SIRA KORUYAN VE AZALTAN M- POTENT DÖNÜŞÜMLERİN SAYISI. The Number Of Order Preserving And Order Decraesing M-Potent Transformatıons

Transkript

1 SIRA KORUYAN VE AZALTAN M- POTENT DÖNÜŞÜMLERİN SAYISI The Number Of Order Preserving And Order Decraesing M-Potent Transformatıons SEDA YENIOCAK Matematik Anabilim Dalı YUSUF ÜNLÜ Matematik Anabilim Dalı ÖZET C nr, X n = {1,...,n} nin sıra koruyan, sıra azaltan ve potentliği r den büyük olmayan dönüşümlerinin kümesi olsun. c nr = C nr ise (c nr ) dizisini veren bir indirgeme bağıntısı [[5]] de verilmiştir. Bu çalısmada [[2]] de izlenen yöntemi kullanarak daha kısa bir kanıt verilmiştir. ABSTRACT Let, be the set of order preserving and order decraesing transformations of which their potents are not greater than r.if, A reduction relation giving the sequence is given in. In this study,shorter prof is given by using the methods in. GİRİŞ Bir yarıgrubun bir a elemanı için a, a Є,..., a m farklı ve a m + 1 = a m oluyorsa bu eleman m-potent eleman denir. n Є N için X n = {1, 2, 3, n} olduğuna göre T n, X n den X n ye tüm dönüşümlerin yarıgrubunu göstersin. α Є T n için Fix α = {k Є X n : kα = k} koyalım. O n, D n, C n yarıgruplarını O n = {α Є T n : Her x,y Є X n, x y için xα < yα} D n = {α Є T n : Her x Є X n için x xα} Cn = {α Є O n D n : Fixα = {1}} olarak tanımlayalım. r, n Є N için C n, r = {α Є C n : bir 1 s r için α, s-potent} ve c n,r = C n,r koyalım. Bilindiği gibi p, q gerçel katsayılı iki polinom ve q (0) = 0 ise p/q rasyonel kesirinin McLaurent açılımında x in kuvvetlerinin katsayıları karakteristik denklemi q (r) = 0 olan bir lineer indirgeme bağıntısı sağlar. Karşıt olarak gerçel katsayılı her lineer indirgeme bağıntısı, q (0) 0 olacak şekilde gerçel katsayılı p, q gibi iki polinom için p/q rasyonel kesirinin McLaurent açılımında x in kuvvetlerinin Yüksek Lisans Tezi-Msc Thesıs

2 katsayılarıdır. Aşağıda bir dizinin, bir indirgemeli dizi olarak belirlenebilmesini, yukarıda sözü edilen p, q polinomlarının belirlenebilmesi olarak anlayacağız. Bu fonksiyona dizinin doğuray fonksiyonu diyeceğiz. [5] de C n,r deki elemanların sayısını veren c n,r dizisini hesaplamaya yönelik indirgeme bağıntılarına yol açan fonksiyonlar verilmiş ve bu bilgi O n deki m- potent elemanların sayısının bulunması aşamasında kullanılmıştır. C n,r deki elemanların sayısının bulunmasında öncelikle C n nin sıralı ağaçlarla (1-1) eşlenebileceği gösterilmiştir. Sıralı ağaçlarla ilgili bilgiler [6] de bulunabilir. Derinliği r yi geçmeyen sıralı ağaçların sayısını hesaplamaya yarayan doğuray fonksiyonları [2] de verilmiştir. Bu fonksiyonlar ve sözü edilen (1-1) eşleme kullanılarak önce C n,r deki elemanların sayısını veren doğuray fonksiyonları bulunmuş ve bu fonksiyonlar kullanılarak O n deki m-potent elemanların sayısı incelenmiştir. Bu çalışmada biz [2] de sıralı ağaçları saymada kullanılan yöntemin ana fikrini kullanarak yukarıda sözü edilen (1-1) eşleme işlemine gerek kalmaksızın, doğrudan C n,r deki elemanların sayısını veren indirgeme bağıntısının veya doğuray fonksiyonunun nasıl bulunabileceğini göstereceğiz. α Є C n bir m-potent eleman olsun. x Є X n \ {1} için m x tam sayısıxα m x = {1} koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı olduğuna göre, j = 1,..., m için A j = {x Є X n : m x = j} koyalım. A 0 = {1} koyacak olursak (A 0,..., A m ) takımının X n nin bir parçalanışı olduğu [1] de gösterilmiştir. (A 0,...,A m ) parçalanışını P α ile göstereceğiz ve bu parçalanışa α ile ilişkilendirilen parçalanış diyeceğiz.açıkça görüleceği gibi 1 i m için A j α A j-1 dir. a,b Є X n ve a b ise [a, b] = {x Є X n : a x b} koyalım. [a,b] ye uç noktaları a, b olan bir konveks küme denir. a,b,c Є X n ve a b < c ise [a, b], [b + 1, c] seklinde iki konveks kümeye ardışık konveks küme diyeceğiz. a, b, c Є X n ve a b c ise [a, b], [b, c] şeklinde iki konveks kümeye bitişik konveks küme diyeceğiz. Asağıdaki teorem [5] de kanıtlanmıştır. Proposition 1 ([5]). a Є C n, m-potent, P a = (Ao,..., A m ) α ile ilişkilendirilen parçalanış olsun. a) Ao = {1}, b) Her i Є {0,1,..., m} için A i bir konveks kümedir. c) i Є {0,1,..., m-1} için Aj < A i+1 ve A i,a i+1 ardışık konveks kümelerdir d) Her Є i m için A i - 1 α - 1 = A i ve A 0 α -1 \ {1} = A 1 dir. I C N eleman sayısı k Є N olan her hangi bir küme ise bir ve bir tek σ I :{1,..., k} I fonksiyonu için x, y Є {1,..., k} ise x < y xσ I < yσ I olur. T (I), I dan I ya tüm fonksiyonların yarıgrubu olduğuna göre, O (I), D (I), C (I) yarıgruplarını O (I) = {a Є T (I) : Her x, y Є I, x y için xα yα} D (I) = {a Є T (I) : Her x Є X n için x xα} C (I) = {a Є O (I) D (I) : Fix a = {min I}} olarak tanımlayalım. r, n Є N için C (I, r) = {a Є C (I) : bir 1 s r için a, s-potent} koyalım. σ fonksiyonu kullanılarak aşikar olarak görüleceği gibi k = I olmak üzere C (I, r) = C k, r dir. Bu denkliği göstermek için ᴪ I : C k,r C (I, r);ᴪ 1 (α) = σ 1-1 o α o σ

3 -1 I: C (I, r) C k, r ; I ( )= σ 1 o o σ 1 fonksiyonlarının birbirinin tersi olduğuna dikkat etmek yeter. 2. TEMEL SONUÇLAR a Є C n, m-potent, Fix (α) = {1} ve P α = (A 0,..., A m ), α ile ilişkilendirilmiş parçalanma olsun. x Є A k ise x in seviyesi k diyeceğiz ve l (x) = k yazacağız. i = 1,..., s için n i Є N ve n n s = n -1 olsun. i = 1,..., s için α i Є C ni derinliği en fazla r ve F i x (α i ) = {1} olan bir eleman olsun. P αi = (A 0i,..., A rii ),α i ile ilişkilendirişmiş parçalanma olsun. Burada r i r dir. Şimdi derinliği r + 1 ve α Є C n elemanını aşağıdaki gibi tanımlayalım. r i < j r olursak için A ji = Ø koyacak daha kısa olarak yazabiliriz. koyalım. Dikkat edilecek olursa olur. B kümesi üzerinde olarak tanımlayalım. Bu bağıntının B üzerinde bir iyi sıralama olacağı yukarıdaki teoremden dolayı açıktır. İçinde k eleman bulunan ve iyi sıralanmış yegane küme, izomorfizmalar dikkate alınmaz ise {1, 2,.., k} dır. Ayrıca, içinde k eleman bulunan ve iyi sıralanmış iki küme A ve B ise σ : A B gibi bir ve yalnız bir izomorfizma vardır. O halde B kümesi ile doğal sıralamaya göre iyi sıralanmıs {2, 3,..,n} ye izomorftur. a : {2, 3,..,n} B bu izomorfizma olsun. j < s için B j+1 < B s ve i < k için A ji x {i} < A jk x {k} olduğuna dikkat edelim

4 Şimdi α Є C n elemanını aşağıdaki şekilde tanımlayalım. 1α =1 dir. Eğer 2 k ise kσ = (x, i) olsun. O zaman bir 2 r için rσ = (xα i, i) dir. Bu durumda kα = r koyalım. Example 2. n 1 =3, n 2 = 7, n 3 =4, n = 15 olur.o halde yukarıda tanımlanan sırada yazılmış olarak B nin elemanları 3. seviye 15 (7,2) seviye (3,1) (4,2) (5,2) (6,2 ) (3,3) (4,3) seviye (2,1) (2,2) (3,2) (2,3) seviye (1,1) (1,2 ) (1,3 ) şeklinde yazılabilir. 1.düzeyden gelen grup 2.düzeyden gelen grup 3.düzeyden gelen grup 4.düzeyden gelen grup olur. Böylece yukarıda tanımlanan α olur

5 Böylece den içine bir t = (n 1,...,n 2 ) olmak üzere fonksiyonu tanımlamış oluyoruz. koyacak olursak fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun tersi olan fonksiyonunu aşağıdaki gibi oluşturacağız. α Є C n,r+1 ve 2 n olsun. P α = (A 0,..., A m ), α ile ilişkilendirilen parçalanış olsun. t Є A 1 ise I α, t = {x Є X n : x = t veya bir 1 j için xα j = t} koyalım. α t : I α,t I α,t fonksiyonunu koyalım. Kolayca görüleceği gibi α t Є C (I a,t, r - 1) dir. Aşağıdaki örnek bu ilişkileri yeteri kadar açıklamaktadır. O halde olsun. α Є C 14,3 tür. P α = ({1}, {2, 3,4, 5}, {6, 7, 8, 9}, {10,11,12,13,14}) / α,2 = {2, 6, 7,10,11} I α,3 = {3, 8} I α,4 = {4, 9,12,13,14} I α,5 = {5} A 1 = {2, 3, 4, 5}

6 Dikkat edileceği gibi A 1 = {2,.., k} olduğuna göre dir. Şimdi fonksyionunu olarak tanımlayalım. Aşağıdaki teorem ana teoremin kanıtında temel oluşturacaktır. Theorem 3. r,n Є N ve 2 n olsun. T = {(n 1,..., n s ) : 1 s Є N, i = 1,..., s için 1 n i ve n n s = n -1} Ve Koyalım. ve fonksiyonları birbirinin tersidir. O halde fonksiyonu (1-1) ve örten bir fonksiyondur. Bu teorem sayesinde artık (c n r ) dizisinin doğuray fonksiyonu verilebilir. c n, r = C n,r toplam n köşesi bulunan ve derinliği en fazla r olan dönüşümlerin sayısıdır. koyalım. Kolayca anlaşılacağı gibi dir. Diğer taraftan n 2 ise yukarıdaki teoremden dolayı O halde in katsayısıdır

7 olur. Lemma 4 ([2, Eq.10]). a bir pozitif tamsayı olsun. Theorem 5. r Є N olsun. dir. Theorem 6 ([2]). r Є N olsun. p r (x) polinomu olarak tanımlansın. O zaman Bundan faydalanarak C r (x) için aşağıdaki sonuç elde edilir Theorem 7. ([5])r Є N ise dir. Example 8. n Є N olsun. (1) C n,1 = 1. (2) c 1,2 = 1 ve n 2 için c n,2 = 2 n-2 dir. (3) c 1,3 = 1, c 2,3 = 1, ve c n+2,3 = 3c n+1,3 -c n,3 dir. O halde (c n,r ) karakteristik denklemi q 2-3q + 2 = 0 olan lineer dizidir. Bu denklemin kökleri dir. Buradan bir takım sabit A, B için olduğu görülür

8 1 = c 1,3 = A + B olur. Buradan 1 = c 2,3 = Ar 1 + Br 2 elde edilir. O halde Örneğin dır. dir. REFERENCES AYIK, G., AYIK, H. ÜNLÜ, Y. HOWİE, J.M. 2005, The structure of ele ments in finite full transformation semig roups. Bull. Austral. Math. Soc. 71 no. 1, DE BRUJİN, N.G., KNUTH, D.E., RİCE, S.O The average height of planted plane trees. Graph theory and computing, pp Academic Press, New York, HİGGİNS, P.M.1993,Combinatorial results for semigroups oforder-preserving mappings. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 113 no. 2, HOWİE, J.M Fundamentals of semigroup theory, Oxford University Press, SÖNMEZ, O., 2010.Transformasyon Yarıgruplarındak i Potent Elemanlar. Doktora tezi. Çukurova Üniversitesi, Fen-Bilimleri Enstitüsü, VALİENTE, G Algorithms on Trees and Graphs, Springer-Verlag,