C L A S S N O T E S SİNYALLER. Sinyaller & Sistemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol

Transkript

1 Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol SİNYALLER Elekriki açıdan enerjisi ve frekansı olan dalga işare olarak anımlanır. Alernaif olarak kodlanmış sinyal/işare de uygun bir anım olabilir. s ( = 5 s ( x, y) = y + 6xy 9y + 5x 7x s + ( x, y, = 4x xy + 3x + 5 6x y Mulichannel ve Mulidimensional Sinyaller (çok kanallı ve çok boyulu sinyaller). s ( s( I r ( x, y, ( = S, I ( x, y, = s3( I g ( x, y, s4( I b ( x, y, Sinyal ve Temel kavramlar ω = π f A s( c = f λ V = λ f = m/sn π T = = f ω Şekil. Temel işare paramereleri Bununla birlike dalganın hızı ise, dalganın boyu ile frekansının çarpımına eşiir. V = λ f = m/sn Period (T) : Bir saykılın zaman olarak uzunluğu Dalga boyu ( λ ) : Bir periyodun/saykılın mesafe olarak uzunluğu Frekans (f) : Saniyedeki salınım (period,saykıl) sayısı Faz : Bir sinyalin referans bir nokaya göre başlangıç anını göserir (şekilde faz farkı θ = ). 93

2 Aşkın Demirkol Sinyalin Temel Paramereleri Eğer genel bir sinyal, x( = Asin( B C) olarak düşünülürse emel paramere olarak, A = genlik B = ω = π f = açısal hız f = frekans (Hz) C = faz Bilgi, frekans ve dalga boyu c f f = T Şekil a bilgisinin göserimi f = = T / T Şekil 3 a bilgisinin göserimi Şekil 4. f n = T / n = T n a bilgisinin göserimi λ = 94

3 Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol Sürekli Zaman Analog Sinyallerinin Band genişlikleri İşarein band genişliğinin bilinmesi önemlidir. Band genişliği bilinen sinyalin nasıl bir haberkleşeme kanalından ileileceği belli olur. Band Genişliği = f f max min Sayısal İşarelerin Band Genişlikleri Sayısal işare işlemede veya sayısal daa ile ilgili band genişliği değerlendirmesinde frekansan ziyade saniyedeki bi sayısı (bps, bi per second, saniye başına düşen bi mikarı) dikkae alınır. Örnek Değişimi aşağıda verilen işarein band genişliğini hesaplayın. sn Şekil 5. Sayısal sinyal Çözüm Görünüşe göre 8 bien oluşan verisi ( veya bi olarak anılır) bir saniyede aşınmakadır veya ileilmekedir. Saniyede aşınan veri mikarı bi olarak göz önüne alındığından sayısal sinyalin band genişliği 8 bps dır. Sinyalin Enerjisi F s Şekil 6.Yapılan iş Sinyalin enerjisi gerek sinyalin kendisi gerekse de kullanıldığı sisem açısından önemli sonuçları içerir. 95

4 Aşkın Demirkol x ( E = < x(, x( > = x ( d Şekil 7. Sürekli işare < x(, x( > yaklaşımıyla aynı işarein kendisiyle çarpımı gibi bir sonuç oraya çıkarki bunun sebebide, işarein kendisinin (bir başkasının değil) enerji veya güç gibi bir özelliği ölçülmek isenmekedir. E = < x(, x *( > = x( d E = x( d E = lim N N n= N x [ N ] = x[ n] n= x ( x * ( = x( x ( Şekil 8. Sinyalin Enerjisi 96

5 Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol Bir işarein enerjisini hesaplayabilmek için işarein sonlu (finie) ve için genliğinin sıfır olması koşulu aranır. Aksi akirde, verilen inegraller bir değere yakınsamayabilir. E = Örnek x( d < x ( Aşağıda işarein enerjisini hesaplayın. Çözüm Şekil 9. Sonlu enerjili sinyal (enerji işarei) x( ) / 4 /4 Şekil. Üçgen darbe Periyodik olmayan, zamanda sınırlı ( τ = / birim genişliğinde) bir işare söz konusu olduğundan verilen işare enerji işarei olup, enerjisi hesaplanabilir. Bunun için işarein ( / 4, ) ve (,/ 4) aralıklarındaki doğru denklemlerini elde emeliyiz. İlk olarak ( / 4,) nokalarından geçen doğrunun denklemini elde edelim. y x y x = = y = 4x y = 4x + ( / 4) 4 y ( = 4 + Şimdi de (,/ 4) aralığı için (/4,) nokalarından geçen doğrunun denklemini yazalım. y x y x = = y = 4x y = 4x + / 4 4 y ( = 4 + Üçgen dalga çif fonksiyon olduğundan, 97

6 Aşkın Demirkol /4 /4 E = E + E = x ( d + x ( d = 4 + d d = 4 + d /4 3 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 (6 8 ) d 3 d 6 d d 3 6 [ ] 3 = + = + = + 3 (/ 4) (/ 4) = = + = + = E = Joule 6 No : Enerji sonlu değerde çıkığı için verilen dörgen sinyal, enerji sinyalidir. Örnek Periyodik Sinusoidlerin Gücü x( = sin π sinyalinin gücünü hesaplayın. Çözüm s( = Asin( B ± C) P T / = lim x ( ) d T / İspa : T T P T / T / T / x = lim x ( ) d lim sin π d lim 44sin π d T T = T / T T = T / T T T / P = 7 Wa x No : cos a cos 4 π = π = sin a sin Sinyalin Gücü Bazen verilen bir işarein enerjisi sonlu ve için genliği sıfır olmayabilir (infinie). T T x ( T Şekil. Periodik işare T 98

7 T / P = lim x( d işarein gücü (oralama güç) T T T / s( ) Örnek T Şekil.Sonsuz enerjili işarein belli zamandaki gücü f ( = sin işareinin ipini belirleyin. Çözüm a) Enerji T Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol cos sin E = f ( d = sin d sin d ( ) d = = = = 4 b) Oralama güç / / T T T / P = lim f ( d lim sin d lim sin d T T = T / T T = T / T T T / T / T / cos sin sin sin T T T T = lim ( ) d lim lim lim T = = + T 4 T 4 4 T 4 4 T T / T T T T / sint sint = lim + lim + = + + = T 4 4 T (a) daki enerji sonsuz ( E ) ve (b) de ise oralama güç sıfırdan farklı bir değer olarak sonlu / değeriyle bulunduğu için verilen f ( = sin işarei güç yani power işareidir. Buradan oraya çıkan bir diğer espie şudur, periodik işareler güç işareleridir. 99

8 Aşkın Demirkol SİNYALLER. Analog Dijial Sinyaller Genel Sinyal Tipleri x ( (a) x ( (b) Analog, sürekli-zaman işare Ayrık İşareler Dijial, sürekli-zaman işare x ( (c) x ( (d) Analog, ayrık-zaman işare Şekil 8. Analog Dijial işareler x [n] 8 x [] x [ ] 7 x [] x [ ] 6 x [] x [ 3] 5 x [3] Dijial, ayrık-zaman işare 8 9 n x [9] 4 x [8] Şekil 9. Ayrık işare

9 Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol x [ n] = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,, 4, 3 } x [ n ] = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,, 4, x [ 7] x [ 6] x [ 5] x [ 4] x [ 3] x [ ] x [ ] x [] x [] x [] x [3] x [4] x [5] x [6] x [7] x [8] x [9] u[n] ramp [n] δ [n] n 4 6 n n - a - - b - - c - Şekil. Ayrık işareler Sürekli/Ayrık Ayrık Ayrık/Sürekli f ( Dönüşürücü f [k] Sisem y [k] Dönüşürücü y ( Deerminisik işareler C/D-C D/C-C Şekil. Ayrık sisemde sürekli ayrık işarein işlenmesi f (, x(,sin,cosω,.gibi. Periodik veya periodik vari işareler bu kaegoriye örnek verilebilir. Durağan (saionary) işareler x ( ω. Şekil.Durağan işare : periodik işareler 3 }

10 Aşkın Demirkol Durağan Olmayan (nonsaionary) İşareler x ( ω ω ω 3 ω 4 k Şekil 3. Durağan olmayan işare : x( = sin π f + dφ( f ( = Anlık Frekans π d Tek ve Çif İşareler x( = x( x[ n] = x[ n] x( x[n] Şekil 6 Çif işareler x( x[n] n Şekil 7 Tek işareler n

11 Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol Exponensiyel İşareler Gerçek exponensiyel işareler σ x ( = e x ( x ( σ > σ < Şekil 3. Gerçek exponensiyel işareler Kompleks exponensiyel işareler x ( x ( σ > Şekil 33.Exponensiyel aran ve azalan sinüsoidal işareler : Özel Parçalı Fonksiyonlar σ < x A e. Birim Impuls Fonksiyonu δ ( δ ( ε ε (a) σ ( ) = cos(ω + θ ) (b) Şekil 35.Birim impuls (Dela fonksionu) = ε δ ( =, δ ( ) d = ε Birim İmpuls Fonksiyonunun Özellikleri : Paul Adrien Maurice Dirac ( δ ( f ( d = f (), 6. δ ( τ ) f ( dτ = f ( τ ), 7. δ ( = δ (, 8. δ ( = δ ( 3

12 Aşkın Demirkol Örnek π δ ( 4) cos d İşlemini hesaplayın. 4 Çözüm π π δ () = ise, = 4 için δ ( 4) cos d δ (4 4) cos 4 δ () cos( π ) = = = 4 4 Birim Basamak Fonksiyonu Birim adım (uni sep) veya olarak bilinen bu işarein maemaiksel modeli ; u ( = ; u ( ) = < < u( u ) ( - a - - b - Şekil 36. a) Birim basamak fonksiyonu, b) Kaydırılmış birim basamak fonsiyonu Birim rampa fonksiyonu ramp (, w) w Şekil 39. (b): Birim rampa fonksiyonu w ramp ( = / w w = u( λ ) dλ = u( < 4

13 Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol İşare Fonksiyonunun Paramereleri Üzerine İşlemler B y ( = Ax( D) C A : x ( işare fonksiyounun genliğini (ampliude), şiddeini belirir. B : x ( işare fonksiyounun frekansını, salınım sayısını arırır (sıkışırma, compressing) C : x ( işare fonksiyonunun periyodunu arırarark, frekansını düşürür (yavaşlama, expanding) D : x ( işare fonksiyonunun zaman ekseni üzerindeki öelenme (kaydırma, shifing) mikarını belirir. Bu işarein olması sağa doğru öelenmeyi (gecikme, delay), + olması ise, sola doğru öelenmeyi (önceki değerlere kaydırma, advance) göserir. Genlik Ölçekleme (A) : As ( s ( Şekil 49. İşarein genlik zaman domeninde ölçeklendirilmesi Örnek s ( ).5 ( ) m = s Şekil 5. İşarein / ile çarpımı : genlike ½ azalma 5

14 Aşkın Demirkol Frekans Ölçekleme (B) b Örnek s m ( = s( s ( s ( Şekil 5. İşarein frekansının ölçeklendirilmesi 6

15 Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol İşare Öeleme (D) a) İleriye öeleme (-D) s m ( = As( d) s ( -4 4 s m ( = s( ) -3 5 Şekil 55. s ( işareinin s ( ) öelenmesi 7

16 Aşkın Demirkol 8