2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi"

Erdem Akbaba
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi Mehmet Ali Olpak Fizik Bölümü Orta Doğu Teknik Üniversitesi Ankara, Aralık 2011

2 Outline Geometri Denklemin Parçalanması 4

3 Genel Durum N boyutlu bir uzayın, daha düşük boyutlu bir alt kümesine kısıtlanmış bir sistemi ele alalım. İlgili QM hareket denklemleri nelerdir? Motivasyon: "bükülebilir" QM sistemler (karbon nanotüler gibi) [2]; efektif olarak Dirac denklemine uyan sistemler (graphene gibi) [1], vs.

4 İncelenen Durum Dirac denk. uyan bir parçacık (3+1 D). Elektrostatik alan (klasik) Parçacığın kısıtlandığıyüzey

5 Basamaklar Koordinat transformasyonu: bir koordinat (q 3 ) yüzey boyunca sabit kalsın. Bu koordinat yüzeye dik olsun. Nesneleri q 3 = 0 etrafında açalım. q 3 = 0 da denklemi teğet ve normal parçalara ayıralım.

6 Outline Geometri Denklemin Parçalanması Geometri Denklemin Parçalanması 4

7 Geometri Denklemin Parçalanması Ele alınan durum: Figure: Ref: [3]

8 Geometri Geometri Denklemin Parçalanması P nin Q ya S üzerinde en yakın nokta olduğunu ve q 3 ün diğer uzunluklara kıyasla küçük olduğnu varsayalım. Q nun konum vektörü: R(q 1, q 2, q 3 ) = r(q 1, q 2 ) + q 3 N(q 1, q 2 ) (1) q 3 : normal koordinat, N: yüzeyin birim normal vektörü. G µν = R q µ R q ν G ij = ( r q i + q 3 N q i ) ( r q j + q 3 N ) q j, i, j = 1, 2 G i3 = 0, G 33 = 1. (2)

9 Outline Geometri Denklemin Parçalanması Geometri Denklemin Parçalanması 4

10 Genel Denklem Geometri Denklemin Parçalanması Parçacığın EM alanla [2] deki gibi etkileştiğni varsayalım. Bu durumda genel denklem [2]: [ i D 0 Ψ = 1 2 µ ( GG µν ν Ψ) + iq µ ( GG µν A ν )Ψ 2m G G ] + 2iQ G µν A ν µ Ψ + Q 2 G µν A µ A ν Ψ. (3) olur; Q: parçacığın yükü, D 0 t + iq Φ, A: vektör potansiyel, Φ: skalar potansiyel.

11 Dalga Fonksiyonu Geometri Denklemin Parçalanması Normalizasyon integrali [2]: d 3 xψ (x)ψ(x) = d 3 q GΨ (q)ψ(q) = d 3 q ( ) g 1 + q 3 Tr(α) + (q 3 ) 2 det(α) Ψ (q)ψ(q) = 1. (4) Burada N(q) q i α i j r(q) q j. (5) Tanım: χ(q) (1 + q 3 Tr(α) + (q 3 ) 2 det(α)) 1/2 ψ(q). Bu durumda: d 3 xψ (x)ψ(x) = d 2 qdq 3 gχ (q)χ(q) (6)

12 Elde Edilen Schrödinger Denk. Elde edilen denklemler: Geometri Denklemin Parçalanması i D 0 χ n = 2 2m ( 3) 2 χ n + V λ (q 3 )χ n (7) [ i D 0 χ s = 1 2 i ( gg ij j χ s ) + iq ( gg ij A j )χ s 2m g g + 2iQ g ij A i j χ s + Q 2 g ij A i A j χ s ] + V s χ s (8) Önemli: yüzey üzerinde ölçülebilir nicelikleri hesaplarken "dış dünya"ya referans ( gerekmiyor. (1 ) 2 V s 2 2m 2 Tr(α) det(α)) : geometrik potansiyel [2].

13 Eğri uzayzamanda Dirac denklemi [4]: M 4 te genel bir koordinat sistemi (iγ a E a µ D µ m)ψ(q) = 0. (9) q 3 ün kuvvetleri cinsinden açılım (O(q 3 ) e kadar) Latin harfleri: düz koordinatlar, Yunan harfleri: genel koordinatlar Bu konu daha önce Burgess ve Jensen tarafından [4] te ele alındı.

14 Metrik: [4, 5] "Vierbein"lar: [ ] Gµν = 0 G ij 0 (10) e a µe a ν = δ ν µ, e a µe b µ = δ a b, e a µe b νη ab = G µν, E a µ E b ν η ab = G µν. (11)

15 Dirac matrislerinin cebiri: [γ a, γ b ] + = 2η ab (12) Christoffel katsayıları: ω µ = 1 8 ω abµ[γ a, γ b ], (13) ω a bµ E b ν µ e a ν. (14) Bu şekilde: γ c E c µ ω abµ [γ a, γ b ] = 2γ a ( µ E a µ ). (15)

16 Yeniden tanımlanmış spinör [5]: χ ψ F, F 1 + q 3 Tr α. (16) Seçilen "Vierbein"lar: e a i = i x a + q 3 i n a = i x a + q 3 α k i k x a, e 0 0 = 1, e a 3 = N a, a = 1, 2, 3, diğerleri = 0, (17) ve (tilda: "yüzeyde") i E a = Ẽa i q 3 α i k Ẽ k a, E 0 0 = 1, E 3 a = N a, a = 1, 2, 3, diğerleri = 0. (18)

17 EM (klasik) alanda [5]: ) (γ γ A Ẽ i A i + 14 γa ( i Ẽ i A ) 14 γa Ñ A Tr(α) + γ A Ñ A 3 i ( ) + eγ 0 A 0 (q 3 ) m χ = 0, A = 1, 2, 3; i = 1, 2. (19) Ekstra terim: V geo. = 1 4 γa Ñ A Tr(α). (20) χ

18 Soru: V geo. i nasıl yorumlayabiliriz? Yanıt: (arxiv: v3 [hep-th]) (γ 0 eλq 3 iγ A Ñ A 3 )χ = K χ. (21) : 4 χ exp[ a(q 3 ) 2 + bq 3 ] h r (t, q i )V r (q i ), (22) r=1 a > 0, b = 0 ve iγ A Ñ A V r (q i ) c r V r (q i ). (23)

19 Burgess ve Jensen in çalışması[4] ile farklar: Elde edilen denk.: [ 4 ( i γ γ A Ẽ i A i + 1 ) 4 γa ( i Ẽ i A ) r=1 ] c ( ) r 4 Tr(α) m h r (t, q i )V r (q i ) = 0. (24) [4] te içsel eğriliği sıfır olan yüzeyler, burada genel durum inceleniyor.

20 Burgess ve Jensen in çalışması [4] ile farklar: Geometrik terim V geo. : [4] te, V geo. = 1 2 γa Ñ A Tr(α); Christoffel kat. dan gelen katkı yok. [4] te b 0, ancak "büyük olasılıkla" parçacık "yüzey" üzerinde, dolayısıyla b = 0 (prob. conservation).

21 Açık noktalar: c r Tr(α) + m efektif kütle terimleri gibi görünmekte; tam 4 çözüme göre yorunlanmalı. Yaklaşımın geometrik ve deneysel geçerlilik koşulları([4] te ele alınmış). γ ların 3+1 D rep. 4x4. Denklem hangi koşullarda diagonalize edilebilir (2x2 olarak) ([4] te ele alınmış)?

22 Appendix Ek okuma Ek okuma I R. Jackiw, S. Y. Pi. Chiral Gauge Theory for Graphene arxiv:cond-mat/ v2 [cond-mat.str-el]. G. Ferrari, G. Cuoghi. Schrödinger equation for a particle on a curved surface in an electric and magnetic field. Phys. Rev. Lett, 100(23):230403, R. da Costa. Quantum Mechanics of a Cosntrained Particle. Phys. Rev. A, 23(4): , 1981.

23 Appendix Ek okuma Ek okuma II M. Burgess, B. Jensen Fermions Near Two Dimensional Surfaces Phys. Rev. A, 48(3): , M. A. Olpak Dirac Equation on a 2+1 Dimensional Hypersurface arxiv: [hep-th], to be published in Mod. Phys. Lett. A.

24 Appendix Ek okuma TEŞKKÜR EDERİM

Benzer belgeler

Birinci Sınıf Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Jeneratörleri midir?

Birinci Sınıf Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Jeneratörleri midir? Mehmet Kemal Gümüş Hacettepe Üniversitesi Fizik Mühendisliği Bölümü 14 Şubat 2015 Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik