B. Haýdarow, E. Sarykow, A. Koçkarow GEOMETRIÝA

Transkript

1 . Haýdarow, E. Sarykow,. Koçkarow GEOMETRIÝ 9 Özbegistan Respublikasynyň Halk bilimi ministrligi umumy bilim berýän mekdepleriň 9-njy synpy üçin derslik hökmünde hödürleýär «O zbekiston milliy ensiklopediyasi» öwlet ylmy neşirýaty aşkent 04

2 UO K 54.(075) KK.5ya7 X-30 Fizika-matematika ylymlarynyň doktory, professor. zamowyň redaksiýasy bilen. Syn ýazanlar:. Narmanow Özbegistan Milli uniwersitetiniň geometriýa we amaly matematika kafedrasynyň müdiri, fizika-matematika ylymlarynyň doktory. G. Ýusupowa Özbegistan Milli uniwersitetiniň ýanyndaky Matematika institutynyň uly ylmy işgäri, fizika-matematika ylymlarynyň kandidaty. M. kramov aşkent welaýatynyň Parkent tümenindäki 5 -nji mekdebiň ýokary derejeli matematika mugallymy. M. Şaniýazowa aşkent şäheriniň Syrgaly tümenindäki 300-nji mekdebiň matematika mugallymy 9-njy synpda geometriýanyň planimetriýa bölümini ýasy geometrik figuralaryň häsiýetlerini öwrenmek dowam etdirilýär. Onda siz geometrik figuralaryň meňzeşligi, üçburçlugyň taraplary we burçlarynyň arasyndaky gatnaşyklar, töweregiň uzynlygy we tegelegiň meýdany, üçburçluk we töwerekdäki metrik gatnaşyklar bilen tanyşarsyňyz. Eliňizdäki Geometriýa dersliginiň mazmuny berk aksiomatik ulgam esasynda gurlandyr. Ondaky nazary materiallar mümkingadar sada we düşnükli dilde beýan edilendir. Ähli temalar we düşünjeler durmuşdan alnan dürlüçe mysallar arkaly açyp görkezmäge synanyşyk edildi. Her bir temadan soň berlen soraglar, subut etmäge, hasaplamaga we gurmaga degişli mesele we mysallar okuwçylary döredijilikli pikirlenmäge ündeýär, oňa özleşdirilen bilimleri çuňlaşdyrmaga we berkitmäge kömek edýär. erslik özüniň özboluşly dizaýny we sapak materialynyň gökezmeliligi bilen hem tapawutlanýar. Onda getirilýän surat we çyzgylar sapagyň materialyny has gowy özleşdirmäge hyzmat edýär. Respublikanyň ýörite kitap gaznasy serişdeleriniň hasabyndan kärende üçin çap edildi. ISN «O zbekiston milliy ensiklopediyasi» öwlet ylmy neşirýaty, 04. «Huquq va Jamiyat» JÇJ şeklindäki neşirýat, 04

3 M ZMUNY Sözbaşy nji synplarda geçilenleri gaýtalamak. Üçburçluklar...8. Üçburçluklar (dowamy) örtburçluklar örtburçluklar (dowamy)... 4 I bap. Meňzeş geometrik figuralar 5. Köpburçluklaryň meňzeşligi Meňzeş üçburçluklar we olaryň häsiýetleri Üçburçluklaryň meňzeşliginiň birinji nyşany Üçburçluklaryň meňzeşliginiň ikinji nyşany Üçburçluklaryň meňzeşliginiň üçünji nyşany Gönüburçly üçburçluklaryň meňzeşlik nyşanlary Meňzeşlik nyşanlarynyň subut etmäge degişli meselelerde ulanylyşy Meseleler çözmek ilimiňizi synaň Geometrik figuralaryň meňzeşligi Meňzeş köpburçluklaryň häsiýetleri Gomotetiýa we meňzeşlik Meňzeş köpburçluklary gurmak maly sapak Meseleler çözmek Meseleler çözmek I baba degişli goşmaça meseleler we maglumatlar II bap. Üçburçlugyň taraplarynyň we burçlarynyň arasyndaky gatnaşyklar. Ýiti burçuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensi Meseleler çözmek Käbir burçlaryň sinusyny, kosinusyny, tangensini we kotangensini hasaplamak Meseleler çözmek dan 80 çenli bolan burçuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensi Esasy trigonometrik toždestwolar Esasy trigonometrik toždestwolar (dowamy) ilimiňizi synaň Üçburçlugyň meýdanyny burçuň sinusynyň kömeginde hasaplamak Sinuslar teoremasy Kosinuslar teoremasy Sinuslar we kosinuslar teoremalarynyň käbir ulanylyşlary Iki wektoryň arasyndaky burçy hasaplamak Üçburçluklary çözmek

4 36. Meseleler çözmek Üçburçluklary çözmegiň amalyýetde ulanylyşy II baba degişli goşmaça meseleler we maglumatlar III bap. Töweregiň uzynlygy we tegelegiň meýdany 40. Töweregiň içinden çyzylan köpburçluklar Töweregiň daşyndan çyzylan köpburçluklar ogry köpburçluklar ogry köpburçlugyň içinden we daşyndan çyzylan töwerekler ogry köpburçlugyň tarapy bilen daşyndan we içinden çyzylan töwerekleriň radiuslarynyň arasyndaky baglanyşyk ilimiňizi synaň Töweregiň uzynlygy Töweregiň dugasynyň uzynlygy. urçuň radian ölçegi Tegelegiň meýdany Tegelegiň bölekleriniň meýdany Meseleler çözmek III baba degişli goşmaça meseleler we maglumatlar... IV bap. Üçburçluk we töwerekdäki metrik gatnaşyklar 5. Kesimleriň proýeksiýasy we proporsionallyk Proporsional kesimleri gurmak Gönüburçly üçburçlukdaky proporsional kesimler erlen iki kesime orta proporsional kesimi gurmak Töwerekdäki proporsional kesimler Meseleler çözmek IV baba degişli goşmaça meseleler we maglumatlar... 8 V bap. Planimetriýa kursuny gaýtalamak 59. Koordinatalar usuly Koordinatalar usuly we wektorlar Töwerek we tegelek Gaýtalamak Gaýtalamak Gaýtalamak Gaýtalamak Gaýtalamak Jemleýji barlag işi Planimetriýa degişli esasy düşünjeler we maglumatlar Jogaplar

5 SÖZŞY Eziz okuwçylar! iz informasion tehnologiýalar asyrynda ýaşaýarys. Häzirki zaman ösüşinde bolup geçýän bütindünýä ähmiýetli özgerişleriň esasynda, elbetde, ylmyň we tehnikanyň ösüşi ýatýar. Şeýle şertlerde ýaşlaryň esasy wezipesi beýik eždatlarymyza mynasyp nesil bolup, zaman bilen döwrebap gadam basmak, ylym-bilimiň belentliklerini yhlas bilen eýelemekden ybaratdyr. u babatda matematikanyň tutýan orny biçakdyr. Mälim bolşy ýaly, matematika siz ýaşlaryň kemala ýetmegiňizde okuw predmeti hökmünde giň mümkinçiliklere eýe. Ol pikirlenmäňizi ösdürmek bilen, akylyňyzy ýiteldýär, logiki pikirlenmäni, ugurtapyjylyk häsiýetleri döredýär we dürli ýagdaýlarda akylly-başly karar kabul etmek, derňemek hem-de netije çykarmak endiklerini terbiýeleýär. Eliňizdäki 9-njy synp Geometriýa dersliginiň esasy wezipesi tekiz geometrik şekilleriň häsiýetlerini öwretmek bilen bir hatarda sizde yzygiderli logiki pikirlenme ukybyny ösdürip barmak netijesinde akylyňyzy çarhlamakdan ybarat. Ol özleşdirilen bilimleri, endikleri we başarnyklary gündelik durmuşa geçirmegiňize kömek edýär. ersligi döredende dünýäde toplanan öňdebaryjy tejribe nusgalaryndan peýdalandyk. Şonuň bilen bir hatarda ýurdumyzdaky gündogara mahsus bolan we ömürbaky gymmatlyklarymyza, beýik ata-babalarymyzyň mirasyna hem dogry we ýerlikli ýüzlenmäge çalyşdyk. Şu derslikden tälim almak bilen, size bu jogapkärli, şonuň bilen birlikde gyzykly ýolda yhlas we tutanýerlilik arzuw edýäris. Geometriýanyň esaslary boýunça alan sapaklaryňyz sizi kämillige tarap eltip, Watanymyzyň gülläp ösmegi ugrunda hyzmat etmäge kömekçi bolar, diýip ynam bildirýäris! 5

6 erslikde ulanylan şertli belgiler täze girizilýän geometrik düşünjäniň kesgitlemegi teoremanyň häsiýetnamasy nusga hökmünde çözüp görkezilýän mesele Soraglar, meseleler we ýumuşlar okuwçylaryň işeňňirligini artdyrýan özbaşdak ýa-da toparlarda ara alnyp maslahatlaşylýan ýumuşlar 8. ýekebara ýa-da toparlarda ýerine ýetirilýän amaly iş taryhy maglumatlar we meseleler gyzykly we çylşyrymly meseleler Internetden hödürlenýän mag lumatlaryň salgysy öýde çözmäge niýetlenen meseleler başga reňkde berlen Teoremanyň ýa-da meseläniň shematik manysy Teoremanyň ýa-da meseläniň şertinde berlen maglumatlar Çyzgylarda kabul edilen aýratyn belgiler Subut edilmeli bolan häsiýet ýa-da tapmak talap edilýän elementler Çyzgylarda deň burçlar birmeňzeş sandaky ýaýlar bilen tapawutlandyrylýar. Çyzgylarda uzynlygy deň kesimler birmeňzeş sandaky çyzyklar bilen tapawutlandyrylýar. g e o m a i Ý e tr Geometriýany eýelemek üçin öňe! 6

7 GÝTLMK 7 8-NJI SYNPLR GEÇILENLERI GÝTL- MK 7 8-nji synplarda geometriýadan geçilen temalary gaýtalap, alan bilimleriňizi ýada salýarsyňyz we gazanan endikleriňizi berkidýärsiňiz. u size 9-njy synpda geometriýany öwrenmegi üstünlikli döwam etdirmäge esas döredýär. 7

8 Üçburçluklar Şu bölümdäki meseleler 7 8-nji synplarda öwrenilen geometrik şekilleri we olaryň häsiýetlerini ýada salmak üçin berilýär. Meseleleri çözmek üçin dersligiň ahyrynda getirilen esasy geometrik şekillere degişli maglumatlary hem-de olaryň häsiýetlerini aňladýan formulalardan peýdalanyp bilersiňiz. -nji mesele. üçburçlugyň beýikligi geçirilen (-nji surat). Eger = 40, = 45 bolsa, 40 üçburçlugyň we depesindäki burçlaryny tapyň. Çözülişi. ) Gönüburçly üçburçlukda = 45 = 40 we üçburçlugyň içki burçlarynyň jemi 80 -a deň bolany üçin = 80 ( ) = 50. ) Gönüburçly üçburçlukda = 45 bolany üçin = 80 ( ) = 45. = + bolany üçin = = 85. Jogaby: 50, 85. -nji mesele. Iki parallel göni çyzygy kesiji bilen kesende emele gelen içki bir taraply burçlaryň bissektrisalarynyň arasyndaky burçy tapyň. Çözülişi. göni çyzyk we parallel y y göni çyzyklary -nji suratda görkezilişi ýaly kesip x E geçen bolsun. Içki bir taraply we burçlaryň x bissektrisalary E nokatda kesişen bolup, E = x, E = y bolsun. Onda, burçuň bissektrisasynyň kesgitlemesine görä = x + x = x, = y + y = y. bolany üçin içki bir taraply burçlaryň häsiýetine görä, x + y = 80, x + y = 90. Indi, E üçburçlugyň içki burçlarynyň jemi 80 -a deň bolany üçin E = 80 (x + y) = = 90. Jogaby: nji mesele. üçburçlugyň tarapy 6 sm, we burçlary, degişlilikde, 30 we 60 bolsa, üçburçluk meýdanyny tapyň. 8

9 Çözülişi. Üçburçlugyň burçuny tapýarys: = 80 ( + )=80 ( )=90. 3 iýmek, gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasy 6 sm we burçy 30 eken. Gönüburçly üçburçlukda 30 -ly burçuň garşysyndaky katet 30 gipotenuzanyň ýarysyna deň bolany üçin, =3 sm (3-nji surat). Pifagoryň teoremasyndan peýdalanyp kateti tapýarys: = = 6 3 = 7, =3 3 sm. Indi üçburçlugyň meýdanyny tapýarys: S = = 3 3 3= 9 3 (sm ). 60 Jogaby: 9 3 sm. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. üçburçlukda = 47, = 83 bolsa, üçburçlugy üçünji içki burçuny we daşky burçlaryny tapyň.. Katetleri 5 sm we 0 sm bolan gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasyna düşürilen beýikligini tapyň. 3. üçburçlugyň tarapyna parallel göni çyzyk we taraplary degişlilikde E we F nokatlarda kesip geçýär. Eger EF= 65 we EF= 35 bolsa, üçburçlugyň burçlaryny tapyň. 4. üçburçlugyň bissektrisalary I nokatda kesişýär. Eger = 80 we = 70 bolsa, I, I we I burçlary tapyň. 5. eňýanly üçburçlugyň bir sany daşky burçy 70 -a deň. Üçburçlugyň burçlaryny tapyň. 6. üçburçlugyň K bissektrisasy geçirilen. Eger K= 47 we K= 03 bolsa, üçburçlugyň burçlaryny tapyň. 7*. üçburçlugyň beýiklikleri H nokatda kesişýär. Eger = 50, = 60 bolsa, H, H we H burçlary tapyň. 8. Üçburçlugyň orta çyzyklary ony dört deň üçburçluklara bölýändigini subut ediň. 9*. üçburçlukda mediananyň dowamyna şu mediana deň E kesim goýlan. F mediananyň dowamyna F mediana deň FH kesim goýlan., H, E nokatlaryň bir göni çyzykda ýatýandygyny subut ediň. 0. deňýanly üçburçlukda (=) N we K bissektrisalar geçirilen. a) KN kesimiň tarapa paralleldigini görkeziň. b) K=KN=N deňligiň dogry bolýandygyny subut ediň. 9

10 Üçburçluklar (dowamy) А -nji mesele. nokatdan m göni çyzyga uzynlyklary sm we sm bolan iki sany ýapgyt çyzyk düşürilen. Eger birinji ýapgydyň m göni çyzykdaky proýeksiýasy 8 sm bolsa, ikinji ýapgyt m çyzygyň proýeksiýasyny tapyň. В 8 Çözülişi. m göni çyzykdan daşardaky nokatdan şu göni çyzyga we ýapgyt çyzyklar hem-de А perpendikulýar düşürilen bolup, = sm we = sm bolsun (-nji surat). Onda meseläniň şertine görä =8 sm bolýar we kesimiň uzynlygyny tapmaly. ) Pifagoryň teoremasyndan peýdalanyp gönüburçly üçburçlugyň katetini tapýarys. m В = = 8 = 80, = 80 sm. ) Gönüburçly üçburçlukdan Pifagoryň teoremasyndan peýdalanyp kesimiň uzynlygyny tapýarys. = = ( 80) = = 36, =9 sm. Jogaby: 9 sm. -nji mesele. Taraplary 3, 4 we 5-e deň bolan üçburçlugyň meýdanyny we beýikliklerini tapyň. Çözülişi. Geronyň formulasyndan peýdalanyp, taraplary a = 3, b = 4, c = 5 bolan üçburçlugyň meýdanyny tapýarys: p = = = 4 =, S = p(p a)(p b)(p c) = ( 3) ( 4) ( 5) = = = = = 84. Indi, üçburçlugyň meýdanyny hasaplamagyň S= a h formulasyndan peýdalanyp, a üçburçlugyň h a beýikligini tapýarys: h a = S a = 84 3 = 68 3 = 3. Edil şonuň ýaly h b we h c beýiklikleri tapýarys. Jogaby: 84; 3 ; ; 5. 0

11 3-nji mesele. üçburçlugyň we depelerindäki daşky burçlarynyň bissektrisalary O nokatda kesişýär. O nokadyň burçuň bissektrisasynda ýatýandygyny subut ediň. F O Subudy. O nokadyň, we göni çyzyklardaky proýeksiýalary degişlilikde, E we F nokatlar bolsun (-nji surat). Onda, birinjiden O nokat burçuň bissektrisasynda ýatany üçin O=OF bolýar. Ikinjiden, O nokat E burçuň bissektrisasynda ýatany üçin OF=OE bolýar. Şonuň üçin, O=OF=OE. E iýmek, O nokat burçuň taraplaryndan deň uzaklykda ýerleşýän eken. Şonuň üçin O nokat burçuň bissektrisasynda ýatýar. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Taraplary 5, 6 we 7 bolan üçburçlugyň meýdanyny tapyň.. erlen nokatdan a göni çyzyga uzynlyklarynyň tapawudy 6-a deň bolan iki sany ýapgyt çyzyk düşürilen. Ýapgyt çyzyklaryň a göni çyzykdaky proýeksiýalary 7 we 5-e deň. erlen nokatdan a göni çyzyga çenli bolan aralygy tapyň. 3*. üçburçlugyň we depelerindäki daşky burçlarynyň bissektrisalary nokatda kesişýär. Eger =75 bolsa, üçburçlugyň burçuny tapyň. 4. Esasy bolan deňýanly üçburçlukda bissektrisa geçirilen. burç: a) 60 ; b) 75 -a deň bolsa, üçburçlugyň burçlaryny tapyň. 5. ir kateti 7 sm-e, gipotenuzasy bolsa 5 sm-e deň bolan gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasyna düşürilen beýikligini tapyň. 6. üçburçlugyň beýikligi geçirilen ( nokat kesime degişli). Eger =, =5 we =6 bolsa, üçburçluk perimetrini we meýdanyny tapyň. 7. eňýanly üçburçlugyň gapdal tarapy 0 sm, esasy bolsa 0 3 sm. Üçburçlugyň esasyna düşürilen beýikligini, meýdanyny we burçlaryny tapyň. 8. Ýiti burçly üçburçluga daşyndan çyzylan töweregiň merkezi O nokatda bolup O= 0, O= 0 bolsa, üçburçlugyň burçlaryny tapyň. 9. Eger üçburçlugyň medianasy tarapdan iki esse kiçi bolsa, burçy tapyň. 0. üçburçlugyň beýiklikleri O nokatda kesişýär. Eger = 60, = 80 bolsa, O burçy tapyň.. üçburçlugyň we depelerindäki daşky burçlarynyň bissektrisalary O nokatda kesişýär. Eger = 80 bolsa, O burçy tapyň.

12 3 ÖRTURÇLUKLR -nji mesele. Eger parallelogramyň bir depesinden onuň iki tarapyna düşürilen beýiklikleriniň a) 55 arasyndaky burç 55 -a deň bolsa, parallelogramyň burçlaryny tapyň. E Çözülişi. Parallelogramyň F we E beýiklikleriniň arasyndaky burç 55 bolsun (-nji surat). F Suratda şekillendirilen iki ýagdaý: a) E beýiklik b) tarapa; b) E beýiklik tarapyň dowamyna düşen bolmagy mümkin. a) ýagdaýda EF dörtburçlugyň burçlarynyň F K jemi 360 bolany üçin, E = 360. Mundan, = 5. b) ýagdaýda E beýiklik tarap bilen kesişýän nokat K bolsun. Onda, KE = KF = = 35. Üçburçlugyň daşky burçunyň häsiýetine görä, = KE + KE = = 5. Üçburçlugyň daşky burçunyň häsiýetine görä, =5. Onda, = =80 =55, = =5. Jogaby: 55, 5, 55, 5. -nji mesele. örtburçlugyň taraplarynyň ortalary parallelogramyň depeleri bolýandygyny subut ediň. E F Çözülişi. dörtburçlugyň,, we taraplarynyň ortalary degişlilikde E, F, K we L nokatlar bolsun (-nji surat). EFKL parallelogramdygyny L K görkezýäris. EF kesim üçburçlugyň, KL kesim bolsa üçburçlugyň orta çyzygy bolýar. Onda, üçburçlugyň orta çyzygynyň häsiýetlerine görä, EF, KL, EF =, KL =. Mundan EF KL we EF =LK. Şonuň üçin, parallelogramlyk nyşanyna görä EFKL parallelogramdyr.

13 3-nji mesele. gönüburçlugyň we burçlarynyň bissektrisalary tarapda kesişýär. Eger =4 sm bolsa, bu gönüburçluk meýdanyny tapyň. Çözülişi. Gönüburçlugyň we burçlarynyň bissektrisalary kesişýän nokat E bolsun (3-nji surat). Onda, =90, E = 45 bolany üçin E = = Ýagny, E deňýanly üçburçluk. Onda, = E = 4 (sm). 45 Edil şuňa meňzeş E = =4 (sm) bolýandygyny E görkezmek bolar. Mundan = E + E =8(sm) we S = = 4 8 = 3 (sm ). Jogaby: 3 sm. Soraglar, meseleler we ýumuşlar 4. örtburçlugyň üç burçy 47, 83 we 0 -a deňligi mälim. Onuň dördünji burçuny tapyň. K. Parallelogramyň iki burçunyň jemi 56 -a deň. Onuň burçlaryny tapyň. P O 3. Gönüburçlugyň diagonallarynyň arasyndaky burç 74. Onuň bir diagonaly bilen taraplarynyň arasyndaky burçlary tapyň. 4. eňýanly trapesiýanyň iki burçunyň tapawudy 40 -a 5 P deň. Onuň burçlaryny tapyň. 5. Rombyň burçlaryndan biri ikinjisinden üç ese uly. Rombyň burçlaryny tapyň. O 6. gönüburçlugyň burçunyň bissektrisasy K tarapyny sm we 6 sm -e deň kesimlere bölýär. Gönüburçlugyň perimetrini tapyň. 7. Taraplary 3 sm we 6 sm, uly taraplarynyň arasyndaky aralyk bolsa sm bolan parallelogram guruň. 8. parallelogramyň diagonalynda P we K nokatlar saýlanyp alnan (4-nji surat). Eger OP = O = OK bolsa, KP gönüburçluk bolýandygyny subut ediň. 9*. parallelogramyň diagonalynda P we K nokatlar saýlanyp alnan (4-nji surat). Eger OP = O = OK bolsa, KP gönüburçluk bolýandygyny subut ediň. 0*. parallelogramyň diagonalynda P we K nokatlar saýlanyp alnan (6-nji surat). Eger P = K bolsa, PK dörtburçlugyň parallelogramdygyny subut ediň. 45 3

14 4 ÖRTURÇLUKLR (dowamy) O E -nji mesele. trapesiýadaky kiçi esasyň depesinden tarapa parallel göni çyzyk geçirilen. Netijede emele gelen üçburçlugyň perimetri 4 sm -e deň. Eger trapesiýanyň perimetri 36 sm bolsa, tarapyň uzynlygyny tapyň. Çözülişi. Meseläniň şertine görä geçirilen göni çyzyk kesimi E bolsun, E nokat tarapda ýatýar (-nji surat). kesim trapesiýany E üçburçluga we E parallelograma bölýär. Hususan-da, =E we =E. Meseläniň şertine görä, P = = E + E = + E+ E + = =P E + = 4 + = 36 (sm). Mundan, =, ýa-da = 6 sm bolýandygyny tapýarys. Jogaby: 6 sm. 3 -nji mesele. Rombyňg diagonallaryndan biri 4 sm, tarapy bolsa 5 sm. Rombyň meýdanyny tapyň. E F romb, S = 4 sm, = 5 sm. =? Çözülişi. Rombyň diagonallarynyň kesişme nokady O bolsun (-nji surat). Onda, rombyň häsiýetine görä (sm), O = 90. Pifagoryň teoremasyndan peýdalanyp O kesimi tapýarys: O = O =5 7 =576 ýa-da O = 4 sm. Onda = O = 4 =48 (sm). Rombyň meýdanyny hasaplamagyň formulasyna görä 3-nji mesele. eňýanly trapesiýanyň gapdal tarapy 0 sm, esaslary bolsa sm we 36 sm. Trapesiýanyň meýdanyny tapyň. 4 (sm ). Jogaby: 336 sm.

15 Çözülişi. trapesiýada = = 0 sm, = sm, = 36 sm bolsun. Trapesiýanyň E we F beýikliklerini geçirýäris (3-nji surat). Onda, EF = = (sm), (sm). Gönüburçly E üçburçluga Pifagoryň teoremasyny ulanyp E beýikligi tapýarys: E = E = 0 = 56 ýa-da E = 6 sm. Trapesiýanyň meýdanyny tapýarys: Jogaby: 384 sm. = (sm ). Soraglar, meseleler we ýumuşlar. trapesiýanyň kiçi esasy 7 sm -e deň. Onuň depesinden tarapyna parallel göni çyzyk geçirilen. Emele gelen üçburçlugyň perimetri 6 sm -e deň. Trapesiýanyň perimetrini tapyň.. Göni çyzygy kesip geçmeýän kesimiň uçlary bu göni çyzykdan 8 sm we 8 sm uzaklykda ýerleşen. Kesimiň ortasyndan göni çyzyga çenli bolan aralygy tapyň. 3. Taraplary 4 sm we 5 sm, meýdany bolsa 0 sm bolan parallelogramy guruň. 4. Rombyň diagonallaryndan biri 80 sm, tarapy bolsa 8 sm. Rombyň meýdanyny tapyň. 5. Parallelogramyň 35 -a deň bolan kütek burçunyň depesinden düşürilen beýikligi 4 sm -e deň bolup, ol özüniň düşen tarapyny deň ýarpa bölýär. a) Şu tarapy tapyň. b) Parallelogramyň kütek burçlarynyň uçlaryny birleşdirýän diagonaly bilen taraplarynyň arasyndaky burçlary tapyň. ç) Parallelogramyň perimetrini we meýdanyny tapyň. 6. Rombyň kütek burçunyň depesinden düşürilen beýiklik rombyň tarapyny deň ýarpa bölýär. Eger rombyň tarapy 6 sm bolsa, rombyň meýdanyny tapyň. 7. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasy 3 sm, katetleriniň jemi bolsa 7 sm. Üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 8*. Gönüburçly trapesiýanyň bir burçy 35 -a, orta çyzygy bolsa 8 sm -e deň. Eger trapesiýanyň esaslarynyň gatnaşygy :8 -e deň bolsa, trapesiýanyň gapdal taraplaryny tapyň. 9*. ( ) trapesiýa O merkezli töweregiň daşyndan çyzylan. O = 90 bolýandygyny subut ediň. 5

16 MTEMTIK MESELELERIŇ HZYNSY Mälim bolşy ýaly, soňky wagtlarda habar kommunikasiýasy tehnologiýalary çalt depginler bilen ösýär. Internet seti gitdigiçe alys obalary-da gurşaýar. Häzirki wagtda, Internetiň World- Wide-Web Jahan habar setine şeýle bir köp habar çeşmeleri ýerleşdirilen bolup, bu hazynadan peýdalanmak her bir adam üçin hem karz, hem parz hasaplanýar. Şol sanda, bir-birinden gyzykly şeýle web-sahypalar bar bolup, olardan islendik ylmy, şol sanda geometriýany öwrenmekde netijeli peýdalanmak mümkin. şakda şol habar çeşmeleriniň salgylaryny bermegi makul bildik. u websahypalardan siz özbek, rus, iňlis we başga dillerde matematika älemindäki iň ahyrky täzelikler, elektron kitaphanalaryň ammarynda saklanýan ençeme elektron derslikler, matematikadan aralykdan okamak kurslary we olaryň materiallary, şu dersligiň sahypalaryna giren we girmedik dürlüçe nazary materiallar, matematikadan sapak berýän tejribeli mugallymlaryň ders materiallary we metodik maslahatlary, san-sajaksyz meseleler, mysallar we olaryň çözüwleri, dürli döwletlerde geçirilýän matematik bäsleşik-sergiler we olimpiadalar baradaky maglumatlar we olarda hödürlenen meseleler hem-de olaryň çözüwleri, gyzykly matematik meseleler we olaryň çözüwleri bilen tanyşyp bilersiňiz. Halk bilimi ministrligi maglumat-tälim portaly Halk bilimi ministrliginiň ýanyndaky Multimedia merkeziniň saýty Halk bilimi ministrliginiň saýty Ýokary we ýörite orta tälim ministrliginiň tälim portaly Pegagogika tälimi edaralarynyň portaly Tälim edaralarynyň portaly Matematikadan goşmaça materiallar saýty Halk bilimi ministrliginiň tälim portaly ralykdan okatmak saýty (rus dilinde) ralykdan okatmak saýtynyň portaly (iňlis dilinde) Tälimi ösdüriş institutynyň saýty (rus dilinde) Umumtälim portaly (rus dilinde) Internetden tälim portaly (rus dilinde) Russiýa döwlet kitaphanasynyň portaly (rus dilinde) Internet resurslarynyň elektron kitaphanasy (rus dilinde) Matematika we informatikadan gaýybana saýlaw (rus dilinde) Elektron gollanmalaryň kitaphanasy. Gaýybana matematik olimpiadalar Matematikadan 000 -den gowrak meseleler (rus dilinde) Matematik gimnastika. Matematik meseleler we çözülmesi kyn meseleler Matematik kaleýdoskop (rus dilinde) Internetdäki matematuk žurnal (rus dilinde) Matematikadan meseleler (rus dilinde) lgebra we geometriýadan okuw materiallary (iňlis dilinde) Matematik mazmundaky suratlar (rus dilinde) Matematik gurnaklar, mekdepler we olimpiadalar (rus dilinde) Matematikadan olimpiada meseleleri (rus dilinde) Fibonaççi sanlary, altyn kesim Matematik testler (rus dilinde) Math on the Web Internetde matematika (iňlis dilinde) Matematikanyň taryhyna degişli materiallar (rus dilinde). 6

17 I P MEŇZEŞ GEOMETRIK FIGURLR Şu baby öwrenmek netijesinde siz aşakdaky bilim we amaly endiklere eýe bolarsyňyz: ilimler: meňzeş figuralaryň kesgitlemesini we belgilenişini bilmek; üçburçluklaryň meňzeşlik nyşanlaryny bilmek; gomotetiýa düşünjesini bilmek. maly endikler: iki sany meňzeş üçburçluklardan degişli elementleri tapmagy başarmak; üçburçluklaryň meňzeşlik nyşanlaryny subut etmäge we hasaplamaga degişli meseleleri çözmekde ulanmagy başarmak; gomotetiýadan peýdalanyp meňzeş köpburçluklary gurmak. 7

18 5 KÖPURÇLUKLRYŇ MEŇZEŞLIGI a) b) 3 3 Gündelik durmuşda deň figuralardan daşary şekli (görnüşi) bir meňzeş, ýöne ölçegleri dürlüçe bolan figuralara köp duşýarsyňyz. Taryh we geografiýa ylymlarynda dürli masştabda işlenen kartalardan peýdalanýarsyňyz. Respublikamyzyň synp doskasyna asylýan we derslikde şekillendirilen kartalary dürli ölçegde, ýöne olar bir hili şekilde (görnüşde). Şonuň ýalyda, bir fotolentadan dürli ölçegdäki fotosuratlar taýýarlanýar. u suratlaryň ölçegleri dürlüçe bolsa-da, birmeňzeş görnüşde, ýagny olar birbirine meňzeýär (-nji surat) -nji gönükme. -nji suratda dört sany romb şekillendirilen. Olardan diňe d) we e) romblar birmeňzeş görnüşe eýe. u romblar nämesi bilen başga romblardan tapawutlanýar? Geliň, şuny bilelikde anyklalyň.. Suratdan görnüşi ýaly, =3, =. Rombyň taraplary deň bolany üçin, deňligi alýarys. u ýagdaýda romblaryň degişli taraplary proporsional diýilýär. ç) d). we romblaryň degiş li burçlary özara deň. Hakykatdan hem, = = 45, = = 35, = = 45, = = 35. Şeýlelikde, bu romblaryň bir-birine meňzeşliginiň sebäbi degişli taraplarynyň proporsionallygy we degişli burçlarynyň deňligi diýip bileris. Islendik köpburçluklaryň meňzeşligi düşünjesi hem şu esasda girizilýär. urçlarynyň sany bir hili (diýmek, taraplarynyň sany hem bir hili) bolan köpburçluklara bir atly köpburçluklar diýilýär. Iki sany bir atly E we E köpburçluklaryň burçlary ynha şu tertibde deň bolsun: =, =, =, =, E= E. eýle burçlara degişli burçlar diýilýär. Onda, we, we, we, E we E, E we E taraplara degişli taraplar diýilýär

19 Kesgitleme. ir atly köpburçluklardan biriniň burçlary ikinjisiniň burçlaryna degişlilikde deň, degişli taraplary bolsa proporsional bolsa, beýle köpburçluklar meňzeş köpburçluklar diýlip atlandyrylýar (3-nji surat). Köpburçluklaryň meňzeşligi belgisi bilen görkezilýär. 3 F F egişli burçlar deňdirler =, =, =, =, E= E = = = E = E =k E E egişli taraplar proporsionaldyr F E F E Meňzeş köpburçluklaryň degişli taraplarynyň gatnaşygyna deň bolan sana meňzeşlik koeffisiýenti diýilýär. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Meňzeş köpburçluklaryň kesgitlemesini aýdyň.. Meňzeşlik koeffisiýenti näme we ol nähili anyklanýar? 4 3. Eger we EF üçburçluklarda =05, =35, E =05, F =40, = 4,4 sm, = 5, sm, = 7,6 sm, E =5,6 sm, F =,8 sm, EF = 3, sm bolsa, olar meňzeş bolarmy? 4. -nji suratda şekillendirilen a) we b) romblar näme sebäpden meňzeş däl? b) we d) romblar näme? 5 3 O nji suratdaky O we O üçburçluklar meňzeş bolsa,, O kesimleriň uzynlygyny we meňzeşlik koeffisiýentini tapyň njy suratda. = 4, = 8, = 30, = 54, = 54., we kesimleri tapyň. 7*. Goý, üçburçlugyň we taraplarynyň ortalary degişlilikde P we Q bolsun. PQ bolýandygyny subut ediň. 9

20 6 MEŇZEŞ ÜÇURÇLUKlar WE OlarYŇ HÄSIÝETLERI Iň ýönekeý köpburçluk bolan üçburçluklaryň meňzeşligini öwrenýäris. Teorema. Iki sany meňzeş üçburçlugyň perimetrleriniň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentine deň. Şu teoremany özbaşdak subut ediň. Teorema. Iki sany meňzeş üçburçlugyň meýdanlarynyň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentiniň kwadratyna deň. (-nji a surat), k meňzeşlik koeffisiýenti Subudy. Teoremanyň şertine görä, S :S =k. iýmek, köpbuçluklaryň meňzeşligi kesgitlemesine görä, =, =, = we. a) b) F ( E ) = bolýandygyndan peýdalanyp, olary -nji b suratdaky ýaly üstme-üst goýýarys we degişli gurmak hem-de belgilemeleri amala aşyrýarys. şakdaky üçburçluklaryň meýdanlaryny tapýarys we olaryň gatnaşyklaryna garaýarys: S =. E ; S =. E ; => S = (), S S =. F ; S =. F ; S => = S () deňligi () deňlige bölsek, deň burça eýe bolan üçburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy üçin (3) deňligi alarys. (). (3) 0

21 u ýerde şerte görä, bolýandygyny hasaba alsak, gelip çykýar. Teorema subut edildi. -nji mesele. Meňzeş üçburçluklaryň degişli taraplarynyň gatnaşygy şu taraplara geçirilen beýiklikleriň gatnaşygyna deňdigini subut ediň ( -nji surat).,, beýiklikler = Çözülişi. erlen üçburçluklaryň meňzeşlik koeffisiýenti k bolsun. Onda, : = k; S : S =k () bolýar. Ikinji tarapdan,. () () we () deňliklerde ýa-da. Şeýlelikde, gatnaşyk hem, gatnaşyk hem, k -ga deň, ýagny. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Meňzeş üçburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy baradaky teoremany aýdyň we subut ediň.. Iki sany meňzeş we üçburçluklar berlen. Eger S = 5 sm we S = 8 sm bolsa, meňzeşlik koeffisiýentini tapyň. 3. Iki sany meňzeş üçburçlugyň meýdanlary 65 m we 60 m. irinji üçburçlugyň bir tarapy 6 m bolsa, ikinji üçburçlugyň oňa degişli tarapyny tapyň. 4. erlen üçburçlugyň taraplary 5 sm, 5 sm we 30 sm. Eger perimetri 35 sm bolan üçburçluk berlen üçburçluga meňzeş bolsa, onuň taraplaryny tapyň. 5. we bu üçburçluklaryň degişli taraplarynyň gatnaşygy 7:5 -e deň. Eger üçburçlugyň meýdany üçburçlugyň meýdanyndan 36 m -a artyk bolsa, şu üçburçluklaryň meýdanlaryny tapyň nji suratdaky üçburçluklaryň meňzeş ýa-da meňzeş däldigini anyklaň. 7. Iki meňzeş üçburçlyklaryň perimetrleriniň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentine deňdigini subut ediň F E

22 7 ÜÇURÇLUKLRYŇ MEŇZEŞLIGINIŇ birinji NYŞNY Ugrukdyryjy gönükme -nji suratda şekillendirilen üçburçluklardan meňzeşlerini anyklaň. Olaryň meňzeşdigini nähili anykladyňyz? Kesgitlemä görä, iki üçburçlugyň meňzeşligini anyklamak üçin olaryň burçlarynyň deňdigini we degişli taraplarynyň proporsionaldygyny barlamaly bolýar. Üçburçluklar üçin bu iş epesli aňsatlaýan eken. şakda getirilýän teoremalar şu barada bolup, olar üçburçluklaryň meňzeşliginiň nyşanlary diýlip atlandyrylýar. Teorema. (Üçburçluklaryň meňzeşliginiň nyşany). Eger bir üçburçlugyň iki burçy ikinji üçburçlugyň iki burçuna degişlilikde deň bolsa, beýle üçburçluklar meňzeş bolýar (-nji surat).,, =, = Subudy.. Üçburçlugyň içki burçlarynyň jemi hakyndaky teorema görä, =80 ( + ), = =80 ( + ) ИЦиИ iýmek, we üçburçluklaryň burçlary degişlilikde deň.. Şerte görä, =, =. eň burça eýe bolan üçburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy baradaky teorema görä we. u deňlikleriň sag böleklerini deňläp, birmeňzeş agzalar gysgaldylsa, deňlik emele geler. Edil şunuň ýaly = we = deňliklerden peýdalanyp, deňligi alarys. Şeýlelikde, we üçburçluklaryň burçlary deň we degişli taraplary proporsional, ýagny bu üçburçluklar meňzeşdirler. Teorema subut edildi.

23 Mesele. üçburçlugyň iki tarapyny kesip geçýän we üçünji tarapyna parallel bolan E göni çyzyk üçburçlukdan oňa meňzeş üçburçlugy bölüp aýyrýandygyny subut ediň (3-nji surat). Subudy. we E üçburçluklarda umumy, = E ( we E parallel göni çyzyklary kesiji bilen kesende emele gelen degişli burçlaryň deň bolýandygy üçin) (3-3 nji surat). iýmek, üçburçluklaryň meňzeşliginiň nyşanyna görä, E E. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Üçburçluklaryň meňzeşliginiň kesgitlemesini we nyşanyny özara deňeşdiriň.. Üçburçluklaryň meňzeşliginiň nyşanyny subut ediň. 3. Suratdaky maglumatlar esasynda x -i tapyň. a) b) ç) x 4 x x Suratdaky maglumatlar esasynda x -i tapyň. a) b) ç) x x x 6 5. parallelogramyň tarapynda E nokat alnan. E we şöhleler F nokatda kesişýär. a) Eger E = 8 sm, E = 4 sm, = 7 sm, E = 0 sm bolsa, EF we F -ni; b) Eger = 8 sm, = 5 sm, F = sm bolsa, E we E -ni tapyň. 6. Suratda trapesiýa berlen. Suratdaky maglumatlar esasynda x -i tapyň. a) 4 b) 3 ç), x x 0 x 7 7*. ir ýiti burçlary deň bolan iki gönüburçly üçburçluklaryň meňzeşdigini subut ediň. 8*. üçburçlugyň tarapynda nokat alnan. Eger = bolsa, we üçburçluklaryň meňzeşdigini subut ediň. Şonuň ýaly-da, 3 = 4 we = 9 sm bolsa, kesimi tapyň. 3

24 8 ÜÇURÇLUKLRYŇ MEŇZEŞLIGINIŇ IkinJi NYŞNY Teorema. (Üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşany). Eger bir üçburçlugyň iki tarapy ikinji üçburçlugyň iki tarapyna proporsional we şu taraplaryň emele getiren burçlary deň bolsa, bu üçburçluklar meňzeşdirler (-nji surat).,, =, = Subudy. =, = bolýan edip üçburçlugyny gurýarys (-nji surat). Ol nyşany boýunça üçburçluga meňzeş bolýar. ( ) (şerte görä). u iki deňlikden, = bolýandygyny anyklaýarys. Onda, üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşanyna görä, =. Hususan-da, =. Emma gurmaga görä, = -di. iýmek, =. Onda, = we = bolýandygy üçin, üçburçluklaryň meňzeşliginiň nyşanyna görä,. Teorema subut edildi. Mesele. we kesimler O nokatda kesişýär, O = sm, O =4 sm, O =30 sm, O =0 sm bolsa, O we O üçburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň. Çözülişi: Şerte görä, 3. O iýmek, O üçburçlugyň iki tarapy O üçburçlugyň iki tarapyna proporsional we şu taraplaryň arasyndaky degişli burçlar wertikal burçlar bolany üçin: O = O. Şonuň üçin, üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşanyna görä, O = O. Şonuň üçin, üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşanyna görä, O 4

25 O we meňzeşlik koeffisiýenti k= =3. Indi meňzeş üçburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy hakyndaky teoremany ulanýarys: = k =9. Jogaby: 9. 3 a) 4 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Üçburçluklaryň meňzeşliginiň kesgitlemesini we TT O nyşanyny özara deňeşdiriň. 3. Üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşanyny subut,5 ediň. 3. epesindäki burçlary deň bolan deňýanly üçburçluklaryň b) 3 meňzeşligini a) ; b) TT nyşanyndan peýdalanyp subut ediň nji suratda şekillendirilen O we O üçburçluklar meňzeş bolarmy? Eger meňzeş bolsa, bu üçburçluklaryň O perimetriniň gatnaşygyny tapyň. 5,5 3,5 5. we şöhleler O nokatda kesişýär. Eger O :O =O : O =3, = 7 sm bolsa, kesimi ç) hem-de O we O üçburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň we üçburçluklarda =, : = : = 4:3. a) Eger kesim den 5 sm artyk bolsa, we O 5 4,6 taraplaryny tapyň. b) Eger kesim dan 6 sm kem bolsa, we taraplaryny tapyň. ç) Eger berlen üçburçluklaryň meýdanlarynyň jemi 400 sm bolsa, üçburçlugyň hersiniň meýdanyny tapyň. 7. Eger bir gönüburçly üçburçlugyň katetleri ikinji gönüburçly üçburçlugyň degişli katetlerine proporsional bolsa, bu üçburçluklaryň meňzeşdigini subut ediň. 8. üçburçlukda = 5 m, = 0 m, = 3 m. Üçburçlugyň tarapyna =9 m kesim, tarapyna bolsa E= m kesim goýuldy. E kesimi tapyň. 9. Katetleri 3 dm we 4 dm bolan gönüburçly üçburçluk bilen bir kateti 8 dm we gipotenuzasy 0 dm bolan gönüburçly üçburçlugyň meňzeşdigini subut ediň. 0*. kesim we l göni çyzyk O nokatda kesişýär. l göni çyzyga we perpendikulýarlar inderilen. Eger = sm, O = 4 sm we O = 3 sm bolsa,, O we kesimleri tapyň. 5

26 9 ÜÇURÇLUKLRYŇ MEŇZEŞLIGINIŇ ÜÇÜnJi NYŞNY Teorema. (Üçburçluklaryň meňzeşliginiň TTT nyşany). Eger bir üçburçlugyň üç tarapy ikinji üçburçlugyň üç tarapyna degişlilikde proporsional bolsa, bu üçburçluklar meňzeşdirler.,, = = (-nji surat) E Subudy. üçburçlugyň tarapynda = bolýan edip nokady belleýäris. nokatdan tarapa parallel edip geçirilen göni çyzyk tarapy E nokatda kessin. Onda üçburçluklaryň meňzeşliginiň nyşanyna görä, E we meňzeş bolýar. u ýagdaýda teoremanyň şertine we kesgitlemä görä: we. Emma gurmaga görä, =. Onda ýokardaky deňliklerden, =E deňlik emele gelýär. Şeýdip, üçburçluklaryň deňliginiň TT nyşanyna görä, E we deň we E. iýmek,. Teorema subut edildi. Mesele. Eger iki sany deňýanly üçburçlukdan biriniň esasy we gapdal tarapy ikinjisiniň esasyna we gapdal tarapyna proporsional bolsa, şu üçburçluklaryň meňzeşdigini subut ediň., =,, =, = Subudy. erlen =, = deňlikler we = gatnaşykdan = = deňlikleri alýarys. iýmek, üçburçluklaryň meňzeşliginiň TTT nyşanyna görä,. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Üçburçluklaryň meňzeşliginiň TTT nyşanyny aýdyň we subutyny beýan ediň.. =4 sm, = sm, = 3 sm, = 8 sm, = sm, = 6 sm -digi mälim. we üçburçluklar meňzeş bolarmy? 3. -nji suratdaky meňzeş üçburçluklaryň jübütlerini görkeziň. 6

27 4. trapesiýanyň we gapdal taraplary dowam etdirilse, E nokatda kesişýär. Eger = 5 sm, =0 sm, = 6 sm, =5 sm bolsa, E üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 5. Trapesiýanyň esaslary 6 sm we 9 sm, beýikligi 0 sm. Trapesiýanyň diagonallarynyň kesişýän nokadyndan esaslaryna çenli bolan aralyklary tapyň. 6. Islendik iki sany deňýanly üçburçlugyň meňzeş bolýandygyny subut ediň. 7. Esasy sm, beýikligi 8 sm bolan deňýanly üçburçlugyň içinden çyzylan kwadrat, onuň iki depesi üçburçlugyň esasynda, galan iki depesi bolsa gapdal taraplarda ýatar ýaly edilip çyzylan. Kwadratyň tarapyny tapyň. 8*. Ýiti burçly üçburçlugyň we beýiklikleri geçirilen. bolýandygyny subut ediň. 9. Iki sany meňzeş üçburçluklaryň meýdanlary 6 we 4 deň. Olardan biriniň perimetri ikinjisiniňkiden 6-a artyk. Uly üçburçlugyň perimetrini tapyň. a) b) ç),5 3,5 d) 3,5 0 8 e) Taryhy maglumatlar. u waka eramyzdan öňki VI asyrda bolup geçipdir. Şol wagtda grekler geometriýa bilen meşgullanmandyrlar diýen ýalydy. Grek filosofy Fales Müsüriň ylmy bilen tanyşmak üçin şol ýere barýar. Müsürliler oňa kyn mesele berýärler: ullakan piramidalardan biriniň beýikligini nähili hasaplamak mümkin? Fales bu meseläniň sada we ajaýyp çözüwini tapýar. Ol taýajygy ýere kakyp şeýle diýipdir: Haçan-da şu taýajygyň kölegesiniň uzynlygy taýajygyň uzynlygy bilen deň bolsa, piramidanyň kölegesiniň uzynlygy piramidanyň beýikligi bilen deň bolýar. Falesiň pikirini esaslandyrmaga synanyşyň! Gün şöhlesi E 7

28 0 GÖNÜURÇLY ÜÇURÇLYKLRYŇ MEŇZEŞLIK NYŞNLRY Mälim bolşy ýaly, gönüburçly üçburçluklaryň burçlary bir sanydan göni burçdan ybarat bolýar. Şonuň üçin beýle üçburçluklaryň meňzeşlik nyşanlary ep-esli ýönekeýleşýär. -nji teorema. Gönüburçly üçburçluklaryň ýiti burçy bir sanydan degişlilikde deň bolsa, onda olar meňzeşdirler. -nji teorema. Gönüburçly üçburçluklaryň katetleri degişlilikde proporsional bolsa, onda olar meňzeşdirler. 3-nji teorema. Gönüburçly üçburçluklardan biriniň gipotenuzasy we kateti ikinjisiniň gipotenuzasy we katetine degişlilikde proporsional bolsa, onda olar meňzeşdirler. u nyşanlaryň birinji ikisiniň dogrudygy öz-özünden aýdyňdyr. Geliň üçünji nyşany subut edeliň.,, =90, = 90, = Subudy. üçburçlugyň tarapyna E = = bolýan edip kesimi goýýarys we E -ni geçirýäris (-nji surat). Onda üçburçluklaryň meň zeşliginiň nyşanyna görä E we meň zeş bolýar. Meňzeş üçburçluklaryň degişli tarap larynyň proporsionallygyndan:. E Gurmaga görä E =. iýmek, () deňlik dogry. aşga tarapdan, teoremanyň şertine görä, = () () we () deňliklerden E = bolýandygyny anyklaýarys. we E üçburçluklara garalyň. Olarda:. E = (gurmaga görä),. E = (subut edilen deňlik). Gönüburçly üçburçluklaryň bir sanydan kateti hem-de gipotenuzasy boýunça deňlik nyşanyna görä = E. Ikinji tarapdan bolsa E. Onda bolýar. Teorema subut edildi. 8

29 Mesele. Eger iki sany deňýanly üçburçlukdan biriniň gapdal tarapy we beýikligi ikinjisiniň gapdal tarapy we beýikligine proporsional bolsa, bu üçburçluklaryň meňzeşdigini subut ediň (-nji surat). Subudy. Gönüburçly we üçburçluklara seredýäris. Şerte görä, olaryň bir sanydan kateti we gipotenuzasy özara proporsional. iýmek, 3-nji teorema esasan. Onda. eňýanly üçburçlugyň esasynda düşürilen beýikligiň bissektrisa hem bolýandygyny hasaba alsak, = = = bolýar. Netijede, we üçburçluklarda = we deňliklere eýe bolýarys. iýmek, üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşanyna görä,. Teorema subut edildi. 3 a) 38 b) 4 5 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Gönüburçly üçburçluklaryň meňzeşlik nyşanlaryny aýdyň we subut ediň. ç) e). 3-nji suratdan meňzeş üçburçluklary tapyň. 3. Katetleri 3 m we 4 m bolan gönüburçly üçburçluga 0 meňzeş üçburçlugyň bir kateti 7 m bolsa, ikinji kateti näçe m bolýar? Meýdanlary m we 84 m bolan iki gönüburçly d) ä) üçburçluklar meňzeş. Eger birinji üçburçlugyň bir kateti 3 6 m bolsa, ikinji üçburçlugyň katetlerini tapyň ir töweregiň içinde iki sany meňzeş gönüburçly üçburçluk çyzylan. Şu üçburçluklaryň deňligini subut 0 ediň. 6*. Katetleri 0 sm we sm bolan gönüburçly üçburçluga bir burçy umumy bolan kwadrat içinden çyzylan. Eger kwadratyň bir depesi gipotenuzadadygy belli bolsa, kwadratyň tarapyny tapyň. 7*. üçburçluk berlen. Oňa EF romb içinden şeýle çyzylan, ýagny, E we F nokatlar degişlilikde üçburçlugyň, we taraplarynda ýatýar. Eger = c, = b bolsa, rombyň tarapyny tapyň. 9

30 MEŇZEŞLIK NYŞNLRYNYŇ SUUT ETMäGE EGIŞLI MESELELERE ULNYLYŞY E -nji mesele. Meňzeşlikden peýdalanyp, üçburçlugyň bissektrisasy özi çykan depäniň garşysyndaky tarapy galan iki tarapa proporsional kesimlere bölýändigini subut ediň. F, bissektrisa (-nji surat) = Çözülişi. göni çyzyga E we F perpendikulýarlar düşürýäris. Onda, F = E bolany üçin F we E gönüburçly üçburçluklar meňzeşdirler. Meňzeş üçburçluklaryň degişli taraplarynyň proporsionallygyndan Şuňa meňzeş F E. F E. () () -nji we -nji deňlikleri deňeşdirsek, ýa-da bolýar. u we kesimler we kesimlere proporsionaldygyny aňladýar. 30 P -nji mesele. üçburçlugyň bissektrisasy üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregi we P nokatlarda kesýär. P bolýandygyny subut ediň (-nji surat). Çözülişi. P we -da:. = P şerte görä;. = P çünki olar bir duga direlýär. iýmek, üçburçluklaryň meňzeşliginiň nyşanyna görä, P. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Üçburçlugyň bissektrisasy özi çykan depesiniň garşysyndaky tarapda bölen kesimleri we üçburçlugyň taraplarynyň arasyndaky proporsionallygy ýazyp görkeziň.. gönüburçly üçburçlugyň göni burçundan beýiklik geçirilen. = bolýandygyny subut ediň. Emele gelen şekilde näçe sany özara meňzeş üçburçluklary görkezip bilersiňiz?

31 3. 3-nji suratdaky maglumatlar esasynda x -i tapyň. 4. üçburçluklaryň bissektrisasy geçirilen. Eger = 4,5 m; = 3,5 m we üçburçlugyň perimetri 4 m bolsa, onuň we taraplaryny tapyň. 5. üçburçlugyň medinalary N nokatda kesişýär. Eger üçburçlugyň meýdany 87 dm bolsa, N üçburçlugyň meýdany nämä deň? 6. üçburçlugyň mediananalarynyň kesişen N nokadyndan we taraplara çenli bolan aralyklar degişlilikde 3 dm we 4 dm. Eger =8 dm bolsa, tarapy hasaplaň. 7*. Trapesiýanyň esasyna parallel göni çyzyk gapdal taraplaryndan birini m:n gatnaşykda bölýändigi mälim. u göni çyzyk onuň ikinji gapdal tarapyny nähili gatnaşykda bölýär? 3 a) b) ç) 7 x x 9 7,5 4,5 5 x 7 x Gyzykly meseleler. Geometriýa we iňlis tili. şakda iňlis dilinde berlen geometrik meseläni çözmäge synanyşyň! u bilen hem iňlis dilinden, hem geometriýadan nähili bilimiňiziň bardygyny synarsyňyz. ) issection Puzzle: Let M be the mid-point of the side of a given triangle. The triangle has been dissected into parts X, Y, Z along the lines MN and MK passing through M such that MN is parallel while MK is perpendicular to the base (picture 4). Show how the three pieces can be fitted together to make a rectangle, respectively two different parallelograms. ) Look at the picture 5 and proof = X M K Y Z N 3 3

32 MESELELER ÇÖZMEK -nji mesele. Üçburçluklaryň meňzeşliginden peýdalanyp üçburçlugyň orta çyzygy üçburçlugyň bir tarapyna parallel we şu tarapyň ýarysyna deňdigini subut ediň.,mn orta çyzyk (-nji surat): M=M, N = N MN, MN = Çözülişi. we MN üçin: M N umumy,. Şonuň üçin, üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşanyna görä, bu iki üçburçluk meňzeş. Indi pikir ýöretmäni ynha şeýle dowam etdirýäris: MN,, -nji mesele. Eger esaslary we bolan trapesiýanyň diagonaly ony iki sany meňzeş üçburçluga bölse, =. bolýandygyny subut ediň. trapesiýa,, (-nji surat) =. Çözülişi. -nji ädim. we üçburç luklaryň burçlaryny deňeş dir ýä ris. =, çünki bu burçlar içki çalşylýan burçlardyr., çünki trapesiýa (tersine bolanda, + = + =80, ýagny bolup, trapesiýa bolman galardy. Ol ýagdaýda, = we =. -nji ädim. Indi we üçburçlugyň degişli taraplarynyň gatnaşygyny ýazýarys:, mundan =.. 3

33 Soraglar, meseleler we ýumuşlar 3. a) oýy 70 sm bolan adamyň kölegesiniň uzynlygy a) m bolsa, beýikligi 5,4 m bolan elektrik geçiriji sütüniň E kölegesiniň uzynlygyny tapyň. b) Iki sany deňýanly üçburçlugyň depesindäki burçlary deň. irinji üçburçlugyň gapdal tarapy 7 sm, esasy 0 sm-e, ikinji üçburçlugyň esasy 8 sm -e K deň. Ikinji üçburçlugyň gapdal tarapyny tapyň.. 3-nji suratdaky her bir çyzgydan meňzeş üçburçluklary görkeziň. 3. üçburçlugyň P medianasy tarapa parallel b) we uçlary we taraplarda ýatan islendik kesimi deň ýarpa bölýändigini subut ediň. 4. Üçburçlugyň depeleriniň onuň orta çyzygyny öz içine alan göni çyzykdan deň aralykda ýatýandygyny subut ediň. 5. Töweregiň içinden çyzylan dörtburçlugyň ç) E F diagonallary O nokatda kesişýär. O O bolýandygyny subut ediň. 6. üçburçlugyň içki çäginde O nokat we O, O, K O şöhlelerde degişlilikde E, F, K nokatlar alnan (4- nji surat). Eger EF we FK bolsa, we 4 K EFK üçburçluklaryň meňzeşdigini subut ediň. 7*. Trapesiýanyň diagonallary kesişme nokadyndan geçýän göni çyzyk trapesiýanyň esaslaryndan birini m :n gatnaşykda bölýär. u göni çyzyk ikinji esasy nähili gatnaşykda bölýär? O 8. Eger üçburçlugyň meýdany S -e deň bolsa, 5-nji À suratda x bilen belgilenen çägiň meýdanyny tapyň. E F F 5 a) b) ç) x x x 33

34 3 34 ILIMIŇIZI SYNŇ I. Testler. şakdaky kesgitlemelerden haýsy biri dogry? ) Iki üçburçlugyň burçlary degişlilikde deň bolsa, olar meňzeş diýilýär; ) Iki üçburçlugyň taraplary degişlilikde deň bolsa, olar meňzeş diýilýär; Ç) Iki üçburçlugyň degişli taraplary proporsional we degişli burçlary deň bolsa, olar meňzeş diýilýär; ) Iki üçburçlugyň degişli taraplary we degişli burçlary deň bolsa, olar meňzeş diýilýär.. Iki sany meňzeş üçburçlugyň meýdanlarynyň gatnaşygy nämä deň? ) Meňzeşlik koeffisiýentine; ) Olaryň degişli taraplarynyň gatnaşygyna; Ç) Olaryň perimetrleriniň gatnaşygyna; ) Meňzeşlik koeffisiýentiniň kwadratyna. 3. şakdaky tassyklamalardan haýsysy dogry: ) Üçburçluklardan biriniň iki burçy ikinjisiniň iki burçuna deň bolsa, onda olar meňzeşdirler; ) Üçburçluklardan biriniň iki tarapy ikinjisiniň iki tarapyna deň bolsa, onda olar meňzeşdirler; Ç) Iki üçburçlugyň bir sanydan burçlary deň we iki sanydan taraplary proporsional bolsa, onda olar meňzeşdirler; ) Iki üçburçlugyň bir sanydan burçlary deň we bir sanydan taraplary proporsional bolsa, onda olar meňzeşdirler. 4. ogrusyny tapyň. Eger iki üçburçluk meňzeş bolsa, onda olaryň ) eýiklikleri deň bolýar; ) Taraplary proporsional bolýar; Ç) Taraplary deň bolýar; ) meýdanlary deň bolýar. 5. Meňzeş üçburçluklaryň perimetrleriniň gatnaşygy nämä deň? ) egişli taraplaryň gatnaşygynyň kwadratyna; ) Meňzeşlik koeffisiýentine; Ç) Meňzeşlik koeffisiýentiniň kwadratyna; ) Meýdanlarynyň gatnaşygyna. II. Meseleler. üçburçlugyň we taraplarynyň ortalary degişlilikde E we F nokatlar bolsun. Eger EF üçburçlugyň meýdany 3 sm bolsa, üçburçlugyň meýdanyny tapyň.. üçburçlugyň tarapyna parallel göni çyzyk we taraplary degişlilikde N we P nokatlarda kesýär. Eger N = 4, N = 3, P = 3,6 bolsa, tarapy tapyň.

35 3. Ýiti burçly üçburçlugyň tarapynda K nokat alnan. Eger K = 3, K= we üçburçlugyň beýikligi 4 -e deň bolsa, K nokatdan kesime çenli bolan aralygy tapyň. 4. parallelogramyň tarapynyň arasyndaky K nokatdan geçirilen K şöhle bilen şöhle F nokatda kesişýär. Eger = 4, K= 5 we =5 bolsa, KF üçburçlugyň perimetrini hasaplaň. 5. üçburçluk içki çäginde alnan O nokatdan we taraplara parallel göni çyzyklar geçirilen. u göni çyzyklar tarapy degişlilikde P we Q nokatlarda kesýär. Eger PQ =, = 7 we üçburçlugyň meýdany 98 -e deň bolsa, POQ O üçburçlugyň meýdanyny anyklaň. 6. trapesiýanyň we esaslarynda P Q degişlilikde K we L nokatlar alnan. KL kesim K trapesiýanyň diagonallarynyň kesişýän nokadyndan geçýär. Eger L = 4, L = 5 we K = bolsa, K kesimi tapyň. O 4 L 5 III. Özüňizi synaň (barlag işiniň nusgasy). trapesiýanyň diagonaly ony meňzeş we üçburçluklara bölýär. Munda = 4 m, = 9 m bolsa, diagonalyň uzynlygyny hasaplaň.. Iki sany meňzeş üçburçlugyň meýdany 50 dm we 3 dm, olaryň perimetrleriniň jemi 7 dm bolsa, her bir üçburçlugyň perimetrini tapyň. 3. Suratda şekillendirilen üçburçluklaryň meňzeşligini subut ediň. we F göni çyzyklaryň özara ýerleşişi barada näme diýip bilersiňiz? 4. (Goşmaça). Ýiti burçly üçburçlugyň we E beýiklikleri geçirilen.. = E. bolýandygyny subut ediň., F 0 0 E 35

36 4 F GEOMETRIK FIGURLRYŇ MEŇZEŞLIGI F * Öňki sapaklarda köpburçluklaryň meňzeşligi düşünjesi bilen tanyşdyk. u düşünjäni diňe bir köpburçluklar üçin däl, eýsem islendik geometrik figuralar üçin hem girizmek mümkin. Eger F we F * figuralar berlen bolup, F figuranyň her bir nokadyna F * figuranyň käbir nokady laýyk goýlan bolsa we şonda F * figuranyň her bir nokadyna F figuranyň diňe bir nokady gabat gelse, (-nji surat). F figura F * figura öwrülen diýilýär. Kesgitleme. Eger F figurany F * figura öwürmekde nokatlaryň arasyndaky aralyklar bir meňzeş özgerse, şeýle öwrülmä meňzeşlik özgertmesi diýilýär (-nji surat). F F * u kesgitlemäni aşakdaky ýaly düşündirmek bolar: ýdaly, käbir özgertme netijesinde F figuranyň erkin X, Y X Y X * nokatlaryna F * figuranyň X *, Y * nokatlary gabat goýlan bolsun. Eger X*Y *=k. XY, k>0 bolsa, şeýle özgertmä meňzeşlik özgertmesi diýilýär. u ýerde k meňzeşlik F Y * koeffisiýenti diýlip atlandyrylýar. F * Eger F we F * figuralar berlen bolup, bu figuralaryň X *Y* = kxy birini ikinjisine öwürýän meňzeşlik özgertmesi bar bolsa, k meňzeşlik koeffisiýenti F we F * figuralar özara meňzeş diýilýär. Figuralaryň meňzeşligi F F * ýaly ýazylýar. Eger meňzeşlik koeffisiýenti k -ny hem görkezmek gerek bolsa, F F * ýaly hem belgilenýär. Eger meňzeş özgetmede X nokada X * nokat laýyk goýlan bolsa, X nokat X * nokada öwrüldi ýa-da geçdi diýilýär. Teorema. Meňzeşlik özgertmesini a) göni çyzygy göni çyzyga; b) şöhläni şöhlä; ç) burçy (onuň ululygyny saklamak bilen) burça; d) kesimi (uzynlygy bu kesimden k esse uzyn bolan) kesime öwürýär. Subudy. a) Meňzeşlik koeffisiýenti k bolan özgertmede 3 Z* Z bir göni çyzykda ýatýan dürli X, Y we Z nokatlar degişlilikde Y Y* X *, Y * we Z * nokatlara öwrülsin (3-nji surat). X, Y, Z nokatlardan biri, aýdaly, Y galan ikisiniň X arasynda ýatsyn. Onda XZ = XY + YZ. Meňzeş özgertme X* kesgitlemesine görä: 36

37 X*Z *=k XZ=k (XY+YZ )=k XY+ k YZ= X*Y*+Y*Z *. u deňlikden X*, Y * we Z* nokatlaryň bir göni çyzykda ýatýandygy gelip çykýar. Teoremanyň subudyny diňe a) ýagdaý üçin getirdik. Galan ýagdaýlarda ony subut etmegi size gönükme hökmünde galdyrýarys. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Meňzeşlik özgertmesi näma?. Nähili figuralara meňzeş figuralar diýilýär? 3. Ini 3 sm, boýy 4 sm bolan gönüburçluga meňzeş, meňzeşlik koeffisiýenti -ä deň bolan dörtburçluk guruň nji suratda mekdep howlusynyň shemasy :000 masştabda şekillendirilen. Ölçeg işlerini ýerine ýetirip, a) howlynyň; b) mekdep jaýynyň; ç) gülzarlaryň; d) sport meýdançasynyň; e) bagyň hakyky ölçeglerini tapyň. 5. Eger karta :50000 masştabda şekillendirilen bolsa (5-nji surat), bat we zatlyk obalarynyň merkezleriniň arasyndaky aralygy tapyň. 6. Meňzeşlik özgertmesinde şöhleleriň arasyndaky burçuň saklanýandygyny subut ediň. 7*. Meňzeşlik özgertmede a) parallelogram parallelograma; b) kwadrat kwadrata; ç) gönüburçluk gönüburçluga; d) romb romba; e) trapesiýa trapesiýa öwrülýändigini subut ediň. 8*. üçburçlugyň meňzeşlik özgertmesinde * * * üçburçluga öwrülýär. Eger meňzeşlik koeffisiýenti 0,6 -a we üçburçlugyň perimetri sm -e deň bolsa, ** * üçburçlugyň perimetrini tapyň njy suratdan meňzeş gönüburçlaryň jüfütliklerini tapyň we meňzeşlik koeffisiýentlerini anyklaň. sm 4 5 sm 6 a) 6 ag Gülzar bat obasy b) 6 3 Mekdep jaýy ç) 3 d) 3,5 Sport meýdançasy stansiýa Gülzar zatlyk obasy e)

38 5 MEŇZEŞ KÖPURÇLUKLRYŇ HÄSIÝETLERI -nji teorema. Meňzeş köpburçluklaryň perimetrleriniň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentine deňdir. Subudy. Hakykatdan hem,... n we... n köpburçluklar meňzeş we meňzeşlik koeffisiýenti k bolsa, =k, 3 =k 3,..., n =k n bolýar. Mundan P= n = k +k k n =k ( n )=k P deňligi alarys. Teorema subut edildi. -nji teorema. Meňzeş köpburçluklary bir meňzeş sandaky meňzeş üçburçluklara bölmek mümkin. E şerte görä =,. E Subudy. ýdaly, E we E köpburçluklar meňzeş bolup, meňzeşlik koeffisiýenti k bolsun. Özara laýyk we depelerden, E we, E diagonallary geçirýäris. Netijede köpburçluklar bir meňzeş sandaky üçburçluklara bölündi. Emele gelen üç jübüt degişli üçburçluklaryň meňzeşligini görkezýäris... Çünki, bu üçburçluklarda,. Üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşanyna görä. E E.u meňzeşlik -nji punktdaky ýaly subut edilýär. 3. E E. Hakykatda, E we E burçlara garaýarys: E = E, E = E. u ýerde, E = E (berlen meňzeş bäşburçluklaryň degişli burçlary). = (meňzeş we üçburçluklaryň degişli burçlary).iýmek, E = E. we E hem-de we E taraplara garaýarys: = k, çünki olar özara meňzeş we üçburçluklaryň degişli taraplary, E = k E, çünki olar hem berlen meňzeş bäşburçluklaryň degişli taraplarydyr. iýmek, üçburçluklaryň meňzeşliginiň TT nyşanyna görä E E. Islendik meňzeş köpburçluklar üçin hem şular ýaly pikir ýöretmeleriň ýerlikli bolýandygy aýan. Teorema subut edildi. 38

39 3-nji teorema. Meňzeş köpburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentiniň kwadratyna deňdir. Subudy. ýdaly,... n we... n köpburçluklar meňzeş we k meňzeşlik koeffisiýenti bolsun. Onda 3, 3 4,..., n- n üçburçluklar degişlilikde 3, 3 4,..., n- n üçburçluklara meňzeş bolup, meňzeş üçburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy k -a deň bolýar. (-nji surat): n S 3 = k S 3, S 3 4 =k S 3 4,..., S n- n = k S n- n. u deňlikleriň degişli böleklerini goşsak, S... n = k S... n bolýar. Teorema subut edildi. 3 4 n- 3 4 n n- Mesele. Perimetrleri 8 sm we 4 sm bolan iki sany meňzeş köpburçlugyň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň. Çözülişi. ) Meňzeş köpburçluklaryň perimetrleriniň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentine deňliginden peýdalanyp, k =4 :8 = 4 :3 bolýandygyny tapýarys. ) Meňzeş köpburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy meňzeşlik koeffisentiniň kwadratyna deň bolany üçin gözlenýän gatnaşyk k = -a deň. Jogaby:. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Meňzeş köpburçluklaryň perimetrleriniň gatnaşygy nämä deň?. Meňzeş köpburçluklaryň meýdanlarynyň gatnaşygy hakyndaky teoremany düşündiriň. 3. Üçburçluk bilen dörtburçlugyň meňzeş bolmagy mümkinmi? 4. Meýdanlary 6 m we 4 m bolan iki dörtburçluk meňzeş. Meňzeşlik koeffisiýentini tapyň. 5. Iki köpburçlugyň perimetrleri 8 sm we 36 sm -e, meýdanlarynyň jemi bolsa 30 sm -a deň. Köpburçluklaryň meýdanlaryny tapyň. 6. Perimetri 84 sm bolan üçburçlugyň bir tarapyna parallel edilip geçirilen göni çyzyk ondan perimetri 4 sm -e we meýdany 6 sm -a deň üçburçlugy bölüp aýyrdy. erlen üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 7. O nokada görä simmetrik figuralar meňzeş bolýarmy? Oka görä simmetrik figuralar näme? Olaryň meňzeşlik koeffisiýenti nämä deň? 8. örtburçluk şeklindäki pagta meýdany kartada meýdany sm bolan dörtburçluk bilen şekillenýär. Eger kartanyň masştaby :000 bolsa, ýeriň hakyky meýdanyny hasaplaň. 9*. Meýdanlary 8 sm we 3 sm bolan iki sany meňzeş üçburçlugyň perimetrleriniň jemi 48 sm -e deň. Üçburçluklaryň perimetrlerini tapyň. S k S 39

40 6 GOMOTETIÝ WE MEŇZEŞLIK O O 3 O Y Z X F X F Y X M N O Y * Z * X * F * X * F* Y * X * M * N * O Iň ýönekeý meňzeş öwrülmelerden biri gomotetiýadyr. ýdaly, F figura, O nokat we k položitel san berlen bolsun. F figuranyň islendik X nokady arkaly OX şöhle geçirýäris we bu şöhlede uzynlygy k.ox bolan OX* kesimi goýýarys (-nji surat). Şu usul bilen F figuranyň her bir X nokadyna X* nokady degişli edip goýýan öwrülmä gomotetiýa diýilýär.munda, O nokat gomotetiýa merkezi, k sany gomotetiýa koeffisiýenti, F we gomotetiýa netijesinde F figuranyň öwrülýän F* figuralara bolsa gomotetik figuralar diýilýär. Teorema. Gomotetiýa meňzeşlik özgertmesidir. Subudy. Erkin O merkezli, k koeffisiýentli gomotetiýada F figuranyň X we Y nokatlary X * we Y * nokatlara geçsin (-nji surat). Onda, gomotetiýanyň kesgitlemesine görä, XOY we X *OY * üçburçluklarda O umumy we =k bolýar. iýmek, XOY we X *OY * üçburçluklaryň iki tarapy we olaryň arasyndaky burçy boýunça meňzeş. Şonuň * * * üçin, hususan-da, X *Y *= k. Teorema subut edildi. Mesele. O burçuň taraplaryna galtaşýan erkin iki töweregiň gomotetik bolýandygyny we O nokadyň bu gomotetiýa üçin merkezdigini subut ediň. Çözülişi. Merkezleri O we O bolan töwerekler O burçuň taraplaryna galtaşsyn (3-nji surat). u töwerekleriň gomotetikdigini subut edýäris. Töwerekler O şöhlä degişlilikde X we X * nokatlarda galtaşan bolsun (3-nji surat). Onda, OXO OX *O (çünki XOO = X *OO we OXO = OX *O = 9 0 ). * Mundan, 40

41 Sag tarapdaky gatnaşygy k bilen belgileýäris we koeffisiýenti, merkezi O bolan gomotetiýa seredýäris. ýdaly, bu gomotetiýada O merkezli töweregiň islendik M nokady M * nokada öwrülen bolsun. Onda, O M *=k. * O M ýa-da Mundan, O X=O M bolany üçin O M *=O X * deňligi alýarys. u M * nokadyň merkezi O nokatda, radiusy O X * -e deň bolan töwerekde ýatýandygyny görkezýär. iýmek, seredilýän töwerekler özara gomotetik eken. 4 O O a) 0 <k < F * F b) k F F * Ugrukdyryjy gönükme 4-nji suratda gomotetiýa koeffisiýenti a) 0<k <; b) k bolan gomotetik figuralar şekillendirilen. Gomotetiýa koeffisiýentiniň bahasyna garap gomotetik figuralaryň gysylmagy ýa-da süýnmegi hakda nähili netije çykarmak bolar? Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Gomotetiýa näme? Gomotetiýa merkezi, koeffisiýenti näme?. Gomotetiýanyň meňzeşlik özgertmesidini düşündiriň. 3. Üçburçluk çyzyň. Üçburçlugyň a) içki çäginde; b) daşky çäginde O nokady belgiläň we koeffisiýenti -ä deň bolan O merkezli gomotetiýany garap, berlen üçburçluga gomotetik üçburçluk guruň. 4. Perimetrleri 8 sm we 7 sm bolan iki romb özara gomotetik. u romblaryň taraplarynyň we meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň. 5. Gomotetiýada X nokat X * nokada, Y nokat Y * nokada geçýär. Eger X, X *, Y, Y * nokatlar bir göni çyzykda ýatmasa, şu gomotetiýanyň merkezini tapyň. 6. Koeffisiýenti -ä deň bolan gomotetiýada X nokat X * nokada geçýändigi belli. Şol gomotetiýanyň merkezini guruň. 7. Töwerege gomotetik figuranyň töwerek bolýandygyny subut ediň. 8. Töwerek çyzyň. Merkezi töweregiň merkezinde we koeffisiýenti a) ; b) ; d) 3; e) 3 deň bolan gomotetiýada çyzylan töwerege gomotetik bolan figuralary guruň. 9. urç we onuň içki çäginde nokat berlen. urçuň taraplaryna galtaşyp, nokatdan geçýän töwerek guruň. 4

42 7 a) MEŇZEŞ KÖPURÇLUKLRY GURMK O Şu wagta çenli teoremalary subut etmekde we meseleleri çözende dürli meňzeş üçburçluklary gurduk. Meňzeş köpburçluklar nähili gurulýar? şakda şonuň bilen tanyşarsyňyz. Mesele. erlen dörtburçluga meňzeş, meňzeşlik koeffisiýenti 3 -e deň bolan dörtburçluk guruň (-nji surat). Gurmak. Tekizlikde erkin O nokady alýarys. Ondan we dörtburçlugyň depelerinden geçýän O, O, O we O şöhleleri geçirýäris. u şöhlelerde O nokatdan O = 3O, O = 3O, O = 3O we O = 3O kesimleri goýýarys. Emele gelen dörtburçluk gözlenýän dörtburçlukdyr. Esaslandyrma. bolýandygyny subut edýäris.. egişli taraplaryň proporsionallygy. O a) O O ; () b) O O. () b) () we () deňlikden bolýandygy gelip çykýar. örtburçluklaryň başga degişli taraplarynyň proporsionallygyny edil şuňa meňzeş subut etmek bolar.. egişli burçlaryň deňligi. Meňzeş üçburçluklaryň degişli burçlary deň bolany üçin O = O, O = O. Onda = O+ O= = O+ O =, ýagny dörtbuçluklaryň degişli we burçlary deňdir. Edil şuňa meňzeş dörtburçluklaryň başga degişli burçlarynyň deňdigi subut edilýär. 4

43 iýmek, we dörtburçluklar meňzeş eken.taraplary erkin sanda bolan köpburçluga meňzeş köpburçluk hem edil şular ýaly gurulýar. Gomotetiýa merkezini bu meselede dörtburçlugyň daşky çäginden saýladyk. Umuman alanda gomotetiýa merkezini dörtburçlugyň içki çäginde (-nji a surat), käbir depesinde (-nji b surat) ýa-da käbir tarapynda (-nji ç surat) ýatýan edip saýlap bilerdik. Gomotetiýa merkezini nirede alsak-da, berlen dörtburçluga meňzeş we meňzeşlik koeffisiýenti 3 -e deň bolan dörtburçluklar özara deň bolýar. ç) Soraglar, meseleler we ýumuşlar. erlen köpburçluga meňzeş köpburçlugy gurmagyň yzygiderligini aýdyň.. epderiňize käbir E bäşburçluk çyzyň. Gomotetiýanyň kömeginde şol bäşburçluga meňzeş, meňzeşlik koeffisiýenti 0,5 -e deň bolan bäşburçluk guruň. Gomotetiýa merkezi a) nokatda; b) bäşburçlugyň içinde; ç) tarapda bolan ýagdaýlara aýratyn serediň. 3. Gözenekleri hasaba almak bilen3-nji suratda berlen figuralary depderiňize çyzyň: a) ýapraga meňzeşlik koeffisiýenti 3 -e deň bolan ýaprak; b) balyjaga meňzeşlik koeffisiýenti 0,8 -e deň bolan balyjagy gomotetiýanyň kömeginde çyzyň F köpburçlugy F köpburçluga meňzeş, k meňzeşlik koeffisiýenti. P, P, S, S harplar bilen degişlilikde bu köpburçluklaryň perimetrleri we meýdanlary belgilenen. şakdaky jedweli depderiňize göçüriň we ony dolduryň. P P S S k a) b) ç) d)

44 8 MLY SPK m m 750 m F. eýikligi kesgitlemek. Ýerde durup, aşkent teleminarasynyň beýikligini tapalyň. Minaranyň depesi nokadyň kölegesi nokat bolsun. EF taýagy şeýle kakýarys, ýagny (-nji surat), taýagyň E depesiniň kölegesi-de nokatda bolsun. nokadyň ýerdäki proýeksiýasyny bilen belgileýäris. Emele gelen gönüburçly we EF üçburçluklar meňzeş bolýar. Şonuň üçin E ýa-da, F aralyklary we EF taýagyň uzynlygyny ölçäp, emele gelen formuladan teleminaranyň beýikligi kesimiň uzynlygyny tapýarys. Meselem, eger EF = m, = 750 m, F = m bolýandygy mälim bolsa, onda = 375 m bolýar. 3. aryp bolmaýan ýere çenli bolan aralygy ölçemek. ýdaly, nokatdan barmak mümkin bolmadyk nokada çenli bolan aralygy anyklamak gerek bolsun (-nji surat). nokatdan baryp bolmaýan şeýle bir nokady belgiläliň, ýagny ondan garanda we nokatlar görnüp dursun hem-de aralygy ölçäp bolar ýaly. Esbaplaryň kömeginde we burçlary ölçeýäris. ýdaly, = a we = b bolsun. Kagyza =a, =b bolan üçburçlugy gurýarys. Onda we üçburçluklar iki burçy boýunça meňzeş 44

45 bolýar (-nji we 3-nji suratlar). Mundan, 4 ýa-da aralyk we, kesimleri ölçäp, netijede emele gelen formulanyň kömeginde kesim hasaplanýar. Hasaplaýyş işlerini ýeňilleşdirmek maksadynda : gatnaşygy 00 :, 000 : ýaly gatnaşykda almak bolar. Meselem, =30 m, =73, =58 bolsa, kagyzda üçburçlugy =73, =58, =30 mm edip çyzýarys. kesimi ölçäp, onuň 53 mm ekenligini tapýarys. Onda, gözlenýän aralyk 53 m bolýar. 3. ral deňzi hakynda amaly iş. 4-nji suratda ral deňziniň kosmik gämiden alnan suraty şekillendirilen. Şonuň esasynda degişli ölçeýiş we hasaplaýyş işlerini ýerine ýetirip, ral deňziniň häzirki wagtdaky meýdanyny tapyň. 6 Masştaby: : ,8 m 300 m 5,8 m Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Eger boýy,7 m bolan adamyň kölegesiniň 7 E uzynlygy,5 m bolsa, kölegäniň uzynlygy 0, m bolan daragtyň beýikligi näçe bolar?. 5-nji suratda şekillendirilen minaralaryň beýikligini anyklaň nji suratdaky iki sany meňzeş we üçburçluklaryň kömeginde kanalyň giňligini (inini) anyklamaly. Eger =00 m, =3 m we =34 m bolsa, derýanyň ini ( ) -i tapyň. 4. Ýabyň kenaryndaky E daragtyň suwdaky şöhlelenmesi nokatdaky adama görünmeýär. Eger =65 sm, =0 sm, =4,8 m bolsa, daragtyň beýikligini tapyň (7-nji surat). 5. Howluda haýsy-da bolsa bir daragty saýlaň we onuň beýikligini anyklaň. u işi nähili ýerine ýetirendigiňiz barada hasabat taýýarlaň. 45

46 9 MESELELER ÇÖZMEK -nji mesele. Uzynlyklary degişlilikde a we b bolan we sütünler dikligine ornadylan. Olaryň berkligini artdyrmak maksadynda we, we depelerini O nokatda kesýän polat simler bilen mäkemlenen (-nji surat). Suratda berlen maglumatlar esasynda a) we ony düşündiriň. a m we deňlikleri subut ediň; b) deňligiň dogrudygyny görkeziň O x E d n b Çözülişi:a) Meseläniň şertine görä:. OE. Şonuň üçin. EO. Şonuň üçin ýagny. ýagny. () we () deňlikleri agzama-agza goşsak, ýa-d a deňligi alarys. iýmek, sütünler nähili ornadylsa-da, polat simleriň kesişýän O nokady ýerden bir meňzeş beýiklikde bolýan eken. -nji mesele. trapesiýanyň we gapdal taraplarynda M we N nokatlar alnan. Munda MN kesim trapesiýanyň esaslaryna parallel we trapesiýanyň diagonallarynyň kesişýän O nokatdan geçýär. Eger = a, = b bolsa, a) MO; b) ON; ç) MN kesimleri tapyň (-nji surat). Çözülişi : ) O we O üçburçluklaryň nyşanyna görä meňzeş, çünki O = O, O = O. Mundan () () ýa-da () ) we OM üçburçluklar hem nyşana görä meňzeş, çünki MO =, = OM. Mundan, ýa-da. () 3) () we () deňlikleriň sag böleklerini deňleşdirip, 46

47 deňligi we ondan a bolýandygyny tapýarys. 4) Ýokardaky ýaly çemeleşmek bilen (3) M O N (4) deňligi, soňra bolsa (3) we (4) deňlikleriň degişli böleklerini goşup 3 b F deňligi alarys. E Jogaby: a) ; b) ; d). Ýatlatma. Şu meseläniň çözüwinden MO = =ON bolýandygy gelip çykýar. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. üçburçlugyň we gapdal taraplarynda we E nokatlar alnan. Eger E, = 6, =3 we E = bolsa, tarapyny tapyň.. Ikita meňzeş köpburçuň yuzlari 8 dm we 7 dm ga deň, ulardan birining perimetri ikinjisinikidan 6 dm ga kam. Uly köpburçuň perimetrini tapyň. 3. Perimetri m bolan üçburçluk üçburçlugyň taraplarynyň ortalaryny, üçburçluk 3 3 üçburçlugyň taraplarynyň ortalaryny, üçburçluk bolsa 4 4 üçburçlugyň taraplarynyň ortalaryny birleşdirmekden emele gelen bolsa, üçburçlugyň perimetri näçe bolar? 4. Iki sany meňzeş üçburçlugyň perimetrleri 8 dm we 36 dm -e, meýdanlarynyň jemi 30 dm -a deň. Uly üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 5. Rombyň taraplarynyň ortalary gönüburçlugyň depeleri bolýandygyny subut ediň. 6. üçburçlugy guruň. u üçburçluga meňzeş we meýdany üçburçlugyň meýdanyndan 9 esse kiçi bolan üçburçlugy guruň. 7*. E we F nokatlar degişlilikde parallelogramyň we taraplarynyň ortalary. F we E göni çyzyklar diagonaly deň üç bölege bölýändigini subut ediň (3-nji surat). 47

48 0 MESELELER ÇÖZMEK. eňýanly üçburçlugyň esasyndaky burçuň bissektrisasy şu üçburçlukdan özüne meňzeş üçburçlugy bölüp aýyrýar. Üçburçlugyň burçlaryny anyklaň (-nji surat, =, ).. Töwerek guruň we onda O nokady belgiläň. Merkezi O nokatda we koeffisiýenti -ä deň bolan gemotetiýada berlen töwerege gomotetik bolan töwerek guruň. 3. Iki sany meňzeş köpburçlugyň perimetrleriniň gatnaşygy :3 ýaly. Uly köpburçlugyň meýdany 7 bolsa, kiçi köpburçlugyň meýdanyny tapyň. 4. -nji suratda Günüň doly tutulan ýagdaýy suratlandyrylan. Eger Günüň radiusy km, ýyň O radiusy 760 km we Ýerden ýa çenli bolan aralyk km bolsa, Ýerden Güne çenli bolan aralygy tapyň a) ir töweregiň içinden iki sany meňzeş köpburçluk çyzylan. u köpburçluklar deň bolarmy? b) ir töweregiň daşyndan iki sany meňzeş köpburçluk çyzylan. u köpburçluklar deň bolarmy? 6*. ir kwadratyň taraplary ikinji kwadratyň taraplaryna parallel. Eger kwadratlar bir-birine deň bolmasa, olaryň gomotetik bolýandygyny subut ediň (3-nji surat). 7. üçburçlugyň we taraplary dört sany deň kesimlere bölündi we bölünme nokatlary tarapa parallel kesimler bilen birleşdirildi (4-nji surat). Eger = 4 sm bolsa, emele gelen kesimleriň uzynlyklaryny tapyň. 8. Eger suratlar şil bir wagtda sura 4 ta alnan bolsa, berlen mag lu- matlar esasynda ikinji binanyň beýikligini tapyň (5-nji surat). 70 m x-? 0 m 9 m 48

49 I EGIŞLI GOŞMÇ MESELELER WE MGLUMTLR I. Testler. Iki sany meňzeş üçburçluk üçin nädogry tassyklamany tapyň:. Meýdanlarynyň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentine deň.. egişli medianalarynyň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentine deň. Ç. egişli bissektrisalarynyň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentine deň.. egişli beýiklikleriniň gatnaşygy meňzeşlik koeffisiýentine deň.. Iki sany gomotetik köpburçluk üçin dogry tassyklamany tapyň:. Olar deň;. Olar meňzeş; Ç. Olar deňdeş;. ogry jogaby ýok; 3. Üçburçlugyň medianalary üçin nädogry tassyklamany görkeziň:. ir nokatda kesişýär;. Kesişme nokadynda : gatnaşykda bölünýär; Ç. ir-birine deň;. Her biri üçburçlugy iki deňdeş bölege bölýär; 4. Üçburçlugyň bissektrisalary üçin nädogry tassyklamany görkeziň:. ir nokatda kesişýär;. Kesişme nokadynda : gatnaşykda bölünýär; Ç. Özi düşýän tarapy galan iki tarapa proporsional kesimlere bölýär;. Özi çykan depedäki burçy deň ýarpa bölýär; II. Meseleler. Esaslary 6 m we m bolan trapesiýanyň diagonallarynyň kesişme nokadyndan esaslara parallel göni çyzyk geçirilen. Göni çyzygyň trapesiýanyň içindäki böleginiň uzynlygyny tapyň.. üçburçlukda = =0, = 8. Eger we üçburçlugyň bissektrisalary bolsa, kesimi tapyň. 3. nokatdan baryp bolmaýan nokada çenli bolan aralygy anyklamak üçin tekiz ýerde nokat alynýar. Soňra aralyk, we burçlar ölçenýär we üçburçluga meňzeş üçburçluk gurulýar. Eger = 4 m, = 6,3 sm, = 7, sm bolsa, aralygy tapyň. 4. Koeffisiýenti k= 3 bolan gomotetiýada F köpburçluk F köpburçluga öwrülýär. Eger F köpburçlugyň perimetri sm we meýdany 4,5 sm bolsa, F köpburçlugyň perimetrini we meýdanyny tapyň. 5. oýy 80 sm bolan adamyň kölegesiniň uzynlygy,4 m bolan wagtda beýikligi 4 m bolan sütüniň kölegesiniň uzynlygy näçe metr bolar? 49

50 ззззз 6. Kartada aşkent we Ürgenç şäherleriniň arasyndaky aralyk 8,67 sm. Eger kartanyň masştaby :00000 bolsa, aşkent bilen Ürgenç şäherleriniň arasyndaky aralygy tapyň. x M N O 3 a) b) 4 E F III. Özüňizi synaň (barlag işiniň nusgasy). -nji suratda berlen maglumatlar esasynda daragtyň beýikligini tapyň.. üçburçlugyň taraplary = 5 sm, =6 sm, = 7 sm. Şu üçburçlugyň tarapyna parallel göni çyzyk tarapyny P nokatda, tarapyny bolsa K nokatda kesýär. Eger PK = sm bolsa, PK üçburçlugyň perimetrini tapyň. 3. -nji suratda MN. =6 sm, =0 sm bolsa, MN kesimi tapyň.; 4. (Goşmaça). Rombyň taraplarynyň ortalary gönüburçlugyň depeleri bolýandygyny subut ediň. Gyzykly meseleler. 4 esse ulaldyp görkezilen aýna-lupa bilen seredilende -ly burçuň ululygy näçä üýtgär (3-nji surat)?. a) üçburçlukly çyzgyjyň suratynda görkezilen içki we daşky üçburçluklar meňzeşmi (3-nji a surat)? b) 3-nji b suratdaky rombyň içki we daşky granlaryny görkezýän dörtburçluklar meňzeşmi? 3. şakdaky rus dilinde berlen meseläni çözmäge synanyşyň. u bilen hem rus dilinden, hem geometriýadan bilimiňizi barlarsyňyz. Íà 4-ðèñóíêå èз ззîáðàæåíà ðóññêàÿ èãðóøêà ìàòð øêà. Âûïîëíèâ ñîîòâåòñòâóþùèå èçìåðåíèÿ, íàéòè êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ èãðóøåê: a) и ; b) и ; в) и F; г) и E. 50

51 II P ÜÇURÇLUGYŇ TRPLRYNYŇ WE URÇLRYNYŇ RSYNKY GTNŞYKLR Şu baby öwrenmek netijesinde siz aşakdaky bilim, endik we başarnyga eýe bolarsyňyz: ilimler: erkin burçuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensiniň kesgitlemelerini bilmek; burçuň radian ölçegini bilmek; esasy trigonometrik toždestwolary bilmek; üçburçlugyň meýdanyny burçuň sinusynyň kömeginde hasaplamagyň formulasyny bilmek; sinuslar we kosinuslar teoremasyny bilmek maly endikler: käbir burçlaryň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensini hasaplamak; esasy trigonometrik toždestwolary mysallary çözmekde ulanmak; üçburçlugyň meýdanyny onuň iki tarapy we olaryň arasyndaky burçy boýunça hasaplamak; sinuslar, kosinuslar teoremasyndan peýdalanyp hasaplamaga we subut etmäge degişli meseleleri çözmek. 5

52 ÝITI URÇUŇ SINUSY, KOSINUSY, TNGENSI WE KOTNGENSI Gönüburçly üçburçlukda =90 bolsa, tarap gipotenuza, tarap burçuň garşysyndaky katet, tarapa bolsa burça sepleşýän katet diýilýär (-nji surat). Gönüburçly üçburçlugyň ýiti burçunyň sinusy diýip a şol burçuň garşysyndaky katetiň gipotenuza gatnaşygyna aýdylýar. Gönüburçly üçburçlugyň ýiti burçunyň kosinusy diýip şol burça sepleşýän katetiň gipotenuza gatnaşygyna aýdylýar. Gönüburçly üçburçlugyň ýiti burçunyň tangensi diýip şol burçuň garşysyndaky katetiň sepleşýän katete gatnaşygyna aýdylýar. Gönüburçly üçburçlugyň ýiti burçunyň kotangensi diýip şol burça sepleşýän katetiň garşysyndaky katete gatnaşygyna aýdylýar. α burçuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensi degişlilikde sinα, cosα, tgα we ctgα görnüşinde belgilenýär (okalyşy: «sinus alfa», «kosinus alfa», «tangens alfa», «kotangens alfa»). Ýokardaky kegitlemelerden aşakdaky formulalar gelip çykýar:. = = ; tg=. tg =.. = = ; ctg =. ctg =. 3. tg. ctg =. = tg. ctg =. a a Teorema. ir gönüburçly üçburçlugyň ýiti burçy ikinji gönüburçly üçburçlugyň ýiti burçuna deň bolsa, bu ýiti burçlaryň sinuslary (kosinusy, tangensi we kotangensi) hem deň bolýar. Subudy. Gönüburçly we üçburçluklarda ( = = 90 ) = bolsun (-nji surat). Onda, we üçburçluklaryň nyşanyna görä meňzeş bolýar. Şonuň üçin,. u deňliklerden ýada sin = sin bolýandygyny tapýarys. 5

53 u ýiti burçlaryň kosinusy, tangensi we kotangensleri hem deň bolýandygy ýokardaky ýaly subut edilýär. Teorema subut edildi. Mesele. üçburçlukda =90, =8 sm, =5 sm bolsa, onuň burçunyň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensini tapyň. Çözülişi. Pifogar teoremasyndan peýdalanyp, üçburçlugyň gipotenuzasyny tapýarys: 3 a) = + = 8 +5 = 89, = 7 (sm). Üçburçlugyň burçunyň garşysyndaky katet, 4 4 burçuna sepleşýän katet bolsa (3-nji surat). Onda, kesgitlemelere görä, 4 b) Ýa-da tg = = = ; ctg = = = Jogaby: ç) 63 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Gönüburçly üçburçlugyň ýiti burçunyň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensi diýip nämä aýdylýar?. Ýiti burçuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensi nämä bagly, nämä bagly däl? 3. 4-suratdaky maglumatlar esasynda sin, cos, sin, cos -ni tapyň. 4. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasy 3 sm -e, kateti bolsa sm -e deň. Üçburçlugyň burçunyň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensini tapyň. 5. Eger gönüburçly ( = 90 ) üçburçlukda a) =5, = 7; b) = 5, =; d) =4, =40; e) =4, =5 bolsa, we burçlaryň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangenslerini tapyň. 6. Eger üçburçlukda = 90, cos= we =3 sm bolsa, üçburçlugyň galan taraplaryny tapyň. 7. Eger üçburçlukda =90, sin = we =6 sm bolsa, üçburçlugyň galan taraplaryny tapyň

54 3 MESELELER ÇÖZMEK Meseleleri çözmekde örän zerur ýene bir möhüm deňligiň dogrudygyny görkezeliň: Gönüburçly üçburçlukda (-nji surat) Pifagoryň teoremasyna görä = +. Onda sin + cos = + = = =. sin + cos = deňlik trigonometriýanyň esasy toždestwosy diýlip atlandyrylýar ( trigonometriýa sözi ýunança üçburçluklary ölçeýärin diýen manyny aňladýar). -nji mesele. Eger cosa = bolsa, sinα, tgα we ctgα -ny tapyň. Çözülişi. Esasy trigonometrik toždestwo görä: sin α = cos α sinα= cos α = =. Onda tgα= =. = 3, ctg α= tgα =. 3 -nji mesele. üçburçlukda = 90 we sin = 0,6. Eger üçburçlugyň beýikligi 4,8 sm bolsa, onuň katetini we bu katetiň gipotenuzadaky proýeksiýasyny tapyň. Çözülişi. Gönüburçly üçburçluga garaýarys (-nji surat). Onda, sinusyň kesgitlemesine görä, Mundan, (sm). Pifagoryň teoremasyndan peýdalanyp katetiň gipotenuzadaky proýeksiýasy -ni tapýarys: x 4,8 5x = = 8 4,8 =6,4 (sm). Jogaby: 8 sm; 6,4 sm. 3-nji mesele. Eger üçburçlukda = 90 we cos = bolsa, üçburçluk taraplary nähili gatnaşykda bolýar (3-nji surat). Çözülişi. urçuň kosinusynyň kesgitlemesine görä cos = iýmek, =. Eger = 5x diýsek, onda

55 = =3x. Pifagoryň teoremasyna görä, = = 69x 5x =x. 4 a) 3 Şeýlelikde, : : = 5 : : 3. 4 Jogaby: 5 : : 3 ýaly. b) Soraglar, meseleler we ýumuşlar. 4-nji suratdaky maglumatlar esasynda aşakdakylary: a) sin, cos, tg, ctg; b) sin, cos, tg, ctg -ny tapyň.. Eger sina=0,5 bolsa, cosa, tga we ctga -ny tapyň. 3. Eger cosa=0,6 bolsa, sina, tga we ctga -ny tapyň. 4. Gönüburçly ( =90 ) üçburçlukda =7 sm we sin = bolsa: a) üçburçlugyň beýikligini; b) katetiň gipotenuzadaky proýeksiýasyny; ç) gipotenuzany; d) ikinji kateti tapyň. 5. Eger üçburçlukda =90, sin= we = =5 sm bolsa, üçburçlugyň gipotenuzasyna düşürilen beýikligini tapyň. 6*. Eger a) sinα= ; b) cosα=α; d) tgα= ; e) ctgα= bolsa, a burçy guruň. 7. üçburçlukda = sm, =0 sm, sin = 0,7 bolsa, üçburçlugyň meýdanyny tapyň (5-nji surat). 8. üçburçlukda beýiklik, = 7 sm, = sm we tg =3 bolsa, üçburçlugyň meýdanyny tapyň (5-nji surat). 9. ( ) trapesiýada sin = 0,5; = 8, =6, =0 bolsa, trapesiýanyň meýdanyny tapyň (6-njy surat). 0. rombda sin =0,8 we =5 sm bolsa, rombyň meýdanyny tapyň. *. eňýanly üçburçlugyň esasyna iderilen beýikligi 5 sm, esasy bolsa 0 3 smbolsa, üçburçlugyň: a) burçlaryny; b) gapdal tarapyny; ç) meýdanyny tapyň.. Gönüburçly üçburçlukda sin= we sin= bolmagy mümkinmi? ç) E 63 55

56 4 KÄIR URÇLRYŇ SINUSYNY, KOSINUSYNY, TNGENSINI WE KOTNGENSINI HSPLMK. 45 gradusly burçuň sinusyny, kosinusyny, tangensini we kotangensini hasaplamak. eňýanly gönüburçly üçburçluga seredeliň (-nji surat). u üçburçlukda =, = =45 bolsun. Onda Pifagoryň teoremasyna görä, = + = ýa-da =. 45 Mundan -ni alarys. Şeýlelikde, 45 -nji mesele. Gönüburçly ( = 90 ) üçburçlukda =45 we = 6 sm. Üçburçlugyň galan taraplaryny tapyň (-nji surat). Çözülişi. ýa-da = = 6 (sm); Jogaby: 6 sm; 6 sm. ýa-da = = 6 (sm).. 30 we 60 burçlaryň sinusyny, kosinusyny, tangensini we kotangensini hasaplamak. urçlary =30, =60 we = 90 bolan üçburçluga seredeliň (-nji surat). 30 gradusly burçuň garşysynda ýatýan katet gipotenuzanyň ýarysyna deň bolany üçin ýa-da. Mundan deňlikleri tapýarys. Esasy trigonometrik toždestwo görä: Tapylanlara görä ; 56 ;

57 3. α -nyň 30, 45, 60 -a deň bahalarynda tapylan sinα, cosα, tgα we ctgα üçin bahalary jedwel görnüşinde jemleýäris: -nji mesele. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasy 0sm we burçlaryndan biri 60. Onuň galan taraplaryny tapyň. Çözülişi. -nji suratdan peýdalanýarys. Onda, (sm), a sinα cosα tgα ctgα Jogaby: 5 sm; 5 3 sm. (sm). Soraglar, meseleler we ýumuşlar. α burç 30,45, 60 -a deň bolsa, sinα, cosα, tgα we ctgα bahasy nämä deň? Jogabyňyzy esaslandyryň.. 3-nji suratdaky üçburçluklaryň perimetrlerini tapyň nji suratdaky üçburçluklaryň burçlaryny tapyň. 4. α -nyň 30, 45, 60 -a deň bahalarynda sinα, cosα, tgα we ctgα üçin bahalarynyň jedwelini ýat tutuň. 3 a) 4 b) 5. Gönüburçly üçburçlugyň bir ýiti burçy 30 -a deň bolup, 45 oňa sepleşýän katet 6 dm. Onuň galan taraplaryny tapyň. 6. eňýanly üçburçlugyň esasy 0 sm -e, bir burçy bolsa 0 -a deň. Onuň meýdanyny tapyň. 7. üçburçlukda =90, =5 sm, sin=.üçburçlugyň galan taraplaryny we cos, tg hem-de ctg -ny tapyň. 8. iagonallary 5 3 sm we 5 sm bolan rombyň burçlaryny tapyň. ç) a) b) 3 ç)

58 5 MESELELER ÇÖZMEK Ugrukdyryjy gönükme Jedweliň boş ýerlerini dolduryň. a sinα cosα tgα ctgα -nji mesele. Eger rombda =0 we =6 sm bolsa, rombyň beýikligini we meýdanyny tapyň (-nji surat). 6 sm Çözülişi. ) Rombyň bir tarapyna sepleşýän burçlarynyň jemi 80 -a deň bolany üçin =80 =60. Rombyň E beýikligini geçirip (-nji surat), gönüburçly E üçburçlugy alýarys. Onda, 60 ýa-da (sm). E ) Indi rombyň meýdanyny tapýarys: S =.E=6.3 3=8 3 (sm ). Jogaby: h=3 3 sm; S =8 3 sm. -Mesele. deňýanly trapesiýanyň kiçi esasy 5 sm. Eger = 60, = 6 sm bolsa, trapesiýanyň meýdanyny tapyň. Çözülişi. Trapesiýanyň E we F beýikliklerini geçirýäris (-nji surat). Onda, gönüburçly E üçburçlukdan (sm), 5 (sm) E F Mundan başga-da E =F, EF = bolany üçin = E + EF + F = = (sm). Trapesiýanyň meýdanyny tapmagyň formulasyna görä,

59 (sm ). Jogaby: 4 3 sm. Soraglar, meseleler we ýumuşlar.. eňýanly gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasy sm. Onuň meýdanyny hasaplaň.. eýikligi 4 3 sm bolan deň taraply üçburçlugyň perimetrini tapyň nji suratda berlenlere görä deňýanly trapesiýalaryň meýdanyny tapyň. 4. Gönüburçly trapesiýanyň ýiti burçy 30 -a, beýikligi 4 sm -e we kiçi esasy 6 sm -e deň. Trapesiýanyň perimetrini we meýdanyny tapyň. 5. Töweregiň hordasy 0 gradusly dugany dartýar. Eger töweregiň radiusy 0 sm bolsa, hordanyň uzynlygyny tapyň. 6*. eňýanly üçburçlugyň depesindäki burçy a) 0 ; b) 90 ; c) 60. Üçburçlugyň beýikliginiň esasyna gatnaşygyny haaplaň. 7*. 4-nji suratda şekillendirilen pagta harmanynyň gapdal taraplary deňýanly trapesiýa, üsti bolsa kwadrat şeklinde. Suratda berlenlerden peýdalanyp, harmany doly ýapmak üçin näçe matanyň zerurdygyny anyklaň. 8. Ýeňil maşyn depäniň ýokary göterilýän böleginde 340 m ýol geçdi. Eger ýoluň gorizonta görä göteriliş burçy 5 bolsa, ýeňil maşyn näçe metr beýiklige göterilipdir (5-nji surat)? Mahsus kalkulýatorda burçuň sinusyny, kosinusyny we tangensini hasaplamak. sin we cos klawişleri bolan mahsus kalkulýatorda trigonometrik funksiýalaryň bahalary aşakdaky ýaly hasaplanýar: urç graduslarda berlen bolsun, Meselem, sin30 :. Kalkulýator ýakylyp EG (gradus) klawişi basylýar.. Soňra klawişler c 3 0 SIN tertipde basylýar we degişli jogaby: 0,5 alynýar. sin30 =0,5. Eger mahsus kalkulýator bolmasa, dersligiň ahyryndaky goşmaçada getirilen trigonometrik funksiýalaryň bahalarynyň jedwelinden peýdalanyp bilersiňiz. 3 a) b) 6 45 ç) m 9 m 0 m 85 0 m m 5 59

60 6 a) b) 60 0 N 80 ÇENLI OLN URÇUŇ SINUSY, KOSINUSY, TNGENSI WE KOTNGENSI a O x P M(x, y) x y y O y a y P M(x, y) x x Gönüburçly Oxy koordinatalar sistemasynyň I we II çärýeklerinde ýerleşen, radiusy birlik kesime deň, merkezi koordinatalar başlangyjynda bolan ýarym töweregi gurýarys(-nji surat). Töweregi M (x;y) nokatda kesýän OP şöhläni geçirýäris. u şöhläniň Ox şöhle bilen emele getiren burçuny a bilen belgileýäris. OP şöhläniň Ox şöhle bilen üstme-üst düşendäki burçuny 0 -ly burç hökmünde kabul edýäris. Mälim bolşy ýaly, α ýiti burç bolanda ( -nji a surat), bu burçuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensi gönüburçly OM üçburçlukdan sinα= cosα= tgα= ctgα = deňlikleriň kömeginde anyklanýar. Eger MO=, M = y, O = x bolýandygyny hasaba alsak, sinα=y, cosα= x, tgα=, ctgα= () deňliklere eýe bolýarys. Umumy ýagdaýda, 0 dan 80 çenli bolan burçuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensini hem () formula arkaly anyklaýarys: Islendik α (0 α 80 ) burçuň sinusy diýip M nokadyň ordinatasy y -e aýdylýar. Islendik α (0 α 80 ) burçuň kosinusy diýip M nokadyň absissasy x -e aýdylýar. Islendik α (0 α 80, α 90 ) burçuň tangensi diýip M nokadyň ordinatasynyň absissasyna gatnaşygyna aýdylýar. Islendik α (0 <α<80 ) burçuň kotangensi diýip, M nokadyň absissasynyň ordinatasyna gatnaşygyna aýdylýar. OM üçburçlukda O +M = MO ýa-da x + y =. sinα=y we cosα=x bolýandygyny hasaba alsak, islendik α (0 α 80 ) burç üçin sin α + cos α = () deňligi alarys. u deňlik, esasy trigonometrik toždestwo diýip atlandyrylyp, ol öňki sapaklarda ýiti burçlar üçin subut edilipdi.

61 maly ýumuş. irlik kesimi 5 sm -e deň diýip alyp, gönüburçly koordinatalar sistemasyny çyzyň.. Koordinatalar sistemasynyň I we II çärýeginde ýerleşen, merkezi koordinatalar başlangyjynda we radiusy birlik kesime deň ýarym töwerek çyzyň. 3. Ýarym töweregi M nokatda kesýän we Ox şöhle bilen a) α= 67 ; b) α= 8 ; d) α=50 -a deň burçy emele getirýän OM şöhle guruň. 4. Ölçegleriň kömeginde M nokadyň koordinatalaryny hem-de sinα, cosα, tgα we ctgα bahalaryny tapyň. x (;0) Mesele. 0, 90 we 80 -ly burçlaryň sinusyny tapyň. a x Çözülişi. 0 -ly burç O, 90 -ly burç O, 80 -ly burç ( ;0) 0 (;0) O şöhläniň kömeginde anyklanýar (-nji surat). Kesgitlemä görä, sin0 (;0) nokadyň ordinatasy hökmünde 0 b) y -a, sin90 (0;) nokadyň ordinatasy hökmünde -e, (0;) M(x;y) sin80 bolsa ( ;0) nokadyň ordinatasy hökmünde 0 -a deň bolýar. Jogaby: sin0 =0, sin90 =, sin80 =0. a x Soraglar, meseleler we ýumuşlar ( ;0) 0 (;0). 0 dan 80 çenli bolan burçuň sinusy we kosinusy y ç) diýende nämä düşünilýändigini aýdyp beriň. (0;). α burçuň tangensi we kotangensi näme? α burçuň tangensi we kotangensi α -nyň nähili bahalarynda M(x;y) anyklanmadyk? 3. Eger 90 <α<80 bolsa, sinα, cosα, tgα we ctgα a x bahalarynyň alamatlaryny anyklaň. ( ;0) 0 (;0) 4. Eger 0 α 80 bolsa, 0 sinα we cosα deňsizlikleriň dogry bolýanmdygyny düşündiriň nji suratdaky α burçy ölçäň we onuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensini degişli ölçegleriň kömeginde anyklaň. 6*. -nji a suratda şekillendirilen ýarym töweregi çyzyň. Ox şöhle bilen 45 we 35 -ly burçy emele getirýän şöhleleri guruň. Çyzylan suratdan peýdalanyp, sin45 -y sin35 bilen we cos45 -y cos35 bilen özara deňeşdiriň. 7*. eýikligi 3 sm we ýiti burçy 30 bolan rombyň perimetrini we meýdanyny hasaplaň. y ( ;0) 0 3 a) y (0;) (0;) M(x;y) 6

62 7 ESSY TRIGONOMETRIK TOŽESTWOLR M(x;y) y x 0 Indi α (0 α 80 ) burçuň sinusy, kosinusy, tangensi we kotangensiniň arasyndaky gatnaşyklary anyklalyň.. Trigonometriýanyň esasy toždestwosy diýlip atlandyrylýan, α -nyň 0 α 80 bahalary üçin dogry bolan şu sin α + cos α = () fformula bilen öňki sapaklarda tanyşypdyk. y α x Ugrukdyryjy gönükme -nji suratdan peýdalanyp nokatlaryň ornuny dolduryň: sinα =...; cosα =...; tgα =... ; ctgα =.... Kesgitlemelere görä, her bir ýiti burça şol burçuň sinusynyň (kosinusynyň, tangensiniň we kotangensiniň) bir sany bahasy laýyklykda goýulýar. u laýyklyklar ýiti burçuň trigonometrik funksiýalary: sinus, kosinus, tangens we kotangens funksiýalaryny anyklaýar. u funksiýalar köplenç üçburçluklary çözmekde ulanylýandygy sebäpli, olar trigonometrik funksiýalar diýlip atlandyrylýar. Trigonometriýa sözi ýunança üçburçluklary çözmek diýen manyny aňladýar.. Kesgitlemä görä, tgα=, ctgα=, x = cosα, y = sinα bolany üçin, tgα= (α 90 ), ctgα= (α 0, α 80 ), tgα.ctgα= (α 0, α 90, α 80 ) toždestwolar dogrudyr. 3. () deňligiň iki böleginide ilki cos a soňra bolsa sin α bölüp () toždestwolary alarys. +tg α= (α 90 ), +ctg α =, (α 0, α 80 ) (3) Mesele. Eger sinα= 0,6 we 90 α 80 bolsa, cosα, tgα we ctgα bahasyny tapyň. 6

63 Çözülişi. Esasy trigonometrik toždestwodan peýdalanyp cosα -ny hasaplaýarys: cosα= sin α= 0,6 = 0,36 = 0,64 = 0,8. 90 α 80, ýagny α II çärýekde bolanda, cosα 0. Şu sebäpli kök alamaty bilen alyndy. () formula esasan tgα= = = ctgα= = Jogaby: cosα= 0,8; tgα= ctgα= Soraglar, meseleler we ýumuşlar. tgα=, ctgα=, tgα.ctgα= toždestwolar α -nyň nähili bahalary üçin dogry?. ňlatmalary ýönekeýleşdiriň: ) cos α; 4) sin 4 α sin α cos α; ) ( sinα)(+ sinα); 5) ctg α(sin α+cos α ); 3) sin 4 α+sin α cos α+ cos 4 α; 6) tg α sin α tg α. 3. Eger a) sinα= we 90 <α<80 bolsa, cos α nämä deňligini tapyň; b) cosβ= we 90 <β<80 bolsa, sinβ nämä deň; d) cosα= bolsa, sinα -nyň bahasyny hasaplaň. 4. Ýiti burçy 60 -a, beýikligi bolsa 3 sm -e deň rombyň meýdanyny tapyň. 5. eňýanly üçburçlugyň esasy 4,8 sm, esasyndaky burçy bolsa 30. Üçburçlugyň beýikligi we gapdal tarapyny tapyň. 6. Eger a) cosα= ; b) cosα= ; d) cosα= bolsa, sinα nämä deň? 7. a) sin= ; b) cos= ; d) cosα= ekenligi mälim, burçy guruň. 8*. α we β burçlar 0 < α<β<90 şerti kanagatlandyrýar. -nji suratdan peýdalanyp subut ediň: a) sinα<sinβ; b) cosα>cosβ; d) tgα<tgβ; e) ctgα>ctgβ. 9*. O şöhle bilen Ox şöhläniň arasyndaky burça α deň. Eger a) O=3, α=45 ; b) O =,5, α=90 ; d) O=5, α =50 ; e) O=, α=80 ; f) O =4, α=30 bolsa, nokadyň koordinatalaryny tapyň. a b 63

64 8 ESSY TRIGONOMETRIK TOŽESTWOLR (dowamy) -nji teorema. Islendik ýiti a burç üçin: sin(90 a)=cosa, cos(90 a)=sina. () 90 a Subudy. depesindäki ýiti burçy α deň bolan gönüburçly üçburçluga garalyň (-nji surat). Onda onuň depesindäki ýiti burçy β=90 a deň. Kesgitlemä göräsin, (90 a)=sinβ= =cosa, cos(90 a)= cosβ= = sina. a Teorema subut edildi. -nji mesele. şakdaky sanlaryň içinden özara deňlerini tapyň: sin0, cos0, sin80, cos 80. Çözülişi. 80 = 90 0 (α=0 ) we 50 = (α=40 ) bolany üçin -nji teorema görä, sin80 = sin(90 0 ) = cos0, Jogaby: sin80 =cos0, cos 80 = sin0. cos 80 = cos(90 0 ) = sin0. -nji teorema. Islendik a (0 a 80 ) burç üçin: sin(80 a) =sina, cos(80 a) = cosa. ( ) (x ;y ) y 80 a a a O x (x;y) y x Subudy. Gönüburçly Oxy koordinatalar sistemasynda merkezi O nokatda, radiusy -e deň ýarym töweregi gurýarys (-nji surat). Töweregiň O radiusy bilen Ox şöhläniň arasyndaky burç α bolsun. Ox şöhle bilen 80 α deň burçy emele getirýän O radiusy geçirýäris. O we O gönüburçly üçburçluklar deň. Hususan-da, O =O we = ýa-da x = x we y =y deňliklere eýediris. Şeýlelikde, sin(80 α) =y =y =sinα; cos(80 α) = x = x = cosα. Teorema subut edildi. () we () formulalara getirme formulalar diýilýär. 64

65 -nji mesele. α=0 bolsa, sinα, cosα, tgα we ctgα bahalary hasaplaň. Çözülişi. a) () formula görä, sin0 = sin(80 60 ) = sin60 = ; cos0 = cos(80 60 ) = cos60 =. Onda, tg0 = = 3; ctg0 = = =. Jogaby: sin0 = ; cos0 = ; tg0 = 3; ctg0 =. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. tg(90 α)=ctgα (α 0 ) we ctg(90 α) = tgα (α 0 ) toždestwolary subut ediň.. tg(80 α)= tgα (α 90 ) we ctg(80 α)= ctgα (α 0 we α 80 ) toždestwolary subut ediň. 3. Jedweli dolduryň. α sinα cosα tgα ctgα 4. Eger 90 < α <80 we a) sinα= ; b) cosα= ; d) tgα= ; e) ctgα= 3 bolsa, α burçuň ululygyny tapyň. 5. Hasaplaň: a) sin80 +cos90 ; b) 4sin50 + 3tg50 ; d) cos40 +cos50 sin40 sin50 ; e) 3cos0 3ctg Ýönekeýleşdiriň: a) cos (80 α)+cos (90 α); b) sin (80 α)+sin (90 α); d) tgα tg(90 α); e) ctgα ctg(90 α). 7. üçburçlukda =50 we = 7 sm bolsa, üçburçlugyň depesinden düşürilen beýikligini tapyň. 8. Gönüburçlugyň sm -e deň diagonaly bir tarapy bilen 30 -a deň burçy emele getirýär. Gönüburçlugyň meýdanyny tapyň. 9. Eger a) sinα= ; b) sinα= ; d) sinα= bolsa, cosα -ny tapyň. 0*. Eger a) sinα= ; b) tgα= ; d) cosα= bolsa, α -ny tapyň. 65

66 9 ILIMIŇIZI SYNŇ I. Çep sütünde berlen adalgalara sag sütünde berlen kesgitlemelerden dogrusyny degişlilikde goýuň.. α burçuň sinusy. α burçuň kosinusy 3. α burçuň tangensi 4. α burçuň kotangensi a) α burçuň garşysyndaky katetiň gipotenuza gatnaşygy; b) α burça sepleşýän katetiň gipotenuza gatnaşygy; ç) α burçuň garşysyndaky katetiň ikinji katete gatnaşygy; d) α burça sepleşýän katetiň ikinji katete gatnaşygy; II. Testler.. Nädogry formulany tapyň:. sin(90 α) = cosα;. cos(90 α) = sinα; Ç. sin(80 α)= sinα;. cos (80 α)= cosα.. Eger 90 < α<80 bolsa, aşakdakylardan haýsy biri položitel?. sinα;. cosα; Ç. tgα;. ctgα. 3. ogry deňligi tapyň:. sin α =+cos α;. tg α=+cos α; Ç. =+tg α (α 90 );. sin x.cos x =. cos α 4. sin70 nämä deň?:. sin0 ;. sin0 ; Ç. cos70 ;. cos sinα= bolan α ýiti burçy görkeziň.. 30 ;. 45 ; Ç. 90 ; cosα= bolsa, α ýiti burçy tapyň.. 30 ;. 45 ; Ç. 90 ; tgα= bolsa, α ýiti burçy tapyň.. 30 ;. 45 ; Ç. 90 ; ctgα= bolsa, α ýiti burçy tapyň.. 30 ;. 45 ; Ç. 90 ; Haýsy ýiti α burç üçin sinα=cosα deňlik dogry?. 30 ;. 45 ; Ç. 90 ; Eger sin= bolsa, cos-ni tapyň. 5 66

67 . 4 ;. 9; Ç. ; Eger cos=0, bolsa, tg-ny tapyň.. 96;. 6; Ç. 5;. 6.. Gönüburçlugyň diagonaly onuň bir tarapyndan esse uzyn. Gönüburçlugyň diagonallarynyň arasyndaky burçy tapyň.. 30 ;. 60 ; Ç. 90 ; eňýanly üçburçlugyň esasyna düşürilen beýikligi 3 sm, esasy bolsa 8 sm. Üçburçlugyň esasyna sepleşýän burçuň sinusyny tapyň ;. 3 ; 4 Ç ; III. Meseleler.. Suratda görkezilen burçlaryň sinusyny, kosinusyny, tangensini we kotangensini tapyň.. şyr öýünden gündogar tarapa 800 m, soň demirgazyk tarapa 600 m ýol ýöredi. Ol a) b) ç) d) O O O O öýünden näçe metr uzaklaşypdyr? Indi ol öýüne göni çyzyk boýunça ýetip gelmek üçin günbatara görä nähili burç astynda ýöremeli? 3. Otly her 30 m ýol ýörände m depä göterilýär. emir ýoluň gorizonta görä göteriliş burçuny tapyň. 4. Eger beýikligi 30 m bolan jaýyň kölegesiniň uzynlygy 45 m bolsa, gün şöhlesiniň şu jaýyň ýerleşen meýdanyna düşýän burçuny tapyň. 5. Gönüburçly üçburçlugyň bir burçy 60 -a, uly kateti bolsa 6-a deň. Onuň kiçi katetini we gipotenuzasyny tapyň. 6. O merkezli töweregiň nokadyndan geçirilen galtaşmada nokat alnan. Eger = 9 sm, O = 30 bolsa, töweregiň radiusyny we kesimiň uzynlygyny tapyň. 7. m göni çyzyk we ony kesip geçmeýän kesim berlen. Munda = 0, we m göni çyzyklaryň arasyndaky burç 60. kesimiň uçlaryndan m göni çyzyga we perpendikulýarlar düşürilen. kesimi tapyň. 8. Rombyň ýiti burçy 60 -a, beýikligi bolsa 6 -a deň. Rombyň diagonalyny we meýdanyny tapyň. 9. Radiusy 5 sm bolan töweregiň daşyndan deňýanly trapesiýa çyzylan. Eger trapesiýanyň ýiti burçy 30 bolsa, onuň gapdal taraplaryny we meýdanyny tapyň. 67

68 0. Eger gönüburçlukda =4, =30 bolsa, onuň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny we gönüburçlugyň meýdanyny hasaplaň.. Gönüburçlugyň taraplary 3 sm we 3 sm. Onuň bir diagonaly bilen taraplarynyň emele getiren burçlaryny tapyň.. Eger a) sin = ; b) cos = ; d) cos = bolsa, burçy guruň. 3. Gönüburçly üçburçlugyň bir burçy 30, gipotenuzasyna düşürilen beýikligi 6 sm. Üçburçlugyň taraplaryny tapyň. 4. Ýiti burçy 30 -a, beýikligi bolsa 4 sm -e deň bolan rombyň meýdanyny hasaplaň. 5. Eger sin = we 90 <α<80 bolsa, cosα, tgα we ctgα bahasyny tapyň. 6. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasyna beýiklik düşürilen. Eger =60 we = bolsa, kateti tapyň. 7. üçburçlukda = 30, = 45. Eger üçburçlugyň beýikligi sm bolsa, onuň tarapyny we meýdanyny tapyň. IV. Özüňizi synaň (barlag işiniň nusgasy).. Eger cos α= we 90 < α< 80 bolsa, sinα, tgα, ctgα nämä deň?. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasy c =8 sm we kateti a = 4 sm bolsa, onuň ikinji kateti we ýiti burçlaryny tapyň. 3. eň taraply üçburçlugyň medianasynyň onuň tarapyndan kiçi bolýandygyny subut ediň 4. (Goşmaça). örtburçlugyň her bir tarapy galan taraplarynyň jeminden kiçidigini subut ediň. Taryhy maglumatlar. ltyn üçburçluk Gadymy ýunanlar burçlary 36, 7 we 7 bolan deňýanly üçburçlugy altyn üçburçluk diýip atlandyrypdyrlar. Sebäbi ol ynha şeýle ajaýyp häsiýete eýe bolupdyr: esasyndaky burçuň bissektrisasy ony iki sany deňýanly üçburçluga bölýär (-nji surat). Hakykatdan hem, bissektrisa bolany üçin, we burçlar hem 36 -dan. iýmek, üçburçluk deňýanly. üçburçlukda burç =7 bolup, burça deň. iýmek, üçburçluk hem deňýanly. Netije. üçburçluk üçburçluga meňzeş we =. () 68

69 . Eger üçburçlugyň gapdal taraplaryny = = diýip alsak, onuň esasy aşakdaky ýaly tapylýar (-nji surat): = a bolsun. Onda. = a bolýar, çünki deňýanly.. = a bolýar, çünki deňýanly. 3. = = a. () - deňlige görä: a a = a Mundan a + a = 0. u kwadrat deňlemäni çözüp, bolýandygyny tapýarys. 5 a= a a a Mesele. sin8, cos8, sin7, cos7 bahalary hasaplaň. Çözülişi: Gapdal tarapy = = we esasy = a= 5 deň bolan altyn üçburçluga garalyň (3-nji surat). Onuň E beýikligini 3 geçirýäris. Gönüburçly E üçburçlukdan E a sin8 = = = 5 4 Mundan peýdalanyp, tapmak talap edilen başga bahalary hasaplaýarys: cos8 = sin 8 = ; sin7 a = sin(90 8 )= cos8 = ; 4 cos7 = sin8 = Jogaby: sin8 = cos7 = ; cos8 = sin7 = ; 4 4 E Taryhy maglumatlar. Ulugbek ( ) beýik özbek alymy we döwlet işgäri. syl ady Muhammet Taragaý. Ol sahypgyran Emir Temuryň agtygy. Ulugbekiň atasy Şahruh hem döwlet işgäri bolupdyr. Ulugbek takmynan nji ýyllarda Samarkandyň golaýyndaky Obi Rahmat depeliginde özüniň meşhur resethanasyny gurýar. Resethananyň jaýy üç gatly bolup, onuň esasy guraly kwadrantyň beýikligi 50 metrdi. Ulugbekiň iň meşhur eseri Ziji kuragany diýlip atlandyrylýan astronomik jedweldir (ol 08 sany ýyldyzy öz içine alýar). Ulugbek ( ) 69

70 30 ÜÇURÇLUGYŇ MEÝNYNY URÇUŇ SINUSYNYŇ KÖMEGINE HSPLMK -nji teorema. Üçburçlugyň meýdany onuň iki tarapy bilen şu iki tarapyň arasyndaky burçuň sinusynyň köpeltmek hasylynyň ýarysyna deňdir., = a, = b, (-nji surat) S = ab sin Subudy. üçburçlugyň beýikligini düşürýäris. Onda -nji suratda görkezilen üç ýagdaýyň bolmagy mümkin. irinji ýagdaýa seredeliň. üçburçlukda sin =. Mundan =. sin = a.sin. Şeýlelikde, a) b) b a S =.. =. b.a.sin= absin. Ikinji we üçünji ýagdaýlaryň subutyny özbaşdak ýerine ýetiriň. Teorema subut edildi. -nji teorema görä, üçburçlugyň meýdany üçin S = bcsin we S = ac sin formulalar hem dogry bolýar. b a -nji mesele. üçburçlugyň meýdany 4 sm. Eger =8 sm we = 30 bolsa, tarapy tapyň. Çözülişi. Üçburçlugyň meýdanyny burçuň sinusy arkaly tapmagyň formulasyna görä, ç) a b S =... sin Mundan, = =.4 = = (sm). 8.0,5 Jogaby: sm. -nji mesele. Parallelogramyň meýdany onuň iki goňşy tarapy we şu taraplaryň arasyndaky burçunyň sinusynyň köpeltmek hasylyna deňligini subut ediň. a E parallelogram, =a, =b, = α (-nji surat) S =absina 70

71 E Çözülişi. E beýiklik düşürýäris. E üçburçlukda sin = ýa-da E = sin =a sinα. Onda S =.E = ab sinα. -nji teorema. örtburçlugyň meýdany onuň diagonallary bilen diagonallarynyň arasyndaky burçuň sinusynyň köpeltmek hasylynyň ýarysyna deňdir. Subudy. iagonallaryň kesişmeginden emele gelen burçlara 3 seredýäris (3-nji surat): O = α şerte görä, O = α O -ga wertikal bolany üçin, O =80 α O -ga goňşy bolany üçin, O α O =80 α O -ga wertikal bolany üçin. Üçburçlugyň meýdanyny burçuň sinusynyň kömeginde hasaplamak formulasyna görä: S O = O.O sinα; S O = O. O sin(80 α)= O. O sinα; S O = O. O sinα; S O = O.O sin(80 α) = O. O sinα. Meýdanyň häsiýetine görä: S =S O +S O +S O +S O = = O.O sinα+ O.O sinα+ O.O sinα+ O.O sinα= = (O. O +O. O +O. O +O.O)sinα= = {(O. (O+O )+ +O. (O+O)}sinα = (O. +O. )sinα=. sinα. Teorema subut edildi. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. -nji teoremany -nji b we -nji ç suratda görkezilen ýagdaýda subut ediň.. Eger a) = 6 sm, = 4 sm, =30 ; b) =4 sm, =7 3 sm, =60 ; d) =3 sm, = 4 sm, =45 bolsa, üçburçluk meýdanyny tapyň. 3. iagonaly sm we diagonallarynyň arasyndaky burçy 30 bolan gönüburçlugyň meýdanyny tapyň. 4. Tarapy 7 sm we kütek burçy 35 bolan rombyň meýdanyny tapyň. 5. Rombyň uly diagonaly 8 sm we kütek burçy 0. Rombyň meýdanyny tapyň. 6. Meýdany 6 sm -a deň bolan üçburçlukda = 9 sm, = 45. Üçburçlugyň tarapyny we şu tarapa düşürilen beýikligini tapyň. 7*. üçburçlukda =a, we depelerinden inderilen beýiklikleri bolsa degişlilikde h b we h c bolsa, üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 8*. üçburçlukda = 8 sm, = sm we = 60 bolsa, onuň bissektrisasyny tapyň (görkezme: S =S +S ). 7

72 3 SINUSLR TEOREMSY Teorema. (Sinuslar teoremasy). Üçburçlugyň taraplary garşysyndaky burçlaryň sinuslaryna proporsionaldyr. a) b) d) 7, = c, =a, =b (-nji surat) a c a O a O b O a a sin = b sin = c sin Subudy. Üçburçlugyň meýdanyny burçuň sinusy arkaly tapmak formulasyna görä, S= ab sin, S= bc sin, S= ac sin. ( ) u deňlikleriň birinji ikisine görä, a c ab sin= bc sin, diýmek =. sin sin Şonuň ýaly-da, ( ) deňlikleriň birinji we üçünjiden c b deňligi alarys. sin = sin a Şeýlelikde,. sin = b sin = c sin Teorema subut edildi. -nji mesele. üçburçlukda =4 dm, = 30, =65 (-nji surat). tarapy tapyň. Çözülişi: Sinuslar teoremasyna görä, =. Ondan sin sin.sin = sin =4.sin30 4.0,5 7,78 (dm). sin 65 0,9 Ýatlatma: Trigonometrik funksiýalaryň bahalary mahsus kalkulýatoryň ýa-da jedwelleriň kömeginde tapylýar. u ýerde sin65 0,9 bolýandygyny dersligiň 53-nji sahypasyndaky jedwelden anykladyk. Jogaby: 7,78 dm. -nji mesele. Üçburçlugyň tarapynyň şu tarapyň garşysyndaky burçuň sinusyna gatnaşygy üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň diametrine deňligini,ýagny a b c = = sin = R sin sin subut ediň. (-nji surat).

73 a Çözülişi: Görnüşi ýaly, sinuslar deňliklere görä, deňligi subut etmek sin = R ýeterli. Üç ýagdaýyň bolmagy mümkin: -nji ýagdaý: ýiti burç (nji a surat); -nji ýagdaý: kütek burç (-nji b surat); 3-nji ýagdaý: göni burç (-nji ç surat). -nji ýagdaýa seredýäris: we nokatlary birleşdirýäris. gönüburçly üçburçluk, çünki burç diametre direlýär. -da: =. sin =R sin. Ýöne, =, çünki olar bir sany duga direlýän içinden çyzylan burçlardyr. Onda a = R sin ýa-da sin = R. Galan ýagdaýlary özbaşdak subut ediň. (Görkezme: -nji ýagdaýda =80 bolýanlygyn-dan, 3-nji ýagdaýda a = R bolýanlygyndan peýdalanyň) Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Üçburçlugyň islendik tarapynyň şol tarapyň garşysyndaky burçuň sinusyna gatnaşygy üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň diametrine deňligini -nji meselede getirilen -nji we 3-nji ýagdaýlar üçin subut ediň.. 3-nji suratda berlenlere görä, soralýan kesimleri tapyň. 3. Eger üçburçlukda: a) sin= 0,4; = 6 sm we = 5 sm bolsa, sin -ni b) sin= ; =8 dm we = 7 dm bolsa, sin -ny d) sin= ; = 6 m we = 8 m bolsa, sin -ni tapyň. =? 4. Üçburçlugyň bir burçy 30 -a deň. Onuň garşysyndaky d) tarap 4,8 dm. Üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny hasaplaň Üçburçlugyň bir tarapy üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyna deň. Üçburçlugyň şu tarapynyň =? garşysyndaky burçuny tapyň. Munda iki ýagdaýa seretmeli bolýandygyna üns beriň. 6. üçburçluk üçin : := sin :sin :sin deňlik dogry bolýandygyny esaslandyryň. sin :sin :sin= 3:5:7 deňligiň dogry bolmagy mümkinmi? 7. Eger üçburçlukda = 0 m, =3 m we = 67 bolsa, üçburçlugyň tarapyny, we burçlaryny tapyň. 8*. Eger üçburçlukda =8 dm, = 4, = 6 bolsa, üçburçlugyň burçuny, we taraplaryny tapyň. 3 a) 6 b) =?

74 3 KOSINUSLR TEOREMSY Gönüburçly üçburçlukda göni burçuň garşysyndaky tarapyň (gipotenuza) kwadraty galan taraplaryň (katetler) kwadratlarynyň jemine deňdir. Eýsem göni bolmadyk burç üçin näme? şakdaky teorema şol baradadyr. Teorema. (Kosinuslar teoremasy). Üçburçlugyň islendik tarapynyň kwadraty galan iki tarapynyň kwadratlarynyň jeminden şol iki tarap bilen olaryň arasyndaky burçuň kosinusynyň köpeltmek hasylynyň ikeldileniniň tapawudyna deňdir., = c, = a, = b (-nji surat) a = b + c bccos a) Subudy. üçburçlugyň beýikligini geçirýäris. nokat tarapda ( -nji a surat) ýa-da onuň dowamynda c a (-nji b we -nji ç suratlar) bolmagy mümkin. irinji b) b ýagdaýa garalyň. Gönüburçly üçburçlukda Pifagoryň teoremasyna görä, = +. = bolany üçin: c a = +( ) = Gönüburçly üçburçlukda + = we b =cos ekenligini hasaba alyp, ahyrky deňlikden ç) c a b = +..cos, ýagny a = b +c bccos deňlige eýe bolarys. Teorema subut edildi. -nji b suratda görkezilen ýagdaýda =, -nji ç suratda görkezilen ýagdaýda =+ we cos(80 )= cos deňliklerden peýdalanyp, kosinuslar teoremasyny özbaşdak subut ediň. c a Ýatlatma. Kosinuslar teoremasy Pifagoryň teoremasynyň umumlaşanydyr. =90 bolanda (cos90 =0 bolany üçin) 60 b kosinuslar teoremasyndan Pifagoryň teoremasy gelip çykýar. -nji mesele. üçburçlukda =6 sm, = 7 sm, = 60 (-nji surat). tarapy tapyň. 74

75 Çözülişi. Kosinuslar teoremasyna görä, a = b + c bccos ýa-da = +..cos bolany üçin = cos60 = =43, ýagny = 43 sm. Jogaby: 43 sm. 3 Şonuň ýaly-da, kosinuslar teoremasyndan peýdalanyp, taraplary mälim bolan üçburçlugyň burçlaryny tapmak mümkin: cos = b +c a 4 5. () bc -nji mesele. üçburçlugyň taraplary a = 4 m, b = 5 m we c = 6 m. Kiçi tarapyň uly tarapdaky proýeksiýasyny tapyň (3-nji surat). Çözülişi. () formula esasynda cos -ny tapýarys: 4 cos = b +c a = = 9 bc c a Gönüburçly üçburçlukda =.cos bolany üçin 9 a 80 a =4. =,5 (m). 6 Jogaby:,5 m. b/ b/ b Soraglar, meseleler we ýumuşlar.. Kosinuslar teoremasyny -nji b we -nji ç suratda görkezilen ýagdaýlarda subut ediň.. üçburçlukda a) =3 sm, =4 sm we =60 bolsa, -ni; b) =4 m, =4 m we =45 bolsa, -ni; d) =7 dm, =6 3 dm we =50 bolsa, -ni tapyň. 3. Taraplary 5 sm, 6 sm, 7 sm bolan üçburçlugyň burçlarynyň kosinuslaryny tapyň. 4. üçburçlukda =0 sm, = m, we sin= 0,6 bolsa, tarapy tapyň. 5. Parallelogramyň diagonallary 0 sm we sm, olaryň arasyndaky burçy 60 -a deň. Parallelogramyň taraplaryny tapyň. 6. Taraplary 5 sm we 7 sm bolan parallelogramyň bir burçy 0 -a deň. Onuň diagonallaryny tapyň. 7*. Taraplary a, b, c bolan üçburçlugyň medianasy = a +c b formula bilen hasaplanýandygyny subut ediň (4-nji surat). 8*. Taraplary 6 m, 7 m we 8 m bolan üçburçlugyň medianalaryny tapyň nji meseledäki üçburçlugyň bissektrisalaryny tapyň nji meseledäki üçburçlugyň beýikliklerini tapyň. 75

76 33 SINUSLR WE KOSINUSLR TEOREMLRYNYŇ KÄIR ULNYLYŞLRY Öňki sapaklarda subut edilen sinuslar we kosinuslar teoremalaryndan üçburçluklara degişli dürlüçe meseleleri çözmekde netijeli peýdalanmak bolar. u sapakda şol teoremalaryň käbir ulanylyşyna durup geçýäris.. Kosinuslar teoremasy üçburçlugyň burçlaryny tapmazdan, onuň burçlar boýunça görnüşini (ýiti, kütek ýa-da gönüburçlydygyny) anyklamaga mümkinçilik berýär. Hakykatdan hem, cos = b +c a bc formulada ) eger b +c >a bolsa, cos>0. iýmek, ýiti burç. ) eger b +c =a bolsa, cos=0. iýmek, göni burç. 3) eger b +c <a bolsa, cos<0. iýmek, kütek burç. b +c =a deňlik ýa-da b +c <a deňsizlik a üçburçlugyň diňe iň uly tarapy bolan ýagdaýynda ýerine ýetirilýär. iýmek, üçburçlugyň göni ýa-da kütek burçy onuň iň uly tarapynyň garşysynda ýatýar. Üçburçlugyň iň uly tarapynyň garşysyndaky burçuň ululygyna garap, bu üçburçlugyň nähili (ýiti, kütek, gönüburçly) üçburçlukdygy barada netije çykarmak bolar. -nji mesele. Taraplary 5 m, 6 m we 7 m bolan üçburçlugyň burçlaryny tapmazdan onuň görnüşini anyklaň. Çözülişi. Iň uly burçuň garşysyndada iň uly tarap ýatýar. Şonuň üçin, eger a =7, b =6, c =5 bolsa, iň uly burç bolýar. iýmek, ýiti burç, berlen üçburçluk bolsa ýiti burçly.. Üçburçlugyň meýdanyny onuň iki tarapy we olaryň arasyndaky burçy arkaly hasaplamagyň formulasy S = bcsin a we sin = formulalardan üçburçlugyň meýdanyny hasaplamak üçin, R abc S = 4R formulany we üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny hasaplamak üçin abc R = 4S formulany alarys. 76 cos = b +c a bc = = 60 = > 0. 5

77 -nji mesele. Taraplary a=5, b =6, c =0 bolan üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. Çözülişi. Geronyň formulasyndan peýdalanyp üçburçlugyň meýdanyny tapýarys: a + b + c p = = =, S= p(p a)(p b)(p c)= ( 5)( 7)( 0)=.6.4 = 64 6,3. abc Onda R= ,4. Jogaby: R 5,4. 4S 4.6,3 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Eger =7 sm, =8 sm, = 9 sm bolsa, üçburçlugyň iň uly we iň kiçi burçuny tapyň.. Eger üçburçlukda = 47, = 58 bolsa, üçburçlugyň haýsy taraplary iň uly we iň kiçidigini anyklaň. 3. Üçburçlugyň üç tarapy berlen: a) a= 5, b= 4, c= 4; b) a=7, b= 8, c=5; d) a= 9, b=5, c= 6. Üçburçluk ýiti burçly, gönüburçly ýa-da kütek burçludygyny anyklaň. 4. Taraplary a) 3, 4, 5; b) 5, 3, 4; ç) 35, 9, 8; d) 4, 5, 7 bolan üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 5. üçburçlugyň tarapynda nokat belgilenen. kesim we kesimleriň iň bolmanda birinden kiçiligini subut ediň. 6. Üçburçlugyň uly burçunyň garşysynda uly tarapyň ýatýandygyny subut ediň. 7. Üçburçlugyň uly tarapynyň garşysynda uly burçuň ýatýandygyny subut ediň. 8*. üçburçlugyň medianasy geçirilen. Eger > bolsa, burçuň burçdan kiçi bolýandygyny subut ediň. 9. şakdaky surata laýyk mesele düzüň. M 77

78 34 iki WEKTORYŇ arasyndaky burçy hasaplamak Wektorlaryň skalýar köpeltmek hasyly düşünjesi we häsiýetleri bilen 8-nji synpda tanyşypdyňyz. Iki wektoryň skalýar köpeltmek hasyly olaryň koordinatalary arkaly aňladylypdy. şakda kosinuslar teoremasynyň kömeginde wektorlaryň skalýar köpeltmek hasyly üçin ýene bir möhüm formula çykarylýar. Munda skalýar köpeltmek hasyly wektorlaryň uzynlygy we olaryň arasyndaky burç arkaly aňladylýar. a b Nol wektordan tapawutly a we b wektorlar berlen bolsun. Erkin O nokatdan O=a we O=b wektorlary goýýarys. a we b wektorlaryň arasyndaky burç diýip O burça aýdylýar (-nji surat). Ugurdaş wektorlaryň arasyndaky burç 0 -a deň diýlip hasaplanýar. Eger iki wektoryň arasyndaky burç 90 -a deň bolsa, olar perpindikulýar diýilýär. a Ýatladyp geçýäris: α. a(a ;a ) wektoryň uzynlygy: O a = a + a. b. a(a ;a ) we b(b ;b ) wektorlaryň skalýar köpeltmek, ab =a b +a b formulalar bilen anyklanýardy. b Kollinear däl a we b wektorlara garalyň. Erkin O nokatdan O =a we O =b wektorlary goýýarys (-nji surat). O =α α O bolsun. Onda, bir tarapdan kosinuslar teoremasyna görä, a =O +O.O.O cosα. () Ikinji tarapdan 78 = = O O =(O O) =O +O O.O. () iýmek, () we () -a görä O.O =O.O cosα ýa-da ab = a. b cosα. Netije. Nol wektordan tapawutlanýan a(a ;a ) we b(b ;b ) wektorlaryň arasyndaky a burç üçin formula dogrudyr. cos α= ab a. b ýa-da cosα =

79 Mesele. a(;) we b(4; ) wektorlaryň arasyndaky burçy tapyň. Çözülişi. erlen wektorlaryň arasyndaky burçy a diýip belgilesek, formula görä,.4+. ( ) cosα= = 4 +( ) 5. =0. 0 iýmek, α=90. Jogaby: 90. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Eger a we b wektorlar üçin a) a=4, b =5, α=30 ; b) a=8, b=7, α=45 ; d) a=,4, b =0, α=60 ; e) a =0,8, b =, α= 40 bolsa, bu wektorlaryň skalýar köpeltmek hasylyny tapyň (bu ýerde α a we b wektorlaryň arasyndaky burç).. a) a( ; ) we b(;3); b) a( 5;6) we b(6;5); d) a(,5;) we b(4; ) wektorlaryň skalýar köpeltmek hasylyny hasaplaň we olaryň arasyndaky burçy tapyň. 3. rombyň diagonallary O nokatda kesişýär we munda = = 4 sm. a) we ; b) we ; d) we ; e) we O wektorlaryň skalýar köpeltmek hasylyny we bu wektorlaryň arasyndaky burçy tapyň. 4. Nol wektordan tapawutlanýan a we b wektorlar berlen bolsun. a.b =0 bolanda bu wektorlaryň perpindikulýar bolýandygyny we tersine a we b wektorlar perpindikulýar bolsa, a.b =0 bolýandygyny subut ediň. 5*. x -iň nähili bahasynda a) a(4;5) we b(x;6); b) a(x;) we b(3;); d) a(0; 3) we b(5;x) wektorlar özara perpindikulýar bolýar? 6. a(3;3), b(; ), c( ; 4) we d( 4;) wektorlaryň arasyndan özara perpindikulýar jübütlerini tapyň. 7. a = a deňligi subut ediň. 8*. ilýard oýnunda nokatda duran şar zarbadan soň bilýard stolunyň tarapyna nokatda uruldy we ugruny üýtgedip nokatdaky sebede düşdi (3-nji surat). Eger =40 sm, =50 sm we =0 bolsa,. skalýar köpeltmek hasylyny tapyň. 9. F(-3, 4) güýjüň täsiri astynda nokat (5,-) ýagdaýdan (, ) ýagdaýa geçdi. Munda nähili iş edildi? 3 79

80 35 b 80 g ÜÇURÇLUKLRY ÇÖZMEK a a c b Üçburçlugyň taraplaryny a, b, c bilen, şu taraplaryň garşysyndaky burçlary degişlilikde α, β, γ bilen belgileýäris (-nji surat). Üçburçlugyň taraplaryny we burçlaryny bir at bilen onuň elementleri diýip atlandyrýarlar. Üçburçlugy anyklaýan berlen elementlerine görä, onuň galan elementlerini tapmaga üçburçlugy çözmek diýilýär. -nji mesele. (Üçburçlugy berlen bir tarapy we oňa sepleşýän burçlary boýunça çözmek) Eger üçburçlukda a=6, β=60 we γ=45 bolsa, onuň üçünji burçy we galan iki tarapyny tapyň. Çözülişi.. Üçburçlugyň burçlarynyň jemi 80 bolany üçin α=80 β γ = =75. sinuslar teoremasyndan peýdalanyp, galan iki tarapy tapýarys: a. sinα = b gatnaşykdan b =a. sinβ sinβ sinα = 6. sin60 sin ,8660 5,3794 5,4. 0,9659 (sin60 we sin75 bahalary mikrokalkulýatordan ýa-da dersligiň 53-nji sahypasyndaky jedwelden tapyp goýuldy). a 3. sinα = c gatnaşykdan c =a. sin γ sinγ sinα = 6. sin45 sin ,707 4,394 4,4. 0,9659 Jogaby: α=75 ; β 5,4; c 4,4. -nji mesele. (Üçburçlugy berlen iki tarapy we olaryň arasyndaky burçy boýunça çözmek) Eger üçburçlukda a=6, b =4 we γ =0 bolsa, onuň üçünji tarapy we galan burçlaryny tapyň. Çözülişi.. Kosinuslar teoremasyndan peýdalanyp üçburçlugyň üçünji c tarapyny tapýarys. c = a +b abcosγ= ( 0,5)= 76 8,7.. Indi, üçburçlugyň üç tarapyny bilip, kosinuslar teoremasyndan peýdalanyp, üçburçlugyň galan burçlaryny tapýarys: cos α b +c a = = 0,8046. bc cosα 0,8046 deňlik esasynda α burçuň bahasyny 53-nji sahypadaky jedwelden anyklaýarys (α ýiti burç). α β=80 α γ 80 (36 +0 )=4. Jogaby: c 8,7; α 36, β 4.

81 3-nji mesele. (Üçburçlugy berlen üç tarapy boýunça çözmek) Eger üçburçlukda a =0, b = 6 we c =3 bolsa, onuň burçlaryny tapyň. Çözülişi:. Üçburçluk kütek burçly bolmagy ýa-da bolmazlygyny uly tarapyň garşysyndaky burçuň kosinusynyň alamatyna garap anyklaýarys: a +b c cos = = = 33 0,75 < 0. ab iýmek, kütek burç eken. Muny 53-nji sahypadaky jedwelden burçuň ululygyny anyklanda hasaba alarys. Jedwelden kosinusy 0,75 -e deň burçuň =74 ekenligini tapýarys. Onda cos(80 α)= cosα formula görä,. Sinuslar teoremasyna görä, a sin = c sin. undan, =80 =80 74 =06. sin = a.sin c = 0.sin06 = 0.sin ,965 0, ýiti burç bolany üçin 53-nji sahypadaky jedwelden 47 ekenligini anyklaýarys ( )=6. Jogaby: 47, 6, 06. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Üçburçlugyň bir tarapy we oňa sepleşýän iki burçy berlen: a) a=5 sm, β=45, γ= 45 ; b) a= 0 sm, α=75, β=60 ; ç) a=35 sm, β= 40, γ=0 ; d) b= sm, α=36, β= 5. Üçburçlugyň depesiniň burçuny we galan iki tarapyny tapyň.. Üçburçlugyň iki tarapy we ular arasyndaky burçy berlen: a) a= 6, b= 4, γ= 60 ; b) a=4, b= 43, γ=30 ; ç) b=7, c= 9, α= 85 ; d) b=4, c=0, α=45. Üçburçlugyň galan burçlaryny we üçünji tarapyny tapyň. 3. Üçburçlugyň üç tarapy berlen: a) a=, b=3, c= 4; b) a = 7, b=, c= 8; ç) a= 4, b= 5, c= 7; d) a=5, b = 4, c=8. Üçburçlugyň burçlaryny tapyň. 4. Üçburçlugyň iki tarapy we bu taraplardan biriniň garşysyndaky burçy berlen. Üçburçlugyň galan tarapyny we burçlaryny tapyň: a) a=, b= 5, α= 0 ; b) a=7, b= 9, α=38 ; ç) b=, c=, α= 60 ; d) b=6, c=8, α= nji suratda berlen maglumatlar esasynda üçburçlugy çözüň. b) ç) a) 6 d)

82 36 MESELELER ÇÖZMEK -nji mesele. Parallelogramyň diagonallarynyň kwadratlarynyň jemi taraplarynyň kwadratlarynyň jeminiň ikeldilenine deňligini subut ediň. parallelogram, = a, = b, = d, =d (-nji surat). d + d =(a +b ) a b d d a Çözülişi. parallelogramyň burçy α deň bolsun. Onda =80 α. we üçburçluklara kosinuslar teoremasyny ulanýarys (-nji surat): d =a +b abcosα, () α b d =a +b ab cos(80 α). cos(80 α)= cosα deňligi hasaba alsak, d =a +b +abcosa. () () we () deňlikleriň degişli böleklerini goşup, d + d =(a +b ) deňligi alarys. -nji mesele. üçburçlukda = 30, =4, = 3 bolsa, üçburçlugyň depesinden inderilen beýikligini tapyň (-nji surat). Çözülişi. ) Kosinuslar teoremasyndan peý dalanyp üçburçlugyň tarapyny tapýarys: 30 = +..cos= 4 3 =4 +( 3) cos30 =7, = 7. ) Indi üçburçlugyň meýdanyny tapýarys: S =... sin = sin30 = 3. 3) Tapylanlardan peýdalanyp, üçburçlugyň beýikligini tapýarys: S =.. S formuladan = = 3 Jogaby: 7 = nji mesele. Sürüji ýol hereketi kadalaryny bozup, sagat 00 -da şaýoluň nokadyndan lmazar köçesine tarap öwrüldi we 40 km/sagat tizlikde hereketini dowam etdirdi (3-nji surat). Sagat 00 -da G işgäri nokatdan daş düşelen ýol boýunça 70 km/sagat tizlikde 8

83 kada bozujy sürüjiniň ýoluny kesip çykmak üçin ýola çykdy. G işgäri çatrykda, ýagny nokatda kada bozujy sürüjini saklap bilermi? Çözülişi: üçburçlukda =80 ( + )=80 (0 +50 )=80 70 =0.. lmazar köçesindäki ýoluň böleginiň uzynlygyny tapýarys: Sinuslar teoremasyna görä, sin = sin. u gatnaşykdan =.sin sin =.sin50 sin0 =.sin50 sin(90 +0 ) =.sin50 cos0.0,766,630 km,630 (km). u ýoly kada bozujy sürüji 0,06 0,940 =,53 0,94 40 km/sagat sagat =0, sekunt 4 sekuntda geçýär..indi daş düşelen ýoluň böleginiň uzynlygyny tapýarys: Sinuslar teoremasyna görä, sin = sin. u gatnaşykdan =.sin.sin0.0,34 = = 0,893 (km). sin sin50 0,766 0,893 km u ýoly G işgäri 0,08 sagat =0, sekunt 46 sekuntda 70 km/sagat geçýär. iýmek, çatrykga G işgäri sürüjiden gijräk ýetip gelýän eken. Jogaby: ýok km/sagat lmazar köçesi 70 km/sagat Soraglar, meseleler we ýumuşlar. 4-nji suratdaky maglumatlar boýunça x -iň bahasyny tapyň. 0 km 50. üçburçlugyň beýikligi 4 m. Eger Şaýol G posty = 45, = 30 bolsa, üçburçlugyň taraplaryny tapyň. 4 b) 3. ir nokada ululygy bir hili bolan iki güýç goýlan a) x S= sm Eger bu güýçleriň ugurlarynyň arasyndaky burç x 60 60, bu güýçleriň deň täsir edýän 50 kg bolsa, 8 sm S= bu güýçleriň ululygyny tapyň. =60sm 4. Üçburçlugyň iki tarapy 7 dm we dm, üçünji ç) 60 tarapyna düşürilen medianasy bolsa 6 dm. S=x a Üçburçlugyň üçünji tarapyny tapyň Taraplary 6 sm we 8 sm bolan parallelogramyň b bir diagonaly sm bolsa, onuň ikinji diagonalyny tapyň. 6. Üçburçlugyň 7 sm -e deň tarapynyň garşysyndaky burçy 60 -a deň. Üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 7. eňýanly trapesiýanyň kiçi esasy gapdal tarapyna deň, uly esasy bolsa 0 sm. Eger trapesiýanyň bir burçy 0 bolsa, onuň perimetrini tapyň. 5 sm 30 83

84 37 3 H 84 H À ÜÇURÇLUKLRY ÇÖZMEGIŇ MLYÝETE ULNYLYŞY α a a α α γ β a. eýikligi ölçemek. ýdaly, nämäniňdir (meselem, daragtyň) H beýikligini ölçemek zerur bolsun (-nji surat). a) Şonuň üçin nokady belgileýäris we H aralyk a -ny we H burç α -ny ölçeýäris. Onda, gönüburçly H üçburçlukda H=H tgα=a tgα. b) Eger beýikligiň esasy H nokat baryp bolmaýan nokat bolsa (-nji surat), ýokardaky usul bilen H beýikligi anyklap bilmeris. Onda aşakdaky ýaly çemeleşeris: ) H nokat bilen bir göni çyzykda ýatýan we nokatlary belgileýäris; ) aralygy ölçäp a -ny tapýarys; 3) H we H burçlary ölçäp H= α we H= β -lary tapýarys; 4) üçburçluga sinuslar teoremasyny ulansak ( = α β), ýagny. sinβ = a = asinβ sin(α β) sin(α β) 5) gönüburçly H üçburçlukda H beýikligi tapýarys. H = sinα = a sinα.sinβ sin(α β).. aryp bolmaýan nokada çenli bolan aralygy hasaplamak. ýdaly, nokatdan baryp bolmaýan nokada çenli bolan aralygy hsaplamak gerek (3-nji surat). u meseläni üçburçluklaryň meňzeşlik nyşanyndan peýdalanyp çözendigimizi ýatladyp geçýäris. Indi şu meseläni sinuslar teoremasyndan peýdalanyp çözýäris. ) we nokatlardan görünýän tekiz ýerde nokady belgileýäris. ) aralygy ölçeýäris: = a. 3) Gurallaryň kömeginde we burçlary ölçeýäris: =α, =γ. 4) üçburçlukda =80 α γ bolany üçin,

85 sin= sin(80 α γ)=sin(α + γ). Sinuslar teoremasyna görä, ýa-da. sin = = a sinγ sin sin(α+ γ) Soraglar, meseleler we ýumuşlar 4. -nji suratda a = m, α= 4 bolsa, daragtyň beýikligini hasaplaň.. -nji suratda a =8 m, α= 43, β=3 bolsa, daragtyň beýikligini hasaplaň nji suratda a = 60 m, α = 6, γ = 44 bolsa, aralygy tapyň. 4. Futbol oýnunda metrlik jerime topuny derwezä ugrukdyrma burçy α -ny tapyň (4-nji surat). erwezäniň giňligi 7 m nji suratda Hywa şäherindäki Kelteminar suratlandyrylan. Eger β=45, γ =4, =50 m bolsa, Kelteminaryň beýikligini tapyň. 6. Syýahatçy Şährisebz şäherindäki ksaraýy ondan 47 m aralykda tomaşa edýär (6-njy surat). Eger ol ksaraýyň esasy gorizonta görä,5 -a deň burç astynda, depe bölegi bolsa 45 -a deň burç astynda seredýän bolsa, ksaraýyň beýikligini tapyň. 7. Üç ýol üçburçlugyny emele getirýär. u üçburçlukda =0, =50. nokatdan ýola çykan sürüji nokada mümkingadar tizräk barmakçy. we ýollar daşly, asfalt ýol bolup, asfalt ýolda daşly ýola garanda esse tizräk hereketlenmek mümkin. Sürüjä haýsy ýoldan ýöremegi maslahat berýärsiňiz? 45,5,5 Gyzykly mesele Pifagoryň teoremasynyň ýene bir subudy Gönüburçly üçburçlukda a = c sinα, b = c cosα. u iki deňligi kwadrata göterip, agzama-agza goşsak we sin α+ cos α = bolýandygyny hasaba alsak, a + b =c sin α+ c cos α= c (sin α+ cos α)=c. iýmek, a +b = c. u subutyň mantyk taýdan nädogrudygyny subut ediň. 5 6 β α m 47 m γ 7 m 85

86 II EGIŞLI GOŞMÇ MESELELER WE MGLUMTLR I. Testler.. Taraplary a, b, c, degişli burçlary α, β, γ, meýdany S bolan üçburçluk üçin haýsy formula nädogry? a b c. a =b +c ; bccosα;. = = sinα sinβ sinγ Ç. S= absinγ;. S= absinα.. Nädogry formulany tapyň.. sin α+cos α=;. sin(80 α)=sinα; Ç. cos(80 α)=cosα;. sin(90 α)=cosα. 3. Üçburçlugyň üç tarapy belli bolsa, haýsy teoremadan peýdalanyp onuň burçlaryny tapmak mümkin?. Sinuslar teoremasy;. Kosinuslar teoremasy; Ç. Falesiň teoremasy;. Geronyň formulasy; 4. Üçburçlugyň bir burçy 37 -a, ikinji burçy 5 -a deň. Eger bu üçburçlugyň uly tarapy -ä deň bolsa, onuň kiçi tarapyny tapyň.. 8,3;. 9,3; Ç. 3,8;. 6,5. 5. Üçburçlugyň 4 we 9-a deň bolan taraplarynyň arasyndaky burçy 6. Şu üçburçlugyň üçünji tarapyny tapyň..,;. 5,4; Ç. 6,9;. 9,7. 6. Eger iki wektoryň uzynlyklary a =, b =5 we olaryň arasyndaky burç 45 bolsa, a we b wektorlaryň skalýar köpeltmek hasylyny tapyň.. 5;. 3 Ç. 0;.. 7. a(4; -) we b(; 3) wektorlaryň skalýar köpeltmek hasylyny tapyň.. 5;. 3; Ç. 4; a(- ; ) we b( 3; ) wektorlaryň arasyndaky burçy tapyň.. 30 ;. 60 ; Ç. 90 ; Üçburçluk burçlarynyň gatnaşygy 3:: ýaly bolsa, onuň taraplarynyň gatnaşygyny tapyň.. 3::;. ::3; Ç. : 3:;. 3: :. 0. Tarapy 3 sm bolan dogry üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 3. 3;. 3 Ç. 3;. II. Meseleler.. üçburçluga = 6 sm, = 60, = 75. tarapy hem-de üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň.

87 . Taraplary 5 sm, 6 sm we 0 sm bolan üçburçlugyň burçlarynyň kosinuslaryny tapyň. 3. üçburçlukda = 60, = 6 sm, = 4 sm. tarapy hem-de üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 4. Taraplary 5 sm, 5 sm we 53 sm bolan üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 5. Üçburçlugyň iki tarapy 4 sm we sm, üçünji tarapyna geçirilen medianasy bolsa sm. Üçburçlugyň üçünji tarapyny tapyň. 6. Parallelogramyň diagonallary 4 sm, 4 sm we olaryň arasyndaky burç 45. Parallelogramyň a) meýdanyny; b) perimetrini; ç) beýikliklerini tapyň. 7. Taraplary 3 we 5 bolan parallelogramyň bir diagonaly 4 -e deň. Onuň ikinji diagonalyny tapyň. 8. Taraplary a) sm, sm we,5 sm; b) 4 sm, 7 sm we 5 sm; ç) 9 sm, 5 sm we 6 sm bolan üçburçlugyň görnüşini anyklaň. 9. Parallelogramyň taraplary 7 3 we 6 sm. Eger onuň kütek burçy 0 bolsa, onuň meýdanyny tapyň. 0. üçburçlugyň, taraplarynda N, K nokatlar alnan. Onda N = N, 3K = K. Eger = 3, = 5, = 6 bolsa, NK kesimi tapyň.. üçburçlukda =30, = 7 sm. Üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň.. üçburçlugyň E bissektrissasy geçirilen. E nokatdan tarapa EF perpindikulýar düşürilen. Eger EF =3, =30 bolsa, E -ni tapyň. 3. gönüburçlugyň tarapynyň ortasy N nokatda. Eger = 3, = 6 bolsa, N.N skalýar köpeltmek hasylyny tapyň. 4. a(;x), b( 4;) bolup, a +b we b wektorlar perpendikulýar. x -i tapyň. 5. m(7;3) we n( ; 5) wektorlaryň arasyndaky burçy tapyň. 6. Suratda berlenlerden peýdalanyp, suratdaky iň uly kesimi anyklaň. 7. gönüburçlugyň diagonallary O nokatda kesişýär. Eger O= sm, O=0 bolsa, gönüburçlugyň perimetrini tapyň. 8. Gönüburçly üçburçlugyň bissektrisalary O nokatda kesişýär ( =90 ). Eger O= 0, O = 5 bolsa, gipotenuzany tapyň. O O O 5 x 87

88 III. Özüňizi synaň (barlag işiniň nusgasy). Taraplary a= 45, b=70, c= 95 bolan üçburçlugyň iň uly burçuny tapyň.. Üçburçlukda b=5, α=30, β=50 bolsa, üçburçlugy çözüň. 3. PKH üçburçlukda PK = 6, KH = 5, PKH=00. HF mediananyň uzynlygyny we PFH üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 4. (Goşmaça). Üçburçlukda a= 3, b=, α=35 bolsa, β burçy tapyň. Taryhy maglumatlar. Sinus barada Sinus baradaky maglumat ilkibaşda IV V asyrlardaky hindi astronomlarynyň eserlerinde duşýar. Orta ziýaly alymlar al-horezmi, iruny, Ibn Sina, bdurahman al-hazyny (XII asyr) sinus üçin «al-jaýb» adalgasyny ulanypdyrlar. Häzirki sinus belgisini Simpson, Eýler, alamber, Lagranj (XVII asyr) we başgalar ulanypdyr. «Kosinus» adalgasy latynça «komplimenti sinus» adalgasynyň gysgaldylany, ol «goşmaça sinus», has takygy «goşmaça duganyň sinusy» diýmekdir. Kosinuslar teoremasyny grekler hem bilipdir, onuň subudy Ýewklidiň Esaslar eserinde getirilen. Sinuslar teoremasynyň özboluşly subudyny bu Reýhan iruny beýan edipdir. Taryhy maglumatlar. iruny (doly ady bu Reýhan Muhammet ibn hmet) ( ) orta asyryň beýik ensiklopedik alymy. Ol Horezm ülkesiniň Kyýat şäherinde doglan. Kyýat myderýanyň sag kenary häzirki iruny şäheriniň ýerinde bolupdyr, ol ýakyn wagtlara çenli Şabbaz diýlip atlandyrylypdyr. irunynyň matematika we ylmyň başga ugurlarynda goşan goşandyny ýazyp galdyran 50 -den gowrak eserinden hem görmek bolar. Olardan iň irileri Hindistan, Ýadygärlikler, Mas ud kanunlary, Geodeziýa, Mineralogiýa we stronomiýa. irunynyň şa eseri Mas ud kanunlary esasan astronomiýa degişli bolsa hem onuň matematika degişli ep-esli açyşlary şu eserde iruny ( ) beýan edilen. u eserde iruny iki burçuň jemi we tapawudynyň sinuslary, ikeldilen we ýarym burçuň sinuslary hakyndaky teoremalar bilen deň güýçli bolan hordalar hakyndaky teoremalary subut edipdir, iki gradusly duganyň hordalaryny hasaplap tapan, sinuslar we tangensler jedwellerini düzüpdir, sinuslar teoremasyny subut edipdir. 88

89 III P TÖWEREGIŇ UZYNLYGY WE TEGELEGIŇ MEÝNY Şu baby öwrenmek netijesinde siz aşakdaky bilim we amaly endiklere eýe bolarsyňyz: ilimler: köpburçlugyň daşyndan we içinden çyzylan töwerekleriň häsiýetlerini bilmek; dogry köpburçluklaryň häsiýetlerini bilmek; dogry köpburçlugyň meýdanyny hasaplamagyň formulalaryny bilmek; töwerek we onuň dugasynyň uzynlygyny hasaplamagyň formulalaryny bilmek; tegelek we onuň bölekleriniň meýdanynyn tapmagyň formulalaryny bilmek burçuň radian ölçegini bilmek. maly endikler: dogry köpburçluklary häsiýetlendirmek; dogry köpburçlugyň daşyndan we içinden çyzylan töwerekleriň radiuslaryny tapmagy başarmak; töweregiň we duganyň uzynlygyny hasaplamak; tegelek we onuň bölekleriniň meýdanyny hasaplamak. 89

90 40 TÖWEREGIŇ IÇINEN ÇYZYLN KÖPURÇLUKLR Kesgitleme. Eger köpburçlugyň ähli depeleri töwerekde ýatsa, bu köpburçluk töweregiň içinden çyzylan, töwerek bolsa köpburçlugyň daşyndan çyzylan diýilýär (-nji surat). O Islendik üçburçlugyň içinden töwerek çyzmak mümkinligi we bu töweregiň merkezi üçburçlugyň taraplarynyň orta perpendikulýarlarynyň kesişýän nokadynda ýatýandygyny 8-nji E Töweregiň içinden çyzylan synpda öwrenipdiňiz. bäşburçluk ýagny bäşburçlugyň Eger köpburçlugyň burçlarynyň sany üçden artyk daşyndan çyzylan töwerek. bolsa, köpburçlugyň daşyndan hemişe-de töwerek çyzyp bolubermeýär. Meselem, gönüburçlukdan tapawutly parallelogram üçin daşyndan çyzylan töwerek ýok (-nji surat). 8-nji synpdan mälim bolşy ýaly, dörtburçlugyň gaşylykly burçlarynyň jemi 80 -a deň bolanda we diňe şu ýagdaýda daşky töwerek çyzmak mümkin (3-nji surat). -nji mesele. Ýiti burçly üçburçlugyň we 3 beýiklikleri H nokatda kesişýär. H dörtburçlugyň töweregiň içinden çyzylandygyny subut ediň. Çözülişi. we bolany üçin (4-nji surat) H = H = =80 + =80 H Onda H + H =80. örtburçlugyň içki burçlarynyň jemi 360 bolany üçin: + H =80. iýmek, H dörtburçlugyň daşyndan töwerek çyzmak mümkin Töweregiň içinden çyzylan köpburçlugyň depeleri töweregiň merkezinden deň uzaklykda ýatýanlygy üçin töweregiň merkezi köpburçlugyň taraplarynyň orta perpendikulýarlarynda ýatýar (5-nji surat). iýmek, töweregiň içinden çyzylan köpburçlugyň taraplarynyň orta perpendikulýarlary bir nokatda kesişmelidirler. -nji mesele. Radiusy 0 sm bolan töwerege beýikligi 6 sm bolan deňýanly ýiti burçly üçburçluk içinden çyzylan. Onuň taraplaryny tapyň.

91 Çözülişi. üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň merkezi O nokat tarapyň orta perpendikulýary bolan beýiklikde ýatýar (6-njy surat). Onda, O = O =6 0= 6 (sm) bolýar we Pifagoryň teoremasyna görä, = O O = 0 6 =8 (sm), ==6(sm). Şonuň ýaly-da, gönüburçly üçburçlukda = + = 8 +6 = 8 5 (sm). Jogaby: 8 5 sm, 8 5 sm, 6 sm. Soraglar, meseleler we ýumuşlar O. Eger köpburçluk töweregiň içinden çyzylan bolsa, onuň taraplarynyň orta perpendikulýarlary bir nokatda kesişýändigini subut ediň.. Nähili üçburçluk töweregiň içinden çyzylan bolmagy mümkin? örtburçluk nähili? 3. E bäşburçluk töweregiň içinden çyzylan bolsa, = E bolýandygyny subut ediň. 4. Katetleri 6 sm we sm bolan gönüburçly üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 5. Radiusy 5 sm bolan töweregiň içinden bir tarapy 4 sm bolan gönüburçluk çyzylan. Gönüburçlugyň meýdanyny tapyň. 6. Radiusy 0 sm bolan töweregiň içinden çyzylan a) deň taraply üçburçlugyň; b) kwadratyň; ç) deňýanly gönüburçly üçburçlugyň taraplaryny tapyň. 7. Taraplary 6 sm, 0 sm we 0 sm bolan üçburçluklaryň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 8. Töweregiň içinden çyzylan EF altyburçlukda F+ F =90 bolsa, töweregiň merkeziniň F tarapda ýatýandygyny subut ediň. 9. Islendik deňýanly trapesiýa töweregiň içinden çyzylmagynyň mümkinligini subut ediň. 0. eňýanly trapesiýa çyzyň. Oňa daşyndan çyzylan töwerek guruň. Gyzykly mesele On alty ýaşly Galua (E.Galua fransuz matematigi, 8 83) kolležde okaýarka, oňa mugallymy bir sagatyň içinde üç sany meseläni çözüp bermegini sorapdyr. Galua çözüwi onçakly aňsat bolmadyk bu meseleleri 5 minutda çözüp, hemmäni haýran galdyrypdyr. Ynha şu meselelerden biri. Ony siz hem çözüp görüň hany! Mesele. Töweregiň içinden çyzylan dörtburçlugyň dört tarapy a, b, c we d deň. Onuň diagonallaryny tapyň. 5 6 O 9

92 4 TÖWEREGIŇ ŞYNN ÇYZYLN KÖPURÇLUK E Töweregiň daşyndan çyzylan E bäşburçluk ýagny E bäşburçlugyň içinden çyzylan töwerek. 3 4 O + = + Kesgitleme. Eger köpburçlugyň ähli taraplary töwerege galtaşsa, onda köpburçluk töweregiň daşyndan çyzylan, töwerek bolsa köpburçlugyň içinden çyzylan diýilýär (- nji surat). Islendik üçburçlugyň daşyndan töwerek çyzmagyň mümkinligi we bu töweregiň merkezi üçburçlugyň bissektrisalarynyň kesişme nokadyndadygy bilen bilen 8-nji synpda tanyşypdyňyz. Eger köpburçlugyň burçlarynyň sany üçden artyk bolsa, bu köpburçlugyň içinden hemişe-de töwerek çyzyp bolubermeýär. Meselem, kwadratdan tapawutly gönüburçlugyň içinden töwerek çyzyp bolmaýar(-nji surat). Ýene 8-nji synpdan mälim bolşy ýaly, dörtburçlugyň içinden diňe we diňe garşylykly taraplarynyň jemi deň bolanda töwerek çyzmak mümkin (3-nji surat). Töweregiň daşyndan çyzylan köpburçlugyň burçunyň taraplary töwerege galtaşýanlygy üçin töweregiň merkezi şol burçuň bissektrisasynda ýatýar (4-nji surat). iýmek, töweregiň daşyndan çyzylan köpburçlugyň burçlarynyň bissektrisalary bir nokatda kesişýär. Teorema. Eger r radiusly töweregiň daşyndan çyzylan köpburçlugyň meýdany S, ýarym perimetri p bolsa, S =pr bolýar. Subudy. Teoremanyň subudyny töweregiň daşyndan çyzylan EF altyburçluk üçin getirýäris. Töweregiň merkezi O nokady köpburçlugyň depeleri bilen birleşdirip, köpburçlugy üçburçluklara bölýäris. u üçburçluklaryň beýiklikleri r -e deň (5-nji surat). Onda, S =S O +S O +...+S FO = r + r F r = Teorema subut edildi F r =pr. 9

93 Mesele. Töweregiň daşyndan çyzylan dörtburçlugyň meýdany sm -a, perimetri bolsa 7 sm -e deň. Töweregiň radiusyny tapyň. Çözülişi. S= pr formula görä, S r= = Jogaby: p = 6 (sm). 6 sm. 3,5 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Tarapy 6 sm bolan a) deň taraply üçburçlugyň; b) kwadratyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň.. Radiusy 5 sm bolan töweregiň içinden çyzylan köpburçlugyň meýdany 8 sm. Köpburçlugyň perimetrini tapyň njy suratdaky dörtburçluklaryň perimetrini tapyň nji suratdaky maglumatlar esasynda soralýan kesimi tapyň. 5. Töweregiň daşyndan çyzylan parallelogramyň romb bolýandygyny subut ediň. 6. Gönüburçly üçburçlugyň içinden çyzylan töweregiň radiusy katetleriň jemi bilen gipotenuzanyň tapawudynyň ýarysyna deňligini subut ediň. 7. Töweregiň daşyndan çyzylan deňýanly trapesiýanyň orta çyzygy onuň gapdal tarapyna deňligini subut ediň. 8. Esaslary 9 sm we 6 sm bolan deňýanly trapesiýa töweregiň daşyndan çyzylan. Töweregiň radiusyny tapyň. 9*. dörtburçluk O merkezli töweregiň daşyndan çyzylan. O we O üçburçluklaryň meýdanlarynyň jemi dörtburçlugyň meýdanynyň ýarysyna deňligini subut ediň. 0*. Töweregiň daşyndan çyzylan trapesiýanyň esaslary a we b bolsa, onuň beýikligi ab -ga deňdigini subut ediň. *. epeleri dörtburçlugyň bissektrisalarynyň kesişen nokatlarda bolan EFPQ dörtburçlugyň daşyndan töwerek çyzmagyň mümkindigini subut ediň. F a) b) ç) b) a) r 4,3 ç) =? r r r O r 3 4 4,3 4 E r =? =?

94 4 OGRY KÖPURÇLUKLR Ugrukdyryjy gönükme.. Nähili figuralara köpburçluk diýilýär?. Köpburçlugyň burçlary, goňşy taraplary, diagonallary diýip nämä aýdylýar? 3. Güberçek köpburçluk diýip nähili köpburçluga aýdylýar? 4. Güberçek köpburçlugyň içki burçlarynyň jemi hakyndaky teoremany aýdyň. Kesgitleme. Hemme taraplary deň we hemme burçlary deň bolan güberçek köpburçluga dogry köpburçluk diýilýär. dogry bäşburçluk eň taraply üçburçluk, kwadrat dogry köpburçluga mysal bolýar. -nji suratda dogry bäşburçluk, altyburçluk we sekizburçluklar suratlandyrylan. Teorema. ogry n burçuň her bir burçy. 80 -a deň. Subudy. ogry n burçuň burçlarynyň jemi (n ).80 -a deň (8-nji synp). iýmek, onuň her bir burçy Teorema subut edildi a deň. dogry altyburçluk dogry sekizburçluk Mesele. ogry bäşburçlukda 3 we 4 diagonallarynyň deňligini görkeziň (-nji surat) dogry bäşburçluk 3 = 4 Çözülişi. Üçburçluklaryň deňliginiň TT nyşanyna görä, 3 we 5 4 üçburçluklar özara deň. Hakykatdan hem, dogry köpburçlugyň taraplary deň we burçlary deň bolany üçin, = 5, 3 = 5 4 we 3 = 5 4. iýmek, 3 = 5 4. Mundan 3 = 4 bolýandygy gelip çykýar. 94

95 Netije. ogry bäşburçlugyň ähli diagonallary özara deňdir. 3 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. ogry bolmadyk köpburçluklara mysallar aýdyň we näme üçin dogry däldigini düşündiriň.. şakdaky tasssyklamalardan dogrularyny tapyň: a) ähli taraplary deň bolan üçburçluk dogry bolýar; b) ähli taraplary deň dörtburçluk dogry bolýar; ç) ähli burçlary deň dörtburçluk dogry bolýar; d) ähli burçlary deň romb dogry bolýar; e) ähli taraplary deň gönüburçluk dogry bolýar. 3. Eger a) n=3; b) n= 5; ç) n= 6; d) n= 0; e) n = 8 bolsa, dogry n-burçuň daşky burçlaryny tapyň. 4. ogry n burçuň daşky burçy nämä deň bolýar? Eger a) n =3; b) n= 5; ç) n= 6 ; d) n=0; e) n = bolsa, dogry n burçuň daşky burçyny tapyň. 5. ogry n burçuň her depesinden bir sanydan alnan daşky burçlarynyň jemi 360 -a deňligini subut ediň. 6. Eger dogry köpburçlugyň her bir burçy a) 60 ; b) 90 ; ç) 35 ; d) 50 bolsa, bu köpburçlugyň taraplarynyň sanyny tapyň. 7. ogry EF altyburçluk berlen. a) we diagonallaryň deňligini subut ediň. b) E dogry üçburçluk bolýandygyny subut ediň. ç), E we F diagonallaryň özara deňligini subut ediň. 8. Tarapy 0 sm bolan dogry a) bäşburçlugyň; b) altyburçlugyň; ç) sekizburçlugyň; d) on iki burçlugyň; e) on sekiz burçlugyň kiçi digonalyny hasaplaň. 9. ogry dörtburçlugyň kwadrat bolýandygyny subut ediň. 0*. Kwadratyň tarapy a -a deň. Onuň taraplaryna her bir depesinden başlap diagonalynyň ýarysyna deň bolan kesimler goýuldy. Netijede 3-nji suratda şekillendirilen sekizburçlyk emele geldi. Onuň görnüşini anyklaň we meýdanyny tapyň

96 43 OGRY KÖPURÇLUGYŇ IÇINEN WE ŞYNN ÇYZYLN TÖWEREKLER Ugrukdyryjy gönükme. Töweregiň içinden çyzylan köpburçluk diýip nähili köpburçluga aýdylýar?. Töweregiň daşyndan çyzylan köpburçluk diýip nähili köpburçluga aýdylýar? 3. Islendik köpburçlugyň töweregiň içki (daşky) çyzylan bolmagy mümkinmi? Mysallar getiriň. n Teorema. Islendik dogry köpburçluga içki töwerek hem, daşky töwerek hem çyzmak mümkin. Subudy. ýdaly,... n dogry köpburçluk, O we burçlary bissektrisalaryň kesişme nokady bolsun H 3 α α O O O H α α α α n n α α H u dogry köpburçlugyň burçuny α bilen belgiläliň.. O =O =...=O n bolýandygyny subut edýäris (- nji surat). urçuň bissektrisasynyň kesgitlemesine görä, α O = O =. iýmek, O deňýanly üçburçluk. Mundan, O =O gelip çykýar. O we 3 O üçburçluklaryň deňliginiň TT nyşanyna görä deň, çünki = 3, O tarap umumy hem-de O = O = α. Şonuň üçin O 3 =O. Edil şeýle çemeleşip O 4 =O, O 5 =O 3 we başga deňlikleriň dogry bolýandygy görkezilýär. Şeýlelikde, O =O =... O n, ýagny merkezi O we radiusy O bolan töwerek köpburçlugyň daşyndan çyzylan töwerekden ybarat bolýar (-nji surat).. Ýokarda agzalanlara görä deňýanly O, O 3,... n O üçburçluklar deň. Şonuň üçin bu üçburçluklaryň O depesinden düşürilen beýiklikleri hem deň bolýar (3-nji surat): OH =OH =... =OH n. iýmek, O merkezli we radiusy OH kesime deň bolan töwerek köpburçlugyň ähli taraplaryna galtaşýar. Ýagny, bu töwerek köpburçlugyň içinden çyzylan töwerek bolýar. Teorema subut edildi. 96

97 Netije. ogry köpburçlugyň içinden çyzylan we daşyndan çyzylan töwerekleriň merkezleri bir nokatda bolýar. u nokada dogry köpburçlugyň merkezi diýilýär. Köpburçlugyň merkezini onuň iki goňşy depeleri bilen birleşdirýän şöhlelerden ybarat burça (-nji suratdaky O, O 3... burçlar) onuň merkezi burçy diýilýär. ogry köpburçlugyň merkezinden tarapyna düşürilen perpendikulýara (3-nji suratdaky OH, OH,... kesimler) onuň apofemasy diýilýär. Mesele. Eger dogry n burçuň tarapy a, onuň içinden çyzylan töweregiň radiusy r bolsa, onuň S meýdanyny S= nar formula bilen hasaplamagyň mümkinligini subut ediň (4-nji surat). Çözülişi. Köpburçlugyň ýarym perimetri p= na bolany üçin, töweregiň daşyndan çyzylan köpburçlugyň meýdanyny tapmagyň formulasyna S =pr görä, S = nar bolýar. 4 a 5 O a r Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Meýdany 36 sm bolan kwadratyň içki we daşyndan çyzylan töwerekleriň radiuslaryny tapyň.. Perimetri 8 sm bolan dogry üçburçlugyň içki we daşyndan çyzylan töwerekleriň radiuslaryny hasaplaň. 3. ogry altyburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusy onuň tarapyna deň bolýandygyny subut ediň. 4. ogry köpburçlugyň taraplarynyň ortalary ýene dogry köpburçlugy emele getirýändigini subut ediň (5-nji surat). 5. ogry üçburçlugyň içinden çyzylan töweregiň radiusy daşyndan çyzylan töweregiň radiusyndan iki esse kiçidigini subut ediň. 6*. ogry köpburçlugyň islendik iki tarapynyň orta perpedikulýarlary ýa-da bir nokatda kesişýändigini ýa-da bir göni çyzykda ýatýandygyny subut ediň. 7. Töweregiň içinden çyzylan dogry köpburçlugyň bir tarapy töwerekden a) 60 ; b) 30 ; d) 36 ; e) 8 ; f) 7 -a deň dugany bölüp aýyrýar. Köpburçlugyň näçe tarapy bar? 8. Kagyzdan alty sany deň dogry üçburçluk gyrkyp alyň. Olardan peýdalanyp dogry altyburçluk guruň. Taraplary deň bolan dogry altyburçlugyň we üçburçlugyň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň. 97

98 44 OGRY KÖPURÇLUGYŇ TRPY ILEN ŞYNN WE IÇINEN ÇYZYLN TÖWEREKLERIŇ RIUSLRYNYŇ RSYNKY GLNYŞYK Ugrukdyryjy gönükme Gönüburçly üçburçlugyň ýiti burçunyň a) sinusy; b) kosinusy; ç) tangensi diýip nämä aýdylýar? Tarapy a n -e deň bolan dogry n burçuň daşyndan çyzylan töweregiň R radiusyny we içinden çyzylan töweregiň r radiusyny hasaplamak üçin formulalar tapýarys. Munuň üçin gönüburçly O üçburçlukdan peýdalanýarys. u ýerde O köpburçlugyň merkezi, köpburçlugyň tarapynyň ortasy (-nji surat). Onda, β= O = O=. = ; O R=O= = ; r =O = = ; β β r R =O =O.cosβ=Rcos. r Şu formulalardan peýdalanyp käbir dogry köpburçluklaryň tarapy, içki we daşyndan çyzylan töwerekleriň radiuslaryň arasyndaky baglanyşyklary tapýarys.. ogry üçburçluk üçin (n=3): β= =60 ; R= = ; r = = ; R=r.. Kwadrat üçin (n=4): β= =45 ; R= = ; r = = ; R=r. 3. ogry altyburçluk üçin (n=6): β= =60 ; R= =a 6 ; r = = ; R=. Mesele. ogry n burçuň a n tarapyny şu köpburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň R radiusy we içinden çyzylan töweregiň r radiusy arkaly aňladyň. Çözülişi. R= we r= formulalardan a n=rsin we an=r tg formulalary alarys. Hususan-da, n=3 bolsa, a 3 =R 3=r 3. 98

99 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Tarapy 5 sm bolan a) dogry üçburçlugyň; b) dogry dörtburçlugyň; ç) dogry altyburçlugyň içinden we daşyndan çyzylan töwerekleriň radiuslaryny hasaplaň.. -nji suratyň sag tarapynda R radiusly töweregiň içinden çyzylan kwadrat, dogry üçburçluk we dogry altyburçluk görkezilen. epderiňize berlen jedwelleri göçürip, onuň boş öýjüklerini dolduryň(a n köpburçlugyň tarapy, P köpburçlugyň perimetri, S onuň meýdany, r onuň içinden çyzylan töweregiň radiusy). 3. Radiusy 8 sm bolan töweregiň içinden çyzylan dogry on iki burçlugyň bir depesinden çykan diagonallaryny tapyň. a) b) d) R r R R r R R r R r a 4 P S R r a 3 P S R r a 6 P S Töweregiň içinden çyzylan dogry üçburçlugyň perimetri 4 sm. Şu töweregiň içinden çyzylan kwadratyň tarapyny tapyň. 5. Silindr şeklindäki agaçdan esasynyň tarapy 0 sm bolan: a) kwadrat; b) dogry altyburçluk bolan prizma şeklindäki sütün taýýarlamaly. gajyň kese kesiginiň diametri iň bolmanda näçe bolmaly? 6. 3-nji a suratda şekillendirilen, reňbe-reň nagyşlary tomaşa edip bolýan Kaleýdoskop diýlip atlandyrylýan oýnawaç size tanyş bolmaly. Oýnawaç turba we 3 sany aýna böleklerinden ybarat. 3-nji b suratda onuň kese kesigi 3 görkezilen we ölçegleri berlen. Kaleýdoskopyň kese a) b) kesiginiň radiusyny tapyň. 5 sm 5 sm 5 sm 99

100 45 bilimiňizi synaň I. Testler. şakdaky köpburçlaryň haýsy birinde içinden çyzylan töwerek ýok? ) Üçburçlukda; ) Kwadratdan tapawutly rombda; Ç) Kwadratda; ) Rombdan tapawutly gönüburçlukda.. şakdaky köpburçlaryň haýsy birinde daşyndan çyzylan töwerek ýok? ) Üçburçlukda; ) Kwadratdan tapawutly rombda; Ç) Kwadratda; ) Rombdan tapawutly gönüburçlukda. 3. Töweregiň içinden çyzylan ähli dörtburçluklar üçin nädogry deňligi tapyň. ) =360 ; ) +=+; Ç) + =80 ; ) + = Töweregiň daşyndan çyzylan ähli dörtburçluklar üçin nädogry deňligi tapyň. ) =360 ; ) +=+; Ç) + =80 ; ) -=-. 5. Taraplary 5 sm we sm bolan gönüburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. ) 6 sm; ) 6,5 sm; Ç) 7 sm; ) 7,5 sm. 6. ogry 4 burçlugyň içki burçuny tapyň. ) 0 ; ) 35 ; Ç) 50 ; ) Her bir daşky burçy 60 bolan dogry köpburçlugyň içki burçlarynyň jemini tapyň. ) 540 ; ) 360 ; Ç) 90 ; ) II. Gurmaga degişli meseleler.. Tarapy berlen kesime deň dogry altyburçluk guruň. Munda dogry altyburçlugyň daşyndan O 4 çyzylan töweregiň radiusy altyburçlugyň tarapyna deňliginden we -nji suratdan peýdalanyň.. -4-nji suratlardaky maglumatlardan peýdalanyp, 6 5 berlen töweregiň içinden çyzylan a) dogry üçburçluk; b) kwadrat; d) dogry sekizburçluk guruň nji suratdan peýdalanyp, berlen töweregiň daşyndan çyzylan dogry altyburçluk guruň (5-nji suratda şekillendirilen töweregiň daşyndan çyzylan altyburçlugyň taraplary şu töweregiň içinden çyzylan dogry altyburçlugyň depelerinden töwerege geçirilen galtaşmalarda ýatýar). 00

101 III. Hasaplamaga degişli meseleler.. ogry üçburçluk, kwadrat we dogry altyburçluklaryň taraplary bir-birine deň. Olaryň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň.. ir töweregiň içinden çyzylan dogry altyburçlugyň we daşyndan çyzylan altyburçlugyň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň. 3. ogry a) altyburçluk; b) sekizburçluk; ç) on iki burçlugyň parallel taraplarynyň arasyndaky aralyk 0 sm -e deň. Köpburçlugyň tarapyny tapyň.. 4. Radiusy R bolan töwerege... 8 dogry sekizburçluk içinden çyzylan dörtburçlugyň gönüburçlukdygyny subut ediň we onuň meýdanyny tapyň. 5. Töweregiň daşyndan çyzylan gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasy şu töwerege galtaşma nokadynda 4 sm we 6 sm uzynlykdaky kesimlere bölünýär. Üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 6. ogry onburçlugyň bir depesinden çykan iň uly we iň kiçi diagonallarynyň arasyndaky burçy tapyň. 3 4 O IV. Özüňizi synaň (nusga barlag işi). 5. Katetleri 0 sm we 4 sm bolan gönüburçly üçburçlugyň içinden çyzylan we daşyndan çyzylan töwerekleriň radiuslaryny tapyň.. Radiusy 5 sm bolan töweregiň daşyndan çyzylan rombyň bir burçy 50 -a deň. Rombyň a) perimetrini; b) diagonallaryny; ç) meýdanyny tapyň. 3. Tarapy 4 sm bolan dogry altyburçlugyň bir depesinden çykan diagonallaryny tapyň. 4. (Goşmaça). Radiusy 3 sm bolan töweregiň içinden çyzylan dogry altyburçlugyň we dogry üçburçluklaryň meýdanlarynyň tapawudyny tapyň. Taryhy maglumatlar. Islendik dogry köpburçlugy hem sirkulyň we çyzgyjyň kömeginde gurup bolmaýar. Muny 80-nji ýylda nemes matematigi Karl Gauss ( ) algebraik usulda subut edipdir. Ol eger n sanyň m p p...p n giňelmesi p, p,... p n dürli düýp sanlar diňe k + görnüşinde bolsa dogry n-burçy sirkulyň we çyzgyjyň kömeginde gurmagyň mümkinligini subut etdi. u ýerde m we k otrisatel bolmadyk bitin sanlardyr. 0

102 46 TÖWEREGIŇ UZYNLYGY Ugrukdyryjy gönükme. datda turba böleginiň kese kesigi töwerekden ybarat bolýar. Inçejik ýüpi bir ujundan başlap, turba bir gezek oraň. ir gezek saramaga giden ýüp bölegi turbanyň kese kesigi, ýagny töweregiň uzynlygy bolýar. Ony suratda görkezilişi ýaly edip çyzgyjyň kömeginde ölçäň.. Ýokardaky usul bilen turbanyň kese kesiginiň diametrini anyklaň. 3. nyklanan töweregiň uzynlygyny onuň diametrine gatnaşygyny hasaplaň. 4. Ýokarda getirilen ölçeg we hasaplama işlerini ýene birnäçe dürli ölçegdäki turba bölekleri üçin hem ýerine ýetirip, töweregiň uzynlygyny onuň diametrine gatnaşyklaryny tapyň. 5. Gönükmäniň netijesine görä töweregiň uzynlygyny onuň diametrine gatnaşygy hakda nähili netije çykarmak bolar? Teorema. Töweregiň uzynlygynyň töweregiň diametrine gatnaşygy töweregiň radiusyna bagly däl, ýagny islendik töwerek üçin bu gatnaşyk bir meňzeş sandyr. Subudy. Iki sany erkin töwerek alýarys. Olaryň radiuslary R we R, uzynlyklary bolsa degişlilikde we bolsun. deňligi subut etmek gerek. Iki töwerege-de içki dogry n-burçy çyzýarys. Olaryň perimetrlerini degişlilikde P we P diýip belgileýäris. Onda, P =n.r sin, P =n.r sin bolany üçin (*) bolýar. u deňlik islendik n üçin dogry. n sany ulaldygy saýyn, berlen töweregiň içinden çyzylan n-burçuň perimetri P şu töweregiň uzynlygy -e ýakynlaşýar. Şular ýaly P hem -ä ýakynlaşýar. Şonuň üçin gatnaşyk gatnaşyga deň bolýar (Munuň doly subuty matematikanyň ýokary basgançaklarynda öwrenilýär). Şeýlelikde, (*) deňlikden, mundan bolsa deňlik gelip çykýar. Teorema subut edildi. 0

103 Töweregiň uzynlygyny onuň diametrine gatnaşygyny ýunan elipbiýiniň π harpy bilen belgilemek kabul edilen ( pi diýlip okalýar). Töweregiň uzynlygyny onuň diametrine gatnaşygyny π harpy bilen belgilemegi beýik matematik Leonard Eýler ( ) ylma girizipdir. Ýunançada töwerek sözi şu harp bilen başlanýar. π irrasional san bolup, amalyýetde onuň 3,46 -a deň bolan ýakynlaşan bahasyndan peýdalanylýar. Şeýlelikde, = π. u deňlikden radiusy R -e deň bolan töweregiň uzynlygy üçin =πr formulany alýarys. Mesele. Tarapy 6 sm bolan dogry üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň uzynlygyny tapyň. Çözülişi. ogry üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapmagyň formulasy R = görä R = = 3 (sm). Indi, töweregiň uzynlygyny tapmagyň formulasyndan = πr =π. 3=4π 3 (sm). Jogaby: 4π 3 sm. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Nähili san π bilen belgilenýär? Radiusy R -e deň bolan töweregiň uzynlygyny tapmak formu-lasyndan peýdalanyp jedweli dolduryň (π 3,4 diýip hasaplaň). 8 8π 6,8 R 4 3 0,7 0,5. Eger töweregiň radiusy a) 3 esse artsa; b) 3 sm -e artsa; ç) 3 esse kemelse; d) 3 sm -e kemelse, töweregiň uzynlygy näçä üýtgär? 3. Eger Ýer şarynyň ekwatorynyň 40 milliondan bir bölegi m -e deň bolsa, Ýer şarynyň radiusyny tapyň. 4. a) Tarapy a -ga deň bolan dogry üçburçluga; b) katetleri a we b bolan gönüburçly üçburçluga; ç) esasy a we gapdal tarapy b bolan deňýanly üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň uzynlygyny tapyň. 5. a) Tarapy a -ga deň kwadrata; b) gipotenuzasy c -e deň bolan deňýanly gönüburçly üçburçluga; ç) gipotenuzasy c, ýiti burçy α bolan gönüburçly üçburçlugyň içinden çyzylan töweregiň uzynlygyny tapyň. 6. Teplowoz 43 m ýol geçdi. Şonda onuň tigiri 300 gezek aýlandy. Teplowozyň tigiriniň diametrini tapyň. 7. Nexia awtomobiliniň tigiriniň töwe reginiň radiusy 4 sm -e deň. wtomobil 00 km ýol geçse, onuň tigiri näçe gezek aýlanýar (-nji surat)? 4 sm 03

104 47 TÖWEREGIŇ UGSYNYŇ UZYNLYGY. URÇUŇ RIN ÖLÇEGI O n R l. n -ly merkezi burç direlýän duganyň uzynlygy. ýdaly, radiusy R -e deň bolan töwerekde n -ly merkezi burç O berlen bolsun (-nji surat). Munda töweregiň O merkezi burça direlen duganyň gradus ölçegini n ýa-da n -ly duga diýilýändigini ýatladyp geçýäris. Radiusy R -e deň bütin töwerek, ýagny 360 -ly duganyň uzynlygy πr -e deň bolany üçin, l =.n -ly duganyň uzynlygy -a deň bolýar. =R α O R şu gatnaşygy alýarys: Onda, n -ly duganyň uzynlygy l= anyklanýar (-nji surat)..n formula bilen. urçuň radian ölçegi. urçuň gradus ölçegi bilen bir hatarda onuň radian ölçegi hem ulanylýar. Töweregiň dugasynyň uzynlygynyň radiusa gatnaşygyny ýokardaky formula esasan: =.n -a deň. iýmek, töweregiň dugasynyň uzynlygynyň radiusyna gatnaşygy diňe şu duga direlen merkezi burçuň ululygyna bagly eken. Şu häsiýetden peýdalanyp, burçuň radian ölçegi hökmünde edil α = =.n. datda radian sözi ýazylmaýar. Meselem: 5 rad ýerine 5 diýlip ýazylýar. ir radian 80 π gradusa deň: rad = 80 π urçuň gradus ölçeginden radian ölçegine geçmek üçin deňlige eýe bolarys. α= radian α=.n Şeýlelikde, n -ly burçuň radian ölçegini tapmak üçin onuň gradus ölçegini -a köpeltmek ýeterlidir. Hususy halda, 80 -ly burçuň radian ölçegi π -ge deň, 90 -ly, ýagny göni burçuň radian ölçegi -ge deň bolýar. α-radiana deň merkezi burça degişli dugasynyň uzynlygy l=αr formula bilen hasaplanýar. 04

105 Mesele. urçlary 30 we 45 bolan üçburçlugyň burçlarynyň radian ölçeglerini tapyň. Çözülişi. Üçburçlugyň 30 -ly burçunyň radian ölçegi 30. =, 45 -ly burçunyň radian ölçegi 45. =. Üçburçlugyň içki burçlarynyň jemi 80 -a, ýagny π -ge deňligi hakyndaky teorema esasan üçburçlugyň üçünji burçunyň radian ölçegini tapýarys. π =. Jogaby: ; we. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Radiusy 6 sm bolan töweregiň gradus ölçegi a) 30 ; b) 45 ; ç) 90 ; d) 0 bolan dugasynyň uzynlygyny tapyň.. a) 40 ; b) 60 ; ç) 75 -a deň burçuň radian ölçegini tapyň. 3. a),; b) ; ç) radiana deň burçuň gradus ölçegini tapyň. 4. Eger töweregiň radiusy 5 sm bolsa, onuň a) ; b) ; ç) radiana deň dugasynyň uzynlygyny tapyň. 5. Radiusy sm bolan töwerege üçburçluk içinden çyzylan. Eger a) =30 ; b) =0 bolsa, nokady öz içine almadyk duganyň uzynlygyny tapyň. 6. Töweregiň deň hordalary töwerekden deň dugalary bölüp aýyrýandygyny subut ediň. 3 7*. Iki töwerek bir-biriniň merkezinden geçýär. u töwe rekleriň umumy hordasy iki töwerekden hem bölüp aýyran dugalaryň uzynlyklarynyň gatnaşygyny tapyň. 8*. Radiuslary deň bolan üç sany töwerekler bir-birine daşardan we radiusy R -e deň bolan töwerege içersinden galtaşýar (3- nji surat). a) Töwerekleriň radiuslaryny tapyň; b) boýalan figurany çäkleýän dugalaryň uzynlyklarynyň jemini tapyň. 4 Gyzykly mesele R R 4-nji suratda görkezilen iki sany dişli tigirler bir-birine dişledilen. Tigirleriň radiusy R we R. irinji tigir n gezek aýlananda ikinji tigir näçe gezek aýlanar? 05

106 48 TEGELEGIŇ MEÝNY Kesgitleme. Tekizligiň berlen O nokadyndan berlen R aralykdan uly bolmadyk aralykda ýatýan ähli nokatlaryndan ybarat şekile tegelek diýilýär. Merkezi O nokatda we radiusy R -e deň bolan tegelek tekizligiň O nokatdan R dan geçmeýän aralykda ýatýan ähli nokatlaryndan ybarat bolýar. a) Ugrukdyryjy gönükme ir list kagyza ýogyn çyzyk bilen töwerek çyzyň we -nji a suratda görkezilişi ýaly, onuň birnäçe diametrlerini geçirip, tegelegi deň böleklere bölüň. Soňra bu bölekleri gyrkyp alyň b) we -nji b suratda görkezilişi ýaly gurnap, F figurany alyň. Eger tegelek islendikçe köp deň böleklere bölünip, bu bölekler F suratda görkezilen tertipde gurnalsa, netijede gönüburçluga gaty ýakyn F figura peýda bolýar. a) F figurany gönüburçluga gaty ýakynlygyny hasaba alyp, onuň tarapy takmynan nämä deň bolýandygyny tapyň (Görkezme: tarapy tegelegiň radiusy bilen deňeşdiriň). b) F figuranyň tarapy takmynan nämä deň bolýar? O (Görkezme: we taraplar ýogyn çyzyk bilen çyzylandygy üçin, ýagny töwerek dugajyklaryndan ybaratdygyna α üns beriň). ç) F figuranyň gönüburçluga gaty ýakynlygyny hasaba alyp, onuň meýdanyny takmynan hasaplaň. F figuranyň meýdany tegelegiň meýdanyna gaty ýakynlygyny nazarda tutup, tegelegiň meýdany hakynda netije çykaryň. Teorema. Radiusy R -e deň bolan tegelegiň meýdany πr -e deň. Subudy. Radiusy R we merkezi O nokatda bolan töwerege garalyň. Töweregiň daşyndan çyzylan... n içinden çyzylan... n dogry n burçlaryň I II meýdanlary degişlilikde S n we S n bolsun (-nji surat). O we O üçburçluklaryň meýdanlaryny tapýarys: S O = O = R; S O = O = O cosα = Rcosα. 06 I I II II Onda, S n =n R = P n R, S n =n Rcosα= P n R cosαц ()

107 I II u ýerde P n we P n degişlilikde... n we... n köpburçluklaryň perimetrleri. α= bolany üçin n -iň ýeterli derejede uly bahalarynda cosα -nyň bahasy birden, P n we P n leriň bahalary töweregiň uzynlygy, ýagny πr -den islendikçe az tapawutlanýar.onda, () deňliklere görä, n -iň ýeterli derejede uly bahalarynda köpburçluklaryň meýdany πr -a ýakynlaşýar. Mundan, tegelegiň meýdany üçin S =πr formula gelip çykýar. Teorema subut edildi. Mesele. Sirkiň arenasynyň töwereginiň uzynlygy 4 m. renanyň radiusyny we meýdanyny tapyň. Çözülişi. ) Töweregiň uzynlygyny tapmagyň formulasyndan radiusy tapýarys (3-nji surat): R 3 4 R =.3,4 6,53 (m). ) Tegelegiň meýdanyny hasaplamagyň formulasyndan arenanyň meýdanyny tapýarys. S =πr 3,4.6,53 33,84(m ). Jogaby: R 6,53 m; S =33,84 m. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Tegelegiň meýdanyny hasaplamagyň formulasyny esaslandyryň.. Radiusy R -e deň bolan tegelegiň S meýdanyny tapmagyň formulasyndan peýdalanyp jedweli dolduryň (π=3,4 diýip alyň). R 5 54,3 6,5 7 S 9 49 π 3 3. Eger tegelegiň radiusy a) k esse artsa; b) k esse kemelse, tegelegiň meýdany nähili üýtgär? 4. Tarapy 5 sm bolan kwadratyň içinden çyzylan we daşyndan çyzylan tegelekleriň meýdanyny tapyň. 5. Tarapy 3 3 sm bolan dogry üçburçlugyň içki we daşyndan çyzylan tegelekleriň meýdanyny tapyň. 6. Radiusy R bolan tegelekden iň uly kwadrat gyrkyp alyndy. Tegelegiň galan böleginiň meýdanyny tapyň. 7. Taraplary 6 sm we 7 sm bolan gönüburçlugyň daşyndan çyzylan tegelegiň meýdanyny tapyň Tarapy 0 sm we ýiti burçy 60 bolan rombyň içinden çyzylan tegelegiň meýdanyny tapyň. 9*. Gönüburçly üçburçluguň taraplaryny diametr edip ýarym tegelekler çyzylan. Gipotenuza çyzylan ýarym tegelegiň meýdany katetlere çyzylan ýarym tegelekleriň meýdanlarynyň jemine deň bolýandygyny görkeziň (4-nji surat). 07

108 49 TEGELEGIŇ ÖLEKLERINIŇ MEÝNY K Kesgitleme. Tegelegiň dugasy we şol duganyň ahyrlaryny tegelegiň merkezi bilen birleşdirýän iki radiusy bilen çäklenen bölegine sektor diýilýär. Sektoryň araçägi bolan duga sektoryň dugasy diýilýär. O -nji suratda K we L dugaly iki sektor görkezilen (olardan birinjisi boýalan). L Radiusy R -e we dugasynyň gradus ölçegi n -a deň bolan K sektoryň S meýdanyny tapmak üçin formula getirip çykarýarys. ugasy -a deň sektoryň meýdany tegelegiň (ýagny dugasy 360 -a deň sektor) meýdanynyň bölegine deň bolany üçin, dugasy n bolan sektoryň meýdany O S =.n ýa-da S= Rl formula arkaly tapylýar. u ýerde l n -li sektoryň dugasynyň L uzynlygy. 3 n O Kesgitleme. Tegelegiň dugasy we şol duganyň ahyrlaryny birleşdirýän hordasy bilen çäklenen bölegine segment diýilýär. -nji suratda K we L dugaly iki segment şekillendirilen (olardan birinjisi boýalan). Ýarym tegelekden tapawutly segmentiň S meýdany S =.n S O S = S sektor ± S =. n ±S O formula boýunça hasaplanýar (3 we 4-nji suratlara garaň). 4 Mesele. uganyň gradus ölçegi 7 bolan sektoryň meýdany 45π -ge deň. Sektoryň radiusyny tapyň. O Çözülişi. Sektoryň meýdanyny tapmak formulasyna görä n. 7 = 45π. S =.n+s O Mundan, R = 45π.360 7π =5, diýmek R = 5. Jogaby: 5. 08

109 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Sektoryň meýdanyny tapmak formulasyny getirip çykaryň.. Segmentiň meýdanyny tapmak formulasyny getirip çykaryň. 3. Radiusy 7 sm bolan sektoryň we segmentiň meýdanlaryny tapyň. Munda, onuň dugasynyň gradus ölçegi a) 30 ; b) 45 ; ç) 0 ; d) nji suratda tarapy a -ga deň bolan dogry üçburçluk, kwadrat we dogry altyburçluk şekillendirilen. oýalan figuralaryň meýdanyny tapyň. Munda sektorlaryň radiuslary köpburçlugyň tarapynyň ýarysyna deň. 5. Nyşanda radiuslary,, 3, 4 -e deň bolan dört sany töwerek bar. Iň kiçi tegelegiň meýdanyny we her bir halkanyň meýdanyny tapyň (6-njy surat). 6. Radiusy 0 sm -e deň bolan tegelekde radiusa deň horda geçirilen. Emele gelen segmentleriň meýdanyny hasaplaň. 7. Radiuslary 5 sm -dan bolan iki tegelegiň merkezleriniň arasyndaky aralyk 5 sm. Tegelekleriň umumy böleginiň meýdanyny tapyň. 8. Radiusy 0 sm bolan tegelegiň içki we daşyndan çyzylan dogry on iki burçluklaryň meýdanyny hasaplaň. Netijeleri tegelegiň meýdany bilen deňeşdiriň. Gyzykly mesele 7-nji suratda şekillendirilen güldanyň suratyny üç göni çyzyk bilen a) olardan gönüburçluk gurnap bolar ýaly dört bölege bölüň; b) olardan kwadrat gurnamak mümkin bolar ýaly, iki göni çyzyk bilen üç bölege bölüň. Taryhy maglumatlar. Uzak wagtlaryň dowamynda dünýäniň köp matematikleri tegelegiň kwadraturasy diýlip atlandyrylan aşakdaky meseläni çözmäge çalyşypdyrlar: Sirkulyň we çyzgyjyň kömeginde meýdany berlen tegelegiň meýdanyna deň bolan kwadrat gurmak. iňe XIX asyryň ahyrynda bu meseläniň çözüwe eýe däldigi subut edilipdir. 5 a) b) d) sm 09

110 50 MESELELER ÇÖZMEK -nji mesele. we nokatlar töweregiň diametrini üç sany, we kesimlere bölýär., we diametrli töwerekleriň uzynlyklarynyň jemi diametrli töweregiň uzynlygyna deňligini subut ediň (-nji surat). Çözülişi. Töweregiň uzynlygyny tapmak formulasyndan peýdalanyp,, we diametrli töwerekleriň,, 3 uzynlyklarynyň jemini tapýarys: S 4 S S S = π+ π+ π = π( + +). ++= we diametrli töweregiň uzynlygy π -ge deň bolany üçin =. Şu deňligi subut etmek talap edilipdi. -nji mesele. dörtburçlugyň depelerini merkez edip bir meňzeş radiusly sektorlar gurlan (-nji surat). u sektorlardan erkin ikisi umumy nokada eýe däl hem-de ählisiniň radiusy sm. Sektorlaryň meýdanlarynyň jemini tapyň. 3 Çözülişi. ) örtburçlugyň,,, burçlary degişlilikde α, α, α 3, α 4 bolsun. Onda, köpburçlugyň içki burçlarynyň jemi hakyndaky teorema görä, α + α + α 3 + α 4 =360. ) Sektoryň meýdanyny tapmak formulasyna görä (R = sm), S =.α, S =.α, S 3 =.α 3, S 4 =.α 4. () 3) () deňlikleriň degişli böleklerini goşýarys. Onda, S + S + S 3 + S 4 = (α + α + α 3 + α 4 )= = =π (sm ). Jogaby: π sm. 0 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Perimetri m bolan kwadrat we uzynlygy m bolan töwerek berlen. u töwerek bilen çäklenen tegelegiň meýdany bilen kwadratyň meýdanyny deňeşdiriň.

111 . Radiusy 8 sm bolan tegelekden 60 -ly sektor gyrkyp alnan. Tegelegiň galan böleginiň meýdanyny tapyň iagonallary 6 sm we 8 sm bolan rombyň içinden çyzylan tegelegiň meýdanyny hasaplaň nji suratda boýap görkezilen figuranyň meýdanyny tapyň. Onda kwadrat, =4 sm. 5*. 4-nji suratda rhimediň pyçagy diýlip atlandyrylýan figura boýap görkezilen. Onuň meýdanyny π. formula bilen hasaplanýandygyny subut ediň. 4 (Munda =90 we = bolýanlygyndan peýdalanyň). 5 a) S S 3 =S +S 6. Eger =6 sm, =4 sm bolsa, 4-nji suratda boýap görkezilen figuranyň meýdanyny we perimetrini tapyň. S Taryhy maglumatlar. Gippokratyň aýjagazlary. Gippokratyň aýjagazlary iki töweregiň dugalary S 4 bilen çäklenen we aşakdaky häsiýete eýe bolan S =S 4 +S 5 figuralardyr. u töwerekleriň (aýjagazlar) radiuslary we dugalaryň hordalary boýunça aýjagazlara deňdeş kwadratlary gurmak bolar. S 5 Pifagoryň teoremasy ulanylsa, görkezilen gipotenuza gurlan ýarym tegelegiň meýdany katetlere gurlan ýarym tegelekleriň meýdanlarynyň jemine deň bolýar (5-njy a surat). (07-nji sahypadaky 9*-njy meselä garaň). Şonuň üçin 5-njy b suratdaky aýjagazlaryň meýdanlarynyň jemi üçburçlugyň meýdanyna deň (pikirlenip görüň!). Eger suratdaky üçburçlugyň ýerine deňýanly gönüburçly üçburçluk alsak, emele gelen iki aýjagazdan her biriniň meýdany üçburçlugyň meýdanynyň ýarysyna deň bolýar. Tegelegiň kwadraturasy hakyndaky meseläni çözmäge synanyşyp, gadymy ýunan matematigi Gippokrat (e.ö. V asyr) köpburçluk bilen deňdeş birnäçe aýjagazlary oýlap tapypdyr. Gippokratyň aýjagazlarynyň doly jedweli diňe XIX XX asyrlarda düzülipdir. b)

112 5 III EGIŞLI GOŞMÇ MESELELER WE MGLUMTLR I. Testler.. 45 gradusly burçuň radian ölçegi nämä deň? π π. -e deň;. -ä deň; ç. 4 -ä deň;. -ä deň.. Radiusy 3 sm bolan töweregiň gradus ölçegi 50 bolan merkezi burçy direlen duganyň uzynlygyny tapyň.. 5π sm;. 5π sm; ç. 0π 3 3 sm;. 5π 4 sm. 3. Radiusy 6 sm bolan töwerekde 5π radiana deň merkezi burç direlen duganyň uzynlygyny tapyň. 4. 5π 5π sm;. 6 sm; ç. 4π 5π sm;. 3 sm. 4. Tarapy 5 sm -e deň bolan kwadratyň daşyndan çyzylan töweregiň uzynlygyny tapyň.. 5 π;. π; ç. 3 π;. 5π. 5. iametri 6 -a deň tegelegiň meýdanyny tapyň.. 9π;. 6π; ç. 3 π;. π. 6. ugasynyň gradus ölçegi 50, radiusy 6 sm bolan tegelek sektoryň meýdanyny tapyň.. 5π sm ;. 6π sm ; ç. 30 π sm ;. 4π sm. 7. ugasynyň uzynlygy sm we radiusy 6 sm bolan tegelek sektoryň meýdanyny tapyň.. 5π sm ;. 6π sm ; ç. 30 π sm ;. 4π sm. 8. ugasynyň gradus ölçegi 0, radiusy 3-e deň bolan tegelek segmentiň meýdanyny tapyň.. 6π - 4 3;. 6π + 4 3; ç. 3π - 4 3;. 3π II. Meseleler.. EFKL dogry sekiz burçlugyň tarapy 6 sm. Onuň diagonalyny tapyň.. Kwadratyň radiusy 4 dm bolan töweregiň içinden çyzylan. Kwadratyň goňşy taraplarynyň ortalaryndan geçýän hordany töwerekden bölüp aýyrýan dugalaryň uzynlygyny tapyň. 3. Töweregiň 90 -ly dugasynyň uzynlygy 5 π sm. Töwerek radiusyny tapyň. 4. Radiusy 0 -ä deň töwerekden uzynlygy 0 π -ge deň duga bölünip alyndy. Şu duga degişli merkezi burçy tapyň. 5. Iki tegelegiň umumy hordasy bu tegelekleri çäkleýän töwereklerden 60 -ly we 0 -ly dugalary bölüp aýyrýar. Tegelekleriň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň.

113 6. Taraplary 3, 4, 5 bolan üçburçlugyň içinden we daşyndan çyzylan tegelekleriň meýdanlaryny tapyň. 7. Tegelegiň hordasy 60 -ly dugany dartýar. u hordanyň bölüp aýyran segmentleriniň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň. 8. ogry altyburçlugyň meýdanynyň onuň içinden çyzylan tegelegiň meýdanyna gatnaşygyny tapyň. 9. Tarapy a -ga deň bolan EF dogry altyburçluk berlen. Merkezi nokat we radiusy a bolan töwerek bu altyburçlugy iki bölege bölýär. Her bir bölegiň meýdanyny tapyň. 0. Gönüburçly üçburçlukda =7, = 90, =5 sm. diametrli töweregiň üçburçlugyň içinde ýatýan dugasynyň uzynlygyny tapyň.. Tegelegiň içinden çyzylan dogry sekiz burçluk berlen. Onuň iki goňşy depelerine geçirilen radiuslar tegelegi iki sektora bölýär. Şu sektorlaryň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň.. Gönüburçly üçburçlukda =0, =90, =8 sm. kesim üçburçlugyň daşyndan çyzylan tegelegi iki segmente bölýär. oýap görkezilen segmentiň meýdanyny tapyň. 3. Kiçi töwerek uly töwerege hem-de onuň diametrine galtaşýar. Eger diametre galtaşma nokady töweregiň merkezi we = 4 bolsa, -nji suratda boýalan figuranyň meýdanyny tapyň. 4. ogry EF altyburçlugyň tarapy 6 -a deň we merkezi O nokatda. Merkezleri we nokatda we radiuslary deň bolan töwerekler O nokatda galtaşýar. oýalan zolagyň meýdanyny tapyň (3-nji surat) Gönüburçly üçburçlukda =90, = 4, =. Merkezi gipotenuzada bolan töwerek üçburçlugyň katetlerine galtaşýar. Şu töweregiň uzynlygyny tapyň. III. Özüňizi synaň (barlag işiniň nusgasy). Tarapy 6 sm bolan kwadratyň daşyndan çyzylan töweregiň uzynlygyny we içinden çyzylan tegelegiň meýdanyny tapyň.. Tarapy 4 sm bolan dogry köpburçlugyň içinden çyzylan töweregiň radiusy 4 3 sm -e deň bolsa, onuň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 0 F O O E 3

114 ly töweregiň dugasynyň uzynlygy 4 sm bolsa, a) töweregiň radiusyny; b) dugasy 40 bolan sektoryň meýdanyny; ç) dugasy 40 bolan segmentiň meýdanyny tapyň. Gyzykly mesele. In we Ýan Suratda tebigatdaky gapma-garşylyklary aňladýan In we Ýan diýlip atlandyrylýan hytaý simwoly suratlandyrylan. a) In we Ýan simwollarynyň meýdanlarynyň deňligini görkeziň; b) bir göni çyzyk bilen bu simwollaryň her birini meýdanlary deň bolan iki bölege bölüň. ç) In we Ýan simwollaryň perimetrlerini tapyň. (olary gurşaýan dugalaryň uzynlyklarynyň jemini) Taryhy maglumatlar. Töweregiň uzynlygyny hasaplamak örän gadymdan möhüm mesele bolupdyr. Töweregiň uzynlygyny onuň içinden çyzylan köpburçlugyň perimetrine çalşyrmak usuly giň ýaýrapdyr. Orta ziýaly matematikler hem tegelegiň içinden çyzylan dogry köpburçluklary gurmak, olaryň taraplaryny tegelegiň radiusy arkaly aňlatmak meseleleri bilen meşgullanypdyrlar. bu Reýhan irunynyň Kanuni Mas udi eserinde tegelegiň içinden çyzylan köpburçluklaryň tarapyny anyklamak bilen meşgullanyp, içinden çyzylan bäşburçluk, altyburçluk, ýediburçluk,..., onburçlugyň taraplaryny anyklamagyň usulyny görkezýär. Şu hasaplama netijesinde ol π 3,4 bahany alýar. Gadymy abyl we Müsür golýazmalarynda we şinehatlarynda π -ni üçe deň diýlip alynypdyr. u şol döwrüň takyklyk talaby üçin ýeterli bolupdyr. Soňluk bilen rimliler π üçin 3, -ni ulanypdyrlar. π sany üçin rhimediň beren bahasy 3,4 bolup, bu amaly meseleleri çözmekde örän makuldyr. Hytaýyň matematiklerinde π 3,55... we /7. Hindileriň Sulwe Sutra ( rkan kadasy ) eserinde π üçin 3,008 we 3,46... we 0 3,6... bahalar duşýar. Mürze Ulugbekiň stronomiýa mekdebiniň wekillerinden biri Jemşit Giýasiddin al-koşy 44-nji ýylda ýazan Töweregiň uzynlygy hakda kitap atly eserinde töweregiň içinden we daşyndan çyzylan dogry köpburçlugyň taraplarynyň sanyny ikeltmek ýoly bilen 3. 8 = ttaraply dogry köpburçluklaryň perimetrini hasaplap, π üçin π = 3, bahany alypdyr. u 6 sany onluk sifre çenli takykdyr. Ýöne al-koşynyň eseri uzak wagta çenli Ýewropada näbelli bolupdyr. Ýewropalylardan belgiýaly Wen Romen 597-nji ýylda 30 araply dogry köpburçluga rhimediň usulyny ulanyp, π üçin 7 sany onluk sifrleri anyk bolan bahany tapypdyr. Gollandiýaly Rudolf wen Seýlon (540-60) bu takyklygy 35 sany onluk sifrlere çenli alyp barypdyr. Häzirki döwürde elektron hasaplaýyş maşynlarynyň kömeginde π üçin milliondan gowrak onluk sifrleri anyk bolan bahalar tapyldy. Gündelik hasaplamalar üçin 3,46 baha, matematik hasaplamalar üçin 3,46 baha, hatda astronomiýa we kosmonawtika üçin 3,4586 baha ýeterlidir. 4

115 IV P ÜÇURÇLUK WE TÖWEREKÄKI METRIK GTNŞYKLR Şu baby öwrenmek netijesinde siz aşakdaky bilim we amaly endiklere eýe bolarsyňyz: ilimler: proporsional kesimleriň häsiýetlerini bilmek; gönüburçly üçburçlukda gipotenuza düşürilen beýikligiň häsiýetlerini bilmek; özara kesişýän hordalaryň kesimleri baradaky hem-de töweregi kesýän göni çyzygyň kesimleri baradaky häsiýetleri bilmek. Endikler: kesimleriň gatnaşygy we proporsional kesimlere degişli meseleleri çözmek; gönüburçly üçburçlukda gipotenuza düşürilen beýikligiň häsiýetlerinden peýdalanyp meseleler çözmek; kesýän hordalaryň kesimleriniň we kesýän göni çyzygyň kesimleriniň häsiýetlerinden peýdalanyp meseleler çözmek. 5

116 5 KESIMLERIŇ PROÝEKSIÝSY WE PROPORSIONLLYK a) m b) nokadyň, nokadyň, kesimiň m göni çyzykdaky proýeksiýasy m Ugrukdyryjy gönükme. Kesimleriň gatnaşygy nämäni aňladýar?. Nähili kesimlere proporsional diýilýär? 3. Falesiň teoremasyny aýdyň. Tekizlikde m göni çyzyk we kesim berlen bolsun. we nokatlardan m göni çyzyga we perpendikulýarlar düşürýäris (-nji surat). kesime kesimiň m okdaky proeksiýasy (kölegesi) diýilýär. kesimiň m göni çyzykdaky proýeksiýasyny gurmak amaly kesimi m göni çyzyga proeksiýalamak diýilýär. Teorema. ir göni çyzykda ýa-da parallel göni çyzyklarda ýatýan kesimler berlen bolsun. Olaryň şol bir göni çyzyga proýeksiýalary berlen kesimlere proporsional bolýar. 6 α α P a Q m α m b F E α R α E F a b, -niň, -niň, E F EF -niň, m göni çyzyga proýeksiýalary (- nji surat) = E F = EF () Subudy. a) Eger a we b göni çyzyklar m göni çyzyga parallel bolsa, =, =, EF=E F bolýandygyny hem-de () deňligiň dogrudygy aýan. b) Eger-de a we b göni kesim m göni çyzyga perpendikulýar bolsa, we, we, E we F nokatlar üstme-üst düşýär. Şonuň üçin,, E F kesimleriň uzynlygy nola deň bolýar we () deňlik ýerine ýetirilýär. ç) Indi başga ýagdaýlara garalyň. -nji suratda görkezilişi ýaly gönüburçly P, Q, EFR

117 üçburçluklary gurýarys. Onda a b bolany üçin P= Q = FER. iýmek, P, Q we EFR gönüburçly üçburçluklar meňzeş. Mundan deňligi alarys. Teorema subut edildi. = = E F EF Mesele. we kesimler parallel göni çyzyklarda ýatýar. Eger = sm, =5sm we kesimiň käbir m göni çyzykdaky proýeksiýasy 8 sm bolsa, kesimiň şol m göni çyzykdaky proýeksiýasyny tapyň. Çözülişi. kesimiň m göni çyzykdaky proýeksiýasy x bolsun. Onda, subut edilen teorema we meseläniň şertinden peýdalanyp, proporsiýa düzýäris: x 8 =. 5 3 u deňlikden x =0 bolýandygyny tapýarys. Jogaby: 0 sm. Soraglar, meseleler we ýumuşlar 0 m. Kesimiň berlen göni çyzykdaky proýeksiýasy näme?. ir göni çyzykda ýa-da parallel göni m çyzyklarda ýatýan kesimleriň başga bir göni çyzyga proýeksiýalary berlen kesimlere proporsional-dygyny subut ediň a we b göni çyzyklaryň arasyndaky burç 45 -a deň. a göni çyzykda uzynlygy 0 sm bolan kesim alnan. kesimiň b göni çyzykdaky proýeksiýasyny tapyň. 4. kesimiň uçlary l göni çyzykdan 9 sm we 4 sm uzaklykda ýatýar. Eger kesim l göni çyzygy kesip geçmese we =3 sm bolsa, kesimiň l göni çyzykdaky proýeksiýasyny tapyň we 4-nji suratlardaky maglumatlar esasynda binalaryň beýikliklerini tapyň. 6. Göni çyzyk we oňa parallel bolmadyk kesim çyzyň. Kesimiň göni çyzykdaky proýeksiýasyny guruň. 7. Koordinatalar tekizliginde (;3) we (3;-4) nokatlar belgilenen. kesimiň koordinata oklaryndaky proýeksiýalarynyň uzynlyklaryny tapyň. 8. a we b göni çyzyklaryň arasyndaky burçuň α -dygy mälim. a göni çyzykda kesim alnan. kesimiň b göni çyzykdaky proýeksiýasyny tapyň. 9*. we kesimleriň l göni çyzyk proýeksiýalary özara deň. we kesimleriň uzynlyklary hakynda näme diýmek bolar? Mysallar getiriň. 0 m 5 m 75 m m x-? x-? 7

118 53 PROPORSIONL KESIMLERI GURMK Falesiň teoremasynyň umumlaşmasyndan ybarat bolan möhüm häsiýeti subut edýäris. Teorema. urçuň iki tarapyny-da kesip geçýän parallel göni çyzyklar onuň taraplaryndan proporsional kesimleri bölüp aýyrýar., 3 3 (-nji surat) = 3 = 3 Subudy. we nokatlardan -ge parallel we göni çyzyklary geçirýäris. Onda, birinjiden, = = 3 bolýar, çünki olar özara parallel bolan, we göni çyzyklary kesende emele gelen degişli burçlardyr. Ikinjiden, 4= 5= 6, çünki olar taraplary parallel bolan burçlardyr. iýmek, üçburçluklaryň meňzeşliginiň nyşanyna görä 3 bolýar. Onda, = = () 3 3 deňlikleri alarys. 4 Mundan başga-da, we 3 dörtburçluklar parallelogramdyr, çünki şerte görä; gurmaga görä. Şonuň üçin, bu parallelogramlaryň garşylykly taraplary özara deň bolýar: = we = 3. () () we () deňliklerden = = 3 3 bolýandygy gelip çykýar. Teorema subut edildi. maly gönükme. Kesimi berlen gatnaşykda bölmek. erlen a kesimi dört bölege şeýle bölüň, ýagny bölekleriň özara gatnaşygy m:n:k:l ýaly bolsun. Munuň üçin aşakdakylary ädimme-ädim ýerine ýetirýäris: -nji ädim. Erkin ýiti burç çyzyp, onuň bir tarapyna uzynlyklary O= m, = n, = l we = k -ga deň bolan kesimleri -nji suratda görkezilişi ýaly edip, yzygider goýup çykýarys. -nji ädim. urçuň ikinji tarapyna berlen a kesime deň O kesimi goýýarys. 3-nji ädim. we nokatlary birleşdirýäri. 8

119 4-nji ädim.,, nokatlar arkaly -e parallel, we kesimleri geçirýäris. Ýokardaky teorema görä, berlen a =O kesim,, we nokatlar bilen m:n:l :k gatnaşykda bölüne bolýar. Ýumuş: u tassyklamany özbaşdak ýagdaýda esaslandyryň. O m n l k maly ýumuş. ördünji proporsional kesimi n gurmak. l a, b we c kesimler berlen. a we b kesimler c we d k kesimlere proporsional, ýagny a:b=c:d ekenligi mälim. d kesimi guruň (3-nji surat). -nji ädim. Erkin ýiti burç çyzyp, onuň bir tarapyna O= a we = b kesimleri 3-nji suratda görkezilişi ýaly goýýarys. -nji ädim. Ikinji tarapyna bolsa O =c kesimi 3 O a b goýýarys. 3-nji ädim. we nokatlary birleşdirýäris. 4-nji ädim. nokatdan -ga parallel göni c a d=? çyzyk geçirýäris. b Ýumuş: gözlenýän d kesim bolýandygyny c esaslandyryň. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Uzynlygy 4 sm bolan kesim berlen. Ony a) 5:; b) 3:4:7; ç) :5::7 gatnaşykdaky bölejiklere bölüň.. Suratda her bir bölek birlik kesimden ybarat bolsa, we, EF we MN, we F, N we F, EN we M kesimleriň gatnaşyklaryny tapyň. E F M N 3. m, n kesimler l we k kesimlere proporsional. Eger a) m = 4 sm, n = 3 sm we l =8 sm; b) m = sm, n = 3 sm we l = 7 sm bolsa, k dördünji kesimi guruň we uzynlygyny tapyň. 4. örtburçlugyň perimetri 54 sm we taraplary 3 : 4 : 5 : 6 ýaly gatnaşykda bolsa, onuň her bir tarapyny anyklaň. 5. örtburçlugyň burçlary özara 3 : 4 : 5 : 6 ýaly gatnaşykda bolsa, onuň kiçi burçunyň nämä deňligini tapyň. 6. Uzynlygy 4, 5 we 6 bolan kesimler berlen. Uzynlygy 4,8-e deň kesim guruň. 7*. Perimetri 60 sm bolan dörtburçlugyň bir tarapy 5 sm, galan taraplary bolsa :3 : 4 gatnaşykdadygy mälim. Onuň uly tarapyny tapyň. m 9

120 54 GÖNÜURÇLY ÜÇURÇLUKKY PROPORSIONL KESIMLER Häsiýet. Gönüburçly üçburçlugyň göni burçy depesinden inderilen beýikligi ony özüne meňzeş iki sany üçburçluga bölýär., =90, beýiklik (-nji surat), we üçburçluklar gönüburçly bolup, burç bolsa olar üçin umumy.iýmek,. Şular ýaly, we hem gönüburçly bolup, olar üçin umumy. iýmek,. -nji suratda şekillendirilen we kesimler degişlilikde we katetleriň gipotenuzadaky proeksiýalary diýlip atlandyrylýar. Kesgitleme. Eger a, b we c kesimler üçin a : b = b :c bolsa, b kesim a we c kesimleriň arasyndaky orta proporsional kesim diýlip atlandyrylýar. Orta proporsionallyk şertini b =ac ýa-da b = ac görnüşde hem ýazmak mümkin. Ýokarda subut edilen häsiýete esaslanýan bolsak, orta proporsional kesimler hakyndaky aşakdaky teoremalar aňsatja subut edilýär: -nji teorema. Gönüburçly üçburçlugyň göni burçunyň depesinde inderilen beýiklik katetleriň gipotenuzadaky proýeksiýalarynyň arasynda orta proporsional bolýar. Hakykatdan hem subut edilen häsiýete görä:. Mundan, = =. =.. -nji teorema. Gönüburçly üçburçlugyň kateti gipotenuza bilen şu katetiň gipotenuzadaky proýeksiýasynyň arasynda orta proporsionaldyr (-nji surat). 0 Hakykatdan hem subut edilen häsiýete görä:. Mundan, = =. =.. Edil şuňa meňzeş =. bolýandygyny subut etmek mümkin. Mesele. Katetleri 5 sm we 0 sm bolan gönüburçly üçburçlugyň kiçi katetiniň gipotenuzadaky proýeksiýasyny tapyň., = 90, beýiklik, =5 sm, = 0 sm (-nji surat) =?

121 Çözülişi. ) Pifagoryň teoremasyndan peýdalanyp, üçburçlugyň gipotenuzasyny tapýarys: = + = =65, ýagny =5 sm. ) Ikinji teoremadan peýdalanyp -ni tapýarys: =. = = 5 = 9 (sm). Jogaby: 9 sm. 5 u iki teoremadan netije hökmünde Pifagoryň teoremasynyň Pifagoryň özi ýazyp galdyran subuty gelip çykýar(-nji surat): -nji teorema görä, =. + =. +. =.( +)=. =. =. Şeýlelikde, + =. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Subut ediň (-nji surat): a) ; b) b =b c.c, a =a c.c; ç) h c =a c.b c.. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasyna inderilen beýikligi gipotenuzany 9 sm we 6 sm -e deň kesimlere bölýär. Üçburçlugyň taraplaryny tapyň. 3. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasy 5 sm -e, bir kateti bolsa 9 sm -e deň. Ikinji katetiň gipotenuzadaky proýeksiýasyny tapyň nji suratdaky maglumatlar esasynda üçburçlugyň taraplaryny tapyň. 5*. Katetleriniň gatnaşygy 4 :5 ýaly bolan gönüburçly üçburçlugyň katetleriniň gipotenuzadaky pro ýek siýalarynyň gatnaşygyny tapyň. 6*. Katetleriniň gatnaşygy 3: ýaly bolan gönüburçly üçburçluk berlen. Katetlerniň gipotenuzasyndaky proýeksiýalaryndan biri ikinjisinden 6 sm uzyn. Üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 7. Katetleriniň gipotenuzasyndaky proýeksiýalary sm we 8 sm bolan gönüburçly üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 8*. üçburçlukda =90, beýiklik, E bissektrissa we E :E = : 3. a) :; b) S E :S E ; ç) : gatnaşyklary tapyň. 3 a) b) 7 ç) b 3 b c,8 6 c 4,8 a a c 3,04

122 55 ERLEN IKI KESIME ORT PROPORSIONL KESIMI GURMK ab a b a b 3 O a b 4 O a b 5 ab Gönüburçly üçburçlugyň göni burçundan inderilen beýikligi gipotenuzany a we b kesimlere bölse, beýiklik ab -ge deň bolýandygyny görüpdik (-nji surat). iýmek, berlen iki kesime orta proporsional kesimi gurmak üçin: ) gipotenuzasynyň uzynlygy a + b -ge deň (-nji surat). ) göni burçundan düşürilen beýikligi şu gipotenuzany a we b böleklere bölýän gönüburçly üçburçlugy gurmak ýeterlidir. Munuň üçin gönüburçly üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň merkezi gipotenuzanyň ortasynda ýerleşenliginden peýdalanýarys (3-nji surat). Gurmak: ) Göni çyzyk çyzyp, onda =a we =b bolýan edip, we nokatlary belgileýäris (3-nji surat). ) kesimiň ortasy O nokady tapýarys. Merkezi O nokatda bolan diametrli ýarym töwerek gurýarys (3-nji surat). 3) nokatdan göni çyzyga perpendikulýar göni çyzyk geçirýäris (4-nji surat). u göni çyzyk ýarym töweregi nokatda kesip geçen bolsun. Onda gönüburçly üçburçluk, = ab biziň gurmakçy bolýan kesim bolýar. Gurmak ýerine ýetirildi. a Orta proporsional kesimi gurmakda gönüburçly b üçburçlugyň kateti gipotenuza bilen şu katetiň gipotenuzadaky proýeksiýasynyň arasynda orta proporsionallygyndan peýdalanmak hem mümkin (5-nji surat).

123 Soraglar, meseleler we ýumuşlar.. Uzynliklary a we b bolan kesimler berlen. Uzynlygy ab bolan kesimi guruň.. Uzynlygy a we b -ge deň kesimler berlen. Pifagoryň teoremasyndan peýdalanyp, uzynlygy a) a + b ; b) a b bolan kesimleri guruň. 3. Uzynlygy -e deň kesim berlen. Uzynlygy a) ; b) 3; d) 5; e) 6; f) 8; g) 30 bolan kesimleri guruň njy suratdaky maglumatlar esasynda üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 5. Töwerekdäki nokatdan diametre perpendikulýar düşürilen. Eger = sm, =4 sm bolsa, tegelegiň meýdanyny tapyň. 6. Öňki meseledäki üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 7. Gönüburçly üçburçlugyň göni burçunyň bissektrisasy gipotenuzany 5:3 ýaly gatnaşykda bölýär. Göni burçuň depesinden inderilen beýikligiň gipotenuzadan bölüp aýyran kesimleriniň gatnaşygyny tapyň. 8. Radiusy 8 sm -e deň tegelegiň içinden bir burçy 30 bolan gönüburçly üçburçluk çyzylan. Tegelegiň üçburçlukdan daşardaky bölegi 3 sany segmentden ybarat. Ynha şu segmentleriň meýdanlaryny tapyň. 9*. 7-nji suratda =a, = b, diýmek O = (O töwerek merkezi). Suratdan peýdalanyp, ab deňsizligi subut ediň. 6 a) 4 b) 6 4,5 d) 8 7 a O b 8 Gyzykly mesele Töweregiň diametri dört sany deň bölege bölündi we 8-nji suratda görkezilişi ýaly ýarym töwerekler guruldy. Eger =ç bolsa, suratda reňklenip görkezilen her bir figuranyň meýdanyny hasaplaň. 3

124 56 TÖWEREKÄKI PROPORSIONL KESIMLER -nji teorema. Töweregiň we hordalary O nokatda kesişse, O.O =O. O deňlik dogry bolýar. Subudy. we hordalar (-nji surat) görkezilen tertipde ýerleşen bolsun. epelerini we hordalar bilen birleşdirýäris. Şunda we burçlar O bir duga direlýär, diýmek, =. Ýene O = O.u iki deňlikden nyşana görä O we O üçburçluklaryň meňzeşligi gelip çykýar. Meňzeş üçburçluklaryň degişli taraplary bolsa proporsionaldyr: ýa-da O. O=O. O. Teorema subut edildi. -nji teorema. Töweregiň daşky çägindäki P nokatdan töwerege P galtaşma (-galtaşma nokady) we töweregi we nokatlarda kesip geçýän göni çyzyk geçirilen bolsa, P =P.P bolýar. Subudy. P we P üçburçluklara garalyň (-nji surat). Onda, = = P = = P hem-de P bu üçburçluklar üçin umumy burç. iýmek, P we P üçburçluklar iki burçy boýunça meňzeş. Mundan, P ýa-da Teorema subut edildi. P = P.P. Mesele.,, we nokatlar töweregi,, we dugalara bölýär. Eger we şöhleler O nokatda kesişse, onda O.O =O.O deňligiň dogry bolýandygyny subut ediň. 3 O Çözülişi. Meseläniň şertine degişli çyzgy çyzýarys (3-nji surat) we O nokatdan OE galtaşma geçirýäris. Onda, -nji teorema görä, E O.O =OE O.O=OE O.O =O.O. 4

125 Soraglar, meseleler we ýumuşlar. 4-nji suratda x bilen belgilenen näbelli kesimi tapyň.. nokatdan töwerege galtaşma ( galtaşma nokady) we töweregi we nokatlarynda kesýän kesiji geçirilen. Eger a) =4 sm, = sm bolsa, kesimi; b) = 5 sm, = 0 sm bolsa, kesimi; ç) = 3 sm, =,7 sm bolsa, kesimi tapyň. 3. Töweregiň içinden dörtburçluk çyzylan. we şöhleler O nokatda kesişýär. Eger a) O =0 dm, O =6 dm, O =5 dm bolsa, O kesimi; b) = 0 dm, O = 8 dm, = 4 dm bolsa, O kesimi tapyň. 4. Töweregiň diametri we şu diametre perpendikulýar hordasy E nokatda kesişýär. Eger E= sm, E= 8 sm bolsa, hordany tapyň. 5. we kesimler O nokatda kesişýär. Eger O O =O O bolsa,,, we nokatlaryň bir töwerekde ýatýandygyny subut ediň. 6. Radiusy 3 dm bolan töweregiň merkezinden 5 dm uzaklykda P nokat alnan. P nokatdan uzynlygy 5 dm bolan horda geçirilen. P we P kesimleri tapyň nji suratda O we O üçburçluklaryň meňzeşligini hem-de ondan peýdalanyp O.O =O.O deňligi subut ediň. 8*. 5-nji suratlardaky maglumatlar esasynda O.O = =O.O deňligi subut ediň. 9*. Iki töwerek nokatda galtaşýar. göni çyzyk birinji töwerege nokatda, ikinji töwerege bolsa nokatda galtaşýar. =90 bolýandygyny subut ediň. 4 5 a) b) a) b) d) 9 5,5 x x 6 x x 0,5 0, 0,4 O O 5

126 57 MESELELER ÇÖZMEK Öňki dersde töweregi kesijileri we hordalarynyň häsiýetlerini subut edipdik. Indi şu häsiýetleriň käbir hususy hallary bilen tanyşýarys. R-p P p -nji mesele. P nokat R radiusly töweregiň içki çägindäki onuň merkezinden p aralykda ýerleşen bolsun. Onda P nokatdan geçýän erkin horda üçin, O R () deňlige subut edildi. P.P =R p () deňlik dogry bolýar. Subudy. P nokat arkaly töweregiň diametrini geçirýäris. Onda, P =R p, P =R+p (-nji surat). Kesiji hordalar hakyndaky teorema görä, P.P =P.P = (R p)(r + p) =R p. -nji mesele. Radiusy 6 sm bolan töweregiň O merkezinden 4 sm uzaklykda P nokat alyndy. P nokat arkaly horda geçirildi. Eger P = sm bolsa, P kesimi tapyň. Çözülişi. Meseläniň şertine görä R =6 sm, d =4 sm, P = sm. Onda () deňlige görä,.p = 6 4 = 36 6 = 0. Mundan, P =0 sm. Jogaby: P =0 sm. P p O R 3-nji mesele. P nokat R radiusly töweregiň daşky çäginde onuň merkezinden p aralykda ýerleşen bolsun. Onda P nokat arkaly geçýän we töweregi we nokatlarda kesýän erkin göni çyzyk üçin P.P =p R () deňlik dogry bolýar. Subudy. Töweregiň O merkezi arkaly geçýän PO göni çyzyk töwerek bilen we nokatlarda kesişsin (-nji surat). Onda, şerte görä, P =p R, P = p +R.Töwerekden daşardaky nokatdan geçirilen kesijiler hakyndaky teorema görä, P.P =P.P = (p R)(p + R) = p R. Şeýdip ()deňlik subut edildi. 6

127 4-nji mesele. Radiusy 7 sm bolan töweregiň merkezinden 3 sm uzaklykdaky P nokatdan geçýän göni çyzyk töweregi we nokatlarda kesýär. Eger P =0 sm bolsa, hordany tapyň. Çözülişi. Şerte görä R =7 sm, d =3 sm. Onda () formula görä, P.P = p R = 3 7 =69 49 = Mundan, P = = = (sm). iýmek, P 0 =P P = 0 = (sm). Jogaby: sm. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Radiusy 5 sm bolan töweregiň merkezinden 3 sm uzaklykda P nokat alnan. horda P nokat arkaly geçýär. Eger P = sm bolsa, hordanyň uzynlygyny tapyň.. Radiusy 5 m bolan töweregiň merkezinden 7 m uzaklykda P nokat alnan. P nokat arkaly geçýän göni çyzyk töweregi we nokatda kesýär. Eger P =4 m bolsa, hordanyň uzynlygyny tapyň nji suratdaky maglumatlar esasynda x bilen belgilenen kesimi tapyň (O töweregiň merkezi) nji suratdan peýdalanyp meseläni çözüň. Onda, a) P =5 dm, O =7 dm, = dm, P =? b) P =5 dm, = 4 dm, P = 3 dm, O =? 5. Töweregiň =7 sm we =5 sm hordalary P nokatda kesişýär. Eger P :P =:3 bolsa, P nokat hordany nähili gatnaşykda bülýär? 6. Töweregiň nokadyndan diametre perpendikulýar düşürilen. Eger = sm, =8 sm bolsa, kesimi tapyň. 7*. Töweregiň içinden çyzylan dörtburçlugyň diagonallary K nokatda kesişýär. Eger =, =, =3 we K :K =: bolsa, kesimi tapyň. 8*. Töweregiň içinden çyzylan dörtburçlukda : =: we : =:3 bolsa, : gatnaşygy tapyň. 3 a) b) ç) 4 x P O 3 x O P 3 3 x P O 4 P O 7

128 58 IV EGIŞLI GOŞMÇ MESELELER WE MGLUMTLR I. Testler.. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasyna düşürilen beýikligi hakda nädogry tassyklamany görkeziň.. Katetlerinden kiçi;. Üçburçlugy iki sany meňzeş üçburçluklara bölýär; Ç. Katetleriniň gipotenuzadaky proýeksiýalarynyň arasynda orta proporsional;. Gipotenuzanyň ýarysyna deň.. we hordalar O nokatda kesişýär. Nädogry tassyklamany tapyň.. = ;. O we O üçburçluklar meňzeş; Ç. O.O =O.O;. O =O. 3. ogry tassyklamany tapyň:. eň kesimleriň proýeksiýalary hem deň;. Uly kesimiň proýeksiýasy uly; Ç. ir göni çyzykdaky deň kesimleriň proýeksiýalary deň;. Proýeksiýanyň uzynlygy proýeksiýalanýan kesimiň uzynlygyna bagly däl. 4. Gönüburçly üçburçlugyň gipotenuzasyna düşürilen beýiklik ony iki sany üçburçluga bölýär. u üçburçluklar:. eň;. eňdeş; Ç. Meňzeş;. eňýanly. 5. Uzynlygy a we b bolan kesimleriň orta proporsionaly nämä deň?. a+b;. ab; Ç. ;. a: b. 6. dörtburçluk O merkezli töweregiň içinden çyzylan. Nädogry tassyklamany görkeziň:. O O;. + = + ; Ç. O.O =O.O;.. =.. II. Meseleler.. Gönüburçly üçburçlugyň katetleriniň gatnaşygy 3:4 -e deň. u üçburçlugyň gipotenuzasy 50 sm. Üçburçlugyň göni burçunyň depesinden düşürilen beýikligi gipotenuzadan nähili uzynlykdaky kesimleri bölýär?. Töweregiň we hordalary E nokatda kesişýär. Eger E=5 sm, E= sm we E=,5 sm bolsa, E -ni tapyň. 3. Radiusy 6 m bolan töweregiň merkezinden 0 m uzaklykda K nokat alyndy we K nokatdan töwerege galtaşma geçirildi. Galtaşmanyň galtaşýan nokady P bilen K nokadyň arasyndaky aralygy tapyň. 8

129 4. üçburçlukda =90 we beýiklik 4,8 dm. Eger =3,6 dm bolsa, tarapy tapyň. 5. Töweregiň we hordalary O nokatda kesişýär. Eger O=6, O=4 we O=3 bolsa, O kesimi tapyň. 6. Töwerekde,,, nokatlar belgilenen, we şöhleler O nokatda kesişýär. Eger O =5, =4, O =6 bolsa, hordany tapyň. 7. Töwerege nokatda galtaşýan göni çyzygyň üstünde nokat alyndy. Eger = we nokatdan töwerege çenli bolan iň gysga aralyk 8 bolsa, töweregiň radiusyny tapyň. 8. Ýarym töwerekdäki nokatdan diametre düşürilen perpendikulýar kesimde 4 we 9 -a deň kesimleri bölýär. kesimi tapyň. 9. Gönüburçly üçburçlugyň beýikligi gipotenuzany 3 dm we dm -e deň kesimlere bölýär. Üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 0. Radiusy 5 sm bolan O merkezli töweregiň hordasynda nokat alnan. Eger = sm, =4,5 sm bolsa, O kesimi tapyň.. Radiusy 5 m bolan O merkezli töweregi we nokatlarda kesýän göni çyzykda P nokat alyndy. Eger P =5 m, =,8 m bolsa, OP aralygy tapyň.. ört sany parallel göni çyzyk berlen. Olar burçuň taraplaryny we, we, we hem-de we nokatlarda kesýär. Eger =8, = we =9 bolsa, kesimi tapyň. 3. Töwerek burçuň içinden çyzylan. Eger burçuň depesinden töwerege çenli bolan aralyk radiusa deň bolsa, burçuň ululygyny tapyň. 4. Töwerege diametriň depesinden galtaşma we kesiji geçirilen. töwerek bilen nokatda kesişýär. Eger = bolsa, burçy tapyň. 5. Gönüburçly üçburçlugyň katetleriniň gatnaşygy :3 ýaly. Üçburçlugyň gipotenuza düşürilen beýikligi ony iki sany üçburçluga bölýär. Olaryň meýdanlarynyň gatnaşygyny tapyň. III. Özüňizi synaň (barlag işiniň nusgasy). Töwerekden daşardaky nokatdan oňa çenli bolan iň gysga aralyk sm -e, galtaşma nokadyna çenli bolan aralyk bolsa 6 sm -e deň. Töweregiň radiusyny tapyň.. gönüburçly, = 9 dm, =6 dm bolsa, şu üçburçlugyň içinden çyzylan töweregiň radiusyny hasaplaň. 3. Nokatdan göni çyzyga iki gyşarma geçirilen. Eger gyşarmalar : gatnaşykda bolup, olaryň proýeksiýalary m we 7 m bolsa, gyşarmalaryň uzynlyklaryny tapyň 9

130 4.* (Goşmaça mesele) PQ we ondan uzyn ET kesimler berlen. Şeýle dörtburçluk guruň, ýagny şonda == PQ; =ET bolup, diagonallary kesişýän O nokat üçin O.O =O.O deňlik dogry bolsun. Gyzykly mesele Üçburçluk 4-nji a suratda görkezilişi ýaly edilip dört sany bölege bölünen we 4-nji b suratda görkezilişi ýaly edilip täzeden gurnalan. Hany aýdyň, artykmaç kwadrat nireden peýda boldy? 4 a) b)? Grek hajy. Eramyzdan öňki 500-nji ýyllarda peýda bolan bu şekili durmuşyň nyşany hökmünde çöregiň üstüne çyzypdyrlar (4-nji surat). Şu şekili galyň kagyza çyzyp alyp, ony suratda görkezilen çyzyklar boýunça gyrkyň. Emele gelen böleklerden kwadrat ýasap bolýandygyna göz ýetiriň. G E O M E T R I Ý 30

131 V P PINIMETRIÝ KURSUNY GÝTLMK Şu baby öwrenmek netijesinde siz aşakdaky bilim we amaly endiklere eýe bolarsyňyz: geometriýanyň planimetriýa bölümi boýunça geçilen mowzuglary ýada salmak; planimetriýa kursy boýunça özleşdirilen bilim, endik we başarnyklary berkitmek; jemleýji barlag işine taýýarlanmak. 3

132 59 KOORINTLR USULY Tekizlikdäki gönüburçly koordinatalar sistemasy bilen 7-nji synpyň algebra kursunda tanyşypdyňyz ( -nji surat). şakda şu mowzuga degişli geometrik meselelere seredýäris. (a;b) y 3 0 ordinatalar oky y absissalar oky 0 koordinatalar başlangyjy 3 (0;b) x -nji mesele. epeleri koordinatalar tekizliginiň birinji çärýeginde bolan kesim berlen bolsun: (x ;y ) we (x ;y ), x >0, y >0, x >0, y >0 (3-nji surat). kesimiň ortasy bolan (x;y) nokadyň koordinatalaryny tapyň. Çözülişi. u ýagdaýda N kesimiň esaslarynyň uzynlyklary x we y bolan trapesiýanyň orta çyzygy, M kesim bolsa esaslarynyň uzynlyklary x we y bolan trapesiýanyň orta çyzygy bolýar. Trapesiýanyň orta çyzygynyň häsiýetine görä, ; () bolýar. Şu formulalaryň dogrudygyny kesimiň başga ýagdaýlary üçin hem şuňa meňzeş pikir ýöretme bilen görkezmek mümkin. (a;0) 0 (a, b) nokadyň koordinatalary: a onuň absissasy; b onuň ordinatasy. 3 y y x (x ;y ) -nji mesele. epeleri ( ; ), (; 5), (; ), (,) nokatlarda bolan dörtburçlugyň parallelogramdygyny subut ediň. Çözülişi. () formuladan peýdalanyp, dörtburçlugyň we diagonallarynyň ortasynyň koorditalaryny tapýarys: :, N (x;y) ; y 0 (x ;y ) x M x x :,. 3

133 iýmek, dörtburçlugyň iki diagonalynyň hem ortasy bir sany (0; ) nokat bolýan eken. aşgaça aýdanda, dörtburçlugyň diagonallary (0; ) nokatda kesişýär we şu nokatda deň ýarpa bölünýär. u dörtburçlugyň parallelogramlyk nyşanlaryndan biridir. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. Köpburçluklaryň meýdanlaryny hasaplaň (4-nji surat).. Töweregiň 8 sm -e deň hordasy töwerekden 90 -a deň dugany bölüp aýyrýar. Töweregiň merkezinden horda çenli bolan aralygy tapyň. 3. Taraplary a) 5, 5 we 6; b) 7, 65, 80 bolan üçburçlugyň meýdanyny tapyň. 4. Taraplary a) 3, 3, ; b) 35, 9, 8 bolan üçburçlugyň içinden çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 5. epeleri aşakdaky ýaly bolan kesimleriň ortasynyň koordinatalaryny tapyň: a) (; ), (5;6); b) (4; 3), (;); ç) ( 4;5), (;3); d) ( 0,7;), ( 0,3;4,). 6*. Eger (;0), (;3), (3;) bolsa, parallelogramyň depesiniň koordinatalaryny tapyň. 7*. Parallelogramyň burçlarynyň bissektrisalarynyň kesişýän nokatlarynyň gönüburçlugyň depesi bolýandygyny subut ediň. 8. Katetleri 40 sm we 30 sm bolan gönüburçly üçburçlugyň içinden we daşyndan çyzylan töwerekleriň radiusyny tapyň. 9. Töweregiň içinden çyzylan dörtburçlugyň üç burçy :3:4 ýaly gatnaşykdadygy belli. Onuň burçlaryny tapyň. 0. Radiusy 6 sm bolan töweregiň 60 -a deň dugasyny dartýan hordasyny tapyň.. Radiuslary 6 sm bolan töwerekleriň merkezleriniň arasyndaky aralyk 6 sm -e deň. Töwerekleriň umumy hordasynyň uzynlygyny tapyň. 4 e) a) y (3;4) x (6;0) b) y (5;4) x ç) ( ;0) y O (0;3) (;0) x (0; 3) d) y (;3) (5;3) x (4;0) y (;6) (6;6) x (0;0) 33

134 60 KOORINTLR USULY WE WEKTORLR -nji mesele. Koordinatalar tekizliginde berlen (x ;y ) we (x ;y ) nokatlaryň arasyndaky aralyk = (x x ) +(y y ) formula bilen hasaplanýandygyny görkeziň. y y y x x y y Çözülişi. ýdaly, we nokatlar -nji suratdaky ýaly ýerleşen bolsun (x x, y y ). we nokatlardan koordinata oklaryna parallel göni çyzyklary geçirýäris we olaryň kesişme nokadyny bilen belgileýäris. Onda, = x x hem-de = y y. gönüburçly üçburçluga Pifagoryň teoremasyny ulansak, = + = (x x ) +(y y ) bolýar. Ondan, 0 x x x = (x x ) +(y y ) formulany alýarys. u formulanyň x =x ýa-da y =y bolanda hem dogrudygyna göz ýetiriň. -nji mesele. Eger ( 3; ), (; ), (; 3), ( 3; 3) bolsa, gönüburçlukdygyny subut ediň. Çözülişi. ) diagonalyň ortasynyň x, y koordinatalaryny tapýarys: ;. diagonalyň ortasynyň x, y koordinatalaryny tapýarys: ;. iýmek, dörtburçlugyň diagonallary bir sany ( ; ) nokatda kesişip, şu nokatda deň ýarpa bölünýän eken. u -niň parallelogramdygyny görkezýär. ) parallelogramyň diagonallarynyň uzynlygyny tapýarys: = ( ( 3)) +( 3 ( )) = 4 +( ) = 0; = ( ( 3)) +( ( 3)) = 4 + = 0. iýmek, parallelogramyň diagonallary özara deň eken. u (gönüburçluk nyşanyna görä) gönüburçlukdygyny görkezýär. 34

135 Soraglar, meseleler we ýumuşlar.. Eger a) (;7), ( ;7); b) ( 5; ), ( 5; 7); ç) ( 3;0), (0;4); d) (0;3), ( 4;0) bolsa, kesimiň uzynlygyny hasaplaň.. Eger M(4;0), N(; ), P(5; 9) bolsa, MNP üçburçlugyň perimetrini tapyň. 3. Kollinear x we y wektorlar çyzyň we x +3y wektory guruň. 4. Eger,, we nokatlar bir göni çyzykda ýatmasa we = 0,7 bolsa, dörtburçlugyň görnüşini anyklaň. 5. Nokollinear a we b wektorlar berlen. Eger 3a xb =ya+4b bolsa, x we y sanlary tapyň. 6. Eger, we kesimler üçburçluklaryň medianalary, O islendik nokat bolsa, O+O +O =O +O +O deňligi subut ediň. 7. üçburçlugyň medianalary O nokatda kesişýär., we wektorlary a =O we b=o wektorlar arkaly aňladyň. 8. Jisime her biri 5N bolan iki güýç täsir edýär (-nji surat). Eger bu güýçleriň ugrunyň arasyndaky burç 0 bolsa, olaryň deň täsir ediji ululygyny tapyň. 9. eň taraply üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusy 6 sm. Üçburçlugyň perimetrini we meýdanyny tapyň. 0. Töwerege nokadyndan geçirilen galtaşmada nokat alyndy. nokatdan töweregioň iň ýakyn nokadyna çenli bolan aralyk 4 sm -e, iň uzak nokadyna çenli bolan aralyk bolsa 8 sm -e deň. kesimi tapyň. *. Radiuslary dürlüçe bolan iki töwerek nokatda P göni çyzyga galtaşýar. Şu töwereklere degişlilikde P -dan tapawutlanýan P we P galtaşmalar geçirilen. Eger we bu galtaşmalaryň töwerege galtaşma nokatlary bolsa, P =P deňligi subut ediň (3-nji surat). 3 a) b) 5 N 0 5 N P P 35

136 6 Töwerek We Tegelek -nji mesele. Koordinatalar tekizliginde merkezi O(a; b) nokatda we radiusy R bolan töwerekdäki erkin M(x; y) nokadyň x we y koordinatalary (x a) +(y b) =R () deňligi kanagatlandyrýandygyny subut ediň. y Çözülişi. O(a; b) berlen töweregiň merkezi, M(x; y) şu töweregiň erkin nokady bolsa, onda OM=R bolýar. Koordinatalar tekizliginde berlen iki nokadyň M(x,y) arasyndaky aralygy tapmagyň formulasyna (34-nji sahypadaky -nji meselä garaň) görä, b OM= (x a) +(y b). O (a,b) Şeýdip, (x a) +(y b) =R. x 0 a hyrky deňligiň iki bölegini-de kwadrata göterip, () deňligi alarys. Ýatlatma. () deňlemä merkezi (a; b) nokatda bolan R radiusly töweregiň deňlemesi diýilýär. y -nji mesele. Koordinatalar tekizliginde şu 4 (x 4) + (y + 6) =5 0-3 x deňleme bilen kesgitlenen töweregi ordinatalar okundan bölýän kesimiň uzynlygyny tapyň. Çözülişi. erlen töwerek bilen ordinatalar oky -6-9 O (4,-6) kesişen nokatlaryň abssissalary nola deň bolýar. x=0 bolanda, berlen deňlemeden peýdalanyp, şu nokatlaryň ordinatasyny tapýarys: (0 4) + (y + 6) =5, (y + 6) =9, y = 9 ýa-da y = 3. iýmek, töwerek we ordinatalar oky (0; 9) we (0; 3) nokatlarda kesişýär. u nokatlaryň arasyndaky aralyk 6 birlige deň. Jogaby: 6. 3-nji mesele. Merkezleri O nokatda ýerleşýän iki tegelek halkany emele getirýär. Uly tegelegiň 3 sm-e deň hordasy kiçi tegelege nokatda galtaşýar (3-nji surat). Eger halkanyň giňligi 8 sm bolsa, onda şu halkanyň meýdanyny tapyň. Çözülişi. Uly tegelegiň radiusyny R bilen, kiçisiniňkini bolsa r bilen belgileýäris. Meseläniň şertine görä, O=R=r+8 (sm) we O = r. Mundan başga-da, nokat 36

137 hordanyň ortasy, ýagny =6 sm, O üçburçluk bolsa gönüburçly bolýar. Pifagoryň teoremasyna görä, O + =O bolany üçin, r + 6 =(r + 8) deňlemäni alarys. u deňlemäni çözüp, r = sm bolýandygyny tapýarys. Onda R=r+8=0 (sm) bolýar. Uly tegelegiň meýdanyndan kiçisiniňkini aýryp, berlen halkanyň S meýdanyny tapýarys: S=πR πr =0 π π=400π 44π= =56π (sm ). Jogaby: 56π sm. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. şakdaky deňlemeler bilen berlen töwerekleriň merkezleriniň koordinatalaryny we radiusyny aýdyň. Şu töwerekleri guruň. a) (x ) + (y + ) = 4; b) (x 4) + (y 3) = 6; d) x + y = 5; e) x + (y ) = 9.. Töweregiň içinden çyzylan dörtburçlugyň, we depelerindäki burçlarynyň gatnaşygy ::3 ýaly. örtburçlugyň içki burçlaryny tapyň. 3. Töweregiň :8 bölegine dogry gelýän merkezi burçy tapyň. 4. Merkezi nokat bolan töwerekde nokat alnan. Merkezi nokatda bolan başga töwerek nokatdan geçýär. u iki töwerek nokatda kesişýär. burçy tapyň. 5. Töweregiň we hordalary O nokatda kesişýär. Eger O=4 sm, O=6 sm we = sm bolsa, O we O kesimleri tapyň. 6. Töweregiň içinden çyzylan gönüburçlugyň diagonalynyň bir tarapyndan iki esse uly. u dörtburçlugyň depeleriniň töwerekden bölen dugalarynyň gradus ölçeglerini tapyň. 7. Töweregiň daşyndan çyzylan trapesiýanyň orta çyzygy 7 sm. Trapesiýanyň perimetrini tapyň. 8*. Radiusy 5 sm bolan tegelek merkezinden 7 sm uzaklykdaky K nokatdan 7 sm uzynlykdaky horda geçirilen. K we K kesimleri tapyň. 9. ogry sekizburçlugyň bir depesinden çykan iň uly we iň kiçi diagonallarynyň arasyndaky burçy tapyň. 0. epeleri koordinatalar tekizligindäki ( 3; 4), (3; 4), (3; 8) nokatlarda bolan üçburçluk berlen. a) =90 bolýandygyny görkeziň; b) üçburçluga daşyndan çyzylan tegelegiň merkezini, radiusyny we meýdanyny tapyň. 3 R 6 6 O r 37

138 6 GÝTLMK Mesele. üçburçlukda O mediana, O= 6, = 7 we = 9. Üçburçlugyň meýdanyny tapyň. Çözülişi. O şöhlede nokatdan =O= 5 bolýan 6 edip nokady saýlaýarys (-nji surat). Onda O= O, 7 O= O bolany üçin parallelogram bolýar. 6 7 O we üçburçluklaryň meýdanlary deň. Geronyň formulasyndan peýdalanyp üçburçluk meýdanyny 9 hasaplaýarys: P = =54; S = 54.(54 9)(54 5)(54 7)=70. Jogaby: 70. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. we EFK üçburçluklar meňzeş: we EF, we FK olaryň degişli taraplary. Eger = 4 sm, = 5 sm, = 7 sm we EF : =, bolsa, EFK üçburçlugyň taraplaryny tapyň.. we üçburçluklar meňzeş we olaryň degişli taraplarynyň gatnaşygy 6:5 -e deň. üçburçlugyň meýdany üçburçlugyň meýdanyndan 77 dm -a artyk. Üçburçluklaryň meýdanlaryny tapyň. 3. üçburçlugyň medianalarynyň kesişýän nokady O bolsun. Eger O üçburçlugyň meýdany 4 sm bolsa, üçburçlugyň meýdanyny tapyň (-nji surat). 4. Töweregiň nokadyndan diametre perpendikulýar düşürilen. Eger =9, = O x 9 4 bolsa, kesimi tapyň (3-nji surat). 5. Tarapy 6 m, bu tarapyna sepleşýän burçlary 30 we 45 bolan üçburçluklaryň meýdanyny tapyň. 6. Esaslary 8 dm we 6 dm, gapdal taraplary bolsa 5 dm we 7 dm bolan trapesiýanyň beýikligini tapyň. 7. Rasdiusy sm bolan töweregiň daşyndan meýdany 0 sm bolan deňýanly trapesiýa çyzylan. Trapesiýanyň taraplarynyň uzynlyklaryny tapyň. 8. Gönüburçly üçburçlugyň içinden çyzylan töweregiň gipotenuza galtaşýan nokady, gipotenuzany sm we 3 sm bolan kesimlere bölýär. Üçburçluklaryň katetlerini tapyň.

139 63 GÝTLMK Mesele. Katetleri 3 we 4 bolan gönüburçly üçburçlugyň içinden we daşyndançyzylan töwerekleriň merkezleriniň arasyndaky aralygy tapyň (-nji surat). Çözülişi. ) üçburçlukda =90, = 4 we = 3 bolsun. Onda, Pifagoryň teoremasyna görä = 3 +4 =5. ) Gönüburçly üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň E merkezi gipotenuzanyň ortasynda bolýar: 5 E = =. 3) Üçburçlugyň içinden çyzylan töweregiň O radiusyny tapýarys ( içinden çyzylan töweregiň gipotenuza galtaşýan nokady): O = = =. 4) we E kesimleri tapýarys: = + = ) Gönüburçly OE üçburçlukdan OE kesimi tapýarys: =; E =E E = 5 =. OE= O +E 5 = + =. 5 4 Jogaby:. Soraglar, meseleler we ýumuşlar. eňýanly üçburçlukda = = 4 sm we = 30 bolsa, onuň E beýikligini tapyň.. Trapesiýanyň esaslary 5 dm we 8 dm, gapdal taraplary bolsa 3,6 dm we 3,9 dm. Trapesiýanyň gapdal taraplarynyň dowamy O nokatda kesişýär. O nokatdan trapesiýanyň depelerine çenli bolan aralyklary tapyň. 3. burçuň bir tarapyna = 5 sm we = 6 sm kesimler, ikinji tarapyna bolsa = 8 sm we F = 0 sm kesimler goýlan. we F üçburçluklar meňzeşmi? Jogabyňyzy esaslandyryň. 4. Gönüburçlugyň meýdany 9 dm, diagonallarynyň emele getiren burçlaryndan biri bolsa 0 -a deň. Gönüburçlugyň taraplaryny tapyň. 5. Eger deňýanly üçburçluklaryň esasy 4 sm we gapdal tarapy 3 sm bolsa, onda üçburçlugyň daşyndan çyzylan töweregiň radiusyny tapyň. 6. Rombyň beýikligi sm bolup, diagonallaryndan biri 5 sm. Rombyň meýdanyny tapyň. O E 39

140 7. Eger parallelogramda (; 3), ( ;4) we ( 3;) bolsa, onuň depesiniň koordinatalaryny tapyň. 8. Iki akwariuma ýokary çetinden 0 sm aşak edip suw guýuldy (-nji surat). Haýsy akwariumda suw köp? 50 sm 40 sm 40 sm 30 sm 9. Guta näçe sany paket miwe şerbeti sygýar (3-nji surat)? 50 sm 30 sm 0. litrli miwe şerbeti paketi gönüburçlukli parallelepiped şeklinde (4-nji surat). ir sany gap üçin näçe material gerek bolar? sm 34 sm 7 sm 0 sm 8 sm 0 sm 40 sm 60 sm 6 sm *.5-nji suratda şekillendirilen agaç bölekleriniň göwrümini hasaplaň. 5 a) b) 5 sm ç) sm 7 sm,5 dm 5 dm 3 dm 6 dm 4 dm 7 dm 6 sm sm sm 40