Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve hata kaynakları

Transkript

1 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve hata kaynakları Temel Kavramlar Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi Mart, 2015 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

2 Bilgisayar sayısistemi ve hata Bu bölümde hata kavramı, ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

3 Bilgisayar sayısistemi ve hata Bu bölümde hata kavramı, bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar, ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

4 Bilgisayar sayısistemi ve hata Bu bölümde hata kavramı, bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar, taban dönüşümleri ve ilgili hatalar ile ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

5 Bilgisayar sayısistemi ve hata Bu bölümde hata kavramı, bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar, taban dönüşümleri ve ilgili hatalar ile anlam kaybıhatalarınıinceleyeceğiz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

6 Hata(mutlak) x ile gösterilen bir büyüklüğün gerçek değeri ile onu temsil eden x f değeri arasındaki fark, gerçek değerin x f ile temsilinde oluşan mutlak hata veya x f deki mutlak hata olarak tanımlanır ve x = x x f notasyonu ile gösterilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

7 Hata(mutlak) x ile gösterilen bir büyüklüğün gerçek değeri ile onu temsil eden x f değeri arasındaki fark, gerçek değerin x f ile temsilinde oluşan mutlak hata veya x f deki mutlak hata olarak tanımlanır ve x = x x f notasyonu ile gösterilir. x = 10.1 birim uzunluğa sahip sahip olan cismin uzunluğu x f = 10 birim olarak ölçülmüşse, bu ölçüm sonucunda oluşan mutlak hata x = 0.1 değerine eşittir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

8 Hata(mutlak) x ile gösterilen bir büyüklüğün gerçek değeri ile onu temsil eden x f değeri arasındaki fark, gerçek değerin x f ile temsilinde oluşan mutlak hata veya x f deki mutlak hata olarak tanımlanır ve x = x x f notasyonu ile gösterilir. x = 10.1 birim uzunluğa sahip sahip olan cismin uzunluğu x f = 10 birim olarak ölçülmüşse, bu ölçüm sonucunda oluşan mutlak hata x = 0.1 değerine eşittir. x = 1.1 birim gerçek uzunluğuna sahip olan başka bir cismin uzunluğu x f = 1 birim olarak ölçülmüşse, bu ölçüm sonucunda oluşan mutlak hata da x = 0.1 değerine sahiptir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

9 Hata(mutlak) x ile gösterilen bir büyüklüğün gerçek değeri ile onu temsil eden x f değeri arasındaki fark, gerçek değerin x f ile temsilinde oluşan mutlak hata veya x f deki mutlak hata olarak tanımlanır ve x = x x f notasyonu ile gösterilir. x = 10.1 birim uzunluğa sahip sahip olan cismin uzunluğu x f = 10 birim olarak ölçülmüşse, bu ölçüm sonucunda oluşan mutlak hata x = 0.1 değerine eşittir. x = 1.1 birim gerçek uzunluğuna sahip olan başka bir cismin uzunluğu x f = 1 birim olarak ölçülmüşse, bu ölçüm sonucunda oluşan mutlak hata da x = 0.1 değerine sahiptir. Ancak ikinci ölçümde daha fazla hata yaptĭgımızıdüşünürüz! ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

10 Hata(bağıl) Hatanın diğer bir ölçüsü ise, yapılan hatanın gerçek değere oranı olarak tanımlanan ve ε b (x) = x/x, x = 0, notasyonu ile göstereceğimiz bağıl hatadır ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

11 Hata(bağıl) Hatanın diğer bir ölçüsü ise, yapılan hatanın gerçek değere oranı olarak tanımlanan ve ε b (x) = x/x, x = 0, notasyonu ile göstereceğimiz bağıl hatadır Buna göre yukarıdaki birinci ölçüm için oluşan bağıl hata ε b (x) = 0.01 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

12 Hata(bağıl) Hatanın diğer bir ölçüsü ise, yapılan hatanın gerçek değere oranı olarak tanımlanan ve ε b (x) = x/x, x = 0, notasyonu ile göstereceğimiz bağıl hatadır Buna göre yukarıdaki birinci ölçüm için oluşan bağıl hata ε b (x) = 0.01 ikincide oluşan hata ise ε b (x) = 0.1 dir ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

13 Hata(bağıl) Hatanın diğer bir ölçüsü ise, yapılan hatanın gerçek değere oranı olarak tanımlanan ve ε b (x) = x/x, x = 0, notasyonu ile göstereceğimiz bağıl hatadır Buna göre yukarıdaki birinci ölçüm için oluşan bağıl hata ε b (x) = 0.01 ikincide oluşan hata ise ε b (x) = 0.1 dir yani ikinci ölçüm sonucu yapılan bağıl hata beklentilerimiz doğrultusunda daha büyüktür. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

14 Hata(bağıl) Hatanın diğer bir ölçüsü ise, yapılan hatanın gerçek değere oranı olarak tanımlanan ve ε b (x) = x/x, x = 0, notasyonu ile göstereceğimiz bağıl hatadır Buna göre yukarıdaki birinci ölçüm için oluşan bağıl hata ε b (x) = 0.01 ikincide oluşan hata ise ε b (x) = 0.1 dir yani ikinci ölçüm sonucu yapılan bağıl hata beklentilerimiz doğrultusunda daha büyüktür. O halde bağıl hata günlük hayatta algıladĭgımız hata ile daha uyumludur. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

15 Yuvarlama hataları Sayısal analiz sürecinde oluşan hataların bir kısmıbilgisayar sayı sistemi ile ilgilidir ve bu tür hatalar genelde yuvarlama hataları olarak bilinirler. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

16 Yuvarlama hataları Sayısal analiz sürecinde oluşan hataların bir kısmıbilgisayar sayı sistemi ile ilgilidir ve bu tür hatalar genelde yuvarlama hataları olarak bilinirler. Örneğin π sayısının bilgisayarda reel bir sayıiçin tahsis edilen alana sĭgdırılmasıiçin belirli basamaktan sonraki basamaklarının ihmal edilmesi ile oluşan hata bir yuvarlama hatasıdır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

17 Yuvarlama hataları Sayısal analiz sürecinde oluşan hataların bir kısmıbilgisayar sayı sistemi ile ilgilidir ve bu tür hatalar genelde yuvarlama hataları olarak bilinirler. Örneğin π sayısının bilgisayarda reel bir sayıiçin tahsis edilen alana sĭgdırılmasıiçin belirli basamaktan sonraki basamaklarının ihmal edilmesi ile oluşan hata bir yuvarlama hatasıdır. 1/3 = gibi her devirli rasyonel sayının sınırlıbilgisayar bellek alanında temsili esnasında bu tür yuvarlama hatalarıkaçınılmazdır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

18 Yuvarlama hataları Sayısal analiz sürecinde oluşan hataların bir kısmıbilgisayar sayı sistemi ile ilgilidir ve bu tür hatalar genelde yuvarlama hataları olarak bilinirler. Örneğin π sayısının bilgisayarda reel bir sayıiçin tahsis edilen alana sĭgdırılmasıiçin belirli basamaktan sonraki basamaklarının ihmal edilmesi ile oluşan hata bir yuvarlama hatasıdır. 1/3 = gibi her devirli rasyonel sayının sınırlıbilgisayar bellek alanında temsili esnasında bu tür yuvarlama hatalarıkaçınılmazdır. Öte yandan 0.1 sayısıikili sistemin devirli bir sayısıdır ve ikili sistem kullanan bilgisayar sisteminde tam olarak temsil edilemez. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

19 Kesme hataları bir fonksiyon yerine n inci dereceden Taylor polinomunun kullanılması(bölüm 3, Taylor polinomlarıve hata) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

20 Kesme hataları bir fonksiyon yerine n inci dereceden Taylor polinomunun kullanılması(bölüm 3, Taylor polinomlarıve hata) interpolasyon polinomu veya basit fonksiyonlarla yaklaşım(bölüm 6, interpolasyon) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

21 Kesme hataları bir fonksiyon yerine n inci dereceden Taylor polinomunun kullanılması(bölüm 3, Taylor polinomlarıve hata) interpolasyon polinomu veya basit fonksiyonlarla yaklaşım(bölüm 6, interpolasyon) sonsuz toplam yerine sonlu bir toplamla integrale yaklaşım(bölüm 7, Sayısal integrasyon), ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

22 Kesme hataları bir fonksiyon yerine n inci dereceden Taylor polinomunun kullanılması(bölüm 3, Taylor polinomlarıve hata) interpolasyon polinomu veya basit fonksiyonlarla yaklaşım(bölüm 6, interpolasyon) sonsuz toplam yerine sonlu bir toplamla integrale yaklaşım(bölüm 7, Sayısal integrasyon), teğet eğimi(türev) yerine kiriş eğimi( Bölüm 8, Sayısal türev) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

23 Kesme hataları bir fonksiyon yerine n inci dereceden Taylor polinomunun kullanılması(bölüm 3, Taylor polinomlarıve hata) interpolasyon polinomu veya basit fonksiyonlarla yaklaşım(bölüm 6, interpolasyon) sonsuz toplam yerine sonlu bir toplamla integrale yaklaşım(bölüm 7, Sayısal integrasyon), teğet eğimi(türev) yerine kiriş eğimi( Bölüm 8, Sayısal türev) diferensiyel denklemlerde türev yerine sayısal türev kullanılması( Bölüm 9-12) durumunda oluşan hatalar kesme hatalarıdır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

24 Sayısal analiz ve hata Sayısal analiz, yuvarlama ve kesme hatalarınıminimize edecek yaklaşımlarıbelirlemeyi amaçlar ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

25 Sayısal analiz ve hata Sayısal analiz, yuvarlama ve kesme hatalarınıminimize edecek yaklaşımlarıbelirlemeyi amaçlar Sayısal analizde amaç yuvarlama hatalarınıkontrol altında tutan ve "makul" düzeyde kesme hatalarıile işlemler yürüten sayısal yöntemler geliştirmek ve problemlerin çözümüne uygulamaktır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

26 Sayısal analiz ve hata Sayısal analiz, yuvarlama ve kesme hatalarınıminimize edecek yaklaşımlarıbelirlemeyi amaçlar Sayısal analizde amaç yuvarlama hatalarınıkontrol altında tutan ve "makul" düzeyde kesme hatalarıile işlemler yürüten sayısal yöntemler geliştirmek ve problemlerin çözümüne uygulamaktır. Sayısal analiz sürecinde oluşabilecek olan yuvarlama hatalarını anlayabilmek için öncelikle bilgisayar sayısistemini ve bu sistem üzerindeki aritmetiği yakından inceleyelim. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

27 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar R, reel sayılar kümesi olmak üzere, bilgisayarlar sadece R f ile göstereceğimiz ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

28 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar R, reel sayılar kümesi olmak üzere, bilgisayarlar sadece R f ile göstereceğimiz R nin sonlu elemanlıbir alt kümesini belleklerinde saklayabilir ve bu sayılarla işlem yapabilirler. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

29 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar R, reel sayılar kümesi olmak üzere, bilgisayarlar sadece R f ile göstereceğimiz R nin sonlu elemanlıbir alt kümesini belleklerinde saklayabilir ve bu sayılarla işlem yapabilirler. Bilgisayarlar tamsayılarıtamsayıformatı(fixed point format) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

30 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar R, reel sayılar kümesi olmak üzere, bilgisayarlar sadece R f ile göstereceğimiz R nin sonlu elemanlıbir alt kümesini belleklerinde saklayabilir ve bu sayılarla işlem yapabilirler. Bilgisayarlar tamsayılarıtamsayıformatı(fixed point format) kesirli sayılarıise kayan nokta formatı(floating point format) adı verilen bir formatta saklarlar. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

31 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bilgisayar belleğinde saklanabilen sıfırdan farklıbir kayan noktalısayı x f = ±q f β e biçiminde ifade edilebilen bir sayıdır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

32 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bilgisayar belleğinde saklanabilen sıfırdan farklıbir kayan noktalısayı x f = ±q f β e biçiminde ifade edilebilen bir sayıdır. Burada q f sonlu basamağa sahip olan ve q f = 0.d 1 d 2...d n biçiminde ifade edilebilen sayının kesir kısmı(mantis veya d 1 = 0 için normalize edilmiş mantis, 0 d i < β, i = 1, 2,..., n) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

33 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bilgisayar belleğinde saklanabilen sıfırdan farklıbir kayan noktalısayı x f = ±q f β e biçiminde ifade edilebilen bir sayıdır. Burada q f sonlu basamağa sahip olan ve q f = 0.d 1 d 2...d n biçiminde ifade edilebilen sayının kesir kısmı(mantis veya d 1 = 0 için normalize edilmiş mantis, 0 d i < β, i = 1, 2,..., n) β ise kullanılan sayısisteminin tabanı(örneğin iki tabanlısistem için β = 2,on tabanlısistem için β = 10 vb) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

34 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bilgisayar belleğinde saklanabilen sıfırdan farklıbir kayan noktalısayı x f = ±q f β e biçiminde ifade edilebilen bir sayıdır. Burada q f sonlu basamağa sahip olan ve q f = 0.d 1 d 2...d n biçiminde ifade edilebilen sayının kesir kısmı(mantis veya d 1 = 0 için normalize edilmiş mantis, 0 d i < β, i = 1, 2,..., n) β ise kullanılan sayısisteminin tabanı(örneğin iki tabanlısistem için β = 2,on tabanlısistem için β = 10 vb) e ise üs olarak adlandırılır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

35 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bilgisayar belleğinde saklanabilen sıfırdan farklıbir kayan noktalısayı x f = ±q f β e biçiminde ifade edilebilen bir sayıdır. Burada q f sonlu basamağa sahip olan ve q f = 0.d 1 d 2...d n biçiminde ifade edilebilen sayının kesir kısmı(mantis veya d 1 = 0 için normalize edilmiş mantis, 0 d i < β, i = 1, 2,..., n) β ise kullanılan sayısisteminin tabanı(örneğin iki tabanlısistem için β = 2,on tabanlısistem için β = 10 vb) e ise üs olarak adlandırılır. Böylece bir kayan noktalısayıyıtanımlayabilmek için işaret, mantis ve üs bilgileri gerekmektedir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

36 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bilgisayar belleğinde saklanabilen sıfırdan farklıbir kayan noktalısayı x f = ±q f β e biçiminde ifade edilebilen bir sayıdır. Burada q f sonlu basamağa sahip olan ve q f = 0.d 1 d 2...d n biçiminde ifade edilebilen sayının kesir kısmı(mantis veya d 1 = 0 için normalize edilmiş mantis, 0 d i < β, i = 1, 2,..., n) β ise kullanılan sayısisteminin tabanı(örneğin iki tabanlısistem için β = 2,on tabanlısistem için β = 10 vb) e ise üs olarak adlandırılır. Böylece bir kayan noktalısayıyıtanımlayabilmek için işaret, mantis ve üs bilgileri gerekmektedir. Mantisdeki noktanın pozisyonu, üs değiştirilmek suretiyle sağa veya sola kaydırılabileceği için kayan noktalısayılar adıverilmektedir = = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

37 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar En genel halde β tabanlısistemde x = ±q β e, q = 0.d 1 d 2 d n 1 d n d n+1, d 1 = 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

38 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar En genel halde β tabanlısistemde x = ±q β e, q = 0.d 1 d 2 d n 1 d n d n+1, d 1 = 0 bilgisayar sayısistemi bellek sınırlamalarıdolayısıyla mantisinde en fazla n basamağa izin veriyorsa bu durumda ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

39 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar En genel halde β tabanlısistemde x = ±q β e, q = 0.d 1 d 2 d n 1 d n d n+1, d 1 = 0 bilgisayar sayısistemi bellek sınırlamalarıdolayısıyla mantisinde en fazla n basamağa izin veriyorsa bu durumda { q f = 0.d 1 d 2 d n 1 d n 0 d n+1... < β/2 0.d 1 d 2 d n 1 (d n + 1) d n+1... β/2 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

40 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar En genel halde β tabanlısistemde x = ±q β e, q = 0.d 1 d 2 d n 1 d n d n+1, d 1 = 0 bilgisayar sayısistemi bellek sınırlamalarıdolayısıyla mantisinde en fazla n basamağa izin veriyorsa bu durumda { q f = 0.d 1 d 2 d n 1 d n 0 d n+1... < β/2 0.d 1 d 2 d n 1 (d n + 1) d n+1... β/2 x f = ±q f β e olarak elde edilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

41 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bu durumda x değeri en yakın x f bilgisayar sayısına yuvarlanmış olur ve ε b (x) ise bağıl yuvarlama hatasıdır ve ε b (x) 1 2 β n+1 (1) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

42 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bu durumda x değeri en yakın x f bilgisayar sayısına yuvarlanmış olur ve ε b (x) ise bağıl yuvarlama hatasıdır ve ε b (x) 1 2 β n+1 (1) 1 2 β n+1 sayısına bilgisayar hassasiyeti(machine precision) adıverilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

43 Bilgisayar sayısistemi, aritmetiği ve ilgili hatalar Bu durumda x değeri en yakın x f bilgisayar sayısına yuvarlanmış olur ve ε b (x) ise bağıl yuvarlama hatasıdır ve ε b (x) 1 2 β n+1 (1) 1 2 β n+1 sayısına bilgisayar hassasiyeti(machine precision) adıverilir. >> eps(1) ans = e-016(= 2 52 ) dir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

44 Sanal bir sayısistemi Sanal bir kayan nokta sistemi örneği üzerinde bilgisayar aritmetiği Sanal sistemimizin üs için 1, 0, 1 ve mantis için q = 0.d 1, d 1 = 1,..., 9 değerlerini alabileceğini kabul edelim. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

45 Sanal bir sayısistemi Sanal bir kayan nokta sistemi örneği üzerinde bilgisayar aritmetiği Sanal sistemimizin üs için 1, 0, 1 ve mantis için q = 0.d 1, d 1 = 1,..., 9 değerlerini alabileceğini kabul edelim. Sistemimiz tabloda belirtilen noktalar ve negatifleri ile sıfır noktasından oluşur(toplam 55 nokta!): Table: e(sol sütun) ve Sanal sistem üzerinde kayan noktalıpozitif sayılar ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

46 R f nin özellikleri R f toplama işlemine göre kapalıolmayabilir: Örneğimiz için 5, 6 R f fakat 11 / R f dir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

47 R f nin özellikleri R f toplama işlemine göre kapalıolmayabilir: Örneğimiz için 5, 6 R f fakat 11 / R f dir. R f de belirli değerden küçük olan sonuçlar sıfır olarak kabul edilir(sistemler bu durumu "undeflow" hatasıolarak yorumlarlar): a = 0.01/2 = 0. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

48 R f nin özellikleri R f toplama işlemine göre kapalıolmayabilir: Örneğimiz için 5, 6 R f fakat 11 / R f dir. R f de belirli değerden küçük olan sonuçlar sıfır olarak kabul edilir(sistemler bu durumu "undeflow" hatasıolarak yorumlarlar): a = 0.01/2 = 0. R f de toplama işlemine göre birleşme özelliği geçerli olmayabilir: ( ) + 1 = 2 = 1 = ( ) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

49 Gerçek bir kayan nokta sistemi örneği üzerinde bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları R f sonlu sayıda elemandan oluşur. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

50 Gerçek bir kayan nokta sistemi örneği üzerinde bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları R f sonlu sayıda elemandan oluşur. >> realmax ans =1.7977E ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

51 Gerçek bir kayan nokta sistemi örneği üzerinde bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları R f sonlu sayıda elemandan oluşur. >> realmax ans =1.7977E O halde kullandĭgımız bilgisayar [ E + 308, E + 308] aralĭgıiçerisindeki kayan nokta sayılarından oluşan sonlu bir kümeden ibarettir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

52 Gerçek bir kayan nokta sistemi örneği üzerinde bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları R f sonlu sayıda elemandan oluşur. >> realmax ans =1.7977E O halde kullandĭgımız bilgisayar [ E + 308, E + 308] aralĭgıiçerisindeki kayan nokta sayılarından oluşan sonlu bir kümeden ibarettir. Herhangi bir işlemin sonucunun bu aralĭgın dışarında bir değer üretmesi durumunda sonuç çok büyük sayı(overflow veya inf) hatası olarak yorumlanır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

53 Gerçek bir kayan nokta sistemi örneği üzerinde bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları R f sonlu sayıda elemandan oluşur. >> realmax ans =1.7977E O halde kullandĭgımız bilgisayar [ E + 308, E + 308] aralĭgıiçerisindeki kayan nokta sayılarından oluşan sonlu bir kümeden ibarettir. Herhangi bir işlemin sonucunun bu aralĭgın dışarında bir değer üretmesi durumunda sonuç çok büyük sayı(overflow veya inf) hatası olarak yorumlanır. Örneğin MATLAB/Octave ortamında >> E e292 x = E 308. ans = inf ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

54 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları >> x=realmin ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

55 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları >> x=realmin Bunlara ilaveten belirsizlik adınıverdiğimiz tanımlıolmayan (0/0, / gibi) bir işlem sonucu ise NaN(Not a Number- sayıdeğil) olarak kabul edilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

56 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları >> x=realmin Bunlara ilaveten belirsizlik adınıverdiğimiz tanımlıolmayan (0/0, / gibi) bir işlem sonucu ise NaN(Not a Number- sayıdeğil) olarak kabul edilir. Hiç bir irrasyonel sayı(π, e, 2) veya devirli rasyonel sayır f almaz. de yer ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

57 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Kayan nokta sayısisteminde sayılar sıfır noktasının komşuluğunda daha sıkça serpiştirilmiştir ve sonuç olarak işlemlerin gerçekleştirilme sırasıfarklıyuvarlama hatalarına neden olabilir ve bu durum işlem sonucunu değiştirebilir(toplama işlemine göre birleşme özelliği olmayabilir). ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

58 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Kayan nokta sayısisteminde sayılar sıfır noktasının komşuluğunda daha sıkça serpiştirilmiştir ve sonuç olarak işlemlerin gerçekleştirilme sırasıfarklıyuvarlama hatalarına neden olabilir ve bu durum işlem sonucunu değiştirebilir(toplama işlemine göre birleşme özelliği olmayabilir). Bu sonucu MATLAB/Octave yazılımlarında kullanılan eps() fonksiyonu yardımıyla gözlemleyebiliriz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

59 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Kayan nokta sayısisteminde sayılar sıfır noktasının komşuluğunda daha sıkça serpiştirilmiştir ve sonuç olarak işlemlerin gerçekleştirilme sırasıfarklıyuvarlama hatalarına neden olabilir ve bu durum işlem sonucunu değiştirebilir(toplama işlemine göre birleşme özelliği olmayabilir). Bu sonucu MATLAB/Octave yazılımlarında kullanılan eps() fonksiyonu yardımıyla gözlemleyebiliriz. Bu fonksiyon eps(x) biçimindeki kullanımıyla, x sayısıile bu sayıya en yakın bilgisayar sistemindeki sayıarasındaki uzaklĭgıverir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

60 x x x f E E E E E E Table: Sayılar ve komşularıarasındaki uzaklık ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

61 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Sıfır komşuluğundaki sayıların birbirlerine çok yakın olmasıve mutlak değerce büyük olan kayan nokta sayılarıarasındaki uzaklĭgın kısmen daha büyük olmasısonucu sayıların küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanarak toplanmasısonucu farklısonuçlar elde edilebilmektedir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

62 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Sıfır komşuluğundaki sayıların birbirlerine çok yakın olmasıve mutlak değerce büyük olan kayan nokta sayılarıarasındaki uzaklĭgın kısmen daha büyük olmasısonucu sayıların küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanarak toplanmasısonucu farklısonuçlar elde edilebilmektedir. Örneğin N i=1 1 i 2 = 1 + 1/ /N 2 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

63 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Sıfır komşuluğundaki sayıların birbirlerine çok yakın olmasıve mutlak değerce büyük olan kayan nokta sayılarıarasındaki uzaklĭgın kısmen daha büyük olmasısonucu sayıların küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanarak toplanmasısonucu farklısonuçlar elde edilebilmektedir. Örneğin N = 1e5 için N i=1 1 i 2 = 1 + 1/ /N 2 top=0; for i=1:n top=top+1/(i*i); end program parçacĭgıçalıştırıldĭgında top = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

64 bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Şimdi de N i=1 1 (N (i 1)) 2 = 1/N2 + 1/(N 1) /1 2 olarak ifade edilen küçükten büyüğe toplamınıhesaplayalım: ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

65 bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Şimdi de N i=1 1 (N (i 1)) 2 = 1/N2 + 1/(N 1) /1 2 olarak ifade edilen küçükten büyüğe toplamınıhesaplayalım: top = elde ederiz. Sonuçların farklıolduğunu görüyoruz. i=1 1 i 2 = π2 /6 = olduğu dikkate alınırsa küçükten büyüğe toplamın daha doğru sonuç ürettiğini gözlemleriz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

66 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Aynınedenden dolayıfarklımertebeden sayılarla gerçekleştirilen işlemlerde büyük hatalar oluşabilir. Bu duruma örnek olarak aşağıdaki işlem sonuçlarınıinceleyelim: ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

67 Bilgisayar aritmetiği ve hata kaynakları Aynınedenden dolayıfarklımertebeden sayılarla gerçekleştirilen işlemlerde büyük hatalar oluşabilir. Bu duruma örnek olarak aşağıdaki işlem sonuçlarınıinceleyelim: İşlem Yaklaşık hata 0 + 5E 324 = E 324 6E 326 1E5 (1 1E 17) = 1E5 1E 12 1E10 (1E16 + 1E 1) = 1E26 1E + 09 Table: Farklımertebeden büyüklüklere sahip sayılarla işlemler ve oluşan hata ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

68 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar İki tabanlısistemden on tabanlısisteme dönüşüm ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

69 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar İki tabanlısistemden on tabanlısisteme dönüşüm (101101) 2 = = = 45. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

70 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar İki tabanlısistemden on tabanlısisteme dönüşüm (101101) 2 = = = 45. ( ) 2 = = 5 + 1/2 + 1/8 = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

71 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

72 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm 1964 = c c c c ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

73 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm 1964 = c c c c = c 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

74 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm 1964 = c c c c = c 0 Şimdi ise eşitliğin her iki tarafınıikiye bölerek elde edilen 982 = c c c c 1 ifadesinden de c 1 in 982 nin 2 ye bölümünden elde edilen kalan olduğuna dikkat edelim. Yani 982 = c 1 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

75 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar 1964 = c 0 c 0 = = c 1 c 1 = = c 2 c 2 = = c 3 c 3 = = c 4 c 4 = 0 61 = c 5 c 5 = 1 30 = c 6 c 6 = 0 15 = c 7 c 7 = 1 7 = c 8 c 8 = 1 3 = c 9 c 9 = 1 1 = c 10 c 10 = 1 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

76 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar 1964 = c 0 c 0 = = c 1 c 1 = = c 2 c 2 = = c 3 c 3 = = c 4 c 4 = 0 61 = c 5 c 5 = 1 30 = c 6 c 6 = 0 15 = c 7 c 7 = 1 7 = c 8 c 8 = 1 3 = c 9 c 9 = 1 1 = c 10 c 10 = = ( ) 2 iki tabanlıgösterimi elde edilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

77 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar Kesirli sayıdönüşümleri ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

78 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar Kesirli sayıdönüşümleri Öncelikle [[x]] notasyonu ile x sayısının tam değerini ve {x} ile de kesirli kısmınıgösterelim. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

79 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar Kesirli sayıdönüşümleri Öncelikle [[x]] notasyonu ile x sayısının tam değerini ve {x} ile de kesirli kısmınıgösterelim. A = sayısının ikili sistemdeki gösterimini belirleyiniz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

80 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar Kesirli sayıdönüşümleri Öncelikle [[x]] notasyonu ile x sayısının tam değerini ve {x} ile de kesirli kısmınıgösterelim. A = sayısının ikili sistemdeki gösterimini belirleyiniz. Onlu sistemde A = = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

81 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar Kesirli sayıdönüşümleri Öncelikle [[x]] notasyonu ile x sayısının tam değerini ve {x} ile de kesirli kısmınıgösterelim. A = sayısının ikili sistemdeki gösterimini belirleyiniz. Onlu sistemde A = = Aynısayıyıiki tabanına göre A = = (0.d 1 d 2 d 3 d 4...) = d d d d 4 2 şeklinde ifade ettiğimizi varsayalım ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

82 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar Kesirli sayıdönüşümleri Öncelikle [[x]] notasyonu ile x sayısının tam değerini ve {x} ile de kesirli kısmınıgösterelim. A = sayısının ikili sistemdeki gösterimini belirleyiniz. Onlu sistemde A = = Aynısayıyıiki tabanına göre A = = (0.d 1 d 2 d 3 d 4...) = d d d d 4 2 şeklinde ifade ettiğimizi varsayalım İfadenin her iki yanını2 ile çarparsak 2A = = d 1 + d d d ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

83 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar Kesirli sayıdönüşümleri Öncelikle [[x]] notasyonu ile x sayısının tam değerini ve {x} ile de kesirli kısmınıgösterelim. A = sayısının ikili sistemdeki gösterimini belirleyiniz. Onlu sistemde A = = Aynısayıyıiki tabanına göre A = = (0.d 1 d 2 d 3 d 4...) = d d d d 4 2 şeklinde ifade ettiğimizi varsayalım İfadenin her iki yanını2 ile çarparsak 2A = = d 1 + d d d Burada d 1 = [[2A]] = 0 ve ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

84 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

85 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm Her iki yanıtekrar 2 ile çarparak 2K 1 = 0.50 = d 2 + d d d 2 = [[2K 1 ]] = 0 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

86 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm Her iki yanıtekrar 2 ile çarparak 2K 1 = 0.50 = d 2 + d d d 2 = [[2K 1 ]] = 0 Benzer biçimde K 2 = {2K 1 } = 0.50 = d_ d K 2 = 1.0 = d 3 + d d 3 = [[2K 2 ]] = 1 ve K 3 = {2K 2 } = 0 elde edilir. Böylece kesir kısmısıfır olana kadar işleme devam ettirilerek elde edilen d i, i = 1, 2,...değerleri kaydedilir. O halde A = = (0.001) 2 iki tabanlıgösterimi elde edilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

87 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

88 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm sayısının iki tabanlıgösterimini elde ediniz ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

89 Taban dönüşümleri ve ilgili hatalar On tabanlısistemden iki tabanlısisteme dönüşüm sayısının iki tabanlıgösterimini elde ediniz Bunun için yapmamız gereken işlem, yukarıdaki iki örneğe ait sonuçlarıbirleştirmektir. On tabanlısistemde = olacak şekilde ifade edildiği gibi, tam ve kesirli kısımlara karşılık gelen iki tabanlıgösterimler de birleştirildiğinde elde edilir = ( ) 2 = ( ) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

90 İkili sistemde sayıların bellek gösterimi: enbüyük ve enküçük pozitif sayılar IEEE754 standartıadıverilen uluslararasıstandarta göre x f gösterilen sayı, 32 bit formatta ile 1 bit(üs işareti) 7 bit(üs) 24 bit ( Mantis) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

91 İkili sistemde sayıların bellek gösterimi: enbüyük ve enküçük pozitif sayılar IEEE754 standartıadıverilen uluslararasıstandarta göre x f gösterilen sayı, 32 bit formatta ile 64 bit formatta ise 1 bit(üs işareti) 7 bit(üs) 24 bit ( Mantis) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

92 İkili sistemde sayıların bellek gösterimi: enbüyük ve enküçük pozitif sayılar IEEE754 standartıadıverilen uluslararasıstandarta göre x f gösterilen sayı, 32 bit formatta ile 64 bit formatta ise 1 bit(üs işareti) 7 bit(üs) 24 bit ( Mantis) 1 bit(üs işareti) 10 bit(üs) 53 bit ( Mantis) bellek alanlarında temsil edilebilir. İşaret bitindeki 0 ise sayının pozitif ve 1 ise negatif olmasıanlamına gelir. Buna göre sayısının 32 bit formatta bellek alanına yerleşimi aşağıdaki gösterildiği gibidir: ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

93 İkili sistemde sayıların bellek gösterimi: enbüyük ve enküçük pozitif sayılar IEEE754 standartıadıverilen uluslararasıstandarta göre x f gösterilen sayı, 32 bit formatta ile 64 bit formatta ise 1 bit(üs işareti) 7 bit(üs) 24 bit ( Mantis) 1 bit(üs işareti) 10 bit(üs) 53 bit ( Mantis) bellek alanlarında temsil edilebilir. İşaret bitindeki 0 ise sayının pozitif ve 1 ise negatif olmasıanlamına gelir. Buna göre sayısının 32 bit formatta bellek alanına yerleşimi aşağıdaki gösterildiği gibidir: burada 0= dır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

94 İkili sistemde 32 bit formatında temsil edilebilecek x f = ±(.d 1 d 2... d 24 ) 2 e sayısınıgöz önüne alalım. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

95 İkili sistemde 32 bit formatında temsil edilebilecek x f = ±(.d 1 d 2... d 24 ) 2 e sayısınıgöz önüne alalım. Pozitif bir sayıiçin 7 bitlik üs alanında ikili sisteme göre temsil edilebilecek en büyük üs e = ( ) 2 = = 127. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

96 Ayrıca d 1 = 0 olmak üzere en büyük mantis değeri ( ) 2 = 1/ / / olup, noktadan önceki ilk rakam 1 olarak kabul edilip, depolanmayarak, ( ) 2 2 olduğu için en büyük pozitif sayı x f = = E + 38 = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

97 Ayrıca d 1 = 0 olmak üzere en büyük mantis değeri ( ) 2 = 1/ / / olup, noktadan önceki ilk rakam 1 olarak kabul edilip, depolanmayarak, ( ) 2 2 olduğu için en büyük pozitif sayı x f = = E + 38 = Benzer olarak en küçük pozitif değer ise üssün alabileceği mutlak değerce en büyük negatif sayıya( 128) karşılık gelir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

98 Negatif tamsayıların ikili sistemdeki gösterimleri: 1 = ( [1]) = = ( [1]) = = (000000[10]) = = (111111[10]) = = (00001[100]) = = (11110[100]) = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

99 Negatif tamsayıların ikili sistemdeki gösterimleri: 127 = ( [1]) = = ( [1]) = = ( ) = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

100 Soldan itibaren ilk 1 sayısına kadar olan ve köşeli parantez içerisine alınan ikili sayıgrubunun sabit bırakılarak, diğerlerinden 1 lerin 0 ve 0 ların 1 yapılarak pozitif bir tamsayının toplama işlemine göre tersinin elde edildiğine dikkat edelim. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

101 Soldan itibaren ilk 1 sayısına kadar olan ve köşeli parantez içerisine alınan ikili sayıgrubunun sabit bırakılarak, diğerlerinden 1 lerin 0 ve 0 ların 1 yapılarak pozitif bir tamsayının toplama işlemine göre tersinin elde edildiğine dikkat edelim. Buna göre 8 bitlik alanda temsil edilebilecek mutlak değerce en büyük negatif sayının 128 olacağıaçıktır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

102 Soldan itibaren ilk 1 sayısına kadar olan ve köşeli parantez içerisine alınan ikili sayıgrubunun sabit bırakılarak, diğerlerinden 1 lerin 0 ve 0 ların 1 yapılarak pozitif bir tamsayının toplama işlemine göre tersinin elde edildiğine dikkat edelim. Buna göre 8 bitlik alanda temsil edilebilecek mutlak değerce en büyük negatif sayının 128 olacağıaçıktır. O halde en küçük pozitif kayan noktalısayı x f = = E 39 = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

103 Negatif tamsayıların ikili sistemdeki gösterimleri: İkili sistemde 64 bit formatında temsil edilebilecek kayan nokta sayısınıgöz önüne alalım. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

104 Negatif tamsayıların ikili sistemdeki gösterimleri: İkili sistemde 64 bit formatında temsil edilebilecek kayan nokta sayısınıgöz önüne alalım. Pozitif bir sayıiçin 11 bitlik üs alanında ikili sisteme göre temsil edilebilecek en büyük üs e = ( ) 2 = 1023 ve en küçük üs ise e = ( ) 2 = 1024 dür. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

105 Negatif tamsayıların ikili sistemdeki gösterimleri: İkili sistemde 64 bit formatında temsil edilebilecek kayan nokta sayısınıgöz önüne alalım. Pozitif bir sayıiçin 11 bitlik üs alanında ikili sisteme göre temsil edilebilecek en büyük üs e = ( ) 2 = 1023 ve en küçük üs ise e = ( ) 2 = 1024 dür. Ayrıca en büyük mantis değeri ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

106 ( ) 2 = 1/ / /2 53 = 1 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

107 ( ) 2 = 1/ / /2 53 = 1 en büyük pozitif kayan noktalısayıise x f = = E olup bu sayının ikili sistemdeki karşılĭgı elde edilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

108 Negatif tamsayıların ikili sistemdeki gösterimleri: Benzer olarak en küçük pozitif değer ise üssün alabileceği mutlak değerce en büyük negatif sayıya( 1024) karşılık gelir ve olup, ikili sistem karşılĭgı x f = = E ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

109 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar Bu durumun en açık örneği onlu sistemdeki 0.1sayısıdır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

110 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar Bu durumun en açık örneği onlu sistemdeki 0.1sayısıdır. Bu sayının iki tabanlısistemdeki karşılĭgı(0.0 ( 0011 ) ) 2 devirli sayısıdır. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

111 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar Bu durumun en açık örneği onlu sistemdeki 0.1sayısıdır. Bu sayının iki tabanlısistemdeki karşılĭgı(0.0 ( 0011 ) ) 2 sayısıdır. devirli Ancak 32 bit formatta bu sayının mantisi için 24 bitlik bir alan tahsis edildiği için bu formattaki gösterimi dir. ( ) 2 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

112 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar Bu durumun en açık örneği onlu sistemdeki 0.1sayısıdır. Bu sayının iki tabanlısistemdeki karşılĭgı(0.0 ( 0011 ) ) 2 sayısıdır. devirli Ancak 32 bit formatta bu sayının mantisi için 24 bitlik bir alan tahsis edildiği için bu formattaki gösterimi dir. ( ) 2 bu sayının on tabanlısistemdeki karşılĭgınıhesaplarsak E 002 elde ederiz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

113 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar Bu durumun en açık örneği onlu sistemdeki 0.1sayısıdır. Bu sayının iki tabanlısistemdeki karşılĭgı(0.0 ( 0011 ) ) 2 sayısıdır. devirli Ancak 32 bit formatta bu sayının mantisi için 24 bitlik bir alan tahsis edildiği için bu formattaki gösterimi dir. ( ) 2 bu sayının on tabanlısistemdeki karşılĭgınıhesaplarsak E 002 elde ederiz. Böylece 0.1 sayısının ikili sistemdeki devirli gösterimi, tahsis edilen bellek alana yerleştirilirken atılmasıgereken kısmıönemli bir hataya neden olmuştur. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

114 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar >> x = 0.1; ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

115 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar >> x = 0.1; >> y = (x + x + x + x + x + x + x + x + x + x) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

116 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar >> x = 0.1; >> y = (x + x + x + x + x + x + x + x + x + x) >> z = (1 y) 1E20 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

117 Taban dönüşümü kaynaklıhatalar >> x = 0.1; >> y = (x + x + x + x + x + x + x + x + x + x) >> z = (1 y) 1E20 z = E + 004! ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

118 Anlamlıbasamak kaybıhatası Anlamlıbasamak sayısı: On tabanlısistemde eğer ε b (x) 5 10 k ise x f yaklaşımıx gerçek değerini k 1 anlamlıbasamakla temsil etmektedir denir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

119 Anlamlıbasamak kaybıhatası Anlamlıbasamak sayısı: On tabanlısistemde eğer ε b (x) 5 10 k ise x f yaklaşımıx gerçek değerini k 1 anlamlıbasamakla temsil etmektedir denir. x f = 1.1 yaklaşımıx = 1 değerini 0 anlamlıbasamakla temsil etmektedir, çünkü ε b (x) = < ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

120 Anlamlıbasamak kaybıhatası Anlamlıbasamak sayısı: On tabanlısistemde eğer ε b (x) 5 10 k ise x f yaklaşımıx gerçek değerini k 1 anlamlıbasamakla temsil etmektedir denir. x f = 1.1 yaklaşımıx = 1 değerini 0 anlamlıbasamakla temsil etmektedir, çünkü ε b (x) = < x f = 1.23 yaklaşımıx = 1.2 değerini 1 anlamlıbasamkla temsil etmektedir, çünkü ε b (x) = < ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

121 Anlamlıbasamak kaybıhatası Anlamlıbasamak sayısı: On tabanlısistemde eğer ε b (x) 5 10 k ise x f yaklaşımıx gerçek değerini k 1 anlamlıbasamakla temsil etmektedir denir. x f = 1.1 yaklaşımıx = 1 değerini 0 anlamlıbasamakla temsil etmektedir, çünkü ε b (x) = < x f = 1.23 yaklaşımıx = 1.2 değerini 1 anlamlıbasamkla temsil etmektedir, çünkü ε b (x) = < x f = yaklaşımıx = değerini 2 anlamlıbasamkla temsil etmektedir, çünkü ε b (x) = < ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

122 Anlamlıbasamak kaybıhatası Birbirine eşit olan ve f 1 (x) = 1000(log(x + 1) log(x)) f 2 (x) = 1000log((x + 1)/x) fonksiyonlarınıgöz önüne alalım ve bu fonksiyonların x = noktasındaki değerlerini virgülden sonra altıbasamağa kadar ve yuvarlama prensibine göre çalışan hesaplayıcıda hesaplayarak sonuçları karşılaştıralım. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

123 Anlamlıbasamak kaybıhatası Birbirine eşit olan f 1 (x) = 1000(log(x + 1) log(x)) ve f 2 (x) = 1000log((x + 1)/x) fonksiyonlarınıgöz önüne alalım ve bu fonksiyonların x = noktasındaki değerlerini virgülden sonra altıbasamağa kadar ve yuvarlama prensibine göre çalışan hesaplayıcıda hesaplayarak sonuçları karşılaştıralım. x = ve x 1 = log(x + 1) = dir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

124 Anlamlıbasamak kaybıhatası Birbirine eşit olan f 1 (x) = 1000(log(x + 1) log(x)) ve f 2 (x) = 1000log((x + 1)/x) fonksiyonlarınıgöz önüne alalım ve bu fonksiyonların x = noktasındaki değerlerini virgülden sonra altıbasamağa kadar ve yuvarlama prensibine göre çalışan hesaplayıcıda hesaplayarak sonuçları karşılaştıralım. x = ve x 1 = log(x + 1) = dir. Ancak altıbasamaklıve yuvarlama prensibine göre çalışan hesaplayıcıda x 1 = olarak kabul edilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

125 Anlamlıbasamak kaybıhatası x 2 = log(x) = 5; ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

126 Anlamlıbasamak kaybıhatası x 2 = log(x) = 5; f 1 (x) = 1000(x 1 x 2 ) = 0.004; ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

127 Anlamlıbasamak kaybıhatası x 2 = log(x) = 5; f 1 (x) = 1000(x 1 x 2 ) = 0.004; f 2 (x) = 1000log((x + 1)/x) = = ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

128 Anlamlıbasamak kaybıhatası x 2 = log(x) = 5; f 1 (x) = 1000(x 1 x 2 ) = 0.004; f 2 (x) = 1000log((x + 1)/x) = = Gerçek sonuç ise dir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

129 Anlamlıbasamak kaybıhatası x 2 = log(x) = 5; f 1 (x) = 1000(x 1 x 2 ) = 0.004; f 2 (x) = 1000log((x + 1)/x) = = Gerçek sonuç ise dir. Yuvarlatılmış x 1 değeri 6 anlamlıbasamağa sahipken birbirine çok yakın x 1, x 2 sayılarının farkıx 1 x 2 = olarak elde edilir. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

130 Anlamlıbasamak kaybıhatası x 2 = log(x) = 5; f 1 (x) = 1000(x 1 x 2 ) = 0.004; f 2 (x) = 1000log((x + 1)/x) = = Gerçek sonuç ise dir. Yuvarlatılmış x 1 değeri 6 anlamlıbasamağa sahipken birbirine çok yakın x 1, x 2 sayılarının farkıx 1 x 2 = olarak elde edilir. Bu yaklaşım gerçek fark değeri olan değerini hiçbir anlamlıbasamakla temsil etmez. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

131 Anlamlıbasamak kaybıhatası x 2 = log(x) = 5; f 1 (x) = 1000(x 1 x 2 ) = 0.004; f 2 (x) = 1000log((x + 1)/x) = = Gerçek sonuç ise dir. Yuvarlatılmış x 1 değeri 6 anlamlıbasamağa sahipken birbirine çok yakın x 1, x 2 sayılarının farkıx 1 x 2 = olarak elde edilir. Bu yaklaşım gerçek fark değeri olan değerini hiçbir anlamlıbasamakla temsil etmez. Dolayısıyla fark işlemi anlam basamağıkaybına neden olmuştur ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

132 Alıştırmalar 1 x f = ±q β e, q = 0.d 1 d 2, d 1,2 = 0, 1,..., 5 ;d 1 = 0, β = 10 tabanlı ve e = 1, 0, 1 üs değerlerine sahip bir R f sayısistemi gözönüne alalım ve gerçekleştirilen her işlem sonucunun R f de olmaması durumunda, sistemde bulunan en yakın sayıya yuvarlatıldĭgınıkabul edelim. Buna göre R f nin elemanları(sayıları) nelerdir. R f nin en büyük pozitif ve en küçük pozitif sayılarınelerdir. R f de "overflow veya inf" hatasına neden olabilecek birer işlem tanımlayınız. R f kümesinin toplama işlemine göre kapalılık özelliğini sağlamayabileceğini bir örnekle gösteriniz. R f de toplama işlemine göre birleşme özelliği olamayabileceğini bir örnekle gösteriniz. ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

133 Alıştırmalar 2 (R, +,.) nın yani Reel sayılar kümesinin bilenen skalerle çarpma ve toplama işlemine göre sağladĭgıbaşka hangi özelliklerin (R f, +,.) de geçerli olmayabileceğini düşünüyorsunuz? 3 x f = ±q β e, q = 0.d 1 d 2 d 3, 0 d i < β,formatında yazılabilen kayan noktalısayılara izin veren sanal bir bilgisayar sistemi gözönüne alalım. Buna göre aşağıdaki tabloda verilen β, e değerleri için sistemde temsil edilebilecek en büyük ve en küçük pozitif tamsayıları belirleyiniz. 4 Soru 3 deki R f sayısistemini inceleyerek, hangi tür işlemlerde daha fazla hata oluşabileceğini düşünüyorsunuz? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

134 Alıştırmalar 5 (R, +,.) nın yani Reel sayılar kümesinin bilenen skalerle çarpma ve toplama işlemine göre sağladĭgıbaşka hangi özelliklerin (R f, +,.) de geçerli olmayabileceğini düşünüyorsunuz? 6 x f = ±q β e, q = 0.d 1 d 2 d 3, 0 d i < β,formatında yazılabilen kayan noktalısayılara izin veren sanal bir bilgisayar sistemi gözönüne alalım. Buna göre aşağıdaki tabloda verilen β, e değerleri için sistemde temsil edilebilecek en büyük ve en küçük pozitif tamsayıları belirleyiniz. 7 Soru 3 deki R f sayısistemini inceleyerek, hangi tür işlemlerde daha fazla hata oluşabileceğini düşünüyorsunuz? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

135 Alıştırmalar 8 x = 0.d 1 d 2...d n d n+1...d m β e,x f = 0.d 1 d 2...d n β e için ε b (x) = x x f x 1 2 β n+1 olduğunu gösteriniz.(ipucu: Öncelikle x x f {}}{ n adet ( 1 2 β) βe = ( 1 2 β)β n 1 β e = 1 2 βe n olduğunu gözlemleyiniz ayrıca β tabanlısistemde 1/0.1 = β 1 olduğuna dikkat ediniz.) ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

136 Alıştırmalar 9 Aşağıda verilen on tabanlısayıların karşılarında verilen iki tabanlı gösterimlere sahip olduklarınıgösteriniz 3 (11) 2 8 (1000) 2 10 (1010) 2 50 (110010) ( ) 2 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

137 Alıştırmalar 10 Aşağıda verilen iki tabanlısayıların on tabanlıgösterimlerini belirleyiniz (11001) 2 ( ) 2 ( ) 2 (100001) 2 11 Aşağıda verilen kesirli sayıların iki tabanlıgösterimlerinin doğruluğunu kontrol ediniz.1001 üs çizgi notasyonu sayının devirli sayıolduğunu ifade etmektedir. 2.5 (10.1) (11. ( 1001 ) ) (1.01) (1.001) 2 ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48

138 Alıştırmalar 12 Onlu tabanda 0.2 sayısı32 bitlik ( ) 2 gösterimine sahiptir. Elde edilen bu ikilik sistem gösterimini on tabanlı sisteme dönüştürdüğümüzde yine 0.2 sayısınıelde ederiz. Bu sonucu kendi işlemlerinizle kontrol ediniz. 13 Bilgisayar sisteminizde 1 ve 2 arasındaki her sayıile bu sayıya en yakın sayı arasındaki mesafenin birbirine eşit olduğunu eps komutu yardımıyla gözlemleyiniz. Buna göre örneğin eps(1) = eps(1.5) = eps(1.8) olmalıdır. 15 Bilgisayar sisteminizde 2 ile 2 den büyük olan en büyük hangi sayı arasında yer alan bütün sayılar birbirine eşit uzaklıktadırlar? ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 2 Mart, / 48