ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ ADIM a. Sınava katılan herkes için başarılı olma veya başarısız olma gibi 2 sonuç vardır. 3.

Transkript

1 ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ DIM 0. çift spor ve çift günlük ykkbıdn herhngi biri + 7 frklı şekilde seçilebilir. 6.. Sınv ktıln herkes için bşrılı olm vey bşrısız olm gibi sonuç vrdır.. kişi için sonuç. kişi için sonuç. kişi için sonuç 0. kişi için sonuç olduğundn sınv 0 frklı şekilde sonuçlnbilir.. klem seçimi frklı yoldn ypılbilir. b.. lik için 0 dy. lik için 9 dy. lük için 8 dy 0. luk için dy olduğundn sınv sonucund ! frklı sırlm oluşur.. çeşit tost, çeşit sıck içecek ve çeşit ttlı seçimi.. 8 frklı şekilde ypılbilir. 7. şkn seçimi için 0 dy yrdımcılık için de 9 dy olduğundn bşkn ve yrdımcı seçimi frklı şekilde sonuçlbilir... bilye kutuy. bilye kutuy. bilye kutuy tılbileceğinden bilye kutuy.. 60 frklı şekilde tılbilir. 8. Ortdki koltuk boş klcğındn. kişi koltuğ. kişi koltuğ. kişi koltuğ. kişi koltuğ oturbilir. Dolyısıyl kişi... frklı şekilde oturbilir.. dn ye, den C ye frklı yol olduğundn dn C ye. 6 frklı yoldn gidilebilir. 9. oym için. stırdn kre. stırdn kre. stırdn kre seçilebileceğinden.. 6 frklı boym ypılbilir. dımd Mtemtik 8

2 kelime b. 6 0 kelime yzılbilir. b c kelime yzılbilir. b c e f g d. 0 kelime yzılbilir. c e. 6 0 kelime yzılbilir. e f. 6 0 kelime yzılbilir. e vey ile biten çift syılr 96 tne olduğundn tne çift syı yzılbilir. d. 80 syı yzılbilir. e. 00 ile 000 rsınd syı 000 den büyük 80 syı olduğundn 00 den büyük tne syı yzılbilir. f. irler bsmğı 0 oln irler bsmğı 0 oln + birler bsmğı oln syı yzılbilir syı yzılbilir.. syı syı yzılbilir. b. 7 syı yzılbilir. dımd Mtemtik c. 0 ile biten çift syılr 60 tne 0. 8 tne kelime yzılbilir. H M E 86

3 DIM 0. 6! 70 olduğundn n + 6 n olur. 7.. olduğundn çrpnı syısın bkılır. 7 Dolyısıyl y olur.. 7!! 8! 76..! + + 7!! 87.! 7! olur. 8. Syının sonundki sıfır syısı 0 çrpnı kdrdır. 0. olduğundn sıfır syısı çrpnı syısı kdrdır.. 9! + 0! 9! + 09.! 9! 9! 9!( + 0) 9! olur. 70 olduğundn sıfır syısı + 6 tnedir. 9.! +! +! !. n! 0.(n ) ise n.( n )! 0. ( n )! n 0 olur. ile biter 6 ile biter 0 ile biter 0 ile biter olduğundn birler bsmğındki rkm olur.. 7 y nin en büyük değeri + 6 olur. n! 0. P(n, ) 7 ise 7 ( n )! n.( n ).( n )! 7 ( n )! n.(n ) 7 9 olur olduğundn 9 çrpnı elde etmek için tne çrpnı gereklidir. 0 0! in içinde tne çrpnı olduğundn 9 tne 9 çrpnı elde edilir. Yni y 9 olur.. 0 tkımdn tnesi P(0, ) frklı şeklide sırlnır. 0! P(0, ) ( 0 )! ! 7! 70 olur. 87 dımd Mtemtik

4 . P(, )! 0 frklı şeklide fotoğrf çektirebilirler. 7.. tne I, tne K, tne H, tne Ç, tne R hrfi olduğundn 8! 8! olur.!.!.!.!.!.. 9 kişi yn yn 9! frklı şekilde sırlnır. b. Kızlr kişi syılırs 6 kişi 6! frklı şeklide sırlnır. nck kızlr kendi rlrınd! kdr yer değiştirebileceğinden toplm sırlm syısı 6!.! olur. b. H I, Ç, K, I, R, I, K 7!!.! 7! olur. c. I R 6!!.! H, I, Ç, K, I, K 80 olur.. Tüm sırlmlr - kızlrın yn yn olduğu sırlmlr 6!!.! 80 olur. d. I ve K hrflerini IK şeklinde bir bütün kbul edersek elimizdeki hrfler IK, IK, H, I, R, Ç olcğındn sırlm 6! syısı 60 olur.!. Her brnşın kitplrını tne syrsk kitp! frklı şekilde sırlnır. Kimy kitplrı kendi rlrınd!, fizik kitplrı kendi rlrınd!, mtemtik kitplrı kendi rlrınd! kdr yer değişebileceğinden toplm sırlm syısı!.!.!.! 78 olur. dımd Mtemtik 6.. mutlk olcğındn diğer iki bsmk için P(6, ) 0 durum vrdır. için de frklı durum olduğundn toplmd sırlm oluşur. b. dışındki diğer elemnlr P(6, ) 0 frklı şekilde sırlnır. c. {,,, 6, 7} kümesinin elemnı P(, ) 0 frklı, şekilde sırlnır. de bş, orty ve son yzılbileceğinden toplm frklı sırlm oluşur. d. in yzılbileceği bsmk, nin yzılbileceği bsmk vrdır. Dolyısıyl ve rkmlrı için. 6 frklı sırlm vrdır. oş kln üçüncü bsmğ d,,, 6, 7 rkmlrındn biri yzılbileceğinden boş bsmk için seçenek vrdır. urdn ve nin bulunduğu toplm sırlm syısı 6. 0 olur. 6! 70 8.,, 0,,, rkmlrı ile 80 frklı sırlm!.! elde edilir. nck 0 rkmı en sol hneye yzılmycğı için 0 ile bşlyn sırlm syısını toplm sırlm syısındn çıkrmlıyız.! 0!.!,,,, 0 olur. olduğundn 0 ın ilk hneye gelmediği sırlm syısı olur. 88

5 DIM 0. {, b, c} kümesinin lü permütsyonlr lü kombinsyonlrı bc cb bc {, b, c} bc cb cb 0 d n 0! 8!.!. 6 6! d n!.! olur. 6. C(n, ) +.P(n, ).P(, ) ise n + n.6 n 8 n 6 olur elemnlı bir kümenin en çok 6 elemnlı lt kümelerinin syısı d n 8 + d n d n d n d n dir.. P( 0, ) C( 0, ) 0! 8! 0! 8!.! olur. 8. Kümenin elemn syısı n olsun. n n c m c m ise n 8 olur. urdn bu kümenin elemnlı lt küme syısı d n 8 bulunur.. C(n, r) Pnr (, ) r! olduğundn r! 0 r olur.. P(n, ) + C(n, ) 8 ise n(n ) +. n.( n ) 8 n(n ) n olur. nn ( ) 8 9. d n d n ise n n +. n n +. n + n + n olur. n n n olur. urdn n nin lbileceği değerlerin toplmı 9 bulunur. dımd Mtemtik 89

6 d n 0 tne lt kü- 0.. {,,,, 6} kümesinin elemnlı mesinde yoktur. b. {,,,, 6} kümesinin elemnlı d n 0 tne lt kümelerinin her birine elemnı ilve edilirse ün bulunduğu 0 tne lt küme elde edilir. c. {,,, 6} kümesinin elemnlı d n 6 tne lt kümelerinin her birine elemnı ilve edilirse, in bulunmdı- ğı fkt nin bulunduğu elemnlı 6 tne lt küme elde edilir. d. {,,, 6} kümesinin elemnlı d n tne lt kümelerinin her birine ve elemnlrı ilve edilirse ve in bulunduğu elemnlı tne lt küme elde edilir.. En z tne mtemtik öğretmeni seçileceğinden d n $ d n + d n $ d n mtemtik fen mtemtik. erkek içinden erkeği 0 fen frklı seçim ypılbilir. d n kız içinden kızı d n frklı şeklide seçebiliriz. Tüm seçme işlemi d n$ d n frklı şekilde ypılbilir. 6., b, c, d, e, f, g derslerinden ve b ynı stte veriliyor olsun. u durumd y ve b den ini ve diğerlerinden tnesini. Kümedeki tek syılrdn tnesi, çift syılrdn tnesi seçilmelidir. u seçme işlemi d n$ d n. 6 frklı şekilde ypılbilir.. Mehmet ey mutlk seçileceğinden kişi rsındn kişi seçilmelidir. u d d n 0 frklı şekilde ypılbilir. y d ve b den hiçbirini seçmeden diğerlerinden tnesini seçmelidir. u işlem d n$ d n + d n frklı şekilde ypılbilir. 7. sıck içecek ve gözleme d n$ d n 6 frklı şekilde, soğuk içecek ve pizz d n$ d n frklı şekilde seçilebileceğinden tüm seçme işlemi 6 + frklı yoldn ypılbilir. dımd Mtemtik. Çrpımı pozitif olck şekilde y negtif ve pozitif y d pozitif syı seçilmelidir. u işlem d n $ d n + d n. + 6 negtif pozitif pozitif frklı şekilde ypılbilir. 8. İzmir e gidecek öğrenciler 0 d n, nkr y gidecek öğ- renciler kln kişi rsındn d n frklı şekilde seçile- bilir. Kln kişi zten ntly y gidecektir. u işlem 0 d n$ d n 0. 0 frklı şekilde ypılbilir. 90

7 9. Sıfır hricindeki 9 tne rkmdn herhngi tnesi seçildiğinde bu tne rkm ile < < C şrtın uygun tne 9 syı yzılbilir. Dolyısıyl d n 8 tne syı vrdır doğru d n noktd kesişir fkt tnesi prlel olduğu için d n 6 tne kesişim noktsı oluşmycğındn 6 9 tne noktd kesişir. 0. İlk sorudn tne, sonrki sorudn tne seçilmelidir. u işlem d n$ d n 0. 0 frklı şekilde ypılbilir tne doğru d n noktd kesişir. u doğrulrdn tnesi bir noktsındn geçtiğinden d n 6 tne nokt oluşmyıp sdece noktsı oluşur. urdn sorunun cevbı olur.. İlk sorudn tne ve son 6 sorudn tne vey ilk sorudn tne ve son 6 sorudn tne seçilmelidir. u işlem 6 6 d n$ d n + d n$ d n frklı şekilde ypıl- bilir. DIM 0. ir doğru çizebilmek için nokt gereklidir. O hlde 8 nokt 8 ile d n 8 tne doğru çizilebilir nokt ile d n 0 tne üçgen çizilebilir fkt 6 nokt 6 doğrusl olduğundn d n 0 üçgen oluşmz. Oluşn üçgen syısı olur.. 8 tne nokt ile 8 d n 6 tne doğru çizilebilir. Fkt nok- tlrın ü doğrusl olduğundn bu noktlrl d n tne doğru çizilemeyip sdece tne doğru çizilir. Dolyısıyl sorunun cevbı 6 + olur.. tne doğru d n 66 noktd kesişir nokt ile d n 6 tne üçgen çizilebilir. Fkt,, C, D noktlrı doğrusl olduğundn d n tne, D, E, F noktlrı doğrusl olduğundn d n tne, üçgen oluşmz. Oluşn üçgen syısı 6 0 olur. H, G, F noktlrı doğrusl olduğundn d n tne dımd Mtemtik 9

8 8.. C noktsı kullnılmycğındn C D d E D F G 7 Tepesi noktsı ve tbnı [C] üzerinde oln d n tne, 7 tepesi noktsı ve tbnı [DE] üzerinde oln d n tne E F G d noktlrı ile çizilebilecek üçgen syısı olur. 6 d n d n d n 8 7 tepesi noktsı ve tbnı [FG] üzerinde oln d n tne üçgen olduğundn toplm üçgen syısı 6 olur... Çizilecek prlelkenrın bir kenrı d olcğındn diğer kenrlrı d, d, d doğrulrındn biri, l, l ve l doğrulrındn ikisi olcktır. u şekilde çizilecek prlelkenr syısı d n$ d n 9 olur. b. l doğrusu kullnılmycğındn tne nokt ile d n tne üçgen çizilir. Fkt, G, E noktlrı doğrusl olduğu için d n tne üçgen oluşmz. Dolyısıyl oluşn üçgen syısı olur. l l d d d d şekildeki prlelkenrlrın syısı d n$ d n 6 olur. 0. Çizilecek üçgenin bir köşesi olcğındn diğer bir köşesi çember üzerinde, bir köşesi de doğru üzerinde olbilir. u şeklide oluşn üçgen syısı d n$ d n olur. Y d bir bir köşesi ve diğer iki köşesi doğru üzerinde olbilir. u şeklide oluşn üçgen syısı d d n olur.. Şekildeki noktlrl dörtgen çizebilmek için noktsı kullnılmmlıdır., C, D, E noktlrındn tnesi F, G, H noktlrındn tnesi seçilerek d n$ d n 8 tne dörtgen çizilebilir. dımd Mtemtik Y d diğer iki köşesi de çember üzerinde olbilir. u şekilde oluşn üçgen syısı d d n 6 olur. u durumd oluşn toplm üçgen syısı olur.. d doğrusu üzerinden nokt, d doğrusu üzerinden nokt seçilerek d n$ d n 8 tne dörtgen çizilebilir. 9

9 . Şekildeki 8 nokt kullnılrk sdece üçgen ve dörtgenler çizilebilir. Çizilebilecek 8 üçgen syısı d n d n d n dörtgen syısı d n$ d n 8 olduğundn toplm çokgen syısı 60 olur.. ( + ) d n. + d n$ d n$. + d n$. + d n $ çılımd 0 tne terim olduğun göre, n + 0 ve n 9 olur. 6. ynı düzlemde bulunn üçgen en çok 6 noktd kesişe- bileceğinden üçgenden seçilen üçgen d n $ 6 60 frklı noktd kesişir. 7. tne ışın kullnılrk d n 0 tne çı elde edilir fkt d ^ d olduğundn d ve d ışınlrı ile oluşn çı dr çı değildir. urdn oluşn dr çı syısı 0 9 olur. DIM 0 ( ) 9 çılımınd ktsyılrın toplmı (. ) 9 olur.. ştn. terim için r + r 8 d n $ ( ). y 6 $ ( ). y 8 y olur. 6. ( y) 6 çılımınd 7 tne terim olduğundn sondn. terim, bştn. terim olur. r + ise r olduğundn bştn. terim 6 d n 6 $ ( ).( y).( ).( y).6.9y 60..y olur.. Pscl üçgeninin 0. stırının elemnlrının toplmı d n + d n d n 0 dur d + n d n $ d n + d n. $ d n d n $ d n + d n $ $ d n y 7. d + n çılımınd 9 tne terim olduğundn sondn. terim, bştn 7. terim olur. ştn 7. terim için r + 7 r y y d n 8 6 $ ( ) d n 8.( ) $ d n 6 8. $ 6 y $ y olduğundn ktsyı 7 olur. 6 dımd Mtemtik 9

10 8. ( + y) 8 çılımınd 9 terim olduğundn ortdki terim. terimdir. O hlde r + r 8 d n $.( y) y 8 0..y olduğundn ktsyı 0 dir. 7. e + o çılımınd (r + ). terim sbit terim yni. 0 olsun. 7 d n 7 r $ ( ) $ e o. r 7 d n$ r. r r. r. 0 7 r. r. 7r. 0 r 0 7r 0 r olur. 7 O hlde d n$ 7 80 dir. 9. çılımdki (r + ). terim 6...y olsun. 8 r r d n 8.._ yi 6... y r 8 r r. 8 r. y r 6... y O hlde, 6. r olur. 8 d n $ olur.. ( y) n çılımınd (r + ). terim. 6.y olsun. n c m $ ( r ) n r.( y) r. 6.y n r. ( ) r. n r. y r. 6. y r n r 6 n 6 6 n n 6 6 olduğundn d n$ ( ) 60 olur. 0 y. d n çılımınd (r + ). terimde ve y nin kuvvetleri birbirine eşit olsun. dımd Mtemtik 0. çılımdki (r + ). terim 6 olsun. 6 6 r 6 d n._ i. c m r 6 r r 6. 6 r r olur. r 6 d n 6 $ 6 ise bulunur. r 0 y 0 y d n 0 r r 0 r $ ( ) $ d n d n ( ). $ r r 0 d n.( ). 0. y r r r r ifdesinde ve y nin kuvvetlerini birbirine eşitlersek 0 r r r 0 r olur. 0 urdn d n.( ) bulunur. r r 9

11 DIM 06. E {YYY, YYT, YTY, YTT, TTY, TYT, TYY, TTT} 7. İstenen durumlrın syısı d n$ d n, tüm durumlrın s- yısı ise d 8 8 n olduğundn istenen olsılık dir. 8. se ( ) 9 d n 6 olur.. {(, 6), (, ), (, ), (6, )} 6 8. İstenen durumlrın syısı d n$ d n. 7, tüm durumlrın syısı d n 6 olduğundn istenen olsılık 7 6 dir.. ir zr tıldığınd örnek uzy E {,,,,, 6} olur.. Gelen syının {,, 6} kümesinden olm olsılığı 6 dir. b. Gelen syının {, 6} kümesinden olm olsılığı 6 tür. 9. {,,,, } kümesinin elmnlrı ile yzılbilecek bsmklı doğl syılr tnedir.. ir pr rt rd kez tılırs örnek uzy E {TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY}, istenen durum ise {TTT, TTY, YTT, YTY} olduğundn olsılık olur. 8 Yzılbilecek rkmlrı frklı bsmklı doğl syıl r 60 tnedir. 60 urdn istenen olsılık olur. 6. İki bsmklı doğl syılr {0,,... 99} kümesinin elemn 99 0 syısı + 90 dır. Rkmlrı ynı oln syılr {,,... 99} kümesinin elemn syısı ise 9 dur. u durumd istenen olsılık olur Şekildeki noktlr kullnılrk çizilebilecek tüm üçgenler 6 d n d n 0 6 tnedir. ir köşesi noktsı oln üçgenler ise tnedir. 7 urdn istenen olsılık olur. 6 d n$ d n + d n 7 dımd Mtemtik 9

12 . Şekilde lnı br oln 9 tne br oln tne 9 br oln tne kre vrdır. urdn istenen olsılık olur. 7. P() P( ) olur. P( ) P() + P() + dır. 6. E {,,... 0} ise s(e) 0 dur. Seçilen syının tek olmsı olyı ise {,,, 7, 9} ve s(), seçilen syının sl syı olmsı olyı ise {,,, 7} ve s() tür. urdn P( ) P() + P() P( ) olur İki zr tıldığınd s(e) 6 dır. Üst yüze gelen syılrının toplmının gelme olyı ise {(, ), (, ), (, ), (, )} ve s(), çrpımının 0 gelme olyı ise {(, ), (, )} ve s() dir. urd yni ve nin yrık kümeler olduğun dikkt ediniz. O hlde P( ) P() + P() P( ) olur İki zr tıldığınd s(e) 6 dır. Üst yüze gelen syılrın toplmının 8 olmsı olyı ise {(, 6), (, ), (, ), (, ), (6, )} ve s(), çrpımının olmsı olyı ise {(, 6), (, ), (, ), (6, )} ve s() tür. urdn P( ) P() + P() P( ) olur. 6 6 DIM 07. P(M, Y). P(S, K) 7 $ 6 olur. 7 9 $ 9 0 olur. 8 dımd Mtemtik. ve yrık olylr ise P( ) P() + P() 7 + P ( ) ise 7 P() olur. 6. P(, ) + P(K, K) $ + $ olur. 7 96

13 0. P(E, K) $ olur. 9. P( ) P().P() d n$ $ olur.. P(sesli, sessiz) + P(sessiz, sesli) $ + $ olur. 6. Metin ilk tışt tıp, ikinci de kçırbilir y d ilk tışt kçırıp ikincide tbilir. u olsılık $ + $ olur P() P() olduğundn P( ) P() + P() P( ) + $ olur. 7. Kırmızı bilye syısı, srı bilye syısı olsun. İlk bilyenin srı, ikinci bilyenin kırmızı olm olsılığı $ 6 8 olur. urdn kutdki toplm bilye syısı 8 bulunur. 8. Kutudki beyz bilye syısı, mvi bilye syısı olsun. rt rd çekilen iki bilyenin frklı renkte olm olsılığı P(, M) + P(M, ) olur. $ + $ urdn kutudki beyz bilye syısı bulunur.. P(sl, sl, sl) $ $ olur.. Prnın yzı gelme olyı, zrın ten büyük gelme olyı olsun. P( ) P() + P() P( ) + 6 olur. $ 6. P(M, M) + P(, ) $ + $ olur. 6 dımd Mtemtik 97

14 . P(yzı, kırmızı) + P(tur, kırmızı) 6 $ + $ olur.. Son durumdki renk durumunun bşlngıçtkiyle ynı olmsı için iki torbdn ynı renkli top çekilmelidir. P(, ) + P(K, K) $ + $ olur. 6. P() P() P( ) $ 9 P( ) P() + P() P( ) DEĞERLENDİRME DIMI bilye vr. bilye çekiliyor ise 9 d n 8 elemnlıdır.. zr tılmsınd örnek uzy elemnlıdır. 9 dn büyükler (, 6), (, ), (6, ) Olsılık 6. K K K gelebilir. Dolyısıyl 8 $ $ $ Tüm sırlmlr 6! şt ve sond kırmızı!.!.! Olsılık 6! 7. P( ) P() + P() P( ) + () ( 6) ( ) Kırmızı Mvi ( ) $ ( ) dımd Mtemtik. Tüm iki bsmklı syılrın syısı 90 İki bsmklı çift syılrın syısı ile bşlmyn iki bsmklı çift syılrın syısı 0 0 Olsılık Vurm olsılığı Vurmm olsılığı, { {, $ + $ 9

15 0. dn kırmızı lınsın 7 $ 7 9 dn eyz lınsın 7 $ f() f() f() 9 f {(, ), (, ), (, 9)} olduğundn f bir fonksiyondur.. y ifdesinde yerine sıfır yzılmycğındn tnım DIM 08 kümesi oln R de çıkt elemn klır. Dolyısıyl f bir fonksiyon değildir.., b ve e seçeneğindeki eşleştirmeler fonksiyondur, c ve d seçeneğindekiler fonksiyon değildir. 6. y ifdesinde yerine tüm pozitif gerçek syılr + yzılbileceğinden f bir fonksiyondur.. f, f ve f fonksiyondur, f ve f değildir.. fd n 8 $ fd n 8 $ fd n 8 $ 7. f() ñ f() ñ f(9) ñ9 f(6) ò6 olduğundn görüntü kümesi f() {,,, } olur. f() 8. 7 olduğundn f * d,,, 0,,,(, ) 8 n d n d n ise 0 + ise + ise + ise 6 olduğundn tnım kümesi {0,,, 6} olur. dımd Mtemtik 99

16 9. f () + ifdesinde 0 olcğındn tnım kümesi R {0} olur.. + ise + olduğundn + fd n. + f() olur. 0. f() + ifdesinde + 0 ve olcğındn tnım kümesi [, ) olur. 6. f( ) + eşitliğinde yerine + yzılırs f( + ) ( + ) + f() + 7 olur.. f() ifdesinde yerine tüm gerçek syılr yzılbileceğinden tnım kümesi R dir. DIM 09. f() 0 ise. + m m m 0 m olur.. f( ) f( + ).( + ) + f( + ) + 0 olur.. f( ) + + eşitliğinde yerine + yzılırs f( + ) ( + ) + ( + ) + f() olur.. f( + ).( + ) + + f( ).( ) + olduğundn f( + ) f( ) + ( ) 6 olur.. f().f()... f(0) $ $... 9 olur. 9 8 dımd Mtemtik. f( + ) 7 ise ( + ) olur.. f() f( ) ise ( ) olur. 00

17 . g( ). g() f( + ). f() olur olduğundn değer kümesi oln R de (, ) rlığı çıkt klır. Dolyısıyl f içine fonksiyondur.. f() + 6. için f() f() + 9 için f() f() + 6 olur için f() f( ) için f( ) f() için f() f( ) Değer kümesinde çıkt elemn klmdığındn f örten bir fonksiyondur. 0 için + f( 0) f() 9 f(0) f() f(0). f() + ifdesinde yerine tüm tm syılr yzıldığınd ün ktının fzlsı oln tm syılr elde edilir. Dolyısıyl değer kümesi oln Z de diğer tm syılr çıkt klır. f örten fonksiyon değildir. f(0) 7 olur. 8. için f().f() için f().f() için f().f() eşitliklerini trf trf çrplım.. f() + ifdesinde yerine tüm gerçek syılr yzıldığınd tüm gerçek syılr elde edilebilir. Dolyısıyl f örtendir. f( ). f( ). f( ) 60. f( ). f( ). f( ) f() 60.f() f() 60 olur.. f() 0 9. f() + fonksiyonund yerine tm syılr yzıldığınd sonuçt hep tek syılr elde edileceğinden değer kümesi oln Z deki çift syılr çıkt klır. Dolyısıyl f içine fonksiyondur. 0 Değer kümesinde çıkt elemn klmdığındn f örten fonksiyondur. dımd Mtemtik 0

18 . f( ) f() olduğundn f bire bir değildir. 6. Her gerçek syının ktının fzlsı frklı bir gerçek syı olcğındn f bire birdir.. f birim fonksiyon ise + b ( + ) olmlıdır. urdn + ve b olcğındn + b olur. 7. f fonksiyonu bire bir ve örtendir. 8. seçeneğindeki f: R + R +, f() fonksiyonu bire bir ve örtendir.. f sbit fonksiyon ise 0 b 0 b olcğındn f() 7 ve f() 7 olur. 9. f() g() f() g() f() g() 9 olduğundn f ve g eşit fonksiyonlrdır.. f sbit fonksiyon ise m m olur. 0. f() g() ise b, ve c olur. urdn + b + c bulunur. DIM 0 6. f doğrusl fonksiyon ise 0 ve olmlıdır. urdn f() + ve f() 8 olur.. f birim fonksiyon ise + olur. dımd Mtemtik. f birim fonksiyon ise 0 b c 0 b c olcğındn.b.c olur. 7. f() + b f() + b f() + b 8 denklemleri ortk çözülürse ve b bulunur. urdn f() + olur. 0

19 8. f() + b f() + b f() + b denklemleri ortk çözülürse ve b 7 bulunur. urdn f() + 7 f() olur.. (f g)().f().g().( ) () 9 olur... Tnım kümesi [, ) Görüntü kümesi [, ) b. Tnım kümesi (, ) Görüntü kümesi (, ) 9. f( ) ( ) f( ).( ) f(). + 7 f( ) + f( ) + ( ) olduğundn olur. f( ) 7 7 c. Tnım kümesi (, ] {} Görüntü kümesi (0, ] {} d. Tnım kümesi R Görüntü kümesi R e. Tnım kümesi R Görüntü kümesi [, ) 0. f() fd n +.. f: R R y olduğundn f() + fd n olur.. f(ñ) (ñ) + f() olduğundn f(ñ) + f() 6 olur. Çizilen her düşey doğru grfiği kestiğinden ve sdece bir noktd kestiğinden f bir fonksiyondur. b. f: R + R y. (f + g)() f() +.g() + ( + ) olur. Çizilen her düşey doğru grfiği kestiğinden ve sdece bir noktd kestiğinden f bir fonksiyondur. dımd Mtemtik 0

20 c. f: R R y. y y + y + 0 ise y + 0 y 0 O Çizilen bzı düşey doğrulr grfiği kesmediğinden f bir fonksiyon değildir. d. f: R R y. y O Çizilen bzı düşey doğrulr grfiği birden fzl noktd kestiğinden f bir fonksiyon değildir. 6. f(f( )) f() olur.. y 7. f(g()) + g(f( )) f(0) + g(0) + O olur. DIM. y 0 y 0. y dımd Mtemtik O y O 0

21 6. y. (, ) rlığının ters görüntüsü R {} dir. O. y O Görüntü kümei (, 0] olur. 7. y [0, ] rlığının ters görüntüsü [, ] dir. O. y Görüntü kümei {, } olur. O 8. f() 0 denkleminin kökleri, ve tür. urdn denklemi sğlyn değerlerinin toplmı olur. 9. f( ) 0 ise vey olcğındn nın lbileceği değerlerin toplmı olur. 6. y O 0. in ters görüntüsü (, 0] rlığıdır... (, 0] rlığının görüntüsü [, ) 7. f() < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (, ) rlığıdır. b. [, 0] rlığının ters görüntüsü [, ]. [0, ) rlığının görüntüsü {} dir. 8. f() 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [, 0) [, ) olur. dımd Mtemtik 0

22 DIM. (fog)() f(g()) f( ) ( ) 6 olur.. Önce f( + ) eşitliğinde yerine yzlım. f( + ) ( ) f() 7 olur. O hlde, (gof)() g(f()) 7 9 bulunur.. (fof)() f(f()) olur. +. (fog)() f(g()) ( + ) ( + ) olur. 6.. (fogoh)() f(g(h())) f(g( + )) f(( + ) ) f( + ) olur. b. (gohof)() g(h(f())) g(h( + )) g( + + ) g( + ) ( + ) + olur. 7. (gof)() g(f()) + gd n g() + olur. 8. Önce g() ü hesplylım. için g( + ). g() 7 olur. O hlde f(g()) f(7) olduğundn 8 için f(8 ).8 + f(7) 7 olur. dımd Mtemtik. (gof)() g(f()) + + olur. 9. Önce f() değerini hesplylım için fd n 7 f() olur. 7 O hlde (gof)() g(f()) gd n olduğundn için gd n olur. 06

23 0. (fof)() f(f()) f(. ) f(). 7 olur. DIM. f () + f ( ) + 0 olur.. (fog)() f(g()) f(. ) f() 0 olur.. (fog)() f(g()) f() olur.. f ( ) olduğundn olur.. f fonksiyonunun tnım kümesi {6, 7, 8} görüntü kümesi {,, } olur.. (fof)() f(f()) f( ).( ) 8 olur. f() ise f () olduğundn + ve b b 6 olur. urdn + b 8 bulunur.. için f(g( )). + f(g()) f() olur.. f () f( ) f ( 0) olur.. g(f( + )) eşitliğinde ise olur. g(f( + )) g(f(6)) f(6) olur. 6. f(). + 7 g(f()) 0 g(7) 0 olur y + y y y olduğundn f () olur. dımd Mtemtik 07

24 7. f() 8. f() ise f () ise f () olur. olur.. + f () b fonksiyonu b için tnımsız olduğundn b b olur. f b + () ğundn fonksiyonu d için tnımsız oldu- olur. O hlde + b 6 dır. 9. y + y ise f () + olur. 0..y + y eşitliğinden i ylnız bırklım. y y + ( y) y + y + y olduğundn f () + olur.. (f + og)() d no ( + ) olur.. (fog )() ()o(). 6 olur için fd n 6. + f() olur. dımd Mtemtik f ( + ) olduğundn için f (. + ) f () olur. urdn f() + f () + 7 dir. 08. f() ise f () f () olur. (gof )() 7 ise g(f ()) 7 g() olur.

25 ifdesinin ter fd n ifdesinde yerine + si oln i yzlım. + fd n.( ) f() 6 olur. 0. (g of) (7) (f og)(7) f (g(7)) f (7) 7 6 olur. 7. (fog)() eşitliğinde iki trf soldn f fonksiyonunu bileşkeleyelim. (f ofog)() f o( ) g() d no ( ) olur.. (fog ) () ise (gof )() g(f ()) gc m $ 0 olur. 8. (goh)() eşitliğinin iki trfın soldn g () fonksiyonunun bileşkeleyelim. (g ogoh)() g o() + h() o ( ) olur.. f() 6 ise f () + 6 olur f() 0 6 f () 0 y 6 O 9. (g of) () (f og)() d no ( ) olur. 6 İki fonksiyonu grfiğinin y doğrusun göre birbirinin simetriği olduğun dikkt ediniz. dımd Mtemtik 09

26 DEĞERLENDİRME DIMI 0. (fog)() fc m c m + $ c m $ e + o (gof)() g( + + ) +. (fog)() f(g()) f( ) ( ) + 0 ( ) 9 6. f () ff (()) fd n + 7. f( + ) + fd $ + n + + f () + 8. f() f() + f() f() + f()( ) + + f(). f(g( )) f( 6 m) ( 6 m) + m m + m m m m 6. ( fogog ) foi f I (fog)og ( ) o ( + ).( + ) f() f( ) f() + b f() + b f( ) + b + b b b b + 8 dımd Mtemtik. için f(. ). + f() 0 f ( + ) + 7 f (. + ). f (7) f() $ fd n $ + () 0. f(f( )) f(0) f( ) f() + 0

27 DIM.. P() b. P() +. P() sbit polinom ise + 0 ve b 0 b olduğundn P(). P() 6 P() 6 olur. c. P() + ñ. d. P() ( ) e. P() + + f. P() ñ g. P() 6. P() sıfır polinomu ise 0 ve b + 0 ve c b 0 b c + b c olur. h. P() +. n ve ifdelerinin doğl syı olmsı için n yerine n,, 6, olmk üzere frklı değer yzılbilir. 7. yerine yzılırs P( + ) ( ) ( ) P() olur..., ñ,, b., ñ,, c. d. e. 8. için P( + ). + m P() + m + m m 7 olur.. P() üçüncü dereceden bir polinom olduğun göre, ün ktsyısı 0 olmlıdır. O hlde b 0 b olur. P() in bşktsyısı ise ün ktsyısı olmlıdır. O hlde 6 olur. urdn + b 7 bulunur. 9. ( ) + b( + ) + + b + b + ( + b) + b + ise + b + b denklemleri ortk çözülürse ve b bulunur. O hlde.b olur. dımd Mtemtik

28 ( + ) ( ) + ( + ) + ( ) ( + ) + ise + denklemleri ortk çözülürse ve bulunur. O hlde. olur. DIM. Q().( + ) olur. urdn P() Q() ( + ) (7 + ) + 7 olur.. P() Q() ise + 0 ve b ve b 6 c + ve c 6 olur. O hlde + b + c bulunur.. P( + ) P( ) 6 P( + ) P( + ) olduğundn.. P( + ) polinomunun ktsyılrının toplmı P() olduğundn P() olur. P( ).P( + ) ( 6).( ) olur. b. P( ) polinomunun sbit terimi P( ) olduğundn P( ) ( ) +.( ).( ) + 7 olur.. ( + m).( + ). Q() polinomun sbit terimi ise Q(0) tir. P() polinomunun ktsyılrının toplmı ise P() olduğundn 0 için P(0 + ).Q(0) + P(). + olur m (0 + m) 0 + m 6 m m olur. dımd Mtemtik. P( ) polinomunun sbit terimi ise P( ) tür. için P( + ) ( ).( ) + m P( ) 8 + m 8 + m m olur.. der[p()] olduğundn der[p ()]. 8 olur.

29 . der[( + ).P().Q( )] olur. 0. P() polinomu ile tm bölündüğüne göre P() 0 olmlıdır. P() ( ) m + m 0 m olur. 6. der[p()] m ve der[q()] n olsun. der[p().q()] m + n 8 P () der> H m n 7 Q () denklemleri ortk çözülürse m der[p()] olur ve değerini P( + ) polimonund yerine yzrsk P( + ) P( ) olur. P( ) ( ).( ) +.( ) olur P() ve Q() olduğundn.p() Q(). ( ) 7 olur. olduğundn bölüm polinomu + olur değeri P( + ) te yerine yzılırs kln P() olur. için P( + ). P() 6 6 olur. + ölüm, kln olur. 9. P() ( + ).( ) olur.. P() polinomunun ile bölümünden kln P() tür. Q() in ile bölümünden kln ise Q(0) dır. için P( + ) + Q( ) + P() + Q(0) + Q(0) Q(0) olur. dımd Mtemtik

30 . için 0 + m m olur. ( ).P() + eşitliğinde P() i bulmk için P() polinomund yerine yzrsk sonuç olmlıdır. P() ( ) + m n Kln. + m n m n m n ise m ve n olduğundn m + n olur. + 0 bölme işlemi ypıldığınd P() + + bulunur. P() in bölümünden kln P() + + olur.. 0 ise olduğundn P() polinomund yerine yzrk klnı buluruz. P() ( ) + Kln. + olur. DIM ise olduğundn P() polinomund yerine yzrk klnı buluruz P() Kln olur ise olduğundn P() polinomund yerine yzrk klnı buluruz. P() ( ) + + Kln olur.. 0 ise olduğundn P() polinomund yerine yzrk klnı buluruz. P() ( ) + Kln ( ) + + olur. 7. P() polinomund yerine + yzılınc sonuç 0 olmlıdır. P(). + + b dımd Mtemtik. 0 ise + olduğundn P() polinomund yerine + yzrk klnı buluruz. P(). + Kln ( + ) olur. Kln ( + ) ( + ) + + b b b ( + ) b + + b ( + ) + b ( + ) + b 0 ise + 0 ve b 0 b olduğundn + b olur.

31 8. P() polinomund yerine yzılınc sonuç 0 olmlıdır. P() b Kln b b b (9 + ) + + b (9 + ) + + b 0 ise ve b + 0 b olduğundn + b olur.. P() Q() + P() ( ).Q() + + P() 0.Q() + + olur.. P() + () () Q() 9. P() + Q() P() ( + ).() () ( ).Q() + olduğundn + P() ( + ).Q() + + P() 0.Q() + olur. P() ( + ).[( ).Q() + ] ( ).Q() + + ( ).Q() + olur. Kln urdn P() in ile bölümünden kln olur. 0. P() ( ) T() P() ( ).T() + olur. P( ) nin ile bölümünden kln P() olduğundn P() 0.T() + olur.. P() () P() ( ).() + olur. () polinomunun ktsyılr toplmı () 7 ise P().() + olur.. P( + ) () + P( + ) ( ).() + olur. P() in ile bölümünden kln P() olduğundn için P( + ) 0.() P() olur.. P( ) ve P( ) verilmiş. P() in + + ile bölümünden kln + b şeklinde olcğındn P() ( + + ).Q() + + b P( ) + b P( ) + b denklemleri ortk çözülürse ve b 7 olcğındn kln 7 olur. dımd Mtemtik

32 6. P() ve P(0) verilmiş P() ( ).() + + b P() + b P(0) b olduğundn 7 ve kln 7 olur...( + ) + b b + + b b + (b ) + b + + c c b c 7 b 7. P().( )( )( ) + olcğındn P(0).( )( ).( ) + olur. 8. P() + b + şeklinde bir polinomdur. P() ise P() + b + b olur. P() + ise P() 8 olur. DEĞERLENDİRME DIMI 06. Z ise n,,,, 6, n n Z ise n, 6, için P( + ) ( ).Q( ) + P() 6.Q() için P( + ) P() 6 P() için P(0 ) P( ) ( ) +.( ).( ) der[p ( )]. 9 der[q( )]. 8 der[p ( + ), Q( )] m(9, 8) P() 0 için P( ) m m m dımd Mtemtik. + + ( ).( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) b + + b.( ) + b + b b b b + b + b 6

33 P() P( ) 7 P() ( ).( + ).() + + b + P() + b + 6 P( ) + b 7 b b Kln + dir ( ) + ( ) ( )( + ) olur.. y + b by ( y) + b( y) ( y).( + b) olur. 6. b + b b b( + b) ( + b) ( + b)(b ) olur. 0. P() ( ).( ).( ) P() ( ).( ).( ) b c + b bc (b c) + b(b c) (b c).( + b).7 8 olur. DIM 7.. 6y ( y) 8. y + + y ( y)( + y) + ( + y) ( + y)( y + ) olur. b. 9 ( ) c. 8y + y y(y + ) d. ( + b)( y) +.( + b) ( + b)( y + ) e. + ( + ). + b 0 ( + b) 0 olur (7 + ) olur. 9. (07) (07) 7. (07 07)( ) olur. + b b 0. y d n d n + b b + b b d + nd n b $.b olur. dımd Mtemtik 7

34 ( ) ( ).( + ) ( ).( + ). ( b) ( + b) ( )( + ) ( ).( + ) 0 olur. 6. ise d n ( ) O hlde d + n olur. + + b + + b olur b ( + ) b ( + + b)( + b) ise +. b ise ( b) ( + b) b + + b 8 olur. + + olur. + eşitliğinde iki trfın kresini llım olur.. ( + y) y + y + y y y + y ( y) (7, 8,) 9 8 olur ifdesinde 98 olsun ( + ) ( + ) + 99 olur. dımd Mtemtik. + ise d + n olur ( b c) 8 + b + c + ( b c + bc) 6 + b + c b + c 6 0 olur. 8

35 DIM ( + )( + ) + 7 b. + 0 ( + ).( ) ( + )( ) ifdesi sdeleşebilir olduğun göre, ( + 7)( + ) vey ( 7)( ) c. 7 ( 9)( + 8) olduğundn değeri +8 vey 8 olur. d. + + ( + )( + ) + e. ( )( + ) f. 6 + ( + )( ) m + 6 ( )( + ) ifdesi sdeleşebilir bir kesir ise + m + 6 ( + )( + 6) + +6 şeklinde çrpnlr yrılmlıdır. O hlde, 6 + m m 7 olur. g. + 7 ( )( + ) y y ( + y)( y) +y 9y + y 7y y. 6 b b 9 ( + b)( b) b 9 + b 0 ise ve b 7 olur. urdn + b bulunur. dımd Mtemtik 9

36 6. y y ( + y)( y) < + y + y 8 olur. 0. y ise ( y) y + y y 7 y( y) y 7.. y 7 y y olur m (6 +?).( + ) 6? +? ise? 6 olur. urdn m 6. olur ( + ) olduğundn 99 için işlemin sonucu 00 olur.. + y + y + y ( + y) ( + ) ( ) olur. 8.. ( )( +. + ) ( )( + + ) b ( + ).(. + ) ( + ).( + ) c. y 6 y (y ).(y +.y + ) (y ).(y + y + 6) d. 6 + y () + y ( + y)(() y + y ) ( + y).(6 y + y ). + eşitliğinde iki trfın küpünü llım d + n olur.. + y 6 dımd Mtemtik ( 0 + )( ) ( 0 9) 0 9 olur. y + y 7 + y 6 + y + y + y + y + y 7 ( + y) 7 + y olur. 0

37 . ( y) 0 ise y 0 y ( y) ise + y y y + y y 8 ( y) 8 y olur ifdesine ekleyip çıkrlım ( + ) ( + + ).( + ) olur. DIM ifdesine ekleyip çıkrlım ( + ) () ( + + ).( + ) olur.. 6 y 6 ( y)( + y + y + y + y + y ) 8. + y + y ( + )( + + ). (f.g)() ( + ).( + + ) + olduğundn (. fg)( ) ( ) + + y + y ( + y) + ( ) 0 eşitliğinin sğlnmsı için + y 0 ve 0 y y + olur. olduğundn.y olur.. ñ t olsun. + ñ t + t (t + )(t ) (ñ + )(ñ ) olur. 9. m m. 6 n n m. n. mn mn olur.. + t olsun. ( + ).( + ) + t t + (t ).(t 8) ( + ).( + 8) ( + )( )( + )( ) olur. 0. ( 6).( + ) + + ( + ).( + ) 6 olur. + dımd Mtemtik

38 ( + + ) ( + )( ) ( )( + + ) olur. J. : N J N $ K O K O K ( ) ( ) O K ( ) O L P L P ( + + )..( )(. + + ) olur ( ) ( ) ( )( ) 6. d + ( ).( + ) + n$ d n $ ( ). ( + ) $ ( + ).( ) olur. olur ( ) ( + ) + + ( ) ( ) ( + )( ) olur. + DEĞERLENDİRME DIMI 07. b( b) 0 b.0 0 b ò +b ò +. ( + + b + )( + b ) ( + b + ).( b) < 8 + b 8 dımd Mtemtik. + ( )( + ) ( + )( ) + 6 ( )( + ) ( + )( ) olur.. ( ).( + ) ( + y z + y z).( + y z + y+ z) ( z).y

39 . ( y) 6 y + 9y 6 y 6 y 6 y DIM 0. (m ). + n + 0 ifdesi ikinci dereceden bir denklem ise m 0 ve n m n olduğundn m + n 7 olur.. ( b) ( b ).( b + ) ( + ).( ) + b. 7b + b ( b).( + b) b b. denklemi sğlycğındn ( ) + ( ).( ) olur. 7. b + c bc ( b) + c( b) ( b).( + c) b ( b).( + c).8 + b + c + c 8. denklemi sğlycğındn ( + ).( ) ( + ).( 6) + olur b ( + b) b( + b) ise ( + ) 0 ve 9. ( ).( + + ) ( + ).( + ) $ ( ).( + ) olduğundn çözüm kümesi ( 0, olur ( 0 ).( 0 + ) ise ( )( + ) 0 ve olduğundn çözüm kümesi, ( olur. dımd Mtemtik

40 ise ( + ).( + ) 0 ve olduğundn çözüm kümesi (, olur. 0. D ( ). m m m 0 m 6 m olur. 7. ( b) b 0 ise ( ).( + b) 0 ve b +b olduğundn çözüm kümesi { b, } olur.. + ( + ) 0 ifdesi ikinci dereceden bir denklem ise olcğındn denklem + 0 ve diskriminnt değeri D.( ) olur. dımd Mtemtik 8., b ve c olduğundn D b c ( )..( ) + 6 olur. 9. D ( )..( ) ( ) 6 ñ6 ( ) ñ6. D ( ).m 6 m 6 m 0 m olur. O hlde denklem 0 ( ).( + ) 0 ve olduğundn çözüm kümesi {, } olur.. Denklemin birbirinden frklı iki gerçek kökü olduğundn D > 0 olmlıdır. D ( 6)..(m ) 6 m + 0 m 0 m > 0 0 > m 0 > m olur.

41 . Denklemin çkışık iki kökü vrs D 0 olmlıdır. D (m ).. m m + 6 m m m m 0 (m )(m + ) 0 m ve m olduğundn m nin lbileceği değerlerin toplmı olur i.. i 6. i. i 6. i. i.i.( ) olur.. Denklemin gerçek kökü yoks D < 0 olmlıdır. D..( m) 9 + m + m + m < 0 m < m < olur.. z + + (y )i ise Re(z) + 7 İm(z) y 6 y olduğundn + y 7 olur.. z + + (y )i ise z + (y )i + ve y + y olduğundn + y olur. DIM. Z N Q Q 6. D..6 8 R C. + 0 ise (i) i vey i olduğundn çözüm kümesi { i, i} olur. 8 i ñi i + ñi olduğundn denklemin çözüm kümesi { ñi, + ñi} olur. dımd Mtemtik

42 7. P() 0 +. ise P(i) i 0 +.i.i +.( ).( i) + i syısının reel kısmı, snl kısmı olduğundn reel ve snl kısımlrın toplmı olur.. ( + i) 6 + ( i) 6 [( + i) ] + [( i) ] (i) + ( i) 0 olur. 8. z z + i + z + z 6 i z 9 + i z + i + i z + i z i olur.. + i ( + i)( + i) i + + i i ( i)( + i) i ( + i) ( i) 6 + i + 9i + 6i i 9 i 6 + i 6 i i i 0 olur. 9. z + i ise z i z + i ise z i olduğundn z z i ( i) i + i i olur. 0. z ( i)( + i) + i i i + i i + i olduğundn Re(z) + İm(z) + ( ) olur.. z + i i.z ise z iz i z( i) i i + i z $ i + i i i i i i olur. dımd Mtemtik. ( i).( + i) [( i)( + i)] [ (i) ] [9 ( )] olur.. z + yi ise + yi +.( yi) + i + yi + yi + i yi + i ise ve y y olduğundn + y olur. 6

43 DIM. ( ).( ) +. ( + ) +. 7 olur.. + ( + ).. d n 9 m m $ 9 m ise m olur. b + + b b. ( b) ( ) olur... m + ise m + 6 m olur. urdn + m olur. 6. Denklemin köklerinin toplmı + olduğundn olur. değeri denklemi sğlycğındn +. + m m 0 m 7 olur. + b + ise b b. m + ise m olur. m olur.. olur. değeri denklemi sğlycğındn + ( m) 0 6 m 0 6 m olur.. Denklemin köklerinin toplmı + olduğundn olur. değeri denklemi sğlycğındn. + m 0 + m 0 m olur. 9. Denklemin köklerinin çrpımı. 8 dir olur. değeri denklemi sğlycğındn + (m ) (m ) m olur. 7 dımd Mtemtik

44 0.. ise. + ise + olur olur.. Denklemin kökler toplmı + dür. + + olur. değeri denklemi sğlycğındn. + m 0 m olur. c $ c c c olur. urdn + c bulunur.. İki denklemin her iki kökü de ortk ise m n olduğundn m ise m 6 n ise n 8 ve m + n olur b.b + b n ( + b) n 8 n..b m m urdn n m 8 d n 9 olur.. Kökler çrpımı ve kökler toplmı oln ikinci derece denklem 0 dır. dımd Mtemtik. + ñ ise ñ olcğındn ( ñ)( + ñ) (ñ) ve denklem olur ( ) n ( + ) n n. m ( )( ). m olduğundn m + n olur. 8

45 DIM 6.. n 7 ise, İç çılrı Toplmı (7 ) Dış çılr Toplmı 60. eşgenin iç çılrı toplmı ( ).80 0 dir bulunur. EF DE EG olur. m(déef) 0 ve m(déeg) 90 ise m(féeg) den m(féeg) 0 olur. EFG ikizkenr üçgeninden m(fége) ve bulunur lik iç çıdn tne çı olsun. Kenr syısı n + olcktır. Dış çılrı toplmı 60 olduğundn bulunur. n + olduğundn n olur. F ve FE birer ikizkenr üçgen olduklrındn m(éf) m(éf) m(fée) m(fée) 0 olur ve KF üçgeninin iç çılr toplmındn bulunur. 60. n 0 olduğu için bir dış çı 6 olur. 0 ir iç çı ile bir dış çının toplmı 80 olduğu için İç çı 80 6 olur.. Düzgün beşgenin bir iç çısı dir dir. 8. P C 00 D ÿcd ile DÿEF eş ikizkenr üçgenler olduğundn m(céd) m(céd) m(féde) m(défe) m(céde) + 00 (iç çı) m(écp) (dış çı) O hlde, Dış çı.0 0 olur. 60 Kenr syısı 9 bulunur. 0 E F dımd Mtemtik 9

46 9.. y y 0 m(féc) 60 olduğundn m(fé) bulunur. F C F dir. Dolyısıyl F bir ikizkenr üçgen olur ve m(fé) m(éf) olur. F nin iç çılrındn, bulunur. Düzgün ltıgenin bir iççısının ölçüsü 0 olduğundn 0 + y 80 + y 0 y y 7 y olur. DIM 0. E D 08 T F C Düzgün beşgenin iç çılrı 08 dir. [EF] simetri ekseni olcğındn m(déef) m(fée) olur. ED DC ve ET TC urdn m(déct) m(déef) olur. m(técf) 08 olduğundn DETC deltoiddir. ve D köşelerindeki iç çılr doğru çıdn şekildeki bilgiler yzılır bulunur... y y dımd Mtemtik Düzgün ltıgenin iç çılrın 0 yzdıktn sonr m(eéfm) 6 ve m(eédm) 8 bulunur. FMDE iç bükey dörtgeninde füze kurlı uygulnırs bulunur y 60 + y y y y 6 0

47 . [E] ve [E] rdışık çıortylr olduğundn m( XD ) + m(c X) dir. m(ëd) 0 m(ëc) den m(ëd) + m(ëc) 0 olur. 7. Şekli çizelim C 0 bulunur D bulunur. [D] çizilirse CD üçgeni eşkenr üçgen olur. m(éd) 80 bulunur. D üçgeni ikizkenr üçgen olduğundn m(éd) 0 dir. m(édc) bulunur.. 8. Kurlı uygulrsk; bulunur. m(déc) bulunur. [DE] ve [F] krşılıklı çıortylr olup bulunur. 9. m m 0 n C 0 D n Çözüm için CD dörtgeninin dış çılrını kullnlım. m + n m + n 0 m + n 0 dir. 6. D 0 F n n m m C 0 Dörtgenin bir iç, bir dış çıortyı çizilmişse dış çıortyın ynındn bir iç çıorty çizelim. [F] çizilirse dh rht bir çözüm ypılcktır. m + n 80 olduğundn m + n 90 dir. m(eéf) 90 dir. E EDC dörtgeninde, m + n bulunur. E [F] ve [CF] krşılıklı çıortylr olduğundn 0 0 m(éfe) dir. EF üçgeninde bulunur. 0. CD dörtgeninde [C] ^ [D] olduğundn, D + C DC ò8 cm bulunur. dımd Mtemtik

48 . D. 60 8ñ 8 0 F 6 E 9 C C üçgeninde pisgor uygulrsk, C ( ) üçgeninden, C cm, E 9 6 cm bulunur. D K 0 ñ L C [DK] ^ [] ve [DL] ^ [C] olck şekilde, [DK] ve [DL] dikmeleri çizildiğinde KD ( ) üçgeninden, KD L cm DCL ( ) üçgeninden, DL LC cm olur. C + 7 cm bulunur. E üçgeninde pisgor uygulrsk, E ( ) üçgeninden, E 0 cm bulunur. ECD dörtgeninde [C] ^ [DE] olduğundn, 0 + DC D + 9 olur. D DC 0 9 D DC 9 cm bulunur.. KLMN prlelkenr olcğındn, KL MN cm KN LM cm olcktır. Çevre(KLMN) cm Çevre(KLMN) C + D cm bulunur.. CD köşegenleri dik kesişen bir içbükey dörtgen olduğundn, + CD D + C + + ñ6 cm bulunur. 6. D 8 T 7 L C [KM] // [D] olck şekilde [KM], [ML] // [C] olck şekilde [ML] prlelleri çizilir. K dımd Mtemtik. D ñ 6 C [C] köşegeni çizilirse C + 6 (ñ) + (Pisgor bğıntısı) ò0 cm ò0 cm bulunur. D MK & MK 8cm (D üçgeninde ort tbndn) C ML & ML cm (DC üçgeninde ort tbn) m(étd) m(kéml) 90 prlellikten elde edilir. KML bir ( ) üçgeni olup KL 7 cm bulunur.

49 7. CD dörtgeninde köşegen uzunluklrı C ñ cm D cm olduğundn, (CD) C. D.sin ( nin bütünleri oln yi çı olrk kbul ederiz.) (CD) ñ. $ (CD) cm bulunur.. K, L, M, N noktlrı CD dörtgeninin kenr ort noktlrı olduğundn, ln(cd) ln(klmn) (CD) 8.0.sin $ (CD) 60 cm 60 (KLMN) 0 cm bulunur.. F E 8. ln(cd) C. D.sin60. $ ñ cm bulunur. G C EFG bir ( - - ) üçgeni olup FG cm olur. K noktsı ort nokt olck şekilde [GK] ve [EK] çizilirse FGKE bir dikdörtgen olur. ln(fgke). 60 cm ln(cd).ln(fgke).60 0 cm bulunur. K D 9. D C C ve D olsun.. (CD) 7 7 6ñ cm bulunur.. K 7 L S S S D N C M [MN] çizildikten sonr ln(mnc) S ln(klmn) S ln(lm) S ln(kl) cm ln(dkn) 7 cm S + S 8 cm + S S + (CD) (CD) 0. C D D C ñ.ln(CD) S + S +.ln(cd) 8 + ln(cd) cm bulunur. (CD) S + 7 cm S 7 cm bulunur. dımd Mtemtik

50 . D 6 E S C (E) S olsun, S. 6. S 8 cm bulunur.. D C α 0 E [] // [DC] olduğundn (M kurlındn) m(dée) 0 + m(dée) 6 bulunur. DE ikizkenr üçgeninde m(éde) m(éed) 6 olur bulunur.. K L S S S y D C O K br, KD 8 br ise L br, L br ise O br, OC br ise Şekil dikdörtgene tmmlndığınd KD 8 br KL 7 br dolyısıyl, (KLOD) br olur. 8. S 8 br. S br. S br. D ve C noktlrı birleştirildiğinde DC üçgeninde DC D olduğundn m(déc) m(déc) 0 olur. Z kurlındn m(déc) m(cé) C üçgeninde, [E] ^ [C] ve CE E olduğundn, ikizkenr üçgen kurlındn dolyı [E] çıorty C özellikleri tmmlnır. m(cée) m(eé) 0 ve E üçgeninden bulunur. 0 0 C E (CD) (KLOD) [S + S + S ] 6 d n. D C 8 br olur. E F dımd Mtemtik DIM y + 80 y y 0 7 buluruz. G EFG üçgeni bir ( - - ) üçgeni olduğundn EF cm bulunur. [EF], yn kenrlrın ort noktlrını birleştiren bir doğru prçsı olup ort tbndır. DC + Öyleyse, EF + 8 cm bulunur.

51 . D C E K 8 F F ort noktsındn [KF], [KF] // [DC] olck şekilde çizilir ve [KF] ort tbn, KD K olur. KF + 8 cm olur. Oluşn KEF dik üçgeni bir ( - - ) üçgeni olduğundn EK olur. KD K + cm E EK + K + E 7 cm bulunur. 8. D R C K m(dél) 90 bulunur. L 8 S DL dik üçgeninde öklit bğıntısı uygulndığınd, KL.8 KL cm olur. çıorty teoreminden KL RL LS dikmeleri eşit olur. [DC] ve [] rsı uzklık RS + 8 cm bulunur. 6. E D C L M K F DC ve CD üçgenlerinde benzerlik ornındn dolyı; DC EL MF EL MF cm 0 elde edilir. D üçgeninde benzerlik ornındn dolyı 0 EM EL cm LM cm bulunur. LM EL Öyleyse bulunur. MF KP PL olsun + cm bulunur. 6 KL cm elde edilir. m(dék) m(cél) 90 olur. [RS] // [DC] // [] olck şekilde [RS] prleli [KL] üzerinden çizilir ve ort tbn olur. DR RK R 6 cm CS S LS 8 cm elde edilir. 7 + Ort tbndn RS cm cm bulunur. dımd Mtemtik

52 0.. [DE] // [C] olck şekilde [DE] çizilir ve DC E C DE y m(ë) m(dée) eşitlikleri elde edilir. E olduğundn, E ( + y) E y elde edilir. m(ë) olduğundn [DF] ve [CE] dikmeleri çizilir. DC EF 7 cm ve EC üçgeni ( ) ikizkenr dik üçgeni olur ve CE E 8 cm elde edilir. CE DF 8 cm (yükseklikler eşit) FD dik üçgeninde D 0 cm ve DF 8 cm olduğundn F 6 cm olur. ( üçgeninden) F + FE + E cm bulunur. E DE y olduğundn m(dée) m(éde) 70 olur. DE ikizkenr üçgeninden bulunur.. [DC ve [K uztılıp L de kesiştirilince D DL 8 cm ve CL cm elde edilir. (CKL ~ K) CL enzerlikten CK CK K K CK K bulunur... dımd Mtemtik m(ë), m(ë) b olsun [D] // [CE] olck şekilde [CE] çizilir ve D EC 6 cm DC E 7 cm m(ë) m(cée) (yöndeş çı) eşitlikleri elde edilir. m(ë) + m(ë) + b 90 olduğundn m(eéc) 90 olur. CE üçgeninde pisgor uygulnırs E ( ) üçgeni E 0 cm olur cm elde edilir. [ER] // [DC] olck şekilde [ER] prleli çizilince E ER ER ER cm olur. D ER RK RK dn K K 6 RK k, K 6k, R RC 8k diyebiliriz. (k orntı sbiti) K 6k Öyleyse bulunur. KC 0k 6

53 DIM 6.. D C DE C cm DC E E elde ederiz. DE üçgeninde pisgor uygulnırs + ( ) cm bulunur. 8 m(déce) m(cée) (iç ters çı) C E 7 cm olur. [CH] dikmesi çizilince D CH 8 cm olur. CH bir ( ) üçgeni olduğundn H cm ve EH 7 cm bulunur. DC H cm elde edilir.. D C 6 6 C olsun. Dik indirilip pisgor bğıntısı uygulnırs 6 + ( ) D h olsun 6 h. h 6 cm olur. DC dik üçgeninde pisgor uygulnırs C + 6 C ñ cm bulunur.. [EK] // [D] olck şekilde [EK] çizildiğinde [DE] ve [CE] çıorty olduğundn DK KC EK olur ve F F cm bulunur. 6. [DH] dikmesi çizildiğinde D H cm ve HC 6 cm olur. DH 8 cm yüksekliktir. DHC bir ( ) üçgeni olcğındn DC 0 cm bulunur. DK EK KC cm olur. + [FK] ort tbn olduğundn FK + 8 elde edilir. cm 80 0 m(déc) m(déc) m(déc) m(cé) (iç ters çı) m(dé) m(ë) 70 (ikizkenr ymuk) C üçgeninin iç çılrı toplmındn elde edilir. 7 dımd Mtemtik

54 7. 9. m(déc) m(déc) dersek m(cé) olur. (iç ters çıdn) m(ë) m(dé) olur. (ikizkenr ymuktn oluşur.) C dik üçgeninde, elde edilir. CD bir ikizkenr ymuk ve m(ée) 0 olduğundn DCE ve E birer ( ) üçgeni olurlr. DE EC cm y E E 7 cm + y + 7 cm elde edilir. C bir ( ) üçgeni olduğundn ñ cm elde edilir. 0. HC bir ikizkenr dik üçgen ve CH H cm olur. 7 + cm ( + ). ln(cd) ln(cd) 8 cm bulunur. 8. [H] ve [DK] yükseklikleri çizildiğinde D HK 7 cm cm dımd Mtemtik H KC 7 7 cm olur. H ve DCK eş dik üçgenler olup ( - - ) üçgenleridir. Dolyısıyl, H DK cm bulunur. D dik üçgeninde öklit bğıntısı kullnırsk, h.8 h cm olur. (6 + 0). ln(cd) cm elde edilir. 8

55 . ln(cd) ln(c) olduğundn 7 (DC) S ve (C) 7S diyebiliriz. ln(c) 7S 7 Öyleyse, bulunur. ln(cd) S + 7S 0. D C D + 6 D 8 cm EF dik üçgeni ( - 6-0) özel dik üçgeni olduğundn EF cm bulunur. 8. [DE] çizilirse, (DE) 08 cm ln(cd).(de).08 6 cm bulunur.. 6. (DE) (CE) S olsun. S. S 6 cm olur. (CD) cm bulunur. lnlrı eşit ise tbnlrı toplmı d eşittir. (EFD) + 6 (ECF) + + cm bulunur.. ED dik üçgeni ( ) özel dik üçgeni olduğundn D cm bulunur. 7. ln(ed) cm 8. ln(ed) 60 cm CD ( ) ln(ed) CD ( ) 60 (CD) 0 cm bulunur. EFG bir ( - - ) üçgeni olup EG cm elde edilir. EF ort tbn olduğundn EG EH cm GH 0 cm olup ymuğun yüksekliği olur. ln(cd) GH. EF 0. 0 cm bulunur. dımd Mtemtik 9

56 8.. D E C [DK] ve [CL] dikmeleri indirilince KL DC cm olur. 7 K L 6 cm KD ve LC ( ) üçgenleri olup DK CL 8 cm olur. ( + 7).8 ln(cd) 88 cm elde edilir. m(eéc) + m(défe) 80 (M kurlı) y + 80 y olur. m(éc) y 0 olur. m(éc) + m(ëc) bulunur. 9. Köşegenleri dik kesişen ikizkenr ymuklrd yükseklik üst ve lt tbn toplmlrının yrısın eşittir. h + 8 ( + c) cm olur. (CD). ln(cd) h cm bulunur. DIM 7 h. D E C 6 6 Eşitlikler işretlenirse D EC C olur. + m(ëc) 80 m(ëc) 6 dir. CE ikizkenr üçgen olduğundn m(éec) m(eéc) 6 bulunur. m(éed) dir y 0. D 8 F E C dımd Mtemtik m(ë) m(ëc) m(ë) + m(ë) m(ë) 80 m(ë) 0 y 0 y 0 olur. + y bulunur. m(eé) m(eéd) denilirse m(dée) olur. (Z kurlı) DF FE olduğundn m(féde) olur. DE üçgeninde ise bulunur. m(écd) 8 dir. 0

57 . 8. m(dée) m(eé) olcğındn DE ikizkenr üçgen olup C D DE 7 cm olcktır. DC cm olur. Çevre(CD) ( + C ) Çevre(CD) (9 + 7) Çevre(CD) cm bulunur. m(dée) 90 olur. [FE uzntısın [EK] doğru prçsı çizilirse DK EK K cm (Muhteşem üçlü) KF + 7 cm bulunur DE EC ise DE DK K 8 9 cm bulunur. (Kelebek kurlı) İç ters çılr işretlenerek ikizkenrlr bulunur. D DF 9 cm FC DE 9 cm EF 9 6 cm elde edilir. 0. k D E C F 7. k y [E] ve [E] çıorty olduğundn m(ée) 90 olur. F y deyip E üçgeninde öklit uygulnırs, 6 y. y 9 cm olur. DC 9 + cm bulunur. F üçgeninde temel benzerlik uygulnırs, FE EF k dersek F 8 F k E k olur. F k bulunur. E k 8 dımd Mtemtik

58 . DF k FC k k diyebiliriz. DIM 8. D C [EL] // [] olck şekilde [EL] çizildiğinde EL E DF üçgeninde (ort tbn) DF D EL EL k olur. k EL EK (kelebek kurlı) K E 9 C D cm DE bir ( ) üçgeni olduğundn DE cm olur. ln(cd). DE. 8 cm bulunur. k EK EK olur. k E cm bulunur.. I. Yol. DG GF. GE 6.( + ) 9 cm bulunur. ln(cd) 8..sin60 ln(cd) 8. $ ln(cd) 8ñ cm bulunur. II. Yol dımd Mtemtik. K + CP DL + N EM olduğundn 6 + y y 0 0 y y olur. [DH] ^ [] dikmesi çizilir. DH ( ) üçgeninde 60 nin krşısı DH ñ cm olur. ln(cd) ñ. 8ñ cm bulunur.

59 . D C k E k ln(e) 0 cm ln(cd) ln(e) 0 cm ln(cd) 60 cm bulunur. E k dersek DE k olur. [D] çizilirse (DE) cm ve (DC) cm olur. (CD) 6 cm bulunur. 7.. D k E k C S S 0S DE k ise EC k olur. [DF] ve [D] yi çizelim. (ECF) S dersek (DEF) S, (FD) S ve (D) 0S elde edilir. EFC ( ) S bulunur. CD ( ) 0S S F [FG] // [D] ln(egf) S Temel benzerlikte ort tbndn yzılır. ln(dfg) S ln( CD) ln(de) ln(cd).s ln(cd) 8.S 7 cm ln(fge) S 9 cm bulunur.. D k C 8. 8 F b b 8 k E k E k dersek E k olur. CD k olcktır. DF FC Kelebek benzerliğinden bulunur. FE F (FE) 8 cm (DF) cm (DF) cm (DFC) 8 cm dir. (CD).(DC).0 60 cm bulunur. C D cm PC bir ( ) üçgenidir.. (PC) 0 cm olur. (DP) + (PC) (DPC) + (P) + 0 (DPC) + (P) (DPC) + (P) cm bulunur. dımd Mtemtik

60 9. (KC). 6 cm ln(cd).(kc) ln(cd).6 cm bulunur.. (EFGH) HG f + (CD) DC (EFGH) d + n 80 EF p (EFGH) ln(efgh) 8 cm bulunur. 0. DE E olduğundn ln( CD) ln(e) 0. ln(e) cm ln(cd). 60 cm bulunur Yükseklikleri ynı olduğundn yukrıdki ln ve tbn ornlrı verilir , cm bulunur. [E] ve [EF] çizilirse. ln(ef) cm.s ln(ef) cm 8 ln(cd) S 6 cm bulunur. DIM 9. D E C F. 6 8 CD dikdörtgen olduğundn dımd Mtemtik (CD) 0 0 cm olur. (EDFGK) 0 cm bulunur. C D DF DE ve m(déf) bulunur. DF ikizkenr üçgen olduğundn m(éfd) 6 ve m(édf) 6 dir. m(féde) 90 6 ve m(déef) 7 bulunur. m(féec) dir.

61 . D C. E + + F Dikdörtgenin köşegenleri eşit olduğundn E EC E ED dir. m(eéf) dersek m(eé) ve m(eéf) m(fée) + olur. EF üçgeni için m(eéf) 6 bulunur. E E DE EC eşitliği olduğundn m(cé) m(dé) m(déc) m(édc) DEF eşkenr üçgen olduğundn DE EF DF dir. m(déef) m(défe) 60 dir. DCE üçgeninde m(déec) 0 olup m(féec) bulunur. FEC ikizkenr üçgeninden olur.. F [C] çizilirse, C D E ve F F CF DF olur. m(éc) 0 ve C E olduğundn m(éec) m(éce) 70 olur olur. 6.. m m m m m m m m D C 9 cm, E E u trz eş dikdörtgenlerle oluşturulmuş şekillerde kıs kenr isim verip tüm çevre elde edilir. urd, kıs kenr m dediğimizde uzun kenrın küçük dikdörtgende m olduğu görülür. Çevre(CD) 6.9m m olur. m 6 cm bulunur. DE ~ EF olcğındn 9 cm bulunur. dımd Mtemtik

62 7. 0. LC K cm dir. m(cé) 90 olur. C üçgeninde öklit bğıntısı uygulnırs.9 6 cm bulunur. [FK] ^ [] çizilince K cm ve K cm olur. F üçgeninde öklit bğıntısı uygulnırs FK. FK 6 cm bulunur. EK C 7 cm olduğundn EF 7 6 cm bulunur.. 8. [MK] // [] çizildiğinde DM M cm olur. m(médk) m(kédc) olur. DMK üçgeni ikizkenr dik üçgen olcğındn DM MK cm olur. MT cm ise KT 0 cm bulunur. DE EC dersek DE DF DF (Kelebek benzerliği) F 0 DF cm olur. m(dé) 90 olup D üçgeninde pisgor uygulnırs 9 + cm bulunur.. EF E ve C FC olur. DF E E k, DF k diyelim. E CDF ~ FE olup benzerlik ornı DF EF olduğundn CF olur. k k dımd Mtemtik ò7 cm bulunur. Dolyısıyl EF, FC olur. CFE dik üçgeninde pisgor uygulnırs, 0 + () 00 ñ cm bulunur. C CF 8ñ cm elde edilir. 6

63 . Kenrlr rdışık tm syı olduğundn, D + olur ln(cd) 7.( + ) 8 cm bulunur. Çevre(CD) ( + + ) + Çevre(CD).8 + cm bulunur. Köşelere 90 işretlenince m(dél) 0 olur m(délc) m(cél) 7 olur. [DC] // [L] olduğundn m(décl) 7 olup (Z kurlır) DL DC bulunur. DL bir ( ) üçgeni olduğundn 0 nin krşısı D C cm 90 nin krşısı DL DC 0 cm ln(cd).0 0 cm bulunur.. Prlelkenr özellikleri dikdörtgende de geçerlidir. DIM [E] çizildiğinde oluşn E üçgeninin lnı dikdörtgenin lnının yrısın eşittir ln(e) 0 cm ln(cd).0 60 cm olur.. E DC DE D eşitliği şeklin üzerine işretlenir. EDC ikizkenr üçgen olur. m(ë) m(ëc) 80 olur. m(déec) m(éde) 80 bulunur. (iç ters çı).. m(ëc) m(dé) 70 olur. DC D E eşitliği şekil üzerine işretlenince ED ve E birer ikizkenr üçgen olurlr. m(éde) m(éed) m(ée) m(ée) y F C ve F y olsun E üçgeninde öklit bğıntısı uygulnırs 8.( + y) 6 ( + y) ln(cd).( + y) 6 cm bulunur. dersek ED bir dörtgen olup iç çılrı toplmı 60 dir. + y y m(dée) bulunur. dımd Mtemtik 7

64 .. m(éce) m(eéc) diyelim [C] köşegeni çıorty olduğundn m(déc) m(cé) m(déc) m(éc) olur. CE üçgeninden + 6 ise olur. DC üçgeninden bulunur. [C] ^ [D] dir. C 0 cm H 0 8 cm olur. CE üçgeninde öklit uygulnırs.8 6 cm bulunur. 6. D C Çevre 0 cm olur. K. C Köşegenler birbirini ikiye böldüğünden K KC cm olur. DKC bir ( ) üçgeni olduğundn DK K cm C.D 8.6 ln(cd) ln(cd) cm elde edilir. ñ7 ñ ñ7 D H E ñ7 ñ7 7. [C] köşegenini çizdiğimizde [C] ^ [D] K KD 8 cm EK 8 6 cm dir. dımd Mtemtik [C] köşegenini biz çizdiğimizde [C] ^ [D] ve DH H olur. DH cm, HE E cm olur. CDH dik üçgeninde pisgor uygulnırs, ñ7 + CH CH ñ cm olur. CHE dik üçgeninde pisgor uygulnırs, ñ + cm bulunur. 8 EK dik üçgeni (6 8 0) üçgeni olcğındn K KC 8 cm olur. C.D 6.6 ln(cd) 8cm bulunur.