KARTEZYEN GEOMETRİDE FAZ DEĞİŞİMLİ VE FAZ DEĞİŞİMSİZ ISI TRANSFERİ PROBLEMLERİ

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K BİL İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 004 : 10 : : 35-4 KARTEZYEN GEOMETRİDE FAZ DEĞİŞİMLİ VE FAZ DEĞİŞİMSİZ ISI TRANSFERİ PROBLEMLERİ Hüeyin GÜNERHAN Ege Üniveritei, Mühendiik Fakütei, Makina Mühendiiği Böüü, Bornova/İzir Geiş Tarihi : ÖZET Bu çaışa, bir orta içeriinde zaana bağı faz değişiiz ıı ietiinin oaı duruunda eşıcakık eğrierinin hareket hızı ie, aynı orta içeriinde faz değişii oaı duruundaki eşıcakık eğrierinin hızı araında bir iişkinin oduğu fikrine dayanaktadır. Bu iişki, azeenin iki fazına ait fizike özeikere bağıdır. Faz değişii oayan ıı ietii probeerinin anaitik çözüeri var oduğundan bu tür bir iişkinin biinei, faz değişii oaı hainde katı-ıvı ara yüzeyinin buunaına oanak ağayacaktır. Bu fikirden harekete, kartezyen geoetride üç farkı ınır koşu için katıaşa probei anaitik ve ayıa yönteer kuanıarak çözüüş ve faz değişiiz probeere ait çözüerin onuçarıya çoku regreyon anaizeri yapıarak koreayon katayıarı 0.98 ie 1.00 araında değişen iişkier ede ediiştir. Anahtar Keieer : Faz değişii ıı ietii, Hareketi ınır probei, Katıaşa, Entapi yöntei HEAT TRANSFER PROBLEMS WITH AND WITHOUT PHASE CHANGE IN CARTESIAN GEOMETRY ABSTRACT Thi tudy i to how that there i a reationhip between teperature qradient of tie dependent heat conduction probe with and without phae change in the ae ediu. The oidification probe i oved by uing anaytica and nuerica ethod for three different type of boundary condition in carteian geoetry. The reut are correated with the reut of probe without phae change. Thee reut have been found to be correated with utipe correation coefficient ranging between 0.98 and 1.00, which i tatiticay ignificant. Key Word : Heat conduction with phae change, Moving boundary probe, Soidification, Enthapy ethod 1. GİRİŞ Faz değişi veya hareketi ınır probei, katıaşa veya erie oayını içeren zaana bağı ıı tranferi probeidir. Uyguaa aanarı için buz üretii, gıdaarın ve biyoojik addeerin donduruaı, etaurjik işeer, ıı enerjiinin gizi ıı oarak depoanaı, güneş enerjii ıı depoaa iteeri, denizerin ve göerin kışın donaı ve yazın eriei oayarı, örnek veriebiir. Faz değişi probei, ateatik ode oarak ee aındığında, faz değiştiren böge ınırarının hareketi oaı nedeni ie doğrua oayan özeik göterekte ve çözüeri güçeşektedir. Katı ve ıvı bögeer içindeki ıcakık dağııarı ve bu bögeeri birbirinden ayıran ara yüzey konuu biineyeneri ouşturaktadır. Birbirerine bağı oan ve değereri zaana değişen bu biineyenerin ortaya çıkarıaı, ait odukarı difereniye denkeerin eşzaanı çözüeerine bağıdır (İken, 1991). 35

2 Kartezyen Geoetride Faz Değişii ve Faz Değişiiz Iı Tranferi Probeeri, H. Günerhan Faz değişi probeeri doğrua oayan özeik taşıdıkarından adece ınırı ayıda baiteştiriiş probeer için anaitik veya yarı anaitik çözüer ede ediiştir (Lunardini, 1981; Özışık, 1993). Bu nedene birçok faz değişi probeinin çözüü ancak ayıa yönteerin kuanıı ie ede ediebiektedir. Bigiayar teknoojiinin geişiine bağı oarak ayıa yönteerde ede edien geişeer faz değişi probeerine de yanıış ve bu probeere özgü yönteer geiştirierek (Voer et a., 1990; Saarkii et a., 1993) daha haa onuçar ede edieye başanıştır. Bugüne kadar yapıan çaışaarın birçoğu öze probeere ve öze koşuara ait çözüer unaktadırar. Yönte yeniiği veya yeni yönte tanıtıı içeren çaışaardan da yine öze probeerin çözüü ıraında yararanak oaı oaktadır. Bu nedene, anaitik çözü açıından bu deni kııtı oan bir aanda gene ühendiik uyguaaarı için geçeri onuçara uaşak her bir probein yeniden çözüü ie oaı oabiektedir. Bu çaışanın aacı, kartezyen geoetri için üç çeşit ınır koşuu atında faz değişi probeerine ait gene çözüere uaşak ve bu çözüeri taarıcıya yükek koreayon katayıına ahip bir bağıntı ie unabiektir. Aynı başangıç ve ınır koşuara ahip faz değişiiz bir ıı ieti probeinin onuçarı ie faz değişii probein onuçarı araında bir iişki oduğu bu çaışada ieri ürüen fikirdir. Gerçekte fizike bir teee dayanan bu fikir, bu çaışada irdeeniş ve kartezyen geoetri için faz değişii katıaşa probei üç çeşit ınır koşuu atında anaitik veya ayıa oarak çözüerek, katı-ıvı ara yüzey konuunun zaana göre değişii ede ediiştir. Aynı probe, faz değişiiz ıı ietii probei oarak da çözüüş ve faz değişiinin oaı gerektiği ıcakığa ait eşıcakık eğriinin igii zaanardaki konuarı buunuştur. Ede edien bu konuar araında bir fonkiyone iişki oaı gerektiği varayıı ie, probee ait değişkeneri içeren çoku regreyon anaizeri yapıış ve koreayonar ede ediiştir. Anıan faz değişiiz ıı ietii probeerinin ta anaitik çözüeri var oduğundan, bu çözüerin igii koreayonara birikte kuanıı ie, görecei oarak zor bir faz değişi probeini çözeden, bu probein yakaşık çözüüne uaşanın oaı oabieceği göteriiş oaktadır.. FİZİKSEL YAKLAŞIM Bir orta içeriinde zaana bağı faz değişiiz ıı ietiinin oaı duruundaki eşıcakık eğrierinin hareket hızı ie, aynı orta içeriinde faz değişii oaı duruundaki eşıcakık eğrierinin hızı araında bir iişkinin oduğu fikrine dayanan bu çaışanın fizike yakaşıı ik oarak İken ve Günerhan (1996) tarafından kartezyen geoetri için yapııştır. Kartezyen geoetride, başangıçta beiri bir T i ıcakığında oan (T i > T ) yarı onuz bir ortada katıaşa probeini ee aaı (Şeki 1). Katıaşa üçüncü çeşit ınır koşuu atında ve T ıcakığında bir orta (T < T ) etkiiye gerçekeşiyora, ıı ietii odeine göre ateatik denkeerin içerdiği paraetreer cininden katı-ıvı ara yüzeyin konuu, katıaşanın başadığı (yüzeyin T ıcakığına indiği) t 1 anından itibaren fonkiyone oarak t > t 1 için (1) ifadei ie göteriebiir. S * S * (k,k,ρ,ρ,c,c,h,l,t i -T,T -T,t) (1) Aynı yarı onuz orta probeini bu kez faz değişii oaaı duruu için adece bir ıı ietii probei oarak ee aırak (başka bir deyişe ortaın faz değiştirei gerektiği T ıcakığında ve daha düşük ıcakıkarda faz değiştirediğini varayarak), T eşıcakık eğriinin konuu fonkiyone oarak t > t 1 için () ifadei ie göteriebiir. X X (k,ρ,c,h,t i -T,T -T,t) () T T (1) ve () ifadeerinin karşıaştırıaından, faz değişii yarı onuz bir ortada katıaşa probeine ait çözüe faz değişiiz aynı ıı ietii probeine ait çözü araında, azeenin fizike özeikerine ve azeenin fizike özeikerinin oranarına bağı güçü bir iişki oduğu yoruu yapıabiir. Şeki 1. Yarı onuz bir ortada katıaşa probei Kartezyen geoetride, yarı onuz bir ortada katıaşa probei için yapıan bu fizike yakaşı, kartezyen geoetrideki bütün faz değişi probeeri için de geçeri oacaktır. Mühendiik Biieri Dergii () Journa of Engineering Science () 35-4

3 Kartezyen Geoetride Faz Değişii ve Faz Değişiiz Iı Tranferi Probeeri, H. Günerhan Bu çaışada, yukarıda yapıan fizike yakaşı ışığında, kartezyen geoetrideki katıaşa probeeri, probe değişkenerinin farkı değereri ve üç farkı ınır koşu için çözüüş ve ara yüzey konuunun zaana bağı değererini veren ve boyutuz ayıar içeren veri eteri ouşturuuştur. Çözü yöntei oarak Entapi Yöntei eçiiş ve Voer and Cro (1981; 1983) tarafından önerien agorita tee aınıştır. Kartezyen geoetrideki faz değişiiz ıı ieti probeeri, anaitik ve ayıa yönteer kuanıarak çözüüş ve beiri boyutuz zaanardaki boyutuz T eşıcakık eğriine ait konuar beirenerek ikinci veri eteri ouşturuuştur. Faz değişii ve faz değişiiz ıı ieti probeerinin çözüerinden ede edien ve boyutuz ayıardan ouşan veri eteri, çoku regreyon anaizi yöntei kuanıarak, boyutuz ayıardan ouşan koreayonarın ede edieinde kuanııştır. Bu çaışada kuanıan boyutuz ayıarın ınırarı, H O, CaC.6H O ve Na HPO 4.1H O oarak göterien faz değişi azeeerinin özeikeri (Hae et a., 1971; Kakaç et a., 1989) aınarak aptanıştır. Bu üç azee, faz değişii ıı ietii uyguaaarında en çok kuanıan azeeer oaı ve bu azee özeikeri içinde en küçük ve en büyük değereri içereerinden doayı eçiiştir. Faz değişii ve değişiiz duruara ait veri eteri araında yapıan çoku regreyon anaizeri onucunda, kartezyen geoetrideki 6 farkı duru için 6 koreayon ede ediiştir. 3. KARTEZYEN GEOMETRİ İÇİN İLİŞKİLERİN BULUNMASI Kartezyen geoetride, yarı onuz orta ve düze evha ee aınıştır. Yarı onuz orta ve düze evha için faz değişiiz ve faz değişii ıı ietiinde, faz değişiiz durua ait eşıcakık eğriinin konuu (ortaın T ıcakığına gediği ve faz değiştirediği konu) X T ie, faz değişii durua ait ara yüzey konuu (ortaın T ıcakığına gediği ve faz değiştirdiği konu) ie, S * ie göteriiştir (Şeki ve 3). Şeki. Faz değişiiz ve faz değişii yarı onuz orta Şeki 3. Faz değişiiz ve faz değişii L uzunuğundaki düze evha Faz değişiiz yarı onuz orta ve düze evha için enerji eşitiği, ınır ve başangıç koşuarı Tabo 1 ie veriiştir. Dirichet, Neuann ve Robin oarak iiendirien üç çeşit ınır koşuunda enerji denkei, T (x,t) T için x X koşuunda, Tabo 1 ie verien ınır ve T başangıç koşuarı da kuanıarak çözüüş ve onuçar boyutuz oarak yarı onuz orta için Tabo, düze evha için Tabo 3 ie veriiştir. Yarı onuz orta ve düze evha için faz değişii enerji eşitiği, ınır ve başangıç koşuarı Tabo 4 ie veriiştir. Mühendiik Biieri Dergii () Journa of Engineering Science () 35-4

4 Kartezyen Geoetride Faz Değişii ve Faz Değişiiz Iı Tranferi Probeeri, H. Günerhan Tabo 1. Faz Değişiiz Iı İetii İçin Enerji Eşitiği, Sınır ve Başangıç Koşuarı Yarı onuz orta Düze evha Enerji Eşitiği: T(x,t) 1 T(x,t) x 0,t > 0 0< x < L, t > 0 x t Başangıç Koşuu: T (x,t) T i Sınır Koşuu: T (x,t) T i Sınır Koşuu: T(x,t) 0 t 0, x 0 t 0, 0< x < L x, t > 0 x 0, t 0 Tabo. Yarı Sonuz Ortada Faz Değişiiz Orta İçin Çözüer (Incropera and DeWitt, 00) x 0, t > 0 için ınır koşuu Faz değişiiz çözü 1 erf( ξ) Dirichet: T (x,t) T o erf ( ξ) T(x,t) * * x Neuann: k qo q exp( ξ ) x [ 1 erf ( ξ) ] ξ π Robin: T(x,t) k h[ T T(x,t) ] ( ) + erfc( ξ) exp ξ τ Bi +τbi erfc( ξ+ τbi) /(1 ) Tabo 3. Düze Levhada Faz Değişiiz Orta İçin Çözüer (Caraw and Jaeger, 1959; Dağöz, 1974; Mi, 1995) x 0, t > 0 için ınır koşuu Faz değişiiz çözü ( 1) exp( βτ )co( βl ) Dirichet: T (x,t) T o 1 β β ( 1) π /, 1 / T(x,t) Neuann: k q x Robin: T(x,t) k h[ T(x,t) T ] [ ] ( ( ( ) q o { ierfc ζ (n + 1 L ) + ierfc ζ (n + 1+ L ) } ζ n in( β ) co ( βl ) exp( β τ ) 1β + in( β) ( ) β tan( β ) Bi, 1 / Faz değişii ıı ietiinde yarı onuz orta için Tabo 4 ie verien enerji eşitikeri, T (x,t) T (x,t) T için x S aınarak, Tabo 4 ie verien ınır ve başangıç koşuarı ie birinci çeşit ınır koşuunda, Neuann Probei (Özışık, 1993), ikinci ve üçüncü çeşit ınır koşuarında ie Entapi Yöntei (Voer and Cro, 1981; 1983; Fukuako and Seki, 1987) yardııya anaitik ve ayıa oarak çözüüştür. Düze evha için ie, üç çeşit ınır koşuunda, Entapi Yöntei (Voer and Cro, 1981; 1983; Fukuako and Seki, 1987) yardııya ayıa oarak çözüüştür. Mühendiik Biieri Dergii () Journa of Engineering Science () 35-4

5 Kartezyen Geoetride Faz Değişii ve Faz Değişiiz Iı Tranferi Probeeri, H. Günerhan Tabo 4. Faz Değişii Iı İetii İçin Enerji Eşitiği, Sınır ve Başangıç Koşuarı Yarı onuz orta Düze evha Katı Faz için Enerji Eşitiği: T(x,t) 1 dt(x,t) 0 x < S *, t > 0 0 x < S *, t > 0 x dt Sıvı Faz için Enerji Eşitiği: T (x,t) 1 dt (x,t) x > S *, t > 0 S < x L, t > 0 x dt Ara Yüzey için Enerji Eşitiği: T(x,t) T(x,t) dx x S *, t > 0 x S *, t > 0 k k ρl dt Başangıç Koşuu: T (x,t) T i t 0, x 0 t 0, S < x < L Sınır Koşuu: T (x,t) T i x, t > 0 Sınır Koşuu: T(x,t) 0 x 0, t 0 Faz değişiiz ve faz değişii yarı onuz orta ve düze evha için Tabo 5 ve 6 ie verien boyutuz ayıar ve ınırar kuanıarak, üç çeşit ınır koşuu için veri eteri ouşturuuş ve çoku regreyon anaizi (Hoffann, 1993; Iken, 1993) yardııya faz değişiiz probe ie faz değişii probe araında (3) denkeindeki gibi doğrua oayan bir iişki kuruuş ve bu iişkiye ait koreayon ve regreyon katayıarı yarı onuz orta için Tabo 5, düze evha için Tabo 6 ie veriiştir. (3) denkei ie verien ifade, en yükek regreyon katayıarını ağadığı için eçiiştir. y ax x x... (3) b1 b b Denke (3) birçok bağıız değişken içeren doğrua oayan çoku regreyon denkeidir. (3) denkei ie verien y, bağıı değişkeni göterektedir. Kartezyen geoetride yarı onuz orta için bağıı değişken, boyutuz ara yüzey konuu (S), düze evha için ie, boyutuz zaan ( τ ) oarak aınıştır. x1xx 3... ie, bağıız değişkeneri göterektedir. Tabo 5. Yarı Sonuz Orta İçin Sonuçar (Günerhan, 1998) Sınır Regreyon Denkeeri Veri Sayıı (Adet) - R (%) Koşuarı Dirichet S 0.838X Ste (K ) 430x6-100 Neuann Robin x7-99 S 0.974X q (Ste ) (K ) (C ) 3910x7-98 S 3.785X ( ) Bi Ste (K ) (C ) Sınırar H O, CaC.6H O ve Na HPO.1H O için 4 + ( ) ( ) 0.0 < S 1.0,0.1 ve Ste, Ste ve Ste 1.0,10 Bi 100 CaC.6H O ve Na HPO.1H O için 4 * ,10 q 50 HOiçin 1.0,100 * q 500 Mühendiik Biieri Dergii () Journa of Engineering Science () 35-4

6 Kartezyen Geoetride Faz Değişii ve Faz Değişiiz Iı Tranferi Probeeri, H. Günerhan Tabo 6. Düze Levha İçin Sonuçar (Günerhan, 1998) Sınır Koşuarı Regreyon Denkeeri Dirichet Neuann Robin Veri Sayıı (Adet) - R (%) τ 1.96 τ Ste (K ) 430x τ τ q (Ste ) (K ) (C ) 4949x7-100 τ τ ( ) Bi Ste (K ) (C ) 49x7-98 Sınırar H O, CaC.6H O ve Na HPO.1H O için 4 + ( ) ( ) 0.0 < (S ve L ) 1.0, 0.1 ve Ste, Ste ve Ste 1.0,10 Bi 100 CaC.6H O ve Na HPO.1H O için 4 * ,10 q 50 H O için 1.0,100 * q SONUÇ Katıaşa probeerinde, katıaşa ürei veya katıaşa kaınığının değişii, biinei gereki oan en önei paraetreyi ouşturaktadır. Bu çaışanın aacı, anaitik çözüeri biinen kartezyen geoetrideki ıı ietii probeerinin onuçarını kuanarak aynı geoetri ve koşuara ahip faz değişii ıı ietii probeerinin onuçarına beiri bir haaiyete uaşıabieceğini göterektir. Faz değişii probe ie faz değişiiz probe araında buunan iişkiere ait koreayon katayıarı, 0.98 ie 1.00 araında değişektedir. Bu onuç, yapıan çoku regreyon anaizeri onucunda itatitik açıdan anaı iişkier ede edidiğini göterektedir. Tabo 5 ve 6 da çaışa onucu buunan koreayon ve regreyon katayıarını içerektedir. Ede edien koreayonara, çözüü biinen veya bait oarak ede ediebiecek ıı ieti probeerinden karaşık yönteer gerektiren faz değişi probeerinin çözüerine uaşıaı ağanıştır. Bu çaışa onucu ede edien denkeer yardııya, faz değişi probeerine ait katıaşa ürei veya katıaşa kaınığı ie igii bigiere, faz değişii probeeri çözeden beiri bir hata oranı atında uaşıabiinecektir. a,b Bi Katayı Biot ayıı 5. GÖSTERİMLER ( h.1/k,hl /k ) C Özgü ıı [ J/(kgK) ] C Sıvı fazın özgü ııı [ J/(kgK) ] C Katı fazın özgü ııı [ J/(kgK) ] C + Boyutuz özgü ıı ( C /C ) h Iı taşını katayıı W/( K) k Iı ieti katayıı [ W/(K) ] k Sıvı fazın ıı ieti katayıı [ W/(K) ] k Katı fazın ıı ieti katayıı [ W/(K) ] K + Boyutuz ıı ieti katayıı ( k /k ) Adı ayıı n Adı ayıı L Gizi ıı (J/kg) L Uzunuk () L Boyutuz oarak T eşıcakık eğriinin konuu ( X T /L ) q o Iı akıı (W/²) q * Boyutuz ıı akıı q1ql o o, Tk i Tk i R Koreayon katayıı S Boyutuz ara yüzey konuu ( S /1,S /L ) S * Ara yüzey konuu () Ste Stefan ayıı Ste Stefan ayıı C(T T ) L Ste Stefan ayıı C(T T) o L Ste * Stefan ayıı CT i L Mühendiik Biieri Dergii () Journa of Engineering Science () 35-4

7 Kartezyen Geoetride Faz Değişii ve Faz Değişiiz Iı Tranferi Probeeri, H. Günerhan t T T i T T T o T T x X T Zaan () Sıcakık ( C) Başangıç ıcakığı ( C) Sıvı fazın ıcakığı ( C) Faz değişi ıcakığı ( C) Yüzey ıcakığı ( C) Katı fazın ıcakığı ( C) Hacie ıcakık ( C) Konu (), Bağıı değişken T eşıcakık eğriinin konuu () X Boyutuz oarak T eşıcakık eğriinin konuu ( X /1) y T Bağıız değişken Iı yayını katayıı (²/) Sıvı fazın ıı yayını katayıı (²/) Katı fazın ıı yayını katayıı (²/) Boyutuz ıı yayını katayıı ( / ) β Integra değişkeni ζ Boyutuz konu 1 τ ξ Boyutuz konu X τ ρ Yoğunuk (kg/ 3 ) ρ Sıvı fazın yoğunuğu (kg/ 3 ) ρ Katı fazın yoğunuğu (kg/ 3 ) τ Boyutuz zaan t, t, t 1 1 L τ T eşıcakık eğrii için boyutuz zaan t L T i Boyutuz ıcakık T T To + Ti T Boyutuz ıcakık T T T T i Boyutuz ıcakık Ti 6. TEŞEKKÜR Bu çaışa, Faz Değişii ve Değişiiz Iı İeti Probeerinin Sonuçarı Araındaki İişkier Üzerine Bir Araştıra iii doktora tezinin bir böüünün özetidir. Doktora tezi oarak faz değişii ıı tranferi konuunu öneren, düzeni bir çaışa ortaı ouşturarak ıı tranferini ve biie çaışa yönteerini evdiren, İzir Yükek Teknooji Entitüü Makina Mühendiiği Böüü öğreti üyeerinden Prof.Dr.Zafer İLKEN e teşekkür ederi. 7. KAYNAKLAR Caraw, H. S., Jaeger, J. C Conduction of Heat in Soid, Oxford Carendan Pre. Dağöz, A. K Iı Geçişi, Cit 1, Iı İetii, İTÜ Kütüphanei, Sayı: 978, İtanbu. Fukuako, S., Seki, N Fundaenta Apect of Anaytica and Nuerica Method on Freezing and Meting Heat-Tranfer Probe. Annua Review of Nuerica Fuid Mechanic and Heat Tranfer, Vo. 1, Günerhan, H Faz Değişii ve Değişiiz Iı İeti Probeerinin Sonuçarı Araındaki İişkier Üzerine Bir Araştıra, Doktora Tezi, Ege Üniveritei, Fen Biieri Entitüü, Bornova, İzir. Hae, D. V., Hoover, M. J., O Nei, M. J Phae Change Materia Handbook, NASA Contractor Report, NASA CR Hoffan, J. D Nuerica Method for Engineer and Scientit, McGraw-Hi Inc. İken, Z Siindir Çevreinde Katıaşa Probeerinin Farkı Sınır Koşuarı için Çözüü, TIBTD, Iı Biii ve Tekniği Dergii, 14 (3), 10-14, Ankara. Eyü. Iken, Z Coputationa Heat Tranfer and Fuid Fow, Dokuz Eyü Üniveritei, Mühendiik Fakütei, Makina Mühendiiği Böüü, Baıaış Der Notarı, İzir. Iken, Z., Günerhan, H An Invetigation about the Reation Between the Reut of Heat Conduction Probe With and Without Phae Change, Int. Co. in Heat and Ma Tranfer, 3 (6), October. Incropera, F. P., DeWitt, D. P. 00. Fundaenta of Heat and Ma Tranfer (Third Edition), John Wiey & Son. Kakaç, S., Paykoç, E., Yener, Y Storage of Soar Thera Energy: Energy Storage Syte, Mühendiik Biieri Dergii () Journa of Engineering Science () 35-4

8 Kartezyen Geoetride Faz Değişii ve Faz Değişiiz Iı Tranferi Probeeri, H. Günerhan Edited by Biro Kıkış & Sadık Kakaç, NATO ASI Serie, Serie E: Appied Science, Vo. 167, Kuwer Acadeic Pubiher, pp Lunardini, V. J Heat Tranfer in Cod Ciate, Van Notrand Reinhod Copany, New York. Mi, A. F Heat and Ma Tranfer, Richard D. Irwin Inc. Özışık, M. N Heat Conduction (Second Edition), John Wiey & Son Inc. Saarkii, A. A., Vabihchevich, P. N., Iiev, O. P., Churbanov, A. G Nuerica Siuation of Convection/Diffuion Phae Change Probe-A Review, Int. J. Heat Ma Tranfer, 36 (17), Voer, V. R., Cro, M Accurate Soution of Moving Boundary Probe Uing the Enthapy Method, Int. J. Heat Ma Tranfer (4), Voer, V. R., Cro, M An Expicit Nuerica Method to Track A Moving Phae Change Front, Int. J. Heat Ma Tranfer, 6 (1), Voer, V. R., Swainathan, C. R., Thoa, B. G Fixed Grid Technique for Phae Change Probe:A Review, Int. J. Nuer. Method Engng., 30 (4), Mühendiik Biieri Dergii () Journa of Engineering Science () 35-4