T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

2

3 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ QUANTILE REGRESYON VE BİR UYGULAMA İlkay ALTINDAĞ Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü İstatstk Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Nmet YAPICI PEHLİVAN 1, 87 Sayfa Jür: Yrd. Doç. Dr. Nmet YAPICI PEHLİVAN Doç. Dr. Aşır GENÇ Doç. Dr. Turan PAKSOY Bu çalışmada, bast doğrusal ve çoklu doğrusal regresyon analznde kullanılan en küçük kareler yöntemne br alternatf olarak gelştrlen ve daha kapsamlı br regresyon görüntüsü sunmak amacıyla önerlen Quantle Regresyon yöntem ele alınmıştır. Koenker ve Basett (1978) tarafından önerlen Quantle Regresyon, koşullu quantle fonksyonlarının tahmn model çn uygun br yöntem sağlamakta ve özellkle koşullu quantllern değşkenlk gösterdğ durumlarda kullanışlı olmaktadır. Çalışma, yed bölümden oluşmaktadır. Brnc bölüm, grş ve öncek çalışmaları çeren bölümdür. İknc Bölüm de, doğrusal regresyon analz, en küçük kareler ve en çok olablrlk parametre tahmn yöntemler, çoklu belrleyclk katsayısı, parametre tahmnlernn güven aralıkları ve bu parametreler çn hpotez testler hakkında blgler verlmştr. Üçüncü Bölüm de, quantle kavramı, quantle fonksyonu ve quantle regresyon kavramları hakkında genel blgler sunulmuştur. Dördüncü Bölüm de, en küçük mutlak sapma (LAD) regresyon yöntemnden bahsedlp, bast ve çoklu doğrusal LAD regresyon çn algortmaları verlmştr. Beşnc bölüm de, Quantle Regresyon yöntem çözüm aşamasında yaygın olarak kullanılan R Paket programının kurulumu, komutları ve kullanım alanları hakkında blgler sunulmuştur. Altıncı bölüm de, bast ve çoklu regresyon analz çn Quantle Regresyon, LAD ve EKK yöntemlerne lşkn uygulamalara yer verlmştr. Yednc bölüm de, tez çalışmasının sonuçları özetlenmştr. Anahtar Kelmeler: Doğrusal Regresyon, Quantle Regresyon, En Küçük Mutlak Sapma (LAD) Regresyon, En Küçük Kareler Yöntem, R programı.

4 ABSTRACT MS THESIS QUANTILE REGRESSION AND AN APPLICATION İlkay ALTINDAĞ Selcuk Unversty The Graduate School of Natural And Appled Scences Department of Statstcs Supervsor: Assst. Prof. Dr. Nmet YAPICI PEHLİVAN 1, 87 Pages Jury: Assst. Prof. Dr. Nmet YAPICI PEHLİVAN Assoc. Prof. Dr. Aşır GENÇ Assoc. Prof. Dr. Turan PAKSOY In ths study, Quantle Regresson, whch s advanced as an alternatve to the least squares method used for mult lnear regresson analyss and whch s submtted n order to present a comprehensve regresson mage. The Quantle Regresson submtted by Koenker and Basett (1978), provdes an approprate method for the estmaton model of condtonal quantle functons and t s useful n such cases where especally the condtonal quantles vary. The study conssts of seven chapters. In the frst chapter, an ntroducton to the subject s made and nformaton about lterature revews are gven. In the second chapter, the lnear regresson analyss, the least squares (LS) and the maxmum lkelhood parameter estmaton methods, the multple coeffcent of determnaton, the confdence ntervals of the parameter estmatons and the hypothess tests for these parameters are mentoned. In the thrd chapter, the quantle concept, the quantle functon and the quantle regresson are presented. In the fourth chapter, the least absolute devaton (LAD) s mentoned, and algorthms for the smple and multple lnear LAD regresson are gven. In the ffth chapter, the nstallaton of the R package programme whch s commonly used n the soluton of the Quantle Regresson model, ts commands and ts usage area are presented. In the sxth chapter, applcatons related to Quantle Regresson, LAD and LS methods for smple and multple regresson analyss, s mentoned. In the Seventh Chapter, the results of the thess are summarzed. Key Words: Lnear Regresson, Quantle Regresson, Least Absolute Devaton (LAD) Regresson, Least Squares Method (LS), R programme.

5 ÖNSÖZ Quantle Regresyon ve Br Uygulama adlı tezmn seçm ve çalışma süresnce yardımını esrgemeyen, çalışmalarımda yol gösteren ve blgleryle bana yardımcı olan danışman hocam Yard. Doç. Dr. Nmet YAPICI PEHLİVAN a saygı ve teşekkürlerm sunarım. Ayrıca çalışma süresnce bana verdkler desteklerden dolayı değerl aleme teşekkür ederm. İlkay ALTINDAĞ KONYA-1

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... ÖNSÖZ... İÇİNDEKİLER... v ŞEKİLLER DİZİNİ... v ÇİZELGELER DİZİNİ... v KISALTMALAR... v 1. GİRİŞ ve KAYNAK ARAŞTIRMASI Grş Kaynak Araştırması...3. LİNEER REGRESYON ANALİZİ Parametre Tahmn En Küçük Kareler Yöntem En Çok Olablrlk Yöntem Çoklu Belrleyclk Katsayısı ( R ) Breysel Parametreler çn Güven Aralıkları, Hpotez Test ve j nn Y / x Tahmn QUANTILE REGRESYON Quantle Kavramı Quantle Dağılım Fonksyonu Quantle Yoğunluk Fonksyonu Quantle Regresyon Quantle Regresyonun Doğrusal Programlama Gösterm Quantle Regresyonun Uygulama Alanları Quantle Regresyon Yöntemnn Özellkler EN KÜÇÜK MUTLAK SAPMA YÖNTEMİ Bast Doğrusal En küçük Mutlak Sapma Regresyonu Bast En Küçük Mutlak Sapma Regresyonu çn Algortma Doğrunun İk Gözlem Noktasından Geçme Zorunluluğu En Küçük Mutlak Sapma Regresyonunda Tek Olmama ve Bozulma Sorunu Eğm Parametresnn Anlamlılık Test Parametres Çoklu Doğrusal En Küçük Mutlak Sapma Regresyonu Çoklu En Küçük Mutlak Sapma Regresyonunda Tek Olmama ve Bozulma Sorunu Çoklu En Küçük Mutlak Sapma Regresyonunda Katsayıların Anlamlılığının Test R PROGRAMI R Programının İçerğ R Programının Avantajları R Programında Quantle Regresyon Analz UYGULAMA v

7 6.1. Bast Regresyon Model çn Quantle Regresyon Analz Uygulaması Çoklu Regresyon Model çn Quantle Regresyon Analz Uygulaması KAYNAKLAR EKLER v

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl 3.1. Brnc durum çn quantle değer Şekl 3.. İknc durum çn quantle değer Şekl 3.3. Üçüncü durum çn quantle değer Şekl 3.4. Dördüncü durum çn quantle değer Şekl 3.5. Beşnc durum çn quantle değer Şekl 3.6. Quantle Fonksyonu Şekl 3.7. Kontrol Fonksyonu... 3 Şekl 6.1. Uygulama 1 çn yöntemlere lşkn tahmn değerler ve güven aralıkları grafğ Şekl 6.. Uygulama 1 çn çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MSE değerler grafğ Şekl 6.3. Uygulama 1 çn çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MAD değerler grafğ Şekl 6.4. Çeştl quantle değerler çn Quantle Regresyon yöntemnden ve EKK yöntemnden elde edlen regresyon doğruları... 5 Şekl 6.5. Quartle değerler çn Quantle Regresyon yöntemnden ve EKK yöntemnden elde edlen regresyon doğruları Şekl 6.6. Uygulama çn yöntemlere lşkn tahmn değerler ve güven aralıkları Şekl 6.7. Uygulama çn çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MSE değerler grafğ Şekl 6.8. Uygulama çn çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MAD değerler grafğ Şekl 6.9. Uygulama çn yöntemlere lşkn tahmn değerler ve güven aralıkları grafkler Şekl 6.1. Uygulama 3 çn çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MSE değerler grafğ Şekl Uygulama 3 çn çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MSE değerler grafğ v

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge 6.1. Uygulama 1 çn modeln SPSS 15. dan elde edlen Varyans Analz Tablosu Çzelge 6.. Uygulama 1 de R Programından.5 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge 6.3. Uygulama 1 de R Programından.5 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge 6.4. Uygulama 1 de R Programından.75 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge 6.5. Uygulama 1 de R Programından elde edlen EKK Sonuçları Çzelge 6.6. Uygulama 1 çn elde edlen Y ˆ Tahmn değerler Çzelge 6.7. Uygulama 1 çn EKK ve QR yöntemlerne lşkn model özet tablosu Çzelge 6.8. Uygulama 1 çn çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MSE ve MAD değerler... 5 Çzelge 6.9. Uygulama çn modeln SPSS 15. dan elde edlen Varyans Analz Tablosu Çzelge 6.1. Uygulama de R Programından.5 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge Uygulama de R Programından.5 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge 6.1. Uygulama de R Programından.75 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge Uygulama de R Programından elde edlen EKK Sonuçları Çzelge Uygulama çn elde edlen Y ˆ tahmn değerler Çzelge Uygulama çn EKK ve QR yöntemlerne lşkn model özet tablosu Çzelge Uygulama de çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MSE ve MAD değerler... 6 Çzelge Uygulama 3 çn SPSS 15. dan elde edlen Varyans Analz Tablosu.. 6 Çzelge Uygulama 3 te R Programından.5 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge Uygulama 3 te R Programından.5 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge 6.. Uygulama 3 te R Programından.75 çn elde edlen QR Analz Sonuçları Çzelge 6.1. Uygulama 3 te R Programından elde edlen EKK Regresyon Analz Sonuçları Çzelge 6.. Uygulama 3 çn elde edlen î Y tahmn değerler Çzelge 6.3. Uygulama 3 çn EKK ve QR yöntemlerne lşkn model özet tablosu Çzelge 6.4. Uygulama 3 çn çeştl quantle değerlerne karşılık gelen MSE ve MAD değerler v

10 KISALTMALAR QR: Quantle Regresyon EKK: En küçük kareler MLE: En çok olablrlk tahmn edcs LAD: En küçük mutlak sapma MSE: Hata kareler ortalaması MAD: Mutlak sapma ortalaması LP: Doğrusal Programlama v

11 1 1. GİRİŞ ve KAYNAK ARAŞTIRMASI 1.1. Grş İstatstk teorsnn öneml konularından br olan Regresyon Analz, bağımlı değşken (Y) le br veya daha çok bağımsız değşken (X) arasındak lşky ncelemek amacıyla kullanılan br analz yöntemdr. Br bağımlı değşken ve br bağımsız değşken olduğunda oluşturulacak doğrusal regresyon model, bast regresyon model adını alır. Br bağımlı değşken ve brden bağımsız değşken olduğunda se oluşturulacak doğrusal regresyon model, çoklu regresyon model adını alır. Regresyon analznn k öneml amacı; Bağımsız değşkenler yardımıyla bağımlı değşken tahmn etmek, Bağımsız değşkenlerden hangs ya da hanglernn bağımlı değşken daha çok etkledğn bulmak ve aralarındak karmaşık yapıyı tanımlamak, olarak verleblr. Regresyon term 19. yüzyılda İnglz statstkç Francs Galton tarafından br byolojk nceleme çn ortaya atılmıştır. Regresyon Analz; bast doğrusal, çoklu, çok değşkenl, çoklu ve doğrusal olmayan regresyon çözümlemes olarak sınıflandırılablr. Regresyon Analz bağımlı ve bağımsız değşkenler arasındak fonksyonel yapıyı oluşturmada kullanılır. Bu yapıyı oluşturmada regresyon modelndek blnmeyen parametrelern tahmn oldukça önemldr. Çoklu doğrusal regresyon model; Y x x x, 1,,, n (1.1) 1 1 p p şeklnde gösterlsn. Matrs göstermyle; Y X (1.) bçmnde gösterlr. Burada hata term, regresyon parametresdr.

12 Uygulamalı statstğn öneml br kısmı, lneer regresyon model ve bu modeln tahmnnde sıklıkla kullanılan En küçük Kareler tahmn yöntemnn detaylı br şeklde ncelenmes olarak görüleblr (Koenker, 5). En küçük kareler yöntem, regresyon modelndek blnmeyen parametrelern tahmnnde kullanılan yöntemlerden brdr. Bu yöntemn mantığı hataların karelerne lşkn toplamın en küçük yapılması temelne dayanır. Bu amaçla hata kareler toplamı n n n e ˆ y xb y y (Alpar, 3). y en küçük yapacak değer olarak hesaplanır Koenker ve Basett (1978) tarafından önerlen Quantle Regresyon, koşullu quantle fonksyonlarının tahmn model çn uygun br yöntem sağlar (Koenker ve Hallock, 1). Quantle Regresyon, özellkle koşullu quantllern değşkenlk gösterdğ durumlarda kullanışlıdır ve bu yöntem quantllere bağlı olarak regresyon katsayılarını belrler (Chen, 5). Quantle Regresyon özellkle uç noktaların öneml olduğu uygulamalarda oldukça kullanışlıdır. Quantle Regresyon aynı zamanda hem alt hem üst quantllerle ya da tüm quantllerle lglendğnden X koşullu dağılımının tam br göstermn sağlamaktadır. x verldğnde Y nn bağımlı değşken, x, t 1,, T y, t 1,, T t t, t k boyutlu tasarım matrs, b, tahmn edlecek katsayı vektörü ve et yt xt hata değer olmak üzere,. regresyon quantl 1 ; mn (1 ) K yt xtb yt xtb tt : yt xtb tt : yt xtb (1.3) eştlğnn mnmze edlmesyle elde edlr. (Koenker ve Basett, 1978). Bu tez çalışmasının amacı, lneer regresyonda alternatf br yöntem olan Quantle Regresyon yöntemn ele almak ve EKK yöntemyle arasındak farklılıkları anlatmaktır. Bunun çn, EKK, Quantle Regresyon ve Quantle Regresyon yöntemnn özel br hal olan En Küçük Mutlak Sapma (LAD) yöntemnden bahsedlmştr.

13 3 Çalışmanın knc bölümünde doğrusal regresyon analzne grş yapılacak, modele lşkn göstermler, EKK ve En Çok Olablrlk (MLE) parametre tahmn yöntemler, çoklu belrleyclk katsayısı, parametre tahmnlernn güven aralıkları ve bu parametreler çn hpotez testler verlecektr. Üçüncü Bölüm de, quantle kavramı, quantle dağılım fonksyonu, quantle yoğunluk fonksyonu, Quantle Regresyon, Quantle Regresyonun doğrusal programlama gösterm ve Quantle Regresyonun uygulama alanları ele alınacaktır. Dördüncü Bölüm de, LAD Regresyon yöntemnden bahsedlp, bast doğrusal regresyon ve çoklu doğrusal regresyon çn brer algortma verlecektr. Beşnc bölüm de, R Paket programı tanıtılacak ve R programının kurulumu avantajları ve Quantle Regresyon yöntemnde kullanılan R komutları ele alınacaktır Altıncı bölüm de, ele alınan Quantle Regresyon yöntemnde bast ve çoklu regresyon analz çn uygulamalar yapılacak ve elde edlen tahmnler grafkler yardımıyla açıklanmaya çalışılacaktır. Çalışmanın Sonuç ve Önerler bölümü olan Yednc Bölüm de se, uygulamalar yardımıyla yukarıda değnlen yöntemler kıyaslanacak, avantaj ve dezavantajları açıklanmaya çalışılacaktır. 1.. Kaynak Araştırması Quantle Regresyon analz alanında lk çalışma Koenker ve Basett (1978) tarafından yapılmıştır. Koşullu quantle fonksyonlarının tahmn model çn uygun br yöntem önermşlerdr. Koenker ve Basett (1978) çalışmalarında, örnek quantl kavramından yola çıkarak bast mnmzasyon problemn, lneer modeller çn genelleştrmşler ve bunu regresyon quantl olarak adlandırmışlardır. Quantle Regresyonda tahmn edcler hataların mutlak toplamlarını mnmze etmektedr. Bu çalışmada, ayrıca bazı eş varyans özellkler ve regresyon quantllernn ortak asmptotk dağılımları da oluşturulmuştur. Lngren (1997) çalışmasında, bağımsız değşken sansürlü olduğu zaman parametrk quantle fonksyon tahmnler çn yen br yöntem önermştr. Quantle fonksyonunun tahmnn, smetrk olmayan L 1 teknkler le brlkte sansür lmtler dağılımının ağırlıklı Kaplan-Meer tahmn olarak ele alınmıştır.

14 4 Ede ve Showalter (1998) makalelernde, Test skoru kazanımı durumunun koşullu dağılımında farklı noktalardak okul kaltes ve performans arasındak lşknn farklı olup olmadığını standartlaştırılmış testlerde Quantle Regresyon yöntemn kullanılarak tahmn etmşlerdr. Lee ve Tanaka (1999) makalelernde, Quantle Regresyon teknklern temel alarak yen br aralık (nterval) regresyon analz önermşlerdr. Bulanık ortamda br olayın analz çn, k farklı yaklaşım model önermşlerdr. Çalışmanın temel özellğnn alt ve üst yaklaşım modellernn elde edlmes ve bulanık mantıkta verlen olayı temsl eden bulanık model çn bunların brleştrlmesdr. Yu ve ark. (3) çalışmalarında, Quantle Regresyon yöntemnn EKK yöntemnden daha detaylı br statstksel model sunduğunu ve genş br uygulama alanı olduğunu öne sürüp bu teknğ ncelemşlerdr. Kan ve Tsa (4) çalışmalarında, obezteye neden olan değşkenlern etklern ncelemşlerdr. Bu araştırmada Beden Ktle Endeks (BMI) ölçümlernden yararlanmışlardır. Tawan dan alınan anket verler temel alınarak ncelenen lşk Quantle Regresyon Teknğ kullanılarak analz edlmştr. Sonuçlar lşknn var olduğunu, kadın ve erkekler arasında BMI açısından farklı lşk olduğunu göstermştr. Baur ve ark. (4) makalelernde, Atna da dört gözlem kulesnden yılları arasında alınan verlerle, ozon konsantrasyonunun koşullu dağılımını etkleyen bağımsız değşkenlern, farklı ozon düzeylernde farklı derecede öneme sahp olduğunu Quantle Regresyon yöntemyle göstermşlerdr. Chen (5) çalışmasında, özellkle uç noktaların öneml olduğu durumlarda Quantle Regresyon yöntemnn kullanışlı olduğundan bahsetmş ve halk sağlığı açısından çevresel çalışmalarda üst quantllerde hava krllğnn krtk sevyeye geldğ durumları örnek olarak göstermştr. Quantle Regresyon un alt ve üst quantller brlkte veya bütün quantller aynı anda düşünüldüğünde X dağılımı çn daha tam br bakış açısı sağladığını göstermştr. Koenker (5) çalışmasında, x verldğnde Y nn koşullu Quantle Regresyonun özellkler, Quantle Regresyon çn çıkarım, Quantle Regresyonun asmptotk teor özellkler, L- İstatstğ ve ağırlıklandırılmış Quantle Regresyon özellkler, Quantle Regresyonun hesaplama yöntemler, Parametrk Olmayan Regresyon özellklernden, Quantle Regresyonun belrszlk durumundan ve Quantle Regresyona at sonuç çıkarımından bahsetmştr. Saçaklı (5) tez çalışmasında, En Küçük Kareler Regresyonu, En Küçük Mutlak Sapma Regresyonu, En Küçük Medyan Kare Regresyonu, M regresyon ve Rank

15 5 Regresyonundan bahsedp bu alternatf regresyon modellern karşılaştırmıştır. Ayrıca, Quantle Regresyon un özellkler vermş ve Quantle Regresyon analzne yönelk br uygulama yapmıştır. Behr (8) çalışmasında, Farell teknk etk skor tahmnler çn kolay ve sağlam alternatf br regresyon teknğ uygulamıştır. Quantle Regresyon yaklaşımı le koşullu quantllern en üstünde bulunan etk (benchmark) bankacılığının ürün gelşm tahmn edlmştr. Sonuçta etk bankacılığının üretme, koşullu ortalama fonksyonundan ve stokastk sınır fonksyonundan elde edlen esneklkten oldukça farklı malyet esneklğne sahp olduğunu göstermştr. Coad ve Rao (8) makalelernde, frma sevyes Compustad vers le NBER patent versn eşleştrerek kompleks teknoloj sektörü çn yen br ver tabanı oluşturmuşlarıdır. Quantle Regresyon yöntem le yenlklern etksnn borsa dağılımına etk ettğn göstererek lteratüre yen br boyut kazandırmışlardır. Ede ve Showalter (8) çalışmalarında, yüksek teknolojye sahp olmakla yükümlü frmalar çn satış büyüme yenlklern anlatmışlardır. Ortalama br frma sadece deneymlerle mütevazı br lerleme yapablr ama yenlkç hareketlerle brlkte büyümenn br sürü neden olabldğn savunmuşlardır. Burada ortalama frmalar çn ortalama etk üzerndek odaklanmada EKK regresyon yöntemn kullanmanın yanıltıcı olableceğn göstermşlerdr. Quantle Regresyonu yöntemn kullanarak hızlı büyüyen frmalarda yenlklern krtk derecede öneml olduğunu göstermşlerdr. Ram (8) makalesnde, Solow tp büyüme modellernde Quantle Regresyon tahmnlernn alt quantllern üst quantllere göre daha küçük yakınsama oranının olduğu fakat bazı dğer katsayılarda oldukça büyük farklılık gösterdğ saptanmıştır. Quantle Regresyon metodunun hızlı-büyüme ve yavaş-büyüme oranına sahp ülkelerdek parametrk farklılıkların öneml olup olmadığını anlamak çn faydalı br çalışma olduğunu göstermşlerdr. Stfel ve Averett (9) çalışmalarında, ABD de aşırı klolu (obez) çocukların yaygınlığının son yrm yılda çarpıcı bçmde arttığı ve bunun halk sağlığı problemlerne neden olduğu, üstelk fazla klolu olmayan çocukların da ağırlığının artması problemn ele almışlardır. Bunun çn Beden Ktle Endeks (BMI) le ölçülen ağırlık durumu ve aşırı klo arasındak lşky bulmak çn Quantle Regresyon yöntemn kullanmışlardır. Çalışmalarının sonuçları En Küçük Kareler yöntemnn çocuk BMI snde ağırlık dağılımının alt ve üst kuyruklarındak bazı öneml lşkler maskeledğn

16 6 göstermektedr. Sonuç olarak Quantle Regresyon yöntemnn daha detaylı blg verdğn göstermşlerdr. Melgkotsdou ve ark. (9) çalışmalarında, rsk faktörlern kullanarak yatırım fonu getrlernn koşullu quantllerle modellenmes fkrn tanıtmışlardır. Quantle Regresyon analz, yatırım fonu getrs ve rsk faktörlernn değşm arasındak lşknn koşullu getr dağılımı boyunca nasıl değştğn anlamak çn br yol sunmuşlardır. En uygun rsk faktörler, farklı quantller çn tanımlanmış ve koşullu beklenen modelden elde edlenle karşılaştırılmıştır. Standart koşullu ortalama fonksyonun yatırım fonlarının karakterstk rsk getrlern yeterl bçmde tanımlayamadığı ortamda getrlerdek faktör etksndek farklılığı quantller le elde etmşlerdr. L ve ark. (9) makalelernde, Çn Borsasında yer alan fnansal olmayan 643 şrket örneklem kullanarak şrketlere at performans üzernde hükümet ştrakçlernn etklern değerlendrmşlerdr. Lteratürdek tartışmalı gözlem bulguları ve En Küçük Kareler regresyonu kısıtlamaları yüzünden Quantle Regresyon metodu benmsenmş, hükümet ştrakçler le şrket performansları arasında öneml br negatf lşk olduğunu rapor etmşlerdr. Eldek yen bulguların koşullu ortalama regresyondan elde edlemedğn ve Çn Hükümetnn kısmen özelleştrlmş bu frmaların performansı üzernde hala etk gösterdğnden bahsetmşler ve lşk parametresnn performans değşkenlernn dağılımında quantller boyunca değştğn ele almışlardır.

17 7. LİNEER REGRESYON ANALİZİ Regresyon analz, bağımlı (açıklanan) değşken Y le bağımsız (açıklayıcı) değşken X (ya da X ler) arasındak lşky tanımlamak ve bu lşknn derecesn hesaplamak çn kullanılan br analz yöntemdr (Tarı, 6). Regresyon analzn uygulayablmek çn değşkenler arasındak lşknn fonksyonel yapısının blnmes gerekmektedr. Fonksyonel yapıyı öğrenmek çn değşkenlere lşkn saçılım grafklernden yararlanılır. Eğer lşk doğrusal se, bu k değşken çn doğrusal regresyon denklem bulunablr (Alpar, 3). Br bağımlı değşken ve br bağımsız değşken olduğunda oluşturulacak doğrusal regresyon model, bast regresyon model adını alır. Y le x arasında Y / X x 1x gb br bağıntı olduğunda gözlemler, Y 1 x, 1,,..., n (.1) şeklnde fade edlr. lern sıfır ortalamalı, eşt varyanslı ( ), bağımsız gözlenemeyen rasgele değşkenler olduğu varsayıldığında x değşkenne bağımsız değşken, Y değşkenne bağımlı değşken denr. X bağımsız değşkenn verlmş x değer çn Y nn koşullu dağılımının beklenen değer / Y X x le x arasındak Y / X x g( x;, 1) 1x (.) bağıntısına regresyon fonksyonu denr (Genç, 1997). Gözlemler le lgl yazılan Y g( x;, ) x, 1,,..., n (.3) 1 1 eştlğne bast lneer regresyon denklem adı verlr. ler üzernde yapılan varsayımlarla brlkte bu regresyon denklemne regresyon model ve, 1 parametrelerne regresyon parametres denr. Bağımlı değşken (Y) etkleyen brden çok bağımsız değşken x1, x,..., xp olması durumunda oluşturulacak doğrusal regresyon model, çoklu

18 8 regresyon model adını alır. Elde edlecek matematksel modeln yan regresyon denklemnn k öneml amacı; Bağımsız değşkenler yardımıyla bağımlı değşken tahmn etmek, Bağımsız değşkenlerden hangs ya da hanglernn bağımlı değşken daha çok etkledğn bulmak ve aralarındak karmaşık yapıyı tanımlamak, olarak verleblr. Regresyon analznde, hang değşkenn bağımlı hang değşkenn bağımsız olduğunun belrlenmesnde dkkatl olunmalıdır. Değşkenlern belrlenmes kavramsal ve teork blglere dayandırılmalıdır (Alpar, 3). Çoklu lneer regresyon model; Y 1x1 x p xp, 1,,, n (.4) veya Y 1x1 x p xp, 1,,, n (.5) şeklnde gösterlsn. Matrs göstermyle; Y X (.6) olup Y x 1 Y x Yn xn x x x 1 n x x x 1p p np 1 1 p n Bçmnde açık olarak yazılablr. X tasarım matrs X 1 x 1,,, x x x x p n x olup 1,,, p p x x x x satır vektörünü göstermektedr (Genç, 1997).

19 9 Doğrusal Regresyon Modelnn Standart Varsayımları x, y 1,,, n ver çftler olmak üzere ktle regresyon doğrusu çn Y x e 1 le gösterlrse, n çft ver set çn aşağıdak standart varsayımlar yapılır: 1. x değerler ya sabttr ya da değşkenlernn gerçekleşmş değerlerdr. hata termlernden bağımsız X rasgele. Hata termler ler, ortalaması sıfır olan rasgele değşkenlerdr. Yan, 1,,..., E n. 3. Bütün 4. rasgele değşkenlernn varyansı eşttr., 1,,..., Var n. rasgele değşkenler brbryle lşkl değldr, böylece j (Newbold, 1995). E., j. olur.1. Parametre Tahmn Regresyon analznde en çok kullanılan tahmn yöntemler En Küçük Kareler (MSE) ve En Çok Olablrlk (MLE) tahmn yöntemlerdr En Küçük Kareler Yöntem x, y, x, y,, x, y 1 1 n n gb n ver çft olduğunda, bu noktalara en y uyum gösteren doğrunun bulunması, başka br deyşle, ktle regresyon doğrusunun blnmeyen katsayıları le 1 n tahmnlern elde etmek gerekldr. le 1 n tahmn değerler b ve b 1 olsun, böylece tahmn edlen doğru, y b b1 x olur. Bunun ne kadar y br tahmn olduğunu anlayablmek çn, x, y noktalarının bu doğrudan uzaklıklarını ölçecek br ölçüye htyaç vardır. Bağımlı değşkenn gerçekte gözlenen değer y dr. Gözlenen değer le tahmn edlen değer arasındak fark ˆ 1 e y b b x y y dr. e farkı, bağımlı değşkenn önerlen doğru üzerndek b b x değernden sapmasını göstermektedr. (Newbold 1995). 1

20 1 En küçük kareler yöntem blnmeyen ve 1 parametrelernn tahmnnde kullanılan yöntemlerden brdr. Bu yöntem, hataların karelerne lşkn toplamın en küçük yapılması temelne dayanır. Bu amaçla y yˆ y b b x tarafının kares alınıp n gözlem çn yenden yazıldığında; eştlğnn her k 1 n y ˆ y y b b1 x 1 (.7) 1 1 n elde edlr. Eştlk (.7) nn sağ tarafı sıfıra eştlenp, b ve b 1 e göre türev alındığında, hata kareler toplamı n e y en küçük yapan 1 b ve b1 tahmn değerler b y b1 x (.8) x y y y x x x y x y n x y n n n n XY 1 n n n KTX x x1 x x n x n x 1 1 n b olarak elde edlr. Burada, n n ÇT (.9) KT x : x bağımsız değşkenndek her br gözlem dağılımın ortalamasından çıkartarak elde edlen yen dağılımdak değerlern kareler toplamıdır. KT x e, x lern ortalamaya göre düzeltlmş kareler toplamı denr. ÇT xy : x ve y değşkenlernn kend ortalamalarına göre düzeltlmş değerlernn toplanması le elde edlr. Düzeltlmş çarpımlar toplamı olarak da adlandırılır. Burada, n y y / n b x 1 n 1 1 x x / n (.1) dr. Buradan, örnekleme lşkn regresyon tahmn denklem; y b b x (.11) ˆ 1

21 11 olarak yazılır. Bu denklemde, her br x değernn yerne koyulması le elde edlen y ˆ değerler regresyon doğrusu üzernde olacaktır (Alpar, 3). En Küçük Kareler Tahmn Edclernn Özellkler 1. Doğrusaldır, yan regresyon modelndek bağımlı değşken Y gb rasgele br değşkenn doğrusal br fonksyondur.. Yansızdır, yan ortalaması ya da beklenen değer E ˆ dr. 3. Doğrusal yansız tahmn edcler çnde en küçük varyanslı olanıdır; en küçük varyanslı yansız br tahmn edc etkn br tahmn edc olarak adlandırılır (Gujarat, 1999)..1.. En Çok Olablrlk Yöntem Hataların normallk varsayımı altında regresyon modelnn matrs gösterm, Y n1 X n p n1, N(, I ) n1 olmak üzere p ve parametrelern tahmn etmek çn en çok olablrlk yöntem şu şeklde verleblr. Olablrlk fonksyonu, L(, ; ) 1 ( ) ( ) 1 X X e Y Y Y n n ( ) ( ) dır. Olablrlk fonksyonunun logartması, n n 1 ln L(, ; Y ) (, ; Y ) ln( ) ln( ) ( Y X ) ( Y X ) n n 1 ln( ) ln( ) ( Y Y ' X Y ' X X ) (.1) ve

22 1 (, ; Y ) 1 ( X Y X X ) (, ; Y ) n 1 4 (( Y X ) ( Y X )) eştlklernden p ve parametrelernn En Çok Olablrlk Tahmn Edcler, ˆ ( ) 1 X X X Y (.13) ve 1 ˆ ( Y X ˆ ) ( Y X ˆ ) (.14) n eştlklernden elde edlr (Genç 1997)... Çoklu Belrleyclk Katsayısı ( R ) Çoklu belrleyclk katsayısı, noktaların regresyon doğrusuna olan yakınlık derecesn gösterr. Çoklu belrleyclk katsayısı, R le gösterlr ve bağımlı değşken değşmlern yüzde kaçının bağımsız değşkenler tarafından açıklanabldğn fade eder (Akkaya, 199). Çoklu belrleyclk katsayısı R SSR SST ˆ X ' Y ny Y ' Y ny n 1 n 1 ( Yˆ ( Y Y ) Y ) (.15) eştlğnden hesaplanmaktadır. R nn k öneml özellğ vardır. Bunlar; R poztf br değerdr. R nn değer R 1 sınırları arasında yer alır. Y dek toplam değşmn tümü regresyon le açıklanır ve açıklanamayan kısım sıfır olursa R 1 olur. Bu Y le X

23 13 arasında tam br bağlantı olduğunu, başka br deyşle tüm gözlemlern regresyon doğrusu üzernde yer aldığını gösterr. Y le X arasında hç bağlantı olmazsa açıklanamayan kısmın toplam değşme oranı 1 olur dolayısıyla R olur. değer ne kadar büyük olur ve 1 e yaklaşırsa, Y dek değşmler o oranda X dek değşmlerle açıklanablyor demektr (Kp, 1997)..3. Breysel Parametreler çn Güven Aralıkları, Hpotez Test ve / Tahmn. breysel parametre çn 1 ' lık güven aralığı j Y x nn R ˆ t s c ˆ t s c 1, 1 (.16) dır. Burada c, ( 1 X ' X ) matrsnn. köşegen elemanıdır. Breysel parametreler çn hpotez test çn H : a H : a 1 hpotezn anlam düzeynde test etmek çn test statstğ; t h ˆ j a ~ t s c n p olup t h, n p serbestlk derecel t dağılımına sahptr. t T t1 ; n p şeklnde hesaplanır. t h tt se H hpotez reddedlr (Genç 1997). Açıklayıcı değşkenler üzernde j. gözlem X matrsnn j. satırı olsun. Açıklayıcı değşkenlern aldığı bu değerler Y ' nn koşullu dağılımının beklenen değer olan çn br tahmn edc j Y x

24 14 Y j ˆ j x (.17) x olmak üzere j E( ˆ j ) x ˆ (.18) y x j ( ˆ ) ( ) ( ˆ j Var j x Cov )( x ) y x j 1 j = ( x )( X X ) ( x ) (.19) dr. Hpotez modellernde j j 1 j ˆ j, ( )( ) ( ) N x x X X x y x dır (Genç 1997).

25 15 3. QUANTILE REGRESYON Bu bölümde, quantle kavramı, quantle dağılım fonksyonu, quantle yoğunluk fonksyonu, Quantle Regresyon, Quantle Regresyonun doğrusal programlama gösterm ve Quantle Regresyonun uygulama alanları ele alınacaktır Quantle Kavramı Serler k, dört, on ve yüz eşt parçaya ayıran değerler genel olarak bölenler olarak adlandırılmaktadır. Sery k eşt parçaya bölmek çn hesaplanan değerlere medyan, dört eşt parçaya bölmek çn hesaplanan değerlere çeyreklk (quartle), on eşt parçaya bölmek çn hesaplanan değerlere ondalık (desl) ve yüz eşt parçaya bölmek çn hesaplanan değerlere santl adı verlmektedr (Saçaklı, 8). X, F dağılım fonksyonuna sahp rasgele değşken ve p, (,1) aralığında br reel sayı olmak üzere, p p 1 P X x p P X x p (3.1) eştszlklern sağlayan x p değerne X n (ya da dağılımın) p. quantl denr (Rousass, 1973). F dağılım fonksyonu kullanarak p. quantle, p p F x p F x eştszlğn sağlayan değer olarak tanımlanır, burada p.5 çn x.5 (3.) değer dağılımın medyanı, ve p.5 ve p.75 çn x.5 ve x.75 değerler sırasıyla dağılımın 1. ve 3. çeyreklkler (quartle) olarak adlandırılır (Ghahraman, 5). p 1 1 p P X x p p P X x (3.3) p 1 1 P X xp p P X x p P X x p p p F x p (3.4)

26 16 Eştszlk (3.3) ve (3.4) ten eştszlğ (3.1) elde edlr. X, rasgele değşkennn sürekl olduğu durumlarda; p F x p F x olduğundan. p quantle F xp p eştszlğn sağlayan x p değerdr. Br dağılımın quantle değer tek br değere veya brden fazla değere eşt olablr. Farklı dağılıma sahp fonksyonlar çn quantle değerler ncelenmştr. Brnc Durum: Şekl 3.1. Brnc durum çn quantle değer Şekl 3.1 de verlen dağılım fonksyonu sürekl br rasgele değşkene attr. Şekl 3.1 den görüldüğü gb F xp p F x p İknc Durum: eştszlğn sağlayan p. quantle değer tektr. Şekl 3.. İknc durum çn quantle değer

27 17 Şekl 3. de verlen dağılım fonksyonu keskl br rasgele değşkene attr. Şekl 3. den görüldüğü gb F xp p F x p değldr. eştszlğn sağlayan p. quantle değer tek Üçüncü Durum: Şekl 3.3. Üçüncü durum çn quantle değer Şekl 3.3 te verlen dağılım fonksyonu keskl br rasgele değşkene attr. Şekl 3.3 ten görüldüğü gb F xp p F x p eştszlğn sağlayan p. quantle değer tektr. Dördüncü Durum: Şekl 3.4. Dördüncü durum çn quantle değer

28 18 Şekl 3.4 te verlen dağılım fonksyonu keskl br rasgele değşkene attr. Şekl 3.4 ten görüldüğü gb F xp p F x p eştszlğn sağlayan p. quantle değer tektr. Beşnc Durum Şekl 3.5. Beşnc durum çn quantle değer Şekl 3.5 te verlen dağılım fonksyonu keskl br rasgele değşkene attr. Şekl 3.5 ten görüldüğü gb F xp p F x p (Rousass, 1973). eştszlğn sağlayan p. quantle değer tek değldr 3.. Quantle Dağılım Fonksyonu Quantle Dağılım Fonksyonu QF veya Q le gösterlr. Quantle değer değşkenn dağılımında yer alan ve dağılımı, kendsnden büyük olanlar ve kendsnden küçük olanlar dye kye bölen herhang br değerdr. Şöyle k, değerlern % su. quantlden daha küçüktür (, olasılık değern fade etmektedr). Quantle fonksyonu sürekl br fonksyon olduğu çn F x 3.6 da verlmektedr. dur. Quantle fonksyonun gösterm Şekl x nın değer, ana kütlenn. quantller olarak adlandırılır. x Q fonksyonu,. quantller, nun br fonksyonu olarak fade edlr ve quantle fonksyonu olarak adlandırılır. Quantle fonksyonu ve dağılım fonksyonu, herhang

29 19 x, çft çn x Q ve F x 1 1 fonksyonlardır ve Q F ve F x Q x şeklnde yazılablr. Bu fonksyonlar sürekl artan dır (Saçaklı, 5). Şekl 3.6. Quantle Fonksyonu Q quantle fonksyonu se nun tüm olasılıkları çn, 1, quantle değern verr. Medyan değer Q.5 le verlr, benzer şeklde Q1/ 4 1. quartl ve Q 3 / 4 3. quartl göstermektedr. Hesaplamalar çn normal dağılım tablosundan yararlanılır, örneğn 1.96 gb br değer.975 olasılığını alır. N standart normal dağılım çn quantle fonksyonuysa N.975 değer 1.96 ya eşttr, böylelkle kullanılan normal tablolar standart normal dağılım çn quantle fonksyon tablolarıdır Dağılımları modelleyeblmek çn quantle fonksyonu kullanılablr. X verlmşken y nn. quantller, y / Q x x S (3.5) olarak gösterlr. S artık term fade etmektedr. S smetrk olması gerekmeyen quantle fonksyondur, ölçek parametresdr. y nn x üzerndek quantle regresyon fonksyonu ya da koşullu quantle fonksyonu olarak adlandırılır (Saçaklı, 5).

30 3.3. Quantle Yoğunluk Fonksyonu Dağılımları modelleyeblmek çn dağılım fonksyonunun türevn alarak olasılık yoğunluk fonksyonu elde edldğ gb, Quantle Dağılım Fonksyonun türev alınarak Quantle Yoğunluk Fonksyonu QDF belrleneblr ve q dq (3.6) d olarak gösterlr. Q azalmayan br fonksyon olduğu çn eğm q negatf değldr, her zaman 1 brm aralığında yer alır, olasılık yoğunluk fonksyonu f ( x) se sonsuz tanım aralığında yer alır. Sernn mod değernn olasılığı p mod.5 se, dağılım sola çarpıktır ve q quantle yoğunluk fonksyonu q q 1 Quantle fonksyonu da Q Q1.5 Ortalama Medyan Mod eştszlğ sağlanır. çarpıktır ve,5 durumunu sağlar,.5'tr. durumunu sağlar ve Benzer şeklde sernn mod değernn olasılığı p mod.5 se, dağılım sağa q quantle yoğunluk fonksyonu şaretler durumunu sağlar, tr. Quantle fonksyonu da Q( ) Q(1 ).5 Ortalama Medyan Mod eştszlğ sağlanır (Saçaklı, 5). durumunu sağlar ve 3.4. Quantle Regresyon Quantle Regresyon, lk olarak regresyondak klask varsayımlardan hata termlernn normal dağılması varsayımını hmal eden robust (sağlam) br regresyon teknğ olarak ortaya çıkmıştır. Quantle regresyon, daha kapsamlı br regresyon görüntüsü sunmak amacıyla tasarlanan br yöntemdr (Koenker, 5). Uygulamalı statstğn öneml br kısmı lneer regresyon model ve bu modeln tahmnnde sıklıkla kullanılan En küçük Kareler tahmn metotlarının detaylı br şeklde ncelenmes olarak görüleblr (Koenker, 5)

31 1 Mostseller ve Tukey öneml eserlernde; Regresyon eğrsnn yaptığı şey x lern kümesne karşılık gelen dağılımların ortalamasının özet blgsn vermektr. Daha fazla blg çn dağılımların çeştl yüzde puanlarına denk gelen farklı regresyon eğrler hesaplanablr, bu sayede de kümenn daha detaylı blgs elde edleblr. EKK yöntemnde bu yapılmaz ve bu nedenle genellkle regresyon eğrs bze eksk blg verr. Sadece ortalama değernn br dağılım çn eksk blg vermes gb, EKK regresyon eğrs de dağılım kümeler hakkında eksk blg verr. bçmnde fade etmşlerdr (Koenker, 5). X EKK yöntem, br ya da daha fazla bağımsız değşken (X) arasındak lşky ve x verldğnde Y bağımlı değşkennn koşullu ortalamasını modeller. (Chen, 5). Koenker ve Basett (1978) tarafından sunulan Quantle regresyon se koşullu quantle fonksyonlarının tahmn model çn uygun br yöntem sağlar (Koenker ve Hallock, 1). Quantle Regresyon, özellkle koşullu quantllern değşkenlk gösterdğ durumlarda kullanışlıdır. Quantllere bağlı olarak regresyon katsayılarını belrler (Chen, 5). Lneer regresyon modelnde EKK yöntemnn, uygulamalı statstkte bu kadar yaygın olmasına neden olan üç madde vardır. İlk olarak, lneer tahmn edclern hesaplama açısından takp edleblrlğ çok lg çekcdr ve bu gözden kaçırılmamalıdır. İlk aşamadak başarıların arkasındak tc güç, bu özellkten kaynaklanmaktadır. İknc olarak, eğer k gözlemsel gürültü (nose) normal dağılıma sahpse, en küçük kare metodunun bazı optmal özellklerne sahp olduğu blnmektedr. Daha fazla dkkat çekc olan şey se, nspeten yakın zamanda fark edlen, EKK yöntemlernn koşullu ortalama fonksyonlarını tahmn etmek çn genel br yaklaşım sağlamasıdır. Mosteller ve Tukey n önerdğ gb, ortalama, tek br örneğn statstksel analz çn ble nadren tek başına yeterldr. Daha fazla blg kazanmak çn dağılımın çarpıklık, basıklık, kutu grafkler, hstogramlar ve daha karmaşık yoğunluk tahmnler sıkça kullanılmaktadır. Buna benzer br şey regresyonda yapılablr. Bunun çn başlama noktası, en küçük kareler le tahmn edlen koşullu ortalama yüzeylere bazı tahmn edlen koşullu quantle yüzeyler eklemek olablr. Regresyon üzerne temel fkrler, bu konudak lk çalışmalar olan Boscovch n 18. yüzyılın ortalarındak ve Edgeworth un 19. yüzyılın sonlarındak çalışmalarından ortaya çıkmıştır (Koenker 5).

32 EKK regresyon modelnde hata termnn değşkenlern değernden bağımsız olduğu (varyanslar homojen) varsayılır. Tam tersne quantle regresyon modelnde hata termlernn değşkenlğne zn verlr ve varyans yapısına lşkn herhang br varsayımı bulunmamaktadır (Baur ve ark. 4) Quantle Regresyonun Doğrusal Programlama Gösterm Quantle regresyon tahmn edcler doğrusal programlama problem olarak formüle edleblr ve artıkların k parçalı doğrusal amaç fonksyonu optmze edlerek smpleks veya sınır metot yolu le sayısal değerlerler elde edleblr (Koenker ve Hallock, 1). F dağılım fonksyonuna sahp Y bağımlı değşkenn, rasgele örneklem, x, t 1,, T y : t 1,, T t t, t k boyutlu tasarım matrs, b, tahmn edlecek katsayı vektörü ve et yt xt hata değer olmak üzere,. regresyon quantl 1 ; mn (1 ) K yt xtb yt xtb tt : yt xtb tt : yt xtb (3.7) eştlğnn mnmze edlmesyle elde edlr. (Koenker ve Basett, 1978). y bağımlı değşkennn. quantl, n Mn y x b p b 1 T (3.8) fadesnn mnmze edlmes le elde edlmektedr. Quantle regresyonun bu gösterm doğrusal programlama gösterm olarak adlandırılır. Burada, fonksyonu olmak üzere veya z z I( z ) z z, z 1 z, z kontrol (check) (3.9) (3.1)

33 3 bçmnde tanımlanmaktadır. Eştlk (3.1) da I, karakterstk fonksyonu göstermektedr. Kontrol fonksyonun grafğ Şekl 3.7 de olduğu gb gösterleblr (Saçaklı, 5). Şekl 3.7. Kontrol Fonksyonu 1 En küçük mutlak sapma tahmn edcler, quantle regresyonda durumunda medyan regresyondur (Koenker ve Basett 1978). Eştlk (3.8) açık br şeklde yazıldığında, T T Mn 1 u 1 1 v n p p u, v y Xb u v x b n n n elde edlr. Matrs göstermyle yazıldığında, alınması T Mn c x Ax T

34 4 Burada; c, 1, 1 1 x b, u, v A X : I : I b y I n n boyutlu brm matrs T T T T p p p n T T T T bçmnde fade edlr (Koenker, 5). T. quantln hata term y K t k tk t k 1 t nn sıfır olduğu varsayılır: x Q \ x,, x t t1 tk Bu özellkten, y nn. koşullu quantl K y \ 1,, t t tk k tk k1 Q x x x bçmnde yazılablr (Baur ve ark. 4) Quantle Regresyonun Uygulama Alanları Quantle regresyon son yıllarda yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan bazılar aşağıda verlmektedr. Tıpta referans çzelgeler Tıpta, referans grafkler uygun quantllerden oluşan br koleksyon sunar. Bunlar yaygın olarak ön tıbb tanı esnasında normalden farklı bazı özel ölçüm değer olan kşler belrlemek çn kullanılır. Hayatta kalma analzler Hayatta kalma analzler çn uygulamalar, breysel hayatta kalma süres üzernde spesfk bağımsız değşken etkler çalışmasını çerr. Bağımsız değşkenler orta, düşük ve yüksek rskl breyler üzernde farklı br etkye sahp olablr. Bu etkler yaşam süres çn farklı quantle değerler ele alınarak anlaşılablr.

35 5 Ekonom Quantle regresyon, bağımsız değşkenlern br etks olarak tüketm pyasalarında düşük, orta ve yüksek tüketm grubuna at breyler çn çalışma açısından kullanışlıdır. Aynı şeklde, faz oranlarındak değşklkler, orta yüksek ve düşük kar gruplarına at şrketlern hsse fyatları le lgl farklı br sonuç olablr. Özellkle, quantle regresyon artık ücret ve çalışma ekonomsndek gelr çalışmaları çn br standart analz aracı olarak görülmektedr. Ayrıca gelrn çalışanlar arasında paylaştırılması çn, verg stratejlern belrlemek çn ya da sosyal poltkaların uygulanması çn önemldr. Dğer uygulamalar hava koşulları açısından zamana bağlı günlük elektrk talebnn modellenmesn çerr. Klma kullanımında özellkle günün aktf peryotları boyunca yüksek kullanımı yansıtan yüksek quantle eğrler, geçmş kullanıma bağlı olarak düşük quantle eğrler kullanışlıdır. Çevresel modelleme Hdroloj, yağış ve nehrn akış modellemes le lgldr. Dağılımın kuyruğunu modelleme ve uç quantle blgler hdrolojnn temel statstklern oluşturmaktadır. Hava krllğ araştırması yapılarak ortalama hava krlğ sevyes modellemes çn halk sağlığını az etkleyen model le üst quantle değerlernde aşırı krllk gösteren konsantrasyon değerler nceleneblr (Yu ve ark, 3) Quantle Regresyon Yöntemnn Özellkler 1) EKK yöntem y nn koşullu dağılımının ortalaması hakkında blg vermekte, Quantle Regresyon se farklı quantle değerler çn y nn x e göre koşullu dağılımının tümü hakkında blg vermektedr. n T ) Quantle Regresyon da; Mn p y x b b 1 fadesnn mnmzasyonu, doğrusal programlama (LP) göstermdr, bu durum tahmn kolaylaştırmaktadır. 3) Quantller monoton dönüşümlere olanak verrler. Herhang h(.) monoton fonksyonu çn Q / x h Q / x h y / x h y / x olur. 4) Quantller y dek aşırı değerlere karşı kararlıdırlar (robust). 5) Hata term normal dağılmadığında, quantle regresyon tahmn edcler EKK tahmn edclernden çok daha etkn olablmektedr. 6) Quantle Regresyon değşen varyansın belrlenmesne mkân vermektedr.

36 6 7) Quantle Regresyon amaç fonksyonu çn tahmn edlen katsayı vektörü, bağımlı değşkendek aşırı değerlere duyarlı değldr ve yerleşmn robust br ölçüsüdür. 8) Farklı quantllerde farklı sonuçlar çıkması, bağımlı değşkenn koşullu dağılımının farklı noktalarındak bağımsız değşkenlerdek değşklklere farklı tepk vermes olarak yorumlanablr (Saçaklı 5). 9) Quantle Regresyon analznde.5 olması durumunda LAD regresyon analz elde edlmektedr.

37 7 4. EN KÜÇÜK MUTLAK SAPMA YÖNTEMİ En küçük mutlak sapma (LAD) yöntem, 1757 yılında Roger Joseph Boschovch tarafından, dünyanın bçmn tahmn amacıyla, yeterl olmayan ölçümlern uzlaştırmak çn br yol olarak gelştrlmştr. En küçük kareler metodundan yaklaşık olarak 5 yıl önce ortaya konulmuş, sonrasında se en küçük kareler metodunun gölgesnde kalmıştır (Brkes ve Dodge, 1993). Hataların normal dağılmaması ve/veya ver kümes çnde sapan değerlern bulunması durumunda LAD yöntem dğer klask tahmn yöntemlerne göre üstünlük göstermektedr (Temz, 6). 4.1 Bast Doğrusal En küçük Mutlak Sapma Regresyonu Br bağımlı br bağımsız değşkenl bast regresyon analz ver set çn eğm hesabı yardımıyla regresyon doğrusu bulunur. Amaç ver kümesne en uygun, mutlak sapmaların toplamını en küçük yapan doğruyu bulmaktır. Bu şlem çn her hang br formül bulunmamaktadır. Tahmn br algortma yardımıyla yapılmaktadır (Brkes ve Dodge 1993). Öncelkle doğrusal regresyon model; Y 1X e nn grafğ çzlp doğrusal olduğu belrlendkten sonra, doğrusal regresyon model kullanmaya karar verlr (Saçaklı, 5). EKK yöntem, ˆ ve ˆ 1 tahmn edclern, hataların karelernn toplamını ˆ e mnmum yapacak şeklde hesaplamaya dayanmaktadır. LAD yöntemnde se, hataların mutlak değerlernn toplamını mnmum yapma esasına dayanmaktadır ve bu durum Mn eˆ (4.1) bçmnde fade edlmektedr. y ˆ ˆ 1x 1 farkı,, x y noktasının Y ˆ ˆ X doğrusundan sapması olarak tanımlanmakta ve ˆ ˆ eˆ y 1x olarak yazılablr. Buradan hareketle LAD yöntem nn amacının, eˆ y mnmum yapacak şeklde ˆ olduğu söyleneblr (Temz 6). ve ˆ 1 parametrelern tahmn etmek LAD Yöntem nn lkeler EKK yöntem nn lkelerne göre daha basttr. Çünkü ê ın hesaplanması, ê nn hesaplanmasından daha kolaydır. Bunun yanında En Küçük

38 8 Kareler Yöntem nn tahmn edclernn hesaplanması belrl formüllere dayanırken, LAD Yöntem nn tahmn edclernn hesaplanması çn hçbr formül bulunmamaktadır. Bu durum se, LAD tahmn edclernn hesaplanması çn br algortmanın oluşturulmasını gerekl kılmaktadır (Temz 6). Bu algortma, mutlak sapmaların toplamının mnmum olduğu doğruyu yan ver kümesne en uygun olan doğruyu bulmayı amaçlamaktadır. Örneğn y ˆ ˆ 1x doğrusu ele alındığında, verlern y, eˆ y doğrusundan mutlak sapmalarının toplamı, verlern doğruya olan dkey uzunluklarının toplam boyutunu vermektedr. Doğru, yukarı doğru kadar küçük br mktar hareket ettrlrse, bu durumda her br mutlak sapma (noktanın doğrunun üzernde veya altında olmasına bağlı olarak) yönde hareket edecektr. Buradan hareketle, ˆ ˆ y 1x fadesnn mnmum değern bulmak çn, verler arasında doğruyu aşağı/yukarı hareket ettrmek gerekmektedr (Temz, 6). Özetle, algortmanın temel mantığı, verlen br x y noktasından geçen tüm doğruların arasından en y doğruyu bulmaya dayanmaktadır. x y noktasından geçen en uygun doğru bulunduktan sonra, br doğru k noktadan geçer lkesnden yola çıkılarak bulunan bu doğrunun geçtğ dğer nokta olan x y bulunmaktadır. Daha sonra x y 1, 1,, 1, 1 noktası noktasından geçen doğrular arasından en uygun doğru bulunmakta ve bu doğrunun da knc noktası yan x y noktası bulunmaktadır. Bu şeklde devam edlerek, her aşamada toplam mutlak sapması daha küçük br doğru bulunarak, bulunan br doğru, br öncek adımda bulunan doğru le aynı çıkana kadar şlemler devam ettrlmektedr. Aynı doğru ardı ardına k defa elde edldğnde se algortmaya son verlmektedr. Bulunan bu doğru, tüm doğrular arasında toplam mutlak sapması en küçük olanıdır dolayısıyla en ysdr ve aranan En Küçük Mutlaka Sapma Regresyon Doğrusu dur (Temz, 6)., Bast En Küçük Mutlak Sapma Regresyonu çn Algortma Adım 1. Başlangıç çn br x, ) noktası alınır. ( y Adım. Her br gözlem noktası x, y ) çn, y y ) /( x ) eğm hesaplanır. x x olan noktalar hmal edlr. ( ( x

39 9 Adım 3. Gözlem noktaları ( y1 y ) /( x1 x ) ( yn y ) /( xn x ) olacak şeklde küçükten büyüğe sıralanarak yenden numaralandırılır. Adım 4. x1 x xk 1 x 1 T x1 x xk 1 x xk x 1 T durumunu sağlayan k. gözlem bulunur. Burada dr. T x x ( y dr ve burada, x, ) noktasından geçen en y doğru Y ˆ b * b * X 1 * y y b1 x k, b * y b1 * x xk (4.) dır. Bulunan k nds tekrarlandığında algortma durdurulur (Brkes ve Dodge, 1993) Doğrunun İk Gözlem Noktasından Geçme Zorunluluğu Algortmayı oluşturmada öneml br etken LAD regresyon doğrusunun k gözlem noktasından geçmesdr. Bunun neden böyle olduğunu anlamak çn, gözlem noktalarının saçılım grafğnde br y 1 b b x doğrusu düşünülsün. Br gözlem noktasının doğrudan olan sapması, noktadan doğruya çzlen düşey çzgnn uzunluğudur. y ( b b1 x ) fades bu uzaklıkların toplamını gösterr. Doğrunun hçbr gözlem noktasından geçmedğ varsayılsın. Doğru yukarı yönde çok küçük br mktarı hareket ettrlrse, her br mutlak sapma, gözlem noktasının doğrunun altında veya üstünde olmasına göre kadar artacak veya azalacaktır. Mutlak sapmaların toplamı, doğrunun üstünde veya altında daha fazla nokta olmasına göre, doğrunun aşağı ya da yukarı hareketyle azalablr (veya en azından artmaz). Doğru br gözlem noktasına ulaşana kadar hareket ettrlr.

40 3 Doğru, kesn olarak br gözlem noktasından geçtğnde, knc br ver noktasına rastlayana kadar saat yönünde veya saat yönünün ters yönünde döndürülür. Böylece, bu gözlem noktası çn de mutlak sapma sıfır olur, dğerler de artablr veya azalablr. Mutlak sapmaların toplamında azalma meydana getrmek çn, doğru, bu yönlerden brne göre döndürüleblr. Bu da gösterr k, mutlak sapmaların toplamını en küçük hale getrmek çn en az k gözlem noktasından geçen doğrulara bakılması gerekr (Brkes ve Dodge, 1993) En Küçük Mutlak Sapma Regresyonunda Tek Olmama ve Bozulma Sorunu Tek olmama br gözlem noktasından geçen brden fazla en y doğru olmasıdır. Bozulma se, br gözlem noktasından geçen en y doğrunun k veya daha fazla gözlem noktasından da geçmesdr. Bu durumda br sonrak adım çn gözlem noktası yanlış seçleblr algortma br döngüye greblr veya seçlen doğru LAD regresyon doğrusu olmayablr. Bu sorunu gdermek çn, tüm gözlem çftler çn mümkün olan LAD regresyon doğruları bulunur. Aralarından en küçük mutlak sapma toplamını veren doğru seçlr. Ancak bu yöntemn uygulanablrlğ gözlem sayısı n ye bağlıdır. Verlen ( x, y ) gözlem noktası çn eğm, k k * yk y yk 1 y yk 1 y b1 x x x x x x k k 1 k 1 (4.3) eştlğnden hesaplanır. Tek br doğru olmaması sorununda se LAD regresyon doğrularından herhang br seçlr. (Brkes ve Dodge, 1993) Eğm Parametresnn Anlamlılık Test Eğm parametresnn test etmek çn H : 1 H 1 : 1 hpotez kurulur. LAD regresyon tahmnler ˆ ve ˆ 1 le e artık değerler bulunur. Sıfır olanlar çıkarılarak artan sırada sıralanır. m n, sıfır olmayan hataların sayısıdır.

41 31 k 1: m 1) m e en yakın tamsayı k : ( m 1) m e en yakın tamsayı olsun. ˆ m[ e k e ] k1 4 (4.4) değernden ˆ est. SD( ˆ) (4.5) ( x x) hesaplanır. Test statstğ, ˆ 1 t (4.6) est. SD( ˆ ) 1 bçmndedr. t t ; n se H reddedlr (Brkes ve Dodge, 1993) Parametres Regresyon doğrusunun eğmnn tahmn edlmesnde, MSE ve LAD regresyon yöntemlernden hangsnn daha y sonuç verdğ oranına bağlıdır. ve, rasgele hata paylarının büyüklüklernn ölçüsüdür. medyan etrafındak hata paylarının 1 dağılımının olasılık yoğunluk fonksyonu olmak üzere, dr. büyük olduğunda, hata payları genş br alana yayılır. Bu durumda medyan etrafındak olasılık yoğunluk küçüktür, bu sebeple da küçüktür. Yukarıdak eştlkten de görüldüğü üzere, nın küçük olması, nun büyük olması anlamına gelmektedr. Özetle; büyük olduğunda da büyüktür ve küçük olduğunda da küçük olmaktadır.

42 3 Fakat nın gerçek oranı, ana kütle hata paylarının dağılımının şeklne bağlıdır. Hata payları normal dağılıyorsa 1 olmaktadır. Bu durumda, en azından büyük örnekler çn, EKK yöntem, LAD yöntemnden daha y sonuç vermektedr. Hata paylarının normal dağılmaması halnde se, 1olmaktadır. (Temz 6). 4.. Çoklu Doğrusal En Küçük Mutlak Sapma Regresyonu Bast doğrusal regresyonda LAD regresyon doğrusu k noktadan geçmekteyd. p tane açıklayıcı değşkene sahp çoklu regresyonda LAD regresyon denklem (p+1) gözlem noktasını sağlar. Çoklu doğrusal regresyonda e fadesn en küçük yapan mn y ( b b1 x 1 b x bp xp ) (4.7) bçmnde verlen optmzasyon problemnn çözülmes gerekmektedr. Mnmzasyon çn herhang br formül bulunmadığından br algortma kullanılır. Bast LAD regresyonda terasyona br doğru le başlanır ve daha y br doğru bularak devam edlr. En y doğru bulunana kadar şlem devam eder. Benzer şeklde çoklu LAD regresyon da teratf br yöntemdr. Vektör gösterm kullanılarak, b b b 1 ve bp x 1 x 1 xp (4.8) olarak verlr. Eştlk (4.7) dek mutlak sapmalar toplamı, y b x (4.9)

43 33 şeklnde yazılır. Eştlk (4.9) u mnmze etmek çn b vektörünün tahmn edlmes gerekmektedr. b başlangıç tahmn vektörü, y b x, 1,,..., p 1 (4.1) bçmnde belrlenr. x 1 x A x p 1 ve y1 y c (4.11) y p 1 olmak üzere matrs gösterm le Ab c yazılır. Buradan b A 1 c (4.1) olur. Her adımda b vektörünün yleştrlmş hal, * b b td (4.13) olarak hesaplanır. Bu vektörün bulunması çn yön vektörü d ve adım uzunluğu t değerlernn elde edlmes gerekr. Mnmze edlecek fade, y ( b td ) x (4.14) olacağından, burada, z y b x, w d x (4.15) dönüşümü yapılarak,

44 34 z tw (4.16) elde edlr. Bu gösterm, ( y y ) b ( x x ) fadesn mnmze edecek olan b yı bulmakla aynıdır. ndekslenerek k. nds bulunur. z / w oranları hesaplanıp, artan sıraya göre dzlr. z ve w yenden w1 w wk 1 1 T 1 w1 w wk 1 wk T (4.17) Burada T w dr. t nn mnmum yapan değer z k / w k (4.18) olur. Bu fade b d (4.19) * t ( yk xk ) / jxk le gösterlr. Algortmanın her adımında (p+1) tane yön vektörü vardır. Bu (p+1) vektörün negatfler de kullanıldığından (p+1) tane yön vektörü elde dlmş olur. Başlangıç yön vektörler d 1, d,..., d p 1 olsun. x 1 x A x p 1 (4.) olmak üzere 1 A nın sütunları yön vektörlerdr. b den daha y br tahmn vektörü * * bulmak çn b b t d hesaplanır. j

Daha göster