ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK

Transkript

1 NKR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK İSTTİSTİK NBİLİM DLI NKR 00 er hkkı sklıdır

2 ÖZET Yüksek Lss Tez İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK kr Üverstes e Blmler Esttüsü İsttstk blm Dlı Dışm: Doç. Dr. Brdl ŞENOĞLU İç-çe vrs lz (NOV le lgl brçok çlışm bulumktdır. Bu çlışmlrı brçoğud modeldek htlrı orml dğıldığı vrsılmktdır. ck, ugulmd orml olm dğılımlr dh gıdır. Çlışmı mcı, ht termler dğılımı orml dğılım ugu olmdığı durumd urlmış e çok olblrlk (UEÇO metoduu kullrk model prmetreler thm etmektr. Bu tez çlışmsıd br smetrk dğer çrpık dğılımı temsl etmek üzere k rı dğılım kullılmıştır. Bulr, uzu kuruklu smetrk ve geelleştrlmş lojstk dğılımlrdır. Ele lı modeldek prmetreler thm edcler bulmk ç UEÇO thm ötem kullılmıştır. Smülso çlışmsı pılrk, UEÇO thm edcler e küçük kreler EKK thm edclere göre dh dıklı ve etk olduklrı gösterlmştr. Buul berber, UEÇO thm edclere d test sttstkler gelştrlmştr ve Mote Crlo smülsou rdımıl UEÇO ötemle elde edle test sttstkler dh güçlü ve dıklı olduklrı gösterlmştr. rıc, ugulm çlışmsı olrk, ltertürde, ht termler orml dğıldığı vrsılrk ve EKK ötem kullılrk pıl k örek üzerde UEÇO ötem ugulmış ve elde edle souçlr le ltertürdek souçlr krşılştırılmıştır. Ock 00, 84 Sf htr Kelmeler: İç-çe tsrımlr, dıklılık, etklk, urlmış e çok olblrlk.

3 BSTRCT Mster of Scece Thess ROBUST NLYSIS IN NESTED DESIGNS ND PPLICTIONS İklm GEDİK kr Uverst Grdute School of Sceces Sttstcs Progrm Supervsor: ssoc. Prof. Dr. Brdl ŞENOĞLU There s extesve lterture o lzg ested clssfed dt. Most of studes hges o the ormlt ssumpto of the error dstrbuto. owever, prctce, oorml dstrbuto s more commo. The m of ths stud s to estmte model prmeters whe the error dstrbuto s o-orml b usg the methodolog kow s modfed mxmum lkelhood (MML. I ths thess two dstctve dstrbutos re cosdered: Log Tled Smmetrc (LTS d Geerlzed Logstc. The method of MML s used to estmte model prmeters for ech dstrbuto. smulto stud s performed to show tht MML estmtors re more effcet d robust th the trdtol lest squre (LS estmtors. Moreover, test sttstcs re developed b usg the MML estmtors. Mote Crlo smulto studes show tht test sttstcs whch re obted b usg the method of MML re more powerful d robust. Rel lfe exmples re gve. Jur 00, 84 pges Ke Words: Nested desgs, o-ormlt, robustess, effcec, method of modfed lkelhood.

4 TEŞEKKÜR Çlışmmı her şmsıd bemle büük br sbır ve ttzlkle lglee, hçbr sorumu ıtsız bırkm, htcım olduğu her ulşbldğm, değerl blglerle b ışık tut, mev desteğ hçbr koşuld esrgemee, dışm hocm Doç. Dr. Brdl ŞENOĞLU (kr Üverstes e kültes İsttstk blm Dlı ürekte teşekkür edorum. Değerl hoclrım Doç. Dr. İc BTMZ (Ortdoğu Tekk Üverstes e Edebt kültes İsttstk blm Dlı ve Yrd. Doç. Dr. İhs KRBULUT kr Üverstes e kültes İsttstk blm Dlı çlışmm ktkılrıd dolı çok teşekkür edorum Yoğu çlışm progrmıı rsıd e zorldığım lrd rdımım koş ve blgler bemle plş rkdşım rş. Gör. Şükrü cıtş çok teşekkür edorum. em blgler hem sevgler bemle plşrk morlm üksek tutmmı sğl rkdşlrım rş. Gör. Pel Ksp ve rş. Gör. Nur Çelk e çok teşekkür edorum. Be lıp, her zm ımd ol ve be her koşuld desteklee cım leme sosuz teşekkür edorum. İklm GEDİK kr, Ock 00

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... BSTRCT... TEŞEKKÜR... ŞEKİLLER DİZİNİ... v ÇİZELGELER DİZİNİ... v.giriş.... İç-çe Tsrımlr..... İk şmlı ç-çe tsrımlr Ver pısı Prmetre thm Vrs lz NOV tblosu ve hpotez testler Üç şmlı ç-çe tsrımlr Prmetre thm Vrs lz NOV tblosu ve hpotez testler Geelleştrlmş ( q şmlı ç-çe tsrımlr Prmetre thm Vrs lz NOV tblosu ve hpotez testler UZUN KUYRUKLU SİMETRİK DĞILIM Urlmış E Çok Olblrlk (UEÇO Yötem İk şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Prmetre thm Vrs lz potez testler ve test sttstkler Üç şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Prmetre thm Vrs lz potez testler ve test sttstkler... 7 v

6 .4 Geelleştrlmş ( q şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Prmetre thm Vrs lz potez testler ve test sttstkler Smülso Çlışmsı GENELLEŞTİRİLMİŞ LOJİSTİK DĞILIM UEÇO Yötem İk şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Prmetre thm Vrs lz potez testler ve test sttstkler Üç şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Prmetre thm Vrs lz Geelleştrlmş ( q şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Prmetre thm Vrs lz Smülso Çlışmsı SİMÜLSYON ÇLIŞMSI VE SONUÇLRI t Termler Dğılımıı LTS Olmsı Durumud Test Gücü t Termler Dğılımıı GL Olmsı Durumud Test Gücü Dıklılık (Robustess UYGULM SONUÇ KYNKLR ÖZGEÇMİŞ v

7 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl 5. Q-Q grfğ (Norml Dğılım... 7 Şekl 5. Q-Q grfğ (LTS ( p 3. 5 Dğılım... 7 Şekl 5.3 Q-Q grfğ (Norml Dğılım Şekl 5.4 Q-Q grfğ (GL ( b 4 Dğılım v

8 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge. İk şmlı İç-çe Tsrımlr ç Ver Ypısı... 4 Çzelge. İk şmlı İç-çe Tsrımlrd NOV Tblosu... 7 Çzelge.3 Üç şmlı İç-çe Tsrımlrd NOV Tblosu... Çzelge.4 Geelleştrlmş İç-çe Tsrımlrd NOV Tblosu... 7 Çzelge. LTS Dğılımıd rklı p Değerlere Göre Bsıklık Değerler... 8 Çzelge. ve B( Testler I. Tp tlrı... 7 Çzelge.3 Geelleştrlmş İç-çe Tsrımlrd UEÇO ötem kullılrk oluşturul NOV tblosu... 3 Çzelge.4 µ, α, β ( ve Prmetreler UEÇO ve EKK Thm Edcler Ortlm, xmse ve RE Değerler Çzelge 3. GL dğılımd bsıklık ve çrpıklık ktsılrı Çzelge 3. GL Dğılımıd ve B( Testler I. Tp tlrı... 4 Çzelge 3.3 µ, α, β ( ve Prmetreler UEÇO ve EKK Thm Edcler Çzelge 4. Ortlm, xmse ve RE Değerler ve İsttstkler Güçler Çzelge 4. ve B( İsttstkler Güçler B( Çzelge 4.3 ve İsttstkler Güçler Çzelge 4.4 ve B( İsttstkler Güçler B( Çzelge 4.5 Model I-II-III-IV-V de µ, α, β ( ve Prmetreler UEÇO ve EKK Thm Edcler Ortlm, xmse ve RE Değerler Çzelge 4.6 Model I-II-III-IV-V te ve İsttstkler Güçler... 6 Çzelge 4.7 Model I-II-III-IV-V te ve B( İsttstkler Güçler... 6 B( Çzelge 4.8 Model VI-VII-VIII-IX-X de µ, α, β ( ve Prmetreler UEÇO ve EKK Thm Edcler Ortlm, xmse ve RE Değerler.. 65 Çzelge 4.9 Model VI-VII-VIII-IX-X te ve İsttstkler Güçler Çzelge 4.0 Model VI-VII-VIII-IX-X te ve B( İsttstkler Güçler B( Çzelge 5. Ugulm e t Ver Set... 7 v

9 Çzelge 5. Ugulm de EKK ve UEÇO Thm Edcler... 7 Çzelge 5.3 Ugulm ç NOV Tblosu Çzelge 5.4 Ugulm e t Ver Set Çzelge 5.5 Ugulm de EKK ve UEÇO Thm Edcler Çzelge 5.6 Ugulm ç NOV Tblosu v

10 . GİRİŞ Çlışmı lk bölümüde brçok ld sıklıkl kullıl ç-çe tsrımlr k şmlı, üç şmlı ve geelleştrlmş ç-çe tsrımlr lt bşlıklrı hlde rıtılı br şeklde celemştr. rıc bu bölümde ç-çe tsrımlrd e küçük kreler (EKK ötemde bhsedlmştr. İkc ve üçücü bölümlerde sırsıl uzu kuruklu smetrk dğılımı (LTS ve geelleştrlmş lojstk dğılımı (GL geel özelkler ve ç-çe tsrım modeldek ht termler bu dğılımlr shp olduğu durumd urlmış e çok olblrlk ötem (UEÇO ele lımıştır. Dördücü bölümde EKK ve UEÇO thm edclere dlı test sttstkler güçler LTS ve GL dğılımlrı ltıd celemek mcıl pıl smülso çlışmsı souçlrı suulmktdır. Çlışmı beşc bölümüde ltertürde klsk EKK ötem ugul k ver kümese UEÇO ötem ugulmıştır ve k öteme t souçlr krşılştırılmıştır. ltıcı bölümde, çlışmı geel souçlrı suulmktdır ve lerlee zmlrd pılmsı pll çlışmlr ltılmktdır.. İç-çe Tsrımlr Deede bulu fktörler ç çe er ldığı ve bu fktörler her br düzede çtek fktöre t frklı düzeler buluduğu çok fktörlü dee tsrımı ç-çe ve herrşk dee tsrımı der. İç-çe tsrımlrd brçok ld fdlılmktdır. Bolojde, clrı tür, cs ve lee göre sııfldırılmsı dlı çlışmlrd ç çe tsrımlr sıklıkl rstlmktdır. Buul brlkte, pskoloj lıdk brçok çlışm, fzk,

11 sttstksel mekk ve edüstrel rştırmlr ç-çe tsrımlrı kullıldığı llr rsıddırlr (rbe vd İç-çe tsrımlrd pıl çlışmlr Preece (967 trfıd bşltılmıştır. ederer (97, vrso kğı çok ol br ver setde klsk blok tsrımı ugulmdığı durumd frklı br dee tsrımı ötem ol ç-çe tsrım tekğ kullmıştır. Preece ve ederer çlışmlrı Kgem ve Mo (997 trfıd devm ettrlmştr. Bhsedle çlışmlrl brlkte ç-çe tsrımlrd lz ötemler öeml çlışmlrı Clsk ve Kgem (996 ve Morg (996 ı çlışmlrıd mevcuttur (Kgem ve Mo 00. İç-çe dee tsrımı ç verler lzde geellkle EKK ötem kullılır. EKK tekğ le prmetre thmler pılblmes ç temel bzı vrsımlr vrdır. Bu vrsımlr geel olrk ht termler le lgldr. Y EKK tekğ vrsımlrı ht termler dğılımı hkkıddır. Vrsımlr göre, t termler e k (j bğımsızdır ve orml (, N olrk dğılır (Dvd e İç-çe tsrımlr, k şmlı, üç şmlı olrk özelleştrlebldkler gb k şmlı ççe tsrımlr olrk geelleştrleblrler. İlerlee bölümlerde ç-çe tsrımlrı özel hller rıtılı br şeklde ele lımıştır... İk şmlı ç-çe tsrımlr Br dee, sırsıl ve b düzel, ve B fktörler çerdğ, B fktörüü her düze fktörüü lız br düzede er ldığı ve B fktörüü her düzede gözlem olduğu düşüülsü. Böle br düzeek ç mtemtksel model, jk,,..., µ + α + β + ε k( j j,,..., (. k,,..., şekldedr. Toplm gözlem sısı,

12 N b (. tedr. Burd, jk, fktörüü c düzede, fktörüü c düze le ç çe ol B fktörüü j c düzede k cı gözleme krşılık gele bğımlı değşke değerdr. µ, bütü gözlemlere t geel ortlm, α, fktörüü -c düze etks β, fktörüü -c düzedek B j-c düze etks ve k (j göstermektedr. ε ht term B fktörüü frklı düzeler, fktörüü frklı düzeler ç ı olmdığıd ç-çe modelde B fktörü ç temel etkler kbolmktdır. Dhsı, B fktörüü her düze fktörüü her düzede görülmedğde dolı, modelde ve B fktörler rsıdk etkleşm etks oktur. Model ç temel vrsımlr, br öcek bölümde bhsedldğ gb, ht termler bğımsızdır ve orml dğılırlr. Bu vrsımlr, model sbt, rstgele d krm olmsı bğlı olrk e vrsımlr eklemektedr. Bu çlışmd sbt etkl model ele lıcktır. Sbt etkl model: Model çdek fktörler özel seçlmş se, sbt se model sbt etkl model (fxed effects model olrk dldırılır. Bu modelde, fktörüü etkler toplmı sıfır α 0 ve ı her düzedek B fktörüü etkler toplmı sıfırdır b j B 0, (Serle, Ver pısı İk şmlı ç-çe tsrımlrd ver pısıı çıklmk ç şğıdk örek verleblr. şehrde det lçe, her br lçede b det lköğretm okulu ve her br okuld öğrec seçls. Bu öğrecler LGS pulrı değerledrlmek stes. Bu dee tsrımıd, fktörü lçeler, B fktörü lköğretm okullrıı göstermektedr. 3

13 Böle br tsrımd ver pısı, Çzelge. İk şmlı İç-çe Tsrımlr ç Ver Ypısı B B B b B B B b b b b b B B B b b b b b b şekldedr. Burd jk lr öğrecler LGS sıvıd ldıklrı puı göstermektedr. İlerdek bölümlerde, Çzelge. de gösterle ver pısı t vrs lz ötem rıtılı br şeklde celemştr.... Prmetre thm İç-çe tsrımd prmetre thm ötem olrk, ht termler ε jk lr beklee değer sıfır, vrsı ε ol orml dğılım shp bğımsız rstgele değşkeler gösterdğ vrsımı pıldığı durumd EKK sıklıkl kullılır. İk şmlı ç-çe tsrımlr lşk mtemtksel model bölüm.. de (. eştlğde verlmştr. Bu modelde µ, ve β prmetreler olup, mç ht kreler e küçük pck α şeklde bu prmetreler thm etmektr. Bu edele, b b ( ( µ α β, α, β ε jk Q µ (.3 j k j k jk değer, 4

14 b α β 0 (.4 j ( kısıtı ltıd mmze edlr ve Q µ, α, β değer mmum p µ, α ve β değerler buluur (geel 996. tlrı e küçük p değerlere ulşmk ç Q ( µ α, β, foksouu prmetrelere göre türevler lıır ve elde edle ( j ( foksolr sıfır eştler. Q µ, α, β foksouu türev lıdığıd; Q µ Q α Q β b ( jk µ α β j k b ( jk µ α β j k 0 ( jk µ α β 0 k 0 (.5 eştlkler elde edlr. (.5 te verle eştlkler çözüldüğüde ç-çe tsrımd EKK thm edcler, b ( jk j. ˆ j k µ ˆ ˆ..., α....., β j... ve ˆ ε (.6 b şeklde elde edlr. ( Burd, b j k jk...,.. ve b b b j k jk j. k jk dr. 5

15 ...3 Vrs lz İk şmlı ç-çe sııfldırılmış verler ç vrs lz şğıdk dımlr zleerek pılır. dım : Serbestlk dereceler (sd belrler. sd sd sd sd B( t Toplm b ( b ( b dım : Kreler toplmlrı (KT buluur. Kreler toplmlrı ç hesplm formüller geel kreler toplmı rdımıl şğıdk gb oluşturulur. jk ( + ( + ( ( j... jk j. b b b ( jk b ( ( j... + ( jk j.... (.8 j k j j k Yukrıdk eştlğ sol trfı geel kreler toplmıı, sğ trflr se her fktöre t kreler toplmlrıı vermektedr. Bst olrk bu eştlk KT + KT T KT + KTB( t şeklde zılblr. Burd, KT b b (....., KT B ( j j... (, b KT ( j. j k jk ve 6

16 b b... jk,.. jk, j k j k j. k jk dır. dım 3: Kreler ortlmlrı ( hesplır. Kreler ortlmlrı kreler toplmlrıı serbestlk derecelere bölümesle elde edlr. KT B( t KT KT ( B( t ( b b( dım 4: Test edlecek hpotezler oluşturulur ve test sttstkler hesplır. dım 5: Vrs lz tblolrı oluşturulur. Vrs lz tblolrı br sork bölümde rıtılı olrk celemştr....4 NOV tblosu ve hpotez testler İk şmlı ç-çe tsrımlrd sbt etkl modeller ç vrs lz şğıdk çzelge kullılrk pılmktdır. Çzelge. İk şmlı İç-çe Tsrımlrd NOV Tblosu Değşm Kğı Serbestlk Dereces B ( ( b Kreler Toplmı B( t b ( Toplm b KT T Kreler Ortlmsı KT KT ( KT KT ( b B( KT KT b( Düzeler özel seçlmş fktörler ç sıfır hpotez, bu fktörü düze etkler sıfır eşt olmsı şeklde kurulur. Bu durumd, fktörüü ve fktörü çdek 7

17 B fktörüü düzeler bğımlı değşke üzerdek etkler test edecek hpotezler şğıdk gbdr. 0 : α : α 0 0 B 0 B : β : β ( j 0 0 fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, (.9, ~ v v olup serbestlk dereces v ve b( v olrk lıır. Bezer şeklde, B fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, B( B( ~ v, v (.0 olup, burd v ( b ve b( v dr. espl değerler, α lm düzede, v,v tblo değerlerde büük se, 0 hpotez reddedlr... Üç şmlı ç-çe tsrımlr Üç şmlı ç-çe dee tsrımıd k şmlı ç-çe dee tsrımıd frklı olrk ç-çe k fktör ere üç fktör bulumktdır. Bşk br deşle, c düzel C fktörüü b düzel B fktörüü çde, B fktörüü de düzel fktörüü çde buluduğu br dee tsrımıdır. Böle br düzeekte C her düzede gözlem seçldğ durumd mtemtksel model, 8

18 jkm,,..., j,,..., b µ + α + β + λk ( j + ε m( jk, (. k,,..., c m,,..., şekldedr. Burd, jkm, fktörüü c düzede, fktörüü c düze le ç çe ol B fktörüü j c düzede, B fktörüü j c düze le ç çe ol C fktörüü k cı düzede m c gözleme krşılık gele bğımlı değşke değerdr. Bu modelde k şmlı ç-çe tsrım modelde frklı olrk, λ k (j, fktörüü - c düzedek B fktörüü j-ıcı düzedek C fktörüü k-ıcı düze etks göstermektedr. İk şmlı ç-çe tsrımlrl bezer edelerde dolı fktörler rsıdk etkleşm etks modelde er lmz.... Prmetre thm Üç şmlı ç-çe tsrımlrd k şmlı ç-çe vrsımlrd geçerl ol tüm vrsımlr geçerldr. Bhsedle vrsımlr ek olrk üç şmlı ç-çe sııfldırmd B fktörüü her düzedek C fktörüü etkler toplmı sıfırdır c k λ k ( j 0 vrsımı kbul edlr. Bu durumd, EKK thm edcler, b c b c ( α, β, λk ( j ε jkm jkm µ α β λk( j (, Q µ (. j k m j k m değer, α b c ( B λk j 0 j k kısıtı ltıd mmze edlerek elde edlr. 9

19 ( tlrı e küçük p değerlere ulşmk ç Q µ, α, β, λk ( j foksouu prmetrelere göre türevler lıır ve elde edle foksolr sıfır eştler. ( α, β, λ Q µ foksouu türev lıdığıd;, j k ( j ( Q µ Q α Q β Q λ k ( j b c ( jk µ α β λk ( j j k m b c ( jk µ α β λk ( j j k m ( jk µ α β λk ( j k m ( jk µ α β λk ( j 0 m (.3 eştlkler elde edlr. (. de verle eştlkler çözüldüğüde ç-çe tsrımd EKK thm edcler, µ ˆ ˆ ˆ λ ve ˆ ε..., α......, β j....., b c ( jkm jk. j k m bc ( k ( j jk. j.. şeklde elde edlr. Burd, b c j k m jkm...,..., bc bc b c j k m jkm j.. c k m c jkm ve jk. m jkm dr. 0

20 ... Vrs lz Üç şmlı ç-çe sııfldırılmış verler ç vrs lz şğıdk dımlr zleerek pılır. dım : Serbestl dereceler (sd belrler. sd sd B( sd C sd t ( b ( B b( c sd Toplm bc ( bc dım : Kreler toplmlrı (KT buluur. Üç şmlı ç-çe tsrımlrd vrs lz temel deklem, KT KT + KT + KT + KT T B( C( B ( E şekldedr. Burd, b c ( jkm..., KT KT bc ( T j k m......, b b c KT B( c ( j....., KTC B ( jk. j.. KT E j b c ( jkm jk j k m. ve (, j k jk.... m b c jkm, jk., jk., k m jkm j k m j k m j.. bc c, jkm, b j.. c j.. c jkm, bc dr.

21 dım 3: Kreler ortlmlrı ( hesplır. Kreler ortlmlrı kreler toplmlrıı serbestlk derecelere bölümesle elde edlr. KT B( C( B t KT KT KT ( B( C( B t ( b b( c bc( dım 4: Test edlecek hpotezler oluşturulur ve test sttstkler hesplır. dım 5: Vrs lz tblolrı oluşturulur. Vrs lz tblolrı br sork bölümde rıtılı olrk celemştr....3 NOV tblosu ve hpotez testler Üç şmlı ç-çe tsrımlrd sbt etkl modeller ç vrs lz şğıdk çzelge kullılrk pılmktdır. Çzelge.3 Üç şmlı İç-çe Tsrımlrd NOV Tblosu Değşm Kğı Serbestlk Dereces B( ( b C(B b ( c t ( Kreler Toplmı B( Kreler Ortlmsı KT KT ( KT KT ( b KT C(B bc E Toplm bc KT T KT C B( ( B b( c KT KT bc( E Üç şmlı ç-çe tsrımlrd, k şmlı ç-çe tsrımdkde frklı olrk C (B fktörüü düzeler bğımlı değşkee etks test edecek hpotez şğıdk gbdr. 0 : λ : λ k ( j k ( j 0 0

22 Yukrıdk hpoteze t test sttstğ, C ( B C ( B ~ v v, olup burd v b( c ve v bc( dr. espl değerler, α lm düzede, v,v tblo değerlerde büük se, 0 hpotez reddedlr...3 Geelleştrlmş ( q -şmlı ç-çe tsrımlr İk şmlı ve üç şmlı ç-çe tsrımlrd zlee dımlr ve elde edle souçlr q -şmlı ç-çe tsrımlr bşlığı ltıd geelleştrleblr. q -şmlı ç-çe tsrımlrd model, jk... pqr,,..., j,,..., b µ + α + β + λ k( j δ q( jk... p + ε r ( jk... pq k,,..., c (.... r,,..., Burd, δ q ( jk... p, fktörüü -c düzedek, B fktörüü j-c düzede bulu, C fktörüü k-ıcı düzedek,, Q fktörüü q-ucu düze etks gösterr...3. Prmetre thm Geelleştrlmş ç-çe tsrımlrd k şmlı ve üç şmlı ç-çe tsrımlrd bhsedle geel vrsımlr geçerldr. Bu vrsımlr ek olrk tsrımd er l tüm fktörler etkler toplmlrıı sıfır olduğu vrsılır ve bu vrsım 3

23 b c ( ( z α B λk j... δ q jk... p 0 şeklde fde edlr. Bu durumd, j k q EKK thm edcler, Q b c d ( µ α, β, λk ( j,..., δ q( jk... p... jk... pqr µ α β λk ( j... δ q( jk... p (, j k m r değer, α b c ( ( z B λk j... δ q jk... p 0 j k q kısıtı ltıd mmze edlerek elde edlr. ( tlrı e küçük p değerlere ulşmk ç Q µ, α, β foksouu prmetrelere göre türevler lıır ve elde edle foksolr sıfır eştler. ( µ α, Q, β foksouu türev lıdığıd; ( j Q µ Q α Q β Q λ k ( j ( jk... p b c d... ( jk... pqr µ α β λk ( j... δ q( jk... p j k m r b c d... ( jk... pqr µ α β λk ( j... δ q( jk... p j k m r c d... ( jk... pqr µ α β λk ( j... δ q( jk... p k m r d... ( jk... pqr µ α β λk ( j... δ q( jk... p m r... Q δ q ( jk... pqr µ α β λk ( j... δ q( jk... p 0 r (.3 eştlkler elde edlr. (.3 de verle eştlkler çözüldüğüde ç-çe tsrımd EKK thm edcler, 4

24 µ ˆ, ˆ, ˆ... α β j......, λk ( j jk... j...,..., δ ˆ ve ˆ q ( jk... p jk... q. jk... p.. ε b c... ( jk... qr jk... q j k r bc... şeklde elde edlr. Burd,... b c... jk... r... jk... r j k r j k r,..., bc... bc... b c j... c... jk... r k r, c... jk... s... jk... r l r, s... jk... r r jk q...., jk... p.. t q r t jk... r dr...3. Vrs lz Geelleştrlmş ç-çe sııfldırılmış verler ç vrs lz şğıdk dımlr zleerek pılır. dım : Serbestl dereceler (sd belrler. sd sd sd B( C( B ( b b( c... sd sd sd Q( P t Toplm bc... p( q bc... q ( bc... dım : Kreler toplmlrı (KT buluur. Geelleştrlmş ç-çe tsrımlrd vrs lz temel deklem, 5

25 KT KT + KT + KT + + KT + KT T B( C( B... Q( P ( E şekldedr. Burd, dr. KT KT KT T E B( b c... ( jk... r..., KT bc... ( j k r c... b b c ( j......, KTC ( B ( jk... j... j b c b c q... ( jk... r jk..., KTQ( P... ( jk... q. jk... p.. j k r j k j k, dım 3: Kreler ortlmlrı ( hesplır. Kreler ortlmlrı kreler toplmlrıı serbestlk derecelere bölümesle elde edlr. KT B( C( B ( ( b b( c... Q( P t KT KT KT KT B( C( B Q( P t b... p( q bc... q( dım 4: Test edlecek hpotezler oluşturulur ve test sttstkler hesplır. dım 5: Vrs lz tblolrı oluşturulur. Vrs lz tblolrı br sork bölümde celemştr NOV tblosu ve hpotez testler Geelleştrlmş ç-çe tsrımlrd sbt etkl modeller ç vrs lz şğıdk çzelge.4 kullılrk pılmktdır. 6

26 Çzelge.4 Geelleştrlmş İç-çe Tsrımlrd NOV Tblosu Değşm Kğı Serbestlk Dereces B( ( b C(B b ( c Kreler Toplmı B( Kreler Ortlmsı KT KT ( KT KT ( b C(B Q(P b... p( q Q(P t... q( bc E Toplm bc... KT T B( KT KT ( b( c C B KT KT ( b... p( q Q P KT KT bc... q( E Geelleştrlmş ç-çe tsrımlrd, modeldek tüm fktörler etks sıfır eşt olup olmdığı test edlr. Bu hpoteze t test sttstğ k ve üç şmlı ç-çe tsrımlrdk test sttstklerle bezer olrk fktöre t kreler ortlmsıı ht kreler ortlmsı bölümesle elde edlr. espl test sttstğ ( değer, lf lm düzede, v,v tblo değerlerde büük se, 0 hpotez reddedlr. Burd v fktöre t serbetlk dereces, v ht serbestlk dereces olrk lıır. Dee tsrımıdk modeller lzde klsk vrsımlr sğldığı durumlrd geellkler EKK ötem kullıldığıd bhsedlmşt. ck ht termler dğılımı orml dğılımd spmlr gösterdğde ve gözlemler kırı değer çerdğde UEÇO ötem kullrk EKK göre dh etk thm edcler ve sttstksel olrk dıklı test sttstkler gelştrldğ brçok çlışmd görülmüştür (İslm ve Tku 004, kk ve Tku 008, Şeoğlu ve Tku, 00. Bu edele, bu çlışmd ç-çe tsrımdk model prmetreler elde ederke orml dğılımd spmlr ve kırı değerlere krşı dursız ol UEÇO thm edcler elde edlecek ve bu thm edclere d test sttstkler gelştrlecektr. 7

27 . UZUN KUYRUKLU SİMETRİK DĞILIM Uzu kuruklu smetrk (LTS dğılımlr les, f p e e α +, < e < (. k ( şekldedr. Burd, ( µ / e / z olup, k p 3 dür. Dğılımı beklee değer ve vrsı (. eştlğde gösterlmştr. E ( µ, Vr( (. LTS dğılımıd, htı beklee değer sıfır E ( e 0 vrsı se Vr ( e dr. Bu dğılımd bsıklık, µ µ 4 3( p 3 ( p 5 (.3 şeklde tımlmıştır. p çeştl değerler ç bsıklık değerler ldığı değerler çzelge. de suulmuştur. Çzelge. LTS Dğılımıd rklı p Değerlere Göre Bsıklık Değerler p Bsıklık v k µ ı dğılımı v p serbestlk derecel Studet t dğılımıdır. LTS p e bğlı olrk brçok smetrk dğılım kısblr. Bsıklık ktsısı dm 3 te büüktür. Bsıklık ktsısıı 3 olduğu p durumud dğılım orml dğılım kısmktdır. LTS dğılımlr les, 8

28 çersde kırı değer bulu öreklemler modellemek ç ugudur (Tku ve kk 004. Bu bölümde, ht termler LTS dğılımı shp olduğu durumd UEÇO ötemle prmetre thm pılmıştır. Bu thm edclere dlı test sttstkler gelştrlmştr. ı zmd EKK ve UEÇO ötemlerle elde edle thm edcler etklkler krşılştırmk mcıl Mote Crlo smülsou pılmıştır. Souçlr çzelge.4 te suulmuştur ve orumlmıştır.. Urlmış E Çok Olblrlk (UEÇO Yötem UEÇO ötem lk olrk Tku (967 trfıd öerlmştr. Bu ötem, ormllk vrsımı sğlmdığı ve gözlemler kırı değer çerdğ durumlrd brçok dee tsrım model üzerde ugulmıştır. Elde edle souçlr klsk ötemlerde (EKK, E çok olblrlk v.b. elde edle souçlrl krşılştırıldığıd UEÇO ötemle dh etk thm edcler ve dh güçlü test sttstkler gelştrldğ görülmüştür Puthepu ve Sh (986. Bu çlışmlrd bzılrı şulrdır: Tku (968, Tku (97, T (985, Puthepu ve Sh (986, Vugh (99, Vugh (00, Şeoğlu (005, Orl (006, Ktr ve Şeoğlu (008, Tku ve Sürücü (008.. İk şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Bu bölümde k şmlı ç-çe tsrım modelde ht termler LTS dğılımı shp olmsı durumud UEÇO ötem kullılrk prmetre thmler pılmsı ve test sttstkler gelştrlmes celemştr... Prmetre thm rstgele değşkeler sırlı br dzs olmk üzere, j ( k 9

29 z k ( µ α β k şekldek sırlı değşkeler olrk tımlsı. LTS dğılımıd olblrlk foksou; L j k b b j k f ( e jk + j k + ( µ α β jk b k e k j ( jk p (.4 şekldedr. Yukrıdk foksou logrtmsıı prmetrelere göre türev lıdığıd şğıdk eştlkler elde edlr. l L p µ k l L p α k l L β p k l L N j k b j k k b g p + k g( z g( z ( z k k 0 0 b jk j k 0 g ( z z 0 k k (.5 Tku ve Suresh (99 ve Vugh (99 de bhsedldğ gb (.5 de verle deklemler g ( z k lr leer olmdığıd dolı çözülemez. Bu edele, g ( z k fokou Tlor sers lk k term etrfıd çılrk, g( z k g( t ( jk + α + β d [ z t ] g( z k jk z k ( dz k (.6 z t( şeklde leer hle getrlr. Burd, 0

30 α jk 3 ( k t ( ( k t [ + ] ( ve ( k ( k t t( β (.7 jk [ + ] ( dr. ( ve 0 olduğu durumd t ( değerler Tku ve Kurm (98 de verlmektedr. 0 ç t ( değerler, kβ (, p t( + z k p dz + (.8 eştlğ kullılrk elde edlr (Tku ve Suresh 99, (Şeoğlu ve Tku 00. UEÇO eştlkler, (.6 ve (.7 de verle fdeler (.5 te erlere koulrk, l L p µ k l L p α k l L p β k l L N b ( α jk + βjk z k j k b ( α jk + βjk z k j k ( α jk + βjk z k k p + k b ( α jk + βjk z k z k 0 j k (.9 şeklde elde edlr. Yukrıdk eştlkler çözümü soucud k şmlı ç-çe tsrımlr ç UEÇO thm edcler elde edlr. Bu thm edcler, αˆ µ µ ˆ.. ˆ..., β ˆ ˆ j ( µ j. µ.. ˆ ve B + B + 4C ˆ (.0 ( b şekldedr. Burd, b j k µ ˆ..., bm β jk jk b j k β jk jk µ.., bm β jk jk b k µ j., m j k β jk m ve

31 dr. b b p p b, B α jk ( jk µ j., C βjk ( jk µ j. k j k k j k Teorem..: αˆ, UEÇO thm edcs smptotk olrk, vrslı orml dğılım shptr. α ortlmlı ve k pbm Kıt: Kedll ve Sturt, (979 d fde edldğ gb, l L α l L α pbm k ( αˆ α şeklde zılbleceğde Teorem.. kıtlmış olur. Teorem..: βˆ, UEÇO thm edcs smptotk olrk, vrslı orml dğılım shptr. β ortlmlı ve k pm Kıt: Teorem.. le bezer şeklde, l L β l L β pm k ( βˆ β şeklde zılbleceğde Teorem.. kıtlmış olur... Vrs lz İk şmlı ç-çe sııfldırılmış verler ç UEÇO ötem kullılrk vrs lz bölüm...3 te ltıl dımlr zleerek pılır. UEÇO ötem kullılrk pıl vrs lzde frklı olrk KT ler ve KT lere bğlı olrk lr değşmektedr. KT ler,

32 KT KT B( p bm k p m k ( µ ˆ µ ˆ.. b ( µ ˆ ˆ j. µ.. jk (. KT b( ˆ olrk hesplırke, lr KT lr serbestlk derecelere bölümesle, B( KT KT KT ( B( ( b b( şeklde elde edlr. NOV tblosu çzelge. dek gb oluşturulur...3 potez testler ve test sttstkler Bu bölümde ht termler dğılımı LTS olduğu durumd k şmlı ç-çe tsrımlrd UEÇO ötem kullılrk hpotez testler oluşturulm ve test sttstkler gelştrme sürec ltılmktdır. rıc, UEÇO ötemle elde edle test sttstkler dğılımı dğılımı olduğuu göstermek mcıl k şmlı ç-çe tsrım modelde bulu ve B( fktörlere lşk test sttstkler I. tp ht olsılıklrı α olmk üzere smülso le hesplmıştır. Smülso souçlrı çzelge. de verlmektedr. Sbt etkl br modelde, sıfır hpotez, bu fktörü düze etkler sıfır eşt olmsı şeklde kurulur. Bu durumd test edlecek hpotezler şğıdk gbdr. 0 : α : α 0 0 B 0 B : β : β ( j 0 0 fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, 3

33 p bm ( µ ˆ µ ˆ (.. k ~ v, ˆ v Z ve bezer şeklde, B ( fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, p m b ( µ ˆ j. µ ˆ.. ( b B( k jk B ~, ˆ ( v v Z şeklde öerlr. Serbestlk dereces lıır. v, v ( b ve b( v Z olrk Test İsttstkler I. Tp tlrı UEÇO ötemle gelştrle test sttstkler I. tp htlrı Mote Crlo smülsou rdımıl, şekl prmetres p,,.5,3.5,5 ve 0 olduğu durumd öreklem geşlğ 5, 0,5 ve 0 lırk hesplmıştır. Souçlr Çzelge. de suulmktdır. Çzelge. ve B( Testler I. Tp tlrı p B( B( B( B( Çzelge. de, htlrı LTS dğılmsı durumud test sttstkler I.tp htlrı belrlee α cvrıd olduğu görülmektedr. Bu durumd test sttstkler dğılımı shp olduklrı söleeblr. 4

34 5.3 Üç şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Bu bölümde üç şmlı ç-çe tsrım modelde ht termler LTS dğılımı shp olmsı durumud UEÇO ötem kullılrk thm edcler elde edlmes ve test sttstkler gelştrlmes ltılmktdır..3. Prmetre thm jk (m rstgele değşkeler sırlı br dzs olmk üzere, ( ( λ β α µ ( ( ( j k j m jk m jk z şekldek sırlmış değşkeler olrk tımlsı. LTS dğılımd olblrlk foksou; ( + + ( ( ( ( λ β α µ k k e e f L j k j m jk b j c k m b j c k m p jkm b j c k m jkm (. şekldedr. Yukrıdk foksou logrtmsıı prmetrelere göre türev lıdığıd şğıdk eştlkler elde edlr. 0 ( l 0 ( l 0 ( l 0 ( l ( ( ( ( ( ( m m jk j k c k m m jk j b j c k m m jk b j c k m m jk z g k p L z g k p L z g k p L z g k p L λ β α µ (.3

35 l L N p + k b c j k m g ( z jk z 0 ( m jk ( m Yukrıdk eştlklerde, k şmlı ç-çe tsrımlrd bhsedldğ gb g, ( z jk (m leer olmdığı ç çözülemedğde Tlor sers lk k term etrfıd çılrk leerleştrlr. g ( z jk (m, α jkm ve β jkm, (.6 ve (.7 dek gb elde edlr. Elde edle bu değerler, (.3 de ere koulduğud, l L p µ k l L p α k l L p β k l L p λ k k ( j l L N j k m b j k m c k m ( α jkm + βjkm zjk ( m m b c p + k c ( α ( α jkm b ( α jkm + β c jkm + β jkm j k m + β jkm z jk ( m ( α jkm z jk ( m 0 0 jkm z jk ( m + β 0 0 jkm z jk ( m z jk ( m 0 (.4 eştlkler elde edlr. Bu eştlkler çözüldüğüde üç şmlı ç-çe tsrımlr ç UEÇO thm edcler, αˆ µ ˆ µ ˆ ˆ..., β j ( µ ˆ j.. µ ˆ..., λˆ ˆ ˆ k ( j µ jk. µ j.. ve ˆ B + B + 4C ( bc şeklde elde edlr. Burd, b c βjkm jkm βjkm jkm β j k m j k m k m µ ˆ..., µ ˆ..., µ ˆ j.. bcm bcm cm b c c jkm jkm, βjkm jkm b c m µ ˆ jk., βjkm m ve m j k m 6

36 dr. b c b c p p b, B α jkm ( jkm µ j.., C βjkm ( jkm µ j.. k j k m k j k m.3. Vrs lz Üç şmlı ç-çe sııfldırılmış verler ç UEÇO vrs lzde zlee dımlr bölüm... de rıtılı br şeklde celemştr. UEÇO ötem kullılrk pıl vrs lzde KT lr, KT KT C( B p bcm k p m k b p ( µ ˆ.. µ ˆ, KTB( cm ( µ ˆ j.. µ ˆ... b c ( µ ˆ jk. µ ˆ j.. j k, k KT j bc( ˆ ve KT lere bğlı olrk lr B( C( B KT KT KT KT ( B( C( B ( b b( c bc( şeklde hesplır..3.3 potez testler ve test sttstkler Sbt etkl modeller ç sıfır hpotez, bu fktörü düze etkler sıfır eşt olmsı şeklde kurulur. Bu durumd üç şmlı ç-çe tsrım model ç test edlecek hpotezler şğıdk gbdr. 7

37 0 : α : α 0 0 B 0 B : β : β ( j 0 0 B 0 B : λ : λ k ( j k ( j 0 0 fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, ~ v, v z B ( fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, B( B ~, ( v v Z ve C (B fktörüe t test sttstğ, olrk öerlr. Burd espl 0 hpotez reddedlr. C( B C ~, ( B v3 v Z v, v ( b, v b( c ve bc( 3 değerler, lf lm düzede, tblo değerlerde büük se, v z dr..4 Geelleştrlmş ( q şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Bu bölümde öcek bölümlerde bhsedle k ve üç şmlı ç-çe tsrım modeller geelleştrlmş hl ol ( q şmlı ç-çe tsrım modelde ht termler LTS dğılımı shp olmsı durumud UEÇO ötemle thm edcler elde edlmes ve test sttstkler gelştrlmes ltılmktdır..4. Prmetre thm rstgele değşkeler sırlı br dzs olmk üzere, jk... pq( r 8

38 z jk... pq( r ( µ α β λ δ jk... pq( r şekldek sırlmış değşkeler olrk tımlsı. k ( j... q( jk... p LTS dğılımd olblrlk foksou; b c d... ( +... b c d... j... e jk pqr L f e j k m r jk pqr k m r k b c d +... j k m r ( µ α β λ... δ jk... pq ( r j ( k k ( j p... (.5 q ( jk... p Yukrıdk foksou logrtmsıı prmetrelere göre türev lıdığıd şğıdk eştlkler elde edlr. b c d l L p... µ k b c d l L p... α k l L β l L λ k ( j c d p... g k p k l L N j k m r j k m r k m r d m... p + k r g( z g( z ( z ( z jk... pq( r 0... g b j k jk... pq( r jk... pq( r g jk... pq( r ( z z 0 jk... pq( r jk... pq( r (.6 Yukrıdk eştlkler k ve üç şmlı ç-çe tsrımlrl bezer şeklde çözülüp, ( g z jk... pqr, jk... pqr UEÇO eştlkler, α ve β jk... pqr fdeler ukrıdk eştlkte ere koulduğud l L p µ k l L p α k b c d... ( α jk... pqr + βjk... pqr zjk... pq( r j k m r b c d... ( α jk... pqr + βjk... pqr zjk... pq( r 0 j k m r 0 9

39 l L p β k l L p λ k k ( j l L N c d... ( α jk... pqr + βjk... pqr zjk... pq( r k m r d m... p + k ( α jk... pqr + βjk... pqr zjk... pq( r r b ( α jk... pqr + βjk... pqr zjk... pq( r zjk... pq( r 0 j k (.7 şeklde elde edlr. (.7 dek eştlkler çözüldüğüde geelleştrlmş ç-çe tsrımlr ç UEÇO thm edcler elde edlr. Bu thm edcler, αˆ ˆ ˆ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ µ... µ..., β µ j... µ..., λk ( j µ jk... µ j... δˆ ˆ ˆ q ( jk... p µ jk... q. µ jk... p.. ve ˆ B + B + 4C ( bcd... m şekldedr. Burd, µ ˆ... b c... β j k m r bcd... m c d jk... qr jk... qr, µ ˆ... b c... β j k r bc... m... βjk... r jk... r... jk... r k r m r µ ˆ j..., µ ˆ jk... c... m d... m, µ ˆ d jk... q. jk... r jk... r r jk... r m,, t jk... r b q r ˆµ jk p.....,... β jk... qr m ve tm c j k m r d b c p bc..., B... α jk... qr jk... qr µ k j k r C p k... b j k r c β jk... qr ( µ jk... qr j... (, j... dr. 30

40 .4. Vrs lz Dh öcek bölümlerde ç-çe tsrım modeller k özel hl ol k ve üç şmlı ç-çe tsrım modeller ç vrs lzde bhsedlmşt. Bu bölümde ç-çe tsrımlrd UEÇO ötemle vrs lz pılırke zleecek dımlr geelleştrlmştr. dım : Serbestl dereceler (sd belrler. sd sd sd B( C( B ( b b( c... sd sd sd Q( P t Toplm bc... p( q bc... q ( bc... dım : KT lr şğıdk gb elde edlr. KT KT KT C ( B p bc... m k p m k b p ( µ ˆ... µ ˆ, (... ( µ ˆ ˆ KTB c m j... µ... bc... q( ˆ b c b c q p ( µ ˆ ˆ jk... µ j..., KTQ( P... ( jk... q. jk... p.. j k j k l k j k dım 3: lr hesplır. Kreler ortlmlrı kreler toplmlrıı serbestlk derecelere bölümesle elde edlr. KT B( KT ( B( ( b 3

41 C( B b( c... Q( P KT KT KT C( B Q( P b... p( q bc... q( dım 4: NOV tblosu oluşturulur. Çzelge.3: Geelleştrlmş İç-çe Tsrımlrd UEÇO ötem kullılrk oluşturul NOV tblosu Değşm Kğı Serbestlk Dereces B( ( b C(B b ( c Kreler Toplmı Kreler Ortlmsı KT KT ( KT KT ( b B( C(B B( KT KT b( c C( B Q(P b... p( q t bc... q( KT KT b... p( q Q(P Q( P KT KT bc... q( Toplm bc... dım 5: Test edlecek hpotezler oluşturulur ve test sttstkler hesplır. potez testler ve öerle test sttstkler br sork bölümde rıtılı olrk celemştr..4.3 potez testler ve test sttstkler Düzeler özel seçlmş fktörler ç sıfır hpotez, bu fktörü düze etkler sıfır eşt olmsı şeklde kurulur. Bu durumd test edlecek hpotezler şğıdk gbdr. 3

42 0 : α 0 B( 0 : β ( j 0... Q( P 0 : α 0 : α 0 B( : β 0... Q( P : α 0 Yukrıdk hpotezlere t test sttstkler sırsıl,, ~ v, v z,, B( B ~, ( v v z Q( P Q( P ~ v q, v z şeklde öerlrler. Serbestlk dereces ( v q bc... p q olrk lıır. v, v ( b,, espl değerler, lf lm düzede, tblo değerlerde büük se, 0 hpotez reddedlr..5 Smlso Çlışmsı t termler dğılımı LTS olduğu durumd, EKK thm edcler ve UEÇO thm edcler etklkler krşılştırmk mcıl, öreklem geşlğ 0, 5, 0 lırk [00.000/] kdr Mote Crlo smülsou pıldı. Smülso çlışmsı soucud, thm edcler, ortlmlrı, ht kreler ortlmlrı (MSE ve görel etklkler (RE hesplmıştır. RE, UEÇO thm edcs EKK thm edcse göre üzde kç etk olduğuu gösterr ve RE MSE MSE UEÇO EKK 00 şeklde hesplır. 33

43 ˆ Modeldek dğer αˆ ve β j ( değerler bezer olduğud, çzelge.4 te sdece µˆ, α ˆ, ˆβ ( ve ˆ ç bulu souçlr verlmektedr. Çzelge.4 µ, α, β ( ve Prmetreler UEÇO ve EKK Thm Edcler Ortlm, xmse ve RE Değerler µˆ ˆα ˆβ ( Ort xmse RE Ort xmse RE Ort xmse RE Ort xmse RE p 0 EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO p.5 0 EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO p3.5 0 EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO p5 0 EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO p0 0 EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO ˆ Çzelge.4 te suul souçlr göre, µ, α ve β ( prmetrelere t UEÇO thm edcler öreklem geşlğ ve şekl prmetres p tüm değerler ç 34

44 EKK thm edclere göre dh etkdrler. ı UEÇO thm edcs se p 5, 0 olduğu durumd ve küçük değerler dışıd EKK thm edcse göre dh etk olduğu gözlemlemştr. 35

45 3. GENELLEŞTİRİLMİŞ LOJİSTİK DĞILIM b > 0 ve > 0 olmk üzere GL dğılım les olsılık oğuluk foksou, ( e b exp( e e + f b { + exp( e } ( < < (3. şekldedr (Blkrsh ve Leug 988. Burd, b ve şekl ve ölçek prmetrelerdr. GL dğılım GL ( b, şeklde fde edlr. GL dğılımd, b olduğu durumd GL ( b, orml dğılım kılığı edele brçok çlışmd kullıl lojstk dğılım kısr ve smetrktr. GL dğılımı olsılık oğuluk foksou, ( e l b ( e l b < olduğu durumd rt br fokso ke, > olduğu durumd zl br foksodur. rıc, GL ( b, b > ke poztf çrpık, 0 > b > ke egtf çrpık olduğu gözlemektedr, (Szk, 003. Z e olduğu durumd momet çıkr fokso: M θz θ ( Z E( e bγ( θ Γ( b + θ Γ( b +, ( < θ < b (3. şekldedr. Z r-c momet, d r ( (3.3 dθ r µ ' M z r θ θ 0 şeklde fde edlr. GL dğılımd mometler, formülü şğıd verle Γ ( x türev kullılrk elde edlr. Γ ( x k-ıcı türev, k ( k d ψ ( x Γ( x (3.4 k dx 36

46 ( k şekldedr. ψ ( x le lgl mtemtksel detlr bromwtz ve Stegu (985 de rıtılı olrk celemştr. Öreğ, ( k ψ (b ve ( k ψ ( b + rsıdk lşk göstere eştlk gı olrk kullılmktdır ve ( k ( k ( k ( k+ ψ b + ψ ( b + ( k! b, k 0,,,... (3.5 şeklde gösterlr. Z değşke beklee değer E ( Z ψ ( b ψ ( (3.6 vrsı, V ( Z ψ '( b + ψ '( (3.7 şekldedr. GL dğılımd bsıklık ve çrpıklık ktsılrı, Çzelge 3. GL dğılımd bsıklık ve çrpıklık ktsılrı b β β şekldedr (Şeoğlu UEÇO Yötem Öcek bölümde ht termler smetrk br dğılım ol LTS dğılımı shp olduğu durumd UEÇO ötem ele lımıştır ve UEÇO thm edcler EKK thm edclere göre dh etk olduklrı gözlemştr. Bu bölümde ç-çe tsrım modellerde ht termler çrpık br dğılım ol GL dğılımı shp olmsı durumud UEÇO ötem k şmlı, üç şmlı ve geelleştrlmş ç çe tsrım modellere ugulrk celemştr. 37

47 3. İk şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Bu bölümde k şmlı ç-çe tsrım modelde ht termler GL dğılımı shp olmsı durumud UEÇO ötem kullılrk prmetre thm pılmsı ve test sttstkler gelştrlmes ele lımıştır. 3.. Prmetre thm k rstgele değşkeler sırlı br dzs olmk üzere, z jk ( µ α β jk şekldek sırlı değşkeler olrk tımlsı. GL dğılımı olblrlk foksou; exp( e jk { + exp( e } t t b L f ( e j k jk j k b+ jk N t exp j k jk µ α β + exp jk µ α (3.8 β b+ şekldedr. Yukrıdk foksou logrtmsıı prmetrelere göre türev lıdığıd şğıdk eştlkler elde edlr. l L N µ l L t α l L β ( b + ( b + j k t j k g( z g( z ( b + g( zjk 0 k t jk jk 0 0 (3.9 38

48 l L N + t j k z jk + t ( b + g( zjk zjk 0 j k Yukrıdk eştlklerde, b dr. Burd, t( l( g q ( z jk ( α β z (3.0 t ve ( + jk jk jk q olmk üzere, t t t α ( + e + te ( + e t t ve β e ( + e jk jk dır. Bölüm de belrtldğ gb t ( değerler Tku ve Kurm (985 de bulumktdır. (3.9 dek eştlkler çözüldüğüde k şmlı ç-çe tsrımlr ç UEÇO thm edcler elde edlr. Bu thm edcler, k β m olmk üzere, jk µ ˆ µ ˆ ˆ..., αˆ µ ˆ.. µ... m ˆ, β ˆ ˆ j ( µ j. µ.. ve ˆ B + B t + 4C ( şekldedr. Burd, j k t, µ ˆ..., tm β jk ( ( b + k k α jk, t j k β jk jk µ.., bm k k ve µ j. k β jk m jk t t N t, B ( b + ( jk µ j. k, C ( b + βjk ( jk µ j. j k j k dr. 39

49 Teorem 3..:. αˆ, UEÇO thm edcs smptotk olrk, orml dğılım shptr. α ortlmlı ve ( b + tm vrslı ˆ. β j (, UEÇO thm edcs smptotk olrk, β ortlmlı ve vrslı orml dğılım shptr. ( b + tm Kıt: Teorem.. ve Teorem.. le bezer şeklde, l L α. ( αˆ α l L α ( b + tm l L l L ( b + m. ( βˆ β β β şeklde zılbleceğde, Teorem 3.., ( ve ( ç kıtlmış olur. 3.. Vrs lz İk şmlı ç-çe sııfldırılmış verler ç UEÇO ötem kullılrk vrs lz bölüm...3 te ltıl dımlr zleerek pılır. t termler GL dğılımı shp olduğu durumd UEÇO ötem kullılrk pıl vrs lzde KT ler, KT KT B( ( b + tm ( b + m αˆ t k βˆ j (3. KT t( ˆ olrk hesplırke, lr KT lr serbestlk derecelere bölümesle, 40

50 B( KT KT KT ( B( ( b b( şeklde elde edlr. NOV tblosu çzelge. dek gb oluşturulur. 3.. potez testler ve test sttstkler Düzeler özel seçlmş fktörler ç sıfır hpotez, bu fktörü düze etkler sıfır eşt olmsı şeklde kurulur. Bu durumd test edlecek hpotezler şğıdk gbdr. 0 : α : α 0 0 B 0 B : β : β ( j 0 0 fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, ~ v v, olup serbestlk dereces v ve b( v olrk lıır. Bezer şeklde, B fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, B( B( ~ v v, olup, burd v ( b ve b( v dr. 4

51 Test İsttstkler I. Tp tlrı UEÇO ötemle gelştrle test sttstkler I. tp htlrı Mote Crlo smülsou rdımıl, şekl prmetres b, 0.5,, 4 ve 6 olduğu durumd öreklem geşlğ 5, 0,5 ve 0 lırk hesplmıştır. Souçlr çzelge 3. de suulmktdır. Çzelge 3. GL Dğılımıd ve B( Testler I. Tp tlrı b B( B( B( B( Smülso çlışmsıı soucud ht termler GL dğılımı shp olduğu durumd UEÇO ötem kullılrk gelştrle test sttstkler I. tp htlrıı belrlee α cvrıd olduğu çzelge 3. de görülmektedr. Bu durumd ve B( test sttstkler dğılımı shp olduklrı söleeblr. 3.3 Üç şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Bölüm..3 de bhsedldğ gb üç şmlı ç çe tsrımlrd k şmlı tsrımlrd frklı olrk B fktörüle ç-çe C fktörü vrdır. Bud dolı üç şmlı ç-çe tsrım modelde dört prmetre bulumktdır. Bu bölümde üç şmlı ç-çe tsrım modelde ht termler GL dğılımı shp olmsı durumud ötem kullılrk prmetre thmler pılmsı ve test sttstkler gelştrlmes ele lımıştır. 4

52 3.3. Prmetre thm jk (m rstgele değşkeler sırlı br dzs olmk üzere, z jkm ( µ α β λ jkm ( k j şekldek sırlmış değşkeler olrk tımlsı. GL dğılımı olblrlk foksou; exp exp( e jkm { + exp( e } N t c t c b t c L f ( e f ( e j k m jkm j k m b+ j k m jkm jkm jkm b+ µ α β λ k ( j ( + jkm µ α β λ k j exp (3. şekldedr. Yukrıdk foksou logrtmsıı prmetrelere göre türev lıdığıd şğıdk eştlkler elde edlr. l L N µ l L tc α l L β l L λ k ( j c l L N + ( b + ( b + j k m j k m c ( b + g( zjkm k m ( b + g( zjkm t m c j k m t t c c z jkm g( z g( z 0 + jkm jkm t c ( b + g( zjkm zjkm 0 j k m (3.3 Yukrıdk eştlklerde, 43

53 g ( z jkm ( α β z jkm jkm jkm (3.4 b dr. Burd, t( l( t ve ( + q q olmk üzere, t t t α ( + e + te ( + e t t ve β e ( + e jkm jkm dır. (3.6 dk eştlkler çözüldüğüde üç şmlı ç-çe tsrımlrd UEÇO thm edcler elde edlr. Bu thm edcler, µ ˆ µ ˆ ˆ..., αˆ µ ˆ... µ... m m β m olmk üzere, jkm, β ˆ ˆ j ( µ j.. µ... ˆ, λˆ ˆ ˆ k ( j µ jk. µ j.. ve ˆ B + B + 4C ( t şekldedr. Burd, t j k m c µ ˆ..., tcm β jkm jkm t c j k m µ..., tcm β jkm jkm c βjkm jkm k m µ j.., cm β m ( jkm jkm m µ jk., ( b + jkm m α, m m ve N tc B C dr. t c ( b + ( jkm µ j. t c ( b + βjkm ( jkm µ j. j k m j k m m 44

54 3.3. Vrs lz Üç şmlı ç-çe sııfldırılmış verler ç UEÇO vrs lzde zlee dımlr bölüm... de rıtılı br şeklde celemştr. UEÇO ötem kullılrk pıl vrs lzde KT lr, KT KT C( B ( b + tcm αˆ, KT ( b + ( b + m j k B( j t c λˆ k ( j, KT cm tc( ˆ t βˆ ve KT lere bğlı olrk lr B( C( B KT KT KT KT ( B( C( B ( b b( c bc( şeklde hesplır potez testler ve test sttstkler Sbt etkl modeller ç sıfır hpotez, bu fktörü düze etkler sıfır eşt olmsı şeklde kurulur. Bu durumd üç şmlı ç-çe tsrım model ç test edlecek hpotezler şğıdk gbdr. 0 : α : α 0 0 B 0 B : β : β ( j 0 0 B 0 B : λ : λ k ( j k ( j 0 0 fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, ~ v, v z 45

55 B ( fktörüe t hpotez test ç test sttstğ, B( B ~, ( v v Z ve C (B fktörüe t test sttstğ, C( B C ~, ( B v3 v Z olrk öerlmştr. Burd v z bc( espl dr. 0 hpotez reddedlr. v, v ( b, b( c v 3 ve değerler, lf lm düzede, tblo değerlerde büük se, 3.4 Geelleştrlmş ( q şmlı İç-çe Tsrımlrd UEÇO Yötem Bu bölümde öcek bölümlerde bhsedle k ve üç şmlı ç-çe tsrım modeller geelleştrlmş hl ol ( q şmlı ç-çe tsrım modelde ht termler GL dğılımı shp olmsı durumud UEÇO ötemle thm edcler elde edlmes ve test sttstkler gelştrlmes ltılmktdır Prmetre thm rstgele değşkeler sırlı br dzs olmk üzere, jk... pq( r z jk... pqr ( µ α β λ δ jk... pqr k ( j... q( jk... p şekldek sırlmış değşkeler olrk tımlsı. GL dğılımı olblrlk foksou; 46

56 L t j k m r N... exp + exp c d t j k m r jk... pqr jk... pqr f ( e c d jk... pqr... µ α µ α b f ( e jk... pqr β β exp( e jk... pqr b { + exp( e } λ λ k ( j k ( j jk... pqr... δ... δ q( jk... p q( jk... p + b+ (3.5 şekldedr. Yukrıdk foksou logrtmsıı prmetrelere göre türev lıdığıd şğıdk eştlkler elde edlr. l L N µ t c d l L tcd... b +... α l L β l L λ k ( j t c d b +... c d cd... b +... g d... b + j k m r j k m r k m r m ( z ( z... 0 t c d l L tcd... b +... g d... r g g( z jk... pqr g( z jk... pqr j k m r jk... pqr jk... pqr ( z z 0 jk... pqr jk... pqr (3.6 Yukrıdk eştlklerde, ( z jk ( α z g... pqr jk... pqr βjk... pqr jk... pqr (3.7 b dr. Burd, t( l( t ve ( + q q olmk üzere, t t t α ( + e + te ( + e t t ve β e ( + e jk... pqr jk... pqr dır. 47

57 (3.6 dk eştlkler çözüldüğüde geelleştrlmş ç-çe tsrımlr ç UEÇO thm edcler elde edlr. Bu thm edcler, µ ˆ µ ˆ ˆ..., αˆ µ ˆ... µ... m ˆ m, β ˆ ˆ j ( µ j... µ... β m olmk üzere, jk... pqr, λˆ ˆ ˆ k ( j µ jk... µ j..., δˆ ˆ ˆ q ( jk... p µ jk... q. µ jk... p.. ve ˆ B + B + 4C ( t şekldedr. Burd, t c... βjk... r jk... r j k r µ ˆ..., tc... m b c... βjk... r jk... r j k r µ ˆ..., bc... m d... jk... r m r µ ˆ jk..., d... m ( ( b + jk... r r ˆµ jk q...., m... r α jk pqr, r r ve ˆµ jk... p.. t q r tm jk... r N tc... B ( b + C ( b + dr. t c... ( jk... qr µ j... j k r b... j k r c β jk... qr r ( µ jk... qr j Vrs lz Geelleştrlmş ç-çe tsrımlrd UEÇO ötem kullılrk vrs lz şğıdk dımlr zleerek pılır. dım : Serbestl dereceler (sd belrler. 48

58 sd sd sd B( C( B ( b b( c... sd sd sd Q( P t Toplm bc... p( q bc... q ( bc... dım : KT ler, KT KT KT C ( B ( b + tc... m αˆ, KT ( b + ( b + m bc... q( ˆ B( j t c t c q ˆ λk( j, KTQ ( P ( b +... j k j k l c... m t βˆ δˆ q( jk... p şeklde elde edlr. dım 3: Kreler ortlmlrı ( hesplır. Kreler ortlmlrı kreler toplmlrıı serbestlk derecelere bölümesle elde edlr. B( C( B ( ( b b( c... Q( P KT KT KT KT KT B( C( B Q( P b... p( q bc... q( dım 4: NOV tblosu çzelge.3 tek gb oluşturulur. dım 5: potez testler ve test sttstkler bölüm.4.3 tek gbdr. 49

59 3.5 Smlso Çlışmsı t termler dğılımı GL olduğu durumd, EKK thm edcler ve UEÇO thm edcler etklkler krşılştırmk mcıl, öreklem geşlğ 5, 0, 5, 0 lırk, şekl prmetres b 0.5,, 4, 6 olduğu durumlr ç, [00.000/] kdr Mote Crlo smülsou pıldı. Smülso çlışmsı soucud, thm edcler, ortlmlrı, MSE ve RE değerler hesplmıştır. ˆ Modeldek dğer αˆ ve β j ( değerler bezer olduğud, çzelge 3.3 te çzelge.4 te olduğu gb sdece µˆ, α ˆ, ˆβ ( ve ˆ ç bulu souçlr verlmektedr. Çzelge 3.3 µ, α, β ( ve Prmetreler UEÇO ve EKK Thm Edcler Ortlm, xmse ve RE Değerler µˆ ˆα ˆβ ( Ort xmse RE Ort xmse RE Ort xmse RE Ort xmse RE b0.5 5 EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO b 5 EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO ˆ 50

60 Çzelge 3.3 (Devmı µ, α, β ( ve Prmetreler UEÇO ve EKK Thm Edcler Ortlm, xmse ve RE Değerler µˆ ˆα ˆβ ( Ort xmse RE Ort xmse RE Ort xmse RE Ort xmse RE b4 5 EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO EKK UEÇO ˆ t termler GL dğılımı shp olduğu durumd, çzelge 3.3 te modeldek tüm prmetreler UEÇO thm edcler etklkler EKK thm edclere göre dh üksek olduklrı gözlemektedr. 5

61 4. SİMÜLSYON ÇLIŞMSI VE SONUÇLRI Bu bölümde, EKK ve UEÇO thm edcler sttstksel dıklılıklrıı ve bu thm edclere d test sttstkler güçler ve dıklılıklrıı krşılştırmk mcıl çeştl öreklem geşlklerde [00.000/] kdr Mote Crlo smülsou pıldı. 4. t Termler Dğılımıı LTS Olmsı Durumud Test Gücü Bölüm de verle (. modelde ht termler dğılımıı LTS olduğu durumd 5, 0, 5, 0 lırk smülso çlışmsı pılrk öerle ve B(.sttstkler güçler gözlemlemşt. Smülso çlışmsıd kullıl model üç düzee shp fktörüe uvlmış dört düzel B ( fktörüde oluş br k şmlı ç-çe tsrım modeldr. Bu çlışmd şekl prmetres p,,.5, 3.5, 5 ve 0 olrk lımıştır. Br sttstksel test gücü, ltertf hpotez ( doğru olduğud sıfır hpotez ( 0 reddetme olsılığıdır. Bu çlışmd, sttstğ gücüü hesplmk ç, fktörüü brc düzedek her br gözleme d eklep, üçücü düzedek her gözlemde d çıkrtılmıştır. B( sttstğ gücüü hesplmk ç, fktörüü her br düzee 0 uvlmış B ( fktörüü brc düzedek gözlemlere d eklep, fktörüü her br düzee uvlmış B ( fktörüü kc düzedek gözlemlerde d çıkrtılmıştır. hpotez reddedlme olsılığı ve ( B fktörler ç smülso pılrk hesplmıştır. Souçlr çzelge de suulmktdır. Çzelge de görülmektedr k UEÇO ötem kullılrk elde edle testler klsk EKK ötemle elde edle test sttstklerde dh güçlüdür. 5

62 Çzelge 4. ve İsttstkler Güçler p d d d d p.5 d d d d p3.5 d d d d

63 Çzelge 4. (Devmı: ve İsttstkler Güçler p5 d d d d p0 d d d d Çzelge 4. ve B( İsttstkler Güçler B( p d B( B( d B( B( d B( B(