ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri"

Transkript

1 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I I I I Cevap: D Cevap: C

2 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri iz n 0 n n Cevap: B Cevap: C 8. B B B B B a b B 0 c d c d a c b d c a c a d b d 0 b a b B c d Cevap: D Cevap: D

3 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri 9. x x x x x xx xx xx x x x x x x xx x x x x x x x x c xx xx xx 4 a d xx x 5 a xx xx xx xx x x 0 0 x. a b a b a b a bax bx a b ax a b bx 4 a b a b x x 4 olmalıdır Cevap: E Cevap: D. olduğuna göre tane x y z x y z x y z x y Cevap: E x y z 0 / x y z 0 x y x y x y z 4 8 z 4 Cevap: E

4 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Matris Cebiri f B alınırsa) (her iki tarafında transpozu elde edilir. B B B Cevap B x y z x y z 8 x 8 7 y z x y 8 z 5 x y z I, II, III 4

5 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Matris Cebiri 7. I I a a 0 a 0 a a a 0 a a a

6

7 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Elementer İşlemler. 0 0 S S S S S 0 0 işlem yapılarak elde edilmiştir. Cevap: B 4. a şıkkı haricindeki tüm şıklar bir elementer işlem yapılarak birim matris elde edilebilir. Fakat a şıkkında en az iki elementer işlem yapmak gerekir. Bu nedenle a şıkkındaki matris elementer matris değildir. Cevap: matrisinde. Satırdaki. Satırdaki in solunda kaldığı için eşelon matris olamaz. Cevap: E 5. I, II, III Cevap: E. b şıkkındaki matris dışında hepsi eşelondur. Bu eşelon matrisler içinden sadece c şıkkanda matriste her satırın ilk elemanının bulunduğu sütundaki diğer elemanlar sıfırdır. 6. I, II, III Cevap: E Cevap: C 7

8 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Elementer İşlemler matrisinde tek satır işlemi olduğu için elementer bir matristir. (. satırla. satır yer değiştirmiş). Eşolon olma şartını matrisi sağlamaktadır II. öncülün doğrusu, Bir kare matrisinin tersinin olması için gerek ve yeter şart bu matrisin birim matrise satır denk olmasıdır matrisinde a elemanı sıfır olma- 6. I, II, III lıydı. 8

9 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar.. cos 5 sin det cos 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin 5cos 5 sin 5 cos 5 sin 5 cos 0 a b c R sin sinb sinc matrisinin. ve. satırı orantılı olduğu için det 0 dır. Cevap: C Cevap: S S S S S S det I ve det I matrisinin. ve. satırları I 4. ln x 7 0 ln x ln x ln x 6 7 ln x 0 ln x ln x 0 ln x 0 ln x 0 ln x x e eşit olduğundan det 0 dır. I det 0 dolayısıyla Cevap: D Cevap: C 9

10 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar 5. matrisinin determinantını. satıra göre hesaplarsak, det satıra göre hesaplarsak, 7. a b d b B B c d c a det Cevap: Cevap: 6. x x x 0 x 6 x 9 x 6 0 4x 8x 4x 0 4 x x x x x x x x b x x x a x x. m. 0 m 5 8. matrisinin tersi olmadığına göre det 0 olmalıdır. matrisinin. sütuna göre determinantını hesaplarsak, 0 8 x x x 0 4x x olmalıdır. Cevap: E Cevap: E 0

11 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar 9. Bir matrisin tersinin olmaması için gerek ve yeter şart determinantının sıfır olmasıdır. şıkkındaki. sütuna göre hesaplanırsa matrisinin determinantı olduğundan bu matrisin tersi yoktur. Cevap:. ek ek.. satıra göre hesaplanırsa.ek 0 det 4.ek ek. 9 Cevap: E a b d b c d c a 0. ek d ba b ek c a c d a d b b ve c c b c 0 Buna göre x tipindeki bir matris formunda olursa ek olur. Bu forma uyan şıklardaki tek matris matrisidir. a 0 0 a 0 0 Cevap:. 0 det det det.det det.det det Cevap: B

12 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar. Bu soruda determinantın açılımından gelecek ifadelere ters dönüşüm formüllerini uygulamak yerine değer vererek yapmak daha pratik bir yoldur. o x 0, y 0, z 70 alınırsa sin x 0, sin y 0, sin z olur. sin x sin y 0 0 sin x sin z 0 0 sin y sin z 0. ve. satır orantılı olduğundan det er minantın değeri sıfırdır. Cevap: C det.det det det.det det 0 olduğundan rank n 0 0. Cevap: E 4. a b det a c b c c a a bc b ac b c a abc abc b a b c 0 0 det 0 olduğundan rank ve düzgün matristir. Düzgün matris ersi olan matris Bir matrisin ters simetrik olması için esas köşegen elemanlarının sıfır olması gerekir. Yani bu matris ters simetrik değildir. 6. x a 0 0 x 0 b 0 a x b 0 x 0 b cx 0 c x 0 0 c. satıra. satıra. satıra göre göre göre açılırsa xbc a xb c b x 0 xbc xab abc xac 0 x a b c x a b c Cevap: D Cevap:

13 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar 7. det det det det det det ek ek n n 0 olduğundan rank ek ve B ortagonal ise B ek ek ek n B B. B B. B Olduğundan B matrisi de ortagonaldir. 8. ek det. ek det det...ek det..ek n ek ek ek ek ek ek... * * n ek n ek ek... * ek * ve * * dan ek ek ek ek ek n ek ek n = için II. Öncül doğru olur. Daima doğru olmaz. n k, det k. k det teorem gereği Cevap: D doğrudur. Cevap: C

14 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Determinantlar a 0. a a 0 0 a a 9 a 0 0 a 4 0 a 6 a Ek det Ek rank için 0 olmalı 4. 5 x 4 5 x x. 4 x7 4x x x 5 4x 0 4 x 7 4x 0 5x 5 x d b ad bc c a rank olduğundan det 0 dır. n. k. k

15 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Determinantlar 6. I) det det olmalıydı dolayısıyla I. 8. B.Ek. 0 öncül yanlıştır. II) Determinantta böyle bir özellik yok III) BB B.. B B.. B olur. Cevap B B.Ek B.Ek.. B. B B. B 9. B 9 7. ers simetrik ise olmalı I. öncül doğrudur. II) III) n tek ise n n 0 0 5

16 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Lineer Denklem Sistemleri.. ve. denklemler taraf tarafa toplanırsa 5a c 0. denklemin iki katı ile. denklem toplanırsa 7a 5c 4 5 / 5a c 0 5a 5c 50 8a 6 7a 5c 4 7a 5c 4 İse a.b.c.b.0 0 a, c 0 Cevap: C. matrisi üst üçgensel bir matristir. Üçgen matrislerin determinantı esas köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. det ! b şıkkı doğru det 0 olduğundan rank 5 c şıkkı doğru.ek 0 olsun a şıkkı doğru iz esas köşegendeki elemanların toplamıdır. iz e şıkkı doğru x 0 denklem sisteminde 0 ise rank 5 olur ve dolayısıyla sistemin tek çözümü aşikar çözümdür. Cevap: D. rank olursa denklem sisteminin tek çözümü aşıkar çözümdür. rank r ise Denklem sisteminin -r parametreye bağlı sonsuz çözümü olur. Bu soruda aşıkar olmayan çözümlerden bahsettiğine göre rank olmalı yani 0 olmalıdır. a 0 a olmalı 0 a Cevap: 4. n bilinmeyen sayısı olmak üzere, rank rank : B r n r ise tek çözüm vardır. r < n ise n r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. rank rank : B İse sistemin çözümü yoktur. : : : B 0 a : 0 a : a : 0 a 0 : rank rank : B olması için a 0 olmalı yani a Cevap: B 6

17 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Lineer Denklem Sistemleri 5. : : : B : : 4 : : 4 : : : 0 rank : B rank Bilinmeyen sayısı olduğundan parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. Cevap: D 6. matrisi düzgün (tersi olan) matris olduğuna göre det 0 olmalıdır. det a.d b.c 0 a şıkkı doğru eorem: Bir kare matrisin tersinir olması için gerek ve yeter şart bu matrisin birimin matrise satır denk olmasıdır. tersinir bir matris olduğundan birim matrisine satır denktir. I (b şıkkı doğru) eorem: ersinir her matris elementer matrislerin çarpımı şeklinde yazılabilir. (c şıkkı doğru) det 0 olduğundan rank dir. x 0 (e şıkkı doğru) homojen lineer denklem sisteminde, rank bilinmeyen sayısı olduğundan sistemin sadece aşikar çözümü vardır. (d şıkkı yanlış) Cevap: D 7

18 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 4 Lineer Denklem Sistemleri. denklemi ( - ) ile çarpıp denklem taraf tarafa toplanırsa x y z 4 x y z 4 x y z ax z 9 z. ve. denklemin taraf tarafa toplanırsa x y z 4 x y z 4 x z 0 x z x 6 x x, y, z x y z 6. n bilinmeyen sayısı olmak üzere, rank rank : B r n = r ise tek çözüm vardır. r n ise n r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. : a : a : a 0 : b 0 : b a 0 : b a : c : c a : c 5b a c 5b a 0 c a 5b Cevap B. rank = olursa denklem sisteminin tek çözümü aşikar çözümdür. rank = r < ise denklem sisteminin r parametreye bağlı sonsuz çözümü olur. Bu soruda aşikar olmayan çözümlerden bahsettiğine göre rank olmalı yani 0 olmalıdır. 0. m.. m 0 m 0 m m 0 m m 4. * matrisi alt üçgensel bir matristir. Üçgen matrislerin determinantı esas köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. (I. öncül doğru) * 0 olduğu için tersinir bir matristir. (II. öncül doğru) * 0 olduğu için rank = tür. (III. öncül doğru) 8

19 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 4 Lineer Denklem Sistemleri 5. matrisi düzgün bir matris ise 0 dır. eorem: ersinir her matris elemanter matrislerin çarpımı şeklinde yazılabilir. (I. öncül doğru) 6. I, II, III öncülleri elemanter işlem özelliğini sağlar. eorem: Bir kare matrisin tersinir olması için gerek ve yeter şart bu matrisin birim matrise satır denk olmasıdır. tersinir bir matris olduğundan birim matrisine satır denktir. (II. Öncül doğru) x = B lineer denklem sisteminde, rank : B rank ise, n = r ise lineer denklem sisteminin tek çözümü vardır. (III. Öncül yanlış) 9

20 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Vektör Uzayları. U V i) Ov U ii) u, u U için u u U iii) a F ve u U, a.u U şıkları incelediğimizde, ) U/W, V nin bir alt uzayı değildir. Fark işlemi sonucu 0 kalmaz dolayısıyla i) sağlamaz. C ve E şıklarında sıfır elemanı çıkartıldığı için i) maddeyi sağlamaz. Soruda daima doğru olanı sorduğu için D şıkkı sağlamayabilir. Cevap: B. ve B şıkları 0 vektörünü barındırdığı için lineer bağımlıdır. C şıkkında ise birbirinin skalar katı olan vektörler lineer bağımlıdır. D şıkkında hem 0 var hem de birbirinin katı olan ifadeler yer almakta olduğu için lineer bağımlıdır.. i) Ov U ii) u, u U için u u U iii) a F, u U, a.u U Cevap: E I) (0, 0) şartını sağlamadığından dolayı alt vektör uzayı değildir. II) i) (0, 0) sağlar fakat,00,, olur. ii) şart sağlanmaz. III) i) (0, 0) sağar. ii), 5,4 7,7 sağlar 4,, 4 olur sağlanmaz. Çünkü iii) x 0 değil. lt vektör uzayı değildir. 0,0 0,0 0,0 IV) i) (0, 0) sağlar. ii) iii) 40,0 0,0 Her üç şartta sağlandığından alt vektör uzayıdır. Cevap: B çözüm uzayının boyutu dir. boy boy boyf n n dir. boy boy boy için a : b a,b rank = olduğundan a,0,0, 0, Cevap: B b 0, doğrudur. 6. B ve E şıkkındaki vektörler birbirinin skalar katı olduğu için lineer bağımlıdır. C ve D şıkları ise (0, 0) vektörlerini bulundurdu ğu için lineer bağımlıdır. nin boyutu iki lineer bağımsız eleman sayısı da iki olduğu için 0,,, yi geçer. 7. w, (0, ) tarafından gerilmez, w iki boyutlu vektör uzayıdır. (0, ) bir boyutlu olduğu için w uzayını germez. 8. I, II, III 0

21 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Vektör Uzayları 9. I. öncül doğrudur. II. öncül tanımla çalışır. III. boyw = 0 da bilir. Örneğin sıfır vektörünün sıfırdır. Verilen yargılardan yalnız I daima doğrudur.. I) u v u v (üçgen eşitsizliği) olmalıydı (I. öncül yanlış) II) u v u w u v doğru) III) u,u (II. Öncül u. v olmalıydı. (III. öncül yanlış) Cevap B 0. I) u, u nin bazıdır. II) 0,0, w0,0 vektörünü bulundurduğundan lineer bağımlıdır. Dolayısıyla değildir. nin bazı III) u,0, v,, w 0,, z, şeklinde seçersek; vektörler birbirinin skalar v z,,, germez. u w,0 0,, katı olduğu için yi. I),0,0 0,,0 0,0, ün bir bazıdır. Standart bazı II) Her vektörün normu olduğu için ortogonaldir. III) boyw = 0 da olabilir. Örneğin sıfır vektörünün sıfırdır. Verilen yargılardan yalnız I daima doğrudur. III. öncül daima doğru değildir.

22 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 5 Vektör Uzayları. I ve III öncül daima doğrudur. II öncül daima doğru değildir.. ) y x z 0,0sağlamaz alt uzayı değildir.. şıkkı (0, 0, 0) dan dolayı lineer bağımlıdır. B şıkkındaki vektörler birbirinin sklar katıdır. Dolayısıyla lineer bağımlıdır. C şıkkındaki vektörler lineer bağımsız fakat boyut iki olduğu için uzayını germez. D şıkkında verilen vektörler lineer bağımsız olduğu için uzayını geçer. E şkkı lineer kombinasyon olarak yazılabilir lineer bağımlıdır. B) x y z 0,0 sağlamaz alt uzayı değildir. D) y 0,0 sağlamaz alt uzayı değildir. E) x 0,0 sağlamaz alt uzayı değildir. C) x 0 a,y i) 0,0 sağlar ii) 0, 0, sağlandı. 0,5 iii) 0, 0,0 sağladı. Dolayısıyla x 0 nin alt uzayıdır. 4. v a,a,0 v 0,b,c v v a,a b,c a,0,0 a b0,,0 c 0,0, lineer bağımsız üç vektör olduğundan boy v v tür.

23 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Lineer Dönüşümler. 0 0 Cevap: B 5., 5, 0,,0, 5, 0, 6,0,0, ,0, 0,,0 0 Cevap: det = 0 olduğundan rank < tür olduğundan rank = Cevap: C 6.,B M. x z 0 x y 0 Çek t, t, t t t,, t,, boyçek boy boyçek Boym Cevap: B 4. Verilen şıkları x,y x,y, x y lineer dönüşümün de yerine yazarsak,,, x, y, x y için sağlar. x y i) B B B ii) k B B B k. k. k. k lineer dönüşümdür. 0 0 II) 0 0 a b c d a ca ba x b d c d x d b c x bilinmeyen sayısı olduğu için çekirdek uzayın boyutu tür. III) BoyM boyçek boym i)? boym Cevap: E Cevap: D

24 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 6 Lineer Dönüşümler. 0,0 0, 0 0,,0. x, y x y, x,,.., 4. e e e e e 0 e e e e e e e 0 e 4 e 4. Bu soruda şıklardaki ifadeleri x, y,z x y z lineer dönüşümünde yazıldığında x y z 0 sağlamalı şıkkı yazıldığında,, 0 olduğundan çek() nin elemanı değildir. Diğer bütün şıklar sağlar. 4

25 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 7 Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme det Verilen öncüllerin her biri bir teoremdir , 5 özdeğerleri. 0 det idempotent matris ise nilpotent matris I. ve II. öncüller doğrudur det 0 8 0, 8 5

26 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI x x x x y y 0 y x y x y x z x z z 0 z x z x x x x x 0 y x y x. z x 0 y x 0 z x 0 0 z x y x x x y x z x 0 y x y x z x z y 0 0 z y yada x y x z z y. I ve II öncül doğrudur. III. öncüldeki gibi bir özellik yoktur I, II, III öncüller doğrudur. 5. Yalnız III 9. 0 ise rank tür. a a a 4 0 a 8 a 4 6

27 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI 0.. B.Ek B Ek.. B B B B 4. Cevap B.. denklemin katını a b c. denklemin 5 katını alıp a b c denklemi de taraf tarafa 5 a b 9 toplarsak; a b c 4a b c 6 5a 5b 45 0a 40 a. b 9 b. c 4 c c c 4 a.b.c I, II, III 5. 0 ve regüler (tersi var). 0 olmalı ki aşikar olmayan çözümleri olsun, I, II 0 0 a..a a.. 0 a 0 0 a 0 a a 0 a 6.,, cisim değildir. Dolayısıyla,,,,, üzerinde vektör uzayı değildir. 7

28 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI 7. I, II, III öncül alt vektör uzay şartlarıdır.. B seçeneğindeki vektörler birbirinin skaar katı olduğu için lineer bağımlıdır. aban (baz) teşkil etmez. 8. Verilen öncüllerin hepsi lineer bağımlılık için doğrudur. C seçeneğindeki vektörlerde birbirinin skalar katı olduğu lineer bağımlıdır. aban (baz) teşkil etmez. E seçeneğinde ise (0, 0) bulunduğu için lineer bağımlıdır. D seçeneği ise,, a0,b,0 9. I) V yi geren her küme en az n tane vektörü kapsar. II) V deki lineer bağımsız küme en fazla n tane vektörü kapsar. I ve II öncüllerin doğruları yukarıdaki ifadeler olmalıydı. Şeklinde lineer kombinasyonu olarak yazılabildiği için lineer bağımlıdır. seçeneği lineer bağımsız vektörlerden oluştuğu için uzayı için bir baz (taban) teşkil eder. Sadece III öncül doğrudur. 0. i) 04 U ii) uu U iii) a.u U I),0,0, 0,,0, 0,0,4 için i) sağlanır ii),, 4 gelir bu şart sağlanmaz. x, y, z x.y.z 0 ün alt vektör uzayı değildir.. er simetrik matris dır. olduğundan 0 0 tekil matristir. rank tür. II) i) (0, 0, 0) sağlanır. ii) (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, 4) (,, 4) sağlanır. iii) -4(,, 4) sağlamaz x 0 değil x, y,z x 0 ün alt vektör uzayıdır r r r r 5r r r Cevap B 8

29 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI 4. seçeneğinde satırda satırdaki. Den önce gelmiş satır (eşelon) değildir. C seçeneğinde sıfır satırlar en altta yer almalıydı satır (eşelon) değildir. D ve E seçeneğinde in bulunduğu diğer sütunlar sıfır olmalıydı satır eşelon değildir. Cevap B 9. II, III 0. I, II, III. x y 0 x y 5. : u V lineer dönüşüm olması için, I ve III öncüllerin sağlanması gerekir. x z 0 x z y k olsun x k z 4k k 4 Cevap B 6. I. ve II. öncül doğrudur. 7. I, II, III x 0 x x 0 6 için x 5 x 0 x x 0 x x 0 x x x t olsun x t t için x x 0 x x x x 0 x k, x k k 9

30 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI P ve P vektörleri lineer bağımsız ve tane olduğundan köşegenleştirilebilir. P PP P 4 P.P , 6 7. I, II, III rank a 4 0 a a 4 a 0 4 a 4 a 0 4 a 4 6a 6 0 4a a 0

31 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI 7. x , x 4x 0 için x x 0 x 4x 0 x4x 0 için x 4x 4x 4x 0 x t x 4t xx 0 4 t x x k yada k 4. I ve II öncül daima alt vektör uzay olur. III öncül için kesinlik yoktur. 4. Verilen seçeneklerde D seçeneğinde satır işlemi olduğundan elementer matris değildir. 8. I, II, III 9. Verilen öncüller teoremdir. 40. Verilen öncüllerin her biri doğrudur.

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1 GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

MAT203 LİNEER CEBİR II II. Ara Sınav Soruları SORULAR

MAT203 LİNEER CEBİR II II. Ara Sınav Soruları SORULAR MAT203 LİNEER CEBİR II II. Ara Sınav Soruları Numarası : 1 2 3 4 5 6 Toplam Adı Soyadı : Sınav süresi 100 dakikadır. Başarılar... 20.04.2018 SORULAR 1. V sonlu boyutlu bir vektör uzayı, T End(V) ve T nin

Detaylı

CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C. C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(

Detaylı

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Cebir Notları. Lineer Cebir TEST I. Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Lineer Cebir TEST I. Gökhan DEMĐR, MC TEST I 1. f : R R lineer dönüşümüne karşılık gelen matris 4 ise f dönüşümü hangi (x, y) ikilisini (,5) noktasına gönderir?,,,, 4, Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Lineer Cebir 1, 5..

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS LİNEER CEBİR FEB-221 2/2. YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016 Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö

LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı

Detaylı

Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları

Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Lineer Cebir MATH275 Her İkisi 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin

Detaylı

Minör nedir? Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, a ij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz:

Minör nedir? Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, a ij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz: Minör nedir? A = (a ij ) nxn kare matrisinde, bir a ij (1 i, 1 j n) öğesinin bulunduğu i. Satır ile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1). mertebeden alt kare matrisin determinantına, A matrisinin

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları

Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Lineer Cebir MATH 275 Her İkisi 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAT204 LİNEER CEBİR II I. Ara Sınav Soruları SORULAR

MAT204 LİNEER CEBİR II I. Ara Sınav Soruları SORULAR MAT04 LİNEER CEBİR II I. Ara Sınav Soruları Numarası : 4 6 T Adı Soyadı : SORULAR 6.0.08. T : V V mertebesi k olan bir nilpotent dönüşüm ve B V vektörü de T k (B) 0 koşulunu sağlasın. Bu durumda {B,T(B),,T

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama 2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris

Detaylı

MAT204 LİNEER CEBİR II I. Ara Sınav Soruları SORULAR. x+y y x x y T(1,1) =

MAT204 LİNEER CEBİR II I. Ara Sınav Soruları SORULAR. x+y y x x y T(1,1) = MAT204 LİNEER CEBİR II I. Ara Sınav Soruları Numarası : 2 3 4 5 6 T Adı Soyadı :. T : R 2 M 2 2, T(x,y) = {[ ] [ {(,0),(,)} ve, 0 0 SORULAR [ ] x+y y lineer dönüşümü veriliyor. x x y ] [ ] [ ]},, 2.03.209

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 8 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

1. GRUPLAR grup 1) 2) 3) 1) 2) Tanım 1.3. değişmeli grup Abel grubu Tanım 1.4 değişmeli olmayan grup sonlu grup

1. GRUPLAR grup 1) 2) 3) 1) 2) Tanım 1.3. değişmeli grup Abel grubu Tanım 1.4 değişmeli olmayan grup sonlu grup 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. ( G aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( bc) ( a b) c (Birleşme özelliği) sağlanır. ) 3) ag

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Yrd. Doç. Dr. Didem COŞKAN MAT 1010 Matematik II 1/ 104 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Matrisler Matris Tanımı m satır ve n sütundan oluşan tablosuna matris adı verilir.

Matrisler Matris Tanımı m satır ve n sütundan oluşan tablosuna matris adı verilir. MATRIS Matrisler Matris Tanımı m satır ve n sütundan oluşan tablosuna matris adı verilir. Matristeki her bir sayıya eleman denir. Yukarıdaki matriste m n tane eleman vardır. Matrisin yatay bir doğru boyunca

Detaylı

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir. GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 = Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Şırnak Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Güz Dönemi Arş.Gör. Eren DEMİR ve Arş.Gör. Veysel KIŞ (

BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Şırnak Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Güz Dönemi Arş.Gör. Eren DEMİR ve Arş.Gör. Veysel KIŞ ( BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Şırnak Üniversitesi Mühendislik Fakültesi 2018-19 Güz Dönemi Arş.Gör. Eren DEMİR ve Arş.Gör. Veysel KIŞ (e-mail: edemir@sirnak.edu.tr ) 04.10.2018 1 Matrisler ile İşlem Yapma Toplama

Detaylı

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................

Detaylı

TEMEL MEKANİK 2. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

TEMEL MEKANİK 2. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü TEMEL MEKANİK 2 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü Ders Kitapları: Mühendisler İçin Vektör Mekaniği, Statik, Yazarlar:

Detaylı

MATRİS - DETERMİNANT Test -1

MATRİS - DETERMİNANT Test -1 MRİS - DEERMİNN est - x y x 3., B olmak üzere, y y = B olduğuna göre, y x farkı kaçtır? 5. 5 4 0, B 4 3 7 3 matrisleri veriliyor. + B matrisi aşağıdakilerden hangisidir? 3 4 5 6 5 3 0 8 5 6 6 5 0 5 6 0

Detaylı

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi... ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon

Detaylı

16 Ocak 2015 A A A A A A A. 3. Sınavda pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yardımcıaraçlar ve müsvedde kağıdıkullanılmasıyasaktır.

16 Ocak 2015 A A A A A A A. 3. Sınavda pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yardımcıaraçlar ve müsvedde kağıdıkullanılmasıyasaktır. KDENİZ ÜNİVERSİTESİ MTEMTİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNL SORULRININ ÇÖZÜMLERİ 16 Ocak 015 DI SOYDI :... NO :... SINV TRİHİ VE STİ : Bu sınav 40 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 90 dakikadır. SINVL İLGİLİ

Detaylı

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Adı Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Dili Almanca Dersi Veren(ler) Yrd. Doç. Dr. Adnan

Detaylı

BMET116 Final Test -Soru B-

BMET116 Final Test -Soru B- Bölüm 1 BMET116 Final Test -Soru B- 1. Birim matris hangisidir? (a) bütün öğeleri 1 olan matristir. (b) Asal köşegen üstündeki öğeleri 1 olan matristir. (c) Yedek asal hem yedek köşegen üstündeki öğeleri

Detaylı

BMET116 Final Test. 1. (2+3i)+(3+i) işleminin sonucu nedir? (a) (6 + i) (b) (6+5i) (c) (5 + 3i) (d) 5 + 4i (e) Hiçbiri

BMET116 Final Test. 1. (2+3i)+(3+i) işleminin sonucu nedir? (a) (6 + i) (b) (6+5i) (c) (5 + 3i) (d) 5 + 4i (e) Hiçbiri Bölüm 1 BMET116 Final Test 1. (2+3i)+(3+i) işleminin sonucu nedir? (a) (6 + i) (b) (6+5i) (c) (5 + 3i) (d) 5 + 4i (e) Hiçbiri 2. (-3+7i)-(1-2i) işleminin sonucu nedir? (a) -4 + 5i (b) 2 + 5i (c) -4 + 9i

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

1982 ÖYS. c d. ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? çarpımının değeri nedir? B) 2 C) 2 A) 2 D) 2 E) 2. A) a B) 1 C) E) a+12

1982 ÖYS. c d. ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? çarpımının değeri nedir? B) 2 C) 2 A) 2 D) 2 E) 2. A) a B) 1 C) E) a+12 8 ÖYS a c. olduğuna göre b d çarpımının değeri nedir? A). B) C) 7 a b b D) 5 c d c E) a a 5. a a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a B) C) E) a+ a a D) a 6. 5 kız, 5 erkek

Detaylı

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör

Detaylı

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Matrisler ve Determinantlar 1.1 Matrisler Matris, nesnelerin dikdörtgensel bir biçemde düzenlenmesidir. Matris içine

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 2: Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015

DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015 www.matematikce.com 'dan indirilmiştir. LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 5 e-posta: h_bilgic@hotmail.com ÖNSÖZ

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

20. Tanımlar ve temel bağıntılar: İzostatik sistem, hiperstatik sistem Tanımlar ve temel bağıntılar: İzostatik sistem

20. Tanımlar ve temel bağıntılar: İzostatik sistem, hiperstatik sistem Tanımlar ve temel bağıntılar: İzostatik sistem 0 Tanımlar ve temel bağıntılar: İzostatik sistem Kuvvet metodunda eleman iç kuvvetleri ve reaksiyonlar ana bilinmeyenlerdir Bu kuvvetler sistemin düğüm noktalarında yazılan denge denklemlerinden bulunmaya

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +

Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 + DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel

Detaylı