Matematik Dünyas n n geçen say s nda

Transkript

1 Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünyas n n geçen say s nda (MD-2003-IV, safya 21) ilk n tek say - n n toplam n n n 2 oldu u tümevar m yöntemiyle kan tlanmaktayd. Tümevar m yöntemiyle yap lan kan tlar, o yaz da da belirtildi i gibi, oldukça mekanik bir nitelik tafl r. Kan t geçerlidir hiç flüphesiz, ancak kan tlad m z önermenin nereden ç kt n, neden do ru oldu unu pek anlayamadan tümevar mla beklenen sonuca ulafl r z. Baz ders kitaplar n n sonunda okura kolayl k olsun diye kitab n içindeki al flt rmalar n sonuçlar verilir ama çözümleri verilmez. Çözüm okura b rak l r. Tümevar m yöntemini kulland m zda ço u kez buna benzer bir durumla karfl karfl ya kal r z. Elimizdeki örne i kullanarak ayn problemi iki farkl biçimde ifade edelim: Birinci Soru (2n 1) = n 2 eflitli ini kan tlay n z. kinci Soru (2n 1) kaçt r? Birinci soruyla karfl laflan deneyimli okur hemen tümevar m yöntemine baflvurur ve istenilen kan t çok da zorlanmadan elde eder. Çünkü toplam n sonucu verilmifltir. Sadece ikinci soru verilmiflse ve okur da yan t n n 2 oldu unu bilmiyorsa, tümevar m yöntemi ilk baflta hiçbir flekilde ifline yaramaz. Biri onun kula na n 2 yi bir dene diye f s ldarsa ne âlâ! Ama o zaman da ikinci soru art k birinci soruya dönüflmüfl olur. kinci soruyla karfl - laflan kifli birinden veya bir yerden böyle bir yard m alamazsa ifli oldukça zordur. Daha sonra geri dönmek üzere bu sonlu toplam bir kenara b rak p baflka ve daha yal n bir sonlu toplama bakal m. lk n say n n toplam n bulmaya çal flal m. Bununla ilgili hofl bir hikâye de var. Bundan iki yüz yirmi y l kadar önce s n f n n gürültü yapmas - na k zan bir ö retmen ceza olarak ö rencilerinden 1 den 100 e kadar bütün say lar toplamalar n ister. Düflünün, 1 den bafllay p 100 e kadar tüm say - lar tek tek toplayacaks n z! Dokuz on yafl ndaki ö renciler bu a r cezay yerine getirmek için oflaya * Sabanc Üniversitesi ö retim üyesi. puflaya çal flmaya bafllarlar. S n f art k sessizdir ve ö retmen de memnundur. Ama k sa bir süre sonra ö retmen bir ö rencinin hiçbir fley yapmadan oturdu unu görür. Ö retmen neden ödevini yapmaya çal flmad n sorup çocu u tembellikle suçlar ve adamak ll azarlar. O ana kadar sessiz duran çocuk ise ödevi çoktan tamamlad n söyler. Ad Carl Friedrich Gauss olan bu çocuk 1 den 100 e kadar bütün say lar s rayla yaz p toplamak yerine flöyle düflünmüfl olabilir: Birinci say olan 1 le sonuncu say olan 100 ün toplam 101 dir. kinciyle sondan ikinciyi, üçüncüyle sondan üçüncüyü toplarsak da hep 101 elde ederiz. Yani 1 den 100 e kadar olan say lar bu flekilde efllefltirirerek, Carl Friedrich Gauss, biraz daha büyüdüğünde = = =... = = 101 elde ederiz. Bu efllefltirmede tam elli çift vard r ve böylece sonuç = 5050 olur. Bir baflka deyiflle küçük Gauss, say lar teker teker toplamak yerine ikifler ikifler gruplayarak toplam flt r. Bunu flöyle de gösterebiliriz: Gauss flöyle de düflünmüfl olabilirdi: x = olsun. Bu toplam tersten yazal m: x = Bu iki ifadeyi altalta yaz p toplarsak, 2x = buluruz, çünkü altalta gelen say lar n toplam 101 dir. Yukarda tam 100 tane 101 vard r. Dolay s yla, 2x = ve x = = flte kan t n bir resmi:

2 Demek Gauss un ileride çok ünlü bir matematikçi olaca n n daha o yafllarda belli olmufl! Biz ise, k ssadan hisse olarak iyi matematikçi biraz tembeldir diyebiliriz. Asl nda, matematikçi hammall sevmez demek daha do ru ve fl k olurdu. Bu ak l yürütme tarz n genellefltirelim. 1 den herhangi bir say ya kadar olan say lar n toplam n hesaplayal m. n, herhangi bir say olsun (n 1) + n toplam n bulmak istiyoruz. Bu toplama x diyelim: x = (n 1) + n Ayn toplam bir de tersten yazal m: x = n + (n 1) Ve gene bu iki ifadeyi altalta yaz p toplayal m. Altalta gelen say lar n toplam n + 1 etti inden, 2x = (n + 1) + (n + 1) (n + 1) buluruz. Burada n tane (n + 1) oldu undan, 2x = n(n + 1); buradan da x = n(n + 1)/2 elde ederiz. Art k, genel olarak, 1 den herhangi bir n say - s na kadar olan tüm say lar n toplam için bir fomülümüz var: n = n(n + 1)/2. Buna Gauss formülü ad n verelim. stersek flimdi bir de tümevar m yöntemine baflvurup bu formülün ayr bir kan t n da verebiliriz. Biz bunu yapmak yerine Gauss formülüyle biraz oynayal m. lkin her iki taraf da 2 yle çarpal m: n = n(n + 1) = n 2 + n. Böylece ilk n çift say n n toplam n bir ç rp da bulmufl olduk. fiimdi ilk n tek say n n toplam n hesaplayal m. lk n tek say n n toplam na T(n) diyelim: T(n) = (2n 1). Bir yandan, yukardaki hesaptan dolay, n + T(n) = n 2 + n + T(n); öte yandan, n + T(n) = = 1 den 2n ye kadar olan say lar n toplam = 2n için Gauss formülü = 2n(2n + 1)/2 = n(2n + 1) = 2n 2 + n. Demek ki n 2 + n + T(n) = 2n 2 + n. Bu denklemi çözersek, T(n) = n 2 buluruz. stedi imizi bulduk: (2n 1) = n 2. Buraya kadar iflimiz oldukça kolayd. Gelin biraz daha h rsl olal m ve 1 den herhangi bir n say s na kadar olan bütün say lar n karelerini toplayal m, yani n 2 için bir formül bulal m. Ama neden sadece kareleri toplamaya çal flal m ki? Kendimizi k s tlamayal m, bafllam flken sadece ikinci kuvvetleri alaca m za daha genel olarak, 1 k + 2 k + 3 k + 4 k n k toplam n hesaplamaya çal flal m. k = 0 ise, yan t n dir elbette. k = 1 iken yan t yukarda bulduk, ama k = 2 halinde bile Gauss un ak l yürütme tarz n n bizi bir yere götürmeyece ini görebiliriz. Kimse de kula m za sonucu f s ldam yor. Toplam bilmedi imizden tümevar m yöntemiyle ifle giriflemiyoruz. Bu toplam t k (n) ile gösterelim: t k (n) = 1 k + 2 k + 3 k + 4 k n k. Acaba bu ifade nas l bir fley? Bunun n nin bir fonksiyonu oldu u kesin, örne in, t 0 (n) = n, t 1 (n) = n 2 /2 + n/2, ama n nin nas l bir fonksiyonu oldu unu bilmiyoruz. Bu bilmedi imiz fonksiyonun neye benzedi ini görebilsek belki biraz ilerleme kaydederiz. fiimdi, yaz n n bu aflamas nda okurun pek anlam veremeyebilece i bir fley yapal m. Matematikte ilk bak flta anlam verilemeyen bu tür fleylere yarat c l k denir. Yarat c l m z, yukardaki toplam sondan bafla do ru yazmaktan ibaret! n k + (n 1) k + (n 2) k (n (n 1)) k = t k (n) Biraz düflünelim flimdi... Genel terim (n j) k ve toplam m z bu sefer j üzerinden, j = 0 dan j = n 1 e kadar (n j) k terimlerini topluyoruz... Ayr ca, toplam n ald m z (n j) k terimlerinin say s tam tam na n ye eflit. (n j) k terimini binom teoreminin yard m yla açarsak, elde ederiz. Bu ifadede j, 0 dan n 1 e kadar de iflse de, j yi bir sabit olarak düflünürsek, arad m z toplamdaki her (n j) k teriminin n nin k-inci dereceden bir polinomu oldu unu görürüz. Toplam - m zda n tane böyle polinom oldu u da aflikâr. Demek ki toplamda n tane n k y toplayaca z. n n k = n k+1 oldu una göre, t k (n) ile gösterdi imiz fonksiyonun n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomu oldu u yönünde bir tahmin yürütebiliriz. Hemen bir özel hale, Gauss formülüne bakal m. Burada k = 1 ve toplam t 1 (n) = n/2 + n 2 /2, tahmin etti imiz üzere (k+1)-inci, yani ikinci dereceden bir polinom. k = 0 oldu unda da t 1 (n) = n ve 69

3 bu durumda da (k+1)-inci, yani birinci dereceden bir polinom. Bu özel haller tahminimizin do rulu- u konusundaki düflüncenizi güçlendiriyor. O halde gelin gözümüzü karart p genelde, t k (n) = a k+1 n k+1 + a k n k a 1 n + a 0 eflitli ini varsayal m. Bu varsay m n do ru oldu unu kan tlasak bile iflimiz bitmiyor. Hâlâ bu polinomun a 0, a 1,..., a k, a k+1 katsay lar n hesaplamam z gerekecek. Bu katsay lardan da tam k + 2 tane var! fiöyle bir strateji düflünelim: Henüz bilemedi imiz bir yöntemle bu ifadedeki katsay lar, yani a k+1, a k,..., a 1, a 0, say lar n bulsak o zaman tümevar m yöntemini kullan r ve tabii herfleyi do ru yapt ysak arad m z sonuca (daha do rusu kan - ta) ulafl r z. Bu stratejiyi benimseyip yola ç kal m. Afla daki karede olas bir çözüm yolu bulacaks n z. Ama biz daha güzelini yapmak istiyoruz. E er t k (n) = a k+1 n k+1 + a k n k a 1 n + a 0 eflitli i do ruysa, n ye 1 den k+2 ye kadar de erler vererek, a k+1 1 k+1 + a k 1 k a a 0 = 1 k a k+1 2 k+1 + a k 2 k a a 0 = 1 k + 2 k... a k+1 (k+2) k+1 + a k (k+2) k a 1 (k+2) + a 0 = 1 k (k+2) k gibi k+2 tane lineer denklem elde ederiz ve flansl bir günümüzdeysek bu sistemi çözüp a 0, a 1,..., a k, a k+1 bilinmeyenlerini buluruz. k = 1, 2, 3 için neyse de, daha büyük k ler için bu yöntem çok zaman ve enerji alaca gibi, pek estetik de say lmaz. Birinci Deneme. t k (n+1) t k (n) polinomunun derecesinin k oldu unu görmek zor de il. fiimdi ifadesine bakal m. Kolayca görülece i üzere, Burada, üç noktayla gösterilen her terimin paydas nda, sonuncu terimde oldu u gibi, n nin pozitif bir kuvveti var. Dolay s yla n sonsuza giderken bu terimlerin herbirinin limiti s f ra eflittir. Dolay s yla, Öte yandan, t k (n + 1) t k (n) = (n + 1) k ; demek ki, 70 Son iki sonuçtan (k+1)a k+1 = 1 ç kar, ve buradan da a k+1 katsay s n buluruz: Böylece ilk katsay m z hesaplam fl olduk. S ra di erlerinde... Gauss formülüyle karfl laflt rd m zda, bu özel halde, do ru sonucu buluyoruz. Bu da do ru yolda oldu umuza dair bir baflka ipucudur. Ama daha çok iflimiz var, daha a k, a k 1,..., a 0 katsay lar bulunacak. E er biraz soluklan p düflünürsek genel bir yöntem buldu umuzu anlayabiliriz. Gerçekten de t k (n) a k+1 n k+1 = a k n k a 1 n + a 0 eflitli inden, t k (n) a k+1 n k+1 polinomunun derecesinin k oldu unu hemen görürüz. fiimdi, nas l biraz önce (k+1)-inci dereceden bir polinom olan t k nin baflkatsay s olan a k+1 i bulmuflsak, ayn yöntemle t k (n) a k+1 n k+1 polinomunun baflkatsay s olan a k yi de bulabiliriz. Önsav. E er p(x) = a k+1 X k a 0 herhangi bir (k + 1)-inci dereceden polinomsa, o zaman, Kan t: Aynen yukardaki gibi. Önsav t k (n) a k+1 n k+1 polinomuna uygulayal m: ifadesine ulafl r z. Eflitli in solundaki limiti hesaplay p bu sefer de a k katsay s n bulaca z. Bu limiti hesaplamak için t k (n+1) t k (n) = (n+1) k eflitli i elbette gerekecek. Ayr ca a k+1 = 1/(k+1) eflitli i de gerekecek, ama a k+1 in de erini yerine koymak için acele etmemize gerek yok, bunu sona da saklayabiliriz. Sonra, baz sadelefltirmeler olmal, paydaki n k+1 ve n k terimleri kaybolmal, ki limit sonlu bir say olsun. Ç kacak sonucu n k 1 e bölüp limit alaca m z akl m zda bulundurursak, iflimiz daha da k sal r: paydaki n k+1 ve n k terimleri sadelefltirince (1/2)kn k elde ederiz (ayr nt lar afla daki gri karede). Üç noktayla gösterilen terimler n k 1 e bölününce herbirinin paydas nda n nin pozitif bir kuvveti kalacakt r. Demek ki her bir böyle terimin limiti s f r olacakt r. Dolay s yla bu terimleri tek tek

4 hesaplamam z gerekmiyor. Sonuçta limit k/2 ç kar. Bunu yukardaki önsava uygulayacak olursak, a k = 1/2 buluruz. kinci katsay y da bulduk. Çok ilginç, bu katsay k dan ba ms z... il, iki sonsuzdan birine giderdi. Ayr ca, n nin i 1 den küçük güçlerini t k,i (n+1) t k,i (n) teriminde hesaplamaya gerek yok, çünkü n i 1 e bölünüp limit al nd nda bunlar s f ra gidecekler. Demek ki t k,i (n+1) t k,i (n) teriminde sadece n nin (i 1)-inci güçlerini hesaplamal y z. t k,i polinomunu bildi imizden (formülü hemen yukarda) bunu yapabiliriz. Yapal m: t k (n+1) t k (n) = (n+1) k oldu undan, bu terimde n i 1 in katsay s dir. Bunu akl m zda tutup geri kalan terimlerdeki n i 1 in katsay s n hesaplayal m. Bir sonraki terim olan a k+1 (n+1) k+1 a k+1 n k+1 teriminin n i 1 in katsay s na katk s, kadard r. Bir sonraki terim olan a k (n+1) k a k n k teriminin n i 1 in katsay s na katk s, Bundan sonraki katsay y da gene ayn yöntemle önsav m z kullanarak hesaplayabiliriz. Sonuna kadar gidelim mi? Belki içinde limit olmayan güzel bir formül buluruz. Diyelim yukardaki yöntemle a k+1 a k,..., a i+1 katsay lar n hesaplad k ve s ra bir sonraki katsay olan a i yi hesaplamaya geldi. Biraz önce yapt m z gibi t k (n) a k+1 n k+1 a k n k... a i+1 n i+1 polinomuna, yani i-inci dereceden olan a i n i + a i 1 n i a 0 polinomuna bakaca z ve yukardaki önsav kullanarak baflkatsay olan a i yi bulaca z. Bu polinoma bir ad verelim, ad t k,i (n) olsun. Demek ki, t k,i (n) = t k (n) a k+1 n k+1 a k n k... a i+1 n i+1 = a i n i + a i 1 n i a 0. Önsavdan dolay, biliyoruz ki, Eflitli in solundaki limiti hesaplay p a i yi bulaca z. Bunun için, t k,i (n) = t k (n) a k+1 n k+1 a k n k... a i+1 n i+1 tan m n kullanaca z. Biliyoruz ki, n nin i den büyükeflit güçleri payda olan t k,i (n+1) t k,i (n) teriminde sadeleflecek, yoksa limit sonlu bir say ya de- kadard r. Bunu böylece devam ettirebiliriz. Genel olarak, j = k+1, k,..., i+1 ise, a k (n+1) k a k n k teriminin n i 1 in katsay s na katk s, kadard r. Demek ki (*) formülünün solundaki limit, yukarda teker teker buldu umuz katsay lar n toplam, yani, d r, daha t k fl k bir halde yazacak olursak, d r. Dolay s yla, (*) formülü bize, i = 1,..., k için, formülünü verir. Buradan da a i (i = 1,..., k) için tümevar msal bir formül bulunur. a k+1 i zaten biliyorduk. Geriye bir tek a 0 kal r. Di erlerini biliyorsak onu da bulmak kolay: 1 = 1 k = t k (1) = a k+1 1 k+1 + a k 1 k a a 0 = a k+1 + a k a 1 + a 0 oldu undan, a 0 = 1 a k+1 a k... a 1 dir. 71

5 Ama bütün bunlar bir varsay m alt nda, o varsay m da t k (n) fonksiyonunun n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomu oldu udur. Bunu daha bilmiyoruz. Bulduklar m z gene de bir yazal m. Teorem 1. E er t k (n) = 1 k + 2 k n k olarak tan mlanan t k fonksiyonu n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomuysa ve t k (n) yi t k (n) = a k+1 n k+1 + a k n k a 1 n + a 0 olarak yazarsak, o zaman, dir ve her i = 1,..., k için, a i katsay s, formülü taraf ndan, a 0 katsay s ise a 0 = 1 a k+1 a k... a 1 formülü taraf ndan verilir. fiimdi j = 0 dan bafllayarak j = n 1 de erine kadar toplarsak, Gezintimizde bir an dural m ve somuta dönüp birkaç n için t k (n) yi tam olarak bulal m. denklemini elde ederiz. Bu denklemi t k için çözelim. denklemine ulaflt k. k say s tek ise t k (n) ( 1) k t k (n 1) = 2t k (n) n k oldu undan, Tabii bütün bunlar hâlâ daha t k (n) fonksiyonunun n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomu oldu u varsay m alt nda do ru. kinci Deneme. Gelifltirdi imiz bu yöntemi ilk bafla dönerek biraz daha irdeleyelim. fle (n j) k ifadesini açarak bafllayal m: denklemini, bundan da denklemini buluruz. Bu ifade bize, k say s n n tek say olmas halinde, t k toplam n t 1, t 2,..., t k 1 toplamlar cinsinden bulmam z sa lar. E er t k toplam n n (k+1)-inci dereceden bir denklem oldu u do ruysa... 72

6 Ancak, varsay m m z do ru bile olsa, k çift bir say ysa bu denklemden bir kazanç sa layamay z, çünkü k çift oldu unda sol taraftaki t k lar sadeleflirler ve ac gerçek etrafta t k filan kalmaz. Üçüncü Deneme. Vard m z ç kmazdan geri dönüp, teoremimizi bulurken kulland m z baflka bir yolu deneyelim. k > 0 olsun. Gene binom aç l m - n kullanarak bulunan flu denkleme bir göz atal m: Sol taraf i = 1 den i = n ye kadar toplarsak, toplama ç karma yöntemiyle (2 k+1 1 k+1 ) + (3 k+1 2 k+1 ) ((n+1) k+1 n k+1 ) = (n+1) k+1 1 elde ederiz. Sa taraf da ayn flekilde toplayal m. Teorem 2. Her k ve n için toplam n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomuna eflittir. Bu teoremle bafltaki genel varsay m m z kan tlam fl olduk. Dolay s yla ilk teoremimiz varsay ms z da do ru. Ayr ca t k (n) polinomunun katsay lar hesaplama yöntemini de elde ettik. Buldu umuz en genel sonucu yazal m. Teorem. k 0 ve n > 0 birer do al say olsun. t k (n) = 1 k + 2 k n k olarak tan mlans n. olsun ve her i = 1,..., k için, elde ederiz. Bunu t k (n) için çözersek, olsun. Ayr ca, a 0 = 1 a k+1 a k... a 1 olsun. O zaman, t k (n) = a k+1 n k+1 + a k n k a 1 n + a 0 dir. Ayr ca t k (n) toplam, t 0 (n), t 1 (n),..., t k 1 (n) toplamlar cinsinden flöyle ifade edilir: denklemine var r z. Bu toplam, m yerine k+1 m alarak daha güzel bir biçimde yazal m: Dahas, e er k tek bir say ysa, o zaman, Böylece her t k (n) toplam n t 0, t 1,..., t k 1 toplamlar cinsinden ifade etmeyi baflard k. Bu denklemi kullanarak k üzerinden tümevar m yöntemiyle flu teoremi ispat edebiliriz art k. dir. Do rusu güzel bir gezinti oldu. 73