ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 009

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez 7/04/009 Tarhnde Aşağıdak Jür Üyeler Tarafından Oybrlğ İle Kabul Edlmştr. İmza:.. İmza:... İmza:. Prof. Dr. Blal VATANSEVER Doç. Dr. Fkret KUYUCU Yrd. Doç. Dr.Ersn KIRAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Ensttümüz Matematk Anablm Dalında Hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Azz ERTUNÇ Ensttü Müdürü İmza ve Mühür Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bldrşlern, çzelge, şekl ve fotoğrafların kaynak gösterlmeden kullanımı, 5846 sayılı Fkr ve Sanat Eserler Kanunundak hükümlere tabdr. II

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ GRUPLARDA VE YARIGRUPLARDA ETKİNLİK(EFFICIENCY) ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman: Prof.Dr. Blal VATANSEVER Yıl : 009, Sayfa: 4 Jür : Prof. Dr. Blal VATANSEVER Doç. Dr. Fkret KUYUCU Yrd. Doç. Dr. Ersn KIRAL Bu çalışmada öncelkle gruplarda, yarıgruplarda, monodlerde etknlk problemnn tarhçes, aralarındak lşkler le lgl çalışmalar araştırmacıların kolaylıkla erşebleceğ br kaynak derlemes olarak tasnf edlmştr. Anahtar Kelmeler: Grup, yarıgrup ve monod takdmler, etknlkler, monogenc monodlern drek çarpımı ve etknlğ. I

4 ABSTRACT MSc THESIS THE EFFICIENCY OF GROUPS AND SEMIGROUPS DEPARTMANT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: Prof. Dr.Blal VATANSEVER Year: 009, Pages: 4 Jury: Prof.Dr. Blal VATANSEVER Assc. Prof. Fkret KUYUCU Asst. Prof. Ersn KIRAL In ths study, frstly, hstory of the problem of groups effcency, semgroups effcency and monods effcency, the relatons to groups effcency, semgroups effcency and monods effcency were organzed as a source collecton that the nvestgators can easly reach. Key Words: Groups, semgroups and monods presentatons, ther effcences, drect multple of monogenc monods, ther effcences. II

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanmasında blg, brkm, deneym ve emeğn esrgemeyen sayın danışmanım Prof. Dr. Blal VATANSEVER e saygılarımı sunar, teşekkür ederm. Ayrıca ünverste hayatımın dışında da her zaman gururla bahsettğm ve tüm ünverste öğrenmm boyunca emeklernden dolayı tüm matematk bölümü hocalarına, yardımlarından dolayı Araştırma Görevller N. Şahn Öğüşlü ve Demet Sönmez e teşekkürlerm sunarım. Ayrıca ben sevgyle büyütüp, sabırla yetştren babam Erol CAN, annem Emsal CAN a ve hayatın bana verdğ en güzel hedye olan eşm Ayşe ÖZEN CAN a bu tez btrrken yaptıkları destek ve yardımlarından dolayı teşekkür ederm. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER....IV. GİRİŞ.... TEMEL TANIM VE TEOREMLER..... Yarıgrup Tanımları..... Doğuraylar ve Takdmler Doğuraylar Takdmler MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE GRUP VE YARIGRUPLARIN ETKİNLİĞİ BELİRLİ GRUPLARIN YARIGRUP OLARAK ETKİNLİĞİ MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ Mnmal Takdmler Drek Çarpımlarda Etknlk... 8 KAYNAKLAR... 3 ÖZGEÇMİŞ IV

7 .GİRİŞ. GİRİŞ Grup ve Yarıgrup takdmler uzun br süredr çalışılan konulardır. Bu çalışmalar lk başlarda grupların defcency sn ncelemek şeklnde başlamıştır. Daha sonraları grupların effcency s ncelenmeye başlandı ve bu konularla lgl öneml sayıda makale yayınlandı. Yarıgruplarla lgl çalışmalar 990 yılında E. F. Robertson ve Y. Ünlü nün de gelştrdğ ve Todd-Coxeter algortması benzer br blgsayar programı sayesnde daha hızlanmış ve bu yıldan tbaren bu konuda yayınlanan araştırmalarda büyük br artış olmuştur. Son yıllarda H. Ayık ve dğerler grupların etknlğ le yarıgrupların etknlğ arasındak lşky, grupların etknlğ le monodlern etknlğ arasındak lşky ve yarıgrupların etknlğ le monodlern etknlğ arasındak lşky ncelemşlerdr. Bu tezn temel amacı; gruplarda, yarıgruplarda, monodlerde etknlk problemn ortaya koyan ve gruplardak etknlk, yarıgruplardak etknlk, monodlerdek etknlk lşklern rdeleyen ve aralarındak bağıntıları ortaya çıkaran çalışmaları tasnf ederek araştırıcıların kolaylıkla erşebleceğ br kaynak derlemes yapmaktır.

8 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER. TEMEL TANIM VE TEOREMLER.. Yarıgrup Tanımları Bu bölümde lerde kullanacağımız yarıgrup teordek öneml tanım ve teoremler vereceğz. Tanım.. S boştan farklı br küme olsun. S S den S ye tanımlı br fonksyona kl şlem denr ve bu şlem xy, S çn xy. şeklnde gösterlr. xy. yerne xy yazılablr.., S üzernde kl şlem se ( S,.) klsne br grupod denr. Tanım.. ( G,.) kls br grupod olsun. Eğer abc,, G çn ( ) ( ) abc = ab c(brleşme özellğ) se ( G,.) klsne br yarıgrup denr. Tanım..3 S br yarıgrup olsun. S ye monod denr. s S çn s = s = s olacak şeklde S mevcut se Tanım..4 M br monod olsun. m M çn mm = mm = olacak şeklde m M var se M ye br grup denr.

9 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem..5 A boş olmayan br küme ( alfabe ) olsun. a,..., an A çn w= a... an se w ya uzunluğu n olan A üzernde br kelme denr. A boş olmayan br küme ve A + da A üzernde boş olmayan tüm sonlu kelmelern (w A + çn w nın uzunluğu n olmak üzere n < se w sonlu kelmedr.) br kümes olsun. Yan, {..., n } A + = a a a An Her a... am A + ve b... bn A + çn, ( a... a )( b... b ) = a... ab... b m n m n kl şlem le A + br yarıgrup olup buna A üzernde serbest yarıgrup denr. A + ya ε boş kelmes (brm eleman) eklenerek elde edlen monode serbest monod denr ve * A le gösterlr. Teorem..6 S br yarıgrup olsun. O zaman S nn en fazla br tane brm elemanı vardır. İspat: ve, S nn k farklı brm elemanı olsunlar. O zaman ve, S nn brm elemanları olup = = dür. 3

10 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım..7 Eğer br S yarıgrubunun brm elemanı yoksa S ye ( S) le göstereceğmz br brm eleman ekleneblr. O halde her s S çn = olarak tanımlanırsa { }. S brm eleman le br yarıgrup olur. s = s = s ve S S, = S {}, S yoksa olarak tanımlanır. yarı grup denr. S ye eğer gerekl se S ye br brm eleman eklenerek elde edlen Tanım..8 S yarıgrup olmak üzere; s S ve 0 S çn 0 s = s0 = 0 ve 00 = 0 koşulunu sağlayan elemana sıfır elemanı denr ve sembol olarak 0 le gösterlr. Tanım..9 Eğer br S yarıgrubunun sıfır elemanı yoksa S ye S de olmayan ve 0 le göstereceğmz br sıfır eleman ekleneblr. O halde her s S çn 0 s = s0 = 0 ve 00 = 0 olarak tanımlanırsa S { 0} sıfır eleman 0 le br yarı grup olur. S 0 S, = S {} 0, 0 S yoksa olarak tanımlanır. yarı grup denr. 0 S a eğer gerekl se S ye br sıfır eleman eklenerek elde edlen 4

11 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım..0 çarpımı S ve T k yarıgrup olsun. s, s S ve t, t T olmak üzere S T kartezyen ( s, t)( s, t ) = ( ss, tt ) şeklnde tanımlı çarpma şlem le br yarıgruptur. Bu yarıgruba S ve T nn drek çarpımı da denr Tanım.. S br yarıgrup R de S de br bağıntı yan ( R S S) x, y, a S çn olsun. Eğer her ( x, y) R ( ax, ay) R se R ye sol uyumlu, ( x, y) R ( xa, ya) R se R ye sağ uyumlu denr. Her a, b S çn ( x, y) R ( axb, ayb) R se R ye uyumlu denr. Sol uyumlu br denklk bağıntısına sol kongrüans, sağ uyumlu br denklk bağıntısına sağ kongrüans, uyumlu br denklk bağıntısına da kongrüans denr. 5

12 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER.. Doğuraylar ve Takdmler Bu bölümde öncelkle yarıgruplar çn doğuraylar verlecek. Ayrıca grup, monod ve yarıgrup takdmlernn ne fade ettğ ve aralarındak lşklerden bahsedlecektr....doğuraylar Tanım... S br yarıgrup A da S nn br alt kümes olsun. A yı çeren S nn en küçük yarıgrubuna A nın doğurduğu yarıgrup denr. A ya da bu yarıgrubun doğuray kümes denr. Bu alt yarıgrubu A le göstereceğz. Lemma... S br yarıgrup A da S nn boş olmayan br alt kümes olsun. O zaman { U U A = I :, A yı çeren S nn alt yarıgrubu} dr. İspat: ϑ = I { U : U, A yı çeren S nn alt yarıgrubu} olsun. ϑ, A yı çeren br alt yarıgrup olup A ϑ dur. Ayrıca A, A yı çeren br alt yarıgrup olduğundan A { U U, A yı çeren S nn altyarıgrubu} : dır. O halde ϑ = I{ U U, A yı çeren S nn alt yarıgrubu} A : 6

13 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER olup A =ϑ dr. Teorem...3 S br yarıgrup ve A S olsun. O zaman { } A = aa... :, an a An dr. Eğer doğuraylı yarıgrup denr. S = A olacak şeklde S nn sonlu br A alt kümes var se S ye sonlu Tanım...4 S br yarıgrup olsun. S nn tek elemanlı br A = { a} doğurayı varsa S ye monogenc yarıgrup denr. S = a yazılır. S = a monogenc br yarıgrup olsun. Eğer her j çn j a a se S sonsuz olup S ye serbest monogenc yarıgrup denr. Serbest monogenc yarıgrup (,+) yarıgrubuna zomorfktr.... Takdmler Tanım... A br alfabe olsun. A +, A üzernde serbest yarıgrup olsun. R A A R A A + + * * ( ) olmak üzere AR şeklnde br sıralı çftne br yarıgrup takdm (monod takdm) denr. Tanım... AR takdmnde A ve R sonlu se bu takdme sonlu takdm denr. 7

14 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım...3 Br = AR sonlu yarıgrup takdmnn defcency s R A olarak tanımlanır ve def ( ) le gösterlr. Sonlu takdml S yarıgrubunun defcency s def ( S ); S def S (S)= mn { def ( ), S çn br sonlu yarıgrup takdmdr.} Benzer olarak monod defcency s defm ( S ) ; def M (S)= mn { def ( ), S çn br sonlu monod takdmdr.} ve ayrıca grup defcency s defg ( S ) ; def G(S)= mn { def ( ), S çn br sonlu grup takdmdr. } olarak tanımlıdır. Öyle se br sonlu takdml G grubu defg ( G ), defs ( G) ve def ( ) M G olmak üzere 3 defcency e sahptr ve br sonlu takdml M monod de def ( ) M M ve defs ( M ) olmak üzere defcency e sahptr. Teorem...4 Eğer S sonlu takdme sahp sonlu br yarıgrup se bu durumda dır. defs ( S) 0 Fakat bunun ters doğru değldr. Yan defs ( S) 0 se sonlu takdml S yarıgrubu sonlu olmak zorunda değldr. Sonlu da olablr sonsuzda olablr. 8

15 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem...5 Br G grubu çn her yarıgrup takdm br grup takdm olduğundan def ( G) def ( G) ve def ( G) def ( G) S G M G dr. Tanım...6 S sonlu doğuraylı br yarıgrup olsun. O zaman = { ve X = S} rank ( S) mn X : X S S olarak tanımlanır. rank ( S ) ye S yarıgrubunun rankı denr. S Benzer şeklde sonlu doğuraylı monod ve gruplar çn monod ve grup rankları rank M ( ) ve G ( ) rank olarak tanımlanır. Teorem...7 Sonlu AR grup takdm, sonlu br G grubunu tanımlıyorsa, R A rank( H( G)) olduğu [Rotman, 967] de Sonuç 0.7 den blnmektedr. Eğer sonlu br G grubu R A = rank( H ( G)) olacak şeklde br grup takdmne sahp se G grubuna etkndr denr. AR takdmne de etkn grup takdm denr. Buna ek olarak Steve Prde tarafından M sonlu monodnn sonlu AR monod takdm çn 9

16 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER R A rank( H( M)) olduğu gösterld. Tanım...8 P = AR sonlu takdm sonlu br G grubu (mond) çn br yarıgrup takdm olsun. Eğer def( P) = rank( H( G)) se G grubu (monod) yarıgrup olarak düşünüldüğünde etkndr denr. Bundan sonrak bölümde grup, yarıgrup ve monodn etknlklern daha sonra da bunlar arasındak lşkler ncelyeceğz. 0

17 3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE GRUP VE YARIGRUPLARIN ETKİNLİĞİ 3.MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE GRUP VE YARIGRUPLARIN ETKİNLİĞİ Bu bölümde lk olarak herhang br G grubunun etkn olması çn gerekl ve yeterl koşulun monod olarak da etkn olması tezn spatlayacağız. Br G grubu çn her yarı grup (monod) takdm aynı zamanda G çn grup takdm olduğundan defs ( G) defg ( G ) ve defm ( G) defg ( G ) dr. Bz defm ( G ) = defg ( M ) olduğunu spatlayacağız. Şmd bu bölümün esas teorem çn bze yarayacak br Lemma le başlayalım. Lemma 3. = AR br yarıgrup takdm olsun. () Eğer br e A + kelmes çn her a A çn ea = a (sol brm) ve ua a = e (sol ters) olacak şeklde bazı ua A + var se o takdrde tarafından tanımlanan yarıgrup br gruptur. () Eğer br e A + kelmes çn her a A çn ae= a (sağ brm) ve aua = e (sağ ters) olacak şeklde bazı ua A + tarafından tanımlanan yarıgrup br gruptur. var se o takdrde Teorem 3. G = AR br G grubunun br sonlu takdm olsun. M = AA, R, aaa = ( a A) monod takdmn düşünelm. A { a a G} =, A nın kopyası olsun ve R, R nn her bağıntısında a (eğer varsa) yerne aa konulmasıyla elde edlmş olsun.

18 3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE GRUP VE YARIGRUPLARIN ETKİNLİĞİ O zaman, G y monod olarak tanımlar. Bu durumda G nn grup olarak etkn M olması çn gerek ve yeter koşul monod olarakta etkn olmasıdır. İspat: aa = aa ( aaa ) = ( aa aaa ) = aa olduğundan = = = dr. Bu aa aa aaa eştlklerden anlaşılıyor k sırasıyla aa, a nn tersler a ve a dür. Dolayısıyla Lemma 3. den br grup tanımlar. Bu grup G grubuna zomorfktr. def( ) = def ( ) olduğundan eğer br G grubu grup olarak etknse o G M taktrde monod olarak da etkndr. Tersne düşünürsek yan G monod olarak düşünüldüğünde etkn se o zaman monod takdmn aynı zamanda br etkn grup takdm olarak düşünülerek grup olarak da etkn olduğu söyleneblr. Ayrıca genel olarak br G grubu çn defs ( G ) > defg ( G ) olduğu söyleneblr. Bunu aşağıdak teoreme stnaden söyleyeblrz. Teorem 3.3 Eğer AR br G grubu çn yarıgrup takdm se o zaman R A dr. İspat: a ve b brbrnden farklı A nın gerenler olmak üzere, R, a = b formundak br bağıntıyı çeryorsa o zaman defcency değştrmeden a veya b den brn eleyeblrz. Böylece genellğ kaybetmeden R nn böyle bağıntıları kapsamadığını varsayablrz. Şmd keyf seçlmş a A çn wa A + G de a nın tersn gösteren

19 3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE GRUP VE YARIGRUPLARIN ETKİNLİĞİ kelme olsun. O zaman G de a = aw a bağıntısı vardır. Dğer br fade le ' a ' awaa kelmesn a dan R den bağıntılar uygulayarak elde edeblrz. Her a A çn R de a = u a formunda br bağıntının var olduğunun sonucuna varırız. Üstelk ua A olduğu çn bu bağıntılar farklıdır. Bu yüzden R A dır. Dğer taraftan br M monod çn defm ( M ) ve defs ( M ) arasındak lşkye bakıldığında defm ( M) defs ( M ) + olduğu kolayca görülür. AR, M çn herhang br yarıgrup takdm olsun. e A +, M y temsl eden herhang br kelme se o zaman ARe,, M çn br monod takdmdr. Dolayısıyla yukarıdak eştszlğmz spatlamış oluruz. Bu eştszlğ daha kuvvetl kılacak def ( ) M M defs ( M ) beklenen sonucunu aşağıdak özel durumlar çn rdeleyelm. Teorem 3.4 Eğer M, her sol tersnr elemanı, aynı zamanda sağ tersnr eleman olan (özellkle M sonlu se) br monod se o zaman def ( M) def ( M) S M dr. Üstelk M yarıgrup olarak etknse o zaman monod olarakta etkndr. İspat: G, M nn brmlernden oluşan grup olsun. Burada M nn tersnr elemanları üzerndek koşulun M bze M nn herhang br G nn M nn br deal olmasını gerektrr. Bu = AR yarıgrup takdmnn, G y tanımlayan =< A R > ( A AR, = R ( A + A + )) 3

20 3. MONOİD OLARAK DÜŞÜNÜLDÜĞÜNDE GRUP VE YARIGRUPLARIN ETKİNLİĞİ alt takdmn çerdğn gösterr. aynı zamanda G çn br grup takdm olduğu çn, Teorem 3. den G çn = A R şeklde br monod takdm vardır. Her br a A çn, * a A G nn aynı elemanını temsl eden br kelme olsun ve R R de R R dek her br bağıntı a yerne a yazılmasıyla elde edlen bağıntılar kümes olsun. Buradan =< ( A A) A R R R > 3 takdmnn M çn def( 3) = def ( ) özellğne sahp olan br monod takdm olduğunu spatlamak kolaydır. Böylece lk durumun spatı tamamlanmış olur. M nn yarıgrup olarak etkn oluşu monod olarak etkn oluşunu gerektrmes durumunun spatı H M = H M eştlğnden görüleblr. (bak. [Rotman,979]) ( ) ( ) Bu bölümden sonra bazı belrl grupların yarıgrup olarak etknlklern nceleyelm. 4

21 4. BELİRLİ GRUPLARIN YARIGRUP OLARAK ETKİNLİĞİ 4. BELİRLİ GRUPLARIN YARIGRUP OLARAK ETKİNLİĞİ Bu bölümde Sonlu grupları düşünelm. Tüm sonlu gruplar çn def ( G) = def ( G) olduğunu göstermek açık br problemdr. Şmd belrl sonlu G S (etkn) gruplar çn def ( G) = def ( G) eştlğnn sağlandığını spatlıyalım. n 3 olan tek sayılar çn G S n n 3 n n =< xy, yx =, y xy = x> grup takdm dereces n olan D n dhedral grubunu tanımlar.aslında lk bağıntıdan x, n le takdm edlen G grubunun merkezlyenndedr. G nn abelyenleştrlmes netcesnde olduğundan ve dr ve bu yüzden x G olduğu görülür. G/ x bölüm grubu n D grubuna zomorfk D n, n tek çn aşkar schur çarpanına sahp olduğundan G de x = G D n dr. Teorem 4. n çft sayı olmak üzere n çn n derecel D n dhedral grubunun yarıgrup takdm; < ab a = aa = b ab a= b> 3 n n,,,, tarafından tanımlanır n 3 çn ve n tek sayı olmak üzere; 5

22 4. BELİRLİ GRUPLARIN YARIGRUP OLARAK ETKİNLİĞİ n n 3 n δ n =< xy, yxy = yy, xy = x > yarıgrup takdm tarafından tanımlanır. Bu yüzden D n yarıgrup olarak etkndr. İspat: n çft sayı olmak üzere D n n yarıgrup olarak etknlğ blnyor. (bak. [Ayık, Campbell, O connor, Ruskuc,000a], Teorem.) Şmd n n tek olma durumunu düşünelm. n yxy = y ve n n n n n 3 n yx = yxy 3 xy = y 3 xy = x den δ n le tanımlanan yarıgrup çn sırasıyla n yx sol brmdr ve n yx, x n sol tersdr. y nn sol tersnn de n n 3 n yxy 3 xy olduğu kolaylıkla gösterleblr. Lemma 3..() den δ n br grup tanımlar ve bu teoremden tartışmalardan dolayı bu grup grubudur. Bu yüzden D n her br n çn yarıgrup olarak etkndr. PSL(, p ) nn grup etknlğ le lgl brçok çalışma yapılmıştır. (bak. örnekler çn [Beetham, 97], [Sunday, 97], [Zassenhaus, 969] ) Bz şmd yarıgrup olarak etknlğn düşünelm. D n Teorem 4.. Her br p poztf tek tamsayısı çn; p+ 3 4 p+ ζ p =< xy, x = xyxyxy, = x,( xy xy ) y = y > 6

23 4. BELİRLİ GRUPLARIN YARIGRUP OLARAK ETKİNLİĞİ olacak şekldek yarıgrup takdm br grup tanımlasın. Özel olarak ; eğer p tek asal sayı se, o zaman etkndr. ζ p, PSL(, p ) y tanımlar ve dolayısıyla PSL(, p ) yarıgrup olarak İspat: ζ p nın knc bağıntısından xy = ( yxyxy) xy yx( yxyxy) = yx bağıntısını buluruz. Buradan Daha sonra knc ve üçüncü bağıntıdan ; x nn br merkez elemanı olduğu görülür. p+ p+ p+ 4 p 4 (( xy xy ) y ) x= ( xy xy ) y xyxy = yxyxy = x dr. Yukarıdak eştlk ve üçüncü bağıntıdan p+ 4 ( xy xy ) y p sol p+ 4 p brmdr. ( xy xy ) ters olduğunu gösterelm. y nn y nn sol ters olduğu açıktır. Şmd x n kendsnn sol p+ 4 ( xy xy ) y p br sol brm olduğundan ve x merkez elemanı olduğundan ; p+ p+ p+ p+ 4 p p 4 p x = (( xy xy ) y ) x = xyxy xy xy y = ( xy xy ) y y elde ederz. Lemma 3. den ζ p brm p+ 4 ( xy xy ) y p olan grup tanımlar. ζ p y br grup takdm olarak düşündüğümüz br p tek asal sayısı çn ζ p, PSL(, p ) y tanımlar (bak. [Campbell, Robertson, 980], teorem 3) ve ayrıca ζ p bu grubun yarıgrup takdmdr. 7

24 4. BELİRLİ GRUPLARIN YARIGRUP OLARAK ETKİNLİĞİ H ( PSL(, p )) elemanlı devrsel grup olduğundan, PSL (, p ) yarıgrup olarak etkndr. Sonuç olarak, defcency s sıfır olan etkn yarıgruplara örnek olarak SL(, p ) ( p asal olmak üzere ) y vereblrz Teorem 4.3. p+ 4 p k pk, =< xy, yxyxy = x,( xy xy ) y x y = y > yarıgrup takdm tüm p ve k poztf tamsayıları çn br grup tanımlar. Özel olarak p tek asal sayı ve k = [ p/3] ([ /3] p ün tamsayı bölümü) se, o zaman pk,, SL(, p ) y tanımlar ve öyle k SL(, p ) yarıgrup olarak etkndr. İspat: pk, nın brnc ve knc bağıntısından p+ p+ 4 p k 4 p k (( xy xy ) y x ) x= ( xy xy ) y x yxyxy = yxyxy = x olduğu çn knc bağıntıdan p+ 4 p k ( xy xy ) y x sol brmdr. p+ 4 p k ( xy xy ) y x, x n sol ters ve p+ 4 p k ( xy xy ) y x yxyx 8

25 4. BELİRLİ GRUPLARIN YARIGRUP OLARAK ETKİNLİĞİ y nn sol ters olduğu çn Lemma 3.. den pk, br grup tanımlar. Sonuç [Campbell, Robertson, 980] teorem 4 den elde edlr. Teorem =< xy, yxy = y,(( yxyx) yx)( xy) xy = x> yarıgrup takdm, 3 SL (,) ü tanımlar ve öyle k SL 3 (,) yarıgrup olarak etkndr. İspat: (Campbell, Robertson, 980,teorem 4) den nn SL 3 (,) grubunu tanımladığı elde edlr. Lemma 3. den yarıgrup takdmnn br grup tanımladığını göstermek yeterldr. Brnc ve knc bağıntıdan ; ( ) (( ) )( ) (( ) )( ) yx x = yx yxyx yx xy xy = yxyx yx xy xy = x elde edlr. Brnc bağıntıdan 3 yx sol brm olduğu görülür. Ayrıca 3 yx, x n sol ters ve yx (( yxyx) yx)( xy) xy de y nn sol ters olduğundan Lemma 3. den br grup tanımlar. 9

26 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ Bu bölümde brçok sonlu monogenc monodlern drek çarpımlarının etknlğ çn gerek ve yeter koşulları ncelyeceğz. Yalnız daha önce bzm çn gerekl olacak önermeler verelm. Önerme 5. n olmak üzere,,,..., n β β β, { } kelmeler, R, keyf bağıntılar kümes olmak üzere; a, a,..., an kümes üzernde keyf seçlmş = a, a,..., a a = a β aa, a = a β a, a = a β a,..., a = a β a, R n n n yarıgrup takdm br grup tanımlar. Önerme 5. n = alındığında takdm k aa = ar, ( k ) formunu alır. Bu sonlu devrl grubu çn yarıgrup takdmdr. Bu spatta br S yarıgrubu çn Green n R ve L bağıntılarını kullanmak kolaylık sağlayacaktır. Hatırlamak stersek; Eğer st, S çn s ts { t} ve t ss { s} se sr t yazarız. Eğer st, S çn s St { t} ve t Ss { s} se slt yazarız. Yarıgrubun br grup olmasının gerek ve yeter koşulunun br tek R sınıfı ve L sınıfına sahp olması olduğunu blyoruz. 0

27 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ Lemma 5.3. S monogenc olmayan br yarıgrup ve A, S nn doğuray kümes olsun. () Eğer tüm ab, A çn abr a (özel olarak ablb ) se o takdrde tüm a A ve w S çn awr a (özel olarak wblb ) dr. () Eğer herhang br ab, A çn as = b (özel olarak sa = b) koşulunu sağlayan s S var se o zaman S sadece br R sınıfına sahptr.(özel olarak L sınıfı ) İspat: () İddayı A nın doğuraylarının çarpımı olarak alınan w nun boyundan tümevarımla göstereblrz. () Varsayalım k a = au olacak şeklde u S olsun. Eğer u = cc... ck( k, c A) se o takdrde c = bv yazarız öyle k a = au = abvc... c k dr. a abs olduğundan ve ab as olduğundan, ar ab sonucuna ulaşılır. İdda () nn br sonucudur. Önerme 5. n İspatı: SP, takdm tarafından tanımlanan yarıgrup olsun ve A= { a, a,..., an} olsun. Önermey S nn tek L sınıfına ve tek R sınıfına sahp olduğunu göstererek spatlayablrz. P dek lk n bağıntıdan anlıyoruz k her =,,..., n çn br u kelmes vardır öyle k a = au dr.(eğer gereklyse modülo n e göre ndrgeme yapıldığında = çn an = au buluruz.) Fakat daha sonra a, a j j j + j A çn a = auu... u buluruz. Ve sonuçta Lemma 5.3 () den S nn tek br R sınıfına sahp olduğunu buluruz. Dğer taraftan S, sağ basttr. Dkkat edlrse;

28 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ ( aβa) aj = aβ aauu n... uj+ = auu n... uj+ = a ( j =,,..., n çn ) dr. Fakat daha sonra a = a β aa = a β a β aa =... = ( a β a β... β aβ ) aa j j 3 3 j 3 j ve öyle k herhang a, a j Açn j j aala dr. ala j y henüz gösteremedk fakat Lemma 5.3() den S de sonlu sayıda L sınıfı olduğu sonucu çıkarılablr. S nn tamamen br sağ bast yarıgrup olduğunu anlıyoruz. Rees Susuchkewtsch teoremnn spatından, G br grup S G Z y elde ederz. Z, S nn br doğal homomorfk majıdır ve ve Z br sağ sıfır yarıgrup olmak üzere a, a,..., a a = a β aa, a = a β a, a = a β a,..., a = a β a, Raa, = a (, j n) n n n j j le tanımlanır. Fakat bu açıkça a, a,..., a a = a = a =... = a e denktr. Dğer br n n deyşle Z trvaldr. Burada gerektğ gb S br gruptur. Br sonrak sonuç aynı defcency l, aynı doğuray kümes üzernde, aynı grubu tanımlayan br yarıgrup takdmn nasıl grup takdmne dönüştüreceğmz gösterecek. Önerme 5.4 olmak üzere P G br grup olsun. R A ve A, G nn br yarıgrup doğurayları kümes = AR, G nn sonlu grup takdm olsun. Ayrıca varsayalım k R, E = formundak bağıntıları çersn. Burada E, çnde doğurayların terslernn olmadığı,her doğurayın en az br kez çnde bulunduğu ve en az br doğurayın karesn çeren br kelme olsun. O zaman G, Q takdmne sahptr. = R olan br AQ yarıgrup

29 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ İspat: = { } ve genellğ kaybetmeden R = { E =, u =,..., u =, R } A a, a,..., an n olsun. Aynı zamanda yne genellğ kaybetmeden varsayalım k E, çersn. =,,..., n çn E (sırasıyla () l ( r ) E ), E nn a alt kelmesn a le başlayan daresel permütasyonunu göstersn. () t E, a le başlayıp a le bten E nn permütasyonu () t olsun. E = bağıntısını E a = a bağıntısı le, her br u = bağıntısını da () l r E+ uae + = a bağıntısıyla yer değştrelm. Bu yerdeğştrmeler sonucunda aşağıdak takdm ortaya çıkar; P = a, a,..., a E a = a, E uae = a, E uae = a,..., () t () l ( r) () l ( r) n E u a E = a E uae = a R. ( l ) ( r ) ( ) ( ), l r n n n n n n n n, Burada R, R de E de boş olmayan ve ters olmayan br kelmeye br ters oluşturarak elde edlen yen bağıntı olsun. Daha da açığı a, E a n yerne ( r ) yazılsın. P br grup takdm olarak G y tanımlar. Dğer taraftan tersler çermez ve br yarıgrup takdmdr. Bundan başka Önerme 5. de verlen formdadır ve bu yüzden bu yarıgrup grup tanımlar, G ye de zomorfk olmak zorundadır. Eğer başlangıçtak grup takdm E = bağıntısını çermyorsa ( E yukarıdak gbyse) br bağıntı ve br doğuray ekleyerek dönüşüm yapablrz. Önerme 5.5 P= a, a,..., an R, br G grubunu tanımlayan, defcency s negatf olmayan br grup takdm olsun. O zaman G, γ = a, a,..., an, bq gb br yarıgrup takdmne sahptr öyle k def( γ ) = def( P) ve b= a a... a n n dr. 3

30 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ İspat: P takdmne, b doğurayını ve aa a ab= bağıntısını ekleyerek yen br... n n grup takdm elde ederz. Dkkat edlrse {,,...,, } a a a b kümes G çn br yarıgrup doğuray kümesdr. Bu yen takdmn G y tanımladığı ve Önerme 5.4 ün şartlarını sağladığı açıkça görülür. Şmd Önerme 5.4 ü kullanarak γ yarıgrup takdmn bulmalıyız. Dkkat edlrse her sonlu G grubunun defcency s negatf değldr ve G çn her grup doğuray kümes aynı zamanda yarıgrup doğuray kümesdr. Ama grup takdm AR olan G grubunun, aynı doğuray kümel ve aynı defcency l yarıgrup takdmn dama bulup bulamayacağımızı blmyoruz. Esasında G çn doğuray kümes A, AR gb aynı defcency l takdm olan ve Önerme 5.4 te tanımlanan formlarla E = bağıntısını çeren br grup takdmnn olup olmadığını blmyoruz. n 5..Mnmal Takdmler m ndexl, r peryodlu sonlu br M monodnn monod takdm aa m+ r m = a olarak tanımlanablr. Bu yüzden M,,,,..., m r aa a + elemanlarından oluşur ve eleman sayısı m+ r dr. brm, a nın herhang br kuvvetne eşt değldr. Bu bölümde varsayalım k monogenc monodn ndsler ve peryodları poztf tamsayılar olsun. Bu yüzden her monogenc monodde brm sol ve sağ tersnr olan tek elemandır. Önerme 5.. M ve M,brmlernden başka sol ve sağ tersnr olan elemanları bulunmayan k monod olsun. Eğer M M drek çarpımının br takdm AR se o takdrde her br =, çn A tanımlar. ( =,) A ve R R vardır öyle k A R, M y 4

31 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ İspat: M M M =, T = M { } ve T { } = M olsun. Dahası I = M T ( =,) olsun. M, kend brmnden farklı sol ve sağ tersnr elemanı çermedğnden I, S nn br dealdr. Bundan dolayı [Campbell, Mtchell and Ruskuc, 00], Lemma.4 dak gb eğer A = T I A ve R RI A A olarak alırsak A R * * = ( ), T y ve dahası M y tanımlar. ( =,) Dkkat edlrse eğer M, defm( M) = m olan br monod ve eğer M {}, M nn br deal ( alt yarıgrubu ) se o takdrde yukarıda gösterldğ gb M nn AR şeklnde br monod takdm vardır öyle k R A = m ve M de ( ε, r) ve ( r, ε ) formunda bağıntı yoktur. M = a a = a ( n) ayrık monogenc monodlern br ales m+ r m olsun. M M... M n =, T { }... { } M { }... { } I = M T olarak = ve tanımlansın. Açıkça görülür k T M dr ve I, M nn br dealdr. Bu yüzden M nn her doğuray kümes {(,,..., ),, (,,..., ),...,(,...,, n )} a a a kümesn çermes gerektğn öyle k bu küme aynı zamanda M nn br doğuray kümes ve rank( M) = nolduğunu göstermek kolaydır. Burada { rank( M) = mn A : AM, nn br doğuray kümes } dr. Teorem 5.. M = a a = a m, r ve ( n) olmak üzere monogenc m+ r m monodler olsun. Eğer M = M... M n se o takdrde defm ( M) = nn ( )/ dr. 5

32 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ İspat: İlk olarak n üzernden tümevarımla def ( M) nn ( )/ olduğunu gösterelm. n = çn sonuç açıktır. N = M... M n çn defm ( N) ( n )( n )/ M varsayalım. O zaman M y N M drek çarpımı olarak düşünürsek n M = a a = a mn+ rn mn n n n n dr. T { } = N alalım. T, N ye zomorfk olan br altyarıgruptur. AR, M nn verlen br takdm olsun. O zaman w ( A {}) a + ve w = ε olmak üzere w = w, w= a ve w = formunda bağıntıların olmadığını varsayalım. ( Aks halde defcency arttırmadan gereksz bağıntıları veya doğurayları eleyeblrz.) Önerme 5.. n spatındak gb ; * * A = T I A, A = Tn I A, R = RI ( A A ), R = RI ( A A ) * * kümelern elde edeblrz öyle k A R ve A R sırasıyla T ve T n monodlern tanımlar hatta N ve M n de tanımlar. A3 A A A = ( ) olsun. Dkkat edlrse AU A, M y doğurduğu çn tüm bu doğuraylar (eğer varsa) lüzumsuzdur. Bu yüzden her c A çn, 3 wc ( AU A ) + vardır öyle k M de c = wc bağıntısı sağlanır. Bu nedenle * A dak kelmelerden oluşan; c α α α w... k c sonlu br serye sahp oluruz. Burada α +, α den R kümesnden br bağıntı kullanılarak elde edlmştr. α den α y elde etmek çn r = formunda bağıntı olmadığı çn c = r formunda br bağıntıyı uygulamalıyız. Şmd 6

33 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ { c c } R = RI(( A A ) U( A A )) = (, cw ) RU R : c A, w A olarak alalım Burada R {(, sr):(, rs) R} = dr. wc A olduğu çn R 3 3 A3 ü elde ederz. Sonuç olarak ; sırasıyla T ve a A ve T n n elemanlarını temsl eden herhang b A çn M de sağlanan ba = ab bağıntısını düşünelm. * A dak kelmelerden oluşan; ba β β β ab... l br sonlu dzs vardır. Burada β +, β den R kümesnden br bağıntı kullanılarak elde edlmştr. (, rs) R çn hem r hem de 3 s, A 3 den br doğurayı çerdğ çn br β j ( j ), A 3 dek br doğurayı çerene kadar R tek bağıntıları uygulanamaz. 3 Daha da fazlası RU R dek bağıntıların ba veya A + A + dek herhang br kelmeye uygulaması dama A + A + nn br kelmesn verr. r A + A + fakat s A + A + olmak üzere r = s şeklnde br bağıntıya sahp olmak zorundayız. O zaman ; 4 = {(, ) : + + R rs RUR r AA fakat s A + A + } olarak alınır. Dkkat edlrse R4 A A n dr. T tüm R ler kşer kşer ayrık olduğu ve açıkça tüm A lernde kşer kşer ayrık olmasından dolayı; U U 4 3 R A R A = ( ( R A ) + R = = = 3 4 ( n )( n ) nn ( ) ( n ) = dr. Ayrıca ; 7

34 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ m+ r m = a ( na = a ( n), aa = aa ( < j n) j j M y tanımladığı çn dda edldğ gb def ( M) = nn ( )/ olmak zorundadır. M 5.. Drek Çarpımlarda Etknlk Aşağıdak Lemma [Squer, 987] de tanımlanan Squer resoluton un br sonucudur. Lemma 5.. S br monod (yarıgrup) olsun ve AR de S nn br takdm olsun. Eğer G, AR gb br grup takdm le tanımlıysa ve G, G nn türetlmş alt grubu se o takdrde H( S) = H( G) = GG dr. [Guba, Prde, 998] sayfa 395 de belrtldğ gb S ve T gb k monodnn br drek çarpımının homolojs çn Künneth ( Künneth formülü çn bak. [Hlton and Stammbach, 997], TheoremVI.5. ) formülünden; H ( S T) = H ( S) H ( T) ( H ( S) H ( T)) () Dkkat edlrse üsttek formülün sonlu monodler çn de doğru olduğu Squer resoluton önermesn kullanarak gösterleblr. Yukarıdak formül brmler olmayan k yarıgrubunun br drek çarpımı çn elde edlemez. (bak. [Ayık, Campbell, O connor, Ruskuc (000a)] ) C r, r elemanlı devrsel grubu temsl etsn. O zaman açıkça görülür k br r perodlu M monod çn H( M) = C ve H( M) = Cr dr. Şmd ndex m ve perodu r ( n) olan M monogenc monodlern düşünelm. Daha sonra n üzernde tümevarım kullanarak H( M... M n ) y bulalım. r ve s gb herhang k tamsayının en büyük ortak bölen (, rs ) le gösterlsn. n = çn, () den ve Lemma 5.. den ; 8

35 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ H ( M M ) = Cr Cr = C r r ve (, ) H( M M) = Cr Cr dr. N = M... M n çn varsayalım k olsun. H ( N) = C... C C... C ( r, r) ( r, rn ) ( r, r3) ( rn, rn ) = j ( n ) C ( r, rj) M = M... M n olsun. Lemma 5.. den n H( N) = C = r olduğu çn, () den; n H ( M) = H ( N) H ( M ) (( C ) C ) n r rn = n = C ( ( C C )) ( r, rj) r rn j ( n ) = n, = C ( C ) = C ( r, rj) ( r, rn) ( r, rj) j ( n ) = j n ve dolayısıyla rank( H( M)) = rank( H( M... Mn )) nn ( )/ dr. Eğer bazı r ve r j çn ( r, r j) = se o takdrde rank( H( M)) nn ( )/ dr. Dahası eğer ( r, r, r 3) = veya denk olarak (( r, r),( r, r 3)) = dersek o zaman C C C dr öyle k rank( H( M)) nn ( )/ dr. Yne n üzernde ( r, r) ( r, r3) ( r, r)( r, r3) tümevarımdan eğer ( r, r,..., r n ) = se o zaman rank( H( M)) nn ( )/ dr. Fakat eğer ( r, r,..., rn ) = d > se o takdrde C d her br C ( r, r ) nn br alt grubu j olduğu çn,, H ( ) M nn br alt grubudur ve C j n d rank( H ( M)) = nn ( )/ dr. Bu yüzden Teorem 5... den faydalanarak aşağıdak sonuçları elde ederz: 9

36 5. MONOGENİC MONOİDLERİN DİREK ÇARPIMLARININ ETKİNLİĞİ Teorem 5.. m ndexl ve r perodlu ( n) M ( m, r ) monogenc monodlernn drek çarpımı etkndr ancak ve ancak perodlarının en büyük ortak bölen değlse yan ( r, r,..., r n ) > se. Sonuç 5..3 M ndex m ve perodu r olan br monogenc monod olsun.o zaman herhang br n çn M nn n kopyasının drek çarpımı etkndr. 30

37 KAYNAKLAR AYIK, H., 998. Presentatons and effcency of semgroups. Ph.D. Thess, Unversty of St. Andrews. AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 999. The Semgroup Effcency of drect powers of Groups. Semgroups,Braga, World Sc. Publshng, Rver Edge, NJ, 000., 9-5s. AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 000a. Mnmal Presentatons and Effcency of Semgroups. Semgroup Forum, 60,No., 3-4s. AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 000b. The Semgroup Effcency of Groups and Monods. Math. Proc. R. Ir. Acad., 00A, No., 7-76s. AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 000c. On the effcency of fnte smple semgroups. Turksh Journal of Mathematcs, 4, No., 9-46s. AYIK, H., CAMPBELL, C.M., O CONNOR, J.J., RUSKUC, N., 000d. On the effcency of wreath products of fnte groups. Groups- Korea `98 (Pusan), de Gruyter, Berln, 39-5s. AYIK, H., MINISKER, M. and VATANSEVER, B., 005. Mnmal Presentatons and Embeddng nto Ineffcent Semgroups. Algebra Colloquum,, 59-65s. BAIK, Y.G., and PRIDE, S.J., 997. On the effcency of Coxeter Groups. Bull. London Mat. Soc. 9,No, 3-36s. BEETHAM, M.J., 97. A set of generators and relatons for the group PSL(, q), q odd. J. London Math. Soc.,, s. BROOKES, M.J., CAMPBELL, C.M., and ROBERTSON, E.F., 995. Effcency and drect products of groups. Proc.Groups-Korea 94 (Pusan), de Gruyter, Berln, 5-33s. 3

38 BROOKES, M.J., 995. On the effcency of fnte groups. PhD Thess, Unversty of St.Andrews. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., and WILLIAMS, P.D., 990. Effcent presentatons of the groups PSL(,p) PSL(,p), p prme. J. London Math. Soc., () 4: 69-77s. CAMPBELL, C.M. and ROBERTSON, E.F., 980. A defcency zero presentaton for SL(,p) Bull. London Math. Soc., : 7-0s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., and THOMAS, R.M., 993a. On a class of semgroups wth symmetrc presentatons. Semgroup Forum, 46: s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., and THOMAS, R.M., 993b. Semgroup presentatons and number sequences. Appl. Of Fbonacc Numbers, 5: 77-83s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., and THOMAS, R.M., 994. Fbonacc Semgroups. Journal of Pure and Appl. Algebra, 94: 49-57s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., RUSKUC, N., and THOMAS, R.M., 995a. On semgroups defned by Coxeter type presentatons. Proceedngs of the Royal Soc. of Ednburgh, 5: s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., RUSKUC, N., and THOMAS, R.M. 995b. Redemester-Schreer type rewrtng for semgroups. Semgroup Forum, 5: 47-6s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., RUSKUC, N., and THOMAS, R.M.,995c. Rewrtng for semgroup presentaton. Internatonal Journal of Algebra and Computaton, 5, (): 8-03s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., RUSKUC, N., and THOMAS, R.M., 996. On subsemgroups of fntely presented semgroups. Journal of Algebra, 80: -s. CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., RUSKUC, N., and THOMAS, R.M. and Unlu, Y., 995. Certan one relator products of semgroups. Communcatons n Algebra, 3, (4): s. 3

39 CAMPBELL, C.M., ROBERTSON, E.F., and WILLIAMS, P.D., 997. Effcent presentatons for drect powers of mperfect groups. Algebra Colloq., 4., No, -7s. CAMPBELL, C.M., MIYAMOTO, I., ROBERTSON, E.F., and WILLIAMS, P.D., 997. The effcency of PSL(,p) 3 and other drect products of groups. Glasgow Math. J.,39, No3, 59-68s. CAMPBELL, C.M., MITCHELL and RUSKUC, N., 00. Comparng semgroup and monod presentatons for fnte monods. Monatsh. Math. 34, 87-93s. GUBA V.S and PRIDE S.J., 998. On the left and rght cohomologcal dmenson of monods. Bull. London Math. Soc. 30, s. HILTON P.J. and STAMMBACH U., 997. A Course n Homologcal Algebra. Graduate Texts n Mathematcs, Sprnger-Verlag, 4, New York. HOWIE, J.M., and RUSKUC, N., 994. Constructons and presentatons for monods. Communcatons n Algebra, (5): s. HOWIE, J.M., 995. Fundamentals of Semgroup Theory. Clarendon Press. JAMALI, A., 996. On the effcency of some wreath products of groups. Bull. Iranan Math. Soc., : 3-4s. JOHNSON, D.L., 990. Presentatons of Groups. London Math. Soc. Student Texts,5, Cambrdge Unversty Press. KOVACS, L. G., 995. Fnte groups wth trval multplcator and large defcency. Proceedngs Groups-Korea 994, eds. A.C. Km and D.L. Johnson, Walter de Gruyter, -5s. MACDONALD, I.D., 968. The Theory of Groups. Oxford Unversty Press,Oxford. NEUMANN, B.H., 967. Some remarks on semgroup presentatons. Canad. J. Math., 9: 08-06s. ROBERTSON, E.F., 98. Effcency of fnte smple groups and ther coverng groups. Fnte groups comng of age. Montreal, Que, 87-94s. 33

40 ROBERTSON, E.F., and UNLU, Y., 99. On semgroup presentatons. Proc. of Ednburgh Soc., 36: 55-68s. ROBERTSON, E.F., THOMAS, R.M. and WOTHERSPOON, C.I., 995. A class of neffcent groups wth symmetrc presentaton. İn Km, A.C. and Johnson, D.L.(eds). Groups-Korea 94. Walter de Gruyter & Co., Berln, New York, 76-84s. ROTMAN, J.J., 979. An Introducton to Homologcal Algebra. Academc Press, New York, San Franssco, London. RUSKUC, N., 995a. Matrx semgroups-generators and relatons. Semgroup Forum, 5: s. RUSKUC, N., 995b. Semgroup Presentatons. Ph. D. Thess, Unversty of St. Andrews. SCHUR, I., 907. Untersuchungen über de Darstellung der endlchen Gruppen durch gebrochene lneare Substtutonen. J. Rene Angew. Math.,3: 85-37s. SQUIER C., 987. Word problems and a homologcal fnteness condton for monods. J. Pure Apl. Algebra, 49,0-7s. SUNDAY J. G., 97. Presentatons of the groups PSL(,m) and SL(,m). Canadan Journal of Mathematcs, 4, 9 3s. SWAN, R.G., 965. Mnmal resolutons for fnte groups. Topology 4, 93-08s. ZASSENHAUS, H. J., 969. A presentaton of groups PSL(,p) wth three defnng relatons. Canadan Journal of Mathematcs,, 30 3s. 34

41 ÖZGEÇMİŞ 979 yılında Adana da doğdum. İlk, orta ve lse eğtmm Adana da tamamladıktan sonra 996 yılında Çukurova Ünverstes Fen Edebyat Fakültes Matematk Bölümünü kazandım. 000 yılında mezun olduktan sonra Eylül ayında Ç.Ü. Matematk Bölümünde yüksek lsans eğtmne başladım fakat bu öğretmme belrl nedenlerden dolayı devam edemedm. 005 yılında öğrenc affı le tekrar yüksek lsans eğtmme devam ettm. 006 yılından bu yana Sambeyl Fath Sultan Mehmet İlköğretm okulunda Matematk Öğretmen olarak görev yapmaktayım. 35