Seriler. 9.1 Kısmi Toplam. Tanım 9.1 {a n } sonsuz bir dizi olmak üzere. toplamına sonsuz seri denilir.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Seriler. 9.1 Kısmi Toplam. Tanım 9.1 {a n } sonsuz bir dizi olmak üzere. toplamına sonsuz seri denilir."

Transkript

1

2 2

3 86

4 Bölüm 9 Seriler Taım 9. {a } sosuz bir dizi olmak üzere a = a 0 + a + a a + (9.) toplamıa sosuz seri deilir. Eşitliği sağıda sosuz çoklukta terimi toplamı vardır. Oysa bizim toplama (+) işlemi ikili (biary) bir operatördür. Bu demektir ki, (+) operatörü acak iki sayıyı toplayabilir. Üç ya da daha çok sayı oluca birleşme opratörü kullaılır: a,b,c herhagi üç sayı ise, a + (b + c) = (a + b) + c = c + (b + a) (9.2) yazarız. E sağdaki eşitlik (+) operatörüü yer değiştirme özeliğide çıkar. Bileşme ve yer değiştirme özeliklerii kullaarak solu çoklukta ola her sayı kümesii toplayabiliriz. Ama (0.5) ifadeside sosuz çoklukta terimi toplamı var. Buu yazabilmek içi bir ikili işlem ola toplma işlemii sosuz terimi toplamıa geelleştirmeliyiz. Bu işi yapmak içi çok kolay iki adım atacağız: 9. Kısmi Toplam (0.5) serisi verildiğide, solu bir doğal sayı olmak üzere serii ilk -terimi toplamıı s ile gösterelim. Taım 9.2 s = = a 0 + a + a a (9.3) i=0

5 88 BÖLÜM 9. SERİLER toplamıa (0.5) serisii -ici kısmi toplamı deilir. 9.2 Yakısak Seri Şimdi idisii = 0,,2,3,...,,... gibi bütü doal sayıları kapsayacak biçimde değiştirelim. O zama {s } sosuz bir dizi olur. Bua kısmi toplamlar dizisi deilir. Öceki bölümde diziler içi gördüğümüz yakısama kavramıı kısmi toplamlar dizisie de uygulayabişliriz: Taım 9.3 {S } kısmi toplamlar dizisi yakısak ve limiti S ise (0.5) serisie yakısaktır ve toplamı S dir, deilir. (0.3) taımı (+) operatörüü işlevii sosuz çoklukta terimi toplamıa geelleştiriyor. Buu lim s = lim biçimide yazıyouz. = s (9.4) i=0 9.3 Iraksak Seri Taım 9.4 Yakısak olmaya serilere ıraksaktır, deilir. Dizilerde olduğu gibi, serierde de isteile bir simge idis olarak kullaılabilir. Toplama işlemi 0 da başlamak yerie herhagi bir doğal sayıda başlayabilir: a, a i, i=0 a k, k=0 a =m İşlemlerde kısalığı sağlamak içi gerektiğide, lim i=0 a i = a gösterimii kullaırız. Bu gösterimi itegrale uygulaış biçimi şöyledir: t lim f (x)d x = f (x)d x t a a

6 9.4. GEOMETRİK SERİ Geometrik Seri Terimleri geometrik bir dizii terimleri ola serilere geometrik seri deilir. Buu biraz daha geelleştirerek şöyle diyebiliriz: Taım 9.5 r ve a sabit iki sayı olmak üzere, ar = ar 0 + ar + ar ar + (9.5) serisie geometrik seri, deilir. Teorem 9. r < ise ar = a r dir. İspat: Serii s = ar 0 + ar + ar ar kısmi toplamlar diziside r s terimii çıkaralım: s r s = (ar 0 + ar + ar ar ) = a ar Burada, s r s = a ar ya da s ( r ) = a( r ) s = a r ( r ) (r ) (9.6) yazılabilir. r < olduğuda lim r = 0 dır. Öyleyse, olur ki bu, lim s = a r ar = a r olması demektir. ( r < ) Teorem 9.2 Geometrik seri

7 90 BÖLÜM 9. SERİLER. r < içi yakısar 2. r içi ıraksar İspat: () formlüü ( a lim s = lim r ar ) r a = lim r lim ar r = a r a r lim r Geometrik dizii limitide e sağdaki limiti 0 < r içi yakısk olduğuu biliyoruz. Ama 0 ile bölme taımsız olduğuda öteki terimlerde r = olamaz. O hald < r < içi lim s = a r ( < r < ) olduğuu söyleyebiliriz. r > ise lim s = a ( ) = ( r > ) r olacağı yukarıdaki bağıtıda görülüyor. r = ise s = a = a( ) = a.() k=0 dir ve s = a = dir. r = ise kısmi toplamlar dizisi, { a : tek ise s = 0 : çift ise olur. Bu durumda {s } kısmi toplamlar dizisi bir limite gitmiyor; yai ıraksaktır. Örek 9. ( ) (9.7) 3 serisii yakısak olup olmadığıı gösteriiz.

8 9.5. İNTEGRAL TESTİ 9 Çözüm: Seri geel terimi r = ( 3) ola bir geometrik seridir. r ortak oraı r = 3 < olduğu içi, Teorem (0.2) uyarıca seri yakısar. Ayrıca serii toplamı, olur. lim s = r = = = İtegral Testi a terimi yerie f () yazıldığıda f sürekli, pozitif değerli ve x içi azala bir foksiyo olsu. Bu durumda a yerie f () serisi ile düzesiz f (x)d x = limu ûf (x)d x itegralii davraışı ayıdır. Yai ya her ikisi de ıraksak ya da her ikisi de yakısak olur. serisii koyarsak, belirli itegral taımıda yaptığımız gibi [, ] aralığıı < 2 < 3... < < + sayıları ile eşit parçaya bölelim. Her bir küçüğk aralık üzerideki dış dikdörtgeleri alalarıı toplamı, a + a 2 + a a > (f (x)d x ve iç dikdörtgeleri alalarıı toplamı olacaktır. a + a 2 + a a < (f (x)d x 9.6 Harmoik Seri Harmoik dizii terimlerii toplamı ola seri harmoik seridir: ( ) (9.8)

9 92 BÖLÜM 9. SERİLER Teorem 9.3 Harmoik seri ıraksaktır. İspat: Serii 2 k ıcı kısmi toplamıı yazalım: s 2 k = k Sora terimleri, başta başlayarak ardışık 2 0,2,2 2,...,2 k taesii bir grup yapalım: s 2 k = + ( ) ( ) 5 ( = + 2 k k ) 2 k > + ( ) ( ) 8 ( k + 2 k + ) 2 k = = }{{} = + k 2 2 k terim + + 2k 2 k So çıka + k 2 terimi k ile birlikte sosuza gider: ( lim s 2 k k = lim + k ) = k 2 olduğuda harmoik serii kısmi toplamlar disi ıraksar. O halde harmoik seri de ıraksar. 9.7 Yakısaklık İçi gerekli Koşul Teorem 9.4 Yakısak serii geel terimii limiti 0 dır.

10 9.7. YAKINSAKLIK İÇİN GEREKLİ KOŞUL 93 Geel terimii limiti 0 a gitmeye seri ıraksar. İspat: a = a 0 + a + a3 + a + (9.9) serisi verilsi. (0.9) serisi içi s = a 0 + a + a3 + a kısmi toplamlar diziziside a = s + s yazabiliriz. (0.9) serisi yakısak ve toplamı s ise, lim a = lim (s + s ) = lim s + lim s = s s = 0 olur. tersie olark geel terimi limiti 0 yakısamıyorsa, teoremi ilk ifadesi sağlamaz; yai seri ıraksak olur. Uyarı 9. Seri yakısak ise geel teimii limiti 0 olur. Bu gerekli koşuldur, ama yeterli koşul değildir. Başka bir deyişle, geel terimi sıfıra gittiği halde ıraksaya seriler vardır. Karşıt örek olarak, yukarıda icelediğimiz harmoik seriyi gösterebiliriz. Harmoik serii geel terimi 0 a yakısar, ama seri ıraksaktır. Örek 9.2 ( ) 3 + (9.0) serisii yakısak olup olmadığıı gösteriiz. Çözüm: Geel terimii limitii 0 a gidip gitmediğie bakalım. lim a = lim ( 3 + ) = 3 Geel terimi limiti 0 a gitmiyor. Öyleyse seri ıraksar.

11 94 BÖLÜM 9. SERİLER 9.8 Altere Seri Taım 9.6 Almaşık bir dizii terimelri toplamı ola ( ) a = a 0 a + a ( ) a + (a 0) biçimideki serilere almaşık (altere) seri deilir. Almaşık serii ardışık terimlerii işaretleri farklıdır. Almaşık serii ilk terimi pozitif ya da egatif olabilir. Teorem 9.5 Yeterice büyük idisler içi. a 0 2. {a } dizisi mooto azalıyor 3. lim a = 0 ise ( ) a (9.) = serisi yakısar. İspat: ( ) a (9.2) = altere serisi verilsi. İspat içi koşulları gerekli ve yeterli olduğuu göstermeliyiz. Gerekelilik: Seri yakısak ise, geel terimii sıfıra gideceğii biliyoruz. O halde lim a = 0 olacaktır. {a } geel terimii azala bir dizi olduğuu göstermek içi s 2k = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) + + (a 2k a 2k )

12 9.8. ALTERNE SERİ 95 dizisii oluşturalım. lim a = 0 olduğua göre, yeterice büyük idisler içi a a + olacağıda, yukarıdaki seride paratez içleri yeterice büyük idisler içi pozitiftir. O halde çift sayı idisli {s 2k } serisi arta bir dizidir. Ayrıca bu dizi s 2k < a 0 eşitsizliğii sağlar. Öte yada s 2k = a [(a 2 a 3 ) (a 4 a 5 ) + (a 2k 2 a 2k ) a 2k ] a 2k yazabiliriz. Burda (a 2k < a çıkar. O halde {s 2k } dizisi sıırlıdır. Arta sıırlı diziler yakısaktır. Dolayısıyla lim s 2k = s k limiti, vardır. Tek sayı idisli terimler içi yazarsak s 2k+ = s 2k + a 2k+ lim k s 2k+ = lim k s 2k + lim k a 2k+ = s + 0 = s çıkar. Tek sayı ve çift sayı idisli kısmi toplmlar ayı bir s limitie yakısıyor. O halde (0.2) serisi yakısaktır. Yeterliği: ici kala R terimiii sıfıra gittiğii göstermek yetecektir. R = ( ) (a + a +2 + a +3 ) dir. Paratez içideki toplam, orijial serii terimleride oluşa altere bir seridir. Öyleyse pozitif bir limite gider. Öyleyse, R i işareti ( ) i işareti ile ayıdır. Ayrıca, R = a + a +2 + a +3 = a + (a +2 + a +3 (a +4 + a +5 < a + olur; çükü çıkarıla bütü terimler pozitiftir. E sağdaki teimi limiti 0 olduğuda lim R = 0 (9.3) olur. Bu ise serii yakısadığıı gösterir.

13 96 BÖLÜM 9. SERİLER 9.9 Mutlak Yakısaklık Dizileri ve serileri icelerke, geellikle terimleri pozitif aldık. Ama bu her zama böyle olmayabilir. Altere seride ardışık terimler farklı işaretlidir. O tür serileri davraışıı öceki kesimde ele aldık. Şimdi altere olmaya ama bazı terimleri egatif ola serileri düşüelim. a (9.4) serisi verilsi. Serii terimlerii mutlak değerleride oluşa a (9.5) serisi yakısak ise, (0.4) serisie mtlak yakısaktır deilir. (0.5) serisie pozitif terimli seriler içi geçerli ola bütü teoremler uygulaabilir. Bazı seriler yakısak olduğu halde mutlak yakısak olmayabilir. Buu tipik öreği altere harmoik seridir. Örek 9.3 ( ) (9.6) serisii mutlak ıraksak ama kedisii yakısak olduğuu gösteriiz. Çözüm: (0.6) serisi altere serileri yakısaklığı içi gerekli koşulları sağlar: lim = 0 dır. Dolayısıyla, (0.6) serisi yakısaktır. Ama terimlerii mutlak değerleride oluşa seri harmoik seridir. Harmoik serii ıraksak olduğuu biliyoruz. O halde, (0.6) serisi yakısaktır ama mutlak yakısak değildir. 9.0 Koşullu Yakısama Bir seri yakısak olduğu halde mutlak yakısak değilse, oa koşullu yakısak seri deilir. Biraz öce icelediğimizaltere harmoik seri koşullu yakısaktır. Tabii, mutlak yakısaklık daha güçlü olduğu içi şu teoremi doğal bir souçtur:

14 9.. SERİNİN YENİDEN DÜZENENMESİ 97 Teorem 9.6 Mutlak yakısak seriler koşullu yakısaktır. İspat: a serisi yakısak ise a (a + a ) serisii düşüelim. Bu serii trimleri pozitiftir. Ayrıca 2 a serisi tarafıda baskılaır (domiated). So yazdığımız baskı seri yakısaktır. Öyleyse, mukayese teoremi gereğice verile seri yakısak olur. 9. Serii Yeide Düzeemesi Solu çoklukta sayıı cebirsel toplmıda işlme gire sayıları sırası isteildiği gibi değiştirilbilir. Bu eylem tolma işlemii yer değiştirebilme özeliği ile ilgisisdir. Acab sosuz çoklukta sayıyı toplarke termleri yrlerii değiştirebilir miyiz sorusu akla gelir. Bu kitabı kapsamı dışıda ola ispatı vermede ifadw edbiliriz: Mutlak yakısak serileri terimlerii yerlrii istediğimi gibi değiştirebiliriz. Serii toplamı değişmez. Acak mutlak yakısak olmaya serileri terimlerii yerlerii değiştirerek farklı toplamlar elde edilebileceğii görmek mümküdür. Buu bir örekle açıklamak daha kolay olacaktır. Örek 9.4 ( ) S = lim = altere harmoik serii terimlerii yeide düzeleyerek farklı bir toplama gittiğii gösteriiz.

15 98 BÖLÜM 9. SERİLER Serii terilerii şöyle gruplayalım: S = ( 2 ) 4 + ( 3 6 ) 8 + ( 5 0 ) 2 + = ( ) + = = ( ) = = 2 l2 = Böylece asıl seri kedi yarısıa eşit olur. 9.2 Yakısaklık Testleri Limit, türev, itegral gibi başlıca kavramlarda görüğümüz gibi, bir kavramı taımıı kullaarak problemleri çözmek çoğulukla uzu baze çok zor olabilir. Ou yerie tıpkı bir ustaı elideki aletler gibi alertler yapar ve oları kullaırız. Bezetmek gerekirse, balta ile mobilya yapmak teorik olarak ümküdür, ama pratik değildir. Ou içi mobilya ustası balta yerie testere, playa vb. aletlei kullaır. Matematikte de limit, türev, itegral işlemlei içi kolaylık sağlaya aletler kullaırız. Olara teorem diyoruz. Teoremler, varsayımları altıda daima doğru soıuç verdiğide, varsyımı sağladığı her yerde oları çekicesiz kullaırız. Serileri yakısklığıı test ederke de ayı kurala uyacağız. yakısaklık taımıı sağlamak uzu baze çok zor olabilir. ou yerie bize pratik kolaylık sağlaya teoremleri kurar ve kullamaya başlarız. Seril matematiği çok öemli bir dalıdır. dolayısıyla, çoğu tarihi değeri de ola çok sayıda yakısaklık toremi üretilmiştir. Bu bölümde olar arasıda bize gerekli olacak bir kaçıı ifade ve ispat edeceğiz. Teorem 9.7 Pozitif terimli bir serii yakısaması içi kısmi toplamlar dizisii sıırlı olması gerekli ve yeterlidir. Teorem 9.8 (Cauchy Serisi): Terimleri R de alıa her Cauchy serisi yakısar. Teorem 9.9 (Karşılaştırma Testi):Yeterice büyük idisleri içi a b eitsizliği sağlaıyor ve b serisi yakısıyorsa a serisi de yakısar.

16 9.2. YAKINSAKLIK TESTLERİ 99 Örek 9.5! serisii yakısak olduğuu gösteriiz. (9.7) İspat: 4 olduğuda! 2 dir ve 2 gromrtrik serisi yakısaktır. O halde, (0.9) karşılaştırma tesi uyarıca (0.7) serisi yaısar. Teorem 9.0 (İtegral Testi- [Dirichlet, Abel]): a terimi yerie f () yazıldığıda f sürekli, pozitif değerli ve x aralığıda azala bir foksiyo olsu. Bu durumda a serisii davraışı ile düzesiz u f (x)d x = lim f (x)d x u itegralii davraışı ayıdır. Yai ya her ikisi de ıraksak ya da her ikisi de yakısak olur. x = f () + f (2) + + f () diyelim. f zala olduğuda, x x = f () f (x)d x 0 f (x)d x olur. Öyleyse {x } dizisi azala bir dizidir ve f (k) k k f (x)d x f (k ) sağlaır. 2 k iç toplam alırsak, f () + f (2) + + f () çıkar. Burda istee souç çıkar: f (x)d x f () + f (2) + + f ( ) 0 f () x f ()

17 200 BÖLÜM 9. SERİLER Örek 9.6 =2 l serisii davraışıı iceleyiiz Çözüm: a yerie f () alırsak, f sürekli, azala pozitif değerli bir foksiyo oluyor. Dolayısıyla itegral testi uygulaabilir: u s = 2 x l x = limu 2 x l x = lim [l(l u) l(l 2)] u = olduuda seri ıraksar. Burada = içi a taımsız olduğu içi serii toplamıı = 2 de başlatıyoruz. Örek 9.7 =2 (l) 2 serisii davraışıı iceleyiiz Çözüm: a yerie f () alırsak, f sürekli, azala pozitif değerli bir foksiyo oluyor. Dolayısıyla itegral testi uygulaabilir: s = 2 x(l x) 2 = lim u u = lim u lx 2 ( = lim u l 2 ) lu = l2 olduğuda seri yakısar. u 2 x(l x) 2

18 9.3. P-SERİSİ p-serisi Örek 9.8 x p (9.8) serisii p > ise yakısak, p ise ıraksask olduğuu gösteriiz. İspat: Bu seri p-serisi diye biliir. Serii yakısaklığı farklı yötemlerle gösterilebilir. Burada (0.0) itegral testii uygulayacağız = x p d x Bu itegrali değrii ike p >, p =, p < içi ayrı ayrı iceleyeceğiz. Sağdaki itegrali yakısak olması içi gerekli ve yeterli koşulu p > olduğuu biliyoruz. p = olduğuda, = d x x = log çıkar. ike sağ ya sosuza gider. O halse p = içi seri ıraksar. p < ise = x p d x = p x p p < olduğuda ike sağ ya sosuza gider. O halde p-serisi p > ike yakısak p ike ıraksaktır. 9.4 Ora Testi Teorem 9. a ve b serileri verilsi ve lim a = L (9.9) b olsu. (L = olabilir). < ise her iki seri mutlak yakısar L = > ise her iki seri ıraksar = ise her iki serii davraışı ayır.

19 202 BÖLÜM 9. SERİLER So ifade her iki seri eş zamalı yakısadığıı, ıraksadığıı y da koşullu yakısadığıı söyler. İspat: = alırsak geelllik bozulmaz. Öce L < olduğuu varsayalım. lim a + = L < a olduğua göre öyle bir N doğal sayısı bulabiliriz ki N olduğuda lim a + = L < r a + < r a a olur. N de soraki terimler ayı eşitsili ğağlayacağıa göre, a N+ < r a N a N+2 < r a N+ < r 2 a N+ a N+3 < r a N+2 < r 3 a N+3. a N+k < r a N+k < r k a N+k olur. Şimdi r k a N+k k=0 geometik serisi yakısar. O halde, mukayese teoremi (Teorem (0.9) ) uyarıca, a serisi de yakısar. L > olsu. Serii mutlak ıraksadığıı göstereceğiz. lim a + = L > a olduğua göre, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, N 0lduğuda, a + > a + > a a olur. Bu durumda, lim a 0 olmalıdır. Geel terimi 0 a gitmediğie göre, Teorem (0.4) uyarıca seri ıraksar. So olarak L = olduğuu varsayalım.

20 9.4. ORAN TESTİ 203 Örek 9.9 ( ( 0) ) 4 2+ ( + ) = serisii davraışıı iceleyiiz. Çözüm: a + = ( 0)+ a ( + 2). 42+ ( + ) ( 0) eşitliğide içi limite geçersek, L = lim a + a = lim ( 0) ( + 2). 42+ ( + ) ( 0) = lim 0( + ) 4 2 ( + 2) = lim = 0 6 çıkar. O halde ora testi uyarıca seri mutlak yakısar. < Örek 9.0 ( )! = 5 serisii davraışıı iceleyiiz. Çözüm: lim ( + )!5 5 +! = lim ( + )! 5! = lim ( + ) 5 = > olduğuda ora testi uyarıca seri ıraksar. Örek 9. ( = 9 ( 2) + )

21 204 BÖLÜM 9. SERİLER serisii davraışıı iceleyiiz. Çözüm: lim 9 + ( 2) +2 ( + ). ( 2)+ 9 = lim 9 ( 2)( + ) = 2 9 lim () + = 2 9 > olduğuda ora testi uyarıca seri ıraksar. Örek 9.2 ( ( ) ) = 2 + serisii davraışıı iceleyiiz. Çözüm: lim ( ) + ( + ) ( ) = lim 2 + ( + ) 2 + = olduğuda ora testi serii yakısayıp yakısamaığı hakkıda bir şey söylemez. O edele başka testlere başvurmalıyız. İlk akla gele şey, serii bir almaşık (altere) seri oluşuudur. Geel terimi 0 a gide azala altere seri yakısaktır: ve lim a = lim 2 + = 0 a = 2 + > ( + ) 2 + = a + olur. Böylece serii yakısaklığı ortaya çıkar. Aslıda serii altere olduğu görülüce, birici kısımda yapılaları yapmaya gerek kalmaz. Örek 9.3 ( ) + 3 = serisii davraışıı iceleyiiz. Çözüm: lim a = lim = 3 0 0lduğuda seri ıraksar.

22 9.5. KÖK TESTİ 205 Uyarı 9.2 idisie göre geel terimi rasyoel ola serileri geel terimii limiti araırke, rasyoel foksiyolarda bildiğimiz bir kuralı uygulayabiliriz: Pay ve paydaı e yüksek dereceli terimlerii katsayıları oraı araa limittir. Bu limit sıfırda farklı ise seri ıraksar. 9.5 Kök Testi Bazı durumlarda başka tst işlemediğide kök testi deile aşağıdaki kural kullaışlı bir alet olur: Teorem 9.2 olsu. lim a = L, (0 L ) (9.20) L = { 0 L < ise seri yakısar L ise seri ıraksar İspat: 0 L olduğuda her idisi içi a < r < olacak biçimde bir r sayısı vardır. O hlde, N a < r olacak biçimde dğal bir N sayısı vrdır. Burada, R = a + a N+ + a N+2 + < r + r N+ + r N+2 + = r N ( + r + r 2 + r 3 + ) = r N ( r Mukayese teoremi gereğice seri yakısar. Şimdi L olduğuu varsayalım. Bu durumda < r L olacak biçimde bir r sayısı seçelim. N a > r > olacak biçide doğal N sayısı bulabiliriz. Bu durumda serii geel terimi sıfıra gitmez; seri ıraksar.

23 206 BÖLÜM 9. SERİLER Örek 9.4 i f t y = 2 4 serisii davraışıı icelyiiz. Çözüm: 2 lim 4 = lim 2 ( ) 4 = 2 > 9.6 Rasyoel Sayıları Gösterimi Bilidiği gibi bir sayıyı ya da foksiyou farklı biçemlerde adladırabilir ya da gösterebiliriz. Öreği, ayı 5 sayısıı Türkçe adı "beş", İgilizce adı "five", Frasıca adı "seq", Farsça adı "peç",... dır. Ama buları hiç biris 5 sayısı değildir. Bir isaı adı ile kedisii farklı oluşu gibidir. Sayıları gösterimi de öyledir. Beş sayısıı 0 tabaı ya da başka bir tabaa göre yazabiliriz. 5 = 5/ = 0/2 = 5/3... yazabiliriz. Buları hiç birisi 5 sayısı değildir. 5 sayısıı farklı gösterimleridir = /3 = 2/6 = 3/9 =... sayılarıda hiçbirisi 3 sayısı değildir, ou farklı gösterimleridir. Rasyoel sayıları p q kesri olarak temsili ile olu açılımı farklı gösterimlerdir. Hatta rasyoel sayıları 2 = 2 4 = 3 6 =... gibi farklı gösterimleri vardır. Yapılacak işleme göre ya da okuru kolay algılmasıı sağlamak içi sayıı gösterimii istediğimiz biçemde seçebiliriz. Birici bölümde rasyoel sayılaraı 0 tabaıa göre gösterimlerii belli bir basamakta sora devirli olacağıı söylemiştik. Geometrik serii toplamıı biliyorsak, o tabaıa göre devirli açılımları ede p q kesri biçimide yazılabildiklerii gösterebiliriz. Teorem 9.3 O tabaıa gire devirli açılımlar p q biçimide yazılabilir. İspat: Grup olma özeliğide yararlaarak her gerçel sayıda tam kısmıı çıkarırsak ou [0, ] aralığıa göderebiliriz. Dolayısıyla rasyoel sayıyı [0, ] aralığıda almak geelliği bozmayacaktır. [0,] aralığıdaki her gerçel sayıı açılımı a i (0) (9.2)

24 9.6. RASYONEL SAYILARIN GÖSTERİMİ 207 serisi ile temsil edilebilir. Bu temsilde rasyoel sayıları açılımı ya solu ya da devirli olurlar. Pratikte bu uzu toplamı yazmak yerie 0.a a 2... a m b b 2...b b (9.22) yazarız. Bilidiğ gibi bu gösterimde çizgi altıdaki basamaklar sosuz kez art arda tekrar ediyor kabul edilir. Bu gösterim t = 0 + a 0 + a 2 (0) 2 + a 3 + (0) m (0) m (0) 3 + a m (0) ( m b (0) + b 2 (0) 2 + b 3 (0) b (0) ) + gibi yazılırsa, ikici satırda paratez içideki terimler (9.22) deklemide çizgi altıdaki basamaklara karşılık gelir. Bu basamaklar art arda sosuz kez tekrarlaır. Göterimi basitleştirmek içi ilk satırı S ile ikici satırı T ile gösterelim: Burada, t = 0 + S + (0) m (0) m = T ( ) k (0) m (0) k=0 = (0) m T (0) m+ ( k=0 = S (0) m T (0) m+ 0 = ( b (0) + b 2 (0) 2 + b 3 (0) b ) (0) + (0) ) k t = 0.a a 2... a m b b 2...b b = S ( (0) m++) + 9T (0) m+ (0) m++ (9.23) çıkar. m ve solu olduğu içi so ifadede ki pay ve payda pozitif birer tam sayı olduğuda ispat biter. Örek devirli odalık sayısıı kesirli sayı olarak yazıız.

25 208 BÖLÜM 9. SERİLER Çözüm: Öcelikle sayıı tam kısımıı atalım. Sora (9.23) formülüü uygulayabilmek içi sayıı m devretmeye ve devrede basamaklarıı sayısıı bulalım. m = 2, = 3 dür. (9.23) formülüüde, t = = 54(03 ) (0 3 ) 54(999) = 00(999) = çıkar. Bu sayıya attığımız 4 tam sayısıı eklersek, verile devirli sayıı olduğuu görebiliriz. Baze devri sayıyı kesirli sayıya çevirmek içi şöyle bir yol izleyebiliriz: Örek 9.6 t = 0.7 = devirli odalık sayısıı kesirli sayı olarak yazıız. Çözüm: t = 0.7 0t = 7.7 Her iki tarafta t sayısıı çıkarırsak, 9t = 7 buluur. t = 7 9 Örek 9.7 t = 0.54 = devirli odalık sayısıı kesirli sayı olarak yazıız. Çözüm: t = 0.54 = t = 5.4 = t = 54.4 = t 0t = 90t = 49 t = 49 90

26 9.7. CAUCHY SERİSİ Cauchy Serisi Taım 9.7 her ɛ > 0 sayısı içi,m > N s s m < ɛ koşuluu sağlayab bir N > 0 sayısı varsa a serisie Cauchy serisi deilir. Bizim ele aldığımız R uzayıda Cauchy serileri yakısaktır. 9.8 Kuvvet Serilerii Yakısklığı İşlemleri kolaylaştırmak içi c merkzii 0 başlagıç oktasıa kaydırmakla geellikte bir şey kaybetmeyiz. O edele a (x c) serisi yerie a x (9.24) serisii el alacağız. Bua ileride Taylor serisi diyeceğiz Teorem 9.4. (9.24) serisi bir x = r, (r 0) değeri içi yakısıyora bütü x < r içi yakısar. 2. (9.24) serisi bir x = s değeri içi ıraksıyorsa bütü x > s içi ıraksar İspat: Öce x = r içi serii ıraksadığıı varsayalım. a x serisi yakısaksa a r serisi de yakısar. Yakısak serileri geel terimleri sıırlı olduğuda her idisi içi a r M

27 20 BÖLÜM 9. SERİLER eşitsizliğii sağlaya bir M sayısı varıdır. Burada, a x = a r. x M x r r yazılabilir. Bu ise, M x ( = M + x + x ) 2 + r r r olması demektir. Eğer x r < ya da dek olarak x < r ise paratez içideki geometrik seri yakısar. Öyleyse, a x serisi yakısaktır. O halde a x serisi x < r içi mutlak yakısar. Şimdi x = s içi serii ıraksadığıı varsayalım. O durumda her x > s içi seri ıraksayacaktır. Gerçkte bir x 0 > s içi yakısıyor olsaydı, teoremi ilk kısmı gereğice a s serisi de yakosak olurdu. Bu çelişki olamayacağıa göre seri x > s içi ıraksar. 9.9 Yakısaklık Aralığı Teorem 9.4 uyarıca (9.24) Taylor serisii yakısak olduğu yerler 0 okatsıı içere bir aralıktır. Bu aralığa (9.24) serisii yakısaklık aralığı deilir. Yakısaklık aralığıı I ile gösterlim. I = [0,0] ise (9.24 serisi hiç bir x 0 oktasıda yakısamaz. Bu tür seriler her yerde ıraksaya kuvvet serileridir. I = ( a, a), (0 < a < ) ise serii yakısaklık aralığı soludur. I = (, ) ise seri bütü R içi yakısar. Bu söylediklerimizde şu souçlar çıkar:. (9.24) serisii I yakısaklık aralığı orta oktası 0 ola bir aralıktır. 2. Yakısaklık aralığıı uzuluğu 0 da e kadar değişe uzulukta olabilir. 3. Yakısaklık teoremi yakısaklık aralığıı uç oktaları içi bir şey söylemez. Uç oktalarda serii davraışı, bu değerler yerlerie yazılarak elde edile sabit terimli seriye bilie testlerde uygu ola birisi uygulaarak belirleebilir.

28 9.9. YAKINSAKLIK ARALIĞI 2 Örek 9.8 x + serisii yakısaklık yarıçapıı buluuz. Yakısaklık aralığıı uç oktalarıda serii davraışıı belirleyiiz. Çözüm: Ora testii uygularsak, x + L = lim x = lim + x = x + 2 çıkar Ohalde x < ise seri mutlak yakısar. x > ise seri ıraksar. Serii yakısaklık aralığı I = (, ) dir. Şimdi yakısaklık aralığıı uç oktalarıda serii davraışıı iceleyelim. Sol uç oktada x = dir Bu değeri verile seride kullaırsak altere harmoik serisi elde edilir. Bu serii koşullu yakısak olduğuu biliyoruz. Sağ uç okta x = oktasıdır. Bu değeri verile seride kullaırsak, harmoik serisi elde edilir. Harmoik serii ırak olduğuu biliyoruz. Örek 9.9 ( ) x2 + serisii yakısaklık yarıçapıı buluuz. Yakısaklık aralığıı uç oktalarıda serii davraışıı belirleyiiz. Çözüm: Ora testii uygularsak, L = lim x x 2 = lim x 2 = x 2 O halde x 2 > x < içi seri mutlak yakısar. Yakısaklık aralığı I = (,) dir. Bu aralığı sol ve sağ uçlarıdaki x = ± değerleri verile seride kullılırsa, ( ) + altere serisi elde edilir. Altere seri koşullu yakısaktır.

29 22 BÖLÜM 9. SERİLER Örek x 2 (l2) serisii yakısaklık yarıçapıı buluuz. Yakısaklık aralığıı uç oktalarıda serii davraışıı belirleyiiz. Çözüm: Ora testi souç vermez. O edele kök testii uygulayalım: 2 x 2 L = lim (l) ( ) 2 = lim (l ) x 2 = 0 çıkar. O halde verile seri her x içi yakısar. yakısaklık aralığı (, ) olur Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri Örek 9.2 ( ) 4 (x + 3) = serisii yakısaklık yarıçapıı buluuz. Yakısaklık aralığıı uç oktalarıdaki davraışıı iceleyiiz. Çözüm: Bu serii x = 3 oktasıda yakısak olduğuu biliyoruz. Yakısaklık yarıçapıı belirlemek içi ora testii kullaalım: L = lim ( ) + (+) 4 + (x + 3) + ( ) 4 (x + 3) ( ) + (x + 3) + 4 = lim 4 +. ( ) (x + 3) = lim ( + )((x + 3) 4 + = lim x = x + 3 4

30 9.20. ÇÖZÜMLÜ KUVVET SERİSİ PROBLEMLERİ 23 çıkar. Ora tesstide biliyoruz ki L < ise seri yakısar, L > ise seri ıraksar. L = içi ora testi bir karara varmaz. O edele, 4 x + 3 < olduğuda kuvvet serisii yakısak, 4 x +3 > olduğuda kuvvet serisii ıraksak olduğua karar verebiliriz. Burada x + 3 < 4 olduğuda serii yakısak, x + 3 > 4 olduğuda serii ıraksak olduğu soucu çıkar. Yakısaklık aralığı, merkezi 3 ola ( 7,) aralığıdır. Yakısaklık yarıçapı r = 4 dür. Şimdi L = halii yai yakısaklık aralığıı uç oktalarıda serii davraışıı iceleyelim. yakısaklık aralığıı sol ucuda x = 7 dir. Buu verile kuvvet seriside kullaırsak, = = ( ) ( ) 4 (4) S = = = = ( ) 4 ( 4) ( ) ( ) = = = 0 çıkar ki bu serii yakısaklık aralığıı sol ucuda ıraksadığıı söyler. Şimdi serii yakısaklık aralığıı sağ ucudaki davraışıa bakalım: Sağ çta x = dir. Burada seri içi, ( ) S = 4 (4) = ( ) = = = çıkar. Ohalde verile seri yakısaklık aralığıı her iki ucuda da ıraksar. Dolayısyla seri 7 < x < içi yakısaktır. Örek 9.22 = 2 (4x 8) serisii yakısaklık yarıçapıı buluuz. Yakısaklık aralığıı uç oktalarıdaki davraışıı iceleyiiz.

31 24 BÖLÜM 9. SERİLER Çözüm: Ora testii uygularsak, (4x 8)+ L = lim 2 (4x 8) = lim 2 + (4x 8) (4x 8) = lim 2(4x 8) + 2 = lim 4x 8 + = 2 4x 8 çıkar. O halde,. 2 4x 8 < ise seri yakısar x 8 > i se seri ıraksar x 8 = ise bu test souç vermez. 2 4x 8 < > 8 x 2 < > x 2 < 8 > 5 8 < x < 7 8 ise seri yak?sak 2 4x 8 > > 8 x 2 > > x 2 > 8 > 5 8 > x, ya da x > 7 8 ise seri yakısaklık aralığıı uç oktalarıda serii davraışıı iceleyelim: Sol uçta, x = 5 8 dir. 2 ( s = 4 5 ) = = = ( ) 2 = = 2 ( ) = = ( ) 2 çıkar. Bu seri altere harmoik seridir; yakısar.

32 9.20. ÇÖZÜMLÜ KUVVET SERİSİ PROBLEMLERİ 25 koyarsak, Şimdi yakısaklık aralığıı sağ ucuu iceleyelim. Seride x = ( s 2 = 4 7 ) = ( = = 2 ( ) 2 = = 2 = = ) çıkar. Bu seri harmoik seridir; ıraksar. Örek 9.23!(2x + ) = serisii yakısaklık yarıçapıı buluuz. Yakısaklık aralığıı uç oktalarıdaki davraışıı iceleyiiz. Çözüm: Ora testii uygularsak, L = lim ( + )!(2x + ) +!(2x + ) = lim ( + )!(2x + )! = 2x + lim ( + ) = (x f r ac2) çıkar. Burada ilgiç bir duruml karşı karşıyayız. Seri x = f r ac2 oktasıda yakısar. Yakısaklık aralığı yalızca f r ac2 oktasıda ibarettir. Yakısaklık yarıçapı ise r = 0 dır. Örek 9.24 (x 6) = serisii yakısaklık yarıçapıı buluuz. Yakısaklık aralığıı uç oktalarıdaki davraışıı iceleyiiz.

33 26 BÖLÜM 9. SERİLER Çözüm: Kök testii uygularsak, L = lim (x 6) = lim (x 6) = x 6 lim = 0 çıkar. Yakısaklık yarıçapı r = ve yakıklık aralığı (, ) olur. Örek 9.25 = x 2 ( 2) serisii yakısaklık yarıçapıı buluuz. Yakısaklık aralığıı uç oktalarıdaki davraışıı iceleyiiz. Çözüm: Kök testii uygularsak, L = lim x 2 ( 3) = x2 3 L = lim x 2 ( 3) çıkar. Öyleyse, x2 3 < x2 < 3 x < 3 3 < x 3 içi seri yakısar. yakısaklık aralığı ( 3, 3)dir. yakısaklık yarıçapı r = 3 dir. Aralığı sol ucuda, ( ( ) 3) 2 s = = ( 3) ( ( ) 2 ) 3 3 = = ( 3) (3) = = ( ) (3) = ( ) =

34 9.2. E SAYISI 27 olduğuda aralığı sol ucudaki bu seri ıraksar. Aralığı sağ ucudaki x = 3 değeri seride kullaılırsa, ( ( ) 3) 2 s 2 = = ( 3) = ( ) = olduğuda aralığı sağ ucudaki bu seri de ıraksar. 9.2 e Sayısı Formüller: e x.e y = e x+y exp(x).exp(y) = exp(x + y) (9.25) e x e y = e x y expx = exp(x y) (9.26) expy (e x ) y = e x y (exp(x)) y = exp(x y) (9.27) l(e x ) = x l (exp(x)) = x (9.28) e l(x) = x exp(l(x)) = x (9.29) e 0 = exp(0) = (9.30) e a = e a exp( a) = exp(a) (9.3)

35 94 BÖLÜM 9. SERİLER

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

DİZİLER - SERİLER Test -1

DİZİLER - SERİLER Test -1 DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

Sonsuz Diziler ve Seriler

Sonsuz Diziler ve Seriler Sonsuz Diziler ve Seriler İki veya birden çok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanacağını herkes bilir. Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız? Bu sorunun cevabını bu bölümde vermeye çalışacağız. Diziler

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

Diziler. Tanım 9.1. a i0, a i1, a i2,..., a in,... (9.2)

Diziler. Tanım 9.1. a i0, a i1, a i2,..., a in,... (9.2) 2 86 Bölüm 9 Diziler Tanım 9. a 0, a, a 2,..., a n,... (9.) biçiminde sıralanmış sayılar kümesine dizi denilir. {a n }, (a n ) n=0, {a n} n=0 gibi gösterimler kullanılır. Bu gösterimlerde, i doğal sayısına

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersi Adı SINIFI: KONU: Diziler Dersi Kousu. Aşğıdkilerde kç tesi bir dizii geel terimi olbilir? I. II. log III. IV. V. 7 7 9 9 t 4 4 E). Aşğıdkilerde hgisi bir dizii geel

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK)

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) Prof. Dr. Meti OLGUN Akara Üiversitesi Ziraat Fakültesi Tarımsal Yapılar ve Sulama Bölümü HAFTA KONU 1 Giriş, temel kavramlar, statiği temel ilkeleri 2-3 Düzlem kuvvetler

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz.

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz. YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 1 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Her birii başarı olasılığı p ola birbiride bağımsız Beroulli deemeside öreklemdeki başarı oraıı ˆp

Detaylı

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev DERS 5 imit Süreklilik ve Türev İlk dersimizi solarıda, it sözüğü kullaılmada bu sözükle iade edile kavram ele alımıştıbak.. Bu dersimizde, it kavramıa biraz daa akıda bakaağız ve bu kavram ardımıla süreklilik

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace

Detaylı

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir.

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir. 35 Yay Dalgaları 1 Test 1'i Çözümleri 1. dalga üreteci 3. m 1 2m 2 Türdeş bir yayı her tarafıı kalılığı ayıdır. tma türdeş yay üzeride ilerlerke dalga boyu ve hızı değişmez. İlk üretile ı geişliği büyük,

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI ÖGRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKULU / SINIFI : SINAVA GİRDİĞİ İLÇE: SINAVLAİLGİLİUYARILAR: İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 018 SINAVI Kategori: Lise Matematik Soru Kitapçık

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül

BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ A.Saide Sarıgül DENEYİN AMACI: Akastre bir çubuğu modal parametrelerii (doğal frekas, titreşim biçimi, iç söümü) elde edilmesi. TANIMLAMALAR: Modal aaliz: Titreşe bir sistemi

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE AMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Güllü Caa HAZAR Aabilim Dalı : Matematik Tez

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.

Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s

Detaylı

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için ÖzelKredi İstekleriize daha kolay ulaşmaız içi Yei özgürlükler keşfedi. Sizi içi öemli olaları gerçekleştiri. Hayalleriizi süsleye yei bir arabaya yei mobilyalara kavuşmak mı istiyorsuuz? Veya özel güler

Detaylı