ÜNİTE ÜNİTE. RİSK YÖNETİMİ Doç. Dr. İbrahim Doğan İÇİNDEKİLER HEDEFLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜNİTE ÜNİTE. RİSK YÖNETİMİ Doç. Dr. İbrahim Doğan İÇİNDEKİLER HEDEFLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ"

Transkript

1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ Giriş İstatiksel Kavramlar Olasılık Şartlı Olasılık Rassal Değişken Beklenen Değer Varyans Histogram Kantitatif Risk Değerlendirme Teknikleri Monte Carlo Simülasyonu Markov Analizi Bayes Ağları Karar Ağacı RİSK YÖNETİMİ Doç. Dr. İbrahim Doğan Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Temel olasılık ve istatistik kavramları hakkında bilgi sahibi olacak, Kantitatif risk değerlendirmesinde kullanılan yöntemlerin çeşitlerini öğrenecek, Bu teknikler arasındaki farkları anlayarak kendi problemlerinize uygulayabileceksiniz. ÜNİTE 5 ÜNİTE 5

2 GİRİŞ Genel olarak risk bir tehlikeli durumun meydana gelme olasılığı ve bu durumun ortaya çıkması sonucunda sebep olduğu etkinin ve süresinin birlikte incelenmesidir (ISO, 2009a). Bir önceki bölümde risk değerlendirmede kullanılan kalitatif teknikler incelenmişti. Bu bölümde de karar vericilere çeşitli açılardan yardımcı olacak kantitatif risk değerlendirme teknikleri incelenecektir. Risk tanımından da anlaşılacağı üzere, riskin önemli bileşenlerinden biri de olasılıktır. Bir durum karşısında riskin başarılı bir şekilde tanımlanması ve sağlıklı kararlara ulaşmak öncelikle riskin gerçekleşme olasılığının doğru tanımlanmasını gerektirir. Bu nedenle, kantitatif risk değerleme teknikleri incelenmeden önce önemli olasılık ve istatistik kavramları üzerinde durulacak daha sonra kantitatif teknikler gözden geçirilecektir. İstatiksel Kavramlar Olasılık Riskin başarılı bir şekilde yönetilmesi olasılık kavramının iyi anlaşılması gerektirmektedir. Olasılık kavramını açıklamadan önce olasılıkla ilgili birtakım tanımlamalar yapılacaktır. Rassal Deney: Mümkün olabilecek sonuçlardan (örnek uzay) önceden kestirilemeyen birinin gerçekleşmesi işlemine denir. Burada rassallık deneyin aynı ortam ve aynı şartlarda gerçekleştiği hâlde her seferinde farklı bir sonuçla sonlanabileceğini temsil etmektedir. Örnek Uzay ve Rassal Olay: Herhangi bir rassal deneyin olabilecek tüm sonuçlar kümesi örnek uzay olarak adlandırılırken bu uzayın herhangi bir altkümesine ise olay adı verilir. Örneğin, zarın bir kez atılması rassal deneyimizi temsil ederken bu deneyimiz için örnek uzay S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve zarın 3`ten büyük gelme olayı A = {1, 2, 3} olacaktır. Kesikli ve Sürekli Örnek Uzay: Durum uzayı eğer sınırlı veya sayılabilir sayıda elemandan oluşuyorsa kesikli örnek uzayı, eğer sınırlı veya sınırsız bir aralığı içeriyorsa sürekli örnek uzayı olarak adlandırılmaktadır. Örneğin, bir işletmede gerçekleşebilecek kazanın şiddetini yüksek, orta ve düşük olarak sınıflandıracak olursak kesikli örnek uzayımız S = {yüksek, orta, düşük} olarak oluşacaktır. Buna karşılık bir işletmede üretim sonucunda ortaya çıkan atık gaz miktarının 0 ile 0.5 mg arasında herhangi bir değer aldığından bahsediliyorsa örnek uzay S = { x 0 x 0.5} olarak oluşacaktır. Ayrık Olay: İki olay arasında ortak bir eleman söz konusu değilse bu olaylara ayrık olaylar adı verilir. Başka deyişle bu olayların kesişimi boş kümedir (A 1 A 2 = ). Olasılık: Bir olayın olasılığı ise P(A) olarak gösterilir ve A olayının içindeki bütün sonuçların olasılıklarının toplamı ile hesaplanır. Bu bilgiler ışığında olasılık aksiyomlarını şu şekilde tanımlayabiliriz: Herhangi bir olayın gerçekleşme olasılığı 0 ile 1 arasında değişir (0 P(A) 1) Örnek uzaydaki bütün sonuçların olasılığının toplamı 1 e eşittir (P(S) = 1) İki ayrık olayın en azından herhangi birinin gerçekleşme olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. (P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 )). Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2

3 Şartlı Olasılık: Bir olay ile ilgili yeni bilgiler ortaya çıktığında olasılıkların yeniden değerlendirilmesi söz konusu olabilir. Örneğin, A olayının bir sonucunun gerçekleştiği bilinde B olayının gerçekleşme olasılığını inceliyorsak P(B A) şeklinde gösterilir ve A verildiğinde B nin koşullu olasılığı olarak adlandırılır. P(B A) koşullu olasılığı ise şu şekilde hesaplanır: P(B A) = Örnek 5.1: P(A B) P(A) Bir işletmede son 5 yıl içinde gerçekleşen 100 kazanın şiddet ve hasar büyüklüğüne göre dağılımı şu şekildedir: Tablo 5.1. Örnek 5.1 için hasar büyüklüğü ve kaza şiddetine göre gerçekleşen olay sayısı Kaza Şiddeti (A olayı) Yüksek (A1) Orta (A2) Düşük (A3) Toplam Hasar Büyüklüğü Çok hasar (B1) Orta hasar (B2) Az hasar (B3) Toplam Bu tabloya göre yüksek şiddette bir kazanın gerçekleşme olasılığı: P(A 1 ) = = 0,17 Orta hasarlı bir kazanın gerçekleşme olasılığı: olarak hesaplanacaktır. P(B 2 ) = = 0,40 Eğer bir hasarın çok hasarlı olduğu biliniyorsa bunun orta şiddette bir kaza sonucu gerçekleşmiş olma olasılığını inceleyecek olursak, P(A 2 B 1 ) = P(A 2 B 1 ) P(B 1 ) olarak hesaplanacaktır. = 0,07 0,18 = 0,39 Şartlı olasılık problemi aslında yeni bilgi ışığında örnek uzayının değişmesi problemi olarak da görülebilir. Örneğin, yukarıdaki problemde yeni bilgimiz hasarın çok olması örnek uzayımızı 100 den 18 e düşürmekte ve yeni durumda ilgilendiğimiz ise sadece orta şiddetteki kazalar olduğundan aynı koşullu olasılığını olarak da hesaplayabiliriz. P(A 2 B 1 ) = 7 18 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3

4 Rassal değişken Rassal deneye ait örnek uzayının her bir sonucuna sayısal değer atayan fonkiyondur. X gibi büyük harflerle gösterilir. Örnek uzayda olduğu gibi sayılabilir veya gerçekleşebilecek değerler sınırlı ise kesikli rassal değişken, gerçekleşebilecek değerler bir aralıkta ise sürekli rassal değişken olarak adlandırılmaktadır. Örneğin, belirli bir dönem içerisindeki gerçekleşen kaza sayısı kesikli, kazaların sebep olduğu hasarların parasal olarak karşılığı sürekli rassal değişkene örnek olarak gösterilebilir. Rassal değişken X in mümkün olabilecek değerlerinin olasılıkları, olasılık fonksiyonu f x (x) ile açıklanmaktadır. Olasılık fonksiyonu bir tablo, bir grafik olarak açıklanabileceği gibi bir formül ile de gösterilebilir. Kesikli değişkenler için özel olarak bu fonksiyona olasılık kütle fonksiyonu ve sürekli değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilmektedir. Tablo 5.2 de kesikli ve sürekli değişkenlerin olasılık fonksiyonları için gerekli şartlar belirtilmiştir. Tablo 5.2: Kesikli ve sürekli olasılık fonsiyonlarının sahip olması gerekli özellikler Kesikli rastgele değişken (i) f(x i ) 0 n (ii) i=1 f(x i ) (iii) f(x i ) = P(X = x i ) Sürekli rastgele değişken (i) f(x) 0 + (ii) f(x)dx = 1 b (iii) P(a X b) = f(x) dx a Her iki durum içinde (i) de rastgele değişkeninin olasığının negatif olamayacağı, (ii) de değişkenin alabileceği tüm değerlerinin olasılıkları toplamının 1 e eşit olduğu belirtilmektedir. Beklenen değer Beklenen değer, dağılımın merkezi veya orta noktası hakkında bilgi verir ve bir dağılım için önemli açıklayıcı ölçülerden bir tanesidir. Kesikli değişkenler için beklenen değer Beklenen değer bir dağılımın ortalaması hakkında bilgi sağlar. E(X) = μ = x i p(x i ) i=1 ile hesaplanır. Kesikli değişkenler için beklenen değer bütün alabileceği değerler ile bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımının toplamına eşittir. Buna karşılık sürekli değişkenler için beklenen değer n + E(X) = μ = xf(x)dx ile hesaplanır. Örnek 5.2: Bir yıl içerisinde meydana gelebilecek kaza sayısı rastgele değişkenine ait olasılıklar Tablo 5.3`te verilmiştir. Buna göre bir yıl içerinde meydana gelebilecek ortalama kaza sayısını (beklenen değeri) hesaplayınız. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4

5 Tablo 5.3. Örnek 5.2 için kaza sayısı dağılımı Kaza sayısı (X) Olasılık 0,2 0,1 0,15 0,25 0,2 n E(X) = x i p(x i ) = 0.0, , , , ,2 = 1,95 i=1 Bu sonuç bir yıl içinde ortalamada 1,95 kaza görüleceğini ifade etmektedir. Varyans Varyans, dağılımın yaygınlığı başka bir deyişle değişkenliği hakkında önemli bir bilgi sağlar. Genel olarak ortalaması µ ile gösterilmiş olan X rassal değişkeninin varyası aşağıdaki gibi hesaplanır. Varyans veya standart sapma bir dağılımın yaygınlığı hakkında bilgi sağlar. Var(X) = σ 2 = E[(X μ) 2 ] Eğer dağılım kesikli ise şu şekilde hesaplanır: Var(X) = σ 2 = (x i μ) 2 p(x i ) n i=1 Eğer dağılım sürekli ise şu şekilde hesaplanır: + Var(X) = σ 2 = (x μ) 2 f(x)dx Yukarıdaki tanımlamalardan anlaşılacağı üzere bir değişkenin varyansının genel olarak ortalamasından sapmasının karelerinin ortalaması olduğunu söyleyebiliriz. Standard sapma ise σ ile gösterilir ve σ = Var(X) ile hesaplanır. Örnek 5.3: Örnek 5.2 deki rassal değişkenin varyansını hesaplayacak olursak: Var(X) = σ 2 = E[(X μ) 2 ] = (0 1,95) 2. 0,2 + (1 1,95) 2. 0,1 + (2 1,95) 2. 0,15 + (3 1,95) 2. 0,25 + (4 1,95) 2. 0,2 = 1,97 Ortalama ve varyans değerleri bir rassal değişkenin dağılımı hakkında önemli bilgi sunarlar. Histogram Elimizdeki ham bir verinin dağılımını anlamak ve veriyi daha açıklayıcı hâle getirmek için histogramlardan ve frekans tablolarından faydalanırız. Histogram elimizdeki veriyi daha organize bir şekilde düzenleyerek verinin ortalaması ve yaygınlığı gibi ölçülerde bilgi sahibi olmamızı sağlar (Montgomery ve Runger, 1999). Bir histogram oluşturmak için genel olarak adımları şu şekilde sıralayabiliriz: Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5

6 Histogram görsel olarak ham bir verinin şekli, ortalaması ve yaygınlığı hakkında bilgi sağlar. Örnek 5.4: Veri setini küçükten büyüğe doğru sıralayınız. Veri setinin aralığını (en büyük ve en küçük değer arasındaki fark) hesaplayınız (R). Veri setinin büyüklüğünü tespit ediniz (N). Veri setini kaç aralıkta temsil edeceğinizi belirleyiniz. Genellikle veri setimizin büyüklüğü artıkça daha fazla aralıkla temsil etmek gereklidir. Her bir aralık için başlangıç ve bitiş noktalarını hesaplayınız. Her bir aralığa düşen eleman sayısını hesaplayınız. Grafiksel olarak gösteriniz. Bir işletmede son 20 hafta içerisinde meydana gelen kaza sayıları şu şekilde kaydedilmiştir: 4, 11, 9, 9, 5, 8, 10, 8, 10, 10, 9, 12, 11, 7, 13, 8, 11, 7, 9, 6. Bu veri seti için histogram oluşturunuz. Genel olarak adımları şu şekilde oluştururuz: 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13. R = 13-4 = 9. N=20 20 adet veri noktamız bulunmakta. Dolaysıyla 5 aralıkta gösterilecektir. 9/5=1,8. Aralıklarımız: (4 ;5,8) - (5,8 ; 7,6) - (7,6 ; 9,4) - (9,4 ; 11,2) - (11,2 ; 13) Her aralığa düşen veri noktası sayısı: (2 ; 3; 7; 6; 2) Kaza Frekansları Aralıklar Şekil 5.1 Örnek 5.4 verisinin histogram grafiği Monte Carlo simülasyonu, karmaşık sistemleri modellemekte yaygın olarak kullanılır. Kantitatif Risk Değerlendirme Teknikleri Bu bölümde yaygın olarak kullanılabilecek kantitatif risk değerlendirme teknikleri sıralanacaktır. Monte Carlo Simülasyonu Monte Carlo simülasyonu, analitik yöntemlerle hesaplamanın çok zor veya karmaşık olduğu durumlarda tercih edilen bir yöntemdir. Monte Carlo simülasyonu sayesinde problemin yapısına ve girdilerine göre rastgele sayılar türetilerek karar vericilerin problem, probleme ait belirsizlikler ve sistem belirsizliği hakkında bilgi edinilmesini sağlayarak sağlıklı ve etkin kararlar verilmesine olanak sağlar. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6

7 Monte Carlo tekniğinin yaygın olarak kullanılmasının sebebi bir problem hakkında cevap alabilmek için yüksek cebir bilgisine gerek kalmadan tatmin edici çözümler elde edilebilmektedir (ISO, 2009b). Ayrıca pek çok rassal süreçler için rahatlıkla uygulanabilmektedir. Örnek 5.5: Monte Carlo simülasyonun aşamalarını şu şekilde özetleyebiliriz: Çalışılacak sistem davranışlarını temsil edecek modelin veya algoritmanın oluşturulması Girdi ve çıktıları açık bir şekilde belirtilmiş modelin istenilen sonuçlarını elde etmek için rassal sayılar kullanılır ve birçok kez benzetim çalıştırılır. Burada, model girdilerindeki ve parametrelerindeki belirsizlikleri temsil etmek için birçok kesikli veya sürekli düzgün, normal, Poisson dağılımı gibi dağılımlar kullanılabilir. Çok fazla sonuç elde etmek için çalıştırılan bu modellerde gerçekleşen sonuçlara göre genel sistem performanslarının yanında sistemde tanımlı ve istenen değişkenler için ortalama, standart sapma ve güven aralıkları gibi birçok bilgiye ulaşılabilir. Günümüzde hem modellemede, hem rassal sayı üretiminde hem de sonuçların hesaplanmasındaki sağladıkları kolaylıklardan dolayı bilgisayar ortamında simülasyon yaygın olarak kullanılmaktadır. Bir iş yerinde bir günde meydana gelebilecek kazaların dağılımı Tablo 5.4`teki gibidir. Buna göre gelecek 10 gün içerisinde meydana gelebilecek kazaların sayısının toplamını ve ortalamasını Monte Carlo yöntemi ile hesaplayınız. Tablo 5.4 Örnek 5.5 için kaza sayısı dağılım bilgisi Kaza sayısı (X) Olasılık 0,2 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05 Bu simülasyonun çözümünde ilk yapılması gereken birikmiş dağılımın çıkarılması gerekir. Tablo 5.5`te ayrıca türetilecek rassal sayıların 0 ile 1 arasında düzgün dağılımdan geldiği her bir kaza sayısının içerdiği rastgele sayı aralığı tespit edilmiştir. Örneğin, rassal sayı türetildiğinde elde edilen sonuç 0,2842 ise bu o gün için 1 kaza olduğunu gösterirken 0,7835 rassal sayısı o gün için 3 kaza olduğunu göstermektedir. Tablo 5.5 Örnek 5.5 için rastgele sayı aralıkları Kaza sayısı (X) Olasılık 0,2 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05 Kümülatif olasılık 0,2 0,5 0,7 0,85 0,95 1 Rastgele Sayı Aralığı 0-0,2 0,2-0,5 0,5-0,7 0,7-0,85 0,85-0,95 0,95-1 Kümülatif olasılık çıkarıldıktan sonra ise rassal sayılar türetilir. Rassal sayı türetilmesi için rassal sayılar tablosundan faydalanılacağı gibi bilgisayar programları da kullanılabilir. Örneğin MS Excel de S_SAYI_ÜRET() fonksiyonu 0 ile 1 arasında sayılar türetecektir. Aşağıdaki tabloda da MS Excel kullanılarak türetilen sayılar gösterilmektedir. Eğer elimizdeki örnek için 10 gün için iki farklı simülasyon döngüsü gerçekleştirecek olursak, örnek sonuçları Tablo 5.6` daki sonuçları gözlemlememiz mümkün olabilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7

8 Gün sayısı Rastgele Sayı Tablo 5.6 Örnek 5.5 için simülasyon sonuçları Günlük kaza sayısı Gün sayısı Rastgele Sayı Günlük kaza sayısı 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Buna göre ilk simülasyon döngüsünde, toplamda 17 ortalamada günlük 1,7 kaza ile sonuçlanırken ikinci simülasyon döngüsü; toplamda 16, ortalamada günlük 1,6 kaza ile sonuçlanmıştır. Eğer teorik beklenen değeri hesaplanacak olursa: n E(X) = x i p(x i ) = 0. 0, , , , , ,0 = 1,8 i=1 ortalaması elde edilecektir. Eğer simülasyon döngü sayısını çok sayıda tekrarlayacak olursak simülasyon ortalamalarının teorik ortalamaya yakınsayacağı görülecektir. Tablo 5.7 de farklı simülasyon sayısı için tekrarlanan simülasyonların ortalamaları gösterilmiştir. Simülasyon sayısı arttıkça elde edilen ortalama değerlerin teorik ortalamaya yakınsadığı görülmektedir. Bu simülasyonu bir bilgisayar ortamında kez simüle edildiğinde ortalaması 1,8021 olarak elde edilmiştir. Tablo 5.7 Simülasyon sayısına göre ortalama değerlerin değişimi Simülasyon Sayısı 10 Ortalama Değer 2, , , , , , ,802 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8

9 Markov Analizi Markov analizi, verilen bir sistemdeki gelecek durumların mevcut durumlara bağlı olduğu hâllerdeki stokastik süreçleri modellemede kullanılır. Birinci derecen Markov analizi gelecek durumların şimdiki durum verildiğinde geçmiş durumlardan bağımsızlığını kabul eder. Markov analizinde sisteme ait bütün açıklayıcı bilgiler durum adı verilen ifadelerde tutulmaktadır. Durumlar arasındaki geçişler ise geçiş olasılık matrisleri ile yönetilmektedir. Örneğin, bir işletmede bir günde meydana gelen kaza sayılarının kazasız, 1 kazalı ve 2 kazalı olmak üzere üç durumdan birinin gerçekleştiğini kabul edecek olusak, bunlar inceleyeceğimiz Markov sürecimizin durum uzayını temsil etmektedir. Bu üç durum arasındaki değişimde aşağıdaki geçiş matrisi M ile gerçekleşmektedir. 0,4 0,3 0,3 M = [ 0,2 0,5 0,3] 0,1 0,4 0,5 Burada M matirisindeki her bir eleman bir durumdan diğer duruma geçişi göstermektedir. Örneğin kazasız bir günden (S 1) 1 kazalı güne (S 2) geçiş olasılığı 0,3 olarak verilmiştir. Dikkat edileceği gibi her bir satır toplamı 1 e eşittir. Aynı bilgi, Şekil 5.2` deki gibi bu geçişlere ait Markov diyagramında gösterilmiştir. Burada, yuvarlak şekiller her bir durumu temsil ederken oklar bir durumdan diğer duruma geçişleri ve üzerindeki olasılıklarda geçiş olasılıklarını göstermektedir. 0,5 0,2 0,3 1 Kazalı (S 2 ) 0,4 Kazasız (S 1 ) 0,4 0,3 0,3 0,1 2 Kazalı (S 3 ) 0,5 Şekil 5.2 Örnek Markov diagramı Eğer P i olasılığı ile herhangi bir günde i adet (i=0, 1,2) kaza olma olasılığını gösterecek olursak her bir olasılık için aşağıdaki denklemleri yazmamız mümkündür. P 0 = 0,4P 0 + 0,2P 1 + 0,1P 2 P 1 = 0,3P 0 + 0,5P 1 + 0,4P 2 P 2 = 0,3P 0 + 0,3P 1 + 0,5P 2 1 = P 0 + P 1 + P 2 Eğer yukarıdaki denklem sistemi çözülecek olursa P 0 =0,203, P 1 = 0,422, P 2 =0,375 olarak hesaplanır. Yani herhangi bir günde kaza olmama olasılığı 0,203 iken bir kaza olma olasılığı 0,422 ve iki kaza olma olasılığı 0,375 tir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9

10 Bayes ağları sistem içindeki bütün değişkenler arasındaki ilişkileri göz önüne alır. Bayes Ağları Bayes ağları, grafik modellerinin yardımı ile birçok değişken ve bunlar arasındaki olasılık ilişkilerini modellemek için kullanılır. Bayes ağlarında değişkenler düğümler olarak gösterilirken bu düğümler arasındaki ilişkiler yönlü oklar ile gösterilmektedir. Değişkenlere ait olasılık ilişkileri de şartlı olasılıklar ile tanımlanır. Örneğin Şekil 5.3 te bir işletmede forkliftin sebep olduğu kazaların büyüklüğüne etki edecek faktörler aralarındaki ilişkilerle gösterilmiştir. Bayes ağlarında değişkenler kesikli veya sürekli olabilirler. Örneğimizde tanımlı bütün değişkenler kesikli olarak tanımlanmıştır. Her bir değişken için açıklayıcı durumlar ve alabilecekleri değerler Tablo 5.8 de gösterilmiştir. Kazanın şiddeti haricindeki bütün değişkenlerin içinde bulunabileceği durum iki adet değerle gösterilmiş, kazanın şiddet değişkeni için ise üç durum değeri kabul edilmiştir. Forklift İçin Çizgi Tanımlaması Var? Forklift Sayısı Trafik Yoğunluğu Sürücünün Tecrübesi Sürücünün Bilgi Düzeyi Sürücünün Düzenli Eğitimi Forklift Muayenesinin Düzenli Yapılması Kazanın Şiddeti Şekil 5.3 Örnek Bayes Ağı Tablo 5.8 Örnek Bayes Ağı için değişkenler ve değerleri Değişkenin Adı Durum Değerleri Forklift İçin Çizgi Tanımlaması Var? [ Var; Yok ] Forklift Sayısı [ Az; Çok ] Trafik Yoğunluğu [ Az yoğun; Çok Yoğun] Sürücünün Tecrübesi [ < 5 yıl; > 5 yıl ] Sürücünün Düzenli Eğitimi [ Yapılıyor; Yapılmıyor ] Sürücünün Bilgi Düzeyi [ Az; Çok] Forklift Muayenesinin Düzenli Yapılması [ Yapılıyor; Yapılmıyor ] Kazanın Şiddeti [ Az; Orta; Yüksek] Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10

11 Bayes ağlarında değişkenler arası ilişkiler şartlı olasılık tabloları ile gösterilmektedir. Bu Bayes ağı için her bir değişken arasındaki ilişkiye göre şartlı olasılık tablolarının tanımlanması gerekmektedir. Bunun için her bir değişken için ebeveyn değişkenlerin tespiti gerekmektedir. İki değişken bir okla birbirine bağlandığında okun çıkışındaki değişken ebeveyn değişkeni olarak adlandırılırken okun geldiği değişken çocuk olarak adlandırılır. Örneğin, trafik yoğunluğu değişkeninin ebeveynleri Forklift İçin Çizgi Tanımlaması Var? ve Forklift Sayısı değişkenleri iken çocuk değişkeni ise Kazanın Şiddeti değişkenidir. Trafik yoğunluğu değişkeni için şartlı olasılık tablosu Tablo 5.9 da gösterilmiştir. Örneğin 0,9 olasılığı eğer bir işletme için forklif çizgileri mevcut ve forklift sayısının az olduğu bilindiği durumda trafik yoğunluğunun az yoğun gerçekleşme olasılığını göstermektedir ve hemen yanındaki 0,1 olasılığı da bu olasılığın tümleyenini göstermektedir (1-0,9 = 0,1). Eğer bir değişkenin ebeveyn değişkeni mevcut değilse olasılık ilişkileri koşullu olasılık olarak değil, önsel olasılık olarak tanımlanır. Örneğin sürücünün tecrübesi için önsel olasılık Tablo 5.9`da verilmiştir. Bayes ağlarında şartlı olasılıklar oluşturulurken uzman görüşlerinden yararlanılabileceği gibi geçmiş verilerde kullanılabilir. Benzer şekilde bütün değişkenler için şartlı olasılık tablosu oluşturulur. Tablo 5.9 Trafik yoğunluğu değişkeninin şartlı olasılık tablosu Forklift Sayısı Trafik Yoğunluğu (Az yoğun) Forklift İçin Çizgi Tanımlaması Var? Trafik Yoğunluğu (Çok yoğun) Var Az 0,9 0,1 Var Çok 0,4 0,6 Yok Az 0,7 0,3 Yok Çok 0,1 0,9 Tablo 5.10 Sürücünün Tecrübesi değişkeninin önsel olasılığı Sürücünün Tecrübesi Önsel olasılık < 5 yıl 0,4 > 5 yıl 0,6 Bayes ağlarının en yaygın kullanım alanı, verilen yeni bilgiler ışığında yeni çıkarımların elde edilmesidir. Örneğin, bizim örnek Bayes ağımızda sürücünün düzenli eğitimi (A) aldığı biliniyorsa ve forklift için yeni çizgi tanımlaması mevcut (B) ise kazanın şiddeti değişkenin (C) farklı değerlerinin gerçekleşme olasılığı rahatlıkla hesaplanabilir. Aranan olasılık P(C A,B) dir. Bu çıkarım için hesaplamalar el ile yapılacağı gibi bayes ağları için geliştirilmiş birçok bilgisayar programından biri kullanarak da gerçekleştirilebilir. Karar Ağacı Karar ağacı, risk altında karar vermede kullanılan kantitatif tekniklerden biridir.karar ağacı, tercih yapılan çeşitli alternatifleri ve her bir kararın sahip olduğu belirsizlikleri sıralı olarak göz önüne alarak inceler. Belirlenen fayda, getiri veya maliyet gibi bir performans ölçütünden beklenen değere göre en iyi performansı gösteren farklı alternatiflerin seçiminde kullanılan bir tekniktir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11

12 Karar ağacının elemanları karar ve şans noktaları, şans ve karar dalları ve son noktalardır. Karar ağacının elemanlarını; karar noktaları, şans noktaları, karar dalları, şans dalları ve son noktalar olarak sıralayabiliriz. Karar ağacında karar noktaları kare şeklinde gösterilirken şans noktaları daire şeklinde gösterilir. Her bir kareden sonra inceleyeceğimiz seçenekler karar dalları ile gösterilir. Son noktalarda ise her bir alternatif için getiri, fayda veya maliyetler gösterilir. Karar ağacında hesaplama yapılırken işlemler son noktalardan başlangıç noktasına doğru gerçekleştirilir. Genel olarak karar ağacının aşamalarını şu şekilde sıralayabiliriz: Örnek 5.6: İncelenecek problemin tanımlanması (Karar ağacında incelenecek alternatiflerin bunlara ilişkin belirsizliklerin belirlenmesi) Karar ağacının yapısının oluşturulması (Kararların hangi sıra ile alınacağı ve her bir kararımız ile belirsizliklerin ağaç üzerinde çizilmesi) Olasılıkların belirlenmesi (Her bir belirsizliğin veya olayın oluşma olasılığı mevcut verilerden veya uzman görüşünden yararlanarak tespiti) Karar ağacındaki her bir son nokta için incelediğimiz performans ölçütlerine göre (getirinin, fayda, maliyet gibi) değerlerin işlenmesi Her bir şans noktasında beklenen değer hesaplamasının geriye yönelik gerçekleşmesi Her bir karar aşamasında beklenen değerlerine göre en uygun seçimin yapılması Son iki aşamanın geriye yönelik tekrarlanarak en baştaki karar düğümüne kadar ilerlenmesi Önerinin sunulması Bir işletme üç farklı makine alternatifi arasında karar verecektir (A, B ve C). Bu makinelerin satın alma maliyetlerinde farklılıklar olduğu gibi farklı çalışma koşulları altında da bakım, onarım ve sebep olduğu iş gücü kaybından dolayı da farklı maliyetlerin gözlemlenmesi beklenmektedir. Şirket planlama dönemi içinde bu makinelerden üretilen ürünlere iki farklı talep yapısı öngörmektedir. Önümüzdeki dönem içinde şirket yüksek bir talep ile karşılaşma olasılığını 0,6 olarak öngörürken düşük bir talep ile karşılaşma olasılığını 0,4 olarak öngörmektedir. Pazarın ihtiyacının yüksek olması, makinelerin kullanım oranlarını artırırken düşük talep durumunda makineler daha az kullanılacak ve farklı maliyetler oluşacaktır. Her bir makine seçeneğinin her bir talep yapısında oluşturacağı bu genel maliyetler ve satın alma maliyetleri aşağıdaki Tablo 5.11 de verilmiştir. Buna göre en uygun seçimi gerçekleştiriniz. Tablo 5.11 Maliyetler (YTL) A B C Satın Alma Fiyatı Yüksek Talep (0,6) Düşük Talep (0,4) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12

13 Örneğimiz için karar ağacı Şekil 5.4 te gösterilmiştir. İlk baştaki kare şeklindeki düğüm karar noktasını göstermekte ve karar vericinin seçeceği farklı makineleri göstermektedir. A, B ve C makine seçenekleri bu karar noktasına bağlı üç farklı karar dalı ile gösterilmiştir. Her bir karar dalı her bir alternatifimizin karşılaşacağı talep belirsizliğini temsil eden şans noktasına bağlanmıştır. Bu şans noktaları sonrasında yüksek ve düşük talep belirsizliklerini göstermek üzere şans dallarına ayrılmıştır. Son noktalarda ise gerçekleşebilecek senaryolara göre maliyetler gösterilmiştir. Örneğin A makinesi seçilir ve yüksek talep durumuyla karşılaşılırsa YTL satın alma maliyeti ve YTL genel maliyetler olmak üzere YTL toplam maliyet gerçekleşecektir. Şans Noktaları BD A =890 (0,6) Yüksek Talep =1050 Karar Noktası A B BD B =940 (0,4) (0,6) Düşük Talep = =1000 BD=840 Karar C Makinesi C (0,4) BD C =840 (0,6) = =900 (0,4) =750 Şekil 5.4 Karar Ağacı Daha sonra geriye yönelik beklenen maliyet değerleri hesaplanmıştır. Her bir şans noktası için beklenen maliyet değerleri şu şekilde hesaplanmıştır: BD A = , ,4 = 890 BD B = , ,4 = 940 BD C = 900 0, ,4 = 840 Karar noktasında da bu maliyetleri en küçükleyen alternatif seçilmiştir. Buna göre C makinesi 840,000 YTL ile en uygun alternatif olarak değerlendirilebilir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13

14 Özet Kantitatif Risk Değerlendirme Teknikleri Kantitatif risk analizi tekniklerinin sağlıklı bir şekilde uygulanması temel istatistik ve olasılık kavramlarının iyi anlaşılmasını gerektirir. Gerçek hayatta karşılaşabileceğimiz veri kesikli ve sürekli olarak karşımıza çıkabilir. Verilerin kesikli veya sürekli olmasına göre istatiksel hesaplamalar veya kullanılacak kantitatif risk teknikleri farklılıklar gösterebilmektedir. Beklenen değer ile bir veri setinin ortalaması hesaplanırken varyansı ile yaygınlığı hakkında bilgi edinilir. Beklenen değer bütün alabileceği değerler ile bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımının toplamına eşittir. Varyans ise değişkenin aldığı değerlerin ortalamasından sapmasının karelerinin ortalaması olduğunu söyleyebiliriz Ham veri setinden daha açıklayıcı bilgiler çıkarmak için histogram gibi görsel araçlardan faydalanılır. Histogram bir veri setinin dağılımı, ortalaması ve yaygınlığı hakkında bilgi sahibi olmamızı sağlar. Monte Carlo simülasyonu, Markov analizi, Bayes Ağları ve Karar Ağacı yaygın olarak kullanılan kantitaif risk değerlendirme tekniklerindendir. Monte Carlo simülasyonu karmaşık rassal süreçlerde riskin modellenmesinde tercih edilen bir metottur. Hesaplamalar el ile yapılabileceği gibi yaygın olarak çeşitli bilgisayar programları tercih edilmektedir. Bayes ağları çizge teorisi ile olasılığın birleşiminden ortaya çıkmış bir metottur. Genel olarak ilgili tüm değişkenler arasındaki rassal ilişkiler şartlı olasılık tablolaru ile tanımlanarak olayların gerçekleşme olasılıkları hakkında çıkarımda bulunur. Karar ağacı değerlendireceğimiz farklı seçenekleri sahip oldukları belirsizliklerle birlikte değerlendiren bir metottur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14

15 Ödev Kantitatif Risk Değerlendirme Teknikleri Öğrendiniz tekniklerden birini günlük hayatta karşılaşabileceğiniz problemlerden birine uygulayarak risk değerlendirmesi gerçekleştiriniz. Bu probleminiz için mevcut belirsizlikleri ve bu belirsizlikleri nasıl sayısallaştırdığınızı ve seçtiğiniz tekniğin problem için uygunluğunu tartışınız. Çıkan sonuçları ve sonuçların anlamlılığını değerlendiriniz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15

16 Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Durum uzayı eğer sınırlı veya sayılabilir sayıda elamandan oluşan örnek uzaya ne denir? a) Sürekli örnek uzay b) Kesikli örnek uzay c) Ayrık örnek uzay d) Şartlı örnek uzay e) Rassal olay 2. Bir dağılımın veya veri setinin ortalamasını hesaplamak için hangi istatiksel ölçüden yararlanılır? a) Varyans b) Standart sapma c) Beklenen değer d) Şartlı olasılık e) Histogram 3. Aşağıdakilerden hangisi kantitatif risk değerlendirme tekniklerinden biri değildir? a) Monte Carlo simülasyonu b) Markov analizi c) Karar ağacı d) Bayes ağları e) Ön tehlike analizi 4. Rassal sayılar türetilerek karmaşık sistemlerin modellenmesinde kullanılan kantitatif risk değerlendirme tekniği aşağıdakilerden hangisidir? a) Markov analizi b) Karar ağacı c) Bayes ağları d) Hata Türleri ve Etkileri Analizi e) Monte Carlo simülasyonu Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16

17 (5,6 ve 7. Soruları tabloya göre cevaplandırınız.) Kaza sayısı (X) Olasılık 0,5 0,3 0,1 0,1 5. Bir işletmede bir ay içinde gerçekleşebilecek kaza sayıları ve bunlara karşılık olasılıkları yukarıdaki tabloda verilmiştir. Kaza sayılarının beklenen değeri nedir? a) 0,5 b) 0,8 c) 1 d) 2 e) sorudaki veriler için kaza sayılarının varyansını hesaplayınız. a) 0,9 b) 0,8 c) 0,5 d) 0,3 e) 0, Soruda verilen tabloya göre bir ay içinde gerçekleşecek kaza sayınısın 2 den küçük eşit olma olasılığı ne kadardır? a) 0,24 b) 0,48 c) 0,72 d) 0,96 e) 1,24 8. Aşağıdakilerden hangisi karar ağacının elemanlarından biri değildir? a) Karar noktaları b) Şans noktaları c) Şans dalları d) Karar dalları e) Markov geçiş matrisi 9. Bayes ağları ile risk değerlendirmesi gerçekleştirebilmek için aşağıdakilerden hangisine gerek yoktur? a) Riske etki edebilecek faktörlerin tespiti b) Her bir faktör için durum uzayı c) Faktörlerin birbirleriyle ilişkisi d) Şartlı olasılık tabloları e) Karar ağacı Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17

18 10. Olasılıkta bir olay ile ilgili yeni bilgiler ortaya çıktığında olasılıkların yeniden değerlendirilmesine ne denir? a) Ayrık olay b) Rassal deney c) Şartlı olasılık d) Bütünleşik olay e) Rassal değişken Cevap Anahtarı 1.B, 2.C, 3.E, 4.E, 5.B, 6.A, 7.D, 8.E, 9.E, 10.C Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 18

19 YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR International Organization for Standardization. 2009a. ISO 31000:2009 Risk Management Principles and Guidelines on Implementation. International Organization for Standardization. 2009b. ISO/IEC 31010: Risk management -- Risk assessment techniques. Montgomery D.C., Runger G.C. (1999) Applied Statistics and Probability for Engineers John Wiley and Sons, New York Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 19

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel

Detaylı

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR

OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo

Detaylı

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik 6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. 5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

Rassal Değişken Üretimi

Rassal Değişken Üretimi Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik

Detaylı

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler

EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal

Detaylı

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir

1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir 7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: END 2303

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: END 2303 Dersi Veren Birim: Endüstri Mühendisliği Dersin Türkçe Adı: İSTATİSTİK I Dersin Orjinal Adı: İSTATİSTİK I Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans Dersin Kodu: END 0 Dersin Öğretim

Detaylı

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1 1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Olasılık ve Rastgele Süreçler (EE213) Ders Detayları

Olasılık ve Rastgele Süreçler (EE213) Ders Detayları Olasılık ve Rastgele Süreçler (EE213) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Olasılık ve Rastgele Süreçler EE213 Güz 3 0 0 3 7 Ön Koşul Ders(ler)i

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin

Detaylı

2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018

2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 Sigortacılık Eğitim Merkezi (SEGEM) tarafından hazırlanmış olan bu sınav sorularının her hakkı saklıdır. Hangi amaçla

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)

Detaylı

13. Olasılık Dağılımlar

13. Olasılık Dağılımlar 13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon

Detaylı

İSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği

İSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği İSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği CBÜ - Malzeme Mühendisliği Bölümü Ofis: Mühendislik Fakültesi A Blok Ofis no:311 Tel: 0 236 2012404 E-posta :emre.yalamac@cbu.edu.tr YARDIMCI KAYNAKLAR Mühendiler

Detaylı

TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ

TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ 1 İstatistik İstatistik, belirsizliğin veya eksik bilginin söz konusu olduğu durumlarda çıkarımlar yapmak ve karar vermek için sayısal verilerin

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim

Detaylı

TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER

TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal değişken: S örnek uzayının her bir basit olayını yalnız bir gerçel değere dönüştüren fonksiyonuna rassal (tesadüfi) değişken denir. İki para birlikte atıldığında üste

Detaylı

Örnek 4.1: Tablo 2 de verilen ham verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

Örnek 4.1: Tablo 2 de verilen ham verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayınız. .4. Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri kitleye ilişkin bir değişkenin bütün farklı değerlerinin çevresinde toplandığı merkezi bir değeri gösterirler. Dağılım ölçüleri ise değişkenin

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:2 Simülasyon Örnekleri

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:2 Simülasyon Örnekleri 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:2 GIRIŞ Bu derste elle ya da bir çalışma sayfası yardımıyla oluşturulacak bir simülasyon tablosunun kullanımıyla yapılabilecek simülasyon

Detaylı

Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir:

RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM 2017 SORU 1: Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: 115 240 325 570 750 Hasarların α = 1 ve λ parametreli Gamma(α, λ) dağılıma

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR

ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR 1- İlaçla tedavi edilen 7 hastanın ortalama iyileşme süresi 22.6 gün ve standart sapması.360 gündür. Ameliyatla tedavi edilen 9 hasta için

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir.

Detaylı

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki

Detaylı

AKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak

AKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak AKT20 Matematiksel İstatistik I 207-208 Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU

Detaylı

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI SORU 1 Meryem, 7 arkadaşı ile bir voleybol maçına katılmayı planlamaktadır. Davet ettiği arkadaşlarından herhangi bir tanesinin EVET deme olasılığı 0,8 ise, en az 3 arkadaşının

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,1) rassal değişkenler kullanılarak (zamanın önemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da deterministik problemlerin çözümünde kullanılan bir tekniktir. Monte Carlo simülasyonu, genellikle

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ HEDEFLER Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Örneklemenin niçin ve nasıl yapılacağını öğreneceksiniz. Temel Örnekleme metotlarını öğreneceksiniz. Örneklem

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

Prof. Dr. Aydın Yüksel MAN 504T Yön. için Finansal Analiz & Araçları Ders: Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I

Prof. Dr. Aydın Yüksel MAN 504T Yön. için Finansal Analiz & Araçları Ders: Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I Risk-Getiri İlişkisi ve Portföy Yönetimi I 1 Giriş İşlenecek ana başlıkları sıralarsak: Finansal varlıkların risk ve getirisi Varlık portföylerinin getirisi ve riski 2 Risk ve Getiri Yatırım kararlarının

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri-

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- Hazırlayan Yrd. Doç. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi - Endüstri Mühendisliği Bölümü Giriş Zaman içerisinde tamamen önceden kestirilemeyecek şekilde

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.

Detaylı

Girdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri

Girdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri Girdi Analizi 0 Gerçek hayattaki benzetim modeli uygulamalarında, girdi verisinin hangi dağılımdan geldiğini belirlemek oldukça zor ve zaman harcayıcıdır. 0 Yanlış girdi analizi, elde edilen sonuçların

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

SİSTEM SİMÜLASYONU BENZETIM 1 SİMÜLASYON MODEL TÜRLERİ 1. STATİK VEYA DİNAMİK. Simülasyon Modelleri

SİSTEM SİMÜLASYONU BENZETIM 1 SİMÜLASYON MODEL TÜRLERİ 1. STATİK VEYA DİNAMİK. Simülasyon Modelleri SİSTEM SİMÜLASYONU SİMÜLASYON MODELİ TÜRLERİ BİR SİMÜLASYON ÇALIŞMASINDA İZLENECEK ADIMLAR ve SİMÜLASYON MODEL TÜRLERİ Simülasyon Modelleri Üç ana grupta toplanabilir; 1. Statik (Static) veya Dinamik (Dynamic),

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

b) Aşağıda verilen tanımlamalardan herhangi 5 adeti yazılabilir. Aritmetik Ortalama: Geometrik Ortalama:

b) Aşağıda verilen tanımlamalardan herhangi 5 adeti yazılabilir. Aritmetik Ortalama: Geometrik Ortalama: C S D Ü M Ü H E N D İ S L İ K F A K Ü L E S İ - M A K İ N A M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ B Ö L Ü M Ü MAK-307 OM317 Müh. İstatistiği İstatistik ÖĞRENCİNİN: ADI - SOADI ÖĞREİMİ NOSU İMZASI 1.Ö 2.Ö A B Soru -

Detaylı

MATE211 BİYOİSTATİSTİK

MATE211 BİYOİSTATİSTİK MATE211 BİYOİSTATİSTİK ÇALIŞMA SORULARININ ÇÖZÜM VE CEVAPLARI Yapılan bir araştırmada, 136 erişkin kişinin kanlarındaki kolesterol düzeyleri gr/dl cinsinden aşağıda verilmiştir: 180 230 190 186 220 191

Detaylı

Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir?

Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir? Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir? Rastgelelik en basit anlamda kesin olarak bilinememektir. Rastgele olmayan deterministiktir (belirli). Bazı rastgele olgu örnekleri şöyle

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

Web Madenciliği (Web Mining)

Web Madenciliği (Web Mining) Web Madenciliği (Web Mining) Hazırlayan: M. Ali Akcayol Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Konular Denetimli Öğrenmenin Temelleri Karar Ağaçları Entropi ID3 Algoritması C4.5 Algoritması Twoing

Detaylı

Olasılık ve İstatistik (IE 220) Ders Detayları

Olasılık ve İstatistik (IE 220) Ders Detayları Olasılık ve İstatistik (IE 220) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Olasılık ve İstatistik IE 220 Her İkisi 3 0 0 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi L E C T U R E 6 : R A S S A L R A K A M Ü R E T I M I

IE 303T Sistem Benzetimi L E C T U R E 6 : R A S S A L R A K A M Ü R E T I M I IE 303T Sistem Benzetimi L E C T U R E 6 : R A S S A L R A K A M Ü R E T I M I Geçen Ders Sürekli Dağılımlar Uniform dağılımlar Üssel dağılım ve hafızasızlık özelliği (memoryless property) Gamma Dağılımı

Detaylı

Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları

Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları

Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı