İkinci Türevi Preinveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli İntegral Eşitsizlikleri

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İkinci Türevi Preinveks Olan Fonksiyonlar İçin Hermite-Hadamard Tipli İntegral Eşitsizlikleri"

Ufuk Müjde
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 İkinci Türevi Preinveks Oln Fonksiyonlr İçin Hermite-Hdmrd Tili İntegrl Eşitsizlikleri İmdt İŞCAN*, Selim NUMAN*, Kerim BEKAR* *Giresun Üniversitesi, Fen Edeiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Giresun, TÜRKİYE Sorumlu yzr: Özet Bu mklede, Hermite-Hdmrd tili eşitsizliklerin sğ trfı ile ilgili zı thminleri ikinci türevlerinin mutlk değerleri reinveks oln fonksiyonlr C koşulu ltınd genişlettik. Anhtr Kelimeler: Hermite-Hdmrd Eşitsizliği, İnveks küme, C koşulu, Preinveks fonksiyonlr. Hermite-Hdmrd Tye Integrl Ineulities For Functions Whose Second Derivtive Are Preinvex Astrct In this er, we extend some estimtes of the right hnd side of Hermite-Hdmrd tye ineulity under the condition C for functions whose second derivtives solute vlues re reinvex. Keywords: Hermite-Hdmrd s ineulity, invex set, Condition C, Preinvex functions. Krdeniz Fen Bilimleri Dergisi / The Blck Se Journl of Science ISSN: İlkhr / Sring Yıl / Yer: Cilt / Volume: Syı / Numer: 6 Syf/Pge -8

2 Giriş,,, I, ve f : I konveks ir fonksiyon ise f ( ) f ( ) f () eşitsizliği Litertürde Hermite-Hdmrd eşitsizliği olrk ilinir. Bu eşitsizliğin son yıllrd irçok genelleştirilmesi yılmıştır, önek olrk (Alomri ve rk., ; Drgomir ve rk.,998; Drgomir ve rk., ) ve onlrın kynklrı verileilir. Aşğıdki Lemm ikinci merteeden türevleneilir fonsiyonlr istlndı (Drgomir ve rk., ): Lemm. f : I, I ( I nın içi) üzerinde ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon,, I, olmk üzere f,, üzerinde integrlleneilir ise, f ( ) f ( ) t t f ( t t) dt, eşitliği sğlnır. () Lemm i kullnrk (Hussin ve rk., 9) de s-konvex fonksiyonlr şğıdki Hermite-Hdmrd tili eşitsizliği istldı: Teorem. f : I, I üzerinde ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon, olmk üzere f,,, I, üzerinde integrlleneilir olsun. Eğer sit ir s, ve f s-konveks ise olmk üzere f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). () s s.6 Uyrı. ) () eşitsizliğinde s= lınırs f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (4) ) () eşitsizliğinde s=ve = lınırs

3 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (5) Mteryl ve Metotlr Bu mklede, giriş kısmınd hsedilen (4) ve (5) numrlı eşitsizlikler C koşulu ltınd reinveks fonksiyonlr elde edildi. Şimdi Sonuçlr ve Trtışm kısmınd kullnıln zı tnımlrı verelim. Tnım. n K ve : K K sürekli fonksiyon olsun. Eğer x, y K ve t, x t ( y, x) K ise K y y göre inveks ir küme denir Her konveks kümenin ( y, x) y x fonksiyonun göre invex olduğu çıktır. Fkt unun tersi genelde doğru değildir, yni konveks olmyn inveks kümeler mevcuttur (Antczk, 5). Preinveks fonksiyonlr ilk kez Weir ve Mond trfındn şğıdki şekilde tnımlndı: Tnım. n K inveks ir küme, f : x, y K ve t, K sürekli ir fonksiyon olsun. Eğer f x t ( y, x) ( t) tf ( y) eşitsizliği sğlnıyors f ye y göre reinveks fonksiyon denir. (Weir ve rk., 998). Her konveks fonksiyon ( y, x) y x fonksiyonun göre reinveks fonksiyondur, nck unun tersi genelde doğru değildir. fonksiyonu üzerine şğıdki koşul Mohn ve Neogy trfındn konulmuştur (Mohn ve rk., 995). C Koşulu: t, n K, : K K y göre inveks ir küme olsun. x, y K ve y, y t ( x, y) t ( x, y) x, y t ( x, y) t ( x, y) C koşulundn x, y K ve t, t, y t ( x, y), y t( x, y) t t ( x, y). (6)

4 Noor (Noor, 7) reinveks fonksiyonlr şğıdki Hermite-Hdmrd eşitsizliğini istldı: Teorem. f :, (, ),,, K, (, ), K deki reel syılrın ir rlığı üzerinde reinveks fonsiyon olsun. Bu tktirde şğıdki eşitsizlik sğlnır: (, ) (, ) f ( ) f ( (, )) f ( ) f ( ) f (, ). Sonuçlr ve Trtışm Lemm. K, : K K y göre inveks ve çık ir küme,, K, (, ), f : K ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon ve f,, (, ) rlığınd integrlleneilir ise şğıdki eşitlik sğlnır: f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) t( t) f t (, ) dt İst., K ve K, : K K y göre inveks olduğundn t, t (, ) K dır. İst Lemm ile ynı olu, (7) eşitliğinin sğ trfındki integrle iki kez kısmi integrsyon uygulndığınd eşitlik kolyc görülür. (7) Teorem. K, : K K y göre inveks ve çık ir küme,, K, (, ), f : K ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon, f, rlığınd integrlleneilir olsun. f,, (, ), (, ) üzerinde reinveks ve : K K fonksiyonu C koşulunu sğlıyors şğıdki eşitsizlik sğlnır.

5 4 (, ) f f (, ) f ( ) f (, ) (, ) (, ) (8) İst. : K K fonksiyonunun C koşulunu sğlmsı durumund (6) eşitliği kullnılrk; (, ) (, ) ( ) (, (, )) (, ) ( ) f t f t t f t f (9) elde edilir. Bu eşitsizlik (7) eşitliği ve f nin reinveksliği kullnılırs, f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) t( t) f t (, ) dt (, ) (, ) t( t) ( t) f t f (, ) dt (, ) f f (, ) t ( t) dt (, ) f f elde edilir ve öylece ist tmmlnır. Uyrı..) (8) eşitsizliğinde (, ) lınırs (5) eşitsizliği elde edilir..) (8) eşitsizliğinde f nin reinveksliği kullnılırs (, ) f f olduğundn (8) eşitsizliğinden ynı zmnd (, ) f f f ( ) f (, ) (, ) (, ) () eşitsizliği elde edilir. c.) Teorem de, : K K fonksiyonu üzerine C koşulu konulmdığı tktirde, f nin reinveksliği kullnılrk enzer ist yöntemiyle yine () eşitsizliği elde edilir.

6 5 Teorem 4. K, : K K y göre inveks ve çık ir küme,, K, (, ), f : K ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon, f,, (, ) rlığınd integrlleneilir ve olsun. f,, (, ) üzerinde reinveks ve : K K fonksiyonu C koşulunu sğlıyors şğıdki eşitsizlik sğlnır. f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) f f () İst. (7) eşitliği, f (9) eşitsizliği, f nin reinveksliği ve Hölder eşitsizliği kullnılırs, olmk üzere f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) t( t) f t (, ) dt (, ) t( t) dt t( t) ( t) f t f t (, ) dt (, ) f f t (, ) t ( t) dt.6 (, ).6 (, ) f f t (, ) (, ) f f t elde edilir ve öylece ist tmmlnır.

7 6 Uyrı..) () eşitsizliğinde (, ) lınırs (4) eşitsizliği elde edilir..) () eşitsizliğinde f nin reinveksliği kullnılırs (, ) f f olduğundn () eşitsizliğinden ynı zmnd f ( ) f (, ) (, ) (, ) f f eşitsizliği elde edilir. (, ) () c.) Teorem 4 de, : K K fonksiyonu üzerine C koşulu konulmdığı tktirde, f nin reinveksliği kullnılrk enzer ist yöntemiyle yine () eşitsizliği elde edilir. Teorem 5. K, : K K y göre inveks ve çık ir küme,, K, (, ), f : K ikinci merteeden türevleneilir ir fonksiyon, f,, (, ) rlığınd integrlleneilir ve olsun. f,, (, ) üzerinde reinveks ve : K K fonksiyonu C koşulunu sğlıyors şğıdki eşitsizlik sğlnır. f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) f f (, ) 8 ( ) () İst. (7) eşitliği, f (9) eşitsizliği, f nin reinveksliği ve Hölder eşitsizliği kullnılırs, olmk üzere

8 7 f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) t( t) f t (, ) dt (, ) t ( t) dt ( t) f t f (, ) dt (, ) ( ) f f (, ) tdt ( ) (, ) ( ) f f (, ) ( ) (, ) (, ) f f 8 elde edilir. Burd ve ( ) ( t t ) dt ( ) u ( ) e u Gmm fonksiyonudur. Böylece ist tmmlnır. Uyrı..) () eşitsizliğinde f nin reinveksliği kullnılırs du (, ) f f olduğundn () eşitsizliğinden ynı zmnd

9 8 f ( ) f (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) f f 8 ( ) eşitsizliği elde edilir. (4).) Teorem 5 de, : K K fonksiyonu üzerine C koşulu konulmdığı tktirde, f nin reinveksliği kullnılrk enzer ist yöntemiyle yine (4) eşitsizliği elde edilir. Kynklr Alomri, M, Drus, M., ve Drgomir, S.S.,. New ineulities of Hermite-Hdmrd s tye for functions whose second derivtives solute vlues re usiconvex, Tmk. J. Mth. 4: Drgomir, S.S. ve Agrwl, R.P., 998. Two ineulities for differentile mings nd lictions to secil mens of rel numers nd teezoidl Formul, Al. Mth. Lett. (5): 9-95 Drgomir, S.S. ve Perce, C.E.M.,. Selected Toics nd Alictions,RGMIA Monogrhs, Victori University, 49. Austrli. Hussin, S., Bhtti, M.I. ve Il, M., 9, Hdmrd tye ineulities for s-convex functions, Punj Univ. Jour. Of Mth., 4: 5-6. Weir, T. ve Mond B., 998. Preinvex functions in multile ojective otimiztion, journl of Mth. Anlysis nd Al. 6: 9-8. Antczk, T., 5. Men vlue in invexity nlysis, Nonliner Anlysis, 6: Mohn, S.R. ve Neogy, S.K., 995. On invex sets nd reinvex functions, J. Mth. Anl. Al. 89: Noor, M.A., 7. Hermite-Hdmrd integrl ineulities for log-reinvex functions, J. Mth. Anl. Arox. Theory, : 6-.

Benzer belgeler

İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:,Syı:,,3-4/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:,No:,,3-4 İKİNCİ TÜREVİ PREQUASİİNVEKS OLAN FONKSİYONLAR İÇİN HERMITE-HADAMARD TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ İmdt İŞCAN *, Selim