Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri"

Transkript

1 Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi Ocak, 2019 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

2 Üretim Planlama Örnek-I ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

3 Üretim Planlama Örnek-I Bir elbise dikim firması, fabrika işçileri için iş elbisesi(üniforma) sparişi almaktadır ve bu spariş için 240m kumaşımevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak hazırlanacaktır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

4 Üretim Planlama Örnek-I Bir elbise dikim firması, fabrika işçileri için iş elbisesi(üniforma) sparişi almaktadır ve bu spariş için 240m kumaşımevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak hazırlanacaktır. Her bir A tipli model yaklaşık 3 saat, B tipli model ise 1 saat işlem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir işgücü mevcut bulunmaktadır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

5 Üretim Planlama Örnek-I Bir elbise dikim firması, fabrika işçileri için iş elbisesi(üniforma) sparişi almaktadır ve bu spariş için 240m kumaşımevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak hazırlanacaktır. Her bir A tipli model yaklaşık 3 saat, B tipli model ise 1 saat işlem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir işgücü mevcut bulunmaktadır. A ve B tip her bir modelin gerektirdiği kumaş miktarlarıise sırasıyla 1.2m ve 1m kadardır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

6 Üretim Planlama Örnek-I Bir elbise dikim firması, fabrika işçileri için iş elbisesi(üniforma) sparişi almaktadır ve bu spariş için 240m kumaşımevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak hazırlanacaktır. Her bir A tipli model yaklaşık 3 saat, B tipli model ise 1 saat işlem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir işgücü mevcut bulunmaktadır. A ve B tip her bir modelin gerektirdiği kumaş miktarlarıise sırasıyla 1.2m ve 1m kadardır. A ve B tip her bir modelin satışından elde edilecek kâr ise sırasıyla 25 ve 20 TL dir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

7 Üretim Planlama Örnek-I Bir elbise dikim firması, fabrika işçileri için iş elbisesi(üniforma) sparişi almaktadır ve bu spariş için 240m kumaşımevcuttur. Üniformalar A ve B tipli model olarak hazırlanacaktır. Her bir A tipli model yaklaşık 3 saat, B tipli model ise 1 saat işlem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir işgücü mevcut bulunmaktadır. A ve B tip her bir modelin gerektirdiği kumaş miktarlarıise sırasıyla 1.2m ve 1m kadardır. A ve B tip her bir modelin satışından elde edilecek kâr ise sırasıyla 25 ve 20 TL dir. Günlük üretimden elde edilecek olan kârın maksimum olmasıiçin hangi modelden ne kadar üretilmelidir? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

8 Üretim Planlama Örnek-I ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

9 Üretim Planlama Örnek-I Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla üretilmesi gereken A ve B model üniforma sayılarıdır ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

10 Üretim Planlama Örnek-I Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla üretilmesi gereken A ve B model üniforma sayılarıdır ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istediğimiz fonksiyon 25x + 20y dir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

11 Üretim Planlama Örnek-I Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla üretilmesi gereken A ve B model üniforma sayılarıdır ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istediğimiz fonksiyon 25x + 20y dir. Kaynak kısıtlaması: 1.2x + y 240 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

12 Üretim Planlama Örnek-I Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla üretilmesi gereken A ve B model üniforma sayılarıdır ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istediğimiz fonksiyon 25x + 20y dir. Kaynak kısıtlaması: 1.2x + y 240 İşgücü kısıtlaması3x + y 320 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

13 Üretim Planlama Örnek-I Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla üretilmesi gereken A ve B model üniforma sayılarıdır ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istediğimiz fonksiyon 25x + 20y dir. Kaynak kısıtlaması: 1.2x + y 240 İşgücü kısıtlaması3x + y 320 Nonnegatiflik kısıtlamalarıx 0, y 0. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

14 Üretim Planlama Örnek-I ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

15 Üretim Planlama Örnek-I max 25x + 20y 1.2x + y 240 3x + y 320 x 0, y 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

16 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama)final sınavlarına hazırlanan bir öğrencinin ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

17 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama)final sınavlarına hazırlanan bir öğrencinin A ve B dersleri sınav hazırlĭgıiçin toplam 40 saat zamanımevcuttur. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

18 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama)final sınavlarına hazırlanan bir öğrencinin A ve B dersleri sınav hazırlĭgıiçin toplam 40 saat zamanımevcuttur. Öğrenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çalışmanın A dersi için yaklaşık yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olacağınıtahmin etmektedir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

19 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama)final sınavlarına hazırlanan bir öğrencinin A ve B dersleri sınav hazırlĭgıiçin toplam 40 saat zamanımevcuttur. Öğrenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çalışmanın A dersi için yaklaşık yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olacağınıtahmin etmektedir. Ayrıca öğrenci, A dersi için gerekli çalışma zamanının B için gerekli olandan en az üç kat daha fazla olmasıgerektiğini tahmin ediyor. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

20 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama)final sınavlarına hazırlanan bir öğrencinin A ve B dersleri sınav hazırlĭgıiçin toplam 40 saat zamanımevcuttur. Öğrenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çalışmanın A dersi için yaklaşık yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olacağınıtahmin etmektedir. Ayrıca öğrenci, A dersi için gerekli çalışma zamanının B için gerekli olandan en az üç kat daha fazla olmasıgerektiğini tahmin ediyor. Buna göre öğrenci yaklaşık olarak hangi ders için en az kaç saat çalışmalıdır? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

21 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama) Model ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

22 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama) Model Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla A ve B dersleri için gerekli çalışma süreleridir ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

23 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama) Model Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla A ve B dersleri için gerekli çalışma süreleridir ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istediğimiz fonksiyon 3x + 5y dir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

24 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama) Model Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla A ve B dersleri için gerekli çalışma süreleridir ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istediğimiz fonksiyon 3x + 5y dir. Zaman kısıtlaması: x + y 40 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

25 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama) Model Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla A ve B dersleri için gerekli çalışma süreleridir ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istediğimiz fonksiyon 3x + 5y dir. Zaman kısıtlaması: x + y 40 Dersler için gerekli zaman dağılımı x 3y 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

26 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama) Model Probleme ait bilinmeyenler sırasıyla A ve B dersleri için gerekli çalışma süreleridir ki bunlarısırasıyla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istediğimiz fonksiyon 3x + 5y dir. Zaman kısıtlaması: x + y 40 Dersler için gerekli zaman dağılımı x 3y 0 Ayrıca çalışma zaman süreleri negatif olamayacağıiçin x 0, y 0 olmalıdır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

27 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama) Model ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

28 Zaman Planlama Örnek-II(Sınav için zaman planlama) Model max 3x + 5y x + y 40 x 3y 0 x 0, y 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

29 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

30 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) Bir fabrikada yaz, kış ve mevsimlik olmak üzere üç farklıotomobil lastiği üretilmektedir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

31 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) Bir fabrikada yaz, kış ve mevsimlik olmak üzere üç farklıotomobil lastiği üretilmektedir. Her bir lastik fabrikadaki üç farklıbölümde aşağıda belirtilen sürelerde işlem görmektedirler ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

32 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) Bir fabrikada yaz, kış ve mevsimlik olmak üzere üç farklıotomobil lastiği üretilmektedir. Her bir lastik fabrikadaki üç farklıbölümde aşağıda belirtilen sürelerde işlem görmektedirler Üretilen her bir lastikten elde edilmesi düşünülen tahmini kâr aşağıda verilmektedir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

33 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

34 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) Yaz Kış Mevsimlik Toplam Zaman Birinci Bölüm İkinci Bölüm Üçüncü Bölüm Kâr ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

35 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) Yaz Kış Mevsimlik Toplam Zaman Birinci Bölüm İkinci Bölüm Üçüncü Bölüm Kâr Fabrika seçilen boyuttaki lastik üretiminden maksimum kâr elde edebilmek için hangi tipten ne kadar üretmelidir? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

36 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

37 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) x,y, ve z ile sırasıyla üretilmesi planlanan yazlık, kışlık ve mevsimlik lastik sayılarınıgösterelim. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

38 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) x,y, ve z ile sırasıyla üretilmesi planlanan yazlık, kışlık ve mevsimlik lastik sayılarınıgösterelim. O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

39 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) x,y, ve z ile sırasıyla üretilmesi planlanan yazlık, kışlık ve mevsimlik lastik sayılarınıgösterelim. O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynaklıkısıtlama: 1.5x + y + 2z 90 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

40 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) x,y, ve z ile sırasıyla üretilmesi planlanan yazlık, kışlık ve mevsimlik lastik sayılarınıgösterelim. O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynaklıkısıtlama: 1.5x + y + 2z 90 İkinci Bölüm kaynaklıkısıtlama: x + 2y + 2z 70 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

41 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) x,y, ve z ile sırasıyla üretilmesi planlanan yazlık, kışlık ve mevsimlik lastik sayılarınıgösterelim. O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynaklıkısıtlama: 1.5x + y + 2z 90 İkinci Bölüm kaynaklıkısıtlama: x + 2y + 2z 70 Üçüncü Bölüm kaynaklıkısıtlama: 2x + y + z 80 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

42 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) x,y, ve z ile sırasıyla üretilmesi planlanan yazlık, kışlık ve mevsimlik lastik sayılarınıgösterelim. O halde maksimize edilecek olan fonksiyon 20x + 16y + 15z dir Birinci Bölüm kaynaklıkısıtlama: 1.5x + y + 2z 90 İkinci Bölüm kaynaklıkısıtlama: x + 2y + 2z 70 Üçüncü Bölüm kaynaklıkısıtlama: 2x + y + z 80 Ayrıca üretilecek lastik sayılarınegatif olamayacağıiçin x 0, y 0, z 0 olmalıdır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

43 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

44 Üretim Planlama Örnek-III(üretim planlama) max 20x + 16y + 15z 1.5x + y + 2z 90 x + 2y + 2z 70 2x + y + z 80 x 0, y 0, z 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

45 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi Aşağıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin grafiğini çiziniz ve köşe noktalarının koordinatlarınıbelirleyiniz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

46 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi Aşağıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin grafiğini çiziniz ve köşe noktalarının koordinatlarınıbelirleyiniz. x + y 250, 2x + 8y 800, x 0, y 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

47 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi y = x + 250, y = x/ y x ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

48 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi y ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30 x

49 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi y ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30 x

50 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi y ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30 x

51 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi Aşağıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin grafiğini çiziniz ve köşe noktalarının koordinatlarınıbelirleyiniz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

52 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi Aşağıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin grafiğini çiziniz ve köşe noktalarının koordinatlarınıbelirleyiniz. x + y 65 x + y 40 x 0 x 60 y 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

53 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi y ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30 x

54 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi Aşağıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin grafiğini çiziniz ve köşe noktalarının koordinatlarınıbelirleyiniz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

55 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi Aşağıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin grafiğini çiziniz ve köşe noktalarının koordinatlarınıbelirleyiniz. x + 3y 4 2x + y 5 x y 0 x 0, y 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

56 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi y x 1 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

57 Eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi y x 1 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

58 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi Bu bölümde X = [x y] T, C = [c 1 c 2 ], A 2 2 = [A 1 ; A 2 ] matris ve b = [b 1 b 2 ] T olmak üzere Lineer optimizasyon problemi olarak adlandırılan max CX AX <= b X 0 veya min CX AX >= b X 0 veya ve kıstlamalarının her ikisini de içeren iki bilinmeyenli problemlerinin grafik yöntemi yardımıyla çözümünü inceliyoruz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

59 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi Bu bölümde X = [x y] T, C = [c 1 c 2 ], A 2 2 = [A 1 ; A 2 ] matris ve b = [b 1 b 2 ] T olmak üzere Lineer optimizasyon problemi olarak adlandırılan max CX AX <= b X 0 veya min CX AX >= b X 0 veya ve kıstlamalarının her ikisini de içeren iki bilinmeyenli problemlerinin grafik yöntemi yardımıyla çözümünü inceliyoruz. Burada maksimize veya minimize edilecek olan CX = c 1 x + c 2 y fonksiyonuna objektif veya hedef fonksiyon adıverilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

60 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi Bu bölümde X = [x y] T, C = [c 1 c 2 ], A 2 2 = [A 1 ; A 2 ] matris ve b = [b 1 b 2 ] T olmak üzere Lineer optimizasyon problemi olarak adlandırılan max CX AX <= b X 0 veya min CX AX >= b X 0 veya ve kıstlamalarının her ikisini de içeren iki bilinmeyenli problemlerinin grafik yöntemi yardımıyla çözümünü inceliyoruz. Burada maksimize veya minimize edilecek olan CX = c 1 x + c 2 y fonksiyonuna objektif veya hedef fonksiyon adıverilir. Problemde verilen eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesine ise problemin uygun çözüm kümesi adıverilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

61 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi Bu bölümde X = [x y] T, C = [c 1 c 2 ], A 2 2 = [A 1 ; A 2 ] matris ve b = [b 1 b 2 ] T olmak üzere Lineer optimizasyon problemi olarak adlandırılan max CX AX <= b X 0 veya min CX AX >= b X 0 veya ve kıstlamalarının her ikisini de içeren iki bilinmeyenli problemlerinin grafik yöntemi yardımıyla çözümünü inceliyoruz. Burada maksimize veya minimize edilecek olan CX = c 1 x + c 2 y fonksiyonuna objektif veya hedef fonksiyon adıverilir. Problemde verilen eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesine ise problemin uygun çözüm kümesi adıverilir. Uygun çözüm kümesi içerisinden verilen problemi maksimize(veya minimize) eden çözüme optimum çözüm adıverilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

62 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi Theorem Bir lineer optimizasyon probleminin çözümü mevcutsa, bu çözüm uygun çözüm kümesinin köşe noktalarından birisidir. Eğer herhangi iki komşu köşe noktada objektif fonksiyon aynıdeğere sahipse, bu iki noktayı birleştiren doğru üzerindeki her nokta da problemin bir çözümüdür ve bu durumda problem sonsuz sayıda çözüme sahiptir[1]. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

63 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi Örnek Verilen optimizasyon probleminin çözümünü belirleyiniz. max 3x + y x + 3y 4 2x + y 5 x y 0 x, y 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

64 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi y x 1 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

65 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi O halde köşe noktalarında objektif fonksiyonunun değerini hesaplayıp en büyük değere sahip olan noktayıbelirlemektir. (x, y) 3x + y (0, 0) 0 (5/2, 0) 15/2 (11/5, 3/5) 36/5 (1, 1) 4 O halde optimum çözüm (5/2, 0) dır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

66 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi Örnek Verilen optimizasyon probleminin çözümünü belirleyiniz. min 3x + 4y x + y 4 x + 3y 2 x, y 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

67 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi y x ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

68 İki değişkenli Problemler için Grafik Yöntemi Çözüm kümesinin köşe noktalarının koordinatları ve bu noktalardaki objektif fonksiyonun değerleri aşağıda verilmektedir. (x, y) 3x + 4y (0, 2/3) 8/3 (2, 0) 6 (4, 0) 12 (0, 4) 16 O halde objektif fonksiyonun minimumuna karşılık gelen (x, y) = (0, 2/3) noktasıoptimal çözümdür. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

69 Alıştırmalar ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

70 Alıştırmalar Bir otomotiv üretim firmasıa ve B tip ekonomik otomobil modelleri üretmektedir ve firmanın bir sezonluk üretim için toplam saatlik işgücü ve bu üretim için TL finansman kaynağı mevcuttur. A ve B tip modellerin her biri sırasıyla 400 ve 350 saatlik işgücü kaynağıgerektirmekte ve üretici bu modellerin herbirinden 3500 ve 3400 TL kâr elde edeceğini tahmin etmektedir. A ve B tipli her bir modelin maliyeti sırasıyla TL ve TL dir. Bir sezonluk üretimden maksimum kâr elde edebilmek için hangi modelden ne kadar üretilmelidir? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

71 Alıştırmalar ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

72 Alıştırmalar Bir diyetisyen iki ürünün(ür ün_i, Ür ün_ii ) uygun miktardaki karışımıile bir bitkisel ilaç hazırlamak istemektedir. Ür ün_i in her bir gramı3mg demir, 4mg C vitamini ve 2mg da kolestrol içermektedir. Ürün_II nin her bir gramıise 6mg demir, 2mg C vitamini ve 3mg da kolestrol içermektedir. Hazırlanacak olan ilacın en az 1500 mg demir ve 800 mg da C vitamini içermesi istenmektedir. Minimum kolestrol içeren bitkisel ilaç hangi tip üründen ne kadar içermelidir? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

73 Alıştırmalar ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

74 Alıştırmalar Bir pastahane kilogramısırasıyla 3 TL ve 5 TL olan portakal ve kivi karışımından bir içecek hazırlamak istemektedir. Her bir meyve çeşidinin her bir 100 gramındaki kalori ve karbonhidrat miktarları aşağıdaki tabloda verilmektedir. Ayrıca karışımın sahip olmasıgereken minimal besin değerleri de yine tablonun son satırında verilmektedir. 100 gramda Kalori(kcal) Karbonhidrat(gr) portakal kivi Minimal Gereksinim Bu veriler ışĭgıaltında minimum maliyetli karışım, hangi meyve türünden kaç gram içermelidir? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

75 Kaynak ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

76 Kaynak S. T. Tan, Applied Finite Mathematics, Kent Publishing, USA. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

77 Kaynak S. T. Tan, Applied Finite Mathematics, Kent Publishing, USA. Coşkun, E., Endüstriyel ve UygulamalıMatematiğe Giriş, URL: ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Grafik yöntemi ile optimizasyon problemleri Ocak, / 30

Optimizasyon mevcut sınırlamalar içerinde kalmak şartıyla optimum(en iyi)

Optimizasyon mevcut sınırlamalar içerinde kalmak şartıyla optimum(en iyi) Bölüm 3 Lineer Optimizasyon 3.1 Giriş Optimizasyon mevcut sınırlamalar içerinde kalmak şartıyla optimum(en iyi) çözümü belirleme işlemidir. En iyi çözüm, bir firma için maksimum kâr veya minimum maliyet

Detaylı

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ Yrd. Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Eğri-Çizme Teknikleri Bu konuda ele alacağımız 3 alt başlık yer alır. Alt Başlıklar

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli)

Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli) ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS 2 NOTLAR Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli) X, karar değişkenlerinin bir vektörü olsun. z, g 1, g 2,...,g m fonksiyonlardır.

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata

Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata

Detaylı

Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Bölüm 11 Ders 11 Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri 11.1 Alıştırmalar 11 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıdaki problemlerde, dual problemi yazınız; dual problemi simpleks yöntemi

Detaylı

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10 Bölüm 10 Ders 10 Simpleks Yöntemine Giriş 10.1 Alıştırmalar 10 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 197 198 BÖLÜM 10. DERS 10 1. Soru 1 1. Aşağıda verilen simpleks tablolarında temel, temel olmayan,

Detaylı

Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER Örnek 1: Bir boya fabrikası hem iç hem dış boya üretiyor. Boya üretiminde A ve B olmak üzere iki tip hammadde kullanılıyor. Bir günde A hammaddesinden

Detaylı

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Parametrik doğru denklemleri 1

Parametrik doğru denklemleri 1 Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P

Detaylı

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 3 FONKSİYONLAR

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 3 FONKSİYONLAR MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 3 FONKSİYONLAR Yrd. Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi GİRİŞ Fonksiyon kavramı, matematikte en önemli kavramlardan biridir. Temel düzeyin ötesinde

Detaylı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı 4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar: 100 Bölüm 9 Ders 09 9.1 Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar 9 1. 215 /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or HRS şirketi BRN Endüstrileri ile bir anlaşma yapmış ve her ay BRN ye üretebildiği kadar A ürününden sağlamayı garanti etmiştir. HRS de vasıflı ustalar ve çıraklar çalışmaktadır. Bir usta, bir saatte 3

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Kısıtsız Optimizasyon

Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON Bu bölümde çok değişkenli kısıtsız optimizasyon problemlerinin çözüm yöntemleri incelenecektir. Bu bölümde anlatılacak yöntemler, kısıtlı optimizasyon problemlerini de çözebilmektedir. Bunun

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. (10+10+10 p.) 4. (65 p.) TOPLAM NOT: Tam puan almak için

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006 ĐST 49 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z X 1 + 4 X subject to: X

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

8. SINIF 2 BiLiNMEYENLi DENKLEM SiSTEMLERi

8. SINIF 2 BiLiNMEYENLi DENKLEM SiSTEMLERi 14 8. SINIF 2 BiLiNMEYENLi DENKLEM SiSTEMLERi İçerisinde 2 tane bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenlerin derecesi en fazla 1 olan eşitliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri denir. Çözüm

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.

Çözümlemeleri adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu. Dersi Veren Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Özgeçmişi Mehmet KORKMAZ, 1975 yılında Malatya da doğdu. İlkokul, ortaokul ve liseyi memleketi olan Isparta da tamamladı. 1996 yılında İ.Ü. Orman Fakültesi,

Detaylı

Ders 06. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm:

Ders 06. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm: 42 Bölüm 6 Ders 06 147 /6 y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman sn, uzaklık cm cinsinden olsun) bulunduğu noktanın ordinatı f (x) = 2x 4 8x 3 7 olarak veriliyor. a) Anlık hız fonksiyonunu

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü

Detaylı

SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.

SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir. 2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

Algoritmalara Giriş. Prof. Erik Demaine. November 16, 2005 Copyright by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L18.1

Algoritmalara Giriş. Prof. Erik Demaine. November 16, 2005 Copyright by Erik D. Demaine and Charles E. Leiserson L18.1 Algoritmalara Giriş 6.06J/8.0J Ders 8 En Kısa Yollar II Bellman-Ford algoritması Doğrusal Programlama ve fark kısıtları VLSI yerleşimi küçültülmesi Prof. Erik Demaine November 6, 00 Copyright 00- by Erik

Detaylı

METASEZGİSEL YÖNTEMLER

METASEZGİSEL YÖNTEMLER METASEZGİSEL YÖNTEMLER Ara sınav - 30% Ödev (Haftalık) - 20% Final (Proje Sunumu) - 50% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn: Zaman çizelgeleme, en kısa yol bulunması,

Detaylı

Ders 02. Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi. 2.1 Çözümler:Alıştırmalar 02. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru

Ders 02. Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi. 2.1 Çözümler:Alıştırmalar 02. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru 4 Bölüm 2 Ders 02 Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi 2. Çözümler:Alıştırmalar 02 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Soru 3 2 A = 2 4 6 8 matrisi için aşağıda verilen satır işlemlerini yapınız: a) S S

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız.

İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERS 3 NOTLAR DP Modellerinin Standart Biçimde Gösterimi: İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. Gepetto Marangozhanesi için DP modeli

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata

Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bölüm 5 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bu bölümde önelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneeğini

Detaylı

KPSS 2009 GY-(31) YAPRAK TEST SORU KONU ANLATIM SAYFA SORU x olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

KPSS 2009 GY-(31) YAPRAK TEST SORU KONU ANLATIM SAYFA SORU x olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 KPSS 009 GY-(31) YAPRAK TEST-17 19. SORU 31. x 1 3 9 1 x 1 7 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 B) C) 1 19. x 6 x 1 3 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 D) 1 E) KONU ANLATIM SAYFA 194 15. SORU

Detaylı

KISITLI OPTİMİZASYON

KISITLI OPTİMİZASYON KISITLI OPTİMİZASYON SİMPLEKS YÖNTEMİ Simpleks Yöntemi Simpleks yöntemi iteratif bir prosedürü gerektirir. Bu iterasyonlar ile gerçekçi çözümlerin olduğu bölgenin (S) bir köşesinden başlayarak amaç fonksiyonunun

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Kısıtsız Optimizasyon Giriş Klasik optimizasyon yöntemleri minimum veya maksimum değerlerini bulmak için türev gerektiren ve gerektirmeyen teknikler olarak bilinirler. Bu yöntemler

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar 11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler)

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler) 1*. Bir tekstil firması 3 ebatta (S-M-L) gömlek üretmektedir. Her bir gömleğin üretim maliyeti sırasıyla 3 pb., 4 pb. ve 6 pb. dir. Firmanın Türkiye çapındaki bayileri; haftada en az 2000 adet S, 3000

Detaylı

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız. MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta:

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: Genetik Algoritmalar Bölüm 1 Optimizasyon Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: adem.tuncer@yalova.edu.tr Optimizasyon? Optimizasyon Nedir? Eldeki kısıtlı kaynakları en iyi biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir.

Detaylı

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ Örnek : Taksi ile yapılan yolculukların ücreti taksimetre ile belirlenir Bir taksimetrenin açılış ücreti 2 TL, sonraki her kilometre başına 1 TL ücret ödendiğine

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

Ders 04. Determinantlar,Cramer Kuralı,Leontief girdiçıktı. 4.1 Çözümler:Alıştırmalar 04. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1.

Ders 04. Determinantlar,Cramer Kuralı,Leontief girdiçıktı. 4.1 Çözümler:Alıştırmalar 04. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Bölüm 4 Ders 04 Determinantlar,Cramer Kuralı,Leontief girdiçıktı Analizi 4. Çözümler:Alıştırmalar 04 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Soru 2 A 2 0 0. A matrisinin determinantını aşağıdaki üç yolla

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

CEVAP ANAHTARI. Tempo Testi D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-B 7-B 8-C 9-B 10-D 11-C 12-D 13-C 14-C

CEVAP ANAHTARI. Tempo Testi D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-B 7-B 8-C 9-B 10-D 11-C 12-D 13-C 14-C 01. BÖLÜM: FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR - 1 1-E 2-D 3-C 4-E 5-B 6-C 7-C 8-B 9-C 10-D 11-C - 2 1-D 2-E 3-C 4-D 5-E 6-E 7-C 8-D 9-E 10-B - 3 1-E 2-A 3-B 4-D 5-A 6-E 7-E 8-C 9-C 10-C 11-C 1-A 2-B 3-E

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm doğrusal programlama PROBLEMİN ÇÖZÜLMESİ (OPTİMUM ÇÖZÜM) Farklı yöntemlerle çözülebilir Grafik çözüm (değişken sayısı 2 veya 3 olabilir) Simpleks çözüm Bilgisayar yazılımlarıyla

Detaylı

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C. C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(

Detaylı

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri 8 www.matematikportali.com Konu Özetleri İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri Birinci Dereceden İ ki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri İki Bilinmeyenli Denklemler (Doğrusal denklem sistemleri) a, b, c R ve

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir.

Detaylı

Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir.

Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir. LİNEER PROGRAMLAMA Giriş Uygulamada karşılaşılan birçok optimizasyon problemi kısıtlar içerir. Yani optimizasyon probleminde amaç fonksiyonuna ilave olarak çözümü kısıtlayıcı ek denklemler mevcuttur. Bu

Detaylı

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Çözüm yöntemine geçmeden önce bazı tanımlara ihtiyaç vardır. Dikkate alınan G grafındaki düğümleri 1 den n e kadar numaralandırın. Uzunluğu a(i, j)>0 olarak verilen

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.

Detaylı