Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
|
|
|
- Mehmed Gürsel
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, / 48
2 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Bu bölümde Bu bölümde öncelikle verilen bir ayrık veri kümesi için 5 Kasım, / 48
3 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Bu bölümde Bu bölümde öncelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve 5 Kasım, / 48
4 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Bu bölümde Bu bölümde öncelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneceğini inceliyoruz. Ayrıca 5 Kasım, / 48
5 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Bu bölümde Bu bölümde öncelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneceğini inceliyoruz. Ayrıca standart en küçük kareler yöntemi ile bir aralık üzerinde verilen herhangi bir sürekli fonksiyona daha basit fonksiyonlarla uygun yaklaşımların nasıl gerçekleştirilebileceğini inceliyoruz. 5 Kasım, / 48
6 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım Hata içeren noktalardan geçen yüksek dereceli interpolasyon polinomunu bulmak yerine, e 5 Kasım, / 48
7 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım Hata içeren noktalardan geçen yüksek dereceli interpolasyon polinomunu bulmak yerine, hatalıveri kümesine yeterince yakın noktalardan geçen daha düşük dereceli polinomu belirleyerek, e 5 Kasım, / 48
8 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım Hata içeren noktalardan geçen yüksek dereceli interpolasyon polinomunu bulmak yerine, hatalıveri kümesine yeterince yakın noktalardan geçen daha düşük dereceli polinomu belirleyerek, interpolasyon işlemini elde edilen düşük dereceli polinomla gerçekleştirmek daha akılcıbir yöntemdir. e 5 Kasım, / 48
9 Standart En Küçük Kareler yöntemi(ekky) ile yaklaşım Veri kümemizin (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x m, y m ) nokta çiftlerinden oluştuğunu ve bu nokta çiftlerine en yakın P 1 (x) = a + bx polinomunu belirlemek istediğimizi kabul edelim. 5 Kasım, / 48
10 Standart En Küçük Kareler yöntemi(ekky) ile yaklaşım Veri kümemizin (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x m, y m ) nokta çiftlerinden oluştuğunu ve bu nokta çiftlerine en yakın P 1 (x) = a + bx polinomunu belirlemek istediğimizi kabul edelim. Bu durumda en uygun ölçü iki normu yardımıyla E (a, b) = ile tanımlanmaktadır. m i=1 (P 1 (x i ) y i ) 2 = m i=1 (a + bx i y i ) 2 (1) 5 Kasım, / 48
11 EKKY yöntemi ile yaklaşım Amacımız E (a, b) yi minimum yapan a ve b değerlerini belirlemektir. e 5 Kasım, / 48
12 EKKY yöntemi ile yaklaşım Amacımız E (a, b) yi minimum yapan a ve b değerlerini belirlemektir. Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) E a = 0, E b = 0 e 5 Kasım, / 48
13 EKKY yöntemi ile yaklaşım Amacımız E (a, b) yi minimum yapan a ve b değerlerini belirlemektir. Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) E a = 0, E b = 0 m E a = 2 i=1 (a + bx i y i ) = 0 ma + ( m i=1 x i ) b = m y i (2) i=1 e 5 Kasım, / 48
14 EKKY yöntemi ile yaklaşım Amacımız E (a, b) yi minimum yapan a ve b değerlerini belirlemektir. Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) E a = 0, E b = 0 m E a = 2 i=1 (a + bx i y i ) = 0 ma + ( m i=1 x i ) b = m y i (2) i=1 m E b = 2 i=1 elde ederiz. ( m ) ( m (a + bx i y i )x i = 0 x i a + i=1 i=1 x 2 i ) b = m x i y i i=1 (3) 5 Kasım, / 48
15 EKKY yöntemi ile yaklaşım (2) ve (3) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur.(1) daki karelerin toplamını minimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. 5 Kasım, / 48
16 EKKY yöntemi ile yaklaşım (2) ve (3) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur.(1) daki karelerin toplamını minimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. Öte yandan (2) ve (3) sistemi matris-vektör notasyonu yardımıyla da ifade edilebilir: 5 Kasım, / 48
17 EKKY yöntemi ile yaklaşım (2) ve (3) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur.(1) daki karelerin toplamını minimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. Öte yandan (2) ve (3) sistemi matris-vektör notasyonu yardımıyla da ifade edilebilir: vektörleri ile 1 = [1, 1,, 1] T, (m elemanlı) x = [x 1, x 2,, x m ] T, y = [y 1, y 2,, y m ] T, u = [a, b] T 5 Kasım, / 48
18 EKKY yöntemi ile yaklaşım u = [a, b] T bilinmeyen vektörü 5 Kasım, / 48
19 EKKY yöntemi ile yaklaşım u = [a, b] T bilinmeyen vektörü A = [1 x] matrisi ile A T Au = A T y (4) sisteminin çözümü olarak elde edilir. 5 Kasım, / 48
20 EKKY yöntemi ile yaklaşım Örnek (0, 0), (1, 3/2), (2, 1/2), (3, 4), (4, 3) noktalarıiçin P 1 (x) = a + bx biçimindeki birinci dereceden en iyi yaklaşım polinomunu En Küçük Kareler Yöntemini kullanarak belirleyiniz. 5 Kasım, / 48
21 EKKY yöntemi ile yaklaşım Örneğimiz için A = , y = 0 3/2 1/2 4 3 e 5 Kasım, / 48
22 EKKY yöntemi ile yaklaşım Örneğimiz için ile A T A = A = [ , y = 0 3/2 1/2 4 3 ] [, A T 10 y = 53/2 olup, bilinmeyen vektörü u = [a b] T olmak üzere, (4) den denklem sistemini elde ederiz. 5a + 10b = 10 10a + 30b = 53/2 e 5 Kasım, / 48 ]
23 EKKY yöntemi ile yaklaşım Bu sistemi çözerek, elde ederiz. Elde edilen a = 1/10; b = 17/20 P 1 (x) = 1/ /20x doğrusunun ( ) ile belirtilen verilere uygun mesafelerden geçerek (1) ile verilen E (a, b) hatasınıminimize etmeye çalıştĭgıgörülmektedir. e 5 Kasım, / 48
24 EKKY yöntemi ile yaklaşım ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Figure: FakültesiPMatematik 1 (x) polinomu, Bölümü) 5 nokta çiftleri( ) Kasım, / 48
25 EKKY yöntemi ile yaklaşım Örnek Verilen (x i, y i ), i = 1, 2,, m noktalarına uygun P 1 (x) = a + bx polinomunu belirleyerek, 1 ile verilen hatayıbelirledikten sonra t ( min 1 i m (x i ), max 1 i m (x i )) için t noktasındaki değeri P 1 (x) yardımıyla tahmin [toplam_hata, tahmin] = ekky1(x, y, t) komutu ile çalışan bir En Küçük Kareler Yöntemi uygulamasıgeliştiriniz. Burada x ve y sırasıyla nokta çiftlerinin apsis ve ordinatlarınıiçeren vekörlerdir. 5 Kasım, / 48
26 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 5 Kasım, / 48
27 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 5 Kasım, / 48
28 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 3 x := x T, y := y T sütun vektörini tanımlayalım. 5 Kasım, / 48
29 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 3 x := x T, y := y T sütun vektörini tanımlayalım. 4 birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımlayalım. 5 Kasım, / 48
30 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 3 x := x T, y := y T sütun vektörini tanımlayalım. 4 birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımlayalım. 5 A := [birler x] matrisini oluştur. 5 Kasım, / 48
31 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 3 x := x T, y := y T sütun vektörini tanımlayalım. 4 birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımlayalım. 5 A := [birler x] matrisini oluştur. 6 B := A T A matrisi ve c := A T y vektörünü oluştur 5 Kasım, / 48
32 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 3 x := x T, y := y T sütun vektörini tanımlayalım. 4 birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımlayalım. 5 A := [birler x] matrisini oluştur. 6 B := A T A matrisi ve c := A T y vektörünü oluştur 7 Bu = c sistemini çözerek u := [a b] T bilinmeyenlerini belirle 5 Kasım, / 48
33 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 3 x := x T, y := y T sütun vektörini tanımlayalım. 4 birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımlayalım. 5 A := [birler x] matrisini oluştur. 6 B := A T A matrisi ve c := A T y vektörünü oluştur 7 Bu = c sistemini çözerek u := [a b] T bilinmeyenlerini belirle 8 (x, y) ikililerinin eksende yerlerini işaretle 5 Kasım, / 48
34 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 3 x := x T, y := y T sütun vektörini tanımlayalım. 4 birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımlayalım. 5 A := [birler x] matrisini oluştur. 6 B := A T A matrisi ve c := A T y vektörünü oluştur 7 Bu = c sistemini çözerek u := [a b] T bilinmeyenlerini belirle 8 (x, y) ikililerinin eksende yerlerini işaretle 9 p(x) = a + bx polinomunun grafiğini aynıeksende çizdir. 5 Kasım, / 48
35 EKKY yöntemi ile yaklaşım algoritması Algoritma 1 Girdi(x, y) 2 m := x in eleman sayısı 3 x := x T, y := y T sütun vektörini tanımlayalım. 4 birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımlayalım. 5 A := [birler x] matrisini oluştur. 6 B := A T A matrisi ve c := A T y vektörünü oluştur 7 Bu = c sistemini çözerek u := [a b] T bilinmeyenlerini belirle 8 (x, y) ikililerinin eksende yerlerini işaretle 9 p(x) = a + bx polinomunun grafiğini aynıeksende çizdir. 10 a ve b değerlerini geri gönder 5 Kasım, / 48
36 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); e 5 Kasım, / 48
37 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); e 5 Kasım, / 48
38 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; e 5 Kasım, / 48
39 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; e 5 Kasım, / 48
40 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; c=a *y; e 5 Kasım, / 48
41 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; c=a *y; u=b\c; e 5 Kasım, / 48
42 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; c=a *y; u=b\c; u(1)+u(2)*xx; e 5 Kasım, / 48
43 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; c=a *y; u=b\c; u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end); e 5 Kasım, / 48
44 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; c=a *y; u=b\c; u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end); plot(x,y, *, markersize,10); hold on; e 5 Kasım, / 48
45 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; c=a *y; u=b\c; u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end); plot(x,y, *, markersize,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy); e 5 Kasım, / 48
46 EKKY yöntemi ile yaklaşım function [a,b]=ekky1(x,y) x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; c=a *y; u=b\c; u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):0.1:x(end); plot(x,y, *, markersize,10); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy); a=u(1);b=u(2); e 5 Kasım, / 48
47 EKKY yöntemi ile yaklaşım Test >> x=[ ]; >> y=[0 3/2 1/2 4 3]; >> [a,b]=ekky1(x,y) a = 1/10 b = 17/20 e 5 Kasım, / 48
48 EKKY yöntemi ile yaklaşım Eğer P 2 (x) = a + bx + cx 2 biçiminde olup, veri kümesine en iyi yaklaşan ikinci dereceden polinomu belirlemek istersek yine aynıişlemleri takip ederiz, ancak bu defa çözülmesi gereken lineer sistem 3 3 lük bir sistem olur. e 5 Kasım, / 48
49 EKKY yöntemi ile yaklaşım Eğer P 2 (x) = a + bx + cx 2 biçiminde olup, veri kümesine en iyi yaklaşan ikinci dereceden polinomu belirlemek istersek yine aynıişlemleri takip ederiz, ancak bu defa çözülmesi gereken lineer sistem 3 3 lük bir sistem olur. Veri kümesi üstel veya logaritmik bir dağılıma sahip olması durumunda en iyi yaklaşım polinomu da veri kümesi için iyi bir yaklaşım olmaz. Bir deney sonucunda değerleri zamanla üstel olarak artan veya azalan pozitif ordinatlıbir veri kümesi için en iyi yaklaşım biçiminde olmalıdır. y = ae bx, a > 0 5 Kasım, / 48
50 EKKY yöntemi ile yaklaşım Bu durumda E (a, b) = m i=1 (ae bx i y i ) 2 (5) ifadesini minimize eden a ve b değerlerinin belirlenmesi gerekir. 5 Kasım, / 48
51 EKKY yöntemi ile yaklaşım Bu durumda E (a, b) = m i=1 (ae bx i y i ) 2 (5) ifadesini minimize eden a ve b değerlerinin belirlenmesi gerekir. Ancak bu durumda E a E b = 2 = 2 m i=1 m i=1 (ae bx i y i )e bx i = 0, (ae bx i y i )ax i e bx i = 0 biçimde yazılabilen a ve b bilinmeyenleri için nonlineer bir sistem elde ederiz ki bu sistemin çözümü de Newton yöntemi gibi sayısal bir yöntem gerektirir. 5 Kasım, / 48
52 EKKY yöntemi ile yaklaşım Alternatif bir yöntem takip edebiliriz: y(x i ) = ae bx i (a > 0) değerlerini verilen y i > 0 değerlerine yaklaştırmaya çalışmak ln(y(x i )) değerlerini ln(y i ) değerlerine yaklaştırmaya denktir: Gerçekten de y(x i ) y i ise, logaritma fonksiyonunun sürekliliği gereği dir. ln(y(x i )) ln(y i ) 5 Kasım, / 48
53 EKKY yöntemi ile yaklaşım Tersine ise veya yani y(x i ) y i dir. ln(y(x i )) ln(y i ) ln(y(x i )) ln(y i ) 0 ln( y(x i ) y i ) 0 y(x i ) y i 1, 5 Kasım, / 48
54 EKKY yöntemi ile yaklaşım O halde (5) ile verilen fonksiyonu minimize etme problemi Ê (a, b) = = m i=1 m i=1 (ln(ae bx i ) ln(y i )) 2 (ln(a) + bx i ln(y i )) 2 (6) fonksiyonunu minimize etme problemine denktir. e 5 Kasım, / 48
55 EKKY yöntemi ile yaklaşım â = ln(a) ve ŷ i = ln(y i ), i = 1, 2,..., m olarak tanımlarsak, problem (1) a benzer olarak Ê (â, b) = m i=1 (â + bx i ŷ i ) 2 (7) ifadesini minimize eden â ve b değerlerini belirleme problemine, diğer bir değimle Y = â + bx lineer ifadesini elde etme problemine dönüşür. e 5 Kasım, / 48
56 EKKY yöntemi ile yaklaşım â = ln(a) ve ŷ i = ln(y i ), i = 1, 2,..., m olarak tanımlarsak, problem (1) a benzer olarak Ê (â, b) = m i=1 (â + bx i ŷ i ) 2 (7) ifadesini minimize eden â ve b değerlerini belirleme problemine, diğer bir değimle Y = â + bx lineer ifadesini elde etme problemine dönüşür. Yukarıda gerçekleştirilen işleme EKKY için lineerleştirme işlemi adı verilmektedir. e 5 Kasım, / 48
57 EKKY yöntemi ile yaklaşım Örnek (0, 1/2), (1, 2), (2, 5), (3, 8) noktalarıiçin y = ae bx biçimindeki en iyi yaklaşımıekky ile belirleyiniz. 5 Kasım, / 48
58 EKKY yöntemi ile yaklaşım (2) ve (3) sisteminin katsayılarınıelde etmek için aşağıdaki tabloyu oluşturalım: y i ŷ i = ln(y i ) 1/2 ln(1/2) = ln 2 2 ln(2) 5 ln(5) 8 ln(8) = 3 ln(2) e 5 Kasım, / 48
59 EKKY yöntemi ile yaklaşım Buna göre A = , ŷ = ln(2) ln(2) ln(5) 3 ln(2) e 5 Kasım, / 48
60 EKKY yöntemi ile yaklaşım Buna göre A = , ŷ = ln(2) ln(2) ln(5) 3 ln(2) için A T A = [ ] [, A T 3 ln(2) + ln(5) ŷ = 10 ln(2) + 2 ln(5) ] e 5 Kasım, / 48
61 EKKY yöntemi ile yaklaşım Buna göre A = , ŷ = ln(2) ln(2) ln(5) 3 ln(2) için A T A = [ ] [, A T 3 ln(2) + ln(5) ŷ = 10 ln(2) + 2 ln(5) ] olarak elde ederiz. 4â + 6b = 3 ln(2) + ln(5) = â + 14b = 10 ln(2) + 2 ln(5) = Kasım, / 48
62 EKKY yöntemi ile yaklaşım Bu sistemi çözerek â. = , b. = elde ederiz. a = eâ = ve y = ae bx = e x elde ederiz. e 5 Kasım, / 48
63 EKKY yöntemi ile yaklaşım Bu sistemi çözerek â. = , b. = elde ederiz. a = eâ = ve y = ae bx = e x elde ederiz. Verilen nokta çiftleri ve elde edilen eğrinin grafiği Şekil (2) te verilmektedir. e 5 Kasım, / 48
64 EKKY yöntemi ile yaklaşım Figure: Elde edilen üstel fonksiyon ve verilen nokta çiftleri ( ) e 5 Kasım, / 48
65 EKKY yöntemi ile yaklaşım Benzer biçimde (x i, y i ) nokta çiftleri için y = 1 a+bx biçiminde eğri aranıyorsa ŷ = 1 y y = 1 a+bx " ŷ = 1 biçiminde dönüşümlerle EKKY problemi lineer probleme dönüştürülür. y 2 e 5 Kasım, / 48
66 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım AğırlıklıEn Küçük Kareler yöntemi ile verilen veri kümesi için uygun yaklaşım belirlenirken, verilerin güvenilirliği bilgisi de dikkate alınır. 5 Kasım, / 48
67 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım AğırlıklıEn Küçük Kareler yöntemi ile verilen veri kümesi için uygun yaklaşım belirlenirken, verilerin güvenilirliği bilgisi de dikkate alınır. Bu amaçla w = (w 1, w 2,, w m ), w i 0, m i=1 özelliğini sağlayan w i çarpanları( veya ağırlıkları) için E (a, b; w) = w i = 1 m w i (ax i + b y i ) 2 (8) i=1 ile tanımlanan normu minimize eden a ve b sabitleri belirlenir. 5 Kasım, / 48
68 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) E (a, b; w) = 0, a sağlanmasıdır. Fakat E a = 2 m i=1 ( m ) ( m w i a + i=1 E (a, b; w) b w i (a + bx i y i ) = 0 i=1 = 0 x i w i ) b = m y i w i (9) i=1 e 5 Kasım, / 48
69 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) E (a, b; w) = 0, a sağlanmasıdır. Fakat E b E a = 2 = 2 m i=1 ( m ) ( m w i a + m i=1 E (a, b; w) b w i (a + bx i y i ) = 0 i=1 i=1 ( m ) ( m x i w i a + i=1 = 0 x i w i ) b = w i (a + bx i y i )x i = 0 i=1 x 2 i w i ) b = m y i w i (9) i=1 m x i y i w i (10) i=1 elde ederiz. 5 Kasım, / 48
70 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım (9) ve (10) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur. 5 Kasım, / 48
71 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım (9) ve (10) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur. (8) daki karelerin toplamınıminimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, AğırlıklıEn Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. 5 Kasım, / 48
72 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım (9) ve (10) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur. (8) daki karelerin toplamınıminimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, AğırlıklıEn Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. Öte yandan (9) ve (10 sistemi matris-vektör notasyonu yardımıyla da ifade edilebilir: Öncelikle vektörlerini ve 1 = [1, 1,, 1] T, x = [x 1, x 2,, x m ] T, y = [y 1, y 2,, y m ] T, u = [a, b] T 5 Kasım, / 48
73 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım A = [1 x] m 2 w W = 0 w w m matrisini tanımlayalım. 5 Kasım, / 48
74 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım A = [1 x] m 2 w W = 0 w w m matrisini tanımlayalım. Bu durumda [ A T m WA = i=1 w i m i=1 x i w i m i=1 x i w i m i=1 xi 2 w i olarak elde ederiz. ] [, A T m W y = i=1 y i w i m i=1 x i y i w i ] 5 Kasım, / 48
75 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım A = [1 x] m 2 w W = 0 w w m matrisini tanımlayalım. Bu durumda [ A T m WA = i=1 w i m i=1 x i w i m i=1 x i w i m i=1 xi 2 w i olarak elde ederiz. İstenilen u = [a, b] T vektörü ise A T WAu = A T W y ] [, A T m W y = i=1 y i w i m i=1 x i y i w i sisteminin çözümü olarak elde edilir. 5 Kasım, / 48 ]
76 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği Örnek Sırasıyla w 1 = 1/8, w 2 = 1/8 ve w 3 = 3/4 ağırlıklara sahip{(0, 0), (1, 1/2), (2, 4)} veri kümesini göz önüne alalım. Bu veri kümesi için en uygun P 1 (x) = a + bx polinomunu Standart EKKY ve e 5 Kasım, / 48
77 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği Örnek Sırasıyla w 1 = 1/8, w 2 = 1/8 ve w 3 = 3/4 ağırlıklara sahip{(0, 0), (1, 1/2), (2, 4)} veri kümesini göz önüne alalım. Bu veri kümesi için en uygun P 1 (x) = a + bx polinomunu Standart EKKY ve AğırlıklıEKKY ile belirleyiniz e 5 Kasım, / 48
78 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği A = , W = 1/ / /4, y = 0 1/2 4 5 Kasım, / 48
79 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği A = , W = 1/ / /4, y = 0 1/2 4 Standart EKKY ile, 5 Kasım, / 48
80 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği A = , W = 1/ / /4, y = 0 1/2 4 Standart EKKY ile, [ 3 3 A T A = 3 5 ], A T y = [[ 9/2 17/2 3a + 3b = 9/2 3a + 5b = 17/2 ]], A T Au = A T y veya 5 Kasım, / 48
81 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği A = , W = 1/ / /4, y = 0 1/2 4 Standart EKKY ile, [ 3 3 A T A = 3 5 ], A T y = [[ 9/2 17/2 3a + 3b = 9/2 3a + 5b = 17/2 sistemini çözerek a = 1/2, b = 2 elde ederiz. ]], A T Au = A T y veya 5 Kasım, / 48
82 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği AğırlıklıEKKY ile 1 0 A = 1 1, W = 1 2 1/ / /4, y = 0 1/2 4 ile 5 Kasım, / 48
83 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği AğırlıklıEKKY ile 1 0 A = 1 1, W = 1 2 1/ / /4, y = 0 1/2 4 ile A T WA = [ A T WAu = A T W y 1 13/8 13/8 25/8 ] [, A T 49/16 Wy = 97/16 sistemini çözerek, a = 18/31, b = 139/62 elde ederiz. ], 5 Kasım, / 48
84 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği standart agirlikli Figure: (x i, y i ) noktaları(*) ile Standart ve AğırlıklıEKKY polinom grafikleri e 5 Kasım, / 48
85 AğırlıklıEKKY yöntemi ile yaklaşım örneği standart agirlikli Figure: (x i, y i ) noktaları(*) ile Standart ve AğırlıklıEKKY polinom grafikleri AğırlıklıEKKY ile w 3 = 3/4 ağırlĭgına sahip noktaya daha yakınız! e 5 Kasım, / 48
86 Aralık üzerinde integrallenebilir fonksiyona yaklaşım Önceki bölümümde incelenen ayrık veri kümesi yerine, bazen bir [c, d] aralĭgıüzerinde integrallenebilir bir f fonksiyonuna yüksek dereceli bir interpolasyon polinomu yerine daha basit fonksiyon veya polinomlar yardımıyla yaklaşım elde edilmek istenebilir. e 5 Kasım, / 48
87 Aralık üzerinde integrallenebilir fonksiyona yaklaşım Önceki bölümümde incelenen ayrık veri kümesi yerine, bazen bir [c, d] aralĭgıüzerinde integrallenebilir bir f fonksiyonuna yüksek dereceli bir interpolasyon polinomu yerine daha basit fonksiyon veya polinomlar yardımıyla yaklaşım elde edilmek istenebilir. Verilen fonksiyona P 1 (x) = a + bx gibi en küçük kareler yaklaşım polinomunu belirlemek için bu defa (1) deki toplam yerine integral sembolü yardımıyla polinom ve fonksiyon arasındaki farkın bir ölçüsü olan(l 2 normunun karesi) E (a, b) = = d c d c (P 1 (x) f (x)) 2 dx (a + bx f (x)) 2 dx ifadesini minimum yapan a ve b değerlerini buluruz. e 5 Kasım, / 48
88 İntegrallenebilir fonksiyona yaklaşım Bu amaçla yine sağlanmalıdır. veya E a E b E a = 0, E b = 0 d = 2 (a + bx f (x))dx = 0 = 2 c d c (a + bx f (x))xdx = 0 5 Kasım, / 48
89 İntegrallenebilir fonksiyona yaklaşım Bu amaçla yine sağlanmalıdır. veya E a E b ( d c ( d c xdx E a = 0, E b = 0 d = 2 (a + bx f (x))dx = 0 = 2 ) dx c d c ( d a + c ( d ) a + c (a + bx f (x))xdx = 0 ) xdx x 2 dx b = ) b = d c d c f (x)dx lineer denklem sistemini sağlayan a ve b değerleri verilen f fonksiyonuna en iyi yaklaşan P 1 (x) polinomunu verir. xf (x)dx (11) 5 Kasım, / 48
90 İntegrallenebilir fonksiyona yaklaşım Örnek f (x) = sin(x) fonksiyonuna [0, π/2] aralĭgında P 1 (x) = a + bx biçimindeki en küçük kareler yaklaşım polinomunu belirleyiniz. 5 Kasım, / 48
91 İntegrallenebilir fonksiyona yaklaşım E (a, b) = π/2 0 (a + bx sin(x)) 2 dx fonksiyonelini minimize eden a ve b değerleri (11) den ( π/2 ) ( π/2 ) π/2 dx a + xdx b = sin(x)dx π/2 ( π/2 ) π/2 (xdx) a + x 2 dx b = x sin(x)dx e 5 Kasım, / 48
92 İntegrallenebilir fonksiyona yaklaşım π/2 0 π/2 1 2 π sin(x)dx = 1ve x sin(x)dx = ( cos x) dx = integral değerleri yardımıyla π 2 a + π2 8 b = π2 a π3 b = 1 e 5 Kasım, / 48
93 İntegrallenebilir fonksiyona yaklaşım π/2 0 π/2 1 2 π sin(x)dx = 1ve x sin(x)dx = ( cos x) dx = integral değerleri yardımıyla lineer denklem sisteminden ve elde ederiz. π 2 a + π2 8 b = π2 a π3 b = 1 a = 1 (8π 24) = π2 b = 1 (24π 96) = π3 5 Kasım, / 48
94 İntegrallenebilir fonksiyona yaklaşım Figure: sin(x) fonksiyonu ve [0, 1.5] aralĭgındaki en küçük kareler yaklaşımı. sin(x) fonksiyonu ve en küçük kareler anlamındaki en iyi yaklaşım polinomu. P 1 (x) = x e 5 Kasım, / 48
95 Alıştırmalar Alıştırma 1 (0, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz.(a) şıkkında elde ettiğiniz sonucu nasıl yorumlarsınız. e 5 Kasım, / 48
96 Alıştırmalar Alıştırma 1 (0, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz.(a) şıkkında elde ettiğiniz sonucu nasıl yorumlarsınız. P 0 (x) = a e 5 Kasım, / 48
97 Alıştırmalar Alıştırma 1 (0, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz.(a) şıkkında elde ettiğiniz sonucu nasıl yorumlarsınız. P 0 (x) = a P 1 (x) = a + bx e 5 Kasım, / 48
98 Alıştırmalar Alıştırma 1 (0, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz.(a) şıkkında elde ettiğiniz sonucu nasıl yorumlarsınız. P 0 (x) = a P 1 (x) = a + bx P 2 (x) = a + bx + cx 2 e 5 Kasım, / 48
99 Alıştırmalar Alıştırma 1 (0, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz.(a) şıkkında elde ettiğiniz sonucu nasıl yorumlarsınız. P 0 (x) = a P 1 (x) = a + bx P 2 (x) = a + bx + cx 2 P 3 (x) = a + bx + cx 2 + dx 3 e 5 Kasım, / 48
100 Alıştırmalar Alıştırma 1 (0, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz.(a) şıkkında elde ettiğiniz sonucu nasıl yorumlarsınız. P 0 (x) = a P 1 (x) = a + bx P 2 (x) = a + bx + cx 2 P 3 (x) = a + bx + cx 2 + dx 3 2 Soru 1 için verilen nokta kümesi ile elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynıeksende gösteriniz. e 5 Kasım, / 48
101 Alıştırmalar Alıştırma 1 (0, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz.(a) şıkkında elde ettiğiniz sonucu nasıl yorumlarsınız. P 0 (x) = a P 1 (x) = a + bx P 2 (x) = a + bx + cx 2 P 3 (x) = a + bx + cx 2 + dx 3 2 Soru 1 için verilen nokta kümesi ile elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynıeksende gösteriniz. 3 Soru 1 için elde ettiğiniz her bir yaklaşım için (1) ile verilen hatayı hesaplayınız. Hata hangi yaklaşım için daha küçüktür? e 5 Kasım, / 48
102 Alıştırmalar Alıştırma 4 Soru 1 i sırasıyla w 1 = 1/16, w 2 = 1/16, w 3 = 1/8, w 4 = 3/4 ağırlıklarıile ve AğırlıklıEKKY ile tekrar ediniz. e 5 Kasım, / 48
103 Alıştırmalar Alıştırma 4 Soru 1 i sırasıyla w 1 = 1/16, w 2 = 1/16, w 3 = 1/8, w 4 = 3/4 ağırlıklarıile ve AğırlıklıEKKY ile tekrar ediniz. 5 Soru 1 de verilen nokta kümesi ve soru 4 te elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynıeksende gösteriniz. e 5 Kasım, / 48
104 Alıştırmalar Alıştırma 4 Soru 1 i sırasıyla w 1 = 1/16, w 2 = 1/16, w 3 = 1/8, w 4 = 3/4 ağırlıklarıile ve AğırlıklıEKKY ile tekrar ediniz. 5 Soru 1 de verilen nokta kümesi ve soru 4 te elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynıeksende gösteriniz. 6 Soru 2 ve soru 5 te elde ettiğiniz grafikleri inceleyerek, w i, i = 1, 2, 3, 4 ağırlıklarının, yaklaşım polinomlarıüzerindeki etkisini inceleyiniz. e 5 Kasım, / 48
105 Alıştırmalar Alıştırma 4 Soru 1 i sırasıyla w 1 = 1/16, w 2 = 1/16, w 3 = 1/8, w 4 = 3/4 ağırlıklarıile ve AğırlıklıEKKY ile tekrar ediniz. 5 Soru 1 de verilen nokta kümesi ve soru 4 te elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynıeksende gösteriniz. 6 Soru 2 ve soru 5 te elde ettiğiniz grafikleri inceleyerek, w i, i = 1, 2, 3, 4 ağırlıklarının, yaklaşım polinomlarıüzerindeki etkisini inceleyiniz. 7 Grafiği Soru 1 de verilen noktalardan geçen Q 3 (x) interpolasyon polinomunu belirleyiniz. Q 3 (x) ile Soru 1(d) de elde ettiğiniz P 3 (x) i karşılaştırınız. Ne gözlemliyorsunuz? e 5 Kasım, / 48
106 Alıştırmalar Alıştırma 4 Soru 1 i sırasıyla w 1 = 1/16, w 2 = 1/16, w 3 = 1/8, w 4 = 3/4 ağırlıklarıile ve AğırlıklıEKKY ile tekrar ediniz. 5 Soru 1 de verilen nokta kümesi ve soru 4 te elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynıeksende gösteriniz. 6 Soru 2 ve soru 5 te elde ettiğiniz grafikleri inceleyerek, w i, i = 1, 2, 3, 4 ağırlıklarının, yaklaşım polinomlarıüzerindeki etkisini inceleyiniz. 7 Grafiği Soru 1 de verilen noktalardan geçen Q 3 (x) interpolasyon polinomunu belirleyiniz. Q 3 (x) ile Soru 1(d) de elde ettiğiniz P 3 (x) i karşılaştırınız. Ne gözlemliyorsunuz? 8 (0, 1), (1, 2), (2, 2.5), (3, 2.8) veri kümesi için EKKY e göre en iyi f (x) = a + bx yaklaşım fonksiyonunu belirleyiniz ve oluşan E(a, b) hatasını hesaplayınız. Fonksiyon ve veri kümesinin grafiğini aynıeksende e 5 Kasım, / 48
107 Alıştırmalar Alıştırma 9 Soru 8 de verilen veri kümesi için en iyi g(x) = ln(a + bx) fonksiyonunu ve oluşan E(a, b) hatasınıhesaplayınız. Elde ettiğiniz hatayısoru 3 deki değer ile karşılaştırınız. Belirtilen veri kümesi için f ve g fonksiyonlarından hangisi daha uygundur? 5 Kasım, / 48
108 Alıştırmalar Alıştırma 9 Soru 8 de verilen veri kümesi için en iyi g(x) = ln(a + bx) fonksiyonunu ve oluşan E(a, b) hatasınıhesaplayınız. Elde ettiğiniz hatayısoru 3 deki değer ile karşılaştırınız. Belirtilen veri kümesi için f ve g fonksiyonlarından hangisi daha uygundur? 10 (0, 1/2), (2, 3), (3, 8) veri kümesi için EKKY e göre en iyi yaklaşım fonksiyonunu belirleyiniz. f (x) = ae bx 5 Kasım, / 48
109 Alıştırmalar Alıştırma 11 f (x) = cos(x) fonksiyonu için [ 1, 1] aralĭgında EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım fonksiyonlarınıve oluşan hatalarınıbelirleyiniz. E = 1 1 (f (x) g(x)) 2 dx 5 Kasım, / 48
110 Alıştırmalar Alıştırma 11 f (x) = cos(x) fonksiyonu için [ 1, 1] aralĭgında EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım fonksiyonlarınıve oluşan hatalarınıbelirleyiniz. g(x) = a E = 1 1 (f (x) g(x)) 2 dx 5 Kasım, / 48
111 Alıştırmalar Alıştırma 11 f (x) = cos(x) fonksiyonu için [ 1, 1] aralĭgında EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım fonksiyonlarınıve oluşan hatalarınıbelirleyiniz. g(x) = a g(x) = a + bx E = 1 1 (f (x) g(x)) 2 dx 5 Kasım, / 48
112 Alıştırmalar Alıştırma 11 f (x) = cos(x) fonksiyonu için [ 1, 1] aralĭgında EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım fonksiyonlarınıve oluşan hatalarınıbelirleyiniz. E = g(x) = a g(x) = a + bx g(x) = a + bx + cx (f (x) g(x)) 2 dx 5 Kasım, / 48
113 Alıştırmalar Alıştırma 12 Soru 6 da elde verilen f için x = 0 noktasında sırasıyla sıfırıncıve ikinci dereceden Taylor yaklaşımlarısonucunda oluşan 5 Kasım, / 48
114 Alıştırmalar Alıştırma 12 Soru 6 da elde verilen f için x = 0 noktasında sırasıyla sıfırıncıve ikinci dereceden Taylor yaklaşımlarısonucunda oluşan 1 E = 1 1 (cos(x) 1)2 dx, 5 Kasım, / 48
115 Alıştırmalar Alıştırma 12 Soru 6 da elde verilen f için x = 0 noktasında sırasıyla sıfırıncıve ikinci dereceden Taylor yaklaşımlarısonucunda oluşan 1 E = 1 1 (cos(x) 1)2 dx, 2 E = 1 1 (cos(x) (1 x2 /2)) 2 dx hatalarınıelde ediniz. (a) ve (b) de elde ettiğiniz sonuçlarısırasıyla, soru 6(a) ve soru 6(c) ile karşılaştırınız. Taylor mu yoksa EKKY yaklaşımımıdaha küçük hata üretmektedir? 5 Kasım, / 48
116 Alıştırmalar Alıştırma 12 Soru 6 da elde verilen f için x = 0 noktasında sırasıyla sıfırıncıve ikinci dereceden Taylor yaklaşımlarısonucunda oluşan 1 E = 1 1 (cos(x) 1)2 dx, 2 E = 1 1 (cos(x) (1 x2 /2)) 2 dx hatalarınıelde ediniz. (a) ve (b) de elde ettiğiniz sonuçlarısırasıyla, soru 6(a) ve soru 6(c) ile karşılaştırınız. Taylor mu yoksa EKKY yaklaşımımıdaha küçük hata üretmektedir? 13 Soru 6 ve 7 deki işlemleri Maxima ortamında da gerçekleştiriniz. 5 Kasım, / 48
117 Alıştırmalar Alıştırma 14 (x, y) veri kümesi için en iyi n inci dereceden polinomu hesaplayarak katsayılarınıgeri gönderen ve katsayi = ekkypol(x, y, n) yazılımıile çalışan bir MATLAB/Octave programıhazırlayınız. Hazırladĭgınız program (x, y)nokta çiftlerinin ve elde edilen polinomun grafiğini de aynıeksende çizmelidir. 5 Kasım, / 48
118 Alıştırmalar Alıştırma 14 (x, y) veri kümesi için en iyi n inci dereceden polinomu hesaplayarak katsayılarınıgeri gönderen ve katsayi = ekkypol(x, y, n) yazılımıile çalışan bir MATLAB/Octave programıhazırlayınız. Hazırladĭgınız program (x, y)nokta çiftlerinin ve elde edilen polinomun grafiğini de aynıeksende çizmelidir. 15 (x, y) veri kümesi için en iyi y = ae bx fonksiyonunu hesaplayarak a ve b değerlerini geri gönderen ve [a, b] = ekkyustel(x, y) yazılımıile çalışan bir MATLAB/Octave programıhazırlayınız. Hazırladĭgınız program (x, y) nokta çiftlerinin ve elde edilen y = ae bx fonksiyonunun grafiğini de aynıeksende çizmelidir. 5 Kasım, / 48
119 Kaynaklar Atkinson, K. An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, Coşkun, E. MATLAB/OCTAVE ile Sayısal Hesaplama ve Kodlama(URL:erhancoskun.com.tr). Coşkun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama(URL:erhancoskun.com.tr). Coşkun, E. MATLAB/OCTAVESayısal Analize Giriş(vektör cebirsel yaklaşım)(url:erhancoskun.com.tr). Stoer, J., Bulirsh, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, e 5 Kasım, / 48
Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata
Bölüm 5 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bu bölümde önelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneeğini
2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
LYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Sayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ekim, 2018
Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:erhan@ktu.edu.tr Ekim, 2018 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 1 / 40 Matematiksel Analiz Analitik
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
Mat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Kübik Spline lar/cubic Splines
Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki
Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
Ders 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU,
Bölüm 1 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, erhan@ktu.edu.tr) Bu bölümde matematiksel analiz türleri olarak bilinen analitik, sayısal, kalitatif ve sembolik analiz yöntemlerini kısaca tanıtarak,
1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori:
PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Cebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Regresyon o EnKüçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN
YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK
ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri
Bölüm Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri Bu bölümde, birinci basamaktan başlangıç değer problemleri için Tek adım (Yamuk, Düzeltilmiş Euler(Heun), Runge-Kutta yöntemlerinin nasıl elde edildikleri,
LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x
Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.
Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK
Lineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
( ) v = 3i -4j vektörünün boyu kaç birimdir? r r r r A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E ) 1. Çözüm: v = 3i -4j Vektörün boyu ω olsun.
. r r r v i j vektörünün oyu kaç irimdir? 5 B) C) D) E ) r r r v i j Vektörün oyu ω olsun. ω ( ) ω 5r. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi ir fonksiyon değildir? y x B) yx C) yx D) yx E ) yx Seçenekler
1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?
99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a
4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?
MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu
MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik
Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri
POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi
EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
Ders 5 : MATLAB ile Grafik Uygulamaları
Ders 5 : MATLAB ile Grafik Uygulamaları Kapsam Polinomlar Enterpolasyon Grafikler 5.1. Polinomlar 5.1.1. Polinom Girişi Matlab de polinomlar katsayılarının vektörü ile tanımlanır. Örnek: P(x) = -6x 5 +4x
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT
Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri. f (x) + x lim f ( x) a x x ve, x ise fonksiyonu için,, x lim f ( x) b olduğuna göre, a b kaçtır? x A) B) C) D) E) Çözüm x x için,
28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 26 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri
Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen,
1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. (10+10+10 p.) 4. (65 p.) TOPLAM NOT: Tam puan almak için
Prof. Dr. Mahmut Koçak.
i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni
Ders 06. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm:
42 Bölüm 6 Ders 06 147 /6 y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman sn, uzaklık cm cinsinden olsun) bulunduğu noktanın ordinatı f (x) = 2x 4 8x 3 7 olarak veriliyor. a) Anlık hız fonksiyonunu
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları
CEVAP ANAHTARI. Tempo Testi D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-B 7-B 8-C 9-B 10-D 11-C 12-D 13-C 14-C
01. BÖLÜM: FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR - 1 1-E 2-D 3-C 4-E 5-B 6-C 7-C 8-B 9-C 10-D 11-C - 2 1-D 2-E 3-C 4-D 5-E 6-E 7-C 8-D 9-E 10-B - 3 1-E 2-A 3-B 4-D 5-A 6-E 7-E 8-C 9-C 10-C 11-C 1-A 2-B 3-E
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
Polinomlar. Rüstem YILMAZ
Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir
Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ
NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu