Matematik Dünyas n n geçen say s nda
|
|
- Batur Soysal
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Say lar n Güçlerini Toplamak Tosun Terzio lu* tosun@sabanciuniv.edu.tr Matematik Dünyas n n geçen say s nda (MD-2003-IV, safya 21) ilk n tek say - n n toplam n n n 2 oldu u tümevar m yöntemiyle kan tlanmaktayd. Tümevar m yöntemiyle yap lan kan tlar, o yaz da da belirtildi i gibi, oldukça mekanik bir nitelik tafl r. Kan t geçerlidir hiç flüphesiz, ancak kan tlad m z önermenin nereden ç kt n, neden do ru oldu unu pek anlayamadan tümevar mla beklenen sonuca ulafl r z. Baz ders kitaplar n n sonunda okura kolayl k olsun diye kitab n içindeki al flt rmalar n sonuçlar verilir ama çözümleri verilmez. Çözüm okura b rak l r. Tümevar m yöntemini kulland m zda ço u kez buna benzer bir durumla karfl karfl ya kal r z. Elimizdeki örne i kullanarak ayn problemi iki farkl biçimde ifade edelim: Birinci Soru (2n 1) = n 2 eflitli ini kan tlay n z. kinci Soru (2n 1) kaçt r? Birinci soruyla karfl laflan deneyimli okur hemen tümevar m yöntemine baflvurur ve istenilen kan t çok da zorlanmadan elde eder. Çünkü toplam n sonucu verilmifltir. Sadece ikinci soru verilmiflse ve okur da yan t n n 2 oldu unu bilmiyorsa, tümevar m yöntemi ilk baflta hiçbir flekilde ifline yaramaz. Biri onun kula na n 2 yi bir dene diye f s ldarsa ne âlâ! Ama o zaman da ikinci soru art k birinci soruya dönüflmüfl olur. kinci soruyla karfl - laflan kifli birinden veya bir yerden böyle bir yard m alamazsa ifli oldukça zordur. Daha sonra geri dönmek üzere bu sonlu toplam bir kenara b rak p baflka ve daha yal n bir sonlu toplama bakal m. lk n say n n toplam n bulmaya çal flal m. Bununla ilgili hofl bir hikâye de var. Bundan iki yüz yirmi y l kadar önce s n f n n gürültü yapmas - na k zan bir ö retmen ceza olarak ö rencilerinden 1 den 100 e kadar bütün say lar toplamalar n ister. Düflünün, 1 den bafllay p 100 e kadar tüm say - lar tek tek toplayacaks n z! Dokuz on yafl ndaki ö renciler bu a r cezay yerine getirmek için oflaya * Sabanc Üniversitesi ö retim üyesi. puflaya çal flmaya bafllarlar. S n f art k sessizdir ve ö retmen de memnundur. Ama k sa bir süre sonra ö retmen bir ö rencinin hiçbir fley yapmadan oturdu unu görür. Ö retmen neden ödevini yapmaya çal flmad n sorup çocu u tembellikle suçlar ve adamak ll azarlar. O ana kadar sessiz duran çocuk ise ödevi çoktan tamamlad n söyler. Ad Carl Friedrich Gauss olan bu çocuk 1 den 100 e kadar bütün say lar s rayla yaz p toplamak yerine flöyle düflünmüfl olabilir: Birinci say olan 1 le sonuncu say olan 100 ün toplam 101 dir. kinciyle sondan ikinciyi, üçüncüyle sondan üçüncüyü toplarsak da hep 101 elde ederiz. Yani 1 den 100 e kadar olan say lar bu flekilde efllefltirirerek, Carl Friedrich Gauss, biraz daha büyüdüğünde = = =... = = 101 elde ederiz. Bu efllefltirmede tam elli çift vard r ve böylece sonuç = 5050 olur. Bir baflka deyiflle küçük Gauss, say lar teker teker toplamak yerine ikifler ikifler gruplayarak toplam flt r. Bunu flöyle de gösterebiliriz: Gauss flöyle de düflünmüfl olabilirdi: x = olsun. Bu toplam tersten yazal m: x = Bu iki ifadeyi altalta yaz p toplarsak, 2x = buluruz, çünkü altalta gelen say lar n toplam 101 dir. Yukarda tam 100 tane 101 vard r. Dolay s yla, 2x = ve x = = flte kan t n bir resmi:
2 Demek Gauss un ileride çok ünlü bir matematikçi olaca n n daha o yafllarda belli olmufl! Biz ise, k ssadan hisse olarak iyi matematikçi biraz tembeldir diyebiliriz. Asl nda, matematikçi hammall sevmez demek daha do ru ve fl k olurdu. Bu ak l yürütme tarz n genellefltirelim. 1 den herhangi bir say ya kadar olan say lar n toplam n hesaplayal m. n, herhangi bir say olsun (n 1) + n toplam n bulmak istiyoruz. Bu toplama x diyelim: x = (n 1) + n Ayn toplam bir de tersten yazal m: x = n + (n 1) Ve gene bu iki ifadeyi altalta yaz p toplayal m. Altalta gelen say lar n toplam n + 1 etti inden, 2x = (n + 1) + (n + 1) (n + 1) buluruz. Burada n tane (n + 1) oldu undan, 2x = n(n + 1); buradan da x = n(n + 1)/2 elde ederiz. Art k, genel olarak, 1 den herhangi bir n say - s na kadar olan tüm say lar n toplam için bir fomülümüz var: n = n(n + 1)/2. Buna Gauss formülü ad n verelim. stersek flimdi bir de tümevar m yöntemine baflvurup bu formülün ayr bir kan t n da verebiliriz. Biz bunu yapmak yerine Gauss formülüyle biraz oynayal m. lkin her iki taraf da 2 yle çarpal m: n = n(n + 1) = n 2 + n. Böylece ilk n çift say n n toplam n bir ç rp da bulmufl olduk. fiimdi ilk n tek say n n toplam n hesaplayal m. lk n tek say n n toplam na T(n) diyelim: T(n) = (2n 1). Bir yandan, yukardaki hesaptan dolay, n + T(n) = n 2 + n + T(n); öte yandan, n + T(n) = = 1 den 2n ye kadar olan say lar n toplam = 2n için Gauss formülü = 2n(2n + 1)/2 = n(2n + 1) = 2n 2 + n. Demek ki n 2 + n + T(n) = 2n 2 + n. Bu denklemi çözersek, T(n) = n 2 buluruz. stedi imizi bulduk: (2n 1) = n 2. Buraya kadar iflimiz oldukça kolayd. Gelin biraz daha h rsl olal m ve 1 den herhangi bir n say s na kadar olan bütün say lar n karelerini toplayal m, yani n 2 için bir formül bulal m. Ama neden sadece kareleri toplamaya çal flal m ki? Kendimizi k s tlamayal m, bafllam flken sadece ikinci kuvvetleri alaca m za daha genel olarak, 1 k + 2 k + 3 k + 4 k n k toplam n hesaplamaya çal flal m. k = 0 ise, yan t n dir elbette. k = 1 iken yan t yukarda bulduk, ama k = 2 halinde bile Gauss un ak l yürütme tarz n n bizi bir yere götürmeyece ini görebiliriz. Kimse de kula m za sonucu f s ldam yor. Toplam bilmedi imizden tümevar m yöntemiyle ifle giriflemiyoruz. Bu toplam t k (n) ile gösterelim: t k (n) = 1 k + 2 k + 3 k + 4 k n k. Acaba bu ifade nas l bir fley? Bunun n nin bir fonksiyonu oldu u kesin, örne in, t 0 (n) = n, t 1 (n) = n 2 /2 + n/2, ama n nin nas l bir fonksiyonu oldu unu bilmiyoruz. Bu bilmedi imiz fonksiyonun neye benzedi ini görebilsek belki biraz ilerleme kaydederiz. fiimdi, yaz n n bu aflamas nda okurun pek anlam veremeyebilece i bir fley yapal m. Matematikte ilk bak flta anlam verilemeyen bu tür fleylere yarat c l k denir. Yarat c l m z, yukardaki toplam sondan bafla do ru yazmaktan ibaret! n k + (n 1) k + (n 2) k (n (n 1)) k = t k (n) Biraz düflünelim flimdi... Genel terim (n j) k ve toplam m z bu sefer j üzerinden, j = 0 dan j = n 1 e kadar (n j) k terimlerini topluyoruz... Ayr ca, toplam n ald m z (n j) k terimlerinin say s tam tam na n ye eflit. (n j) k terimini binom teoreminin yard m yla açarsak, elde ederiz. Bu ifadede j, 0 dan n 1 e kadar de iflse de, j yi bir sabit olarak düflünürsek, arad m z toplamdaki her (n j) k teriminin n nin k-inci dereceden bir polinomu oldu unu görürüz. Toplam - m zda n tane böyle polinom oldu u da aflikâr. Demek ki toplamda n tane n k y toplayaca z. n n k = n k+1 oldu una göre, t k (n) ile gösterdi imiz fonksiyonun n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomu oldu u yönünde bir tahmin yürütebiliriz. Hemen bir özel hale, Gauss formülüne bakal m. Burada k = 1 ve toplam t 1 (n) = n/2 + n 2 /2, tahmin etti imiz üzere (k+1)-inci, yani ikinci dereceden bir polinom. k = 0 oldu unda da t 1 (n) = n ve 69
3 bu durumda da (k+1)-inci, yani birinci dereceden bir polinom. Bu özel haller tahminimizin do rulu- u konusundaki düflüncenizi güçlendiriyor. O halde gelin gözümüzü karart p genelde, t k (n) = a k+1 n k+1 + a k n k a 1 n + a 0 eflitli ini varsayal m. Bu varsay m n do ru oldu unu kan tlasak bile iflimiz bitmiyor. Hâlâ bu polinomun a 0, a 1,..., a k, a k+1 katsay lar n hesaplamam z gerekecek. Bu katsay lardan da tam k + 2 tane var! fiöyle bir strateji düflünelim: Henüz bilemedi imiz bir yöntemle bu ifadedeki katsay lar, yani a k+1, a k,..., a 1, a 0, say lar n bulsak o zaman tümevar m yöntemini kullan r ve tabii herfleyi do ru yapt ysak arad m z sonuca (daha do rusu kan - ta) ulafl r z. Bu stratejiyi benimseyip yola ç kal m. Afla daki karede olas bir çözüm yolu bulacaks n z. Ama biz daha güzelini yapmak istiyoruz. E er t k (n) = a k+1 n k+1 + a k n k a 1 n + a 0 eflitli i do ruysa, n ye 1 den k+2 ye kadar de erler vererek, a k+1 1 k+1 + a k 1 k a a 0 = 1 k a k+1 2 k+1 + a k 2 k a a 0 = 1 k + 2 k... a k+1 (k+2) k+1 + a k (k+2) k a 1 (k+2) + a 0 = 1 k (k+2) k gibi k+2 tane lineer denklem elde ederiz ve flansl bir günümüzdeysek bu sistemi çözüp a 0, a 1,..., a k, a k+1 bilinmeyenlerini buluruz. k = 1, 2, 3 için neyse de, daha büyük k ler için bu yöntem çok zaman ve enerji alaca gibi, pek estetik de say lmaz. Birinci Deneme. t k (n+1) t k (n) polinomunun derecesinin k oldu unu görmek zor de il. fiimdi ifadesine bakal m. Kolayca görülece i üzere, Burada, üç noktayla gösterilen her terimin paydas nda, sonuncu terimde oldu u gibi, n nin pozitif bir kuvveti var. Dolay s yla n sonsuza giderken bu terimlerin herbirinin limiti s f ra eflittir. Dolay s yla, Öte yandan, t k (n + 1) t k (n) = (n + 1) k ; demek ki, 70 Son iki sonuçtan (k+1)a k+1 = 1 ç kar, ve buradan da a k+1 katsay s n buluruz: Böylece ilk katsay m z hesaplam fl olduk. S ra di erlerinde... Gauss formülüyle karfl laflt rd m zda, bu özel halde, do ru sonucu buluyoruz. Bu da do ru yolda oldu umuza dair bir baflka ipucudur. Ama daha çok iflimiz var, daha a k, a k 1,..., a 0 katsay lar bulunacak. E er biraz soluklan p düflünürsek genel bir yöntem buldu umuzu anlayabiliriz. Gerçekten de t k (n) a k+1 n k+1 = a k n k a 1 n + a 0 eflitli inden, t k (n) a k+1 n k+1 polinomunun derecesinin k oldu unu hemen görürüz. fiimdi, nas l biraz önce (k+1)-inci dereceden bir polinom olan t k nin baflkatsay s olan a k+1 i bulmuflsak, ayn yöntemle t k (n) a k+1 n k+1 polinomunun baflkatsay s olan a k yi de bulabiliriz. Önsav. E er p(x) = a k+1 X k a 0 herhangi bir (k + 1)-inci dereceden polinomsa, o zaman, Kan t: Aynen yukardaki gibi. Önsav t k (n) a k+1 n k+1 polinomuna uygulayal m: ifadesine ulafl r z. Eflitli in solundaki limiti hesaplay p bu sefer de a k katsay s n bulaca z. Bu limiti hesaplamak için t k (n+1) t k (n) = (n+1) k eflitli i elbette gerekecek. Ayr ca a k+1 = 1/(k+1) eflitli i de gerekecek, ama a k+1 in de erini yerine koymak için acele etmemize gerek yok, bunu sona da saklayabiliriz. Sonra, baz sadelefltirmeler olmal, paydaki n k+1 ve n k terimleri kaybolmal, ki limit sonlu bir say olsun. Ç kacak sonucu n k 1 e bölüp limit alaca m z akl m zda bulundurursak, iflimiz daha da k sal r: paydaki n k+1 ve n k terimleri sadelefltirince (1/2)kn k elde ederiz (ayr nt lar afla daki gri karede). Üç noktayla gösterilen terimler n k 1 e bölününce herbirinin paydas nda n nin pozitif bir kuvveti kalacakt r. Demek ki her bir böyle terimin limiti s f r olacakt r. Dolay s yla bu terimleri tek tek
4 hesaplamam z gerekmiyor. Sonuçta limit k/2 ç kar. Bunu yukardaki önsava uygulayacak olursak, a k = 1/2 buluruz. kinci katsay y da bulduk. Çok ilginç, bu katsay k dan ba ms z... il, iki sonsuzdan birine giderdi. Ayr ca, n nin i 1 den küçük güçlerini t k,i (n+1) t k,i (n) teriminde hesaplamaya gerek yok, çünkü n i 1 e bölünüp limit al nd nda bunlar s f ra gidecekler. Demek ki t k,i (n+1) t k,i (n) teriminde sadece n nin (i 1)-inci güçlerini hesaplamal y z. t k,i polinomunu bildi imizden (formülü hemen yukarda) bunu yapabiliriz. Yapal m: t k (n+1) t k (n) = (n+1) k oldu undan, bu terimde n i 1 in katsay s dir. Bunu akl m zda tutup geri kalan terimlerdeki n i 1 in katsay s n hesaplayal m. Bir sonraki terim olan a k+1 (n+1) k+1 a k+1 n k+1 teriminin n i 1 in katsay s na katk s, kadard r. Bir sonraki terim olan a k (n+1) k a k n k teriminin n i 1 in katsay s na katk s, Bundan sonraki katsay y da gene ayn yöntemle önsav m z kullanarak hesaplayabiliriz. Sonuna kadar gidelim mi? Belki içinde limit olmayan güzel bir formül buluruz. Diyelim yukardaki yöntemle a k+1 a k,..., a i+1 katsay lar n hesaplad k ve s ra bir sonraki katsay olan a i yi hesaplamaya geldi. Biraz önce yapt m z gibi t k (n) a k+1 n k+1 a k n k... a i+1 n i+1 polinomuna, yani i-inci dereceden olan a i n i + a i 1 n i a 0 polinomuna bakaca z ve yukardaki önsav kullanarak baflkatsay olan a i yi bulaca z. Bu polinoma bir ad verelim, ad t k,i (n) olsun. Demek ki, t k,i (n) = t k (n) a k+1 n k+1 a k n k... a i+1 n i+1 = a i n i + a i 1 n i a 0. Önsavdan dolay, biliyoruz ki, Eflitli in solundaki limiti hesaplay p a i yi bulaca z. Bunun için, t k,i (n) = t k (n) a k+1 n k+1 a k n k... a i+1 n i+1 tan m n kullanaca z. Biliyoruz ki, n nin i den büyükeflit güçleri payda olan t k,i (n+1) t k,i (n) teriminde sadeleflecek, yoksa limit sonlu bir say ya de- kadard r. Bunu böylece devam ettirebiliriz. Genel olarak, j = k+1, k,..., i+1 ise, a k (n+1) k a k n k teriminin n i 1 in katsay s na katk s, kadard r. Demek ki (*) formülünün solundaki limit, yukarda teker teker buldu umuz katsay lar n toplam, yani, d r, daha t k fl k bir halde yazacak olursak, d r. Dolay s yla, (*) formülü bize, i = 1,..., k için, formülünü verir. Buradan da a i (i = 1,..., k) için tümevar msal bir formül bulunur. a k+1 i zaten biliyorduk. Geriye bir tek a 0 kal r. Di erlerini biliyorsak onu da bulmak kolay: 1 = 1 k = t k (1) = a k+1 1 k+1 + a k 1 k a a 0 = a k+1 + a k a 1 + a 0 oldu undan, a 0 = 1 a k+1 a k... a 1 dir. 71
5 Ama bütün bunlar bir varsay m alt nda, o varsay m da t k (n) fonksiyonunun n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomu oldu udur. Bunu daha bilmiyoruz. Bulduklar m z gene de bir yazal m. Teorem 1. E er t k (n) = 1 k + 2 k n k olarak tan mlanan t k fonksiyonu n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomuysa ve t k (n) yi t k (n) = a k+1 n k+1 + a k n k a 1 n + a 0 olarak yazarsak, o zaman, dir ve her i = 1,..., k için, a i katsay s, formülü taraf ndan, a 0 katsay s ise a 0 = 1 a k+1 a k... a 1 formülü taraf ndan verilir. fiimdi j = 0 dan bafllayarak j = n 1 de erine kadar toplarsak, Gezintimizde bir an dural m ve somuta dönüp birkaç n için t k (n) yi tam olarak bulal m. denklemini elde ederiz. Bu denklemi t k için çözelim. denklemine ulaflt k. k say s tek ise t k (n) ( 1) k t k (n 1) = 2t k (n) n k oldu undan, Tabii bütün bunlar hâlâ daha t k (n) fonksiyonunun n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomu oldu u varsay m alt nda do ru. kinci Deneme. Gelifltirdi imiz bu yöntemi ilk bafla dönerek biraz daha irdeleyelim. fle (n j) k ifadesini açarak bafllayal m: denklemini, bundan da denklemini buluruz. Bu ifade bize, k say s n n tek say olmas halinde, t k toplam n t 1, t 2,..., t k 1 toplamlar cinsinden bulmam z sa lar. E er t k toplam n n (k+1)-inci dereceden bir denklem oldu u do ruysa... 72
6 Ancak, varsay m m z do ru bile olsa, k çift bir say ysa bu denklemden bir kazanç sa layamay z, çünkü k çift oldu unda sol taraftaki t k lar sadeleflirler ve ac gerçek etrafta t k filan kalmaz. Üçüncü Deneme. Vard m z ç kmazdan geri dönüp, teoremimizi bulurken kulland m z baflka bir yolu deneyelim. k > 0 olsun. Gene binom aç l m - n kullanarak bulunan flu denkleme bir göz atal m: Sol taraf i = 1 den i = n ye kadar toplarsak, toplama ç karma yöntemiyle (2 k+1 1 k+1 ) + (3 k+1 2 k+1 ) ((n+1) k+1 n k+1 ) = (n+1) k+1 1 elde ederiz. Sa taraf da ayn flekilde toplayal m. Teorem 2. Her k ve n için toplam n nin (k+1)-inci dereceden bir polinomuna eflittir. Bu teoremle bafltaki genel varsay m m z kan tlam fl olduk. Dolay s yla ilk teoremimiz varsay ms z da do ru. Ayr ca t k (n) polinomunun katsay lar hesaplama yöntemini de elde ettik. Buldu umuz en genel sonucu yazal m. Teorem. k 0 ve n > 0 birer do al say olsun. t k (n) = 1 k + 2 k n k olarak tan mlans n. olsun ve her i = 1,..., k için, elde ederiz. Bunu t k (n) için çözersek, olsun. Ayr ca, a 0 = 1 a k+1 a k... a 1 olsun. O zaman, t k (n) = a k+1 n k+1 + a k n k a 1 n + a 0 dir. Ayr ca t k (n) toplam, t 0 (n), t 1 (n),..., t k 1 (n) toplamlar cinsinden flöyle ifade edilir: denklemine var r z. Bu toplam, m yerine k+1 m alarak daha güzel bir biçimde yazal m: Dahas, e er k tek bir say ysa, o zaman, Böylece her t k (n) toplam n t 0, t 1,..., t k 1 toplamlar cinsinden ifade etmeyi baflard k. Bu denklemi kullanarak k üzerinden tümevar m yöntemiyle flu teoremi ispat edebiliriz art k. dir. Do rusu güzel bir gezinti oldu. 73
Ard fl k Say lar n Toplam
Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara
Detaylı256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.
Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,
DetaylıBu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
DetaylıO + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80
Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar
Detaylıyaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
DetaylıOyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.
Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve
DetaylıBir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu
Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,
DetaylıBu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
DetaylıBir yaz mda, kimbilir hangisinde,
Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5
DetaylıBir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu
Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...
DetaylıBir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
DetaylıDo al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
DetaylıOlas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
Detaylıiçinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa
Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak
DetaylıBu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
DetaylıTopolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji
Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.
DetaylıYeniflemeyen Zarlar B:
Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,
DetaylıOlas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.
Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl
DetaylıHer noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem
Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam
DetaylıBu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç
Diziler, Polinomlar, Güçlerin Toplam, Asallar vs Tosun Terzio lu* / tosun@sabanciuniv.edu.tr Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç birbirinden ba ms z sonuçlar kan tlayaca z. I. Diziler. Bir
DetaylıBir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl
Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt
DetaylıGeçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi
25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce
DetaylıBir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians
Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians kiye bölünerek üreyen tekhücreliler vard r. Tekhücreli ve tekcinsiyetlidirler galiba. Lisede ö renmifltim. Unutmuflum. Kimseye gereksinmeden ikiye bölünerek
DetaylıÖnsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}
Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
DetaylıYüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar
Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,
DetaylıYoksulun Kazanabildi i Bir Oyun
Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
DetaylıBu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.
Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.
DetaylıBir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli
Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt
DetaylıRastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir
Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras
DetaylıYan t Bilinmeyen Bir Soru
Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do
DetaylıÇocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin
Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu
Detaylı1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl
1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice
DetaylıBu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
DetaylıSevdi im Birkaç Soru
Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.
DetaylıOyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin
Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan
DetaylıYak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y
9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.
DetaylıEski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla
Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DetaylıBir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne
Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.
DetaylıBu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.
5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu
DetaylıDördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini
DetaylıOkurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya
23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir
DetaylıÜst Üçgensel Matrisler
Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer
DetaylıEn az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan
Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i
DetaylıBu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan
fiapka Problemi Bu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan yaratm fl. Hatta Amerika n n en sayg de er gazetelerinden biri olarak kabul edilen The New York Times ta uzun bir yaz ya konu olmufl.
DetaylıSaymak San ld Kadar Kolay De ildir
Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan
DetaylıHemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir
Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
DetaylıAfin ve zdüflümsel Düzlemler
Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç
DetaylıBu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
DetaylıDo al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler
Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant
DetaylıGerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik
Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir
DetaylıBirkaç Oyun Daha Birinci Oyun.
Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt
Detaylı22. Zorn Önsav na Girifl
22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns
Detaylı14. Ordinallerde Çarpma fllemi
14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç
Detaylı4. yis ralamalar Hissetmek
4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü
DetaylıBu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir
20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand
DetaylıGeçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k
8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte
Detaylıyis ralamalar Hissetmek
Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.
DetaylıTANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,
MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,
DetaylıXherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir
53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir
DetaylıBir oteliniz var. Otelinizin sonsuz say da odas var. Her odan n
Sonsuz Odal Otel 1 Bir oteliniz var Otelinizin sonsuz say da odas var Her odan n bir numaras var: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Böylece sonsuza kadar gidiyor En sonuncu oda yok Sonsuz numaral oda da yok Her odan n
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
DetaylıÜnlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,
Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2
DetaylıÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m. Basit Kesirler
. ÜN TE KES RLERDEN ALANLARA. Kesirleri Tan yal m Basit Kesirler. Afla daki flekillerde boyal k s mlar gösteren kesirleri örnekteki gibi yaz n z. tane............. Afla daki flekillerin belirtilen kesir
DetaylıBu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
DetaylıGeçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)
3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d
DetaylıZARLARLA OYNAYALIM. Önden = = + = Arkadan = = + + = = + + =
ZARLARLA OYNAYALIM Zar kullanarak toplama ve ç karma ifllemleri yapabiliriz. Zarda karfl l kl iki yüzdeki say lar n toplam daima 7 dir. Zarda 2 gözüküyorsa karfl s ndaki yüzeyin 7 2 = 5 oldu unu bulabilirsiniz.
DetaylıBİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM
ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.
DetaylıMatemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s -
15. Gerçel Say larda S ralama Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - ralamay nas l tan mlayabilece imizi tart flaca z önce. Do al ve basit gibi görünen tan m denemelerinin zorluklar
DetaylıSonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu
30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman
DetaylıBir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl
48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir
DetaylıKES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.
KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya
DetaylıKesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte
11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli
DetaylıYalanc n n Hakk ndan Gelmek!
Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! A c d r söylemesi, bunca ülke gördüm, bunca insan tan d m, ülkemde gördü üm kadar çok yalanc y hiçbir yerde görmedim. Do u ya az gittim, ama Bat da gitmedi im yer kalmad desem
DetaylıFermat Ne Biliyordu? (I)
Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan
Detaylı14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.74- Kalkınma Politikasının Temelleri Bahar 2009 Ders materyallerini alıntılamak için bilgi almak ya da Kullanım Koşulları nı öğrenmek için lütfen aşağıdaki siteyi
DetaylıDünya satranç flampiyonu Kasparov la bir el satranç oynayacak olsan z, yüzde yüz yenilece inizi önceden kestirebilirsiniz. Kasparov a karfl hemen
Pokerin Matemati i S atrançta bir oyuncunun bilip de öbür oyuncunun bilmedi i bilgi yoktur. Bu tür oyunlara aç k oyun diyelim, bilgiler aç k, ortada anlam na. Tavlada da bir oyuncunun bildi ini öbür oyuncu
DetaylıBiraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say
Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu
DetaylıBu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.
21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak
DetaylıUZUNLUKLARI ÖLÇEL M. Çubuk yedi birim. Oysa flimdi 5 birim görülüyor. 7-5 = 2 boyanacak. Çubuk kareli kâ tta = 7 görülmektedir.
UZUNLUKLARI ÖLÇEL M Burada bir çubuk üzerine ay c n resmi konmufltur. Çubuk kayd r ld kça çubuklar n boyu eksik kal yor. Eksik k sm boyayarak tamamlay n z. Her kareyi bir birim kabul ediniz. 3 Çubuk kareli
DetaylıDo al Say lar. Do al Say larla Toplama fllemi. Do al Say larla Ç karma fllemi. Do al Say larla Çarpma fllemi. Do al Say larla Bölme fllemi.
MATEMAT K la Toplama fllemi la Ç karma fllemi la Çarpma fllemi la Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama ve Ç karma fllemi Ondal k Kesirler Temel Kaynak 4 DO AL SAYILAR Ay, bugün çok yoruldum. Yüz yirmi
DetaylıHiç K salmadan K salan Yol
Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
DetaylıBahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-
Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru
DetaylıBundan sonra, alttan ikinci s ran n en sa ndaki çubu u so-
Matematikçi Hilesi M atematik bölümünün tam karfl s na yeni bir lokanta aç lm fl. Bana kal rsa kötü bir yer seçilmifl. Kaç kifli gider ki o lokantaya? Bizim bölümden baflka bir tek bina yok çevrede. Yak
DetaylıPokerin Matemati i Ali Nesin* /
Kapak Konusu: Sayma Pokerin Matemati i Ali Nesin* / anesin@bilgi.edu.tr Bu yaz da pokeri bahane ederek sayman n temellerini ele alaca z. Poker, en fazla dört oyuncuyla ve yediliden asa 3 iskambil kâ d
DetaylıMATEMAT K. Hacmi Ölçme
Hacmi Ölçme MATEMAT K HACM ÖLÇME Yandaki yap n n hacmini birim küp cinsinden bulal m. Yap 5 s radan oluflmufltur. Her s ras nda 3 x 2 = 6 birim küp vard r. 5 s rada; 5 x 6 = 30 birim küp olur. Bu yap n
Detaylı11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ
11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na
Detaylı11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 4. KONU AĞIRLIK MERKEZİ - KÜTLE MERKEZİ ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ
11. SINIF KNU ANLATIMLI 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 4. KNU AĞIRLIK MERKEZİ - KÜTLE MERKEZİ ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ 2 2. Ünite 4. Konu 3. A rl k Merkezi - Kütle Merkezi A nn Çözümleri su 1. BM fiekil I fiekil
DetaylıTafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin /
Tafl Eksiltme Oyunlar Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr Birinci Oyun. Oyunumuz en az iki kifli aras nda oynan yor. Ne iskambil kâ d na ne kalem kâ- da ne de bir tahtaya gereksinim var bu oyunu oynamak için.
Detaylıfonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
DetaylıSeks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan
Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit
DetaylıMatematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d
Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,
DetaylıKümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand
9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad
DetaylıL K Ö R E T M. temel1 kaynak MUTLU. Matematik Türkçe Hayat Bilgisi
temel1 kaynak MUTLU Matematik Türkçe Hayat Bilgisi L K Ö R E T M Muhsin ÇET N Ayfle ÇET N Kitab n Ad : Temel Kaynak Kitab 1 Yazar : Muhsin ÇET N - Ayfle ÇET N Her hakk sakl d r. Mutlu Yay nc l k a aittir.
DetaylıEkip Yönetimi çin Araçlar 85. Ekip olarak karfl laflt m z en büyük meydan okuma: Ekip olarak en büyük gücümüz:
Yorumlar: Ekip olarak karfl laflt m z en büyük meydan okuma: Ekip olarak en büyük gücümüz: Ekibin yapt n görmekten en çok hoflland m fley: Ekip Yönetimi çin Araçlar 85 EK P K ML DE ERLEND RMES Ekibinizin
Detaylı