T.C. KİLİS 7 ARALIK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANE TİPİ YARI İLETKEN KUANTUM HALKASINDA FAZ GECİKME ZAMANI

Transkript

1 T.C. KİLİS 7 ARALIK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KANE TİPİ YARI İLETKEN KUANTUM HALKASINDA FAZ GECİKME ZAMANI Mehmet BOZTAŞ FİZİK ANABİLİM DALI KİLİS 0

2 T.C. KİLİS 7 ARALIK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KANE TİPİ YARI İLETKEN KUANTUM HALKASINDA FAZ GECİKME ZAMANI Mehmet BOZTAŞ FİZİK ANABİLİM DALI Danışman: Yrd. Doç. Dr. Şükrü ÇAKMAKTEPE KİLİS 0 Her hakkı saklıdır

3 TEZ ONAYI Yrd. Doç. Dr. Şükrü ÇAKMAKTEPE danışmalığında, Mehmet BOZTAŞ tarafından hazırlanan Kane Tipi Yarı İletken Kuantum Halkasında Faz Gecikme Zamanı adlı tez çalışması 0/06/0 Tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği/oy çokluğu ile Kilis 7 Aralık Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı nda.yüksek LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Jüri Üyeleri İmza Danışman Yrd.Doç. Dr. Şükrü ÇAKMAKTEPE (Kilis 7 Aralık Üniv. Fen-Edeb. Fak. Fizik Böl.) Üye Prof. Dr. Abdülkadir (Kilis 7 Aralık Üniv. Fen-Edeb. Fak. Fizik Böl.) Üye Yrd. Doç. Dr. Osman ŞAHİN (Mustafa Kemal Üniv. Fen-Edeb. Fak. Fizik Böl.) Prof. Dr. Ahmet ÇAKIR Enstitü Müdürü i

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi KANE TİPİ YARI İLETKEN KUANTUM HALKASINDA FAZ GECİKME ZAMANI Mehmet BOZTAŞ Kilis 7 Aralık Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Şükrü ÇAKMAKTEPE Yıl:0 Sayfa: 36 Bu tez çalışmasında yarı iletken kuantum halkalarında tünel olayı, iki farklı eometride, bantlar arası etkileşmeyi dikkate alan Kane modeli kullanılarak incelenmiştir. Birinci kısımda GaAs ın erçek bant yapısı (Kane Modeli) dikkate alınarak kuantum dala klavuzu teorisi GaAs yarı iletken kuantum halkası için uyulanmış, kuantum halkasında eçme katsayısının fiziksel değişkenlere bağlı olarak değişimi incelenmiştir. İkinci kısımda ise yine GaAs ın erçek bant yapısı dikkate alınarak, GaAs yarı iletken kuantum halkasında yansıma modunda faz ecikme zamanı üzerinde durulmuştur. Faz ecikme zamanı için analitik bir çözüm yapılmış ve Aharonov-Bohm akısının etkisi de dikkate alınarak fiziksel değişkenlerin faz ecikme zamanına etkileri incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Faz ecikme zamanı, Aharonov-Bohm akısı, Kuantum dala kılavuzu, Hartman olayı ii

5 ABSTRACT MSc. Thesis PHASE DELAY TIME IN KANE TYPE QUANTUM RING Mehmet BOZTAŞ Kilis 7 Aralık University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physic Supervisor: Assoc. Prof. Şükrü ÇAKMAKTEPE Year: 0 Pae: 36 In the present thesis, tunnelin effect at semiconductor rins is investiator for two different eometries usin Kane model which treats( takes account) couplin of bands. In the first part, quantum waveuide theory is implemented to the GaAs semiconductor quantum rins takin account of the real band structure of GaAs and variation of the transmission coefficient throuh quantum rin with respect to physical parameters is investiated. In the second part, considerin the real band structure of GaAs it has been examined(dwelled on) the phase delay time in the reflection mode of the quantum rin. An analytic solution is done for the phase delay time and the effect of physical parameters on the phase delay time is also investiated takin account under the effect of Aharonov-Bohm flux. Keywords: Phase delay time, Aharonov-Bohm flux, Quantum waveuide, Hartman effect iii

6 TEŞEKKÜR Kilis 7 Aralık Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Proramı çerçevesinde hazırladığım Kane Tipi Yarı iletken Kuantum Halkasında Faz Gecikme Zamanı konulu bu tez çalışmasının her aşamasında değerli katkılarıyla bana yol österen, Danışman Hocam Yrd. Doç Dr. Şükrü ÇAKMAKTEPE ye, yüksek lisans derslerinde bili ve tecrübelerinden istifade ettiğim değerli hocalarım Doç. Dr. İsmail Hakkı KARAHAN ve Yrd. Doç. Dr. Murat ODUNCUOĞLU na, bir yıl süreyle tez danışmanlığımı yapan Prof. Dr. Abdülkadir YILDIZ a teşekkür ederim. Mehmet BOZTAŞ Kilis, Haziran 0 iv

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... ii ABSTRACT... iii TEŞEKKÜR... iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ... viii.giriş....materyal VE METOT Kane Tipi Yarı İletkenlerin Bant Yapısı Kuantum Tünel Olayı Aharonov Bohm Olayı BULGULAR VE TARTIŞMA Bir Boyutlu Kuantum Dala Kılavuzu Teorisinin GaAs Kuantum Halkasına Uyulanması GaAs Kuantum Halkasında Faz Gecikme Zamanı SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR...33 ÖZGEÇMİŞ...36 v

8 E k L L P k A e m k x k y k z T 0 k lb n SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ Yasak enerji aralığı Momentum operatörü Planck sabiti Kuantum halkasının çevresi Kuantum halkasının kol uzunlukları farkı Kane parametresi Momentum operatörü Vektör potansiyeli Elektronun yükü Serbest elektronun kütlesi İletkenlik bandının taban noktası Spin orbital parçalanma bandının tepe noktası Valans bandının tepe noktası Üç boyutlu Laplasyen Dala vektörünün x bileşeni Dala vektörünün y bileşeni Dala vektörünün z bileşeni Faz farkı Periyot Aharonov-Bohm akısı Akı kuantumu Spin terimi Faz ecikme zamanı Dala vektörü Kuantum halkasının kol uzunluğu vi

9 E R p x p y p z m n Serbest elektronun enerjisi Yansıma kat sayısı Geçme kat sayısı Basamak potansiyelini eçen dala için dala vektörü Momentum operatörünün x bileşeni Momentum operatörünün y bileşeni Momentum operatörünün z bileşeni Spin orbital parçalanma Etkin kütle vii

10 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. Kuantum nanoyapılar..3 Şekil. Kuantum halkası..3 Şekil.. Çinko sülfürün kristal yapısı...7 Şekil.. Kane tipi yarı iletkenlerin bant yapısı.8 Şekil.. Basamak potansiyelinin şematik olarak österimi Şekil.. Basamak potansiyeli çözümleri.5 Şekil.3. Aharonov-Bohm olayının şematik österimi 7 Şekil 3.. İki kollu kuantum halkası.0 Şekil 3.. Manyetik alanın bulunmadığı durumda nin sabit sabit kδl değerleri için kl ye öre değişimi.. Şekil 3..3 Manyetik alanın bulunmadığı durumda nin sabit kl değerleri için kδl ye öre değişimi...3 Şekil 3.. GaAs Kuantum Halkası.4 Şekil 3.. Bariyer enişliği V olan, GaAs yarı iletken kuantum halkasında faz ecikme zamanının L ye bağlı değişimi..9 Şekil 3..3 Faz ecikme zamanın Parabolik model ve Kane Modeli için L ye bağlı değişimi....9 Şekil 3..4 Kane Modeline öre Faz ecikme zamanının bazı L değerleri içinye bağlı değişimi...30 viii

11 . GİRİŞ Herhani bir fiziksel büyüklüğün milyarda birini ifade etmek için nano ifadesi kullanılır. Nanoyapılardan büyütülmüş malzemelerin boyutları yaklaşık 0-00 atom mertebesindedir ki bu da 0-9 m seviyesinde bir uzunluğa karşılık elmektedir. Nanometre mertebesinde boyutlara sahip kristallerin bulk yapıdaki malzemelerden çok farklı olarak yeni ve faydalı özellikleri ortaya çıkmaktadır. Örneğin elektriksel iletim özelliği bakımından incelendiğinde bulk malzemelerde süreklilik österen enerji seviyelerinin yerini nanoyapılarda kesikli enerji seviyeleri almaktadır. Benzer şekillerde nanoyapıların elektronik, optik, manyetik ve kimyasal özellikleri de bulk yapılardan farklıdır. Örneğin çağımızda çok önemli bir malzeme olan silisyum yarı iletken bir malzeme iken silisyumdan yapılan bir telin çapı nanometre boyutuna yaklaştığında iletken özelliği österdiği bilinmektedir (Çıracı, 005). Bu farklı özellikler, nanoyapıların davranışlarının klasik fizikle değil, kuantum fiziği yasaları ile açıklanabilmesinden kaynaklanır. Malzemelerin nanometre boyutunda işlenmesiyle ortaya çıkan faydalı özelliklerini kullanarak yeni teknolojik malzemeler ve ayıtlar yapmak mümkün olmuştur. Atomik kuvvet mikroskobu ve tarama tünelleme mikroskobu kullanarak atomları farklı şekillerde bir araya etirmek, dizilişlerini ve kristal yapılarını değiştirmek mümkün olmuştur. Nanoyapıların keşfedilen faydalı özellikleri teknolojide yeni bir dönem başlatmış ve nanoteknoloji olarak isimlendirilen ve çok sıkça duyduğumuz yeni bir kavram ortaya çıkmıştır. Atom ve molekül seviyesinde üretilen elektronik ayıtlar çok farklı alanlarda faydalı uyulamaların yapılmasını mümkün kılmıştır. Elde edilen yeni malzemeler tıp, kimya, uzay bilimleri, tekstil, ıda, ilaç sanayi ibi birçok alanda kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin karbon nanotüpler yüksek yüzey hacim oranları sayesinde hidrojen depolama için ideal malzemelerdir. Ancak hidrojen atomları karbon nano tüplere doğrudan bağlanamamaktadır. İç ve dış yüzeylerini Ti atomları ile kaplayarak, karbon nano tüplerin H depolama kapasitesini çok yüksek seviyelere çıkarmak mümkün olmuştur (Çıracı, 005). Her eçen ün elişen ve yeni bililerin ortaya çıktığı bu alandaki çalışmaların sonucu olarak, bilisayar ve iletişim teknolojileri çok hızlı bir şekilde elişmektedir. Yakın bir

12 elecekte üretilmesi mümkün olacak nano robotlar sayesinde tıp alanında yeni teşhis ve tedavi yöntemleri uyulanabilir olacak, buün tedavisi olmayan veya çok zor olan bazı hastalıkların tedavisi mümkün ya da daha kolay olmaya başlayacaktır. Yine çok küçük boyutlarda üretilen bazı malzemeleri kullanarak bili üvenliği ile ilili çok elişmiş sistemler kurmak mümkün olacaktır. Tekstil alanında yapılan çalışmaların bir ürünü olarak ünümüzde leke tutmayan kumaşlar üretilmeye başlanmıştır. Gelecekte de çok faydalı özellikleri olan çok hafif kendi kendini temizleyen tekstil malzemelerinin üretilebileceği mümkün özükmektedir. Nano teknolojinin bir diğer kullanım alanı ise havacılık ve uzay bilimleridir. Nano teknoloji ile eliştirilen malzemeler sayesinde daha hafif ve daha sağlam araçlar yapmak elektronik sistemlerin hem boyutlarını, hem ağırlıklarını hem de enerji sarfiyatlarını azaltmak mümkün olacaktır. Diğer yandan molekül boyutunda üretilen bazı ayıtlar insan beynine uyarlanmak suretiyle insan hafızası üçlendirilip, dil öğrenme ibi bazı alanlarda çok büyük yeniliklerin önü açılabilecektir. Bilisayar işlemcilerinin kapasitesi ve boyutlarının elişim ve değişimi arasındaki ilişkiyi açıklayan Moore kuralına öre her 8 ayda bir, işlemcilerin hızı iki katına çıkmakta, boyutları ise yarıya düşmektedir. Bu kural ünümüze kadar eçerliliğini korumuştur. Bu elişimin aynı şekilde devam etmesi durumunda çok yakın zamanda özle örülemeyecek bilisayarlar üretilebilecektir. Nano teknoloji adı altındaki çalışmalar farklı farklı birçok sektörde faydalı uyulamalara imkân hazırlarken diğer yandan nanoyapıların üretilmesi ve özelliklerinin keşfedilmesi ile ilili örüntüleme ve ölçüm yöntemlerinin eliştirilmesini sağlamaktadır. Malzemeleri işlemedeki hassasiyet arttıkça çok hassas ölçüm ve örüntüleme ayıtlarının yapılması da mümkün olmaktadır. Cornell Üniversitesi nden Harold Craihead ve arkadaşları, 0-8 ram ibi küçük kütleleri ölçebilen bir nano elektromekanik ayıt tasarlamışlardır (Craihead, 004). Yarı iletken bir malzemede, boyutta küçültme işlemi yapılarak yük taşıyıcıların sınırlandırılması sonucunda yarı iletken davranışında büyük değişiklikler olduğu örülmüştür. Yük taşıyıcıların içinde bulunduğu bir ortamı farklı şekillerde küçülterek

13 elde edilen nanoyapılar; iki boyutlu kuantum kuyuları, bir boyutlu kuantum telleri ve boyutsuz kuantum noktalarıdır. Bu yapıların boyutları yük taşıyıcıların de Brolie dala boyuna yaklaştığında enerji seviyelerinin kuantumlandığı örülür. Bu sebeple son zamanlarda nanoyapıların enerji spektrumları ve optik özelliklerini araştırmak hem deneysel hem de teorik olarak çok popüler olmuştur (Bimber ve ark., 00). Bulk Yapı Kuantum Kuyusu Kuantum Teli Kuantum Noktası Şekil. Kuantum nanoyapılar Şekil. Kuantum halkası Nanoyapılarla ilili çalışmalarda Kane tipi yarı iletkenler (GaAs, InAs, HTe, InSb) çok fazla tercih edilmektedir. Nanoyapılarla ilili deneysel çalışmalarda, yasak enerji aralığı küçük olan yarı iletkenler kullanılırken, bu yarı iletkenlere ait erçek bant yapısı dikkate alınmalıdır. Çünkü basit parabolik bant yapısı erçek yarı iletkenlerin elektronik ve optik özellikleri için ayrıntılı bir tanımlama yapamaz, sadece nitel bir tanımlama elde etmek amacıyla kullanılabilir. Nanokristallerin optik özellikleri elektronlar ve deşikler arasındaki eçişler sonucu olarak ortaya çıkar, dolayısıyla yük taşıyıcılarına ait enerji seviyeleri bu yarı iletkenlerde bulunan erçek bant yapısı dikkate alınarak hesaplanmalıdır (Efros ve Rosen, 998). Kane modeli yarı iletkenlerde yük taşıyıcıların enerji spektrumunu elde etmek amacıyla iletkenlik bandı ile hafif deşikler ve spin- 3

14 orbital parçalanma deşiklerinden oluşan üç bandın etkileşmesini dikkate alarak kurulmuştur. Bantlar arası etkileşme Kane parametresi olarak tanımlanan P matris elemanı ile karakterize edilmektedir (Askerov, 970). Webb ve arkadaşları tarafından Aharonov-Bohm olayı deneysel olarak ispatlandığından bu yana nanoyapılar fiziğinde önemli elişmeler olmuştur (Webb ve ark.,985). Aharov-Bohm olayı, bir boyutlu kuantum halkaları teorisine dayanmaktadır (Buttiker ve ark., 983). Ve Buttiker ile arkadaşları tarafından önerilen çok kanallı elektron iletim teorisi ile enelleştirilmiştir (Gafen ve ark., 984; Buttiker ve ark., 985). Küçük boyutlu sistemlerde elektron iletimi ile ilili ilk çalışmaların çoğunda birbiriyle iç içe eçmiş bantlar içeren metalik örnekler kullanılmıştır. Daha yakın zamanlarda yapılan çalışmalarda ise yarı iletken teknolojisindeki ilerlemeler sayesinde sadece alt bantları işal edilmiş, yüksek mobiliteye sahip kuantum tellerinin yapılması mümkün olmuştur. Yarılma kapısı (splitin-ate) yapısına ait deneyler elektron iletiminde dala kılavuzu teorisini doğrulamaktadır (van Wees ve ark.,988;wharam ve ark., 988). Datta ve Bandyopadhyay tarafından iletken nanoyapılarda Aharonov-Bohm olayı için basit bir teori sunulmuştur (Datta ve Bandyopadhyay, 987). Son yıllarda kuantum irişim etkisine dayalı birçok cihaz tasarımı ön plana çıkmıştır (Capasso ve Datta, 990). Sols ve arkadaşları transistör örevi yapan yarı iletken T yapılarla ilili teorik bir çalışma yapmıştır (Sols ve ark., 989). Kuantum tünel olayı eniş uyulama alanına sahip olmakla birlikte modern teknolojinin en önemli fenomenlerinden biridir. Tünelleme zamanı lazerler, foto dedektörler ibi çoğu optoelektronik cihazın frekans duyarlılıklarını dizayn etmede oldukça önemlidir. Farklı uyulamalarda ortaya çıkan kayda değer başarılarına rağmen temel soru hala cevap bulabilmiş değildir. Bir parçacığın bariyeri eçerken ne kadar zamana ihtiyacı vardır (tünelleme zamanı problemi)? Bu konsept ile ilili olarak parçacığın tünelleme zamanını anlamak üzere farklı zaman skalaları ortaya koyulmuştur (Mua ve ark., 008). Bunlardan bazıları, dwell zamanı, Larmor zamanı, sojourn zamanı (Ramakrishna ve Kumar, 00;Benjamin ve Jayannavar, 00) ve Bohm un orüşünü dikkate alan faz ecikme zamanıdır (Leavens, 008). 4

15 Faz ecikme zamanı, enellikle bariyere elen Gaussian dala paketleri piklerinin, bariyere ulaşma süreleri arasındaki farklarından hesaplanır. Faz ecikme zamanı (τ) saçılma matrisine ait faz farkının enerjiye öre türevi cinsinden ifade edilir. Kuantum tünel olayında, opak bir bariyer kullanılırsa faz ecikme zamanı bariyer enişliğine bağlı olmamaktadır. Bu fenomen Hartman olayı olarak isimlendirilmektedir (Winful, 00). Bu ise yeterince eniş bariyerler kullanıldığında, parçacığın efektif hızının oldukça büyük değerler alabileceğini, hata ışığın boşluktaki hızından bile büyük olabileceği anlamına elmektedir. Protonların süperlüminal hızlarla hareket ettikleri deneysel olarak özlenmiştir (Steinber, Kwiat ve Chiao, 993; Guerent, Marclay ve Meier, 988). Teorik olarak Hartman olayı farklı şekillerde ele alınabilir. Bunlar arasında, duble bariyer, farklı eometrik şekiller ve Aharonov-Bohm akısının olduğu sistemler sayılabilir. Bir telle birleştirilmiş bir halka modelinde, Buttiker sürekli akımın ecikme zamanını çalışmıştır (Buttiker, 985). Bu çalışmanın devamı niteliğinde bir çalışmada Akkermans, yansıma fazının termodinamik niceliklerle ilişkisini araştırmıştır (Akkermans,99). Bu konuda heyecan verici bir çalışma çok yakın bir zamanda Winful tarafından erçekleştirilmiştir (Winful, 003). Winful a öre özlenen zaman ecikmesi, enerji depolanması ve salıverilmesinden kaynaklanmakta ve yayılma ile bir ilisi yoktur. Tünelleme yapan parçacık veya dala paketinin superluminal bir hızla ilerlemediğini aslında duran bir dala olduğunu savunmaktadır. Winful tarafından bir boyutta, bir bariyer potansiyeline sahip enel bir yapıda Hartman olayı için klasik bir hesaplama yapılmıştır (Winful, 003). Bandopadhyay ve arkadaşları Hartman olayını bir boyutta ve Aharonov-Bohm akısının olduğu durumda çalışmıştır (Bandopadhyay, Krishnan ve Jayannavar, 004). Bandopadhyay ve arkadaşları farklı bir çalışmalarında tünel olayı için ecikme zamanını yansıma modunda araştırmıştır (Bandopadhyay ve Jayannavar, 007). Sistemleri, halka seklindeki bir telin yarı sonsuz uzunluklu bir tele birleştirilmesinden oluşmuş ve Aharonov-Bohm akısı da hesaplamalara dahil edilmiştir. Çakmaktepe ise Hartman olayını yarı iletken InSb kuantum halkalarının erçek bant yapısını dikkate alarak eçme modunda araştırmış ve elde ettiği sonuçları parabolik bant yapısına sahip yarı iletkenler ile karşılaştırmıştır. ( Çakmaktepe, 007). 5

16 Bu tez çalışmasında kuantum tünel olayı yarı iletken nanohalkaların erçek bant yapıları dikkate alınarak iki farklı şekilde incelenmiştir. Birinci kısımda bir boyutlu dala kılavuzu teorisi Kane tipi yarı iletken (GaAs) kuantum halkası için uyulanmıştır. İkinci kısımda temel olarak Winer faz ecikme zamanına üzerine odaklanılmış ve yarı iletken bir kuantum halkasında Aharonov-Bohm akısına bağlı olarak faz ecikme zamanı hesaplanmıştır. Kuantum halkaları kuantum tellerinin farklı eometrilerde birleştirilmesi ile elde edilir. Çalışmamızda kullanılan kuantum halkası GaAs yarı iletken kuantum telinden elde edilmiştir. Çalışmada GaAs ın erçek bant yapısı dikkate alınarak hesaplamalar yapılmıştır. 6

17 . MATERYAL VE METOT.. Kane Tipi Yarı İletkenlerin Bant Yapısı Tez çalışmasında bir GaAs yarı iletken kuantum halkası dikkate alınmıştır. Periyodik tablonun 3A ile 5A rubu elementlerinin oluşturdukları GaAs, InSb, InP, InAs, AlSb ibi yarı iletken kristaller çinko sülfür yapıdadır. Şekil... Çinko sülfürün kristal yapısı Çinko sülfür yapı elmas yapı ile benzer özellik österir. Elmas yapı birbirinden cisim köşeeninin dörtte bir uzunluğu kadar ötelenmiş iç içe iki fcc yapı olarak düşünülebilir. Çinko sülfür yapı (ZnS) ise bu fcc örülerinden birinde Zn atomları diğerinde ise S atomlarının yerleşmesi ile oluşur. Zn atomlarının koordinatları 000, 0 ve S atomlarının koordinatları ise, , , , 0, şeklindedir. Örü yapısı fcc dir. İlkel hücrede dört tane ZnS molekülü bulunur. Her atomun çevresinde karşı cinsten dört atom düzün bir dörtyüzlünün köşelerinde bulunurlar. Elmas yapıda her komşu iki atomun orta noktasına öre inversiyon simetrisi vardır. İnversiyon işlemi r deki bir atomu r ye etirir. ZnS yapının ise inversiyon simetrisi yoktur. Çinko sülfür yapı ile birinci elmas yapının birinci Brillouin bölesi aynıdır (Kittel, 995 ). Spin dikkate alınmadığında, III-V tipi yarı iletkene ait valans bandının en üst noktası k=0 dadır ve Ge ve Si ile aynı yapıya sahiptir. Tüm III-V tipi yarı iletkenlerde iletkenlik bandının tabanı birinci Brillouin bölesinin merkezinde değildir. Örneğin GaP ve AlSb yarı iletkenlerinin iletkenlik bantlarının minimumları [00] doğrultusundadır. Bununla birlikte, III-V tipi yarı iletkenlerin çoğunda iletkenlik bandının tabanları birinci Brillouin bölesinin merkezine yani 6 noktasına denk elmektedir. A 3 B 5 tipi yarı 7

18 iletkenlerden, iletkenlik bantlarının tabanları 6 noktasına karşılık elenler, InSb tipi yarı iletkenler olarak isimlendirilirler (Askerov, 994). InSb için noktası komşuluğunda, bantlara ait dağınım kanunu Kane tarafından türetilmiştir (Kane, 957). Kane, Löwdin in metodunu kullanarak (Löwdin, 95), iletkenlik ve valans bantları V, V,V 3 arasındaki etkileşmeyi dikkate almış, üstte kalan bantların etkisini ise k p. metodu ile hesaplamıştır. Şekil.. de InSb tipi yarı iletkenlere ait enerji bant yapısı verilmiştir. V değerlik bandı iletkenlik bandı ile etkileşmemektedir. Bu yüzden, bant şekli iletkenlik bandı ile hafif deşik (V ) ve spinorbital parçalanma deşik (V 3 ) bantlarının etkileşmesine bağlı olarak şekillenir. E 6 E 8 V 7 V V 3 Şekil... Kane tipi yarı iletkenlerin bant yapısı Kristal yapı için periyodik bir V(r) potansiyelini ve spin-orbital etkileşmesini içeren Schrödiner dala denklemi; p V ( r) V p r r m0 4m0 c nk nk nk (..) 8

19 şeklindedir. Burada m 0 serbest elektronun kütlesi, c ise ışık hızıdır. Bilindiği ibi, periyodik potansiyelde hareket eden bir elektronun dala fonksiyonu Bloch fonksiyonu ile temsil edilmektedir (Ashcroft ve Mermin, 976): nk ik. r r u r e nk (..) Schrödiner denkleminin çözümü için erekli ara işlemler yapıldığında Kane denklemleri olarak adlandırılan 8 tane denklem elde edilir (Çakmaktepe, 006). Bu denklemler; z E Pk Pk Pk Pk 3 Pkz (..3) z E Pk Pk Pk Pk 4 Pkz (..4) Pk ( E E ) 3 0 (..5) Pk Pkz ( E E ) (..6) Pk Pkz ( E E ) (..7) Pk ( E E ) 6 0 (..8) Pkz Pk ( E E ) (..9) Pk Pk z ( E E ) (..0) 9

20 GaAs taki iletkenlik bandı, diğer iki değerlik bandı (V hafif deşik bandı ve V 3 spinorbital parçalanma bandı) ile etkileşir. Bu etkileşmeleri dikkate alıp, yukarıdaki sekiz denklem ilk iki denklemde birleştirildiğinde enerji için aşağıdaki denkleme ulaşılır. E' E E ' E k P E' E 0 E ' (..) 3 Bu denklem ile, etkileşen bantlara ait dağınım kanunu tanımlanabilir. Burada enerji, iletkenlik bandının tabanı referans kabul edilerek ( 6 noktası) hesaplanmıştır, k E' E m aralığıdır. P i S px m0 0 E E 0, m 0 serbest elektronun kütlesi, E E X i S m0 p y Y i S m0 E yasak enerji 6 8 pz Z olup, burada P iletkenlik ve valans bantları arasındaki etkileşmeyi açıklayan matris elemanıdır. S ve X, Y, Z s ve p simetrisine sahip dala fonksiyonları ve operatörleridir. Px, Pˆ y, Pˆ z ˆ ise momentum bileşen 3i X VxP Z ise spin-orbital parçalanma bandı enerjisidir. m c 4 0 (..) teki enerji denkleminden örüleceği ibi, k=0 da enerjinin üç tane öz değeri vardır ve bunlar; E 0, EV E, EV 3 E dır. Bu öz değerler sırasıyla, iletkenlik bandına, hafif deşik bandına ve spin-orbital parçalanma bandına karşılık elir. Yukarıdaki denklemler ayrı ayrı enerji denkleminde yerine konulduklarında, her bir enerji bandı için k yaklaşıklığında aşağıdaki dağınım ifadeleri elde edilir. 0

21 n m k E E P k m k E 3 0 (..) 0 m k E E P k m k E E V (..3) m k E E P k m k E E V (..4) Burada n m, m ve 3 m her biri sırasıyla, iletkenlik bandının tabanında, hafif deşik bandının ve spin-orbital parçalanma bandının üstündeki etkin kütlelerdir.

22 .. Kuantum Tünel Olayı Kuantum tünel olayı klasik fizik ile açıklanamayan, kuantum mekaniksel olarak açıklanabilen ve faydalı uyulamaları bulunan bir olaydır. Kuantum tünel olayını anlamak için bir basamak potansiyeline doğru ilerleyen serbest elektronun davranışını inceleyelim. Başlanıçta, parçacığın soldan sağa doğru ilerlediğini varsayalım. Parçacık soldaki düzlükte iken hareketi serbest olup toplam enerjisi E=p /m dir. Parçacığa ancak potansiyel basamağını tırmanırken F=-dV/dx kadar bir kuvvet etki eder. Klasik mekaniğe öre burada iki durum söz konusudur: Parçacığın toplam enerjisi V 0 dan büyükse (E>V 0 ) eneli aşar ve sağdaki düzlükte yine serbest fakat toplam enerjisi E-V 0 olarak yoluna devam eder. E<V 0 ise, parçacık yokuşta ittikçe yavaşlar ve E=V(a) olan bir a noktasından eri döner (klasik dönüm noktası). Parçacığın bu durumda, enele sızma olasılığı yoktur. Bu klasik çerçeveyi belirledikten sonra, aynı problemi kuantum mekaniğinde inceleyelim. Matematik zorlukları en aza indirmek amacıyla, şekil.. de österilen şematik bir basamak potansiyelini ele alalım. V(x) I II V 0 0 x Sekil.. Basamak potansiyelinin sema olarak österimi Potansiyel, 0, x 0 V ( x) (..) V 0, x 0 olarak tanımlanır. Kararlı durum dala fonksiyonlarını bulmak üzere zamandan bağımsız Schrödiner dala denklemi,

23 d V ( x) ( x) E ( x) m dx (..) her bir böle için ayrı-ayrı yazılırsa I. bölede (x<0) d E ( x) m dx (..3) II. bölede (x>0) d m dx V 0 ( x) E ( x) (..4) olur. Bu aşamada enerjinin V 0 dan büyük veya küçük oluşuna öre çözümler farklı olur. E>V 0 durumunda her bir böle için, sırasıyla, me k ve m( E V0 ) k ' (..5) ibi iki pozitif dala sayısı tanımlarsak, denklemler ve çözümleri I. Bölede II.Bölede d ikx k 0 Ae Be dx d dx ' ' ik x 0 ikx k Ce De ' ik x (..6) (..7) olur. (Burada A, B, C, D interasyon sabitleridir). Bu çözümler, her bölede ± x yönlerinde ilerleyen düzlem dalalardır. Şimdi problemin başlanıç ve sınır koşullarını koyalım: Başlanıçta parçacığın I. böleden II. ye önderildiği varsayılmıştı. Buna öre basamak noktası (x=0) dan ötede ancak sağa doğru ilerleyen bir dala (yani, e ikx ) oluşabilir. Bu koşulu sağlamanın tek yolu e -ik x teriminin katsayısını sıfır yapmaktır. Potansiyel sonlu bir sıçrama yapsa bile, dala fonksiyonu ve onun. türevi sürekli olmalıdır. Bu iki koşul x=0 sınırında uyulanırsa, ( x 0) ( x 0) A B C (..8) d dx d ika ikb ik ' C dx x0 x0 yazılır. Bu iki denklemden B ve C sabitleri A cinsinden bulunabilir. (..9) k k B k k ' ' A ve k C k k ' A (..0) 3

24 Komple çözüm ' ikx k k ikx Ae A e, x 0 ' ( x) k k k ' ik x A e, x 0 ' k k (..) olur. Bu çözüm klasik beklentiye tamamen uymaz. Mekanikte parçacık E>V 0 enerjisiyle ikinci böleye mutlak eçiyordu. Oysa simdi, eri yansıma olasılığı da vardır. Bu dala özelliğinin bir sonucudur. Klasik dala kuramındaki yansıma ve eçme katsayılarının benzerleri ' B k k R ' A k k ' k C 4kk ve T ' k A k k ' (..) tanımlanırsa, R+T= (..3) olduğu kolayca örülebilir (Karaoğlu, 008). Geçme ve yansıma olasılıklarının toplamının oluşu olasılık korunumunun başka bir türlü ifadesidir. E<V 0 durumunda her bir böle için; Yine, her iki böle için pozitif sabitler, me k ve tanımlayalım. m( V0 E) d ikx I. Bölede: k 0 Ae Be dx II. Bölede: d dx i x 0 Ce ikx De i x (..4) (..5) (..6) olur. Birinci bölede yine her iki yönde ilerleyen düzlem dala vardır. İkinci bölede bu kez reel üstel fonksiyonlar oluşur. 4

25 Sınır koşullarına bakalım: nin x da sonlu kalması erektiğinden x x terimi kabul edilemez. Bunun için D=0 olmalıdır. Dala fonksiyonu ve. türevinin x=0 da sürekli olma koşulları, ( x 0) ( x 0) A B C (..7) d dx d ika ikb C dx x0 x0 (..8) denklemlerini verir. Buradan k i k B ve C (..9) k i k i bulunur. Tam çözüm ikx k i ikx Ae A e, x 0 k i ( x) k x A e, x 0 k i (..0) olur. Şekil.. Basamak Potansiyel çözümleri (a) 0<E<V 0 durumu (b) E> V 0 durumu (Karaoğlu, 008) 5

26 Klasik çözümde E<V 0 olduğunda parçacık ikinci böleye kesinlikle iremiyordu. Oysa şimdi. bölede x x dala fonksiyonu, dolayısıyla x e olasılık yoğunluğu oluştuğu örülür. Bu beklenen bir sonuçtur, çünkü erçek bir deneyde ölçme aleti parçacık boyutlarına öre basamaktan çok uzakta ( x ) bulunacaktır. Bu mesafelerde bulunma olasılığı ise x lim 0 x e olur ve parçacık II. Bölede özlenmez. Bunu örmenin dier bir yolu, yukarıda tanımlanan yansıma katsayısına bakmaktır: B k i k R A k i k (..) Bu sonuca öre de parçacık mutlaka yansıyacaktır. Potansiyel basamağı için bulunan sonuçlar şekil.. de toplu olarak verilmiştir. Potansiyel basamağı sonsuz olması durumunda ise yukarıdaki sonuçlarda V kullanıldığında, 0 m( V0 E) ve 0 (..) olması beklenen bir sonuçtur. Potansiyelin sonsuz olması durumunda dala fonksiyonu sıfırdır (Karaoğlu, 008). 6

27 .3. Aharonov Bohm Olayı Klasik fiziğe öre yüklü bir parçacığın hareketi, içerisinde bulunmadığı bir manyetik alandan etkilenmez. Fakat kuantum mekaniksel açıdan bu durum incelendiğinde farklı bir durum ortaya çıkar. Aharonov-Bohm olayını özleyebileceğimiz bir düzenek şekil.3. de österilmiştir. Elektronlar I. Yol II. Yol B Girişim Ekran Şekil.3. Aharonov-Bohm olayının şematik österimi Şekil.3. de aynı kaynaktan yayılan elektron demetinin ikiye ayrılıp, sıkıca sarılmış bir selenoidin etrafından dolaşarak ekrana ulaştıkları örülmektedir. Manyetik alanın olmadığı durumda aynı fazda eşit yolları alan elektron demetlerinin ekran üzerinde düzün bir irişim deseni oluşturması beklenir. Elektron demetlerinin hareket ettiği düzleme dik bir B manyetik alanı oluşturulduğunda selenoidin sağından ve solundan eçen elektron demetleri arasında faz farkı olduğu örülür. Aharonov ve Bohm yaptıkları hesaplamalarda manyetik vektör potansiyeli A nın elektronların fazını değiştirdiğini östermişlerdir. 7

28 e. A dl (.3.) burada dl ortalama yola bağlı bir elemandır. Stokes teoreminden; Adl xa. ds B. ds (.3.) yazılabilir. Dalalar arasındaki faz farkı dalalar selenoidi eçtiğinde; e B r (.3.3) olarak yazılabilir. Burada r selenoidin yarıçapıdır. Manyetik alan artırılarak faz farkının sürekli olarak değiştirilmesi mümkündür ve her seferinde kadar değişir. Girişim tam bir daire boyunca yıkıcıdan yapıcıya değişir. Elektronların irişimindeki bu değişimin anlamı, selenoidin direnci manyetik alanın salınımlı bir fonksiyonudur ve periyot T h olması, selenoid boyunca akının er h miktarınca artışına karşılık e elir. Bu olay 985 yılında Webb ve arkadaşları tarafından deneysel olarak doğrulanmıştır(webb ve ark., 985). 004 yılında ise kuantum tellerinde deneysel olarak doğrulanmıştır (Coşkun ve ark.,004). 8

29 3. BULGULAR VE TARTIŞMA Bu çalışma iki bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde GaAs ın erçek bant yapısı dikkate alınarak kuantum dala kılavuzu teorisi GaAs yarı iletken kuantum halkası için uyulanmış ve sonuçları incelenmiştir. İkinci bölümde ise Hartman olayı GaAs yarı iletken kuantum halkasında, manyetik alanın varlığında ve sıfır olduğu durumda incelenmiştir. 3.. Bir Boyutlu Kuantum Dala Kılavuzu Teorisinin GaAs Kuantum Halkasına Uyulanması Yarı iletken nanoyapılar ile ilili çalışmalar III-V tipi yarı iletkenlere dayanmaktadır. Bu yarı iletkenler ile yapılan çalışmalarda erçek bant modeli (Kane Modeli; düşük yasak enerji aralıklı, üçlü spin orbital etkileşmeye sahip) dikkate alınmalıdır. Bu bölümde kuantum dala kılavuzu teorisi GaAs yarı iletken kuantum halkası için uyulanmıştır.bir boyutlu dala kılavuzunu tam olarak anlayabilmek için Kane denklemlerinin çözümü: P 3, r E, r 3 E E E E (3..) eşitliğini sağlamalıdır. Bu denklem sekiz tane Kane denkleminin ilk iki denklemde birleştirilmesi ile elde edilir. Burada Δ 3 üç boyutlu Laplasyendir. Başlanıç noktası Schrödiner dala denklemidir. Burada yapının uzunluğu ile karşılaştırıldığında enişliğinin yeterince küçük olduğu ve böylelikle kuantum enerji seviyeleri arasındaki aralığın, boyuna iletime ait enerji değerinden daha büyük olduğu kabul edilmiştir. Bu sebeple denklem (3..) bir boyutlu bir denkleme dönüştürülebilir. Asıl problem bir noktadan çıkan ikiden fazla kolun bir araya eldiği sınır şartlarındadır. i inci koldaki dala fonksiyonudur. Kesişme noktasında süreklilik şartı sağlanmalıdır n (3..) 9

30 Griffith sınır koşullarında akım yoğunluğunun korunması erektiğinden; i 0 (3..3) x i i Her dala fonksiyonu ters dala vektörlerine sahip iki düzlem dalanın birleşimidir. ikx x c e c e i i i ikx Dikkate alınan iki kollu halka Şekil 3.. de österilmiştir. (3..4) L A B 4 3 L Şekil 3.. İki kollu GaAs kuantum halkası İki kollu kuantum halkasının L ve L kol uzunlukları birbirinden farklıdır. Farklı bölelerdeki dala fonksiyonları şu şekilde yazılabilir; ikx ikx e ae (3..5) ikx ikx ce ce (3..6) d e d e ikx 3 ikx (3..7) 4 ikx e (3..8) Burada dala vektörü k olan bir elektronun. böleden, 4. böleye hareket ettiği varsayılmıştır. a ve sırasıyla yansıma ve eçme katsayılarıdır. Denklem (3..) ve (3..3) teki sınır şartları A ve B noktasında denklem (3..5)-denklem (3..8) deki dala fonksiyonları için yazılabilir. 0

31 a c c a d d (3..9) (3..0) a c c d d (3..) ikl ikl c e c e (3..) ikl ikl d e d e (3..3) ikl ikl ikl ikl c e c e d e d e (3..4) (3..9)- (3..4) denklemlerinin çözümünden elde edilen katsayılar aşağıdaki ibidir; ( 8 3 ikl 3 ikl ikl ikl a e e e e ) (3..5) L ( 3 ikl ik L c e e ) L (3..6) ( ikl ikl c e e ) L ( 3 ikl ikl d e e ) L ( ikl ik L d e e ) L 6i L L sin k cos k L (3..7) (3..8) (3..9) (3..0) Burada; L L L (3..) L L L (3..) ikl ikl ikl ikl L 9 e 9e e e (3..3) dir. Denklem (3..5)-denklem (3..0) den aşağıdaki eşitlikler elde edilir;

32 64 cos( kl ) cos( kl ) L (3..4) L 4 4 5cos( kl) cos( kl) 4sin( kl) (3..5) Burada k, Kane denklemleri uyarınca aşağıdaki şekli alır; k. m0e L 3E E E E Ep 3E 3 E E (3..6) Denklem (3..) den anlaşıldığı üzere iletkenlik, sabit L değeri için ΔL nin fonksiyonu veya sabit ΔL değeri için L nin fonksiyonu olarak periyodik şekilde değişmektedir. nin sabit kδl değerleri için kl ye öre değişimi şekil 3.. de, sabit kl değerleri için kδl ye bağlı değişimi ise şekil 3..3 te österilmiştir. Şekil 3.. Manyetik alanın bulunmadığı durumda nin sabit kδl değerleri için kl ye öre değişimi

33 Şekil 3..3 Manyetik alanın bulunmadığı durumda ye öre değişimi nin sabit kl değerleri için kδl Grafiklerden anlaşıldığı üzere de meydana elen salınımlar karşılaştırıldığında, kl ye kıyasla kδl ye bağlı salınımın daha büyük olduğu örülmektedir. 3

34 3.. GaAs Kuantum Halkasında Faz Gecikme Zamanı Tez çalışmasının bu bölümünde Winer faz ecikme zamanı Kane tipi yarı iletken kuantum halkası için hesaplanmıştır. Faz ecikme zamanı enellikle opak bariyere elen dala ile bariyeri eçen dala arasındaki zaman farkı olarak ifade edilir. Faz ecikme zamanı(), R yasıma katsayısının arümentinin enerjiye öre türevinden hesaplanır. Aynı hesaplamanın T eçme zamanı için yapılması da mümkündür. GaAs yarı iletken kuantum halkası şekil 3.. de österilmiştir. Kuantum halkasının merkezinde sayfa düzleminden dışarı doğru yönlenmiş bir manyetik alan bulunmaktadır. Aharonov Bohm akısının faz ecikme zamanına etkisi de aynı yapı dikkate alınarak hesaplanmıştır. II P III I J P IV Şekil 3.. GaAs Kuantum Halkası Şekil 3.. deki yapıda faz ecikme zamanı hesaplanırken GaAs a ait erçek bant yapısı dikkate alınmıştır. Bölüm. de verilen sekiz adet denklemden(kane Denklemleri) denklem (..3) ile denklem(..8), denklem(..) ve denklem (..) de yerine yazılıp, k x =0 ve k y =0 olarak kabul edilirse z doğrultusunda bir boyutlu aşağıdaki denklem elde edilir; p 3E E E E E m0 3E 3E 0 (3..) m0 Burada p 8,9 P ev 0,34 ev ve E =,5 ev tur. P, GaAs için Kane parametresidir (Efros,Rosen,998). 4

35 Kararlı durumda elen dala, birim enlikli bir düzlem dala e ikx ile temsil edilir. Manyetik alanın olmadığı durumda farklı bölelerdeki dala fonksiyonları (Kane denklemlerinin çözümü olan) aşağıdaki ibidir; ikx0 ikx0 x e Re 0 0 (I. bölede) (3..) iqx iqx x A e B e (II. bölede) (3..3) ikx ikx x A e B e (III. bölede) (3..4) iqx3 iqx3 x A e B e (IV. bölede) (3..5) Burada R yansıma katsayısı ve k ise kuantum halkasına elen elektronun dala vektörüdür. k m 0 3 E( E E )( E E ) (3E 3E ) p (3..6) q m 0 3( V E)( V E E )( V E E ) (3 V E 3E ) p (3..7) ve q m 0 3( V E)( V E E )( V E E ) (3( V E) 3E ) p 3 (3..8) Kane tipi GaAs kuantum halkasındaki dala vektörleridir. Burada V,3 0 dır. Denklem (3..6) ve (3..7) de E<<E kabul edilirse GaAs yarı iletken kuantum halkasında parabolik bant modeli için dala vektörü elde edilir. x 0 ve x koordinatlarının merkezi J noktası kabul edildiğinde, x ve x 3 ün sırasıyla P ve P noktalarına karşılık eldiği örülür. P noktasında x =lb, P noktasında x =w ve J noktasında x 3 =lb 3 tür. Burada lb ve lb 3, w enişliğinde boşluk ile ayrılan halkanın iki kol uzunluğudur. Halkanın toplam çevre uzunluğu L= lb + lb 3 +w dir. 5

36 Bu problemin çözümünde Griffith sınır şartları kullanıldığında (Griffith, 953); 0 lb (3..9) ve J birleşim noktasında; x x x x J x J x 3 J 0 (3..0) Birleşim noktasında dala fonksiyonlarının her iki tarafta da türevleri alınıp, P ve P noktaları için aynı sınır şartları aşağıdaki ibi uyulanır (Bianchi, 986); P noktasında: 0 lb (3..) x x x P x P 0 (3..) P noktasında: 3 0 w (3..3) x x 3 3 x x P 3 P3 0 (3..4) Manyetik alanın bir ölçüsü olarak seçilen vektör potansiyeli açıkça Hamiltoniyen içerisinde değil, sınır koşullarında yazılmıştır (Xia, 99). Saat yönünde ve saat yönünün tersi yönünde yayılan elektronlar zıt fazlı olacaktır. J noktasından itibaren faz değerleri P noktasında iα, P noktasında i(α + α ) ve halka boyunca i(α + α + α 3 )olur. 6

37 Halka boyunca toplam faz α + α + α 3 = / 0 dır. Burada ve 0 sırasıyla manyetik akı ve akı kuantasıdır. Buradan itibaren yayılan dalalar için yukarıdaki sınır şartları uyulandığında; R A B exp i 0 (3..5) lb expi B exp lb R 0 A3 exp (3..6) exp A lb i B lb ik R A B i exp exp exp (3..7) lb expi B exp lb A B exp i 0 A exp (3..8) lb expi B exp lb ika ikb exp i 0 A exp (3..9) ikwexpi B exp ikw A B exp i 0 A exp (3..0) ikw ikb exp ikwexp i A B exp i 0 ika exp (3..) denklemlerine ulaşılır. Burada κ ve κ 3, kuantum halkasında potansiyelleri V ve V 3 olan iki potansiyel enelinin bulunduğu durumdaki sanal dala vektörleridir. Sönümlü dala problemlerinde, düğüm noktasında q dala vektörü iκ şeklinde österilmiştir. Yansıma faz zamanının R yansıma katsayısının enerjiye öre türevinden hesaplandığı bilinmektedir (Winer, 955). Ar[ R] (3..) E Faz ecikme zamanı kavramı ilk olarak Winer tarafından ortaya atıldı (Winer, 955). İlk defa Winer tarafından tanımlanan faz ecikme zamanı, kuantum mekaniksel olarak enele elen bir dalanın saçılma esnasında ne kadar bir ecikmeye maruz kaldığını tahmin eden bir kavramdır. Enele ulaşan dalanın yansıma katsayısı için analitik bir çözüm yapmak amacıyla kullanılan yapı şekil 3.. de österilmiştir. R katsayısının hesaplanmasında denklem (3..5)-denklem (3..) kullanılmış, bu denklemlerde 7

38 A 3 =0, B 3 =0, A =A, B =B,denklem (3..4) ve denklem (3..5) deki dala fonksiyonlarında κ = κ 3 alınmıştır. J noktasında x =L alınmıştır. Gerekli işlemler yapıldığında yasıma katsayısı; R k k Cos expkl i expkl Cos expkl i expkl olarak bulunur, burada α = α + α + α 3 tür. (3..3) ve m boyutsuz olarak kabul edilmiş, tüm fiziksel nicelikler boyutsuz hale etirilmiştir. Örneğin potansiyel bariyeri yükseklikleri V n yasak enerji aralığı cinsinden yazılabilir. (V n V n /E ), lb n uzunlukları k cinsinden (lb n klb n ), burada k = faz ecikme zamanı τ da yasak enerji aralığı cinsinden (τ E τ ) dir. E ve Fiziksel değişkenlerin fonksiyonu olarak τ analiz edilmiştir. Şekil 3.. de GaAs yarı iletken kuantum halkasında, manyetik akının bulunmadığı durumda (Φ=0) yansıma modunda faz ecikme zamanı τ nun, erçek bant yapısı (Kane Modeli) dikkate alınarak L ye bağlı değişimi österilmiştir. Yine aynı şekilde L nin bir fonksiyonu olarak τ nun farklı V değerlerine bağlı olarak değişimi österilmiştir. Şekil 3.. de manyetik akının olmadığı durumda L nin bir fonksiyonu olan faz ecikme zamanı τ nun, L den bağımsız olarak bir doyma değerine(τ s ) sahip olduğu örülmektedir. Doyma ecikme zamanı τ s, V değerindeki artışa bağlı olarak azalmaktadır. Şekil 3..3 te GaAs yarı iletken kuantum halkasında manyetik akının bulunmadığı durum için faz ecikme zamanı τ nun L ye bağlı değişimi, parabolik bant yapısı ve erçek bant yapısı dikkate alınarak österilmiştir. Burada parabolik bant modeli ve Kane modeli için elde edilen τ s değerlerinin farklı olduğu örülmektedir. Parabolik bant modeli dikkate alındığında elde edilen τ s değeri 0,47 iken, Kane modeline öre elde edilen τ s değeri 0,993 olmaktadır. 8

39 Şekil 3.. Bariyer enişliği V olan, GaAs yarı iletken kuantum halkasında faz ecikme zamanının L ye bağlı değişimi. E= ve =0 olarak alınmıştır. Şekil 3..3 Faz ecikme zamanının Parabolik model ve Kane Modeli için L ye bağlı değişimi. E=, =0 olarak alınmıştır. 9

40 Şekil 3..4 te manyetik akının Hartman olayına etkisi österilmiştir. Şekil 3..4 teki rafik aynı yapı için fakat manyetik akının sıfırdan farklı olduğu durumlar için, yani Aharonov-Bohm akısı dikkate alınarak elde edilmiştir. Şekil 3..4 te faz ecikme zamanı τ nun ye bağlı olarak periyodik şekilde değiştiği örülmektedir. Farklı L değerleri için τ nun ye bağlı değişimi incelendiğinde L değeri arttıkça faz ecikme zamanındaki salınımın arttığı örülmektedir. Şekil 3..4 ten faz ecikme zamanının Aharonov-Bohm akısından bağımsız olduğu anlaşılmaktadır. Farklı L değerleri için faz ecikme zamanının ortalama değerinin değişmediği de aynı rafikten anlaşılmaktadır. Şekil 3..4 Kane Modeline öre Faz ecikme zamanının bazı L değerleri için ye bağlı değişimi 30