Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek rnek rnek Sýnýf / Sayý..

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý.."

Transkript

1 Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,, gibi büyük harflerle gösteririz. ir x elemaný (öðesi) kümesinin elemaný ise bunu x biçiminde yazar ve x elemanýdýr diye okuruz. ðer bir x elemaný kümesinin elemaný deðilse bunu x biçiminde yazar ve x elemaný deðildir diye okuruz. ir kümesinin eleman sayýsý s() veya n() ile gösterilir. oðal sayýlar kümesi: N = {0, 1, 2, 3,... } Tam sayýlar kümesi: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } u gösterimlerdeki (...) üç nokta, kümenin elemanlarýnýn ardýþýk olarak devam edeceðini gösterir. 2. Ortak Özelik Yöntemi Kümenin elemanlarý arasýnda ortak bir özelik varsa bu özelik belirtilerek kümenin gösterimine ortak özelik yöntemi ile gösterim denir ve; = {x x in özeliði } ile gösterilir. uradaki x sembolü x: biçiminde de gösterilebilir. Kümede bir eleman birden fazla yazýlmaz. lemanlarýn yer deðiþtirmesi kümeyi deðiþtirmez.. KÜMLRÝN GÖSTRÝLMSÝ 1. Liste Yöntemi Kümenin elemanlarý, { } parantezi içine, sýra gözetmeksizin, nesneleri virgül ile ayýrarak yazýlýr. rnek... 3 T kelimesinin harflerinden oluþan kümeyi liste yöntemi ve ortak özelik yöntemiyle gösterelim. T kelimesinin harflerinden oluþan küme kümesi olsun. kümesinin liste yöntemiyle gösterimi: = {, T} kümesinin ortak özelik yöntemiyle gösterimi: = {x x, T kelimesindeki harfler} rnek ile 10 arasýndaki sayma sayýlarýnýn oluþturduðu kümesini, = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} biçiminde gösterebiliriz. u gösterime liste yöntemi ile gösterim denilir. 3. Þema (Venn diyagramý) Yöntemi Kümeyi oluþturan nesneler kapalý bir eðri içine, her eleman bir nokta ile gösterilip noktanýn yanýna elemanýn adý yazýlarak gösterilir. u gösterime Venn þemasý (diyagramý) ile gösterim denir. rnek... 2 Geçen yýllarda gördüðünüz N doðal sayýlar kümesini ve Z tam sayýlar kümesini liste yöntemiyle gösterelim. rnek , 2, 3 elemanlarýnýn oluþturacaðý kümeyi verilen üç yöntemle de gösterelim: 22

2 Kümeler Liste yöntemi ile gösterimi: = {1, 2, 3} Ortak özelik yöntemi ile gösterimi: = {x: x doðal sayý, 0 < x < 4} Venn þemasý ile gösterimi: KÜMLRÝN ÞÝTLÝÐÝ yný elemanlardan oluþan en az iki kümeye eþit kümeler denir. ve gibi iki kümenin birbirine eþit olmasý = biçiminde yazýlýr ve kümesi kümesine eþittir diye okunur. ve kümelerinin birbirine eþit olmamasý, biçiminde gösterilir. rnek... 9 = {x: x, 1213 sayýsýnýn basamaklarýndaki bir rakam} = {1, 2, 3} lemanlarý sayýlabilen sonlu çoklukta olan kümelere sonlu kümeler denir. lemanlarý sayýlamayacak çoklukta olan kümelere sonsuz kümeler denir. = {3, 1, 2} kümeleri ayný elemanlardan oluþur. Yani, = = dir.. NK KÜMLR rnek... 5 = {1, 2, 3} sonlu bir kümedir. s() = 3 tür. leman sayýlarý ayný olan kümelere denk kümeler denir. kümesi ile kümesi birbirine denk ise, biçiminde gösterilir. rnek... 6 N = {0, 1, 2, 3,... } þit kümeler ayný zamanda denk kümelerdir. Fakat denk kümeler eþit kümeler olmayabilir. olduðuna göre, doðal sayýlar kümesi sonsuz bir kümedir.. OÞ KÜM lemaný olmayan kümeye boþ küme denir. oþ küme veya { } sembolü ile gösterilir. rnek... 7 = {x: x N, x < 0} kümesi boþ kümedir. rnek M = {2, 3, 5, 6} Z = {a 6 < a < 15, x çift sayý} T = {3, 5, 7} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Z = M ) Z = T ) Z M ) M T ) Z T Z = {a 6 < a < 15, x çift sayý} rnek... 8 = {Türkçede ile baþlayan aylar} kümesi boþ kümedir. = {8, 10, 12, 14} olduðuna göre, Z ile M nin eleman sayýlarý eþittir. una göre, Z M olur. evap 23

3 Kümeler F. LT KÜM ve ÖZLT KÜM ir kümesinde bulunan her eleman ayný zamanda kümesinin de elemaný ise, kümesine kümesinin alt kümesi denir. kümesi nin alt kümesi ise, ile gösterilir ve alt küme diye okunur. Ya da þeklinde gösterilir ve kapsar diye okunur. ir kümenin kendisi hariç, tüm alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir. lt Kümenin Özelikleri 1. Her kümesi için dýr. rnek = {1, 2} = {1, 2, 3} kümelerini Venn þemasýyla gösterelim kümesinin her elemaný kümesinin de elemaný olduðu için, dir. 2. Her kümesi için dýr. 3. ve ise dir. 4. n elemanlý bir kümenin tüm alt kümeleri sayýsý: 2 n dir. 5. n elemanlý bir kümenin tüm özalt kümeleri sayýsý: 2 n 1 dir. 6. n elemanlý bir kümenin r elemanlý (n r) alt kümeleri sayýsý = dir. n n! r (n r)! r! 7. n elemanlý bir kümenin r elemanlý alt kümelerinin sayýsý, k elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit ise, n = r + k dir. ve kümeleri için ve ise, ve kümeleri eþit kümelerdir. rnek = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerini yazalým. oþ kümede olan ve kümesinde olmayan hiçbir eleman yoktur. una göre, dýr. kümesinin her elamaný yine kümesinin bir elemanýdýr. una göre, dýr. u durumda, verilen kümesinin; 0 elemanlý alt kümesi: 1 elemanlý alt kümeleri: {1}, {2} {3} 2 elemanlý alt kümeleri: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 3 elemanlý alt kümesi: {1, 2, 3} olur. 0! =1 1! =1 2! =1 2 = 2 3! =1 2 3 = n! = n olarak tanýmlanýr. rnek = {1, 2, 3} kümesinin eleman sayýsý 3 tür. una göre, kümesinin alt kümelerinin sayýsý, 2 3 = = 8 olur. una göre, kümesinin özalt kümelerinin sayýsý, = 8 1 = 7 olur. 24

4 Kümeler rnek ir kümenin 6 elemanlý alt kümelerinin sayýsý 2 elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþittir. = {x: x veya x } dir. una göre, bu kümenin 4 elemanlý alt kümelerinin ) 84 ) 80 ) 76 ) 72 ) 70 u kümenin eleman sayýsý n olsun. n n = 6 2 olduðuna göre, n = = 8 olur. 8 elemanlý bir kümenin 4 elemanlý alt kümelerinin sayýsý: 8 8! = 4 (8 4)! 4! ! = 4! = 70 olur. rnek = {1, 2, 3} = {1, 3, 5, 7} olduðuna göre, kümesini liste biçiminde yazalým ve Venn þemasý ile gösterelim. kümesinin elemanlarý, hem nýn hem de nin elemaný olabilir. ir kümede bir eleman birden fazla yazýlmayacaðýný da göz önüne alarak kümesini yazalým: = {1, 2, 3}, = {1, 3, 5, 7} ise, = {1, 2, 3, 5, 7} olur. evap rnek H = {a, b, c, d, e, f, g} Yukarýdaki taralý küme, kümesidir. kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde g elemanýnýn bulunduðunu görelim. H = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinden d elemaný çýkarýlarak elde edilen {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin her birine g elemaný eklenirse istenen alt kümelerin sayýsý bulunur. {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin sayýsý 2 6 = 64 olduðuna göre, H = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin alt kümelerinin 64 tanesinde g eleman olarak bulunur. G. KÜMLRL ÝÞLMLR 1. Kümelerin irleþimi ve herhangi iki küme olmak üzere; ile kümelerinin bütün elemanlarýndan oluþan kümeye, bu iki kümenin birleþimi denir ve biçiminde gösterilir. birleþim kümesi diye okunur. þaðýda birleþim için daha sonra da kesiþim için verilecek olan özeliklerin ezberlenmesi gerekmez. oðruluklarý kolayca görülebilir. 2. irleþim Ýþleminin Özelikleri 1. = dýr. 2. = dýr. 3. = ise ( = ve = ) dir. 4. = dýr. 5. ( ) = ( ) = dir. 6. ise, = dir. 7. ( ) ve ( ) dir. 25

5 Kümeler 3. Kümelerin Kesiþimi ve herhangi iki küme olmak üzere; ile nin ortak elemanlarýndan oluþan kümeye, bu iki kümenin kesiþimi denir ve biçiminde gösterilir. kesiþim kümesi diye okunur. = {x: x ve x } dir. rnek ( ) = ( ) ( ) = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dýr. Þekildeki taralý küme ( ) kümesidir. = {a, b, c} = {a, c, d, e} olduðuna göre, kümesini liste biçiminde yazalým ve Venn þemasý ile gösterelim. kümesinin elemanlarý, hem hem de kümesinin elemanlarýdýr. una göre, = {a, c} dir. 5. Ýki Kümenin Farký ve herhangi iki küme olsun. da olup da de olmayan elemanlarýn kümesi \ veya biçiminde yazýlýr ve fark diye okunur. = {x: x ve x } dir. b a c d e Yukarýdaki taralý küme, kümesidir. 4. Kesiþim Ýþleminin Özelikleri 1. = dýr. 2. = dir. 3. ( ) ve ( ) dir. 4. = dýr. 5. ( ) = ( ) = dir. 6. ise, = dýr. 7. ( ) = ( ) ( ) dir. 8. ( ) = ( ) ( ) dýr. 9. ( ) = ( ) dýr. rnek = {1, 2, 3, 4} = {3, 4, 5, 6} olduðuna göre, ( ) kümesini liste biçiminde yazalým ve Venn þemasýyla gösterelim. rnek = {1, 2, 3, 4, 5} = {4, 5, 6} olduðuna göre, kümesini ve kümesini liste biçiminde yazýp Venn þemasýyla gösterelim. kümesi da olup de olmayan elemanlarýn kümesidir. una göre, = {1, 2, 3} olur. kümesi de olup da olmayan elemanlarýn kümesidir. una göre, = {6} dýr

6 Kümeler rnek ( ) ( ) ( ) = dir. = {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6. Farkla Ýlgili Özelikler 1. = dir. 2. = dýr. 3. = dir. 4. ise, = dir. olduðuna göre, s( ) + s( ) kaçtýr? ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 Verilen kümeleri Venn þemasýyla gösterelim: 5. = ( ) dir. 6. ( ) = dir. 7. dýr. 8. ( ) = ( ) dir rnek = {1, 4} = {2, 5} = {3} olduðuna göre, kümesini bulalým. = ( ) ( ) ( ) = {1, 4} {2, 5} {3} = {1, 2, 3, 4, 5} olur. Yukarýdaki þemaya göre, = s( ) = 0 dýr. = {5, 6} s( ) = 2 dir. una göre, s( ) + s( ) = = 2 olur. rnek s( ) = 2 s( ) = 5 s( ) = 4 olduðuna göre, s( ) kaçtýr? evap 1. s( ) = s( ) + s( ) + s( ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 ) s( ) = s() + s() s( ) 3. s( )= s() + s() + s() s( ) s( ) s( ) + s( ) Ç rnek s() = 12, s() = 25, s( ) = 6 ise s( ) = s() + s() s( ) = = 31 olur. s( ) = s( ) + s( ) + s( ) = = 11 evap 27

7 Kümeler H. VRNSL KÜM Üzerinde iþlem yapýlan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. vrensel küme ihtiyaca yetecek kadar öge içerir ve genellikle harfi ile gösterilir. Tümleyenin Özelikleri evrensel küme olmak üzere, aþaðýdaki özelikler yazýlabilir: 1. ' = = 2. ( )' = = = = (')' = ' = ' = 6. ( )' = ' ' 7. ( )' = ' ' 8. ' = 9. ' = ' vrensel küme sabit bir küme deðildir. Her iþlemde deðiþir ' ' s( ) + s(') = s() = ' = ' I. TÜMLM olsun. evrensel kümesinde olup, kümesinde olmayan elemanlarýn oluþturduðu kümeye kümesinin tümleyeni denir. ' ile ya da ile gösterilir. unun küme ile gösterimi, = {x: x ve x } dir. rnek ve ayný evrensel kümenin alt kümeleridir. s( ) + s(') = 24 s() + s(') = 12 olduðuna göre, evrensel kümenin eleman sayýsý kaçtýr? ) 12 ) 15 ) 18 ) 21 ) 36 Yukarýdaki þekilde gösterilen taralý bölge, kümesinin tümleyenidir. evrensel küme olmak üzere, ve dir. s( ) + s(') = 24 + s() + s(') = 12 s( ) + s(') + s() + s(') = 36 s( ) + s(') + s(') + s() = 36 s() s() 2 s() = 36 s() = 18 olur. evap 28

8 Kümeler rnek = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 7} evrensel kümesinde, kümesi tanýmlanýyor. una göre, ' kümesinin 3 elemanlý alt kümeleri ) 9 ) 10 ) 11 ) 12 ) 13 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, = {1, 2, 7} ise, ' = {3, 4, 5, 6, 8} olur. una göre, s(') = 5 tir. 5 elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt kümeleri sayýsý: rnek evrensel kümesinde, ve kümeleri tanýmlanýyor. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3} = {1, 3, 5, 7} una göre, ( )' ( )' kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {1, 5, 8} ) {2, 5, 7} ) {1, 2, 3, 4} ) {4, 5, 6} ) {2, 4, 6} Verilenleri þema ile gösterelim: ! = 3 (5 3)! 3! = = 10 dur. rnek (' ) ( ') ( ) ifadesinin eþitini bulalým. evap = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, = {1, 2, 3}, = {1, 3, 5, 7} = {1, 3} = {1, 2, 3, 5, 7} vrensel kümede olup kümesinde olmayan elemanlarýn oluþturduðu küme; ( )' = {2, 4, 5, 6, 7, 8} olur. vrensel kümede olup da kümesinde olmayan elemanlarýn oluþturduðu küme; ( )' = {4, 6, 8} dir. ( )' ( )' kümesi; ( )' kümesinde olup, ( )' kümesinde olmayan elemanlardan oluþur. ( )' ( )' = {2, 5, 7} olur. evap ( ' ) ( ) = [ (' )] = [ ] =... ( ) (' ) ( ') ( ) = (' ) = (' ) ( ) = ( ) = olur. rnek n az birer elemaný bulunan farklý ve kümeleri, ( ) = olduðuna göre, kümesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisine daima eþittir? ) ) ) ) ) ' 29

9 Kümeler evrensel küme olmak üzere, = ' dir.... ( ) u iki dilden en çok birini bilenlerin sayýsý: s[( Ý)'] = a + c + d dir. ' = dir.... ( ) ( ) = ise, ( ') = ( ) (' ) = ( ) = a+b+c+d tane öðrencinin bulunduðu bir sýnýfta; lmanca bilenlerin kümesi, Ýngilizce bilenlerin kümesi Ý olmak üzere; lmanca bilen öðrencilerin sayýsý: s() = b + c dir. Ýngilize bilen öðrencilerin sayýsý: s(ý) = a + b dir. Ýngilizce ve lmanca bilenlerin sayýsý: s(ý ) = b dir. Ýngilizce veya lmanca bilenlerin sayýsý: s(ý ) = s(ý) + s () s(ý ) = (a + b) + (b + c) b = a + b + c dir. u iki dilden sadece birini bilenlerin sayýsý: s(ý ) + s( Ý) = a + c dir. Sadece Ýngilizce bilenlerin sayýsý: s(ý ) = a dýr. Ýngilizce bilmeyenlerin sayýsý: s(ý' ) = c + d dir. u iki dilden en az birini bilenlerin sayýsý: s( Ý) = a + b + c dir. S a Ý b d = olur. c evap rnek kiþilik bir sýnýftaki her öðrenci tenis veya golf sporlarýndan en az birini oynamaktadýr. Tenis oynayanlarýn sayýsý, hem tenis hem golf oynayanlarýn sayýsýnýn 2 katý; golf oynayanlarýn sayýsý, hem tenis hem golf oynayanlarýn sayýsýnýn 3 katýdýr. una göre, bu sýnýfta tenis oynayan öðrenci sayýsý kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 10 ) 12 ) 15 T a u sýnýfta, tenis oynayanlarýn sayýsý, hem tenis hem golf oynayanlarýn sayýsýnýn 2 katý olduðuna göre, a + b = 2b a = b dir.... ( ) Golf oynayanlarýn sayýsý, hem tenis hem golf oynayanlarýn sayýsýnýn 3 katý olduðuna göre, b + c = 3b c = 2b dir.... ( ) Sýnýf mevcudu 20 olduðuna göre, b a + b + c = 20 dir.... ( ) ( ) ve ( ) da verilen a ve c nin eþitleri ( ) da yerine yazýlýrsa, a + b + c = 20 b + b + 2b = 20 4b = 20 b = 5 bulunur. una göre, bu sýnýfta tenis oynayanlarýn sayýsý, c s(t) = a+b= b + b = 2b = 10 olur. G evap 30

10 Kümeler Ç özümlü T est 7. = {a, b, c, d, e, f} 1. = {, a, b, {c,d}} kümesi kaç elemanlýdýr? ) 6 ) 5 ) 4 ) 3 ) 2 8. kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b veya c eleman olarak bulunur? ) 64 ) 60 ) 56 ) 52 ) olmak üzere, = {1, 2, 3, 4} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kümesi olamaz? ) ) {1, 2} ) {1, 2, 3, 4} ) {2, 4, 6} ) {1, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} = {2, 3, 4} kümeleri için aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) s() = 4 ) ) 4 ) {1, 2} ) { } = {a, b, c, d} = {a, c, e, f} olduðuna göre, s[ ( )] kaçtýr? ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ( ) ( ) kümesi aþaðýdakilerden hangisine her zaman eþittir? ) ) ) ) ) Yukarýdaki þekilde sayýlar bulunduklarý bölgelerin eleman sayýlarýný göstermektedir. s( ) = 37 olduðuna göre, x kaçtýr? x ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 Þekildeki taralý küme aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 10. oþ kümeden farklý K ve L kümeleri için, 11. s(k) = 2 s(l) s(k L) + s(k L) = 21 olduðuna göre, s(l) kaçtýr? ) 5 ) 7 ) 8 ) 10 ) 13 G = {x x < 100, x = 3n, n N + } tane özalt kümesi olan bir küme kaç elemanlýdýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 H = {y y < 120, x = 5m, m N + } kümeleri veriliyor. una göre, s(g H) kaçtýr? ) 56 ) 54 ) 50 ) 48 ) 45 31

11 Kümeler kiþilik bir turist grubunda, her turist Ýngilizce ve lmanca dillerinden en az birini biliyor. u grupta 25 kiþi Ýngilizce, 10 kiþi de lmanca bildiðine göre, her iki dili bilen kaç kiþi vardýr? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) ve birer küme olmak üzere, I. ise, = dir. II. ise, = dir. III. ( ) = dir. yargýlarýndan hangileri daima doðrudur? ) Yalnýz I ) Yalnýz II ) Yalnýz III ) I ve II ) II ve III 13. n elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt küme sayýsý ile 6 elemanlý alt küme sayýsý eþittir. una göre, bu kümenin 4 elemanlý alt küme ) 125 ) 126 ) 127 ) 128 ) = {x : 0 < x < 128, x = 4 m, m N} = {y : 20 y < 148, y = 5 n, n N} olduðuna göre, s( ) kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin kaçýnda 5 elemaný bulunur? ) 10 ) 9 ) 8 ) 7 ) Þekilde verilen þemaya göre, s[ ( )] kaçtýr? ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) = {a, b, 1, 2} = {a, 1} = {a, 2} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) ) ) = ) = {a} ) = 20. Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluþan 42 kiþilik bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 3, voleybol ve basketbol oynayanlar 9, voleybol ve futbol oynayanlar 10, futbol ve basketbol oynayanlar 7 kiþidir. Futbol oynayanlar 22, voleybol oynayanlar 25 kiþi olduðuna göre, basketbol oynayanlar kaç kiþidir? ) 15 ) 16 ) 18 ) 20 ) ve birer küme olmak üzere, s() = 10 s() = 8 olduðuna göre, s[( ) ( )] en çok kaçtýr? ) 9 ) 10 ) 11 ) 12 ) kümesinin alt küme sayýsý 8 ve s( ) = 10 s( ) = 11 olduðuna göre, s( ) kaçtýr? ) 3 ) 8 ) 18 ) 22 ) 24 32

12 Kümeler 22. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} evrensel kümesi veriliyor. = {1, 3, 5} = {1, 2, 5, 6} olduðuna göre, [( ) ]' kümesinin eleman ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) Futbol, voleybol, basketbol oyunlarýnýn en az birini oynayanlardan oluþan bir sporcu kafilesinde; futbol oynayanlarýn sayýsý 43, basketbol oynayanlarýn sayýsý 38, voleybol oynayanlarýn sayýsý 28 dir. Futbol ve voleybol oynayanlarýn sayýsý 15, voleybol ve basketbol oynayanlarýn sayýsý 13, futbol ve basketbol oynayanlarýn sayýsý 21, üç oyunu da oynayanlarýn sayýsý 6 dýr. una göre, kafiledeki sporcu ) 66 ) 65 ) 64 ) 63 ) n elemanlý bir kümenin, alt kümelerinin sayýsý ile özalt kümelerinin sayýsý toplamý 15 tir. una göre, n kaçtýr? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) ir sýnýfta matematik dersinden baþarý gösterenler, sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % 30 u, Türkçe dersinden baþarý gösterenler sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % 60 ý, bu iki dersin ikisinden de baþarý gösterenler sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % 10 u dur. 25. u sýnýftaki öðrencilerin 16 tanesi her iki dersten de baþarýsýz olduðuna göre, sýnýfta kaç öðrenci vardýr? ) 80 ) 70 ) 60 ) 50 ) 40 s() = 12 s( ) = 3 olduðuna göre, s( ) kaçtýr? ) 4 ) 6 ) 9 ) 12 ) ir sýnýfta lmanca veya Ýngilizce dillerinden en az birini bilen 21 öðrenci vardýr. lmanca bilenlerin sayýsý; Ýngilizce bilenlerin sayýsýnýn 3 katý, her iki dili bilenlerin sayýsýnýn ise 6 katýdýr. una göre, sýnýftaki lmanca bilenlerin sayýsý kaçtýr? ) 20 ) 19 ) 18 ) 17 ) ir sýnýfta lmanca veya Ýngilizce dillerinden en az birini bilen 21, en çok birini bilen 8, hiçbirini bilmeyen ise 3 öðrenci vardýr. una göre, bu sýnýfta iki dil bilen öðrencilerin ) 20 ) 19 ) 18 ) 17 ) ve kümeleri evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, kümesinin eleman sayýsý 27 dir. s( ) = 8 s(' ') = 4 olduðuna göre, s() kaçtýr? ) 12 ) 15 ) 17 ) 19 ) ve ayrýk kümelerdir. ve kümeleri evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s() = 12 s( ) = 8 s( ) = 5 olduðuna göre, s() kaçtýr? ) 21 ) 23 ) 24 ) 25 ) 26 33

13 Kümeler T estin Ç özümleri 5. = dýr.... ( ) 1., a, b, {c,d} elemanlarýndan oluþan kümesi dört elemanlýdýr. evap = dir.... ( ) una göre, ( ) ( ) = dir. evap kümesi, kümesinin alt kümesi ise, daki her eleman nin de elemanýdýr. kümesinde 6 diye bir eleman olmadýðýndan kümesinde 6 olamaz. una göre, verilen koþullara göre, kümesi {2, 4, 6} olamaz. 3. ; 1, 2, 3, 4 elemanlarýndan oluþan bir kümedir. Yani s() = 4 tür. evap kümesinin her elemaný ayný zamanda kümesinin de bir elemanýdýr. kümesi nýn alt kümesidir. ( dýr.) kümesinin elemanlarý içinde 4 vardýr. Yani 4 dýr. 1 ile 2 nin ikisi de kümesinin elemaný olduðu için bu elemanlardan oluþan bir küme nýn alt kümesidir. Yani {1, 2} dýr. nýn elemanlarý içinde gibi bir sembol olmadýðýndan yi eleman kabul eden bir küme nýn alt kümesi olamaz. Yani { } ifadesi yanlýþtýr. ðer olsaydý doðru olurdu. evap n elemanlý bir kümenin özalt kümesi sayýsý 127 ise, 2 n 1 = n = n = n = n = 2 7 dir.... ( ) 2 n = 2 7 ise n = 7 dir. una göre, 127 tane özalt kümesi olan bir küme 7 elemanlýdýr. = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümeleri sayýsýndan, içinde eleman olarak b ve c nin bulunmadýðý {a, d, e, f} kümesinin alt kümeleri sayýsý çýkarýlýrsa istenen bulunmuþ olur. {a, b, c, d, e, f} kümesinin tüm alt kümelerinin sayýsý, 2 6 = 64 tür. {a, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin sayýsý, 2 4 = 16 dir. una göre, = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin = 48 tanesinde b veya c eleman olarak bulunur. evap evap s( ) = 37 ( ) = ( ) ( ) x = 37 = {a, b, c, d} {a, c, e, f} 33 + x = 37 = {a, c} x = olduðuna göre, s[ ( )] = 2 dir. x = 4 tür. evap evap 34

14 Kümeler Þekildeki taralý küme dir. u kümede olup kümesinde olmayan elemanlar verilen taralý kümeyi oluþturur. Her turist Ýngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bildiðinden, gruptaki turist sayýsý, Ýngilizce veya lmanca bilenlerin kümesinin eleman sayýsýna eþittir. Ýngilizce bilenlerin kümesi Ý, lmanca bilenlerin kümesi olsun. una göre, taralý böle, s( Ý) = s() + s(ý) s( Ý) 30 = s( Ý) ( ) 30 = 35 s( Ý) kümesidir. s( Ý) = = 5 olur. evap evap 10. s(k) = 2 s(l)... ( ) s(k L) = s(k) + s(l) s(k L)... ( ) olduðuna göre, s(k L) + s(k L) = 21 s(k) + s(l) s(k L) + s(k L) = 21 s(k) + s(l) = ( ) olur. s(k) nýn ( ) daki deðeri ( ) da yerine yazýlýrsa, bulunur. 11. s(k) + s(l) = 21 2 s(l) + s(l) = 21 3 s(l) = 21 s(l) = 7 evap G kümesi, 100 den küçük ve 3 ün katý olan pozitif doðal sayýlardan oluþmaktadýr. H kümesi, 120 den küçük ve 5 in katý olan pozitif doðal sayýlardan oluþmaktadýr. una göre, G = {3, 6, 9,..., 99} ise s(g) = 33 H = {5, 10, 15,..., 115} ise s(h) = 23 olur..k.o.k.(3, 5) = 15 olduðu için, G ve H kümesinde bulunan elemanlar 100 den küçük ve 15 in katý olan pozitif doðal sayýlardan oluþmaktadýr. una göre, G H = {15, 30, 45, 60, 75, 90} ise s(g H) = 6 olur. una göre, s(g H) = s(g) + s(h) s(g H) = = 50 bulunur. evap 13. n elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt küme sayýsý ile 6 elemanlý alt küme sayýsý eþit ise, n n = ise n = ise n = 9 olur elemanlý bir kümenin 4 elemanlý alt küme sayýsý: 9 9! 5! = = = 126 olur. 4 (9 4)! 4! 5! evap kümesindeki 5 elemaný dýþýnda kalan diðer 4 eleman ile 2 elemanlý alt kümeler oluþturup, sonra da bu alt kümelere 5 elemanýný yazdýðýmýzda 3 elemanlý, içinde 5 elemaný bulunan alt kümeler yazýlmýþ olur. una göre, kümesinin, içinde 5 elemaný bulunan 3 elemanlý alt kümeleri sayýsý: 4 4! = = = 6olur. 2 (4 2)! 2! 2! evap = {1, 2, 3, 4}, ={2, 3} ve = {3, 4, 5} olduðuna göre, = {2, 3, 4, 5} olur. ( ) kümesi, kümesinde olup kümesinde olmayan elemanlardan oluþur. una göre, ( ) = {1} ve s[ ( )] = 1 dir. evap 35

15 Kümeler 16. ( ) ( ) kümesi, de olup de olmayan elemanlardan oluþur. u kümenin eleman sayýsýnýn en çok olmasý için, nin eleman sayýsý en az olmalýdýr. Yani, s( ) = 0 dýr. ve kümeleri ayrýk kümeler olduðundan, s[( ) ( )] = s() + s() = = 18 dir. evap 19. b 1 a 2 Verilen kümeler yandaki þemada gösterilmiþtir. una göre, nin her elemaný nýn da elemaný olduðundan kümesi kümesini kapsar. una göre, dir. nin her elemaný nýn da elemaný olduðundan kümesi kümesinin alt kümesidir. Yani, dýr. olduðundan, 17. Ì = dir. Hem kümesinde hem de kümesinde olan eleman, a olduðundan, = {a} dir. kümesinde olup, kümesinde olmayan elemanlar, 1 ve b olduðundan, = {1, b} dir. ise, nýn her elemaný nin de elemaný olup, una göre, seçeneðindeki ifade yanlýþtýr. = dýr. una göre, I. ifade yanlýþtýr. evap É ise, nin her elemaný nýn da elemaný olup, = dýr. una göre, II. ifade de yanlýþtýr. = ve ( ) = = olup, III. ifade doðrudur. evap 20. Futbol oynayanlarýn kümesi F, voleybol oynayanlarýn kümesi V, basketbol oynayanlarýn kümesi olmak üzere, s(f V ) = s(f) + s(v) + s() s(f V) s(f ) s(v ) + s(f V ) Verilenleri bu eþitlikte yerine yazarsak; 42 = s() = 24 + s() 18. kümesi, 0 ile 128 arasýndaki 4 ün katý olan doðal sayýlardan oluþuyor. kümesinin elemanlarý; 4, 8, 12, 16,..., 112, 116, 120, 124 tür. s() = s() = 18 olur. evap kümesi, 19 ile 148 arasýndaki 5 in katý olan doðal sayýlardan oluþuyor. kümesinin elemanlarý; 20, 25, 30, 35,..., 130, 135, 140, 145 tir. Hem 4 ün hem de 5 in katý olan sayýlar, 20 nin katý olan sayýlardýr. una göre, kümesi; 20 nin katý olan ve hem nýn hem de nin elemanlarýndan oluþan kümedir. = {20, 40, 60, 80, 100, 120} olur. una göre, s( ) = 6 dýr. evap 21. kümesinin alt küme sayýsý 8 ise, (8 = 2 3 olduðu için), s( ) = 3 tür. s( ) = s( ) + s( ) + s( ) dýr.... ( ) Verilenleri bu eþitlikte yerine yazarsak; s( ) = = 24 olur. evap 36

16 Kümeler 22. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = {1, 3, 5} {1, 2, 5, 6} = {1, 2, 3, 5, 6}... ( ) 25. vrensel küme, = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olduðuna göre, evrensel kümede olup daki kümede olmayan elemanlarýn kümesi; [( ) ]' = [( ) ( )]' = {0, 4, 7, 8, 9, 10} olur. una göre, s[( ) ]' = 6 dýr. 23. evap n elemanlý bir kümenin; alt kümelerinin sayýsý 2 n, özalt kümelerinin sayýsý 2 n 1 dir. una göre, n n = 15 n 2 2 = 16 s( ) = s() + s( ) 26. s(' ') = s[( )'] = 4 dir. s() = x + y olsun.... ( ) = = 15 x y 8 4 evap 24. n 2 = 8 n 3 2 = 2 n= 3 olur. evap Türkçeden baþarýlý olanlarýn kümesi T, matematikten baþarýlý olanlarýn kümesi M ve her iki dersten de baþarýsýz olanlar sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % x i olsun. una göre, s(t) + s(m) s(t M) = % 60 + % 30 % 10 = % ( ) = % 80 olur.... ( ) Sýnýftaki öðrencilerin sayýsý; Türkçeden veya matematikten baþarýlý olanlarýn sayýsý ile bu iki dersin ikisinden de baþarýsýz olanlarýn sayýsý toplamýna eþittir. una göre, % 100 = % 80 + % x ise, x = 20 dir. Sýnýftaki öðrencilerin sayýsýnýn % 20 si 16 kiþi olduðundan, sýnýfta = 80 öðrenci vardýr evap evrensel kümesinin eleman sayýsý 27 olduðuna göre, s() = x + y = x + y + 12 x + y = ( ) una göre, s() = x + y = 15 olur. 27. F Futbol oynayanlarýn kümesi F, basketbol oynayanlarýn kümesi, voleybol oynayanlarýn kümesi V olmak üzere, verilenler sondan baþlýyarak, yandaki þemaya yerleþtirilirse, kafiledeki sporcu sayýsý: = 66 dýr. V evap evap 37

17 Her iki dili bilenlerin sayýsý x, lmanca bilenlerin kümesi ve Ýngilizce bilenlerin kümesi Ý olsun. Verilenlere göre, s(ý) = 2 x, s( Ý) = 21 ve s() = 3 s(ý) = 6 x olur. una göre, s( Ý) = s() + s(ý) s( Ý) S a a + b + c + d öðrencinin bulunduðu bir sýnýfta; lmanca bilenlerin kümesi, Ýngilizce bilenlerin kümesi Ý olmak üzere; en az bir dil bilen 21, en çok bir dil bilen 8, hiçbir dil bilmeyen 3 öðrenci olduðuna göre, a + c + b = 21...( ) d + a + c = 8...( ) d = 3...( ) denklemlerini yazabiliriz. ( ) deki d nin deðerini ( ) de yerine yazdýðýmýzda, a + c = 5 bulunur....( ) ( ) deki a + c deðerini ( ) de yerine yazdýðýmýzda b = 16 bulunur. 21 = 6 x + 2 x x 21 = 7 x x = 3 tür. una göre, s() = 6 x = 6 3 = 18 dir. b c Ý d evap evap 1. olmak üzere, 2. Kümeler 3. ir kümenin üç elemanlý alt kümelerinin sayýsý dört elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit olduðuna göre, bu kümenin eleman ) 5 ) 6 ) 7 ) 9 ) evaplý T est.. 2 = {a, b, c, d} olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kümesi olabilir? ) ) {a, b} ) {a, b, c} ) {b, c, d} ) {a, b, c, d} M = {a, b, c, d} N = {a, b, c, 15} kümeleri için aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) s(m) = 4 ) s(n) = 4 ) c N ) {a, b} M ) M N = {2, 5, 7, 10, 12} kümesinin üç elemanlý alt kümelerinin sayýsý kaçtýr? ) 10 ) 15 ) 20 ) 21 ) Verilenleri þema ile gösterelim una göre, s() = = 25 olur. evap 5. ve F iki küme olmak üzere; s() = 4 s(f) = 7 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) F ise, s( F) = 0 dýr. ) F ise, s( F) = 7 dir. ) F ise, s( F) = 4 tür. ) F ise, F = F dir. ) F ise, s(f ) = 11 dir. 38

18 Kümeler = {a, b, {c,d}, e, f} = {a, {b,c}, {e}, f} olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 = {1, 2, 3} = {2, 3, 4} = {3, 4, 5} olduðuna göre, ( ) kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {1, 2, 3} ) {2, 4} ) {3, 5} ) { } ) {1, 2, 3, 4} ={x x, 1 ile 41 arasýnda 5 in katý ve doðal sayý} ={x x, 5 ile 80 arasýnda 3 ün katý ve doðal sayý} olduðuna göre, ( ) kümesinin eleman ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 11.,, kümelerinin alt küme sayýlarý sýrasýyla; 1, 4, 16 olduðuna göre, kümesinin eleman ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) = {a, b, c, d, e} kümesinin, 4 elemanlý alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur? ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 ) olmak üzere, 14. s() + s() = 18 s() = 6 olduðuna göre, s( ) en çok kaçtýr? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 9 = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b e- lemaný bulunur? ) 4 ) 6 ) 8 ) 12 ) olmak üzere, s() = 12 s() = 13 olduðuna göre, ( ) kümesinin eleman sayýsý en çok kaçtýr? ) 25 ) 24 ) 23 ) 21 ) kümesinin eleman sayýsý 12 ve kümesinin eleman sayýsý 19 dur. una göre, kümesinin eleman sayýsý en az kaç olabilir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) , birer kümedir. 16. olmak üzere, s() = 2 s( ) s( ) = s( ) + 1 s( ) = 18 s( ) = 4 olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 2 ) 3 ) 4 ) 6 ) 12 olduðuna göre, ( ) kümesinin eleman sayýsý en az kaçtýr? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7.T

19 Kümeler evaplý T est ve, evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s( ) = 18 s(' ') = 9 olduðuna göre, s() kaçtýr? ) 9 ) 18 ) 27 ) 36 ) s( ) = 26 3 s( ) = 4 s( ) = 2 s( ) olduðuna göre, s( ) kaçtýr? ) 8 ) 10 ) 12 ) 15 ) ir okuldaki öðrencilerin % 65 i Ýngilizce, % 75 i Türkçe, % 85 i Rusça biliyor. 2. ( ) kümesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? una göre, okulda bu üç dili bilen öðrencilerin sayýsý en az yüzde kaçtýr? ) 15 ) 20 ) 25 ) 30 ) 35 ) ) ) ) ) 3. Üç yabancý dilin seçmeli ders olarak okutulduðu bir okulda, en az bir dil bilen öðrenci sayýsý 180, en çok bir dil bilen 120 ve sadece bir dil bilen 48 kiþi vardýr. una göre, bu okuldaki öðrenci ) 240 ) 248 ) 252 ) 268 ) ir sýnýfta Türkçe veya Ýngilizce dillerinden en az birini bilenlerin sayýsý 15, en çok birini bilenlerin sayýsý 8 dir. u dillerden yalnýzca birini bilen 5 öðrenci olduðuna göre, bu sýnýfta kaç öðrenci vardýr? ) 18 ) 20 ) 21 ) 22 ) kiþilik bir sýnýfta biyoloji dersinden geçenlerin kümesi, matematik dersinden geçenlerin kümesi M dir. 4. ir iþyerinde, Ýngilizce bilmeyenler 11, Türkçe bilmeyenler 8, Ýspanyolca bilmeyenler 5 kiþidir. una göre, bu iþyerinde en az kaç kiþi vardýr? ) 11 ) 13 ) 14 ) 16 ) 19 s() = 7 s(m) = 9 s(m ) = 12 olduðuna göre, s(m ) + s( M) kaçtýr? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 5. ile ayný evrensel kümesinin alt kümeleridir. s() = 16 s( ) = 3 s(') + s(') = 19 olduðuna göre, ( )' kümesinin eleman ) 3 ) 6 ) 8 ) 10 ) Kýrmýzý veya mavi kalemlerden en az birine sahip olan öðrencilerden oluþan 20 kiþilik bir sýnýfýn % 70 inde kýrmýzý, % 40 ýnda mavi kalem vardýr. una göre, öðrencilerin kaçýnda hem kýrmýzý kalem hem de mavi kalem vardýr? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 40

20 Kümeler 11. ve boþ kümeden farklý birer kümedir. s( ) = 3 s( ) s(' ) = s( ) olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý en az kaçtýr? ) 4 ) 5 ) 6 ) 10 ) ir kümede bulunan 12 tane sayma sayýsýndan; M ile tam bölünenlerin sayýsý 3, N ile tam bölünenlerin sayýsý 6 dýr. M ye de, N ye de bölünemeyen 4 sayý olduðuna göre, M ve N ye bölünebilen kaç sayý vardýr? ) 5 ) 4 ) 3 ) 2 ) ve boþ kümeden farklý birer kümedir. s( ) = s( ) 1 = s( ) + 1 olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý en az kaçtýr? ) 0 ) 3 ) 6 ) 9 ) n az birer elemaný bulunan, birbirinden farklý ve kümeleri için olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) ' = ) = ) = ) = ) = 13. ve boþ kümeden farklý olmak üzere, [' ( )] ( ) kümesi aþaðýdakilerden hangisine daima eþittir? ) ) ) ) ' ) kiþilik bir sýnýftaki öðrenciler; futbol, voleybol, basketbol oyunlarýndan en az birini oynamaktadýrlar. Futbol oynayanlarýn sayýsý 10, voleybol oynayanlarýn sayýsý 11, basketbol oynayanlarýn sayýsý 12 dir. u üç oyundan herhangi ikisini oynayanlarýn sayýlarý da birbirine eþittir. una göre, futbol ve basketbol oynayanlarýn sayýsý en az kaçtýr? ) 3 ) 5 ) 6 ) 7 ) ir grupta, lmanya yý gören 8, Kanada yý gören 5 kiþi vardýr. lmanya yý ve Kanada yý gören 2 kiþi olduðuna göre, sadece lmanya yý görenlerin sayýsý, sadece Kanada yý görenlerin sayýsýndan kaç fazladýr? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) ve, evrensel kümesinin alt kümeleri ve s( ) + s() = 8 s() + s( ) = 14 s( ) + s( ) = 10 olduðuna göre, s() kaçtýr? ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 ) ir sýnýfta hem futbol hem de basketbol oynayanlarýn sayýsý 3, futbol veya basketboldan en az birini oynayanlarýn sayýsý 9 dur. Futbol oynayanlarýn sayýsý, yalnýz basketbol oynayanlarýn sayýsýnýn 2 katý olduðuna göre, bu sýnýfta basketbol oynayanlarýn ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) = {a, {a,b}, c} = {{a,c}, b} kümeleri veriliyor. una göre, kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4.T

21 evaplý T est.. 4 = {a, b, e, f} = {a, c, e, g} olduðuna göre, ( ) kümesinin eleman ) 2 ) 3 ) 4 ) 6 ) 8 s() = 8 s() = 6 s( ) = 11 olduðuna göre, s( ) kümesinin eleman ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 = {a, b, c, d, e, f, g, h} = {a, d, f, h} = {c, e} olduðuna göre, kümesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) {b, g} ) {b, c, g} ) {b, c, e, g} ) {a, b, d, f, g, h} ) {c, e, g} Kümeler 5. ir kümenin iki elemanlý alt kümelerinin sayýsý yedi elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit olduðuna göre, bu kümenin üç elemanlý alt kümelerinin ) 90 ) 84 ) 56 ) 35 ) F = {2, 4, 6} P = {2, 3, 4, 6, 8, 10} olduðuna göre, F P koþulunu saðlayan en fazla kaç farklý kümesi yazýlabilir? ) 2 ) 3 ) 5 ) 8 ) oþ kümeden farklý T ve Z kümeleri için, 3 s(t) = 2 s(z) s(t Z) + s(t Z) = 25 olduðuna göre, s(z) kaçtýr? ) 9 ) 12 ) 15 ) 18 ) 21 = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 e- leman olarak bulunmaz? ) 31 ) 28 ) 24 ) 18 ) Y = {x 12 < x < 70, x = 4n, n N} V = {y 20 < y < 90, y = 6m, m N} olduðuna göre, (Y V) kümesinin eleman ) 21 ) 22 ) 23 ) 24 ) kümesinin dört tane elemaný, kümesinin beþ tane elemaný kümesinin elemaný deðildir. s( ) = 16 olduðuna göre, s() + s() kaçtýr? ) 16 ) 18 ) 23 ) 28 ) 33 42

22 Kümeler 10., ve boþ olmayan kümelerdir. s( ) = 2 s( ) s() = 2 s() + 4 olduðuna göre, kümesi en az kaç elemanlý olabilir? ) 6 ) 8 ) 10 ) 11 ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {(x, y) : 3 < x y < 10 ve x, y } = {(x, y + 1) : (x, y) } olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kümesinin elemaný olabilir? ) (1, 2) ) (2, 4) ) (5, 1) ) (2, 1) ) (6, 3) 11. a, b, c birer tam sayý olmak üzere, {a, b, c} = {1, 3, 6} {a, c, d} = {6, 5, 3} {b, c, d} = {5, 6, 1} kümeleri veriliyor. una göre, a + b c + d kaçtýr? ) 29 ) 28 ) 14 ) 13 ) Ýngilizce, Fransýzca, lmanca dillerinden en az birini bilenlerin oluþturduðu 28 kiþilik bir toplulukta Ýngilizce bilenlerin hepsi Fransýzca, Fransýzca bilenlerin hepsi lmanca bilmektedir. Sadece bir dil bilenlerin sayýsý, sadece iki dil bilenlerin sayýsýnýn, sadece iki dil bilenlerin sayýsý da üç dil bilenlerin sayýsýnýn 2 katýna eþit olduðuna göre, sadece lmanca bilenlerin ) 18 ) 16 ) 12 ) 8 ) s( ) = 13 s( ) = 9 s( ) = 29 olduðuna göre, s() + s() kaçtýr? ) 29 ) 30 ) 32 ) 36 ) 42 a b d c f g e m h Yukarýdaki þemaya göre, {d, f, g, m} kümesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 16. evrensel kümedir. s(') = 5 s( ) = 4 s( ) = 1 s() = 15 olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) Ýki elemanlý alt kümelerinin sayýsý altý elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit olan bir kümenin üç elemanlý alt kümelerinin ) 42 ) 45 ) 48 ) 52 ) 56.T Ê

KÜMELER TEST / 1. 1. Aþaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir?

KÜMELER TEST / 1. 1. Aþaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir? KÜMELER TEST /. þaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir? 6. ten küçük asal sayýlar kümesinin Venn þemasý ile gösterimi aþaðýdakilerden ) Yýlýn aylarý ) Sokaktaki yaþlý insanlar ) Trabzondaki en iyi lokantalar

Detaylı

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý CEBÝRSEL ÝFADELER ve DENKLEM ÇÖZME Test -. x 4 için x 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) 9 D). x 4x ifadesinde kaç terim vardýr? A) B) C) D) 4. 4y y 8 ifadesinin terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?.

Detaylı

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM 7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? 2 1 1 2 A) B) C) D) 3 2 3

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn 4. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn toplamý kaçtýr? A) 83 B) 78 C) 91 D) 87

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI

MATEMATİK SORU BANKASI Bu kitap tarafından hazırlanmıştır. MATEMATİK SORU BANKASI ISBN-978-605-6067-8- Sertifika No: 748 Konu Kavrama s e r i s i Üniversiteye Hazırlık & Okula Yardımcı Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları na

Detaylı

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma Ýçindekiler 1. FASÝKÜL 1. ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta Düzlem ve Düzlemsel Þekiller Geometrik Cisimlerin Yüzleri ve Yüzeyleri Tablo ve Þekil Grafiði Üç Basamaklý Doðal Sayýlar Sayýlarý Karþýlaþtýrma

Detaylı

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim Matematik 1. Fasikül ÜNÝTE 1 Geometriye Yolculuk ... ÜNÝTE 1 Geometriye Y olculuk Çevremizdeki Geometri E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim E E E E E Üçgenler

Detaylı

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3 LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan

Detaylı

Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri

Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri 1 2 1 1 2 Çok Sýcak Soðuk Sýcak Çok Soðuk D B C Çorba Kutuplar Yanardað Sonbahar Yukarýda yer alan 1. ve 2. kutudakiler

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Aþaðýdaki þekillerden hangisi bu dört þeklin hepsinde yoktur? A) B) C) D) 2. Yandaki resimde kaç üçgen vardýr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Yan taraftaki þekildeki yapboz evin eksik parçasýný

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

Matematik ve Türkçe Örnek Soru Çözümleri Matematik Testi Örnek Soru Çözümleri 1 Aþaðýdaki saatlerden hangisinin akrep ve yelkovaný bir dar açý oluþturur? ) ) ) ) 11 12 1 11 12 1 11 12 1 10 2 10 2 10 2

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Hangi þeklin tam olarak yarýsý karalanmýþtýr? A) B) C) D) 2 Þekilde görüldüðü gibi þemsiyemin üzerinde KANGAROO yazýyor. Aþaðýdakilerden hangisi benim þemsiyenin görüntüsü deðildir?

Detaylı

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez?

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez? 5. SINIF COÞMY SORULRI 1. 1. BÖLÜM DÝKKT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. Kazan Bardak Tam dolu kazandan 5 bardak su alýndýðýnda kazanýn 'si boþalmaktadýr. 1 12 Kazanýn

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Aþaðýda verilen iþlemleri sýrayla yapýp, soru iþareti yerine yazýlmasý gereken sayýyý bulunuz. A) 7 B) 8 C) 10 D) 15 2. Erinç'in 10 eþit metal þeridi vardýr. Bu metalleri aþaðýdaki

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý YGS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI YGS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

2014-2015 Eðitim Öðretim Yýlý ÝSTANBUL ÝLÝ ORTAOKULLAR ARASI "4. AKIL OYUNLARI TURNUVASI" Ýstanbul Ýli Ortaokullar Arasý 4. Akýl Oyunlarý Turnuvasý, 21 Þubat 2015 tarihinde Özel Sancaktepe Okyanus Koleji

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

YGS Seti www.pianalitikyayinlari.com. YGS Matematik Soru Bankası. Yayýna Hazýrlýk Sürat Dizgi Grafik. Baský Tarihi Nisan 2012

YGS Seti www.pianalitikyayinlari.com. YGS Matematik Soru Bankası. Yayýna Hazýrlýk Sürat Dizgi Grafik. Baský Tarihi Nisan 2012 YGS Seti www.pianalitikyayinlari.om YGS Matematik Soru Bankası Copyright Sürat Basým Reklamýlýk ve Eðitim Araçlarý San. Ti. AÞ Bu kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin ön eden

Detaylı

2014 2015 Eðitim Öðretim Yýlý ÝSTANBUL ÝLÝ ÝLKOKULLAR ARASI 2. Zeka Oyunlarý Turnuvasý 7 Mart Silence Ýstanbul Hotel TURNUVA PROGRAMI 09.30-10.00 10.00-10.45 11.00-11.22 11.35-11.58 12.10-12.34 12.50-13.15

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULAMA FÖYÜ (MF) LYS FÝZÝK - 13 KALDIRMA KUVVETÝ - I

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULAMA FÖYÜ (MF) LYS FÝZÝK - 13 KALDIRMA KUVVETÝ - I BÝRE DERSHANEERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UUAMA FÖÜ (MF) DERSHANEERÝ S FÝÝ - 13 ADIRMA UVVETÝ - I Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. ADIRMA UVVETÝ - I Adý Soyadý :... Bu

Detaylı

BASIN DUYURUSU (25.08.2002) 2002 Öðrenci Seçme Sýnavý (ÖSS) Yerleþtirme Sonuçlarý

BASIN DUYURUSU (25.08.2002) 2002 Öðrenci Seçme Sýnavý (ÖSS) Yerleþtirme Sonuçlarý BASIN DUYURUSU (25.08.2002) 2002 Öðrenci Seçme Sýnavý (ÖSS) Yerleþtirme Sonuçlarý 16 Haziran ve 23 Haziran 2002 tarihlerinde yapýlan Öðrenci Seçme Sýnavý (ÖSS) ve Yabancý Dil Sýnavý (YDS) sonuçlarýna aðýrlýklý

Detaylı

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R ÝÇÝNDEKÝLER A. BÝRÝNCÝ ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta...9 Düzlem...10 Geometrik Cisimler ve Modelleri...12 Geometrik Cisimler ve Yüzeyleri...14 Haftanýn Testi...16 Veri Toplama - Þekil Grafiði...18 Tablo...20

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

İÇİNDEKİLER I. BÖLÜM: GEOMETRİ BÖLÜM: SAYILAR TEORİSİ III. BÖLÜM: ANALİZ VE CEBİR SORULARI

İÇİNDEKİLER I. BÖLÜM: GEOMETRİ BÖLÜM: SAYILAR TEORİSİ III. BÖLÜM: ANALİZ VE CEBİR SORULARI İÇİNDEKİLER I. BÖLÜM: GEOMETRİ A) ÜÇGENLER...8 1. Üçgende açılar...8. Üçgen eşitsizliği...11 3. Teoremler, Pisagor, Kosinüs, Stewart, Carnot, Öklid, Menaleus, Ceva Teoremleri...14 4. Açıortay, Kenarortay

Detaylı

014-015 Eðitim Öðretim Yýlý ÝSTANBUL ÝLÝ ORTAOKULLAR ARASI "7. AKIL OYUNLARI ÞAMPÝYONASI" Ýstanbul Ýli Ortaokullar Arasý 7. Akýl Oyunlarý Þampiyonasý, 18 Nisan 015 tarihinde Özel Sancaktepe Bilfen Ortaokulu

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý LYS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI LYS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

LYS MATEMATÝK II - 10

LYS MATEMATÝK II - 10 ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULM FÖYÜ (MF-TM) DERSHNELERÝ LYS MTEMTÝK II - 0 PRL - I Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý :... u kitapçýðýn her hakký

Detaylı

PARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer?

PARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer? PARABOL TEST /. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði parabl belirtir? 5. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði A(0,) nktalarýndan geçer? A) f()=5 f()=+ C) f()= D) f()= f()= 4 + + A) f()= f()=

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN 9. Sınıf Matematik Soru ankası Yeliz ÇELEN opyright Evrensel İletişim Yayın ağıtım San. Tic. Ltd. Şti. u kitabın her hakkı EVRENSEL İLETİŞİM LT. ŞTİ. e aittir. Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının

Detaylı

6. Büyük kan dolaþýmýnýn amacý nedir? Büyük kan dolaþýmýnda kanýn izlediði yolu kýsaca açýklayýnýz.

6. Büyük kan dolaþýmýnýn amacý nedir? Büyük kan dolaþýmýnda kanýn izlediði yolu kýsaca açýklayýnýz. Soru - Yanýt 10 1. Dolaþým sisteminin elemanlarý nelerdir? Yanýt: Dolaþým sisteminin elemanlarý kalp, damarlar ve kandýr. 2. Dolaþým sisteminin görevi nedir? Yanýt: Vücuttaki hücrelere oksijen ve besin

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta Mikro Dozaj Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta ve aðýr hizmet tipi modellerimizle Türk

Detaylı

KÝMYASAL TEPKÝMELER UYARI UYARI. Kimyasal Olay Kimyasal Tepkime. Fiziksel Deðiþme. Kimyasal Deðiþme ) 3. teki element atomlarý sayýsýný bulalým:

KÝMYASAL TEPKÝMELER UYARI UYARI. Kimyasal Olay Kimyasal Tepkime. Fiziksel Deðiþme. Kimyasal Deðiþme ) 3. teki element atomlarý sayýsýný bulalým: KÝMYASAL TEPKÝMELER Daha önce bileþiklerin formüllerle gösterildiðini ve bu þekilde bir gösterimin bilimsel anlamda kolaylýk saðladýðýný öðrenmiþtik. Formüllerin bizlere saðladýðý baþka faydalarda vardýr.

Detaylı

Týp Fakültesi öðrencilerinin Anatomi dersi sýnavlarýndaki sistemlere göre baþarý düzeylerinin deðerlendirilmesi

Týp Fakültesi öðrencilerinin Anatomi dersi sýnavlarýndaki sistemlere göre baþarý düzeylerinin deðerlendirilmesi 1 Özet Týp Fakültesi öðrencilerinin Anatomi dersi sýnavlarýndaki sistemlere göre baþarý düzeylerinin deðerlendirilmesi Mehmet Ali MALAS, Osman SULAK, Bahadýr ÜNGÖR, Esra ÇETÝN, Soner ALBAY Süleyman Demirel

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

0-0 Eðitim Öðretim Yýlý ANKARA ÝLÝ LÝSELER ARASI "8. AKIL OYUNLARI YARIÞMASI" Ankara Ýli Liseler Arasý 8.. Akýl Oyunlarý Yarýþmasý, Mayýs 0 tarihinde Özel Sýnav Koleji ev sahipliðinde, Sýnav Eðitim Kurumlarý,

Detaylı

LYS GEOMETRÝ. Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý

LYS GEOMETRÝ. Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý LYS GEOMETRÝ Soru Çözüm ersi Kitapçığı 1 (MF - TM) oðruda çýlar Üçgende çýlar çý - Kenar aðýntýlarý ik Üçgen ve Öklit aðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende lan u yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

9) A B ve B A ise A=B dir. Birbirinin alt kümesi olan iki küme eşit kümedir.

9) A B ve B A ise A=B dir. Birbirinin alt kümesi olan iki küme eşit kümedir. CEVAPLAR .BÖLÜM - TEST ) {K.K.T.C nin g harfi ile başlayan ilçeleri} ) İlkbahar, yaz, sonbahar, kış mevsimlerinin bazıları ile oluşturulacak kümeler farklı olacağından, bir küme oluşturmazlar. ) Okulumuzdaki

Detaylı

Test. Sosyal Bilgiler. 1. l ll. 3. I.pusulanýn koyu renkli ibresine bakmak. II.aðaçlarýn yosunlu yüzeyine bakmak

Test. Sosyal Bilgiler. 1. l ll. 3. I.pusulanýn koyu renkli ibresine bakmak. II.aðaçlarýn yosunlu yüzeyine bakmak 1. l ll 3. I.pusulanýn koyu renkli ibresine bakmak II.aðaçlarýn yosunlu yüzeyine bakmak III.karýnca yuvalarýnýn toprak yýðýlý tarafýna bakmak Verilenlerin hangisinden faydalanan biri yönünü tespit ederken

Detaylı

1. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL

1. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 1. Fasikül TEMA 5 Hayal Gücü TEMA 6 Eðitsel ve Sosyal Etkinlikler r, ýt lý z. Sa ma k l ra atý a S l O ek t Se ek T T ... Ýçindekiler 5. TEMA: HAYAL GÜCÜ Açelyanýn Bir Günü Harf Hece Test 1 Kelime Test

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

0-05 Eðitim Öðretim Yýlý NKR ÝLÝ ORTOKULLR RSI "5. KIL OYUNLRI YRIÞMSI" nkara Ýli Liseler rasý 5. kýl Oyunlarý Yarýþmasý, Mayýs 05 tarihinde Özel Sýnav Koleji ev sahipliðinde, Sýnav Eðitim Kurumlarý, Türk

Detaylı

Madde ve Isý. Maddeyi oluþturan taneciklerin hareketleri ýsý alýþ-veriþinden etkilenir. Aþaðýda yapýlan deneyler bu etkiyi göstermektedir.

Madde ve Isý. Maddeyi oluþturan taneciklerin hareketleri ýsý alýþ-veriþinden etkilenir. Aþaðýda yapýlan deneyler bu etkiyi göstermektedir. Maddeler tanecikli yapýdadýrlar. Bu tanecikler görülmeyecek kadar küçüktür. Fakat maddeyi oluþturan tüm taneciklerin hareketli olduðunu görmüþtük. Aþaðýda katý, sývý ve gaz hâllerinde bulunan maddelerin

Detaylı

HALK EĞİTİMİ MERKEZLERİNCE AÇILABİLECEK SOSYAL VE KÜLTÜREL KURSLAR

HALK EĞİTİMİ MERKEZLERİNCE AÇILABİLECEK SOSYAL VE KÜLTÜREL KURSLAR HALK EĞİTİMİ MERKEZLERİNCE AÇILABİLECEK SOSYAL VE KÜLTÜREL KURSLAR Kod No n Adı SA001 Açık İlköğretim Öğrencilerine Yönelik Destekleyici Kurslar SA002 Açık Lise Öğrencilerine Yönelik Destekleyici Kurslar

Detaylı

1) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) d) e)

1) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) d) e) BÖLÜM KESİRLER KESİRLER TEST ) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) 6 0 8 d) e) ) Aşağıdaki şekillerde, boyalı bölgelerin kesir sayısı olarak karşılıklarını yazınız.

Detaylı

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 3 puanlýk sorular 1. Tuna ve Coþkun un yaþlarý toplamý 23, Coþkun ve Ali nin yaþlarý toplamý 24 ve Tuna ve Ali nin yaþlarý toplamý 25 tir. En büyük olanýn yaþý kaçtýr? A) 10 B)

Detaylı

olarak çalýºmasýdýr. AC sinyal altýnda transistörler özellikle çalýºacaklarý frekansa göre de farklýlýklar göstermektedir.

olarak çalýºmasýdýr. AC sinyal altýnda transistörler özellikle çalýºacaklarý frekansa göre de farklýlýklar göstermektedir. Transistorlu Yükselteçler Elektronik Transistorlu AC yükselteçler iki gurupta incelenir. Birincisi; transistorlu devreye uygulanan sinyal çok küçükse örneðin 1mV, 0.01mV gibi ise (örneðin, ses frekans

Detaylı

SAYILAR - 3. 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685 tir. Bu üç sayıdan en küçüğü en az kaç olabilir?

SAYILAR - 3. 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685 tir. Bu üç sayıdan en küçüğü en az kaç olabilir? SAYILAR - 3 1) (x + y) ile (y + z) aralarında asal sayılardır. 7x + 3y = 4z olduğuna göre x - z farkı kaçtır? A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1 2) Birbirinden farklı üç basamaklı üç doğal sayının toplamı 2685

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

Soru 1. Çözüm. Soru 2. Çözüm. 2005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri. Cevap D. Cevap E. Tübitak Ulusal Bilgisayar Olimpiyatlarý

Soru 1. Çözüm. Soru 2. Çözüm. 2005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri. Cevap D. Cevap E. Tübitak Ulusal Bilgisayar Olimpiyatlarý 005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Soru m sayýda yetiþkin izci ile n sayýda yavrukurttan oluþan bir izci grubu (m, n ), bir gezi sýrasýnda bir nehir kýyýsýna ulaþýr. Karþý tarafa geçmek için sahip olduklarý

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE Kümeler KÜMELER... 13 Ölçme ve Deðerlendirme... 19 Kazaným Deðerlendirme Testi - 1... 21 Kazaným Deðerlendirme Testi - 2 (Video lü)... 23 KÜMELERLE ÝÞLEMLER... 25 Ölçme ve Deðerlendirme...

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

1. BÖLÜM. 2. Aþaðýdaki þekillerden hangisinin d doðrusuna göre simetriði çizildiðinde, bir düzgün çokgen elde edilir? DD

1. BÖLÜM. 2. Aþaðýdaki þekillerden hangisinin d doðrusuna göre simetriði çizildiðinde, bir düzgün çokgen elde edilir? DD 6. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. 1 birim 1 birim Van Gölü nün haritasý yukarýda verilmiþtir. Haritada 1 birim uzunluk 19

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE BÖLÜM 1 BÖLÜM 2 BÖLÜM 1 BÖLÜM 2 BÖLÜM 3 BÖLÜM 4 HAKLARIMI ÖÐRENÝYORUM... 9

ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE BÖLÜM 1 BÖLÜM 2 BÖLÜM 1 BÖLÜM 2 BÖLÜM 3 BÖLÜM 4 HAKLARIMI ÖÐRENÝYORUM... 9 ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE HAKLARIMI ÖÐRENÝYORUM... 9 TOPLUMUN ÝÇÝNDEYÝM... 10 Ölçme ve Deðerlendirme... 14 Kazaným Deðerlendirme Testi - 1... 16 HAKLARIM VE SORUMLULUKLARIM... 18 Ölçme ve Deðerlendirme... 22

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

BU BÖLÜMDE, CEVAPLAYACAÐINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR.

BU BÖLÜMDE, CEVAPLAYACAÐINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. SAYISAL BÖLÜM DÝAT! BU BÖLÜMDE, CEVAPLAYACAÐINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Ýlk 45 Soru Son 45 Soru Matematiksel Ýliþkilerden Yararlanma Gücü, Fen Bilimlerindeki Temel avram ve Ýlkelerle Düþünme Gücü ile

Detaylı

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar,

ÖN SÖZ. Değerli Adaylar, ÖN SÖZ eğerli daylar, Okul ve meslek yaşamının en önemli sınavlarından birine, Kamu Personeli Seçme Sınavı(KPSS) na hazırlanmaktasınız ve buradaki başarınız gelecekteki iş yaşamınızı ciddi şekilde etkileyecek.

Detaylı

BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI

BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI ~ Türevin Tanýmý ~ Saðdan ve Soldan Türev ~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi ~ Türev Alma Kurallarý ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Türevde Zincir

Detaylı

Adým Adým Çelik Kapý Montaj Þemasý

Adým Adým Çelik Kapý Montaj Þemasý Montaj Klavuzu 09 Adým Adým Çelik Kapý Montaj Þemasý Baþlamadan Gerekenler : Küçük Spiral (Avuç) Taþlama (Kesme Taþý ile) El Matkaý Su Terazisi Keski Çekiç Levye Çimento Ayarlanailen Gerdirme Aparatý Ýnþaat

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: ISLEM SECIMI FULL

KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: ISLEM SECIMI FULL KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: calismaya hazir Enter Tuþu menülere girmek için kullanýlýr. Kýsa süreli basýldýðýnda kullanýcý menüsüne, uzun sürelibasýldýðýnda

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

ROUV SERÝSÝ AÞIRI VE DÜÞÜK GERÝLÝM RÖLELERÝ

ROUV SERÝSÝ AÞIRI VE DÜÞÜK GERÝLÝM RÖLELERÝ ROUV SERÝSÝ AÞIRI VE DÜÞÜK GERÝLÝM RÖLELERÝ ROUV Serisi aþýrý e düþük gerilim röleleri ORTA GERÝLÝM e YÜKSEK GERÝLÝM elektrik þebekelerinde kullanýlmak üzere tasarlanmýþtýr. Micro controller teknolojisi

Detaylı

Mart 2010 Otel Piyasasý Antalya Ýstanbul Gayrimenkul Deðerleme ve Danýþmanlýk A.Þ. Büyükdere Cad. Kervan Geçmez Sok. No:5 K:2 Mecidiyeköy Ýstanbul - Türkiye Tel: +90.212.273.15.16 Faks: +90.212.355.07.28

Detaylı

Matematik. Önerilen Dersi Tamamlama Süresi. Sosyal Bilgiler. Ünite 6 : Ünite 7 : Ünite 8 : 2 Hafta

Matematik. Önerilen Dersi Tamamlama Süresi. Sosyal Bilgiler. Ünite 6 : Ünite 7 : Ünite 8 : 2 Hafta Matematik 2 Sosyal Bilgiler Önerilen Dersi Tamamlama Süresi Ünite 1 : Ünite 2 : Ünite 3 : Ünite 4 : Ünite 5 : Ünite 6 : Ünite 7 : Ünite 8 : 3 Hafta 4 Hafta 2 Hafta 2 Haft a 3 Hafta 3 Hafta 4 Hafta 2 Hafta

Detaylı

TÜRKÇE TESTÝ A A A A A. 4. 1. Av yasaðý sürüyor ki yengeçler çoðalýyor.

TÜRKÇE TESTÝ A A A A A. 4. 1. Av yasaðý sürüyor ki yengeçler çoðalýyor. TÜRÇE TESTÝ 1. Ne söyleyeceksen açýk seçik söyle, kafamý karýþtýrma! 4. 1. Av yasaðý sürüyor ki yengeçler çoðalýyor. 2. Uzayda yapýlan incelemeler sürüyor. 3. Doðayý korursak geleceðimizi kurtarabiliriz.

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b 1 Doğal Sayılar Sayı Örüntüleri Doğal Sayılarla Toplama İşlemi ve Prolemleri Doğal Sayılarla Çıkarma İşlemi ve Prolemleri Zihinden Toplama ve Çıkarma İşlemleri, Tahmin Etme Doğal Sayılarla Çarpma İşlemi

Detaylı

( ) MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) 2009 - ÖSS / MAT-1. 1. Bu testte 30 soru vardır.

( ) MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) 2009 - ÖSS / MAT-1. 1. Bu testte 30 soru vardır. 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. ( )( ) + 4. m = olduğuna göre, m + ifadesinin değeri işleminin

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

Matematik. Körfez Yayınları. YGS - LYS Ön Hazırlık

Matematik. Körfez Yayınları. YGS - LYS Ön Hazırlık Matematik R İ T N R Ö SAYISAL K E YGS - LYS Ön Hazırlık Copyright Çağlayan Basım Yayın Dağıtım Ambalaj San. Tic. A.Ş. Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın

Detaylı

Türkiye de Mezuniyet Öncesi ve/veya Sonrasý Psikiyatri Eðitimi ve Hizmeti Veren Kurumlarýn Özellikleri

Türkiye de Mezuniyet Öncesi ve/veya Sonrasý Psikiyatri Eðitimi ve Hizmeti Veren Kurumlarýn Özellikleri Türkiye de Mezuniyet Öncesi ve/veya Sonrasý Psikiyatri Eðitimi ve Hizmeti Veren Kurumlarýn Özellikleri Orhan DOÐAN* ÖZET Bu çalýþmada mezuniyet öncesi ve/veya sonrasý psikiyatri eðitimi ve hizmeti veren

Detaylı

Bölüm 1: Sayý Sistemleri

Bölüm 1: Sayý Sistemleri ölüm 1: Sayý Sistemleri. Giriþ: Dijital elektroniði anlayabilmek için temel matematik iþlemlerini ve sayý sistemlerini bilmek gerekir.. Temel ilgiler 1. Lojik (Mantýk) Öne sürülen düþüncelere göre karar

Detaylı

MATEMAT K. Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi

MATEMAT K. Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi LETME, KT SAT ve SOSYAL B L MLER Ç N MATEMAT K Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi DORA STANBUL 2013 DORA Bas m Yay n Da t m Ltd. ti. letme, ktisat ve Sosyal Bilimler çin Matematik

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORGANİZASYON ŞEMASI... 8

İÇİNDEKİLER ORGANİZASYON ŞEMASI... 8 İÇİNDEKİLER ORGNİZSYON ŞEMSI... 8 : SYILR VE EİR... 9 9.1 KÜMELER... 10 9.1.1 Kümelerde Temel Kavramlar... 11 Küme Kavramı... 11 Kümelerin Gösterilişi... 12 Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 15 Evrensel Küme...

Detaylı

Temel Matematik Testi - 4

Temel Matematik Testi - 4 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: D00. Bu testte 0 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 0 dakikadır. Temel Matematik Testi -.

Detaylı

T.C YARGITAY 9. HUKUK DAÝRESÝ Esas No : 2005 / 37239 Karar No : 2006 / 3456 Tarihi : 13.02.2006 KARAR ÖZETÝ : ALT ÝÞVEREN - ÇALIÞTIRACAK ÝÞÇÝ SAYISI

T.C YARGITAY 9. HUKUK DAÝRESÝ Esas No : 2005 / 37239 Karar No : 2006 / 3456 Tarihi : 13.02.2006 KARAR ÖZETÝ : ALT ÝÞVEREN - ÇALIÞTIRACAK ÝÞÇÝ SAYISI Yargýtay Kararlarý T.C Esas No : 2005 / 37239 Karar No : 2006 / 3456 Tarihi : 13.02.2006 KARAR ÖZETÝ : ALT ÝÞVEREN - ÇALIÞTIRACAK ÝÞÇÝ SAYISI Davalý þirketin ayný il veya diðer illerde baþka iþyerinin

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı