Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar"

Yavuz Yalman
5 yıl önce
İzleme sayısı:

Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay,

teoremi üme: Ayrı eseleri iyi taımlamış bir kolekiyou.

1 Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio) Biom teoremi üme: Ayrı eseleri iyi taımlamış bir kolekiyou. Örek: İST254 dersii ala öğreciler, A={2, 3, 5, 7}, B={x N 2 X 10} lema: ümeleri üyeleri ola eseler Boş küme: Hiç elemaı olmaya küme. Örek: tek sayıda elektrou ola asal gazlar, Solu küme: Belirli sayıda elemaı ola küme. Örek: Halojeler Sosuz küme: Sosuz sayıda elemaı ola küme. Örek: tek sayılar vresel küme: Tüm elemaları içere küme. Ayrık küme: Ortak elemaı olmaya kümeler 1

2 esişim: Birde fazla kümei ortak elemalarıda oluşur. A B = x x A ve x B Birleşim: Birde fazla kümei e az birie ait elemalarda oluşur. A B = x x A veya x B Tümleye: Bir kümeye ait olmaya elemalarda oluşur A = {x x ve x A} Özdeşlik (Idetity) Tümleme (Complemet) Değişme (Commutative) Birleşim A = A A = A A = (A ) = A A B = B A esişim A = A = A A A = A B = B A Idempotet A A = A A A = A Birleşme (Associative) A B C = A (B C) A B C = A (B C) Dağılma (Distributive) A B C = A B A C A B C = (A B) (A C) De Morga A B = A B A B = A B (2.6.1) Bu bölümde kullaıla iki farklı gösterim şekli ile de aşağıdaki kümeleri her birii gösteriiz. a) Pozitif tam sayılar kümesi 1,2,3,, x x N b) Pozitif çift sayılar kümesi 2,4,6,, x x = 2, N c) Bir para atıldığıda elde edile souçları kümesi Y, T, x x = Y, T d) Bir zar atıldığıda elde edile souçları kümesi 1,2,3,4,5,6, x x N, x 6 2

3 (2.6.20)Aşağıdaki eşitliği sadeleştiriiz: A = B C B C B C A= B C C B C = = B B C = = B B C = = B B B C = = B C = = B C Deey: Soucu öcede kesi olarak biliemeye, veri oluştura süreç. Örek: Bir zar atışı, HCl çözeltisii ph ıı ölçümü, vs. Örek Uzay: Bir deeyi olası tüm souçlarıı kapsaya küme. Örek: Zar atışı içi S = 1,2,3,4,5,6 Örek Nokta: Örek uzayı üyesi ola olası souçları her biri. Örek: ph ölçümü içi 2.1 Olay: Örek uzayı alt kümesi.örek: Ölçüle ph değerii 2 de küçük olması (2.6.24) A, B, C aşağıdaki gibi taımlaa bir S örek uzayıda olaylar olsu. S = x x = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A = x x = 1,3,5,7,9 B = x x = 1,2,3,4,5,6 C = x x = 5,6,7,8,9,10 a) A B C b) A B c) A A d) A B C e) C B f) S olaylarıı buluuz 3

4 (2.6.24) A, B, C aşağıdaki gibi taımlaa bir S örek uzayıda olaylar olsu. S = x x = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A = x x = 1,3,5,7,9 B = x x = 1,2,3,4,5,6 C = x x = 5,6,7,8,9,10 a) A B C = 5 b) A B = 1,2,3,4,5,6,7,9 = 8 c) A A = S d) A B C = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 = S e) C B = f) S = olaylarıı buluuz (2.6.28) A ve B ayı örek uzayda ayrık olaylar olsu. C bu uzayda herhagi bir olay olmak üzere, a) A ve B ayrık olaylar mıdır? A B = A B A B = S değilse A ve B ayrık değildir. b) A C ve B C ayrık olaylar mıdır? A C B C = C A B = C = c) A C ve B C olayları içi e söyleebilir? A C B C = C A B = C C = değilse A C ve B C ayrık değildir. Toplama uralı: Birbiride ayrık k işlemde ilki N 1, ikicisi N 2,... k ıcı N k farklı şekilde yapılabiliyorsa, bu işlemlerde biri N 1 + N N k farklı şekilde yapılabilir. Çarpma uralı: Birbirii etkilemele k işlemde ilki N 1, ikicisi N 2,... k ıcı N k farklı şekilde yapılabiliyorsa, bu k işlem birlikte N 1 N 2 N k farklı şekilde yapılabilir. 4

5 Bir yakıt ekoomisi testide 3 farklı araç, 5 farklı marka yakıt kullaılarak, 4 farklı bölgede test ediliyor. Test, olası ola her koşul altıda bir kez yapıldığıa göre, kaç kez tekrar edilmiştir? N = N 1 N 2 N 3 = = 60 (2.5.1) Üç çocuklu ailelerde kız ve erkek çocuk dağılımlarıı bulmak içi böyle aileler üzeride araştırma yapılmıştır. Üç çocuklu aileler kitleside bir ailei seçilmesi deeyi içi örek uzayı buluuz. S =,,,,,,, 0 Ağaç Diagramı 5

6 (2.5.11) 1, 2, 3, 4 sayıları dört ayrı kağıt parçası üzerie yazılarak bir torbaı içie atılıyor. Gözleri bağlamış bir şahıs biri diğeride sora olmak üzere çekile geriye atılmaksızı iki kağıt parçası çekiyor. Bu deey içi örek uzayı yazıız (1, 2) (1, 3) (1, 4) 2 (2, 1) (2, 3) (2, 4) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 4) 4 (4, 1) (4, 2) (2, 3) Bir zar oyuuda bir çift zar atılıyor; zarları toplamı 2, 3 ya da 12 gelirse oyucu A, 7 ya da 11 gelirse oyucu B kazaıyor. Diğer toplamlarda ise oyu tekrarlaıyor. Oyucu B kaç farklı şekilde kazaabilir? Zarları toplamı 6 şekilde 7 gelebilir {1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1} Zarları toplamı 2 şekilde 11 gelebilir {5-6,6-5} Oyucu B 6+2= 8 şekilde kazaabilir. Bir kümei elemalarıı bir kısmıı ya da tümüü belli bir sıralamasıa permütasyo deir. sayıda elema! farklı şekilde sıralaabilir. sayıda elemada r taesi sıralaarak P r =! r! permütasyo oluşturulabilir. 6

7 (3.1.9) 1, 2, 3, 4, 5 rakamları ile kaç tae 4 basamaklı sayı yazılabilir? a) Rakamlar yielemiyor 5! 5 P 4 = 5 4! = = 120 b) Rakamlar yieleebiliyor 5 4 = 625 c) Rakamları yielemede yazıla sayıı tek olması isteiyor 3 4 P 3 = = 72 Dairesel olarak yerleştirile eseleri tümüü yerleri birer sıra kaydırılırsa sıraları değişmez. Dolayısıyla sayıda elema 1! farklı şekilde sıralaabilir. sayıda elemada r taesi bir daire oluşturarak P r =! r r r! farklı şekilde sıralaabilirler 5 farklı ağaç bir daire oluşturacak şekilde dikilecektir. Bu ağaçlar kaç farklı şekilde sıralaabilirler? 5 1! = 4! = 24 8 farklı ağaçta 6 taesi seçilerek daire oluşturacak şekilde dikileceklerdir. Bu ağaçlar kaç farklı şekilde sıralaabilirler? 8P6 6 = 8! 6 8 6! =

esei r 1 adedi birici tür, r 2 adedi ikici tür,..., r k adedi k ıcı tür ise, söz kousu ese! r 1, r 2,, r = k r 1! r 2! r k! Şekilde sıralaabilir Bir çocuğu 4 kırmızı, 2 siyah, 1 de sarı oyucak arabası vardır.

8 esei r 1 adedi birici tür, r 2 adedi ikici tür,..., r k adedi k ıcı tür ise, söz kousu ese! r 1, r 2,, r = k r 1! r 2! r k! Şekilde sıralaabilir Bir çocuğu 4 kırmızı, 2 siyah, 1 de sarı oyucak arabası vardır. Rekleri dışıda oyucak arabaları rek dışıda farkı olmadığıa göre, bu oyucaklar kaç farklı şekilde sıralaabilirler? 7 4,2,1 = 7! 4! 2! 1! = = 105 Bir kümei belli sayıda elemaıı sırasıa öem vermeksizi seçilmesidir. sayıda elemada r taesi C r = r =! r! r! şekilde seçilebilir 8

9 52 farklı kartta oluşa stadart bir destede çekilebilecek 5 kartlı kaç farklı el vardır? 52 C 5 = 52 5 = 52! 47! 5! = 2,597,960 = üyesi bulua bir öğreci klübü 1 başka, 2 başka yardımcısı ve 1 deetçide oluşa yöetim kuruluu kaç farklı şekilde seçebilir? C 2 12 = = A kümesii elemaı; r 1 elemaı A 1, r 2 elemaı A 2,..., r k elemaı A k kümesie düşecek şekilde k kümeye! r 1! r 2! r k! şekilde parçalaabilir. A kümesii elemaı; r elemalı k kümeye! r! k k! şekilde parçalaabilir 9

10 25 oyucusu bulua bir futbol takımı kaç farklı şekilde 17 kişilik maç kadrosu ve ilk 11 belirleyebilir? 25! 11! 6! 8! = 13,385,572, öğreci 5 er kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde bölüebilir? 20! 5! 4 4! = 488,864,376 pozitif tam sayısı içi: a + x = 0 a + 1 a 1 x + r a r x r + + xr = r a r x r r=0 katsayılarıa biom katsayıları deir r 10

Benzer belgeler

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar