ve (3.4) değerleri Eşitlik (3.5) de yerine yazıldığında:

50 4 { 5,5 3,9 ( 5,5 3,9) ( ) }.0,47 E p = ± E p = ± { 9, 44,86} ( ) = MeV E ( ) E 5,65. E ( ) = 5, 65 3, 79 =, 86 MeV = 3,79 MeV. olarak ulunur. (3.5) Şekil Si 6 çekirdeğinin enerji seviyeleri diyagramı

51 Mg Çekirdeği için Enerji Hesaı 6 Mg4 kor. Durum ( ) d 5/ İzinli Durumlar ( 0,;,;4, ) ( ) ( ) ( 0,) durumunda: 4 ( ρ ) = ( ) d Γ( 5/) EΓ kor E Mg e E d 5/ 4 ( ) [ ] E Mg =., , , ,5 = 98, 6MeV ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = 0

52 = A 00 B C.0 ( ) eşitliğinde: = = 5. 6 değeri yerine yazıldığında 36 d5/ V, d5/ = A B C = 3A B C (3.6) 0 6 ( ) ( ) ( ) (,) durumunda: ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = = A 0 B C. ( ) eşitliğinde: ( ) =. 0 = 5.0,958

53 45 yerine yazılırsa, 36 d5/ V, d5/ = A.5.0,958 = 0, 7A B C (3.7).5 ( ) ( ) ( ) elde edilir. ( 4,) durumunda: ( d ) V (,) ( d ) 5/ 5/ = A 40 B C.4 ( ) = B C (3.8). Durum ( ) ( ) s/ d5/ İzinli Durumlar (,);( 3,) 4 ( ρ ) = ( ) d s Γ( 5/ /) EΓ kor E Mg e e E d s 5/ / (,) durumunda: eşitliğinde: ( ) ( ) (,) ( ) E d s d s V d s Γ 5/ / = 5/ / 5/ / = A 0 ( ) B C. 0 ( )( )

54 ( ) =. 0 = 5.0,363 değeri yerine yazıldığında: 6. d5/s/ V, d5/s/ = A 5.0,. B C.5 ( ) ( ) ( ) =, A B C (3.9) ( 3,) durumunda: ( d s ) V (,) ( d s ) 5/ / 5/ / = A 30 ( ) B C.3 0 ( )( ) = B C (3.30) 3. Durum ( ) s/ İzinliDurumlar ( 0,) 4 4 ( / ) = ( ) s Γ( / ) EΓ Mg s E Mg e E s /

55 47 ( / ) ( / ) (,) ( / ) E s s V s Γ = 0. = A 00 B C.0 ( ) eşitliğinde, 00 = =. yerine yazılırsa, 4 s/ V, s/ = A. B C = A B C (3.3) 0 ( ) ( ) ( ) elde edilir. Şimdi u hesaplamaları aşağıdaki çizelgede özetleyelim: 4 Mg koruna göre hesaplanmış Konfigürasyon J π T enerjileri Uyarılma Enerjileri ( d 5/) ( d 5/) ( d 5/) A e e s/ d5/ B C e e d5/ s/ 0,7A B C e d,3a 5/ 4 B C e d 3A 5/ 0 ( s d ) / 5/, A B C ed e 5/ s/,8a es e / d5/ ( ) B C e e s/ d 5/ 3 s/ d5/ ( ) / s 0 A B C e s / 3A es e / d5/ A e e s/ d5/ Talo. 6 Mg un 4 Mg koruna göre düzenlenmiş enerjileri

56 48 Talo de A ve B 5 A = B= = 0,96MeV dir. 6 d5/ 5 4 ( ) ( ) e = E Mg E Mg = 7,33 MeV. e e =,3 MeV. s/ d5/ e = 6, MeV. s/ 4 4 ( d ) ( ) EΓ Mg e = E Mg 3A B C e 5/ d5/ = 98,6 3.0,96 0,96. ( 7,33) = 4,84MeV ( d 5/) için,,3a =,3.0,96=,MeV 3A = 3.0,96=,88MeV ( ) s d için, / 5/,8 A e e =,8.0,96 6, 7,33 =,85MeV s/ d5/ 3A e e = 3.0,96 6, 7,33 = 4,0MeV s/ d5/ ( s ) / için, A e e =.0,96.6,.7,33 = 4,8MeV s/ d5/

57 49 Konfigürasyon karışımını göz önüne alındığında pertüre durumların enerjileri: { ( ) ( ) } Ep = H H ± H H H ( 0,) seviyesi: ( ) ( ) 5/ / d ve s karışırsa : ( ) (,) ( ) d 5/ H = d V d e 5/ 5/ 0 = 3A B C e d 5/ = 3.0,96 0,96.7,33 (3.3) = 6,58 MeV. ( ) (,) ( ) s / H = s V s e / / 0 = A B C e s/ = 0,96 0,96.6, (3.33) =, 4MeV

58 50 ( ) (,) ( ) H = d V s 5/ / 0 ( ) = A.0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) eşitliğinde, = ve 6 00 = yerine yazılırsa, H A 6. 6 =....=,7MeV (3.34) (3.3), (3.33) ve (3.34) değerlerini Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: { 6,58, 4 4,8 },56 E p = ± E p = ± { 8,98 5,388} ( ) = MeV ve E ( ) E 0 7,8 E ( ) 0 =, 796MeV 0 = 7,8, 796 = 5,384MeV (3.35)

59 5 (,) seviyesi: ( ) ( ) d ve d s karışırsa ; 5/ 5/ / ( ) (,) ( ) d 5/ H = d V d e 5/ 5/ = 0,7A B C e d 5/ = 0, 7.0,96 0,96 ( 7,33) (3.36) = 4,37MeV ( ) (,) ( ) d5/ s/ H = d s V d s e e 5/ / 5/ / =, A B C e d e s 5/ / =,.0,96 0,96 7,33 6, = 3, 7MeV (3.37) ( ) (,) ( ) H = d V d s 5/ 5/ / ( ) = A. 0 ( ) ( )( ) ( ) 0 0 ( )

60 ( ) eşitliğinde: ( ) =. 0 = 5.0,958 = 0, ( ) =. 0 = 5.0,363 = 0, 707 = yerine yazılırsa: H A = = MeV (3.38) , 436.0, 707 0, 453 (3.36), (3.37) ve (3.38) değerlerini Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: { 4,37 3, 7 ( 4,37 3, 7) ( ) }.0, 453 E p = ±

61 53 E p = ± { 8, 094,} ( ) = MeV ve E ( ) E 4,6 E ( ) = 3, 487MeV =,3MeV (3.39) Şekil Mg çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı

62 Ne Çekirdeği için Enerji Hesaı 0 0 Ne0 kor 0 ( ρ ) = ( ) ρ Γ( ρ ) EΓ kor E Ne e E 0 ( ) [ ] E Ne = 0., , , ,5 = 60, 65MeV. Durum ( ) d 5/ İzinli Durumlar ( 0,);(,);( 4,) 0 0 ( 5/) ( ) d Γ( 5/) = (3.40) EΓ Ne d E Ne e E d 5/ ( 0,) durumu: ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = 0

63 = A 00 B C.0 ( ) 36 = A. B C 6 = 3A B C (3.4) (,) durumu: ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = = A 0 B C. ( ) eşitliğinde: ( ) =. 0 = 5.0,958 yerine yazılırsa: 36 d5/ V d5/ = A.0,9 B C = 0,68 A B C (3.4).5 ( ) (,) ( ) elde edilir.

64 56 ( 4,) durumu: ( 5/) ( 5/) (,) ( 5/) E d d V d Γ = = A 40 B C.4 ( ) = B C (3.43) ( ) ( ) d5/ s/ T = İzinli Durumlar (,)( 3,) 0 0 ( 5/ /) ( ) d s Γ ( 5/ /) = (3.44) EΓ Ne d s E Ne e e E d s 5/ / (,) durumu: ( ) ( ) (,) ( ) E d s d s V d s Γ 5/ / = 5/ / 5/ / = A 0 ( ) B C. 0 ( )( ) eşitliğinde: 5 5 ( ) =. 0 = 5.0,363 yerine yazılırsa:

65 57 elde edilir. 6. d5/s/ V, d5/ s/ = A.5.0,. B C.5 ( ) ( ) ( ) =, A B C (3.45) ( 3,) durumu: ( ) ( ) (,) ( ) E d s d s V d s Γ 5/ / = 5/ / 5/ / = A 30 ( ) B C.3 0 ( )( ) = B C (3.46) ( ) s/ İzinli durumlar : ( 0,) 0 0 ( / ) = ( ) s Γ( / ) EΓ Ne s E Ne e E s / ( / ) ( / ) (,) ( / ) E s s V s Γ = 0. = A 00 B C.0 ( ) 4 = A. B C = A B C (3.47)

66 58 Şimdi u hesaplamaları aşağıdaki çizelgede özetleyelim: 0 Ne koruna göre hesaplanmış Konfigürasyon J π T enerjileri Uyarılma Enerjileri ( ) 5/ d 0 3A B C e d 5/ 0 ( d ) 5/ ( d ) 5/ ( d 5/s /) ( d 5/s /) ( s / ) 0,6A B C e d,3a 5/ 4 B C e d 3A 5/, A B C ed e 5/ s/ 3 B C e e d 5/ s/ 0 A B C es /,8A e s e d / 5/ 3A es e / d5/ A e e s/ d5/ Talo 3. Ne nin 0 Ne koruna göre düzenlenmiş enerjileri Talo 3 de A ve B değerleri: 5 A = B= =,36 MeV. 0 ( ) ( ) e d = E Ne E Ne 5/ = [ 0., , ,993843] 93,5 60, 65 = 6, 76MeV

67 59 e e =,08 d5/ s/ e = 4, 678MeV s/ 0 ( d ) ( ) EΓ Ne e = E Ne 3A B C e 5/ d5/ = 76, 44MeV ( d 5/) için,,3a =,3.,36 =, 6MeV 3A = 3.,36 = 3, 4MeV ( 5/ /) d s için,,8 A e e =,8.,36 4, 678 6, 76 = 4,3MeV s/ d5/ 3A e e = 3.,36 4, 678 6, 76 = 5, 49MeV s/ d5/ ( / ) s için, A e e =.,36.4, 678.6, 76 = 6, 436MeV s/ d5/ Konfigürasyon karışımı göz önüne alındığında; ( 0,) durumu: ( ) (,) ( ) d 5/ H = d V d e 5/ 5/ 0

68 = 00.0 A B C e d 5/ ( ) 36 = A. B C e d 6 5/ = 3A B C e d 5/ = 5, 79 MeV. (3.48) ( ) (,) ( ) s / H = s V s e / / 0. = A 00 B C e.0 s/ ( ) 4 = A. B C e s/ = 9,356MeV (3.49) ( ) (,) ( ) H = d V s 5/ / 0 ( ) = A.0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

69 6 = A =, 73MeV (3.50) Eşitlik (3.48), (3.49) ve (3.50) yi Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: { 5, 79 9,356 ( 5, 79 9,356) ( ) }., 73 E p = ± E p = ± { 5,48 7,3} ( ) = MeV ve E ( ) E 0 6, 4 E ( ) 0 = 7,3MeV 0 = 8,94MeV (,) durumu: ( ) (,) ( ) d 5/ H = d V d e 5/ 5/ = 0. A B C e d 5/ ( ) 36 = A.0,9 B C e d.5 5/ ( ) = 0,684A B C 6,76 = 3,6MeV (3.5)

70 6 ( ) (,) ( ) d5/ s/ H = d s V d s e e 5/ / 5/ / = A 0 B C e e. 0 s/ d5/ ( )( ) 6. = A.5.0,. B C e e.5 d5/ s/ =, 67 MeV. (3.5) ( ) (,) ( ) H = d V d s 5/ 5/ / ( ) = A. 0 ( ) ( )( ) ( ) 0 0 ( ) 55 5 ( ) A = , , = 0,9MeV (3.53) Eşitlik (3.5), (3.5), (3.53) ü Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: { } E = ± ( ) 3,6, 67 ( 3,6, 67) (.0,9)

71 63 E = ± ( ) { 4,83,33} ( ) = MeV ve E ( ) E,5 E ( ) = 3,58, 5 =,33 MeV. = 3,58MeV Şekil 3.3. Ne çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı

72 S 6 Çekirdeği için Enerji Hesaı 30 6 S4 kor E kor ρ E S e E 30 Γ( ) = ( ) ρ Γ( ) ρ E S = 30 ( ) [ , ,984903].93,5 = 43, 687 MeV. e E S E S 3 30 s = ( ) ( ) / = [ , ,979554]93,5 43, 687 = 3, 05 MeV.

73 65 ( s İzinli Durumlar ( 0,) / ) E ( S s ) = E ( S) e E ( s ) Γ / s/ Γ / = E ( S) e ( s ) V(,) ( s ) 30 s/ / / 0 (. ) ( s /) V(,) ( s/) = A 0 00 B C (.0 ) eşitliğinde: 00 = =. yerine yazılırsa: 4 ( s/) V(,) ( s/) = A 0. B C = A B C. (3.55) elde edilir. Toplam ağlanma enerjisi: E Γ ( S s ) = E ( S) e A B C olur. (3.56) / s / (s ) İzinli Durumlar : (,) (,) / d 3/

74 66 30 Γ ( ρ ) = ( ) s / d ) 3/ E kor E S e e = E ( S) e e (s d ) V(,) (s d ) 30 s/ d3/ / / / 3/ Γ 3 (. )(. ) 3 0 (s / d3/) V(,) (s/ d3/) = A 0 [ ( ) ] B C (. )( 0) = B C (3.58) 3 (. )(. ) 3 0 (s / d3/) V(,) (s/ d3/) = A 0 [ ( ) ] B C (. )( 0) eşitliğinde: ( ). = 0 = yerine yazılırsa:.4 (s/ d3/) V(, ) (s/ d3/) = A.5.0,. B C.5 = 0,8A B C (3.59) elde edilir E ( S s/ d3/) = E ( S) e e s / d B C 3/ = E S e e A B C 30 ( ) s/ d 0,8 3/

75 67 ( d İzinli Durumlar : (0,)(,) 3 / ) E ( S d ) = E ( S) e E ( d ) Γ 3/ d 3/ Γ 3/ = E ( S) e ( d ) V(,) ( d ) 30 d 3/ 3/ 3/ Γ 3 (. ) 3 3 ( d 3 / ) V (,) (d 3 / ) = A. 00 B C 0 (.0 ) eşitliğinde: 3 00 =. 3 4 yerine yazılırsa: 6 ( d3/) V(, ) ( d3/) = A 0. B C 4 elde edilir. = A B C (3.60) 3 (. ) 3 3 ( d 3/) V(, ) ( d3/) = A 0 B C (. ) eşitliğinde:

76 ( ). = 0 = 5.0, 36 yerine yazılırsa: 6 ( d3/) V(,) ( d3/) = A.5.0,05 B C.5 = 0, 4A B C (3.6) elde edilir. Toplam enerjisi ise, E ( S d ) = E ( S) e A B C / 0 d 3/ E ( S d ) = E ( S) e 0,4A B C / d3/ şeklinde ifade edilir.

77 69 30 S koruna göre hesaplanmış Konfigürasyon J π enerjileri Uyarılma Enerjileri ( d 5/) ( d 5/) 0 s / e A B C 0 e e B C s d / 3 / A e e d3/ s/ ( s d ) / 5/ e e A B C s d 0,8 / 3 / 0, A ed e 3/ s/ ( ) s d 0 e d A B C / 5/ 3 / A e e d3/ s/ ( s ) / e 0,4A B C d3/ 0,6A e e d3/ s/ Talo Si 6 un 30 6 Si 4 koruna göre düzenlenmiş enerjileri Talo 4 de A ve B değerleri: 5 A = B= = 0,78 dir 3 e e =,548 s/ d3/ e d3/ =,5 MeV. E S e A B C 30 ( ) s / = 43,687.3,05 0,78 0,78 = 69,787 MeV

78 70 ( d 5/) için, A e e = 0, 78,5 3, 05 =,33MeV d3/ s/ ( ) s d için, / 5/ 0, A e e = 0,.0, 78,5 3, 05 =, 706 MeV. d3/ s/ A e e = 0, 78.,5.3, 05 =,3 MeV. d3/ s/ ( s ) / için, 0, 6A e e = 0, 6.0, 78.,5.3, 05 = 3,568 MeV d3/ s/ Konfigürasyon karışımı göz önüne alındığında: ( 0,) durumu: H = ( s ) V(,) ( s ) e s / / 0 / (. ) = A 00 B C e (.0 ) s/ 4 = A. B C e s/ = A B C e s / =.( 3, 05) = 6, MeV (3.6)

79 7 3 (. ) 3 3 H = A 00 B C e d (.0 ) 3/ 6 = A. B C e d 4 3/ = A B C e d 3/ = (0, 78) 0, 78 (,5) = 3,78 MeV (3.63) H = ( s/ ) V (,) (d 3 / ) 0 = ( ) 3 3 (. )(. )(. )(. ) A (.0 ) ( )( ) ( ) ( ) x ( ) = A.4.. =, 4A =,MeV (3.64) Eşitlik (3.6), (3.63) ve (3.64) Eşitlik (3.5) de yerlerine yazılırsa:

80 7 p { 6, 3, 78 ( 6, 3, 78) } (.,) E = ± = { 49,88 ± 3, } E(0 ) = 6,54 MeV ve E(0 ) = 3,34 MeV. E(0 ) = 3, MeV. ( ), durumu : H = ( d ) V(, ) ( d ) e d 3/ 3/ 3/ 3 (. ) 3 3 = A 0 B C e d (. ) 3/ (3.65) eşitliğinde: ( ). = = 5.0, 36 0 yerine yazılırsa: 6 H = A.5.0,05 B C e d,5 3/ = 0, 4A B C e d 3/ = 0, 4.0, 78.,5 =,53 MeV. (3.66)

81 73 H = (d s ) V(, ) (d s ) e d e s 3/ / 3/ / 3/ / 3 (. )(. ) 3 0 = A 0 [ ( ) ] B C e e (. )( 0) s/ d 3/ eşitliğinde: 3 0 = 3. = 0 5.0,363 yerine yazılırsa:.4 H = A.5.0,. B C = 0,8 A B C e e.5 d3/ s/ = 0,8.0, 78 0, 78,5 3, 05 = 4,394 MeV. (3.67) H = ( d ) V(, ) (d s ) 3/ 3/ / (. )(. )( )(. ) A =.(. ) ( )( 0) x ( ) 0 0.[ ] [ ] ( ) ( )

82 74 A = , ,363.,5 = 0,57 MeV (3.68) Eşitlik (3.66), (3.67) ve (3.68) ı Eşitlik (3.5) de yerlerine yazalım: E p { } ( ) =,53 4,394 (,53 4,394) (, 0,57) E ( ) = 46,96,8 { } E( ) = 4,553 MeV ve E ( ) =,373 MeV. E ( ) = 4,553,373 E( ) =,8 MeV.

83 Şekil S çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı. 75

84 76 TARTIŞMA ve SONUÇ Bilindiği gii, çekirdeklerin fiziksel özelliklerinin incelenmesinde ve deneysel verilerin yorumlanmasında en çok kullanılan yöntemlerden iriside çekirdeğin Kauk modelidir. Bu tezde, Kauk modelini kullanarak çekirdeklerin enerji seviyelerini hesaplamak için formüllere dahil olan matris elemanları yeni yöntem kullanılarak daha hassas ve hızlı hesaplanmıştır. Oluşturulan formüllerden görülür ki; çekirdeklerin enerjilerinin hassas olarak hesaplanması Clesch-Gordan katsayılarının ve 3-j semolleri için seçilen formüllere ağımlıdır. Bu tezde Clesch-Gordan ve 3-j semollerinin hassas ve hızlı hesaplanması için yeni yöntem kullanılmıştır. Ayrıca C-G ve 3-j semollerinin ilgisayarda tekraren hesaplanmaması için hafızadan çağırma formülü oluşturulmuştur. Oluşturulan formüller kullanılarak azı hafif çekirdeklerin ( 30 4 Si 6, 4 Mg, 0 Ne, 3 6 S 6 ) enerji seviyeleri Kauk modeli yöntemiyle hesaplanmış ve elde edilen sonuçlar Şekil -4 de gösterilmiştir. Hesaplama sonuçları literatür sonuçlarıyla karşılaştırılmıştır. Alınan sonuçlardan ve enerji seviyelerinin şekillerinden görüldüğü gii, u çekirdeklerin mixed(karışık) durumu için elde edilen değerler genel olarak deneysel değerlerle daha iyi ir uyum içindedir. Belirtelim ki, çekirdeklerin enerji seviyeleri hesaplanırken sadece kor dışındaki nükleonlar arasındaki etkileşmeleri değil, aynı zamanda u nükleonlarla korun etkileşimi de dikkate almak gerekir. Bunun gii, enerjinin hesaplanmasında diğer etkileşimler, örneğin; çiftlenim etkisi, coulom etkisi, vs. gii çeşitli terimler dikkate alınırsa, daha iyi sonuçlar elde edileilir. Özetle söylemek gerekirse, enerji seviyelerinin hesaplanmasında konfigürasyon karışımı kaçınılmaz ir konudur ve u hesaplamaların tam doğruluğu için toplam ağlanma enerjisine katkıda ulunan tüm etkiler dikkate alınmalıdır. Aynı zamanda, eğer nükleonların daha yüksek enerji seviyelerinde olmasına izin verilirse, enerji seviyeleri için daha iyi sonuçlar elde edileilir.

A=18 Çekirdekleri için Nükleer Enerji Seviyelerinin Hesaplanması. Nuclear Energy Level Calculations for A = 18 Nuclei

A=18 Çekirdekleri için Nükleer Enerji Seviyelerinin Hesaplanması. Nuclear Energy Level Calculations for A = 18 Nuclei Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, - 009),-5 A=8 Çekirdekleri için Nükleer Enerji Seviyelerinin Hesaplanması Tayfun AKYÜREK, Erdal DİKMEN* Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen

Detaylı

BÖLÜM 16 KUANTUM : AYRILABİLEN SİSTEMLER

BÖLÜM 16 KUANTUM : AYRILABİLEN SİSTEMLER BÖLÜM 16 KUANTUM : AYRILABİLEN SİSTEMLER Farklı eksenlere karşılık gelen operatörler, komut verilerek birbiriyle komute olabilir. Ayrıca, bir değişken için olan operatör, başka bir operatörün fonksiyonu

Detaylı

4 ve 2 enerji seviyelerinin oranından 3.33 değeri bulunur, bu da çekirdeğin içi hakkında bllgi verir.

4 ve 2 enerji seviyelerinin oranından 3.33 değeri bulunur, bu da çekirdeğin içi hakkında bllgi verir. 4.3. KOLLEKTİF MODEL Tüm nükleonların birlikte koherent davrandığı durum düşünülür. Çekirdekte olabilen kolektif davranışlar çekirdeğin tamamını kapsayan titreşimler ve dönmelerdir. Buna göre nükleer özellikler

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

Magnetic Materials. 7. Ders: Ferromanyetizma. Numan Akdoğan.

Magnetic Materials. 7. Ders: Ferromanyetizma. Numan Akdoğan. Magnetic Materials 7. Ders: Ferromanyetizma Numan Akdoğan akdogan@gyte.edu.tr Gebze Institute of Technology Department of Physics Nanomagnetism and Spintronic Research Center (NASAM) Moleküler Alan Teorisinin

Detaylı

3.3. ÇEKİRDEK MODELLERİ

3.3. ÇEKİRDEK MODELLERİ 7. HAFTA 3.3. ÇEKİRDEK MODELLERİ Çekirdeği anlamak için temel tanımlamamız şu şekilde özetlenebilir: çekirdeğin içerisinde nükleonların nasıl hareket ettikleri ve nükleer kuvvetlerin nasıl davrandıklarıdır.

Detaylı

görülmüştür. Bu sırada sabit nükleer yoğunluk (ρ) hipotezide doğrulanmış olup ραa olarak belirtilmiştir.

görülmüştür. Bu sırada sabit nükleer yoğunluk (ρ) hipotezide doğrulanmış olup ραa olarak belirtilmiştir. 4.HAFTA 2.1.3. NÜKLEER STABİLİTE Bulunan yarı ampirik formülle nükleer stabilite incelenebilir. Aşağıdaki şekil bilinen satbil çekirdekler için nötron sayısı N e karşılık proton sayısı Z nin çizimini içerir.

Detaylı

Alfa Bozunumu Alfa bozunumu

Alfa Bozunumu Alfa bozunumu Alfa Bozunumu 05.07.008 Alfa bozunumu Alfa bozunumu: Alfa 908 yılında Rutherford tarafında açıklanmıştı. Nın bir He çekirdeği oluğu biliniyor 4 He 930 yılında nın hava da ki erişim menzili 3,84 cm olduğu

Detaylı

Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1

Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1 İÇİNDEKİLER Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Genelleştirilmiş Koordinatlar... 2 1.3. Koordinat Dönüşüm Denklemleri... 3 1.4. Mekanik Dizgelerin Bağ Koşulları... 4 1.5. Mekanik Dizgelerin

Detaylı

BÖLÜM 27 ÇOK ELEKTRONLU ATOMLAR

BÖLÜM 27 ÇOK ELEKTRONLU ATOMLAR BÖLÜM 27 ÇOK ELEKTRONLU ATOMLAR Şimdiye kadar, bağımsız parçacık modelinin (BPM), Helyum atomunun özdurumlarının nitel olarak doğru ifade edilmesini sağladığını öğrendik. Peki lityum veya karbon gibi iki

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

SCHRÖDİNGER: Elektronun yeri (yörüngesi ve orbitali) birer dalga fonksiyonu olan n, l, m l olarak ifade edilen kuantum sayıları ile belirlenir.

SCHRÖDİNGER: Elektronun yeri (yörüngesi ve orbitali) birer dalga fonksiyonu olan n, l, m l olarak ifade edilen kuantum sayıları ile belirlenir. . ATOMUN KUANTUM MODELİ SCHRÖDİNGER: Elektronun yeri (yörüngesi ve orbitali) birer dalga fonksiyonu olan n, l, m l olarak ifade edilen kuantum sayıları ile belirlenir. Orbital: Elektronların çekirdek etrafında

Detaylı

Potansiyel Engeli: Tünelleme

Potansiyel Engeli: Tünelleme Potansiyel Engeli: Tünelleme Şekil I: Bir potansiyel engelinde tünelleme E

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Gamma Bozunumu

Gamma Bozunumu Gamma Bozunumu Genelde beta ( ) ve alfa ( ) bozunumu sonunda çekirdek uyarılmış haldedir. Uyarılmış çekirdek gamma ( ) salarak temel seviyeye döner. Gamma görünür ışın ve x ışını gibi elektromanyetik radyasyon

Detaylı

BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR

BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR Birbirinden R sabit mesafede bulunan iki parçacığın dönmesini düşünelim. Bu iki parçacık, bir elektron ve proton (bu durumda bir hidrojen atomunu ele alıyoruz) veya iki çekirdek (bu

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

BÖLÜM 26 İKİ ELEKTRON: UYARILMIŞ DÜZEYLER

BÖLÜM 26 İKİ ELEKTRON: UYARILMIŞ DÜZEYLER BÖLÜM 26 İKİ ELEKTRON: UYARILMIŞ DÜZEYLER Son derste, Helyum atomunun temel enerji düzeyinin, bağımsız parçacık modeli kullanılarak makul bir şekilde tanımlandığını öğrenmiştik. Çok elektronlu atomlar

Detaylı

BÖLÜM 12-15 HARMONİK OSİLATÖR

BÖLÜM 12-15 HARMONİK OSİLATÖR BÖLÜM 12-15 HARMONİK OSİLATÖR Hemen hemen her sistem, dengeye yaklaşırken bir harmonik osilatör gibi davranabilir. Kuantum mekaniğinde sadece sayılı bir kaç problem kesin olarak çözülebilmektedir. Örnekler

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi

FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri

Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri PROJENİN ADI: ÖKLİD NE SÖYLER CAUCHY NE ANLAR HAZIRLAYANLAR : AYŞE İREM AKYILDIZ ZEYNEP KOÇYİĞİT ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL-04 Projenin Adı: Öklid

Detaylı

Geçen Derste. ρ için sınır şartları serinin bir yerde sona ermesini gerektirir. 8.04 Kuantum Fiziği Ders XXIII

Geçen Derste. ρ için sınır şartları serinin bir yerde sona ermesini gerektirir. 8.04 Kuantum Fiziği Ders XXIII Geçen Derste Verilen l kuantum sayılı açısal momentum Y lm (θ,φ) özdurumunun radyal denklemi 1B lu SD şeklinde etkin potansiyeli olacak şekilde yazılabilir, u(r) = rr(r) olarak tanımlayarak elde edilir.

Detaylı

Kuantum Fiziği (PHYS 201) Ders Detayları

Kuantum Fiziği (PHYS 201) Ders Detayları Kuantum Fiziği (PHYS 201) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Kuantum Fiziği PHYS 201 Her İkisi 3 0 0 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i PHYS 102, MATH 158

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

6.HAFTA BÖLÜM 3: ÇEKİRDEK KUVVETLERİ VE ÇEKİRDEK MODELLERİ

6.HAFTA BÖLÜM 3: ÇEKİRDEK KUVVETLERİ VE ÇEKİRDEK MODELLERİ 6.HAFTA BÖLÜM 3: ÇEKİRDEK KUVVETLERİ VE ÇEKİRDEK MODELLERİ 3.1 ÇEKİRDEK KUVVETLERİ 3.1.1. GENEL KARAKTERİSTİK Çekirdek hakkında çok fazla bir şey bilmezden önce yalnızca iki farklı etkileşim kuvveti bilinmekteydi.

Detaylı

, bu vektörün uzay ekseni üzerindeki izdüşümüdür. Bunlar şu değerlere sahiptir:

, bu vektörün uzay ekseni üzerindeki izdüşümüdür. Bunlar şu değerlere sahiptir: .. AÇISAL MOMENTUM Çekirdek ve çekirdekteki parçacıkların açısal momentumları vardır. Bu özellik her türlü nükleer reaksiyonda gözlenir. Açısal momentumun gözlenebilir özelliği açısal momentum vektörünün

Detaylı

3.5. KOLLEKTİF MODEL 3.5.1. DEFORME ÇEKİRDEKLERDE ROTASYONEL HAREKET

3.5. KOLLEKTİF MODEL 3.5.1. DEFORME ÇEKİRDEKLERDE ROTASYONEL HAREKET .HAFTA.5. KOLLEKTİF MODEL.5.. DEFOME ÇEKİDEKLEDE OTASYONEL HAEKET N ve Z sayıları nadir toprak elementler ve aktinit çekirdeklerde olduğu gibi sihirli sayılardan uzaklaştıklarında küresel kabuk modeli

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XX

8.04 Kuantum Fiziği Ders XX Açısal momentum Açısal momentum ile ilgili özdenklem şöyle yazılır ki burada 2mr 2 E L özdeğerdir, ve olur. HO problemine benzer olarak, iki yolla ilerleyebiliriz. Ya 1. Taylor açınımı kullanarak diferansiyel

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu. 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar

MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu. 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak in http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 1 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 1 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 1 Çözümler 15 Şubat 2002 Problem 1.1 Kütleçekim ve Elektrostatik kuvvetlerin bağıl şiddetleri. Toz parçacıkları 50 µm çapında ve böylece yarıçapları

Detaylı

r r r F İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından

r r r F İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyenf r kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından r r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve d r A dan A ne

Detaylı

Saf Eğilme(Pure Bending)

Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki şekil değiştirmesini/ deformasyonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

BÖLÜM 34 SPEKTROSKOPİ: IŞIĞIN YER ALDIĞI MOLEKÜLER PROBLAR

BÖLÜM 34 SPEKTROSKOPİ: IŞIĞIN YER ALDIĞI MOLEKÜLER PROBLAR BÖLÜM 34 SPEKTROSKOPİ: IŞIĞIN YER ALDIĞI MOLEKÜLER PROBLAR Uygulamada, çok karmaşık ve zayıf karakterize edilmiş sistemler olsa bile prob moleküllere ihtiyaç duyabilir, reaktifliği, yapıyı, bağlanmayı,

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

Detaylı

=iki cisim+üç cisim+dört cisim+ +N cisim etkileşmelerinin tümü

=iki cisim+üç cisim+dört cisim+ +N cisim etkileşmelerinin tümü BÖLÜM 2: ÇEKİRDEĞİN GENEL ÖZELLİKLERİ Kuantum mekaniği yasalarının geçerli olduğu birçok sistem gibi, makroskobik bir cismi tanımlamak çekirdeği tanımlamaktan çok daha kolaydır. Ortalama ağırlıktaki 50

Detaylı

Aralığında (γ,p) Reaksiyon Tesir Kesiti Hesaplamaları

Aralığında (γ,p) Reaksiyon Tesir Kesiti Hesaplamaları SDU Journal of Science (E-Journal), 214, 9 (2): 17-112 27 Al, 54 Fe, 58 Ni ve 9 Zr Hedef Çekirdekleri İçin 1 3 MeV Enerji Aralığında (γ,p) Reaksiyon Tesir Kesiti Hesaplamaları Veli Çapalı 1,*, Hasan Özdoğan

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

GENEL KİMYA. Yrd.Doç.Dr. Tuba YETİM

GENEL KİMYA. Yrd.Doç.Dr. Tuba YETİM GENEL KİMYA ATOMUN ELEKTRON YAPISI Bohr atom modelinde elektronun bulunduğu yer için yörünge tanımlaması kullanılırken, kuantum mekaniğinde bunun yerine orbital tanımlaması kullanılır. Orbital, elektronun

Detaylı

BÖLÜM 31 HÜCKEL MOLEKÜLER ORBİTAL TEORİ

BÖLÜM 31 HÜCKEL MOLEKÜLER ORBİTAL TEORİ BÖLÜM 31 HÜCKEL MOLEKÜLER ORBİTAL TEORİ Genel olarak, poliatomik moleküllerin büyük çoğunluğunun, atom çiftleri arasında kurulan iki elektronlu bağların bir araya gelmesiyle oluştuğu düşünülür. CO gibi

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

İstatistiksel Mekanik I

İstatistiksel Mekanik I MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü DİNAMİK - 7 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 7. HAFTA Kapsam: Parçacık Kinetiği, Kuvvet İvme Yöntemi Newton hareket

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

elde ederiz. Bu son ifade yeniden düzenlenirse,

elde ederiz. Bu son ifade yeniden düzenlenirse, Deney No : M2 Deneyin Adı : İKİ BOYUTTA ESNEK ÇARPIŞMA Deneyin Amacı : İki boyutta esnek çarpışmada, enerji ve momentum korunum bağıntılarını incelemek, momentumun vektörel, enerjini skaler bir büyüklük

Detaylı

HAFİF BETONLARDA DONATI ADERANSI DAYANIMININ BULANIK MANTIK YÖNTEMİYLE MODELLENMESİ

HAFİF BETONLARDA DONATI ADERANSI DAYANIMININ BULANIK MANTIK YÖNTEMİYLE MODELLENMESİ ASYU 2008 Akıllı Sistemlerde Yenilikler ve Uygulamaları Sempozyumu HAFİF BETONLARDA DONATI ADERANSI DAYANIMININ BULANIK MANTIK YÖNTEMİYLE MODELLENMESİ Serkan SUBAŞI 1 Ahmet BEYCİOĞLU 2 Mehmet EMİROĞLU

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

TORNA TEZGAHINDA KESME KUVVETLERİ ANALİZİ

TORNA TEZGAHINDA KESME KUVVETLERİ ANALİZİ İMALAT DALI MAKİNE LABORATUVARI II DERSİ TORNA TEZGAHINDA KESME KUVVETLERİ ANALİZİ DENEY RAPORU HAZIRLAYAN Osman OLUK 1030112411 1.Ö. 1.Grup DENEYİN AMACI Torna tezgahı ile işlemede, iş parçasına istenilen

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından

İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyen F kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve A dan A ne diferansiyel

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler.

8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Schrödinger denklemi Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Köşeli parantez içindeki terim, dalga fonksiyonuna etki eden bir işlemci olup, Hamilton

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi. chem.libretexts.org

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi. chem.libretexts.org 9. Atomun Elektron Yapısı Elektromanyetik ışıma (EMI) Atom Spektrumları Bohr Atom Modeli Kuantum Kuramı - Dalga Mekaniği Kuantum Sayıları Elektron Orbitalleri Hidrojen Atomu Orbitalleri Elektron Spini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME)

KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Demir yolu traversleri çok büyük kesme yüklerini taşıyan kiriş olarak davranır. Bu durumda, eğer traversler ahşap malzemedense kesme kuvvetinin en büyük olduğu uçlarından

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Fizikokimya II 2008 Bahar

MIT Açık Ders Malzemeleri Fizikokimya II 2008 Bahar MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ATOMUN YAPISI. Özhan ÇALIŞ. Bilgi İletişim ve Teknolojileri

ATOMUN YAPISI. Özhan ÇALIŞ. Bilgi İletişim ve Teknolojileri ATOMUN YAPISI ATOMLAR Atom, elementlerin en küçük kimyasal yapıtaşıdır. Atom çekirdeği: genel olarak nükleon olarak adlandırılan proton ve nötronlardan meydana gelmiştir. Elektronlar: çekirdeğin etrafında

Detaylı

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Detaylı

c

c Bağıntı Sayıları Çalışma Kağıdı c www.selian.wordpress.com selianwordpress@gmail.com Özellikle Bilgisayar Olimpiyatları sınavlarına hazırlanan öğrenci arkadaşların mutlaka ilmesi gereken konulardan irisi

Detaylı

Dijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir.

Dijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. u(t):kuvvet u(t) F yay F sönm Yay k:yay sabiti m kütle Sönümlirici b:ösnümlirme sabiti y(t):konum 1 1 3

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ATOMİK YAPI. Elektron Yükü=-1,60x10-19 C Proton Yükü=+1,60x10-19 C Nötron Yükü=0

ATOMİK YAPI. Elektron Yükü=-1,60x10-19 C Proton Yükü=+1,60x10-19 C Nötron Yükü=0 ATOMİK YAPI Elektron Yükü=-1,60x10-19 C Proton Yükü=+1,60x10-19 C Nötron Yükü=0 Elektron Kütlesi 9,11x10-31 kg Proton Kütlesi Nötron Kütlesi 1,67x10-27 kg Bir kimyasal elementin atom numarası (Z) çekirdeğindeki

Detaylı

da. Elektronlar düşük E seviyesinden daha yüksek E seviyesine inerken enerji soğurur.

da. Elektronlar düşük E seviyesinden daha yüksek E seviyesine inerken enerji soğurur. 5.111 Ders Özeti #6 Bugün için okuma: Bölüm 1.9 (3. Baskıda 1.8) Atomik Orbitaller. Ders #7 için okuma: Bölüm 1.10 (3. Baskıda 1.9) Elektron Spini, Bölüm 1.11 (3. Baskıda 1.10) Hidrojenin Elektronik Yapısı

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

FİSYON. Ağır çekirdekler nötronla bombardıman edildiklerinde bölünürler.

FİSYON. Ağır çekirdekler nötronla bombardıman edildiklerinde bölünürler. FİSYON Ağır çekirdekler nötronla bombardıman edildiklerinde bölünürler. Fisyon ilk defa 1934 te Ida Noddack tarafından önerilmiştir. Otto Hahn & Fritz Strassman Berlin (1938) de yaptıkları deneylerde hızlı

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti

Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti Deneyin Temeli Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti Fotoelektrik etki modern fiziğin gelişimindeki anahtar deneylerden birisidir. Filaman lambadan çıkan beyaz ışık ızgaralı spektrometre

Detaylı

Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Si stemin İ şl evsel Kalitesi. H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n

Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Si stemin İ şl evsel Kalitesi. H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Si stemin İ şl evsel Kalitesi H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin İşlevsel Kalitesi Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin İşlevsel

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

4.1 denklemine yakından bakalım. Tanımdan α = dω/dt olduğu bilinmektedir (ω açısal hız). O hâlde eğer cisme etki eden tork sıfır ise;

4.1 denklemine yakından bakalım. Tanımdan α = dω/dt olduğu bilinmektedir (ω açısal hız). O hâlde eğer cisme etki eden tork sıfır ise; Deney No : M3 Deneyin Adı : EYLEMSİZLİK MOMENTİ VE AÇISAL İVMELENME Deneyin Amacı : Dönme hareketinde eylemsizlik momentinin ne demek olduğunu ve nelere bağlı olduğunu deneysel olarak gözlemlemek. Teorik

Detaylı

Kısa İçindekiler. Fizik: İlkeler ve Pratik Cilt 1: 1-21 Bölümleri, Cilt 2: Bölümleri kapsar

Kısa İçindekiler. Fizik: İlkeler ve Pratik Cilt 1: 1-21 Bölümleri, Cilt 2: Bölümleri kapsar Kısa İçindekiler Fizik: İlkeler ve Pratik Cilt 1: 1-21 Bölümleri, Cilt 2: 22-34 Bölümleri kapsar Bölüm 1 Temeller 1 Bölüm 2 Bir Boyutta Hareket 28 Bölüm 3 İvme 53 Bölüm 4 Momentum 75 Bölüm 5 Enerji 101

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları 1.1 Oyun Teorisi Ders Notları Muhamet Yıldız Ders 17-18 1 Eksik Bilgili Statik Uygulamalar Bu ders notları eksik ilgili ekonomik uygulamalarla ilgilidir. Amacı eksik ilgili statik oyunlarda Bayesyen Nash

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

İnce Antenler. Hertz Dipolü

İnce Antenler. Hertz Dipolü İnce Antenler Çapları boylarına göre küçük olan antenlere ince antenler denir. Alanların hesabında antenlerin sonsuz ince kabul edilmesi kolaylık sağlar. Ancak anten empedansı bulunmak istendiğinde kalınlığın

Detaylı

, (Compton Saçılması) e e, (Çift Yokoluşu) OMÜ_FEN

, (Compton Saçılması) e e, (Çift Yokoluşu) OMÜ_FEN Göreli olmayan kuantum mekaniği 1923-1926 yıllarında tamamlandı. Göreli kuantum mekaniğinin ilk başarılı uygulaması 1927 de Dirac tarafından gerçekleştirildi. Dirac denklemi serbest elektronlar için uygulandığında

Detaylı

BÖLÜM 28-29 MOLEKÜLER ORBİTAL TEORİ 1.KISIM

BÖLÜM 28-29 MOLEKÜLER ORBİTAL TEORİ 1.KISIM BÖLÜM 28-29 MOLEKÜLER ORBİTAL TEORİ 1.KISIM Buraya kadar kuantum mekaniği konusunda hızlandırılmış dersimizi neredeyse tamamladık ve artık moleküllerle uğraşmaya hazırız. Yaşasın! Öncelikle, hayal + edebileceğimiz

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bölüm 8: Atomun Elektron Yapısı

Bölüm 8: Atomun Elektron Yapısı Bölüm 8: Atomun Elektron Yapısı 1. Elektromanyetik Işıma: Elektrik ve manyetik alanın dalgalar şeklinde taşınmasıdır. Her dalganın frekansı ve dalga boyu vardır. Dalga boyu (ʎ) : İki dalga tepeciği arasındaki

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Gerilme ve Şekil değiştirme bileşenlerinin lineer ilişkileri Hooke Yasası olarak bilinir. Elastisite Modülü (Young Modülü) Tek boyutlu Hooke

Detaylı

KİNETİK GAZ KURAMI. Doç. Dr. Faruk GÖKMEŞE Kimya Bölümü Hitit Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi 1

KİNETİK GAZ KURAMI. Doç. Dr. Faruk GÖKMEŞE Kimya Bölümü Hitit Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi 1 Kinetik Gaz Kuramının Varsayımları Boyle, Gay-Lussac ve Avagadro deneyleri tüm ideal gazların aynı davrandığını göstermektedir ve bunları açıklamak üzere kinetik gaz kuramı ortaya atılmıştır. 1. Gazlar

Detaylı