ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FOTONİK KRİSTAL DALGA KILAVUZU TEMELLİ KÜÇÜK OPTİK FİLTRELERİN TASARLANMASI VE SAYISAL ÇÖZÜMLENMESİ Yeşim DİLDAR FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2013 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi FOTONİK KRİSTAL DALGA KILAVUZU TEMELLİ KÜÇÜK OPTİK FİLTRELERİN TASARLANMASI VE SAYISAL ÇÖZÜMLENMESİ Yeşim DİLDAR Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Barış AKAOĞLU Bu tezde fotonik kristaller kullanılarak küçük boyutlu optik filtreler tasarlanmış ve bilgisayar ortamında sayısal olarak çözümlenmiştir. Öncelikle, kare örgülü fotonik kristal oluşturulduktan sonra yapının bant diyagramları elde edilmiştir. Ardından, bir sıra örgünün kaldırılması ile dalga kılavuzu oluşturularak yansıma ve geçirgenlik özellikleri incelenmiştir. Sonrasında, dalga kılavuzu yakınında kavite oluşturularak dalga kılavuzu içersinde ilerleyen ışığın yansıma spektrumu elde edilmiştir. Kavitenin sayısı değiştirilerek yansıma spektrumunda etkileri incelenmiştir. Dalga kılavuzunun her iki tarafında kaviteler oluşturularak filtreleme özellikleri çözümlenmiştir. Ayrıca, kavitenin boyutu artırılarak yansıma spektrumuna etkileri incelenmiştir. Kavite dalga kılavuzu arasındaki mesafenin artırılmasıyla spektrumda ne gibi değişiklikler olduğu gözlemlenmiştir. Periyodik dielektrik yapıların bant yapıları düzlem dalga açılımı yöntemi kullanılarak belirlenmiştir. Fotonik kristallerin geçirgenlik ve yansıma spektrumları zaman bölgesinde sonlu farklar (FDTD) yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır. Ocak 2013, 60 sayfa Anahtar Kelimeler: Fotonik kristaller, fotonik kristal dalga kılavuzları, optik filtreler, mikro-kaviteler i

3 ABSTRACT Master Thesis DESIGN AND NUMERICAL ANALYSIS OF PHOTONIC CYRSTAL WAVEGUIDE BASED COMPACT OPTICAL FILTERS Yeşim DİLDAR Ankara University Graduate School of National and Applied Sciences Department of Physics Engineering Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Barış AKAOĞLU In this thesis, small-sized optical filters are designed by using photonic crystals and numerically analyzed. First, as the square lattice photonic crystals were generated, band diagrams were obtained. Second, the properties of reflection and transmission spectrum were analyzed by creating a waveguide after removing one line of lattice. Then, the reflection spectrum of the light going through the waveguide was obtained creating a cavity near the waveguide. The impacts of changing the number of the cavities on the spectrum were examined. Filtering properties are analyzed by creating symmetric microcavities on each side of the waveguide. Besides, the impacts of cavity size on the reflection spectrum were analyzed by increasing the cavity size. The impacts of increasing the distance between cavity and waveguide on spectrum were observed. The band structure of the periodic dielectric structures was found using plane wave expansion method. The transmittance and reflectance spectrum of the photonic crystals were calculated by using finite difference time domain (FDTD) method. January 2013, 60 pages Key Words: Photonic Crystals, photonic crystals waveguides, optical filters, microcavities ii

4 TEŞEKKÜR Öncelikle tez çalışmam sırasında desteğini benden esirgemeyen tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Barış AKAOĞLU na(ankara Üniversitesi Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı) ve çalışmalarım sırasında bana yardımcı olan Sayın Araş. Gör. Fulya BAĞCI ya teşekkür ederim. Daima yanımda olan ve desteğini hiç esirgemeyen sevgili aileme sonsuz teşekkür ederim. Ayrıca bu süreç boyunca bana her konuda sabırla yardımcı olan Özgür KORKMAZ a teşekkür ederim. Yeşim DİLDAR Ankara, Ocak 2013 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET...i ABSTRACT...ii TEŞEKKÜR.....iii KISALTMALAR ve SİMGELER DİZİNİ vi ŞEKİLLER DİZİNİ... viii 1. GİRİŞ FOTONİK KRİSTALLER Fotonik Kristallerin Genel Özellikleri Boyutlarına göre fotonik kristaller Bragg yasası Wigner-Seitz hücresi (W-S) Brillouin bölgeleri Maxwell Denklemleri Özdeğer denklemi ve özellikleri Fotonik Kristallerin Bant Yapısı Kare örgülü fotonik kristaller Üçgen örgülü fotonik kristaller Fotonik Kristal Nokta ve Çizgi Kusuru Fotonik Kristal Filtre MATERYAL VE YÖNTEM Düzlem Dalga Açılımı Yöntemi Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD) Giriş Yee algoritması Bir boyutlu güncelleme denklemleri Courent koşulu FDTD yönteminin avantajları...37 iv

6 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Modellenen Fotonik Kristal Filtrenin Band Yapısı Dalga Kılavuzunun Bir Tarafında Oluşturulan Mikrokaviteli Yapıların İncelenmesi Dalgakılavuzunun Her İki Tarafında Simetrik Oluşturulan Mikrokaviteli Yapıların İncelenmesi Mikrokavitelerin boyutunun artırılmasının filtreye etkisi Dalgakılavuzu mikrokavite arasındaki uzaklığın artırılmasının filtreye etkisi Fotonik Kristal Dalgakılavuzu-Mikrokavite Yapılarında Termal Etkinin İncelenmesi Üretimden Kaynaklanan Hataların Fotonik Kristal Filtreye Etkisinin İncelenmesi SONUÇ. 54 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ.60 v

7 KISALTMALAR VE SİMGELER DİZİNİ KISALTMALAR DİZİNİ EM DDA FDTD FBA GHz TE TM W-S Q-faktörü Elektromanyetik Düzlem dalga açılımı yöntemi Zamanda sonlu farklar yöntemi Fotonik band aralığı Gigahertz Enine elektrik Enine manyetik Wigner-Seitz hücresi Kalite faktörü vi

8 SİMGELER DİZİNİ a x, a y, a z B c d D E e G ε ε 0 G h G H J μ λ ρ Θ İlkel öteleme vektörleri Manyetik akı yoğunluğu Işığın vakumdaki hızı Paralel kristal düzlemleri arasındaki uzaklık Elektrik akı yoğunluğu Elektrik alan vektörü Elektrik alan Fourier bileşeni Ortamın dielektrik geçirgenliği Boşluğun dielektrik geçirgenliği Ters örgüde öteleme vektörü Manyetik alan Fourier bileşeni Manyetik alan vektörü Serbest akım yoğunluğu Ortamın manyetik geçirgenliği Yee hücresi kenar uzunluğu Boş uzayda dalga fonksiyonu Dalga boyu Ortamdaki serbest yük Hermisyen operatörü υ g (k) ω ω n (k) Nabla operatörü Grup hızı Açısal frekans Açısal frekans özdeğeri Г, X, M Ters uzayda simetri noktaları vii

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1 Bir, iki ve üç boyutlu fotonik kristaller....3 Şekil 2.2 Bir boyutlu fotonik kristal...3 Şekil 2.3 İki boyutlu fotonik kristal örnekleri.4 Şekil 2.4 Üç boyutlu fotonik kristal örneği. Tam bir bant aralığına sahip ilk fotonik üç boyutlu fotonik kristal Şekil 2.5 Kesikli ötelem simetrisine sahip dielektrik plaka....6 Şekil 2.6 Işığın kristalde kırınımı 7 Şekil 2.7 Wigner-Seitz ilkel birim hücresi..8 Şekil 2.8.a. İki boyutlu kare örgü, b. Daraltılamaz Brillouin bölgesi Şekil 2.9 Tek boyutlu kristal örgü ve Brillouin bölgeleri.10 Şekil 2.10 Genel fotonik bant aralığı gösterimi Şekil 2.11.a. Kare örgüye göre dizilmiş silindirik çubuklardan oluşan fotonik Kristal, b. Ters uzayda simetri noktaları Şekil 2.12 Şekil 2.11 deki yapı için indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında dispersiyon diyagramları...18 Şekil 2.13.a. Üçgen örgüye göre dizilmiş silindirik deliklerden oluşan fotonik kristal, b. Ters uzayda simetri noktaları...19 Şekil 2.14 Şekil 2.13 deki yapı için indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında dispersiyon diyagramları Şekil 2.15 İki boyutlu bir fotonik kristal içindeki: a. bir fotonik dalgakılavuzunun, b. bir dalgakılavuzu bükümünün ve c. bir kavitenin şematik gösterimi.20 Şekil 2.16 Fotonik kristal içindeki bir tek kusur tarafından fotonların yakalanması ve yayınlanması Şekil 3.1.a. Tek kaviteli çift taraflı filtre, b. Tek taraflı iki kaviteli filtre,c.arka arka araya sıralı (cascaded) kaviteli çift taraflı filtre Şekil 3.2 Elektrik ve manyetik alan düğümlerinin (nodes) konum ve zamanda konumlanması viii

10 Şekil 3.3 Manyetik alanı güncelledikten sonra konum-zaman konumlanması Şekil 3.4 Manyetik ve elektrik alanlar arasındaki konumsal ötelemeyi gösteren bir boyutlu FDTD uzayı.36 Şekil 4.1 Kare örgülü fotonik kristal temelinde kurulmuş 2 boyutlu silindir dielektrik çubukların fotonik bant yapısı. (Mavi bantlar TM modları ve kırmızı bantlar TE modları gösterir) Şekil 4.2 Kare örgüde Brilloun bölgesinde merkezden yüzeye olan mesafede (Г- X aralığı) TM kipi için bant diyagramı.40 Şekil 4.3 Bir satırlık örgünün kaldırılmasıyla oluştururulan dalga kılavuzlu fotonik kristalin TM bandı için diyagramı..41 Şekil 4.4 Bir satırlık örgünün kaldırılmasıyla oluştururulan dalga kılavuzlu fotonik kristalin TE bandı için diyagramı...41 Şekil 4.5 Dalgakılavuzun bir tarafından dielektrik çubukların çıkarılmasıyla elde edilen: a. 1 mikrokaviteli, b. 2 mikrokaviteli, c. 4 mikrokaviteli, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filtrelerin şematik gösterimi Şekil 4.6 Dalgakılavuzu-mikrokavite etkileşmesi Şekil 4.7 Dalga kılavuzunun bir tarafında oluşturulan a. 1 mikrokavite, b. 5a mesafede 2 mikrokavite, c. 4 mikrokavite, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filternin yansıma-frekans grafikleri Şekil 4.8 Dalgakılavuzun iki tarafından simetrik olarak dielektrik çubukların çıkarılmasıyla elde edilen a. 1 mikrokaviteli, b. 2 mikrokaviteli,c. 4 mikrokaviteli, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filtrelerin şematik gösterimi...46 Şekil 4.9 Dalga kılavuzunun her iki tarafında simetrik olarak oluşturulan a. 1 mikrokavite, b. 5a mesafede 2 mikrokavite, c. 4 mikrokavite, d. 8 er mikrokaviteli fotonik kristal filternin yansıma-frekans grafikleri...47 Şekil 4.10 Çift taraflı, 8 er mikrokaviteli yapıda mikrokavite-dalgakılavuzu etkileşmesi Şekil 4.11 Dalgakılavuzun iki tarafından ikişer dielektrik çubuğun kaldırılması ile elde edilen fotonik kristal filtrenin şematik gösterimi ix

11 Şekil 4.12 Çift taraflı, 8 er mikrokaviteli yapının band diyagramı, dielektrik çubukların boyutu a (solda), dielektrik çubukların boyutu 2a (sağda).49 Şekil 4.13 Dalga kılavuzuna 3a uzaklıkta oluşturulmuş 8 er mikrokaviteli optik filtrenin yansıma spektrumu...50 Şekil 4.14 Dalga kılavuzunun her iki tarafında, s=3a mesafe uzaklıkta simetrik birer dielektrik çubuğun çıkartılmasıyla oluşturulmuş optik filtrenin yansıma spektrumu...50 Şekil 4.15 Dalgakılavuzunun bir tarafından eşit mesafede oluşturulmuş 4 mikrokaviteli yapı için: a. üretim hatası hesaba katılmadan önce, b. üretim hatası hesaba katılarak fotonik kristallerin çapı ve pozisyonları belli oranlarda değiştirildikten sonra elde edilen diyagramlar. 52 Şekil 4.16 Dalgakılavuzunun her iki tarafında eşit mesafede oluşturulmuş 4 er mikrokaviteli yapı için: a. üretim hatası hesaba katılmadan önce, b. üretim hatası hesaba katılarak fotonik kristallerin çapı ve pozisyonları belli oranlarda değiştirildikten sonra elde edilen diyagramlar. 53 x

12 1. GİRİŞ Fotonik ışığı oluşturan fotonların üretilmesi, yönlendirilmesi, madde ile olan etkileşimi, algılanması ve taşınması ile uğraşan bir alandır. Fotonik kristaller dielektrik sabitinin periyodik olarak değiştiği yapılardır. Son yıllarda ışığın kontrol edilerek istenilen değişikliklerin yapılmasını ve farklı optik uygulamaların ortaya çıkmasını sağladığı için fotonik kristaller modern teknolojinin gelişiminde oldukça önem kazanmıştır. Fotonik kristaller bant aralığı yönünden yarıiletkenlerle benzerlik gösterirler. Bu durumda, yarıiletken malzemelerdeki elektronların yerini, fotonik kristallerde fotonlar alır. Bu nedenle bu maddeler içinde ışığın yayılımını anlamak için, periyodik ortamlarda dalga yayılımının incelenmesi gerekir. Fotonik kristaller bir, iki ya da üç boyutta periyodik olabilirler. Periyodik dielektrik yapılarda elektromanyetik dalgaların (EM) yayılımı belirli yönlerde ve belirli frekans aralığında mümkün değildir. Bu durum, ışığı kılavuzlamayı mümkün kılar. Fotonik kristallerin güçlü yansıma sergiledikleri bu dalga boyları bölgesine fotonik bant aralığı (FBA) ya da yasaklı bant aralığı denir. Kristalde örgü kusuru oluşumu ışığı yönlendirmek açısından önemli bir konudur. Nokta ya da çizgi şeklinde kusur oluşturmak mümkündür. Nokta kusuru, ışığı tuzaklayan kavite gibi, çizgi kusuru ise dalga kılavuzu gibi davranır. Bu tezde, fotonik dalga kılavuzu boyunca ilerleyen EM dalga ile yakınındaki mikro-kavitenin (ya da kavitelerin) rezonans durumunda etkileşmesi ile oluşan çok küçük boyutlu dalgaboyu seçici optik filtre tasarlanacak ve sayısal yöntemlerle çözümlenecektir. Mikrokavitelerin dalga kılavuzunun iki yanında oluşturulup oluşturulmama, sayısı, aralarındaki uzaklığı, büyüklüğü gibi etkileri incelenecek, bu sayede yapının daha etkin filtreleme yapması için koşullar araştırılacaktır. 1

13 2. FOTONİK KRİSTALLER Fotonik kristaller başlangıçta yapay maddeler olarak düşünülmesine rağmen doğada var oldukları kanıtlanmıştır (Vukusic 2003, Tayeb vd. 2003). Opaller doğal fotonik kristallerin en bilinen örneklerindendir. Biyolojide de doğal fotonik yapıların bulunduğu gözlemlenmiştir. Bazı kelebek kanatları ve tavus kuşu tüyleri renk pigmentleri içermediği halde fotonik kristaller sayesinde güzel renklere sahiptir (Vukusic 2003, Tayeb vd. 2003, Thylen vd. 2004, Ghiradella 1991). Doğada fotonik kristallerin bulunmasına rağmen, bilim adamları fotonik yapıları ancak 20. yüzyılda yapay olarak üretmeye başlamış ve çeşitli uygulamalar geliştirmiştir. Periyodik bir ortamda EM dalgaların yayılımı ilk defa 1888 de Lord Rayleigh tarafından çalışılmıştır (Rayleigh 1888). Yapılan çalışma periyodik olarak arka arkaya birleştirilmiş düzlemler ile ilgilidir. Bunlar bir boyutta fotonik kristallere benzemektedir. Rayleigh bu materyallerin düzlemler boyunca ışığın geçişini yasaklayan dar bir band aralığına sahip olduğunu göstermiştir. Periyodik yapılarla ilgili çalışmalar yapılsa da, ancak 1987 lerde iki ve üç boyutlarda fotonik band aralıklı yapılar üretilmiştir (Yablonovitch vd. 1987). Bu yapılarda örgü kusurları oluşturarak, ışık çok küçük bir alana sıkıştırılabilmekte ve yönlendirilebilmektedir. Fotonik kristallerin oldukça fazla kullanım alanı vardır. Lazer teknolojilerinde, fiber optik yapılarda, ışığı bükebilen metamalzemelerde, sensörlerde, optik çoklayıcı ve tekleyicilerde fotonik kristaller kullanılmaktadır. 2.1 Fotonik Kristallerin Genel Özellikleri Boyutlarına göre fotonik kristaller Fotonik kristaller bir, iki ya da üç boyutta periyodik yalıtkan (dielektrik) yapılardır. Fotonik kristal örnekleri şekil 2.1 de verilmiştir (Joannopoulos vd. 2008). 2

14 Bir boyutta periyodik İki boyutta periyodik Üç boyutta periyodik Şekil 2.1 Bir, iki ve üç boyutlu fotonik kristaller (Joannopoulos vd. 2008) En basit ve en kolay şekilde yapılan fotonik kristaller bir boyutlu fotonik kristallerdir. Farklı dielektrik tabakaların üst üste yerleştirilmesi ile oluşturulur. Şekil 2.2 Bir boyutlu fotonik kristal (Joannopoulos vd. 2008) Dielektrik fonksiyonu ε( z ) sadece z yönünde değişir, x ve y yönünde değişmezdir. Kristal xy yönünde sürekli öteleme simetrisine sahiptir. z yönünde ise kesikli periyodiklikten dolayı kesikli öteleme simetrisi vardır. Kipleri sınıflandırmak için xy düzlemi içindeki dalgavektörü k, z yönündeki dalga vektörü k z ve band sayısı n kullanılır. Frekans arttıkça band sayısı artar. Bloch biçiminde kipler yazılırsa, elde edilir. 3

15 u(z) fonksiyonu periyodiktir. k ise tabakaların arakesit yüzeylerine parallel olan dalga vektörüdür. Kristal xy düzleminde sürekli öteleme simetrisine sahip olduğu için, k dalga vektörü herhangi bir değer alabilir. Fakat, k z dalga vektörü bir boyutta Brillouin bölgesinde sınırlıdır. Bu yapıda band aralığı, ters örgünün Brillouin bölgesi kenarlarında ya da bölgenin merkezindedir. Band diyagramları dalga vektörleri ve frekansa göre çizilir. Bir boyutlu fotonik kristallerle, yüksek yansıtıcılı aynalar ve optik filtreler gibi uygulamalar yapmak mümkündür. Boyutların birden ikiye ve üçe çıkması ile yeni durumlar ortaya çıkar. Farklı şekillerde iki boyutlu fotonik kristal oluşturmak mümkündür. Hava içindeki dielektrik çubukların kare örgüsü ve dielektrik plaka içindeki hava boşluklarının altıgen örgüsü bunlardan bazılarıdır. Şekil 2.3.a da birbirine parallel dik sütunlar z yönündedir ve xy düzlemine diktir. xy düzlemi boyunca gönderilen ışık xy düzleminde periyodiktir ve z yönünde serbestçe yayılabilir. Şekil 2.3 İki boyutlu fotonik kristal örnekleri (Johnson ve Joannopoulos 2002) İki boyutlu fotonik kristaller düzlemsel optik tümleşik devrelerde (TD) uygulamaları bakımından önemlidir. Optik tümleşik terimi ilk defa 1960 ların sonlarında görülmüştür (Miller 1969). Fotonik tümleşmede yeni gelişen yaygın örnekler; dalgakılavuzu, kırınım 4

16 ağı, çoklayıcı (multiplexer) veya tekleyici (demultiplexer) gibi elemanlardır (Thylén vd. 2004). Optik bölgede (kızılötesi bölgede) iki boyutlu fotonik kristalin ilk deneysel gösterimi 1995 de yapılmıştır (Gruning vd. 1995). Üç boyutlu fotonik kristal üretimi ise çok daha karmaşık ve zordur. Fotonik bant aralığına sahip üç boyutlu fotonik bir kristalin ilk deneysel açıklaması 1991 de yapılmıştır (Yablonovitch vd. 1991). Şekil 2.4 Üç boyutlu fotonik kristal örneği. Fotonik bant aralığına sahip ilk üç boyutlu fotonik kristal (Joannopoulos vd. 2008) Fotonik kristaller periyodik dielektrik yapılar olduğu için simetri özelliklerinden bahsetmek gerekmektedir. Öteleme (kesikli ve sürekli) simetrileri ve ayna simetrisi oldukça önemlidir. Öteleme simetrisine sahip bir sistem, d kadar yerdeğiştirme sonucunda değişmeden kalır. Her d için bir fonksiyon (f(r)) ve T d kadar öteleme tanımlarsak, f(r) = ε(r) için T d ε(r) = ε(r +d) = ε(r) (2.2) eşitliği elde edilir. 5

17 Sürekli öteleme simetrisine sahip yapı belli bir yönde herhangi bir mesafede ötelendiğinde değişmeden kalır. Fotonik kristaller sürekli öteleme simetrisine sahip değildir, bunun yerine kesikli öteleme simetrisine sahiptirler. Şekil 2.5 te x-yönünde sürekli öteleme simetrisi varken, y-yönünde kesikli öteleme simetrisi vardır. Temel adım uzunluğu a örgü sabitidir ve ilkel örgü vektörü olarak adlandırılır. Şekil 2.5 Kesikli öteleme simetrisine sahip dielektrik plaka (Joannopoulos vd. 2008) Fotonik kristaller ayna simetrisine de sahiptir. Ayna simetrisi oldukça önemlidir. Şekil 2.5 e göre sistem yz ve xz-düzlemlerindeki ayna yansımaları altında değişmezdir Bragg yasası Kristal üzerine gönderilen X-ışınları demeti, kristalde kırınıma uğrayarak saçılır. Saçılan ışın bir film üzerine düşürülürse kırınım deseni oluşur. Kırınım olayının ilk açıklaması Bragg tarafından yapılmıştır. 6

18 Gelen ışın Yansıyan ışın θ θ θ θ d Kristal düzlemleri dsinθ Şekil 2.6 Işığın kristalde kırınımı Birbirine paralel kristal düzlemleri arasındaki uzaklık d olmak üzere, komşu iki düzlem arasındaki yol farkı 2dsinθ olur. Ardışık iki düzlemden kırınan dalgaların aynı fazda olması için yol farkı λ dalga boyunun tam katları olmalıdır. 2dsinθ =n λ n=1, 2, 3. (2.3) (2.3) denklemi örgünün periyodik oluşunun sonucu olarak ortaya çıkar ve Bragg yasası olarak ifade edilir. Kırınımın gerçekleşebilmesi için λ < 2d olmalıdır. Kristalin ters uzayı ise, kırınım olayında kristalden saçılarak film üzerine giden ışının yapıcı girişimi sonucunda oluşturduğu desenle meydana gelir. Bu sayede, her kristalin bir kristal örgüsü bir de ters örgüsü oluşur Wigner- Seitz hücresi (W-S) Bir örgü a x, a y ve a z üç temel öteleme vektörüyle tanımlanır. Bu vektörlere ilkel öteleme vektörü denir. İlkel öteleme vektörü ile kristalin yapı taşı olan en küçük hücre oluşur. Bu ilkel hücre en küçük hacimli bölgedir. Bu hücrenin ötelenmesiyle kristal tüm uzayı doldurur. İlkel hücre seçimi için en uygun yol, bir örgü noktasını en yakın komşularına 7

19 birleştiren doğruların orta dikmelerinin tanımladığı kapalı hacmi belirlemektir. Bu yöntemle belirlenen en küçük hacimli bölge Wigner-Seitz (W-S) birim hücresidir. Şekil 2.7 de 2 boyutlu üçgen örgüde W-S hücresi görülmektedir: Şekil 2.7 Wigner-Seitz ilkel birim hücresi Brillouin bölgeleri Brillouin bölgeleri ters uzayı bölgelere ayırırken kullanılır. Bloch teoremi ile elektronik yapılarda V(r) = V (r + R) potansiyeline göre, fotonik yapılarda ise (r) = (r + R) dielektrik fonksiyonuna gore özdeğer denklemleri çözülür. Fotonik kristallerin R ba x ca y da z vektörüyle tekrarlandığını varsayarsak, a x, a y ve a z x, y ve z yönündeki periyotları gösterir. b, c ve d ise rastgele verilmiş tamsayılardır. Bu period (kare örgü için) 2 a x, y, z olur. Frekansın kendini tekrarlamadığı sıfıra en yakın aralığa I. Brillouin Bölgesi denir. Kare örgü için bu aralık, dır. Brilloun bölgesi simetriden a x, y, z ax, y, z dolayı küçültülebilir. Kare örgü için Brillouin bölgesi şekil 2.8 deki gibidir. 8

20 (a) Gerçek örgü (b) Ters örgü Şekil 2.8.a. İki boyutlu kare örgü, b. Daraltılamaz Brillouin bölgesi (Shen 2006) Şekil 2.8.b deki taralı bölge en küçük hacimli İndirgenemez Brillouin Bölgesi dir. Band yapısının oluşturulmasında Brillouin bölgeleri önemlidir. Fotonik kristallerde yansımaları veren tüm dalga vektörleri Brillouin bölgesinde sınırlandırılır. Bir hücreden diğer bir hücreye geçiş ters örgü vektörleriyle olur. Buna göre, k' = k + G (2.4) k' burada yansıyan dalganın dalga vektörü, G ise ters örgü vektörüdür. Her iki tarafın karesi alındığında, k' 2 = k 2 + 2k.G + G 2 (2.5) Dalganın esnek saçıldığı düşünüldüğünde k' 2 = k 2 olur. (2.5) denklemi 2k.G = G 2 (2.6) şeklinde yazılır. (2.6) denklemine göre k dalga vektörü, ters örgü vektörü G yi dik ikiye bölen düzlemde bulunuyorsa yansıma şartları sağlanmış olur. Maximum yansıma Brillouin bölgesi kenarlarında olur. Şekil 2.9 da tek boyutta kristal örgü ve ters örgü 9

21 görülmektedir. Sınırlar k = + π /a da 1.Brillouin bölgesini oluşturur. 2. Brillouin bilgesinin sınırları dielektirik çubuk üzerinden geçer. Şekil 2.9 Tek boyutlu kristal örgü ve Brillouin bölgeleri (Erdiven 2009) Ters örgü kristalin periyodikliğinin bir sonucudur. Bu periyodiklik sayesinde Brillouin bölgelerindeki bandlar ve bandlara ait kipler belirlenerek band yapısı ortaya çıkarılır (şekil 2.9). 2.2 Maxwell Denklemleri Bu bölümde fotonik kristallerde EM dalga hareketi incelenecektir (Joannopoulos 2008). EM alanın bir ortam içersindeki hareketi Maxwell denklemleri ile ifade edilir. Temel elektrik ve manyetizma yasaları kullanılarak elde edilmiş olan 4 ana Maxwell denklemi bulunmaktadır. Fotonik kristallerde EM dalga çözümlerinin bulunabilmesi bu denklemlerin çözülmesiyle mümkündür. Maxwell Denklemleri (SI birim sisteminde) aşağıdaki gibidir: 10

22 B = 0 (2.7) D = (2.8) x E + t B= 0 (2.9) x H - t D= J (2.10) İlk iki eşitlik sırasıyla manyetik alan ve yer değiştirme alanı için Gauss yasaları olarak adlandırılır. Son iki eşitlik sırasıyla, Faraday ve Amper yasaları olarak bilinir. Bu denklemlerde E ve D sırasıyla elektrik alan ve elektriksel yer değiştirme, H ve B ise sırasıyla manyetik alan ve manyetik indüksiyona karşılık gelmektedir. ve J ise sırasıyla ortamdaki serbest yüke ve serbest akım yoğunluğuna karşılık gelmektedir. Yer değiştirme ve alanlara ait denklemler ise şu şekildedir: B(r) = μ 0 μ(r) H(r) (2.11) D(r) = 0 (r)e(r) (2.12) Göreceli manyetik ve EM sabitler μ(r) ve ise μ 0 ve 0 ile gösterilmiştir. (r) ile, vakumun manyetik ve EM sabitleri Bu denklemlerin zamanda harmonik çözümleri aşağıdaki gibidir: E = E(r)e jωt H = H(r)e jωt (2.13) (2.14) Faraday ve Amper yasaları zamanda harmonik çözümler için: x E(r) + jω μ 0 H(r) = 0 (2.17) x H(r) jωd(r) = 0 (2.18) 11

23 şeklini alır. μ(r)= 1 kabul edilmiştir. Amper yasasında (2.12) denkleminde tanımlanan kurucu ilişki kullanılır. Eşitliğin sol tarafının önce ile çarpılması ve rotasyonel dolanım ( x) operatörünün etki edilmesiyle (2.18) denkleminden = 0 (2.19) elde edilir. (2.17) eşitliğinin de kullanılması ile (2.20) Özdeğer denklemi elde edilir. Burada dir. Eşitliğin sol tarafındaki Θ= x operatörünün H(r) öz fonksiyonlarına etkimesinden özdeğerleri elde edilmektedir. Tanımlanan Θ operatörü hermisyen dir ve bu yüzden öz değerleri gerçeldir. Operatörün hermisyen olduğu bölüm de gösterilmiştir Özdeğer denklemi ve özellikleri A(r) ve B(r) herhangi iki vektörel alan olmak üzere bu iki alanın iç çarpımı, (A,B) = d 3 ra * (r) B(r) (2.21) eşitliği ile tanımlanır. Ω ile gösterilen bir operatörün hermisyen olması, (A, ΩB) = (ΩA, B) (2.22) 12

24 koşuluna bağlıdır. (2.20) denkleminde tanımlanan Θ operatörü için yukarıda koşul uygulandığında, (A, ΘB) = d3ra*(r) x * = d3r (2.23) * = d3r = (ΘA, B) olduğu görülür. Bu durumda operatör hermisyendir. (2.20) denklemi Faraday yasasına uygulandığında, 2 1 x (r ) = c2 E(r) (2.24) denklemi elde edilir. Burada Θ= 1 x (r ) operatörü hermisyen değildir. Bu sebeple özdeğer denklemi 2 x = c2 H(r) (2.25) dir. Θ operatörünün öz değerlerinin gerçel olduğu aşağıdaki gibi gösterilebilir: (H, ΘH) = ( ΘH, H) (H, H) = = * (H, H) (2.26) * ω2 positiftir. Bu nedenle, hermisyen operatörünü içeren ana denklem, bir özdeğer denklemi olup, 13

25 2 Θ H(r) = 2 c H(r) (2.27) şeklinde ifade edilebilir. Bu özdeğer denkleminin çözümü fotonik kristaller içinde yol alacak dalganın öz frekanslarını verir. Bu frekanslara karşılık gelen öz vektörler bize alan profillerini verir. Periyodik potansiyel içinde bulunan bir parçacığa ait dalga fonksiyonu ilk defa Bloch tarafından bulunmuştur ve bu yaklaşım Bloch teorisi olarak bilinir (Bloch 1928). Boş uzayda bir dalga = a bağıntısına uyan, ilerleyen dalga formunda yayılır. Burada a sabit bir genlik, üstel fonksiyon ilerleyen dalgayı ifade eder. Kristallerde ise, iletim elektronları ilerleyen dalga formunda değil, Bloch fonksiyonları biçiminde yayılır: ( ) = ( ) (2.28) Bu denklemde görülen sabit bir genlik değildir, kristalin periyodikliğine sahiptir. Diğer bir deyişle,. Burada R örgü vektörüdür. Bloch teoremine göre, ortamda yol alan dalganın özfonksiyonları da aşağıdaki gibidir: E(r) = E k (r)e jk r (2.29) H(r) = H k (r) e jk r (2.30) k vektörü dalganın hareketinin yönünü ve uzaysal frekansını gösterir, r vektörü ise uzayda herhangi bir noktayı gösterir. 2.3 Fotonik Kristallerin Bant Yapısı Fotonik kristal ve yasaklı bant aralığı kavramları ilk defa Yablonovitch tarafından 1987 yılında yayımlanan bir makalede ele alınmıştır (Yablonovitch 1987). Yarıiletkenlerde elektronik bant aralığı gibi fotonik kristallerde de yasak bir frekans bandı 14

26 varolabilmektedir. Bunun anlamı, EM dalgalar bu bant aralıklarında belirli yönlerde ve dalga boylarında yayılamazlar. EM dalgaların yayılamadığı bu aralığa fotonik band aralığı denir. Bu durum yarıiletkenlerde valans ve iletim enerji bantları arasında yasak bant aralığı oluşturur (Joannopoulos vd. 2008). Işığın bu ortamda periyodik özelliğin bozulması ile hapsedilmesi ve yönlendirilmesi mümkündür. Fotonik kristallerin fiziksel özelliklerinin ve bu yapılara gelen EM dalgaların kristal içindeki hareketinin belirlenmesi için özdeğer denklemlerinin bulunması gerekir. Fotonik kristallerin zaman frekansına karşı uzaysal frekansını (2.20) denklemine göre aşağıdaki gibi yazabiliriz: (2.31) (2.32) Bu özdeğer denkleminin özvektörleri ile dalganın yapıdaki alan dağılımını, özdeğerleri ile de her bir k vektörü için ilgili frekansı bulabiliriz. Bu denklemin sonucunda ortaya çıkan frekanslar k ekseni boyunca süreklidir. Bu sürekli ω m (k) fonksiyonları, her bir m sayısı için bir bant oluştururlar. ω m (k) fonksiyonlarının bulunmasıyla bant diyagramı oluşturulur. Bu bant diyagramları eğer herhangi bir bölgede birbirinden ayrılırsa, frekansı bu aradaki boşluğa denk gelen dalgalar yol alamaz. Fotonik kristal yapı içindeki bu boşluğa yasaklı bant aralığı denir. İki veya üç boyutlu fotonik kristallerin birçok çeşidi fotonik bant aralığına sahiptir. Bu ışığın tamamının yansıdığı bir aralık olarak bilinir. Fotonik bant aralığı önemli sonuçlara yol açar. Eğer belirli bir frekansta ışık kaynağı fotonik kristal içine yerleştirilirse, kaynaktan yayılan ışık kristal içinden çıkamaz. Sonuç olarak enerji kristal içine hapsedilmiş olur. Kristal içerisindeki EM enerji belirli bir hızda yol alır. Bu hıza grup hızı denir. Bu hız ω m (k) fonksiyonlarının bulunmasından sonra aşağıdaki gibi hesaplanabilir: 15

27 g ( k ) = m ( k ) = m ( k) k x x + m ( k ) y + k x m ( k ) z k y (2.33) Kristalin elektronik özellikleri incelendiğinde, elektronlar valans ve iletkenlik bandında bulunur. Valans bandı ve iletkenlik bandı arasında elektronların bulunmasının yasak olduğu (durum yoğunluğu sıfır olan) band aralığı vardır. Aynı şekilde fotonik kristallerde fotonların hareketini düşündüğümüzde, fotonlar valans bandına benzer dielektrik band, iletkenlik bandına benzer hava bandı içersinde yer alır. Işık enerjisi yüksek dielektrik bölgesinde yoğunlaşırsa düşük frekans bandında yer alır. Bu band dielektrik band olarak adlandırılır. Enerji düşük dielektrik sabitli bölgelerde yoğunlaşmış ise yüksek frekans bandında yer alır, buna da hava bandı denir. Hava bandı ve dielektrik band arasında fotonların bulunmasının yasak olduğu bölgeye fotonik bant aralığı denir. Fotonik bant aralığı örneği şekil 2.10 da gösterilmiştir. Şekil 2.10 Genel fotonik bant aralığı gösterimi Üç boyutlu fotonik kristal üretiminde yaşanan teknolojik zorluklar nedeniyle iki boyutlu yapılarla yapılan çalışmalar daha yaygındır. İki boyutlu fotonik kristal yapılardan hava 16

28 ortamında kare örgü halinde dizilmiş dielektrik çubuklar ve dielektrik ortam üzerinde üçgen örgü şeklinde oluşturulan hava dolu boşluklar literatürde sıkça rastlanılan örneklerdendir. Bu nedenle bu iki yapının özelliklerini inceleyecek olursak: Kare örgülü fotonik kristaller Kare örgülü bir fotonik kristalin özelliklerini inceleyelim. Kare örgüye göre dizilmiş dielektrik çubuklardan oluşan fotonik kristal şekil 2.11.a daki gibidir: (a) (b) Şekil 2.11.a. Kare örgü şeklinde dizilmiş silindirik çubuklardan oluşan fotonik kristal (Örgü sabiti a, silindirik çubukların çapı 0,2a dır) b. Ters uzayda simetri noktaları Γ, X ve M dir. Şekil 2.11.a daki yapının geometrisi ters uzayda şekil 2.11 (b) de verilmiştir. Bu yapının yasaklı bant aralığını hesaplayabilmek için indirgenemez Brillouin alanlarının kenarlarına denk gelen k dalga vektörlerinde yapının harekete izin verdiği frekansları hesaplamak gerekir. Bir bandın minimum ve maksimumları neredeyse her zaman bu Brillouin alanının uçlarında görülür. Şekil 2.11.b deki simetri noktalarından geçen üçgen boyunca frekansları düzlem dalga metodu ile çözmek mümkündür (Johnson ve Joannopoulos 2001). 17

29 Şekil 2.12 Şekil 2.11 deki yapı için indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında dispersiyon diyagramları (Üstün 2011) Şekil 2.12 de düzlem dalga metoduyla indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında yapılan simülasyonların sonuçları gösterilmektedir. Şekil 2.12.a TM kipi için, şekil 2.12.b ise TE kipi için oluşturulmuş diyagramlardır. TM kipinde elektrik alan çizgileri çubuklara paralel iken, TE kipinde diktir. Şekilde görüldüğü üzere TM kipi için band boşluğu oluşmuştur. TE kipi için ise band boşluğu oluşmamıştır. TM kipi yapıya gönderildiğinde ışığın bir kısmı bazı frekanslarda (fotonik bant aralığı içindeki frekanslarda) tam yansımaya uğrar, fotonik bant aralığı dışındaki frekanslarda ise kırılarak geçer. TM kipin için elektrik alan çubuklara paralel olduğudan yüksek yoğunlaşma faktörü mümkündür (Joannopoulos vd. 2008). TE kipinde ise, elektrik alan çizgileri bazı noktalarda, elektrik alan enerjisini dielektrik çubukların dışına doğru zorlayan sınırlarla karşılaşır. Bu da yüksek yoğunlaşma faktörünü engeller. Bu yüzden TE kiplerinde band aralığı görülmez Üçgen örgülü fotonik kristaller Üçgen örgüye göre dizilmiş bir fotonik kristal yapıyı inceleyelim. Bu yapı dielektrik plaka üzerine açılan silindirik hava boşluklarından oluşan bir fotonik kristal olsun (Şekil 2.13). 18

30 Şekil 2.13.a. Üçgen örgüye göre dizilmiş silindirik deliklerden oluşan fotonik kristal (Örgü katsayısı a, deliklerin yarıçapı 0,3a dır). Şekilde görülen paralelkenar hesap edilen hücredir), b. Ters uzayda simetri noktaları Şekil 2.14 Şekil 2.13 deki yapı için indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında dispersiyon diyagramları (Üstün 2011) Şekil 2.14 de düzlem dalga metoduyla indirgenemez Brillouin alanı kenarlarında yapılan simulasyonların sonuçları gösterilmektedir. Şekil 2.1.a TM kipi için, şekil 2.14.b ise TE kipi için oluşturulmuş diyagramlardır. Üçgen örgülü fotonik kristalde TM kip için band boşluğu oluşmamışken, TE kip için bir band boşluğu oluşmuştur. TE kipinde manyetik alan çubuklara paralel iken elektrik alan çizgileri çubuklara diktir. TE kipinde kaynaktan gönderilen ışığın bir kısmı yansırken bir kısmı kırılarak geçer. Manyetik alan vektörü hava boşlukları ile dielektrik alan arasındaki yüzeye paralel olduğu için sürekliliğe sahiptir. Bu yüzden farklı yoğunlaşma faktörleri oluşur. Ancak 19

31 TM kipinde manyetik alan ara yüzeye dik olduğundan yoğunlaşma faktörü engellenir. Bu yüzden dielektrik plaka üzerine açılmış üçgen örgülü silindirik hava boşluklu yapıda TM kipi için fotonik bant aralığı görülmez. 2.4 Fotonik Kristal Nokta ve Çizgi Kusuru Fotonik kristallerde nokta ve çizgi şeklinde örgü kusuru oluşturmak mümkündür. Örgü kusuru ışığın geri yansımasını önlemekte ve ışığın hapsedilmesini sağlamaktadır. Nokta kusuru, ışığı tuzaklayan kavite gibi, çizgi kusuru ise dalga kılavuzu gibi davranır. İki boyutlu fotonik kristallerde, sütunların hareket ettirilmesi, boşlukların doldurulması, sütunların ve boşlukların büyüklüklerinin değiştirilmesi ile örgü kusuru oluşturulabilir. Bir fotonik dalgakılavuzu, bir dalgakılavuzu bükümü ve iki boyutlu bir fotonik kristal içindeki bir mikrokavite şekil 2.15 de gösterilmiştir. Şekil 2.15 İki boyutlu bir fotonik kristal içindeki, a. Bir fotonik dalgakılavuzunun, b. Bir dalgakılavuzu bükümünün ve c. Bir kavitenin gösterimi (Thylén 2004) Fotonik kristalin bant aralığı içindeki bir frekans ile dalgakılavuzu içinde yayılan ışık, hapsedilebilir ve dalgakılavuzu boyunca yönlendirilebilir (Joannopoulos vd. 1995, Nagpal ve Sinha 2004). Işık, fotonik bant aralıklı yapılarda kusurlar oluşturarak kılavuzlanabilir. Bu yüzden, fotonik kristallerde örgü kusuru (defect) oluşumu oldukça önemlidir. Örgü kusuru fotonik bant aralığındaki frekanslarda kılavuzlu kip oluşturur. 20

32 2.5 Fotonik Kristal Filtre Fotonik kristal optik filtre, fotonik kristal dalgakılavuzları ve kavite uygulamalarının bir örneğidir. Belirli frekanslı bir ışık fotonik kristal dalgakılavuzu boyunca kılavuzlanır, daha sonra bitişik bir fotonik kristal kavite tarafından yakalanır, son olarak da kaviteden dışarı yayınlanır. İki boyutlu bir fotonik kristal küçük optik filtrenin şematik gösterimi Şekil 2.16.a daki gibidir (Noda vd. 2003). Şekil 2.16.b de dalgakılavuzu yakınında oluşturulmuş bir tek kusur gösterilmektedir. Rezonans frekansındaki ışık kusur tarafından yakalanır ve yayınlanır. Diğer frekanslardaki ışık dalgaları fotonik kristal dalgakılavuzu boyunca etkilenmeden ilerlerler. Tek kusur rezonans frekansı f i f 1, f 2,.f i, Şekil 2.16 Fotonik kristal içindeki bir tek kusur tarafından fotonların yakalanması ve yayınlanması (Noda vd. 2003) Fotonik kristal dalgakılavuzu temelli optik filtrelerin tasarlanması ve sayısal çözümlenmesi için optik özelliklerinin bilinmesi gerekir. Fotonik kristalin fotonik bant yapılarını içeren dağınım özelliklerinin, kiplerinin hesaplanması gereklidir. Fotonik kristalin bant yapılarını hesaplamak için pek çok yöntem mevcuttur. Düzlem dalga yayılma metodu (Johnson ve Joannopoulos 2001), çok katlı saçıcı teorisi (the Korringa- Kohn-Rostoker metodu) (Leung ve Qiu 1993), transfer matrisi metodu (Pendry ve MacKinnon 1992), sonlu fark metodu (Qiu ve He 2000) bu metotlardan bazılarıdır. 21

33 Fotonik kristallerde dalga yayılımını simule etmek için kullanılan metotlardan bazıları; sonlu-fark-zaman bölgesi (finite-difference time-domain, FDTD) (Taflove ve Hagness 2000), öz kip açılımı (Bienstman vd. 2001) ve transfer matrisidir (Peschel vd. 2002). 22

34 3. MATERYAL VE YÖNTEM Işık özelliklerinin kontrol edilmesi optik tümleşik devrelerin geliştirilmesi bakımından oldukça önemlidir. Bu tezin amacı da, fotonik kristal dalga kılavuzu temelli küçük boyutlu optik filtre geliştirmek ve sayısal olarak çözümlemektir. Öncelikle kare örgülü hava düzleminde silindirik dielektrik çubuklar oluşturularak fotonik kristaller elde edilecektir ve bu yapıların bant diyagramları elde edilecektir. Bant yapıları ve EM kipleri düzlem dalga açılımı yöntemi kullanılarak belirlenecektir. Ardından bu yapılarda çizgi kusuru oluşturulacaktır (Bağcı ve Akaoğlu 2012). Oluşturulan çizgi kusuruna uygun frekansta dalga kılavuzu bir ışık kaynağınca uyarıldıktan sonra dalga kılavuzunun yansıma ve geçirgenlik özellikleri sayısal yöntemlerle çözümlenecektir. Ardından, dalga kılavuzu yakınında bir mikrokavite oluşturularak dalga kılavuzu içerisinden ilerleyen ışının yansıma spektrumu elde edilecektir. Mikrokavite sayısı aralarındaki mesafeler aynı kalacak şekilde artırılarak yansıma spektrumundaki değişiklikler incelenecektir. Bu işlemler çizgi kusurunun her iki tarafına da mikrokaviteler oluşturularak tekrarlanacaktır. Arka arkaya sıralı (cascaded) mikrokaviteler çizgi kusurunun her iki tarafında oluşturularak yansıma spektrumu üzerindeki etkileri incelenecektir. Mikrokavitenin boyutu, birden fazla saçıcının kaldırılması ile artırılarak yansıma spektrumu üzerindeki etkileri incelenecektir. Dalgakılavuzu-mikrokavite arasındaki mesafenin artırılmasının, yansıma spektrumunda meydana getirdiği değişiklikler analiz edilecektir. Son olarak, fotonik kristaller üzerinde gerçek uygulamalarda karşılaşılabilecek istem dışı oluşan durumların etkileri incelenecektir. 23

35 Şekil 3.1.a. Tek kaviteli çift taraflı filtre, b. Tek taraflı iki kaviteli filter, c. Arka arkaya sıralı (cascaded) kaviteli çift taraflı filtre (Lin vd. 2005) Fotonik kristallerin bant diyagramlarının elde edilmesi için düzlem dalga açılımı yöntemi kullanılacaktır. Fotonik kristal dalga kılavuzlarının geçirgenlik ve yansıma spektrumları ise zaman bölgesinde sonlu farklar (FDTD) yöntemi ile hesaplanacaktır. 3.1 Düzlem Dalga Açılımı Yöntemi Düzlem dalga açılımı (DDA) yöntemi, kristallerin bant yapısının hesaplanmasında kullanılan yöntemlerden bir tanesidir (Sözüer 1991). DDA yöntemi, dielektrik fonksiyonun ve EM alan çözümlerinin düzlem dalgalar üzerinden Fourier serisine açılabileceği varsayımına dayanır. Ters örgüde öteleme vektörleri, G = hb1 + kb2 + lb3 ; h, k, l Z (3.1) bi+ aj = 2 i,j kullanılarak oluşturulan e ig r oluşturdukları biçimindeki fonksiyonlar ortonormal tam küme r = (3.2) 24

36 için, (2.20) ve (2.24) denklemlerinin çözümü olarak bu fonksiyonlar üzerinden Fourier serisine açılabilen (3.4) eşitlikler yazılır. Burada ve terimleri sırasıyla, elektrik ve manyetik alanların Fourier açılım katsayıları ve sabit vektörlerdir. E k (r) ve H k (r) ise Bloch biçimindeki vektör alanlardır. k I. Brillouin bölgesi içerisinde kalan indirgenemez dalga vektörüdür. (2.20) denkleminde verilen hermisyen operatörün, Θ= x, temsil ettiği fiziksel sistemin bant yapısının,, belirlenmesi için gerçel özdeğerlerinin k dalga vektörünün fonksiyonu olarak bulunması gerekir. Bunun için H k (r) çözümü (2.20) denkleminde yerine konularak; = = (3.5) elde edilir. skaler bir fonksiyon olmak üzere, bu eşitlik; = + (3.6) vektör özdeşliği yardımıyla, = (3.7) 25

37 şeklinde yazılır ve türevsel ifadesi cebirsel ifadeye dönüştürülür. fonksiyonunun da, dielektrik sabiti de periyodik olduğu için, Fourier serisine (r) açılarak diğer dolanım ifadesi de aynı şekilde cebirsel bir ifadeye dönüştürülür: (r) = Burada (3.8), sabit Fourier katsayılarıdır. Bu ifade (3.7) de yerine konulursa, -ΣG X (3.9) = yazılır. (3.6) de verilen vektör özdeşlik ve dönüşümü yardımıyla, ΣG = ΣG (3.10) sadeleştirilmiş cebirsel ifade elde edilir. Eşitliğin her iki tarafındaki G üzerinden toplamların içerisindeki ifadelerin eşit olması ile yukarıdaki eşitlik tüm düzlem dalga önerileri için sağlanabilir: (k+g ) x = (3.11) Manyetik alan için Gauss yasası (manyetik alanın enine olma koşulu) (3.4) denkleminde verilen çözüm önerisi için; =0 )=0 (k+ G ) (3.12) =0; şeklinde yazılır. Eninelik koşulu (3.12) denklemi de AxBxC = B(A C) C(A B) vektör özdeşliği ile birlikte kullanılarak düzlem dalga çözüm önerileri için, 26

38 = (3.13) elde edilir. Yukarıda yapılan işlemler sonucunda, diferansiyel operatörler içeren 2.20 deki ana denklem, cebirsel bir denkleme dönüştürülmüş olur. Bu sayede verilen bir k dalga vektörü için açısal frekans değerleri ( ), bu cebirsel ifadenin çözülmesiyle belirlenir. İşlemler indirgenemez Brillouin bölgesindeki bütün dalga vektörleri için uygulanarak sistemin bant yapısı elde edilir. κ=k+ G dalga vektörüne dik iki birim vektör aşağıdaki gibi seçilebilir (Pendry 1996) : (3.14) = (3.15) Burada incelenen yapının yüzeyine dik birim vektördür., ve k+g vektörleri birbirlerine diktir ve sağ el sistemi oluştururlar (Sakoda 2001): (3.16) (3.13) eşitliği göz önünde bulundurulduğunda manyetik alanın Fourier bileşenleri tanımlanan birim vektör cinsinden, = + (3.17) şeklinde yazılabilir (Sakoda 2001). (3.13) eşitliği, verilen vektörel bileşenler de katılarak, matris şeklinde aşağıdaki gibi yazılır: 27

39 ( G, G) = (3.18) (3.19) Elemenları olan 2N x 2N elemanlı matris hermisyendir ve özdeğerleri diagonalizasyon işlemi ile elde edilir. DDA yöntemi ile band yapısı hesaplamada, herhangi bir k vektörüne karşılık gelen ( n=1, 2, 3 ) öz frekanslarını bulmak için sonsuz sayıda G vektörü kullanılması gerekir. Hesaplama olanaklarınının sınırlı olmasından dolayı, istenilen hassaslıkta sonuçlar elde etmeye yetecek miktarda G vektörü kullanılır. 3.2 Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD) Giriş Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD), EM problemlerin çözümünde sıkça kullanılan sayısal yöntemlerden biridir. FDTD yöntemi ile karmaşık problemler çözülebilir, ancak genellikle çözümler için büyük bellek ve zaman gerekebilir. FDTD yöntemi FD olarak bilinen sonlu farklar yönteminin Yee (1966) tarafından Maxwell Denklemlerine uyacak şekilde zaman bölgesi için geliştirilmesiyle oluşmuş bir yöntemdir. Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD) Maxwell denklemlerindeki kısmi türev operatörlerinin, merkezi farklara dayalı sonlu farklar karşılıkları ile değiştirilerek doğrudan zaman ve konum bölgelerinde sayısallaştırılmasına dayanır. FDTD yönteminde problem uygun ızgara koordinat düzlemine yerleştirilir. Maxwell denklemlerindeki diferansiyel operatörler sonlu farklar ile hesaplanır. Izgara düğümlerindeki alanlar ayrık zaman adımlarında (nδt) bulunur. Bu işleme zamanda 28

40 adımlama (ilerleme) denir. Herhangi bir düğümde, t anındaki alan bir önceki düğüm ve komşu düğümlerdeki alanlardan hesaplanır. Taylor serisi açılımı ile f(x) fonksiyonu, x noktasından kadar ötelenirse (3.20) (3.21) ifadeleri yazılabilir. İkinci denklemin birinciden çıkartılmasıyla (3.22) elde edilir. ile bölündüğünde (3.23) ifadesi bulunur. Soldaki ifade noktasındaki fonksiyonun türevi ve δ 2 ye bağlı olan gösterilmeyen sonsuz sayıdaki terimlerin toplamına eşittir. Denklemi yeniden düzenlersek, x=x 0 (3.24) Büyük O tüm açıkça gösterilmeyen terimler ve parantez içindeki değeri temsil eder. Örneğin, yazılmamış terimlerden nin en küçük derecesini gösterir. Eğer yeteri kadar küçükse türeve uygun bir yaklaşım O ile temsil edilen tüm terimleri ihmal ederek elde edilebilir. Böylece, merkezi fark yaklaşımı 29

41 x=x 0 (3.25) ile verilir Yee algoritması İlk olarak Yee tarafından geliştirilen, merkezi fark yaklaşımı kullanılan FDTD algoritması aşağıdaki gibi özetlenebilir (Schneider 2011): 1. Ampere ve Faraday yasalarındaki türevler sonlu farklar olarak ifade edilir. Elektrik ve manyetik alanların zaman ve konuma göre ötelenmesi için zaman ve konum parçalı şekilde tanımlanır. 2. Elde edilen fark denklemleri (bilinmeyen) gelecekteki alanları (bilinen) geçmiş alanlar açısından ifade eden güncelleme denklemlerini elde etmek için çözülür. 3. Bir zaman-adımı ilerideki manyetik alanlar hesaplanır, böylece bu alanlar artık bilinen (geçmiş) alanlar olur. 4. Bir zaman adımı ilerideki elektrik alanlar hesaplanır, böylece bu alanlar artık bilinen (geçmiş) alanlar olur. 5. Önceki iki adım alanlar elde edilene kadar gereken süre boyunca tekrar edilir. Bir boyut için algoritma aşağıdaki gibidir Bir boyutlu güncelleme denklemleri Sadece x yönünde değişimin olduğu bir boyutlu düzlemde, elektrik alanın sadece z bileşeninin olduğun düşünülürse, Faraday yasası aşağıdaki gibi yazılır: 30

42 Amper yasası, şeklinde yazılır. (3.26) ve (3.27) eşitliklerinden elde edilen iki skaler denklem şeklindedir. İlk denklem manyetik alanın zamana göre türevini elektrik alanın konuma göre türevi cinsinden verir. Diğer taraftan, ikinci denklem elektrik alanın zamana göre türevini manyetik alanın konuma göre türevi cinsinden verir. Sonraki adım (3.28) ve (3.29) eşitliklerindeki türevleri sonlu farklar ile değiştirmektir. Bunu yaparken zaman ve konumun parçalı hale getirilmesi gerekir. Alanın konumda ve zamanda nerede verildiğini belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılacaktır, (3.30), (3.31) noktalar arası konumsal uzaklık, ise zamansal uzaklıktır. 31

43 Şekil 3.2 Elektrik ve manyetik alan düğümlerinin (nodes) konum ve zamanda konumlanması (Schneider 2011) m konum adımlarına, q ise zaman adımlarına karşılık gelir. Üstel olarak yazılan q lar da zaman adımlarını temsil eder. Sadece bir konumsal boyutumuz olmasına rağmen, zaman başka bir boyut olarak düşünülebilir. Böylece problem iki boyutlu olur. Buradaki soru şudur: elektrik ve manyetik alan düğümleri (nodes) zaman ve konumda nasıl düzenlenebilir? Bu sorunun cevabı şekil 3.2 de verilmektedir. Şekil 3.2 de manyetik alan düğümleri daire şeklinde, elektrik alan düğümleri ise üçgen şeklinde gösterilmiştir. Oklarla belirtilen nokta, Hy için güncelleme denklemi elde etmek için fark denkleminin yazıldığı yerdir. Kesikli çizginin altında kalan bütün alanlar bilinen (geçmişte), üstündeki alanlar ise bilinmeyen (gelecekte) olarak kabul edilir. FDTD algoritması geçmiş alanlardan gelecek alanları elde etmeyi sağlar. 32

44 Şekil 3.2 de gösterildiği gibi, Faraday yasasını konum-zaman noktasında uygulayalım. (3.32) Zamana göre türev, ve içeren sonlu farklar ile değiştirilir (yani, manyetik alan sabit konumda fakat iki farklı zamanda). Konuma göre türev ise zamanda). ve ile değiştirilir (yani, elektrik alan iki farklı konumda fakat aynı Şekil 3.3 de gelcek ve geçmişi bölen çizgi yarım zaman adımı ileri taşınmıştır. Belirtilen nokta E z için güncelleme denklemini elde etmek için fark denkleminin yazıldığı yerdir. Şekil 3.3 Manyetik alanı güncelledikten sonra konum-zamanın konumlanması (Schneider 2011) 33

45 Buna göre, için çözersek, ifadesini elde ederiz. Bu denklem özel olarak H y için güncelleme denklemi dir. Herhangi bir manyetik alan düğümüne uygulanabilen genel bir denklemdir. Bu denklem H y nin gelecekteki değerinin sadece bir önceki değerine ve komşu elektrik alanlara bağlı olduğunu gösterir. (3.34) denklemini bütün manyetik alan düğümlerine uygularsak, geçmiş ve gelecek değerleri bölen çizgi, yarım zaman adımı kadar ilerlemiş olur. Benzer şekilde, Amper yasası (denklem 3.29), şekil 3.3 de gösterilen konum-zaman noktasında uygulanırsa, (3.35) elde edilir. Soldaki zamana göre türev, ve içeren sonlu fark ile değiştirilirse, ve 34

46 sağdaki konuma göre türev, ve içeren sonlu fark ile değiştirilirse ifadeleri bulunur. için çözüldüğünde, eşitliği elde edilir. (3.37) denklemi E z alanı için güncelleme denklemidir. Bu denklemin indisleri geneldir ve her E z düğümü için aynı denklem geçerlidir. Manyetik alanın güncelleme denklemine benzer şekilde E z nin de gelecekteki değeri yanlızca geçmiş değerine ve komşu manyetik alanlara bağlıdır. (3.37) denklemini her elektrik alan düğüm noktalarına uygularsak, geçmiş ve geleceği ayıran çizgi ileri doğru bir yarım zaman adımı ilerler. Sonuç olarak belli bir andaki elektrik (manyetik) alan değeri, aynı noktada bir önceki zaman adımında (Δ t kadar önceki) elektrik (manyetik) alan değerine ve komşu manyetik (elektrik) alanlara göre hesaplanır. Elektrik ve manyetik alanlar bu şekilde ilerler Courent koşulu Güncelleme katsayıları ve enerjinin bir oranı (bir zaman ve konum adımında yayılımı) şeklinde gösterilir. EM enerjinin yol alabildiği maksimum hız boşluktaki ışık hızıdır ( ), dolayısıyla bir zaman adımında enerjinin yol alabileceği maksimum mesafe dir. oranı Courant sayısı olarak bilinir ve 35

47 S c olarak gösterilir. S c simulasyonun kararlılığını belirlemede önemli bir rol oynar. Denklem 3.34 ve 3.37 deki katsayıları yazarken ve değerlerini aşağıda yerine koyarsak, ifadelerini elde ederiz. Burada boş uzayın karakteristik empedansıdır. Zaman adımları büyük olursa, FDTD simülasyonlarında kısıtlamalar olur, algoritma kararsız sonuçlar üretir. Enerjinin her zaman adımı için bir konumsal adımdan daha fazla yayılması mümkün değildir ( ). Bunun nedeni FDTD algoritmasında her düğüm yanlızca en yakın komşularını etkiler. Tek boyutlu simülasyon için düşünüldüğünde, kullanılır. Şekil 3.4 Manyetik ve elektrik alanlar arasındaki konumsal ötelemeyi gösteren bir boyutlu FDTD uzayı (Schneider 2011) 36

48 O halde FDTD denklemlerinin kararlı olabilmesinin şartı seçilen zaman adımında dalganın maksimum ilerlemesinin konum adımını aşmamasıdır. Başka bir deyişle, dalga hareketinin bir zaman adımında konum adımında kalabilmesi için zaman adımı buna uygun seçilmelidir. Bir boyut için FDTD algoritması yukarıda anlatıldığı gibidir. Boyutların ikiye ve üçe çıkmasıyla işlemler diğer boyutlar için de yapılır (Schneider 2011) FDTD Yönteminin avantajları Çok geniş frekans aralığı için çözüm vermektedir. FDTD rezonans frekansının tam bilinmediği veya herhangi bir anda istenilen geniş bandlı sonuçların elde edilemediği uygulamalarda uygun bir yöntemdir. FDTD yöntemi ile ilgilenilen yapılar kolay ve yüksek doğrulukta modellenebilmektedir. FDTD metodu ile elektrik ve manyetik alan bileşenleri hesap uzayının her noktasında doğrudan bulunabilir. 37

49 4. BULGULAR VE TARTIŞMA Optik mikrokaviteler birçok fotonik uygulamaları için temel yapı taşlarıdır. Işığı kontrol etme özelliğinden dolayı fotonik kristaller optik filtre, sensör, yarıiletken lazerler (Villeneuve 1995) gibi pek çok uygulamaları vardır. Örneğin, ultra-küçük dalgaboyu filtreler (Takano vd. 2004, Shinya vd. 2005) anahtarlama cihazları (Notomi 2005), geciktirme cihazları (Yanik 2004) telekominikasyon alanında uygulamalar için üzerinde yoğun çalışılan konulardır. Bu yapılar basitçe ölçeklendirilerek farklı frekans bölgeleri için tasarlanabilir olduğu için, uygulama alanları oldukça genişlemiştir. Bunun yanı sıra, fotonik kristallerde farklı kavite yapılarıyla değişik filtreler yapmak mümkündür. Kare, dairesel, hegzagonal, eliptik kavite şekilleriyle filtre uygulamaları geliştirilmiştir (Robinson ve Nakkeeran 2012). Literatürde sıkça görülen bir diğer dalgakılavuzu kavite uygulaması ise kanal düşme filtre lerdir. (Channel Drop Filter). İki boyutlu, kare örgülü fotonik kristallerle kanal düşme filtre çalışmaları oldukça yaygındr. Örneğin, fotonik kristal halka rezonatörler kullanılarak T şeklinde kanal-düşme filtre uygulaması Djavid vd. ( 2008) tarafından gösterilmiştir. Bunun yanı sıra iki boyutlu kanal düşme filterde hava deliklerinin üçgen örgüsü de incelenmiştir (Qui ve Jaskorzynska 2003). Ayrıca, hava deliklerinin boyutu değiştirilerek normalize frekans değişimi incelenmiştir. Başka bir çalışmada, polisitren kullanılarak iki boyutlu yüksek kalitede organik fotonik kristal filtre üretilmiştir (Hu vd. 2005). 4.1 Modellenen Fotonik Kristal Filtrenin Band Yapısı Bu tezde tasarlanan optik filtreler fotonik dalga kılavuzu boyunca ilerleyen ışık demeti ile yakınındaki mikro-kavitenin (ya da kavitelerin) rezonans durumunda etkileşmesi üzerine temellenmiştir. Filtreleme, rezonans frekansındaki ışığın kavite tarafından yakalanması ve yayınlanmasıyla oluşur. Bu çalışmada, kare örgülü fotonik kristal olarak iki boyutlu silikon silindirik dielektrik çubuklar kullanılmıştır. Çubuklar hava 38

50 ortamındadır. Çubukların yarıçapı 0,18a dır. Burada a örgü sabitidir ve değeri 1000nm olarak alınmıştır. Silikonun 20 C de dielektrik sabiti =11,56 ve kırıcılık indisi 3,46 dir. Bu yapının çizgi ya da nokta kusuru oluşturulmadan önceki TM ve TE kipleri için band diyagramları düzlem dalga açılımı yöntemi ile elde edilmiştir (Şekil 4.1). Kare örgüde yasaklı band aralığını hesaplayabilmek için indirgenemez Brilliouin alanlarının kenarlarına denk gelen k dalga vektörlerinde yapının izin verdiği frekanslar düzlem dalga açılımı metodu kullanılarak hesaplanmıştır. TM ve TE kipleri için band yapıları tamamen farklıdır. TM için fotonik band aralığı oluşurken, TE için oluşmamaktadır. TE mod TM mod Dalga vektörü Şekil 4.1 Kare örgülü fotonik kristal temelinde kurulmuş 2 boyutlu silindir dielektrik çubukların fotonik bant yapısı. (Mavi bantlar TM modları ve kırmızı bantlar TE modları gösterir) TM manyetik alanın çubuklara dik düzlemde ve elektrik alanın buna dik doğrultuda olduğu kutuplanmayı tanımlamaktadır. TE ise elektrik alanın düzleme parallel, manyetik alanın ise dik olduğu kutuplanmayı belirtmektedir. 39

51 Fotonik band aralığında fotonlar güçlü bir yansıma özelliği gösterir ve bant aralığı bu frekanslardaki ışığın ilerlemesini engeller. Dielektrik çubuklar eksen boyunca öteleme simetrisine sahip olduğu için, EM dalgalar iki enine polarize kipe ayrılır. TM tek frekanslı kipleri, TE ise çift frekanslı kiplere ait bandlardır. Dielektrik çubuklarda TM kipi için mutlak fotonik band aralığı oluşurken, TE kipi için kısmi band aralığı oluşmaktadır. Bu durumda bu yapıda çubuklar için en uygun olan TM kipidir. Çünkü TM ışığı sisteme gönderildiğinde ışığın bir kısmı fotonik band aralığı içindeki frekanslarda tam yansımaya uğrar, bir kısmı ise fotonik band aralığı dışındaki frekanslarda kırılarak geçer. Fotonik band aralığı içindeki frekanslarda gelen dalgalar ile birbirini kuvvetlendirerek yansıyan aynı fazda dalgalar birbirini sönümler. Periyodik yapı içinde ilerleyemez. Birim hücrede TM kipleri için band diyagramına bakacak olursak, 0,257< ω < 0,440 ( 2πc/a biriminde, c vakum içinde ışık hızı) ve 0,552 < ω < 0,600 frekanslarında fotonik band aralığı oluştuğu Şekil 4.2 de görülmektedir. Dalga Vektörü Şekil 4.2 Kare örgüde Brillouin bölgesinde merkezden yüzeye olan mesafede (Г- X aralığı) TM kipi için bant diyagramı Ardından bu yapıda ışığın bir noktadan başka bir noktaya iletilmesi için bir sıralık örgünün kaldırılması ile fotonik kristal dalga kılavuzu elde edilmiştir. Dalga kılavuzlu 40

52 yapıda TM bandı için diyagramı çizilmiştir. Dalga kılavuzlu yapıda TM bandı için kılavuzlu kip oluştuğu Şekil 4.3 te görülmektedir. Dalga kılavuzlu yapıda TE bandı için diyagrama bakacak olursak, kılavuzlu kip oluşmadığı görülmektedir (Şekil 4.4). Dalga kılavuzu bandı Dalga vektörü Şekil 4.3 Bir satırlık örgünün kaldırılmasıyla oluştururulan dalga kılavuzlu fotonik kristalin TM bandı için diyagramı Dalga vektörü Şekil 4.4 Bir satırlık örgünün kaldırılmasıyla oluştururulan dalga kılavuzlu fotonik kristalin TE bandı için diyagramı 41

53 Mikrokaviteli fotonik kristal yapılarda Kalite faktörü Q oldukça önemlidir. Q-faktörü kavite içinde kayıpların bir ölçüsüdür (Pierre vd. 1996). Q-faktörü aşağıdaki gibi hesaplanır, Q = ω 0 E/ P = - ω 0 E/ de/dt E depolanan enerji, ω 0 rezonans frekansı, P= -de/ dt harcanan güçtür. Yüksek verimli tüm optik filtreler, esas olarak yüksek rezonans Q-faktörü ile sağlanır. Mikrokavitedalgakılavuzu arasındaki uzaklık (s) arttıkça Q-faktörü artar. Fakat mikrokavitedalgakılavuzu arasındaki mesafeyi arttırmak enerji transfer verimliliğini azaltabilir. Bu yüzden Q-faktörü ve enerji çıkış verimliliği arasındaki dengeyi sağlamak için, optimum yapıyı bulmak önemlidir. Mikrokavite-dalgakılavuzu arasındaki mesafeye s dersek, s= 2a mesafesinin bunun için uygun olduğu Lin vd. (2005) tarafından gösterilmiştir. Bu yüzden bu çalışmada mikrokavitelerin dalgakılavuzundan uzaklı s=2a olarak ele alınmıştır. Bundan sonra dalga kılavuzunun bir tarafında ve her iki tarafında olmak üzere mikrokaviteler dielektrik çubukların kaldırılmasıyla oluşturulmuştur. Fotonik kristalde bir kusur oluşturulduğunda, band aralığı içindeki frekanslar için yansıtıcı duvarlarla çevrili bir oyuk oluşturulmuş olur. Oyuğun boyutu eğer kipi destekleyecek büyüklükteyse ışık kaçamaz. Yani bu kusur yasak frekans aralığında yerelleşmiş (lokalize) bir durum yaratır. 4.2 Dalgakılavuzunun Bir Tarafında Oluşturulan Mikrokaviteli Yapıların İncelenmesi Öncelikle dalga kılavuzunun bir tarafında mikrokaviteler oluşturularak yansıma spektrumu incelenmiştir. Şekil 4.5.a da görüldüğü gibi, dalga kılavuzuna s= 2a uzaklıkta bir atomun kaldırılmasıyla mikrokavite oluşturulmuştur (Lin vd. 2005). 42

54 2a 5a (a) (b) (c) (d) Şekil 4.5 Dalgakılavuzun bir tarafından dielektrik çubukların çıkarılmasıyla elde edilen:a.1 mikrokaviteli, b. 2 mikrokaviteli, c. 4 mikrokaviteli, d. 8 mikrokavitel fotonik kristal filtrelerin şematik gösterimi Kaynak olarak gausyen kaynak seçilmiştir. Bunun nedeni gausyen uyarımlar gausyen kaynak düzlemi ötesine yayılır, oysa ki düzlem dalga uyarımları düzlem dalga kaynağı kenarlarında aniden kesilir. Gausyen kaynak düzlem dalga benzeri zx-düzlemi (yatay) yönünde tanımlı uyarımlar (sinyaller) üretir. Gausyen kaynağın frekansı, kılavuzlu kipin frekans aralığında bir değer olan 0,35 olarak seçilmiştir. Frekans değeri 1/λ olduğuna göre kaynağın dalga boyu 1/0.35 = 2,857 μm dir. Şekil 4.6 da, dalga kılavuzu boyunca ilerleyen uygun frekansta ışığın mikrokaviteyle karşılaştığında rezonans durumunda yerelleşmesi görülmektedir. Şekil 4.6 da band aralığındaki dalgakılavuzu-mikrokavite rezonans durumu net bir şekilde görülmektedir. Işığın yansıma spektrumu elde edilmiştir (Şekil 4.7.a). 43

55 Şekil 4.6 Dalgakılavuzu-mikrokavite etkileşmesi -1 kaviteli -2 kaviteli Reflectivity (a) (b) -4 kaviteli -8 kaviteli (c) Frequency (d) Şekil 4.7 Dalga kılavuzunun bir tarafında oluşturulan: a. 1 mikrokavite, b. 5a mesafede 2 mikrokavite, c. 4 mikrokavite, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filtrenin yansıma-frekans grafikleri 44

56 Mikrokavitelerin sayısı çizgi kusuru boyunca artırılarak yansıma spektrumundaki değişiklikler incelenmiştir. Kaviteye 5a uzaklıkta yeni bir kavite oluşturulmuştur (Şekil 4.5.b). Işığın yansıma spektrumu hesaplanmıştır (Şekil 4.7.b). Arka arkaya sıralı (cascaded) kaviteler oluşturularak yansıma spektrumu üzerindeki değişiklikler incelenmiştir. (Lin vd. 2005) Mikrokavitelerin aralarındaki mesafe aynı (5a) kalacak şekilde sayısı artırılarak dörde çıkarılmıştır (Şekil 4.5.c). Benzer şekilde bu durum için yansıma spektrumu elde edilmiştir (Şekil 4.7.c). Mikrokavite sayısı arttıkça yansıma değerinin 1 e doğru yaklaştığı gözlemlenmiştir. Ayrıca yansıma bandı biraz daha genişlemiştir. Kavite sayısının Şekil 4.5.d deki gibi 8 e çıkması durumunda, yansıma katsayısı R=100% olarak elde edilmiştir (Şekil 4.7.d). Böylelikle kavite sayısını artırmak filtrenin enerji transferindeki performansını artırır ve daha iyi bir çıkış verimliliği sağlar. Kavite sayısı arttıkça Q-faktörü artar, yansıma rezonansı daha geniş bir frekans aralığında görülür (Şekil 4.7), bu sayede daha etkin bir fotonik kristal filtre elde edilmiş olur. 4.3 Dalgakılavuzunun Her İki Tarafında Simetrik Oluşturulan Mikrokaviteli Yapıların İncelenmesi Yukarıda incelenen tek taraflı kavite durumuna benzer şekilde, dalga kılavuzunun diğer tarafına simetrik olacak şekilde mikrokaviteler oluşturularak yansıma durumları incelenmiştir (Şekil 4.8). Bu durumda, optik filtre dalga kılavuzu eksenine göre ayna simetrisine sahiptir. Yansıma frekans grafiklerine bakacak olursak, iki taraflı mikrokaviteli fotonik kristallerde, tek taraflıya göre rezonans frekansının biraz daha arttığı görülmektedir. Bu da Q-faktörünün iki taraflı mikrokaviteli yapılarda tek taraflıya göre daha fazla olduğunu gösterir. 45

57 (a) (b) (c) (d) Şekil 4.8 Dalgakılavuzun iki tarafından simetrik olarak dielektrik çubukların çıkarılmasıyla elde edilen: a. 1 mikrokaviteli, b. 2 mikrokaviteli, c. 4 mikrokaviteli, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filtrelerin şematik gösterimi. İki taraflı filtrede sadece bir ya da iki çift mikrokavite ile çıkış yansıma sinyalleri daha geniş bir frekans aralığında 100% e ulaşmıştır (Şekil 4.9.a,b). Tek taraflı mikrokaviteli filtreye göre çift taraflı mikrokaviteli yapılarda daha verimli filtreleme elde edilmiştir. 46

58 -1 kaviteli -2 kaviteli (a) Reflectivity (a) (b) -4 kaviteli -8 kaviteli (c) (c) Frequency (d) Şekil 4.9 Dalga kılavuzunun her iki tarafında simetrik olarak oluşturulan: a. 1 mikrokavite, b. 5a mesafede 2 mikrokavite, c. 4 mikrokavite, d. 8 mikrokaviteli fotonik kristal filternin yansıma-frekans grafikleri Şekil 4.9.d de, çift taraflı, 8 er mikrokaviteli yapıda, çok daha geniş bir frekans aralığında ışık % 100 e yakın bir yansımayla yerelleşmiştir. Şekil 4.10 da, çift taraflı, 8 er mikrokaviteli yapıda mikrokavite-dalgakılavuzu etkileşmesi görülmektedir. 47

59 Şekil 4.10 Çift taraflı, 8 er mikrokaviteli yapıda mikrokavite-dalgakılavuzu etkileşmesi Mikrokavitelerin boyutunun artırılmasının filtreye etkisi Bir diğer değişken olan mikrokavitenin boyutu iki dielektrik çubuğun kaldırılmasıyla a dan 2a ya çıkartılmıştır. İncelenen 8 er mikrokaviteli optik filtrenin yapısı şematik olarak şekil 4.11 de gösterilmiştir. Şekil 4.11 Dalgakılavuzun iki tarafından ikişer dielektrik çubuğun kaldırılması ile elde edilen fotonik kristal filtrenin şematik gösterimi 48

60 Bir dielektirik çubuğun çıkarılmasında olduğu gibi, iki çubuğun çıkarılmasıyla çıkış yansıma sinyalleri 100% ulaşır. Şekil 4.12 de görüldüğü gibi frekans değeri kavitelerin boyutu artırıldığında 0,387 den 0,424 e çıkmıştır. Şekil 4.12 Çift taraflı, 8 er mikrokaviteli yapının band diyagramı,dielektrik çubukların boyutu a (solda), dielektrik çubukların boyutu 2a (sağda) Dalgakılavuzu mikrokavite arasındaki uzaklığın artırılmasının filtreye etkisi Diğer bir değişken olan dalga kılavuzu mikrokavite arasındaki boylamasına uzaklık (s) 2a dan 3a ya çıkarılmış (şekil 4.13) ve yapının yansıma spektrumu elde edilmiştir (şekil 4.14). 49

61 Şekil 4.13 Dalga kılavuzuna 3a uzaklıkta oluşturulmuş 8 er mikrokaviteli optik filtrenin yansıma spektrumu. - 8kaviteli, s=3a uzaklıkta Şekil 4.14 Dalga kılavuzunun her iki tarafında, s=3a mesafe uzaklıkta simetrik birer dielektrik çubuğun çıkartılmasıyla oluşturulmuş optik filtrenin yansıma spektrumu. Şekil 4.14 te dalgakılavuzu-mikrokavite arasındaki uzaklık artırıldığında rezonans frekansı daha yüksek frekans değerlerine doğru kaymıştır. Frekans değerinin artması Q faktörünün artmasını sağlar. 50