ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri

Transkript

1 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I I I I Cevap: D Cevap: C

2 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri iz n 0 n n Cevap: B Cevap: C 8. B B B B B a b B 0 c d c d a c b d c a c a d b d 0 b a b B c d Cevap: D Cevap: D

3 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri 9. x x x x x xx xx xx x x x x x x xx x x x x x x x x c xx xx xx 4 a d xx x 5 a xx xx xx xx x x 0 0 x. a b a b a b a bax bx a b ax a b bx 4 a b a b x x 4 olmalıdır Cevap: E Cevap: D. olduğuna göre tane x y z x y z x y z x y Cevap: E x y z 0 / x y z 0 x y x y x y z 4 8 z 4 Cevap: E

4 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Matris Cebiri f B alınırsa) (her iki tarafında transpozu elde edilir. B B B Cevap B x y z x y z 8 x 8 7 y z x y 8 z 5 x y z I, II, III 4

5 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Matris Cebiri 7. I I a a 0 a 0 a a a 0 a a a

6

7 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Elementer İşlemler. 0 0 S S S S S 0 0 işlem yapılarak elde edilmiştir. Cevap: B 4. a şıkkı haricindeki tüm şıklar bir elementer işlem yapılarak birim matris elde edilebilir. Fakat a şıkkında en az iki elementer işlem yapmak gerekir. Bu nedenle a şıkkındaki matris elementer matris değildir. Cevap: matrisinde. Satırdaki. Satırdaki in solunda kaldığı için eşelon matris olamaz. Cevap: E 5. I, II, III Cevap: E. b şıkkındaki matris dışında hepsi eşelondur. Bu eşelon matrisler içinden sadece c şıkkanda matriste her satırın ilk elemanının bulunduğu sütundaki diğer elemanlar sıfırdır. 6. I, II, III Cevap: E Cevap: C 7

8 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Elementer İşlemler matrisinde tek satır işlemi olduğu için elementer bir matristir. (. satırla. satır yer değiştirmiş). Eşolon olma şartını matrisi sağlamaktadır II. öncülün doğrusu, Bir kare matrisinin tersinin olması için gerek ve yeter şart bu matrisin birim matrise satır denk olmasıdır matrisinde a elemanı sıfır olma- 6. I, II, III lıydı. 8

9 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar.. cos 5 sin det cos 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin 5cos 5 sin 5 cos 5 sin 5 cos 0 a b c R sin sinb sinc matrisinin. ve. satırı orantılı olduğu için det 0 dır. Cevap: C Cevap: S S S S S S det I ve det I matrisinin. ve. satırları I 4. ln x 7 0 ln x ln x ln x 6 7 ln x 0 ln x ln x 0 ln x 0 ln x 0 ln x x e eşit olduğundan det 0 dır. I det 0 dolayısıyla Cevap: D Cevap: C 9

10 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar 5. matrisinin determinantını. satıra göre hesaplarsak, det satıra göre hesaplarsak, 7. a b d b B B c d c a det Cevap: Cevap: 6. x x x 0 x 6 x 9 x 6 0 4x 8x 4x 0 4 x x x x x x x x b x x x a x x. m. 0 m 5 8. matrisinin tersi olmadığına göre det 0 olmalıdır. matrisinin. sütuna göre determinantını hesaplarsak, 0 8 x x x 0 4x x olmalıdır. Cevap: E Cevap: E 0

11 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar 9. Bir matrisin tersinin olmaması için gerek ve yeter şart determinantının sıfır olmasıdır. şıkkındaki. sütuna göre hesaplanırsa matrisinin determinantı olduğundan bu matrisin tersi yoktur. Cevap:. ek ek.. satıra göre hesaplanırsa.ek 0 det 4.ek ek. 9 Cevap: E a b d b c d c a 0. ek d ba b ek c a c d a d b b ve c c b c 0 Buna göre x tipindeki bir matris formunda olursa ek olur. Bu forma uyan şıklardaki tek matris matrisidir. a 0 0 a 0 0 Cevap:. 0 det det det.det det.det det Cevap: B

12 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar. Bu soruda determinantın açılımından gelecek ifadelere ters dönüşüm formüllerini uygulamak yerine değer vererek yapmak daha pratik bir yoldur. o x 0, y 0, z 70 alınırsa sin x 0, sin y 0, sin z olur. sin x sin y 0 0 sin x sin z 0 0 sin y sin z 0. ve. satır orantılı olduğundan det er minantın değeri sıfırdır. Cevap: C det.det det det.det det 0 olduğundan rank n 0 0. Cevap: E 4. a b det a c b c c a a bc b ac b c a abc abc b a b c 0 0 det 0 olduğundan rank ve düzgün matristir. Düzgün matris ersi olan matris Bir matrisin ters simetrik olması için esas köşegen elemanlarının sıfır olması gerekir. Yani bu matris ters simetrik değildir. 6. x a 0 0 x 0 b 0 a x b 0 x 0 b cx 0 c x 0 0 c. satıra. satıra. satıra göre göre göre açılırsa xbc a xb c b x 0 xbc xab abc xac 0 x a b c x a b c Cevap: D Cevap:

13 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Determinantlar 7. det det det det det det ek ek n n 0 olduğundan rank ek ve B ortagonal ise B ek ek ek n B B. B B. B Olduğundan B matrisi de ortagonaldir. 8. ek det. ek det det...ek det..ek n ek ek ek ek ek ek... * * n ek n ek ek... * ek * ve * * dan ek ek ek ek ek n ek ek n = için II. Öncül doğru olur. Daima doğru olmaz. n k, det k. k det teorem gereği Cevap: D doğrudur. Cevap: C

14 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Determinantlar a 0. a a 0 0 a a 9 a 0 0 a 4 0 a 6 a Ek det Ek rank için 0 olmalı 4. 5 x 4 5 x x. 4 x7 4x x x 5 4x 0 4 x 7 4x 0 5x 5 x d b ad bc c a rank olduğundan det 0 dır. n. k. k

15 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - Determinantlar 6. I) det det olmalıydı dolayısıyla I. 8. B.Ek. 0 öncül yanlıştır. II) Determinantta böyle bir özellik yok III) BB B.. B B.. B olur. Cevap B B.Ek B.Ek.. B. B B. B 9. B 9 7. ers simetrik ise olmalı I. öncül doğrudur. II) III) n tek ise n n 0 0 5

16 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Lineer Denklem Sistemleri.. ve. denklemler taraf tarafa toplanırsa 5a c 0. denklemin iki katı ile. denklem toplanırsa 7a 5c 4 5 / 5a c 0 5a 5c 50 8a 6 7a 5c 4 7a 5c 4 İse a.b.c.b.0 0 a, c 0 Cevap: C. matrisi üst üçgensel bir matristir. Üçgen matrislerin determinantı esas köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. det ! b şıkkı doğru det 0 olduğundan rank 5 c şıkkı doğru.ek 0 olsun a şıkkı doğru iz esas köşegendeki elemanların toplamıdır. iz e şıkkı doğru x 0 denklem sisteminde 0 ise rank 5 olur ve dolayısıyla sistemin tek çözümü aşikar çözümdür. Cevap: D. rank olursa denklem sisteminin tek çözümü aşıkar çözümdür. rank r ise Denklem sisteminin -r parametreye bağlı sonsuz çözümü olur. Bu soruda aşıkar olmayan çözümlerden bahsettiğine göre rank olmalı yani 0 olmalıdır. a 0 a olmalı 0 a Cevap: 4. n bilinmeyen sayısı olmak üzere, rank rank : B r n r ise tek çözüm vardır. r < n ise n r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. rank rank : B İse sistemin çözümü yoktur. : : : B 0 a : 0 a : a : 0 a 0 : rank rank : B olması için a 0 olmalı yani a Cevap: B 6

17 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Lineer Denklem Sistemleri 5. : : : B : : 4 : : 4 : : : 0 rank : B rank Bilinmeyen sayısı olduğundan parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. Cevap: D 6. matrisi düzgün (tersi olan) matris olduğuna göre det 0 olmalıdır. det a.d b.c 0 a şıkkı doğru eorem: Bir kare matrisin tersinir olması için gerek ve yeter şart bu matrisin birimin matrise satır denk olmasıdır. tersinir bir matris olduğundan birim matrisine satır denktir. I (b şıkkı doğru) eorem: ersinir her matris elementer matrislerin çarpımı şeklinde yazılabilir. (c şıkkı doğru) det 0 olduğundan rank dir. x 0 (e şıkkı doğru) homojen lineer denklem sisteminde, rank bilinmeyen sayısı olduğundan sistemin sadece aşikar çözümü vardır. (d şıkkı yanlış) Cevap: D 7

18 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 4 Lineer Denklem Sistemleri. denklemi ( - ) ile çarpıp denklem taraf tarafa toplanırsa x y z 4 x y z 4 x y z ax z 9 z. ve. denklemin taraf tarafa toplanırsa x y z 4 x y z 4 x z 0 x z x 6 x x, y, z x y z 6. n bilinmeyen sayısı olmak üzere, rank rank : B r n = r ise tek çözüm vardır. r n ise n r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. : a : a : a 0 : b 0 : b a 0 : b a : c : c a : c 5b a c 5b a 0 c a 5b Cevap B. rank = olursa denklem sisteminin tek çözümü aşikar çözümdür. rank = r < ise denklem sisteminin r parametreye bağlı sonsuz çözümü olur. Bu soruda aşikar olmayan çözümlerden bahsettiğine göre rank olmalı yani 0 olmalıdır. 0. m.. m 0 m 0 m m 0 m m 4. * matrisi alt üçgensel bir matristir. Üçgen matrislerin determinantı esas köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. (I. öncül doğru) * 0 olduğu için tersinir bir matristir. (II. öncül doğru) * 0 olduğu için rank = tür. (III. öncül doğru) 8

19 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 4 Lineer Denklem Sistemleri 5. matrisi düzgün bir matris ise 0 dır. eorem: ersinir her matris elemanter matrislerin çarpımı şeklinde yazılabilir. (I. öncül doğru) 6. I, II, III öncülleri elemanter işlem özelliğini sağlar. eorem: Bir kare matrisin tersinir olması için gerek ve yeter şart bu matrisin birim matrise satır denk olmasıdır. tersinir bir matris olduğundan birim matrisine satır denktir. (II. Öncül doğru) x = B lineer denklem sisteminde, rank : B rank ise, n = r ise lineer denklem sisteminin tek çözümü vardır. (III. Öncül yanlış) 9

20 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Vektör Uzayları. U V i) Ov U ii) u, u U için u u U iii) a F ve u U, a.u U şıkları incelediğimizde, ) U/W, V nin bir alt uzayı değildir. Fark işlemi sonucu 0 kalmaz dolayısıyla i) sağlamaz. C ve E şıklarında sıfır elemanı çıkartıldığı için i) maddeyi sağlamaz. Soruda daima doğru olanı sorduğu için D şıkkı sağlamayabilir. Cevap: B. ve B şıkları 0 vektörünü barındırdığı için lineer bağımlıdır. C şıkkında ise birbirinin skalar katı olan vektörler lineer bağımlıdır. D şıkkında hem 0 var hem de birbirinin katı olan ifadeler yer almakta olduğu için lineer bağımlıdır.. i) Ov U ii) u, u U için u u U iii) a F, u U, a.u U Cevap: E I) (0, 0) şartını sağlamadığından dolayı alt vektör uzayı değildir. II) i) (0, 0) sağlar fakat,00,, olur. ii) şart sağlanmaz. III) i) (0, 0) sağar. ii), 5,4 7,7 sağlar 4,, 4 olur sağlanmaz. Çünkü iii) x 0 değil. lt vektör uzayı değildir. 0,0 0,0 0,0 IV) i) (0, 0) sağlar. ii) iii) 40,0 0,0 Her üç şartta sağlandığından alt vektör uzayıdır. Cevap: B çözüm uzayının boyutu dir. boy boy boyf n n dir. boy boy boy için a : b a,b rank = olduğundan a,0,0, 0, Cevap: B b 0, doğrudur. 6. B ve E şıkkındaki vektörler birbirinin skalar katı olduğu için lineer bağımlıdır. C ve D şıkları ise (0, 0) vektörlerini bulundurdu ğu için lineer bağımlıdır. nin boyutu iki lineer bağımsız eleman sayısı da iki olduğu için 0,,, yi geçer. 7. w, (0, ) tarafından gerilmez, w iki boyutlu vektör uzayıdır. (0, ) bir boyutlu olduğu için w uzayını germez. 8. I, II, III 0

21 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Vektör Uzayları 9. I. öncül doğrudur. II. öncül tanımla çalışır. III. boyw = 0 da bilir. Örneğin sıfır vektörünün sıfırdır. Verilen yargılardan yalnız I daima doğrudur.. I) u v u v (üçgen eşitsizliği) olmalıydı (I. öncül yanlış) II) u v u w u v doğru) III) u,u (II. Öncül u. v olmalıydı. (III. öncül yanlış) Cevap B 0. I) u, u nin bazıdır. II) 0,0, w0,0 vektörünü bulundurduğundan lineer bağımlıdır. Dolayısıyla değildir. nin bazı III) u,0, v,, w 0,, z, şeklinde seçersek; vektörler birbirinin skalar v z,,, germez. u w,0 0,, katı olduğu için yi. I),0,0 0,,0 0,0, ün bir bazıdır. Standart bazı II) Her vektörün normu olduğu için ortogonaldir. III) boyw = 0 da olabilir. Örneğin sıfır vektörünün sıfırdır. Verilen yargılardan yalnız I daima doğrudur. III. öncül daima doğru değildir.

22 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 5 Vektör Uzayları. I ve III öncül daima doğrudur. II öncül daima doğru değildir.. ) y x z 0,0sağlamaz alt uzayı değildir.. şıkkı (0, 0, 0) dan dolayı lineer bağımlıdır. B şıkkındaki vektörler birbirinin sklar katıdır. Dolayısıyla lineer bağımlıdır. C şıkkındaki vektörler lineer bağımsız fakat boyut iki olduğu için uzayını germez. D şıkkında verilen vektörler lineer bağımsız olduğu için uzayını geçer. E şkkı lineer kombinasyon olarak yazılabilir lineer bağımlıdır. B) x y z 0,0 sağlamaz alt uzayı değildir. D) y 0,0 sağlamaz alt uzayı değildir. E) x 0,0 sağlamaz alt uzayı değildir. C) x 0 a,y i) 0,0 sağlar ii) 0, 0, sağlandı. 0,5 iii) 0, 0,0 sağladı. Dolayısıyla x 0 nin alt uzayıdır. 4. v a,a,0 v 0,b,c v v a,a b,c a,0,0 a b0,,0 c 0,0, lineer bağımsız üç vektör olduğundan boy v v tür.

23 ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Lineer Dönüşümler. 0 0 Cevap: B 5., 5, 0,,0, 5, 0, 6,0,0, ,0, 0,,0 0 Cevap: det = 0 olduğundan rank < tür olduğundan rank = Cevap: C 6.,B M. x z 0 x y 0 Çek t, t, t t t,, t,, boyçek boy boyçek Boym Cevap: B 4. Verilen şıkları x,y x,y, x y lineer dönüşümün de yerine yazarsak,,, x, y, x y için sağlar. x y i) B B B ii) k B B B k. k. k. k lineer dönüşümdür. 0 0 II) 0 0 a b c d a ca ba x b d c d x d b c x bilinmeyen sayısı olduğu için çekirdek uzayın boyutu tür. III) BoyM boyçek boym i)? boym Cevap: E Cevap: D

24 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 6 Lineer Dönüşümler. 0,0 0, 0 0,,0. x, y x y, x,,.., 4. e e e e e 0 e e e e e e e 0 e 4 e 4. Bu soruda şıklardaki ifadeleri x, y,z x y z lineer dönüşümünde yazıldığında x y z 0 sağlamalı şıkkı yazıldığında,, 0 olduğundan çek() nin elemanı değildir. Diğer bütün şıklar sağlar. 4

25 ÖB Lineer Cebir KONU RM SINVI - 7 Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme det Verilen öncüllerin her biri bir teoremdir , 5 özdeğerleri. 0 det idempotent matris ise nilpotent matris I. ve II. öncüller doğrudur det 0 8 0, 8 5

26 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI x x x x y y 0 y x y x y x z x z z 0 z x z x x x x x 0 y x y x. z x 0 y x 0 z x 0 0 z x y x x x y x z x 0 y x y x z x z y 0 0 z y yada x y x z z y. I ve II öncül doğrudur. III. öncüldeki gibi bir özellik yoktur I, II, III öncüller doğrudur. 5. Yalnız III 9. 0 ise rank tür. a a a 4 0 a 8 a 4 6

27 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI 0.. B.Ek B Ek.. B B B B 4. Cevap B.. denklemin katını a b c. denklemin 5 katını alıp a b c denklemi de taraf tarafa 5 a b 9 toplarsak; a b c 4a b c 6 5a 5b 45 0a 40 a. b 9 b. c 4 c c c 4 a.b.c I, II, III 5. 0 ve regüler (tersi var). 0 olmalı ki aşikar olmayan çözümleri olsun, I, II 0 0 a..a a.. 0 a 0 0 a 0 a a 0 a 6.,, cisim değildir. Dolayısıyla,,,,, üzerinde vektör uzayı değildir. 7

28 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI 7. I, II, III öncül alt vektör uzay şartlarıdır.. B seçeneğindeki vektörler birbirinin skaar katı olduğu için lineer bağımlıdır. aban (baz) teşkil etmez. 8. Verilen öncüllerin hepsi lineer bağımlılık için doğrudur. C seçeneğindeki vektörlerde birbirinin skalar katı olduğu lineer bağımlıdır. aban (baz) teşkil etmez. E seçeneğinde ise (0, 0) bulunduğu için lineer bağımlıdır. D seçeneği ise,, a0,b,0 9. I) V yi geren her küme en az n tane vektörü kapsar. II) V deki lineer bağımsız küme en fazla n tane vektörü kapsar. I ve II öncüllerin doğruları yukarıdaki ifadeler olmalıydı. Şeklinde lineer kombinasyonu olarak yazılabildiği için lineer bağımlıdır. seçeneği lineer bağımsız vektörlerden oluştuğu için uzayı için bir baz (taban) teşkil eder. Sadece III öncül doğrudur. 0. i) 04 U ii) uu U iii) a.u U I),0,0, 0,,0, 0,0,4 için i) sağlanır ii),, 4 gelir bu şart sağlanmaz. x, y, z x.y.z 0 ün alt vektör uzayı değildir.. er simetrik matris dır. olduğundan 0 0 tekil matristir. rank tür. II) i) (0, 0, 0) sağlanır. ii) (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, 4) (,, 4) sağlanır. iii) -4(,, 4) sağlamaz x 0 değil x, y,z x 0 ün alt vektör uzayıdır r r r r 5r r r Cevap B 8

29 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI 4. seçeneğinde satırda satırdaki. Den önce gelmiş satır (eşelon) değildir. C seçeneğinde sıfır satırlar en altta yer almalıydı satır (eşelon) değildir. D ve E seçeneğinde in bulunduğu diğer sütunlar sıfır olmalıydı satır eşelon değildir. Cevap B 9. II, III 0. I, II, III. x y 0 x y 5. : u V lineer dönüşüm olması için, I ve III öncüllerin sağlanması gerekir. x z 0 x z y k olsun x k z 4k k 4 Cevap B 6. I. ve II. öncül doğrudur. 7. I, II, III x 0 x x 0 6 için x 5 x 0 x x 0 x x 0 x x x t olsun x t t için x x 0 x x x x 0 x k, x k k 9

30 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI P ve P vektörleri lineer bağımsız ve tane olduğundan köşegenleştirilebilir. P PP P 4 P.P , 6 7. I, II, III rank a 4 0 a a 4 a 0 4 a 4 a 0 4 a 4 6a 6 0 4a a 0

31 ÖB Lineer Cebir GENEL RM SINVI 7. x , x 4x 0 için x x 0 x 4x 0 x4x 0 için x 4x 4x 4x 0 x t x 4t xx 0 4 t x x k yada k 4. I ve II öncül daima alt vektör uzay olur. III öncül için kesinlik yoktur. 4. Verilen seçeneklerde D seçeneğinde satır işlemi olduğundan elementer matris değildir. 8. I, II, III 9. Verilen öncüller teoremdir. 40. Verilen öncüllerin her biri doğrudur.