BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

Transkript

1 BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: 1

2 OLSILIK Olasılık; Tablo ve grafik ile sunulan verileri anlamada ve yorumlamada, Örnekten elde edilen Ortalama, Oran yada Risk gibi tahminlerin ne kadar güvenli olduğunu belirtmede, Hipotez hakkında verilen karardaki Hata p-değeri büyüklüğünü ölçmede, yaralandığımız en önemli aracımızdır. 2

3 Olasılık Tanım: Tekrarlanabilir bir deneyde ilgilenilen sonuç yada sonuçların ORNSL SIKLIĞI dır. 3

4 Deney Tanım: Gözlemleri oluşturan herhangi bir işlem veya davranıştır. Zar atmak, Madeni para atmak, 52 lik bir deste oyun kağıdından kağıt çekmek Tekrar edilebilir bu deney örneklerinde elde edilen veya gözlenen sonuçlar deneyden deneye değişmektedir. 4

5 Örnek Uzayı Tanım: Bir deneyin sonucunda karşılaşabileceğimiz olayların hepsinin birden oluşturduğu, olası tüm sonuçları içeren kümedir. 5

6 Örnek Uzayı Örnek-1 Bir deneye ilişkin olası sonuçlar; S={e 1, e 2, e 3,..., e k } Ör: ltı yüzlü bir zar bir kez atıldığında, altı farklı yüzden biri gözlenir. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 6

7 Olay Tanım: Örnek uzayında ilgilenilen sonuç ya da sonuçlardır. 7

8 Olay Örnek-2 ltı yüzlü bir zar atıldığında, kaç defa 5 geldiği, Beraberce atılan iki parada kaç tane yazı geldiği, 13 lük bir iskambil kağıdı destesinde kaç tane as bulunduğu 8

9 Bir Olayın Tümleyeni Tanım: Belirli bir örnek uzayında tanımlanmış bir olayın, kendisi dışındaki tüm sonuçlardır. 9

10 olayı: olayının tümleyeni değili: 10

11 Göreli Frekanslar: n-denemede tekrarda her bir sonuca e i, i=1,2,...,k ilişkin gözlenme sıklıkları frekans sırasıyla f 1,f 2,f 3,...,f k olduğunda, 11

12 Olasılıklarla ilgili aşağıdaki ifadeler yazılabilir: 12

13 Olasılıkla İlgili Bazı Özellikler: e i f Herhangi bir tekrarlanan deney için örnek i k f i i1 uzayı S ve ilgilenilen olay olsun. Bu olayının olasılığına dersek; S 1 3. Eğer ve B gibi iki olay birbirinden ayrıksa engelliyorsa, B B 13

14 k i i i i f f e Eğer ve B gibi iki olay birbirinden ayrık değilse 7. Bir olayının olasılığı ile onun tümleyeni arasındaki ilişki, 1 Ø B B B C B C B C B C B C B

15 Koşullu Şartlı Olasılık Tanım: olayı olduktan sonra B olayının olma olasılığıdır. B ile gösterilir. B B / 15

16 Koşullu Şartlı Olasılık Örnek-3: ve B iki olay olarak tanımlandığında, 1/ 2, B 1/ 3 B 1/ 4 aşağıda istenen olasılıkları hesaplayınız. a b c B? B? B? 16

17 a B B/ B 1/ 4 /1/3 3/ 4 b B/ 1/ 4 /1/ 2 2/ 4 B c B B B 1/ 2 1/ 3 1/ 4 7 /12 17

18 yrık Karşılıklı Olarak Birbirlerini Engelleyen Olaylar Tanım: İki ya da daha çok tanımlanmış olaylardan birisinin gerçekleşmesi halinde, diğer olayların gerçekleşemediği durumdaki olaylara denir. Diğer bir ifade ile iki olayın kesişimi boş kümedir. 18

19 ile B ayrık iki olay ise; B B 19

20 Bağımsız Olaylar Tanım: Tanımlanmış iki olaydan birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemiyor ise bu iki olaya bağımsız olaylar denir. B B 20

21 Bağımsız Olaylar Örnek rd arda iki kez atılan bir zarın, birinci atışında gözlenen değerler ikinci atışta gelecek değeri etkilemez. ={1. atışta çift bir zar gözlenmesi} B={2. atışta 2 veya 3 gelmesi} Zarlar birbirinden bağımsız olduğundan, zarın ikinci atışı ile ilgili bir B olayının gerçekleşmesi olasılığı, birinci atışla ilgili olayından bağımsız olarak hesaplanır. 21

22 Ele alınan ve B gibi iki olay birbirinden bağımsız ise, B B B 22

23 Bağımsız olaylar Örnek-4: ve B iki olay olarak tanımlandığında, 1/5, B k B 1/ 4 aşağıda istenen durumlar için k değerini hesaplayınız. a ve B ayrık olaylarsa b ve B bağımsız olaylarsa 23

24 a ve B ayrık olaylarsa B 1 / 4 1/ 5 k B k 1/ 4 1/ 5 1/ 20 24

25 b ve B bağımsız olaylarsa 25 B B B 1/16 k 1/5 1/4 4/5k 4/5k 1/5 1/4 5 1/ 5 1/ 1/4 k k B B B B B

26 Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100 kişide diyabet dağılımı aşağıdaki gibidir: Sonuç Örnek 5: Frekans Sağlıklı 60 Bozulmuş Glikoz İntolerası BGİ 6 Tip I 5 Tip II 29 Toplam

27 olayı: sağlıklı olması, ={sağlıklı} = 60/100=0.60 B olayı: diyabet olması, B={Tip I, Tip II} B= 29+5/100=

28 Örnek 5 için olayının tümleyeni; olayı: sağlıklı olması, ={sağlıklı} = 60/100=0.60 BGİ, TipI, TipII

29 Örnek 5 için; Olayı: Sağlıklı Olması 0.60 B Olayı: Tip I Olması 0.05 C Olayı: Tip II Olması 0.29, B ve C olayları karşılıklı olarak birbirlerini engelleyen ayrık olaylardır. B yada C B C B C Toplama Kuralı -1 29

30 Olayı: TipI ya da BGİ olması, ={ TipI, BGİ}=0.11 B Olayı: TipII ya da BGİ olması, B={ TipII, BGİ}=0.35 ve B birbirini engelleyen olaylar değildir. yada B B B B Toplama Kuralı

31 Örnek 6: : Kadın olması B: 0 grubu olması Kan Grubu K E Toplam B B B B Toplam

32 Şartlı Olasılık: Bağımsız Olmayan Olaylar 20 LSD + 80 spirin = I. tablet LSD B = II. tablet LSD İadeli Örnekleme: =20/100, B=20/100 İadesiz Örnekleme: =20/100 B =? I.Çekilen spirin B = 20/99 I.Çekilen LSD B=19/99 B = 19/99 32

33 33 B = olayının olduğu bilindiğinde B olayının oluşma olasılığı B S B * * B B ya da B B B B

34 Hilesiz bir para arka arkaya 3 kez atılıyor. ; en az 2 tura gelmesini, B; ikinci atışta yazı gelmesini gösteren olaylar olsun. 1. Örnek uzayı yazınız. 2. ile B ayrık olaylar mı? 3. veya B nin gözlenmesi olasılığı nedir? Örnek 8: T T T Y T T T Y T T T Y T Y Y Y T Y Y Y T Y Y Y S,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, T T,Y, B ve B ayrık olaylar değildir. B B B

35 Şans Değişkenleri Rassal-Rasgele Değişken raştırmada gözlemi yapılan değişkenler genellikle alfabenin son harfleri olan X, Y, Z gibi harflerle belirtilir. Olayların aldığı farklı sayısal değerler, X değişkeninin alabileceği değerleri belirtecek şekilde ifade edilir örn; x=2. Bu tip değişkenler, değişik sayısal değerleri değişik olasılıklarla alabildiklerinden şans değişkenleri olarak adlandırılırlar. 35

36 Örnek uzayındaki her bir nokta, sadece ve sadece bir x değerine sahiptir. Bir veya birden çok örnek noktasının değerleri, aynı x değeri ile ifade edilebilir. 36

37 Örneğin, iki paranın birlikte atıldığı bir denemede tanımlanan şans değişkeni; X=İki para atıldığında gözlenen tura sayısı Değişkenin alabileceği değerler; x=0, x=1 veya x=2 olarak tanımlanır. Örnek olaylar; YY, YT, TY, TT x=0yy, x=1yt,ty, x=2tt. 37

38 Örnek 8: Günlük yağış ölçümleri için örnek uzayı tanımlamaya çalışacak olursak, belirli bir günde gözlenen yağış miktarı sayısal bir ölçümle sonuçlanan bir olaydır. Bu olay için örnek uzayı, bir eksen üzerinde oluşabilecek sonsuz sayıda noktalardan oluşabilir. Bu nedenle örnek uzayındaki noktalar tek tek sayılamadığından, bu noktalara karşılık gelen frekanslar ve bu frekanslarla hesaplanacak olasılık değerleri elde edilemez. Bu nedenle örnek uzayındaki noktaların sayılabilir veya sayılamaz olmasına göre, şans değişkenleri iki grupta incelenebilir. 38

39 Şans Değişkenlerinin Sınıflandırılması 1 Kesikli Şans Değişkeni 2 Sürekli Şans Değişkeni 39

40 1. Kesikli Şans Değişkeni Eğer bir değişken sadece belirli sayıda değerler alabiliyorsa, bu değişken tanım itibariyle kesiklidir. Sayımla elde edilen verilerdir. Örneğin; 1 cm 3 suda bulunan bakteri sayısı Bir üretim bandında alınan 10 arlı örnekler içerisindeki bozuk ürün sayısı Bir doktorun bekleme odasında bulunan hasta sayısı 40

41 1. Kesikli Şans Değişkeni devam Kesikli bir şans değişkeninin olasılık dağılışı, şans değişkeninin her bir değerine karşılık gelen olasılıkları gösteren bir tablo, bir grafik veya bir formülle belirlenir. Bir Y değişkeninin alabileceği y değerlerine karşılık gelen olasılıklar y ile gösterilirse, tüm y ler için y olasılıklarının toplamı, tüm örnek noktalarının olasılıkları toplamına, yani 1 e eşit olur. 41

42 1. Kesikli Şans Değişkeni devam 42

43 Örnek 9: İki para atımı deneyinde gözlenen tura sayısı değişkeni X ile tanımlanmıştır. Bu deneye ilişkin örnek uzayı noktaları ve bunlara karşılık gelen olasılıkları elde ediniz. 43

44 Örnek Noktası E i 1. ara 2. ara E i x E 1 Y Y 1/4 0 E 2 Y T 1/4 1 E 3 T Y 1/4 1 E 4 T T 1/4 2 Her bir x değeri için olasılıklar, o sayısal değeri alan örnek noktalarının olasılıklarının toplanması ile bulunur. Örneğin x=1 değeri E 2 ve E 3 örnek noktalarında görülmektedir. x=1=e 2 + E 3 =1/4+1/4=1/2 44

45 X=İki para atımındaki tura sayısı değişkeni için olasılık dağılışı x X e ait Örnek Noktaları E i x 0 E 1 1/4 1 E 2, E 3 1/2 2 E 4 1/4 Toplam 1 45

46 2. Sürekli Şans Değişkeni labildiği değerler bir eksen üzerinde kesintisiz bir şekilde sıralanabilen değişkenlerdir. Örneğin; Boy ve ağırlık gibi değişkenler Bir dolgu malzemesinin kullanım süresi Bir hastanın kolesterol değeri 46

47 Bu tip değişkenlerde her örnek noktasına karşılık gelen olasılığın belirlenmesine olanak yoktur. Bu nedenle sürekli değişkenler için kitlenin modellenmesinde farklı bir yaklaşım gereklidir. 47

48 a<y<b a b Eğri altında kalan alanın hesaplanmasında integral işlemlerine başvurulur. 48

49 Beklenen Değer Kavramı Tanımlanan olasılık dağılımlarında, ilgili şans değişkenlerinin kitlelerinin ortalaması, varyans ve diğer tanımlayıcı ölçütleri, bu dağılımlar yardımıyla bulunabilir. İlgili değişkenin belirli bir fonksiyonunun ortalama değerlerine o değişkenin ya da fonksiyonun beklenen değeri adı verilir. 49

50 Önceki örnekten yola çıkarak, X=İki para atımında gözlenen tura sayısı değişkeni için x ve x değerleri x x 0 1/4 1 1/2 2 1/4 50

51 Bu para atışı deneyi için beklenen değer hesaplanması; x x x.x 0 1/ /2 1/2 2 1/4 1/2 Toplam 1 51

52 Sürekli bir rassal değişken için beklenen değer hesaplanması; 52

53 lıştırmalar 1. Bir rassal deney için olası tüm sonuçların oluşturduğu kümeye. denir.

54 1. Bir rassal deney için olası tüm sonuçların oluşturduğu kümeye..örnek uzay.. denir.

55 2. Bir örnek uzayda tanımlı ve B olayları için B = ø ise ve B olayları. olaylardır.

56 2. Bir örnek uzayda tanımlı ve B olayları için B = ø ise ve B olayları ayrık olaylardır.

57 3. Bir rassal değişkenin beklenen değeri, değişkenin alabileceği değerlerin... olarak tanımlanır.

58 3. Bir rassal değişkenin beklenen değeri, değişkenin alabileceği değerlerin...ortalaması... olarak tanımlanır.

59 4. Bir oyunda, madeni hilesiz bir para ilk tura veya arka arkaya dört yazı gelinceye kadar atılıyor. Bu oyun için örnek uzayı S = {T, YT, YYT, YYYT, YYYY} olur. Doğru

60 5. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? a. 0 b. c. d

61 Haftaya derste anlatılacak konular Bazı Olasılık Dağılışları 61