Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV"

Transkript

1 Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı araştırabilecek, bazı serileri toplamıı bulabileceksiiz. İçidekiler Giriş 8 Diziler 8 Seriler 86 Pozitif Terimli Serileri Yakısaklığı 9 Altere Seriler ve Mutlak Yakısaklık 95 Değerledirme Soruları 97

2 Çalışma Öerileri Üitedeki kavramları, taımları, testleri iyi öğreiiz Çözümleri verilmiş örekleri çözümlerii iyice iceleyiiz Herhagi bir dizi, seri örekleri alıp oları yakısaklığıı araştırmaya çalışıız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 D İ Z İ LER VE SERİ LER 8. Giriş Cebir kuralları ile acak solu tae sayıyı toplayabiliriz. Bua karşılık matematikte sosuz sayıda sayıı "toplamı" ile de sık sık karşılaşmaktayız. Öreği, sayı-ssıı odalık açılımı 3 = 0, = 3 gibi bir sosuz toplamdır Böyle bir toplama seri kavramı ile alam kazadırılmıştır. Bu üitede seri kavramı ile, serilerle çok yakıda alakalı ola dizi kavramıı iceleyeceğiz. 2. Diziler Taım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise IR gerçel sayılar kümesi ola bir foksiyoa dizi deir. Dizii verilebilmesi içi her, 2,...,,... doğal sayılarıa x, x 2,..., x,... gibi gerçel sayıları karşı getirilmesi gerekmektedir. x, x 2,..... sayılarıa dizii terimleri, ye bağlı bir ifade ola x ye ise dizii geel terimi deir. Diziler ya x, x 2, x 3,...gibi veya x geel terimii paratez içie alarak {x } veya (x ) gibi de gösterilebilir. Örek: ) dizisii geel terimi dir. Bu edele, dizi 2, 4, 8,... x 2 2 şekilde gösterilir. Bu dizii, öreği 8. ci terimi x8 = = dır. 2) -,, -,,... dizisii geel terimi x = (-) dir. Bua göre, dizi kısaca ((-) ) şeklide gösterilir. 3), dizisii geel terimi Bu edele, dizi şeklide 2, 3, 4,... x dir. gösterilir. 4) a ve d gerçel sayılar olmak üzere, a, a + d, a + 2d, a + 3d,... dizisii geel terimi x = a + ( - ) d dir. Böyle ifade edilebile bir diziye aritmetik dizi, d sayısıa da dizii ortak farkı deir. (a + ( - ) d) aritmetik diziside ardışık (birbirii takip ede) herhagi iki terim arasıdaki farkı daima sabit olup d ye eşit olduğua dikkat ediiz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 82 D İ Z İ LER VE SERİ LER 5) a ve q, q 0, gerçel sayılar olmak üzere a, aq, aq 2, aq 3,... dizisii geel terimi x = a.q - dir. Böyle bir diziye geometrik dizi, q sayısıa da dizii ortak çarpaı deir. (aq - ) geometrik diziside ardışık herhagi iki terimi oraı daima sabit olup q ya eşittir. 6) 3 sayısıı yaklaşık değerlerii göstere ;,7;,73;,732;,7320;,73205,... rasyoel sayıları da bir dizi oluşturur. Öceki öreklerde farklı olarak bu dizii geel terimii bir formülle ifade etmek mümkü değildir. 7) Yarıçapı r ola bir daire içie çizilmiş düzgü -kearlıı (-ge) çevresii P uzuluğu P = 2r si π formülü ile hesaplaır. Bua göre, bu dairei içie çizilmiş düzgü üçge, dörtge, beşge,... leri çevre uzulukları 6r si π 3, 8r si π 4, 0r si π 5,... gibi bir dizi oluşturur.? Aşağıdaki dizileri geel terimlerii yazıız. ) 3, 2 4, 3 5, 4 6,... 3) 2, 2 4, 3 8, 4 6,... 2) -, 2, - 3, 4,... 4) - 3!, 6!, - 9!, 2!,... Cevaplarıız x = olmalıydı. + 2, 2) x = (-), 3) x = 2 ve 4) x = (-) 3! Bir (x ) diziside büyüdükçe, dizii terimleri belli bir a sayısıa isteildiği kadar yaklaşıyorsa, (x ) dizisi a sayısıa yakısıyor deir. Bu durumu matematik dille ve daha kesi olarak ifade etmede öce bir hatırlatma yapalım: matematikte, sıfıra isteildiği kadar yakı olabile pozitif sayılar, ε (epsilo), δ (delta),... gibi harflerle gösterilirler. (x ) dizisi verilsi. Eğer her ε > 0 içi öyle bir 0 doğal sayısı buluabiliyor ve i 0 da büyük tüm değerleri içi x - a < ε eşitsizliği sağlaıyorsa, o zama a sayısıa (x ) dizisii iti deir ve a = x veya x a ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 D İ Z İ LER VE SERİ LER 83 şeklide gösterilir ("" sembolü latice "es" sözüde kayaklaıp it alamı ifade etmektedir). Bu durumda (x ) dizisi a ya yakısıyor da deir. Eğer bir dizi herhagi bir ite yakısıyor ise, bu diziye yakısak dizi, hiç bir ite yakısamıyorsa ıraksak dizi deir. Mutlak değeri özelliklerie göre, x - a < ε eşitsizliği - ε < x - a < ε ve a - ε < x < a + ε eşitsizlikleri ile eşdeğer olduğuda, iti yukarıdaki taımı geometrik olarak şöyle yorumlaabilir: Sayı eksei üzeride orta oktası a ve uzuluğu 2ε ola (a - ε, a + ε) açık aralığı verildiğide ε e kadar küçültülürse küçültülsü, i öyle bir 0 değeri vardır ki umarası (idisi) 0 da büyük ola tüm x terimleri bu aralığı içie düşer. x ( ) a - ε a a + ε x - a mutlak değeri sayı eksei üzeride x oktası ile a oktası arasıdaki uzaklığı gösterdiğide iti taımı şöyle de ifade edilebilir: Belli bir de sora x ile a arasıdaki uzaklık öcede verile ve isteildiği kadar küçük olabile pozitif ε sayısıda küçük oluyorsa, (x ) dizisii iti a dır. Örek: Çözüm: x x dizisii itii sıfır olduğuu gösteriiz., a =0 dır. ε > 0 verilsi. O zama x - a < ε - 0 < ε < ε > ε. Bua göre eğer, 0 = +, alırsak o zama > 0 ε u tam değeri artı ε eşitsizliğii sağlaya tüm ler içi x - a = - 0 < ε olur. Yukarıdaki öreğe bezer olarak x dizisii de itii sıfır olduğu 2 gösterilebilir. Fakat bu dizide sıfıra yaklaşma hızı daha yüksektir. Öreği, içi x 5 = 0, 2 ; x 0 = 0, ike, içi x 2 5 = = 0, 0325, 32 x 0 0, 00 olur. (x ) = ( (-) ) dizisi ise ıraksaktır. Çükü i tek veya çift olmasıa bağlı olarak büyüdükçe x hem - hem de değerleri almaya devam eder. Yai tek idisli terimler e, çift idisli terimler - e yaklaşmaz. Dolayısıyla e - e de it olmadığı gibi başka bir sayı da bu dizii iti olamaz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 84 D İ Z İ LER VE SERİ LER Bu kitabı amacı dışıdaki yötemlerle x = ( + dizisii yakısak olduğuu ispatlamak mümküdür. Bu dizii itie,. ve 5. üitelerde de sözüü etti- ) ğimiz e sayısı deir: + = e.? ) x = + 2) x = - dizisii itii olduğuu gösteriiz. dizisii itii 0 olduğuu gösteriiz. Dizileri yakısak olduğuu taımda hareketle göstermek zor olabilir. Bu durumlarda aşağıdaki öermeler yararlı olabilir. ) (x ) dizisi yakısak ise iti tektir. 2) (x ) dizisi yakısak ise sıırlıdır, yai öyle bir M sayısı vardır ki tüm ler içi x M sağlaır. 3) (x ) ve (y ) yakısak dizileri verildiğide eğer her içi x y ise o zama x y dir. 4) (x ) ve (y ) yakısak dizileri verildiğide x ± y, x. y dizileri de yakısaktır ve x ± y = x ± y x. y = x. y dir. So eşitlikte y = c sabit dizisii alırsak, o zama c = c x eşitliği çıkar. Başka deyişle sabiti it işareti dışıa çıkarmak mümküdür. 5) (x ) ve (y ) yakısak ve y 0 ise o zama dizisi de yakısaktır y ve x x y = x y ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 D İ Z İ LER VE SERİ LER 85 6) (x ), (y ) ve (z ) dizileri verilsi ve her içi z x y eşitsizliği sağlamış olsu. Eğer (y) ve (z) dizileri ayi ite yakısar ise (x) dizisi de yakısaktır ve x = y = z dir. Bu öermeler taımda yararlaarak ispatlaabilir, fakat ispatlar üzeride durmayacağız. Örek:) ) itlerii hesaplayıız Çözüm: ) kesride pay ve paydayı 2 ile bölersek = olur. O zama 2 =, 2 = 2, 3 = 3. = 3.0 = 0, =. 2 = 0, 2 = = 0 = 0.0 = 0, olduklarıda = = = = 2 buluur. 2) ifadesii ile çarpıp bölersek = = = = = olur. 2 + > olduğuda < 2 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 86 D İ Z İ LER VE SERİ LER olur. Dolayısıyla elde edilir < < < 2, = 0 olduğuda yukarıdaki 6). öermeye göre 2 olur = 0 Not: Iraksak olduğu halde itide söz etmei yararlı olduğu diziler vardır. (x ) dizisi verilsi. Eğer yeterli derecede büyük her M > 0 içi bir 0 doğal sayısı varsa ve > 0 eşitsizliğii sağlaya tüm ler içi x > M oluyorsa, o zama (x ) dizisii iti sosuzdur deir ve x = veya x şeklide gösterilir. Eğer (-x ) dizisii iti ise (x ) dizisii iti - dur deir ve = - gibi gösterilir. x? Öreği,, 2 +,! 0 dizilerii iti dur. Yukarıdaki dizileri itii olduğuu gösteriiz. 3. Seriler Bir (x ) dizisi verilsi. Bu dizii ilk tae terimii toplamı ola x + x x ifadesi sembolik olarak x k k = gibi yazılır. Buradaki (sigma) harfi bu tür toplamları kısa olarak yazmak içi kullaılır. k ya toplama idisi deir ve k idisi yerie başka idisi kullaılması soucu etkilemez. Öreği, = k = m = k= 000 m= 000 =, = k k= 50 = i i= 50 = = yazılabilir. işareti matematikde çok kullaışlıdır ve çok zama uzu ifadeleri yazılımıı kısaltmaya imka verir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 D İ Z İ LER VE SERİ LER 87 Şimdi (x ) dizisii solu tae elemaıı değil de tüm elemalarıı "toplayalım". x + x x +... sosuz "toplamıa" seri deir. Sigma gösterimi yardımı ile bu seri x gösterilir. Şimdi sosuz sayıda gerçel sayıı toplamıa alam kazadırmak içi gibi x seriside yei (s ) dizisii elde ede: s = x, s 2 = x + x 2, s 3 = x + x 2 + x 3,..., s = x + x x,... Eğer (s ) dizisi yakısak olup iti a ise x = a gibi yazılır. a sayısıa serii toplamı da deilir. Eğer (s ) dizisi ıraksak ise x serisie ıraksak seri deir. serisie yakısak seri deir ve x, x 2,... sayılarıa serii terimleri, x ye geel terimi, (s ) dizisie serii kısmi toplamlar dizisi deir. x Görüldüğü gibi sosuz sayıda gerçel sayıı "toplamı", solu sayıdakileri toplamlarıı bir iti olarak taımlamaktadır. Eğer (s ) dizisii iti ise yazılımı kullaılır. x serisi ıraksak olmasıa rağme x = Örek: x geometrik dizide elde edile, serisii yakısak ol- 3 3 duğuu gösteriiz. Çözüm: Bu serii kısmi toplamlar dizisii göre: s = 3, s 2 = ,..., s ;... s toplamıı ifadesie eşit olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla s 2-3 olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 88 D İ Z İ LER VE SERİ LER 3 = 0 olduğu da kolayca gösterilebilir. Bua göre, s = 2-3 = 2-3 = 2-0 = 2, (s ) dizisi yakısak olduğuda verile seri yakısaktır ve toplamı 3 = 2. 2 dir:?? a ve q gerçel sayılar ve q olmak üzere a + aq + aq aq - = a - q - q olduğuu gösteriiz. q gerçel sayısı 0<q< koşuluu sağlası. O zama yakısak ve toplamıı - q olduğuu gösteriiz. q geometrik serisii Örek: + serisii yakısak olup olmadığıı araştırıız. Çözüm: x + olduğuda kısmi toplamlar aşağıdaki gibidir. s =. 2, s 2 = , s 3 = ,..., s ,... s i ifadesii sadeleştirmek mümküdür. Buu içi. 2 = = = = - + ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 D İ Z İ LER VE SERİ LER 89 eşitliklerii taraf tarafa toplarsak, = = - + elde edilir. Dolayısıyla s = - + s - dir ve + = - 0 = olur. Bua göre, seri yakısak olup toplamı dir = Öerme: Eğer x serisi yakısak ise x = 0 dır. İspat: Kısmı toplamlar içi s - = x + x x -, s = x + x x - + x yazılabilir. Burada x = s - s - olur. Seri yakısak olduğuda (s ) ve (s - ) dizileri serii toplamı ola ayı a sayısıa yakısarlar. Bua göre, x = s - s - = s - s - = a - a = 0. Yukarıda yakısak olduklarıı gösterdiğimiz ve 3 = + serileride geel terimler x ve x 3 + dir. ve 3 + dizilerii itlerii sıfır olduğuu görmek zor değildir. Yukarıdaki öermeye göre x = 0 koşulu x serisii yakısaklığı içi gerekli koşuldur. Yai bu koşul sağlamıyorsa seri kesi olarak ıraksaktır. Acak bu koşul yeterli olmayabilir: Geel terimi sıfıra yaklaşa seri ıraksak olabilir. Buu aşağıdaki örekte görebiliriz. Örek: Harmoik seri deile serisii ıraksak olduğuu gösteriiz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 90 D İ Z İ LER VE SERİ LER Çözüm: Öce her IN içi olduğuu kolayca görebiliriz. (buu içi kesirlerii yerie olarda küçük kesrii > 2 +, + 2,... 2 yazmak yeterlidir) Bua göre s kısmi toplamları içi aşağıdakileri yazabiliriz. s 2 = + 2 > 2 s 2 2 = s 4 = s > = 2. 2 s 2 3 = s 8 = s > = 3. 2 s 2 4 = s 6 = s > = s 2 k > k. 2 dır. Burada s 2 k = olur. s pozitif terimli dizii s 2 k alt dizisii iti k οlduğuda s = olduğu soucua varıyoruz. O zama serisi ıraksak olup = dur. Souçta = 0 olmasıa rağme serisi ıraksaktır. Not: ) Seride toplama idisii de başlaması mecburi değildir. Öreği, ayı serisi k = 0 k +, m -,... m = 2 gibi de yazılabilir. 2) Her gerçel a sayısıı a= c 0, c c 2... gibi devirli veya devirsiz sosuz odalık kesirle yazılımıı mümkü olduğuu biliyoruz. Bu yazılım aslıda bir seride başka bir şey değildir: a = c 0, c c 2... = c c 0 + c Öreği, dir. = 0, = ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 D İ Z İ LER VE SERİ LER 9 Aşağıdaki serileri toplamlarıı buluuz: ) 5 2) + 5? Cevaplarıız 4 ve olmalıdır. Örek: 000 litrelik bir su deposu, öce litre, sora litre,..., litre,... su alıarak boşaltılabilir mi? 2 Çözüm: Boşaltıla su miktarı = litredir. Bu serii toplamı olduğuda depo solu adımda boşaltılabilir. Örek: 30 litrelik bir su deposu, öce 30 litre, sora 30 litre,..., 30 litre,... su alıarak boşaltılabilir mi? Çözüm: Boşaltıla su miktarı = 30 2 litredir. Bu serii toplamı 30 2 = 30 2 = 30. = 30 olduğuda, depo, bu yolla, solu adımda fiile boşaltılamaz. l + serisii ıraksak olduğuu gösteriiz. 4. Pozitif Terimli Serileri Yakısaklığı? Bir serii yakısaklığıı araştırılması ile serii yakısak olması halide toplamıı buluması seri kousuu öemli iki problemidir. Serileri yakısaklığıı araştırmak içi çeşitli testler vardır. Biz bu kesimde pozitif terimli serileri yakısaklığıı araştırmada kullaılıa bazı testleri ele alacağız. x serisi verilsi. Eğer her içi x > 0 ise bu seriye pozitif terimli seri deir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 92 D İ Z İ LER VE SERİ LER Pozitif terimli bir serii yakısaklığı veya ıraksaklığıı bu seriyi, yakısaklığı veya ıraksaklığı bilie başka seri ile karşılaştırarak söylemek mümkü olur. Karşılaştırma testleri x ve y pozitif terimli serileri verilsi. ) Öyle bir 0 IN bulusu ki > 0 değerleri içi x y eşitsizliği sağlamış olsu. O zama: serisi yakısak ise de yakısaktır. serisi ıraksak ise de ıraksaktır. y x y x x y 2) Eğer iti mevcut olup pozitif bir sayıya eşitse, o zama bu iki seri ayı zamada yakısak veya ıraksaktır. Örek:! ve serilerii yakısak olup olmadığıı araştırıız. Çözüm: )! = olduğuda x!, y 2 - alırsak x y olur. 2 - = 2 - geometrik serisi yakısak olduğuda, karşılaştırma testie göre, yakısaktır.! serisi 2) eşitsizliği her ΙΝ içi doğru ve harmoik serisi ıraksak olduğuda karşılaştırma testie göre serisi de ıraksaktır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 D İ Z İ LER VE SERİ LER 93 Örek: 2 - = serisii ıraksak olduğuu gösteriiz. Çözüm: Bu seriyi ıraksak olmak üzere, serisi ile karşılaştıralım. x 2 -, y x y = 2 - : = = / = 2-0 = 2 > 0 dir. Bu durumda 2). karşılaştırma testie göre serisii yakısak olduğuu gösteriiz. serisi ıraksaktır.? α IR + olmak üzere α serisi verilsi. Eğer 0 < α ise serisi ıraksaktır. α > ise serisi yakısaktır. α α Öreği seriside α = 2 > olduğuda seri yakısaktır. Bua karşılık, 2 3 seriside α = 3 < olduğuda bu seri ıraksaktır. Örek: + 2 serisii yakısaklığıı arştırıız. Çözüm: Bu serii geel terimii paydasıı derecesi 3 2 dir. + 2 = /2 + 2 = 3/2 + 2 /2 olduğua dikkat ediiz. Bu seri ile 3/ /2 serisii karşılaştıralım.2). karşılaştırma testii uygulayalım. = 3/2 3/2 + 2 = + 2 = AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 94 D İ Z İ LER VE SERİ LER dir. Bua göre, yakısak olduğuda α = 3 serisi 2 >, + 2 yakısaktır. 3/2 Örek: serisii yakısaklığıı araştıralım. Çözüm: = = olduğuda bu seriyi serisi ile karşılaştıralım = = = = = ). karşılaştırma testie göre, serisi ıraksak olduğuda serisi ıraksaktır α = 2 < Cauchy testi x pozitif terimli serisi verilsi. Eğer x iti varsa ve de küçükse o zama bu seri yakısak, de büyükse ıraksaktır. D'Alambert ora testi x x + x Eğer pozitif terimli seriside iti varsa ve de küçükse bu seri yakısak, de büyükse ıraksaktır. Cauchy ve D'Alambert testleri verile serileri geometrik serilerle karşılaştırmaya dayaır. Örek: ) = 2 l 2) 3 +! serilerii yakısaklığıı araştırıız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 D İ Z İ LER VE SERİ LER 95 Çözüm: ) x = l = l, x = = 0 < l olduğuda Cauchy testie göre seri yakısaktır. 2) x = 3 +!, x + = ! x + x = ! : 3 +! = ! ! = ! = 3. +! = 0 < olduğuda seri yakısaktır. 3 serisii yakısaklığıı araştırıız. Cevabıız "seri yakısaktır" olmalıydı.? Pozitif terimli seri ya yakısaktır ya da toplamı dur. Tüm terimleri egatif ola serileri yakısaklığı ise pozitif terimli serileri yakısaklığıı bir soucu olarak iceleebilir. Pozitif terimli serilerde x veya ise kök testi ve ora testi x + x ile karar verilemez. Başka testleri deemek gerekir. 5. Altere Seriler ve Mutlak Yakısaklık Her IN içi x > 0 olmak üzere, x - x 2 + x 3 - x x +... = şeklideki bir seriye altere seri deir. Öreği, x serileri altere serilerdir. Bu tür serileri yakısaklığı içi Leibiz kuralı geçerlidir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 96 D İ Z İ LER VE SERİ LER Leibiz Kuralı x > 0 olmak üzere - + x altere seriside, eğer x = 0 ve her IN içi x + < x ise o zama bu altere serisi yakısaktır. Öreği, yukarıda örek olarak verdiğimiz her iki altere seri bu kurala göre yakısaktırlar. Çükü dir. = 0, = 0, + < ve + < Örek: ) ) - + l altere serilerii yakısak olup olmadığıı araştırıız. Çözüm: ) Serii geel terimi ola dizisii iti yoktur. Çükü tek idisli terimler e yakısarke çift idisli terimler - e yakısarlar. Serii geel terimi sıfıra yakısamadığıda seri ıraksaktır. 2) l = 0 ve l + < l olduğuda Leibiz Kuralıa göre seri yakısaktır. x + x x +... = x serisi verilsi. (Bu serii terimleri hem pozitif, hem de egatif olabilir). Eğer terimleri mutlak değerleride oluşa x + x x +... = x serisi yakısak ise Eğer x x (şartlı) yakısak seri deir. serisie mutlak yakısak seri deir. serisi yakısak fakat mutlak yakısak değilse bu seriye koşullu Öerme: Eğer x serisi mutlak yakısak ise yakısaktır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 D İ Z İ LER VE SERİ LER 97 Örek: ) serisi mutlak yakısaktır. Çükü mutlak değerlerde oluşa serisi yakısaktır. 2) serisi mutlak yakısak değil fakat koşullu yakısaktır. Çükü serii kedisi yakısak ike terimleri mutlak değerleride oluşa seri, harmoik seri olup ıraksaktır. Değerledirme Soruları. 0, 4, 2 6, 3,... dizisii geel terimi aşağıdakilerde hagisidir? 8 A. - B C. + 2 D. - 2 E iti aşağıdakilerde hagisidir? A. - B. 0 C. D. 2 E A. - B. 4/3 C. 2 D. 3 E iti aşağıdakilerde hagisidir? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 98 D İ Z İ LER VE SERİ LER 4. a sabitii hagi değeride a A. - B. - 2 C. 0 D. E. 2 dizisi yakısaktır? 5. Aşağıdaki dizilerde hagisi yakısaktır? A. + - B C. - D E İlk terimi 5, ortak farkı (-3) ola bir aritmetik dizii ilk dört terimii toplamı kaçtır? A. 0 B. C. 2 D. 3 E İlk terimi, ortak çarpaı 3 ola bir geometrik dizii ilk 0 terimii toplamı kaçtır? A B C D E İlk terimi, ola bir geometrik dizii. terimi 024 olduğua göre, dizii ortak çarpaı kaçtır? A. 2 B. 4 C. 8 D. 2 E. 6 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 D İ Z İ LER VE SERİ LER Bir (x ) dizisi yakısak ise aşağıdaki dizilerde hagisi yakısak olmayabilir? A. 3x B. x 2 C. x D. x x 2 + E. 2x - x 2 0. = serisii toplamı kaçtır? A. 7 4 B C. 4 7 D E Aşağıdakilerde hagileri her zama doğrudur? i) x yakısak ise x = 0 dır. ii) x = 0 ise x yakısaktır. iii) x yakısak ise x iv) Mutlak yakısak seri yakısaktır. v) x dur. A. i, ii, iii, iv, v B. i, iv C. i, iv, v D. i, iii E. iii, iv, v < dir. serisi yakısak ise bu serii kısmi toplamlar dizisii iti AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 200 D İ Z İ LER VE SERİ LER 2. q serisii yakısak olduğu q gerçel sayılarıı e geişkümesi aşağıdakilerde hagisidir? A. -, B. -, 0 C. 0, D. -, E. 0, 3. Aşağıdaki serilerde hagisi ıraksaktır? A. - B. 2 C. - 2 D E Aşağıdaki serilerde hagisi koşullu yakısaktır? A. - 2 B C. - D E. - + ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

23 D İ Z İ LER VE SERİ LER serisii toplamı aşağıdakilerde hagisidir? A. 2 B. 3 4 C. D. 4 3 E. 2 Değerledirme Sorularıı Yaıtları. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. C 7. A 8. A 9. C 0. D. B 2. D 3. D 4. C 5.B AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

24 202 Yararlaıla ve Başvurulabilecek Kayaklar Demaa F., Waits B. K., Precalculus, Addiso- Wesley Publishig Com., New York, 990. Gaugha E. D., Hall C. E., College Algebra ad Trigoometry, Brooks/Cole Publishig Com., Moterey, 984. Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreye M., Matematik I (Diferasiyel Hesap), Bizim Büro Basımevi, Akara, 984. Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreye M., Matematik I (İktisadi Uygulamalı) Bizim Büro Basımevi, Akara, 986. Koçak Ş., Üreye M., Göğüş M., Olgu Ş., Görgülü A., Geel Matematik Fasikül, Açıköğretim Fakültesi Yayıları No: 5, Eskişehir, 990. Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreye M., Matematik Fasikül, Açıköğretim Fakültesi Yayıları No: 58, Eskişehir, 986. Larso R. E., Hostetler R. P., Edwards B. H., Brief Calculus, D.C. Heath ad Com., Lexigto, 995. Musser G.L., Burger W. F., Mathematics for Elemetary Theachers, Pretice Hall, New Jersey, 994. Saba G., Aalize Giriş, İ. Ü. Fe Fakültesi Basımevi, İstabul, 989. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler...

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler... ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Sayfa o.... 8 9 İstatistik, Veri ve Grafikler.... 8 Merkezi, Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 8 Açıklık, Çeyrekler Açıklığı........................................................ 8 Varyas

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan OKTAY İÇİNDEKİLER HEDEFLER İNDEKSLER

ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan OKTAY İÇİNDEKİLER HEDEFLER İNDEKSLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER İNDEKSLER Basit İdeksler Bileşik İdeksler Tartısız İdeksler Tartılı İdeksler Mekâ İdeksleri İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erka OKTAY İktisadi göstergeleri daha iyi yorumlayıp karşılaştırılabilecek

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve

Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve GEOMETRİK DİZİ Bir () dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranı ayni sabit sayi ise, bu di zi ye geom etrik dizi denir. a n N +, n +1 =r ise, () ortak çarpanı r olan geom etrik dizi dir. Örnek...4 :

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

Ölçme Hataları, Hata Hesapları. Ölçme Hataları, Hata Hesapları 2/22/2010. Ölçme... Ölçme... Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu.

Ölçme Hataları, Hata Hesapları. Ölçme Hataları, Hata Hesapları 2/22/2010. Ölçme... Ölçme... Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu. //00 Ölçme Hataları, Hata Hesapları Ölçme Hataları, Hata Hesapları Yrd. Doç. Dr. Elif SERTEL sertele@itu.edu.tr Suu, Doç. Dr. Hade Demirel i ders otlarıda ve Ölçme Bilgisi kitabıda düzelemiştir. Ölçme...

Detaylı

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir?

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir? KONU:ATOM FİĞİ ebuyukfizikci@otmail.com HAIRLAYAN ve SORU ÇÖÜMLERİ:Amet Selami AKSU Fizik Öğretmei www.fizikvefe.com S.1. Uyarılmış bir idroje atomuda Balmer serisii H β çizgisi gözlemiştir. Bua göre,buu

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ .4.26 5. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ Mekul Kıymet Yatırımlarıı Değerlemesi Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Temel Değerleme Modeli Mekul Kıymet Değerlemesi

Detaylı

Diş sayısı tam sayı olması gerekmektedir. p p d. d m = ve

Diş sayısı tam sayı olması gerekmektedir. p p d. d m = ve DĐŞLĐLER Diş Boyuları Taba Kavisi (Fille Radius) Diş başı yüksekliği (Addedum) Taba yüksekliği(dededum) Diş yüksekliği (Addedum +Dededum) Taksima (Circular pich) Diş kalılığı (Tooh Thickess) Dişler arasıdaki

Detaylı

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2 Ayrı Sistemler Eletri&Eletroi Mü. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deey 2 Prof. Dr. Aydı Aa Dr. Erol Öe Baatti Karaaya Koray Sistemleri Özellileri 1. Doğrusallı Liearity: y a ay Ölçeleme scalig, a armaşı

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

A A A A A. FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ. 3. Ankara'da yaşayan Göktürk ve Ata tek yumurta. 1. Oktay'ın günlüğüne yazdığı birkaç olay

A A A A A. FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ. 3. Ankara'da yaşayan Göktürk ve Ata tek yumurta. 1. Oktay'ın günlüğüne yazdığı birkaç olay FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ 1. Oktayı gülüğüe yazdığı birkaç olay aşağıda verilmiştir. Elimi kesmiştim, iyileşmesi 5 gü sürdü. Babamı bahçeye diktiği gül dalı tomurcuk açtı. Beslediğim kertekelei kopa kuyruğuu

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı