ÇÖZÜMLER İSABET YAYINLARI. Ders 07. Ondalık Gösterim. Örnek. Çözüm. Alıştırma. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

Transkript

1 Ders 0 Ondalık Gösterim Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Bir rasyonel sayıyı ondalık olarak yazmak için paydası, 0, 00,... gibi un kuvveti olacak şekilde sayı genişletilir veya sadeleştirilir. Elde edilen rasyonel sayının virgül ile gösterimine ondalık gösterim denir. Bir rasyonel sayı ondalık gösterim olarak yazılırken payındaki sayının en sağından 0 itibaren sola doğru paydadaki sıfır adedi kadar basamak ilerlenir ve virgül konulur. Örnek rasyonel sayısını ondalık gösterim olarak yazalım. Çözüm Önce paydadaki sayının un hangi kuvvetine genişletileceği belirlenir. 0 = 0 () sayısının paydasında iki adet sıfır olduğu için in en sağından sola doğru iki 0 basamak gidilerek virgül konulur. 0 0, Aşağıdaki rasyonel sayıları ondalık gösterim olarak ifade edelim. = 0, 0 = 0, =, 0 =, =, 0 = 0, = 6,8 0 =,0 00 =, İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

2 Ders 0 Ondalık Gösterim Örnek Aşağıdaki rasyonel sayıları ondalık gösterim olarak yazalım. = = 0, = 0, = =, = 6 0 = 80 = 0, = = 8 = 8 0 = 6 = = -0, -6 = -, = -0,6 = 0, = 8 = 8 = 8, 6 = 6 0 = 6 = 0,6 =, 00 = 8 = 0,8 0 0 Örnek, rasyonel sayısını ondalık gösterimle yazalım. Çözüm sayısının paydası un kuvvetlerinden birine genişletilemez. O halde payı, paydaya bölmemiz gerekiyor , Görüldüğü gibi bu işlem sonsuza kadar devam edecektir. Elde edilen bölümde sayısı sürekli olarak tekrar ettiği için ün üzerine çizgi konularak gösterilir. Yani: 0,... = 0, dir. Aşağıdaki rasyonel sayıları devirli ondalık sayı olarak yazalım. 9 = 0, - 9 = 0, - 90 =, - Bilgi Kutusu Eğer verilen rasyonel sayının paydası un kuvvetlerine genişletilemiyorsa pay, paydaya bölünerek devirli ondalık sayı elde edilir. Aşağıda verilen devirli sayıları, devir işaretiyle gösterelim. a), =,6 - b),... =, c) 0,... =, d),... =, e),... =, f),6... =,6 8 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

3 Ders 0 Ondalık Gösterim Devirli Olmayan Ondalık Gösterimlerin Rasyonel Sayı Olarak Yazılması Örnek Aşağıdaki ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak yazalım. a) 0, b), c) 0, d), e) 0, f), Çözüm a) 0, = d), = 0 = Örnek b), = e) 0, = 00 Aşağıdaki ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak yazalım. c) 0, = 0 f), = 00 = a), b) 0, c),0 Çözüm a), = = Bilgi Kutusu h, r, k birer rakam olmak üzere 0,h şeklinde bir ondalık gösterim h, b) 0, = 0 = 0 c),0 = 0 00 = 00 h,rk şeklinde bir ondalık gösterim hrk rk veya h 0 0, 0,hrk şeklinde bir ondalık gösterim hrk şeklinde yazılır. 00 Eğer sadeleştirme varsa yapılarak rasyonel sayı elde edilir. İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 9

4 Ders 0 Ondalık Gösterim Aşağıdaki ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak yazalım. 8 a. 0,8 = b. 0, = - c., = - 0 d. 0,0 = e. 0,8 = - 8 f.,0 = g. 0,00 = h. 0,8 = - 8 i., = Devirli Ondalık Gösterimlerin Rasyonel Sayı Olarak Yazılması Örnek, sayısını rasyonel sayı olarak yazalım. Çözüm Sayının tamamı: = = 0 olur. Devretmeyen kısım: Virgülden sonra devreden bir sayı için bir tane 9, devretmeyen bir sayı için bir tane 0 Kural Devretmeyen kısmı sıfır olan devirli ondalık gösterimlerin rasyonel sayı olarak yazımı aşağıdaki gibidir: 0,a = a 0,0a = a 0,ab = ab 0,0ab ab = Aşağıdaki devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak yazalım. a. 0, = b. 0, = c. 0, = Kural Devirli ondalık sayıları rasyonel sayı olarak yazarken;. Sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılarak paya yazılır.. Paydaya ise virgülün sağındaki devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır. d., - = = 6 e., - = = f.,8 = = g. 0,6 6 - = = 9 h., - = = 00 - ı., = i.,9 9 - = = 88 j., - = = 6 k. 6, = = 9 99 = İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

5 Bil - Bul - Uygula Ondalık Gösterim. Aşağıda verilen devirli sayıları devir işaretiyle gösteriniz. a., = b.,... = c. 0,... =,6, 0, d.,... = e.,... = f., = -, g., = h.,... = i., = -,6. Aşağıda verilen rasyonel sayıları ondalık olarak yazınız. a) = 0, 6 e) = 6, 6 b) 00 = f) 6 =, c) = -,6 g) = -0, d) = -, h) 9 = 0,009 8 i) 00 0 =,8.,6 ondalık gösteriminin rasyonel sayı olarak en sade hâli a b dir. Buna göre, a+b toplamı kaçtır?,6 = 6 0 = 6 = a b a = 6 b = 89,,6,8,,6 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 6

6 Ders 0 Ondalık Gösterim. Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini yazınız. 0 = = = 9 0 = = = = 8 0 = 0 =. Aşağıdaki şekillerin belirttiği ondalık sayıları yazınız. a. b. c Aşağıdaki ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak yazıp, en sade hâllerini bulunuz. a. 0,8 b., c.,0 d., e. 0,00 f.,. Aşağıdaki devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya dönüştürünüz. a., b.,6 c., d. 0, e.,99 f. 0, 6 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

7 Test 0 Ondalık Gösterim. 0, sayısına karşılık gelen rasyonel sayı aşağıdakilerden hangisidir?. A) B) 9 C) 9 D) rasyonel sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 9 A) 0, B) 0, C) 0, D) 0,. Aşağıda verilen rasyonel sayılardan hangisi, devirli ondalık sayı olarak gösterilir? A) B) 9 C) D) 0. 0,... ifadesinin ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? 6. A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, 9 0 0,6 6 Öğretmeni Bekir den yukarıdaki tabloda e denk olan sayıların bulunduğu kareleri boyamasını diğerlerini silmesini söylemiştir. Buna göre, Bekir in son durumda elde ettiği tablo aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) B) C) D). rasyonel sayısının devirli ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A), B), C), D),6 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 6

8 Test 0 Ondalık Gösterim. 6 b a Yukarıdaki sayı doğrusunda ile ve ile 6 arası eş parçaya bölünmüştür. Buna göre, a b kesrindeki a ile b nin toplamı kaçtır? A) B) C) 8 D) 8., ondalık gösterimi hangi doğal sayıya daha yakındır? 9. A) B) C) D) Yukarıdaki sayı doğrusunda A noktasına karşılık gelen devirli ondalık gösterim aşağıdakilerden hangisidir? A. 8 rasyonel sayısının ondalık gösteriminde virgülün sağındaki rakamların toplamı kaçtır? A) B) 8 C) D). 0, = a b eşitliğinde a ve b dan küçük tam sayılardır. Buna göre a.b işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) 0 C) D). x bir rakam olmak üzere x =, dir. Buna göre x hangisine eşittir? rasyonel sayısı, aşağıdakilerden A), B), C), D),. I. 6, = 6 II. 0, = III., = IV.,6 = 6 Yukarıda verilen eşitliklerden hangileri doğrudur? A), B), C), D), A) I ve II B) II, III ve IV C) I, II ve IV D) II ve IV 6 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

9 Ders 08 Rasyonel Sayılarda Sıralama ve Karşılaştırma Rasyonel Sayılarda Sıralama Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusu Üzerinde Sıralama Sayı doğrusundaki her rasyonel sayı, solundaki sayıdan büyük iken sağındaki sayıdan küçüktür. Örnek,, ve Çözüm rasyonel sayılarını sayı doğrusunda gösterip sıralayalım. 0 Yukarıda görüldüğü gibi verilen rasyonel sayıların sıralanışı < < < Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterime Çevirerek Sıralama Örnek 9, 6, sayılarını ondalık gösterim şeklinde yazarak sıralayalım. Çözüm Dikkat Sıfır bütün negatif rasyonel sayılardan büyük, bütün pozitif rasyonel sayılardan küçüktür. 9 = =, 0 () 6 = = () Buna göre, <, <, olup İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!, =, 6 < < 9 tür. 6

10 Ders 08 Rasyonel Sayılarda Sıralama ve Karşılaştırma Pozitif Rasyonel Sayıları Sıralama Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. / / / Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha büyüktür. > > > > / / /8 Pay ve paydası eşit olmayan rasyonel sayıların payı veya paydası eşitlenip sıralama yapılır. Örnek A =, B = 6, C = rasyonel sayılarını büyükten küçüğe sıralayalım. Çözüm 6 A = =, B = =, C = 6 (6) () O halde > > 6 olduğundan B > C > A elde edilir. A=, B= C= rasyonel sayılarını paylarını eşitleyerek sıralayalım. 8 Dikkat Negatif rasyonel sayılar sıralanırken önce sayılar pozitif gibi düşünülerek sıralama yapılır. Sonra bu sıralamanın tersi yazılır. 8 > ve 8 < olduğuna dikkat ediniz. (), (), =, 99, 8 () A > B > C 66 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

11 Bil - Bul - Uygula Rasyonel Sayılarda Sıralama ve Karşılaştırma. Aşağıdaki rasyonel sayıları sıralayınız. a. 8 ; 8 ; 8...>...>... b. ; 0 ;...<...<... c. ; ;...>...>... 8 d. ; ;...<...< e. ; ; -...>...>... - f. ; 8 ; >...> g.,; ;,...>...>... h. ; ; 0...>...>... ı.,;, ;, -,...<...<...,,, -, i.,;, ;, -,...<...<... -, -, j. 6 ; ; 9...<...< k. ; ;...<...<.... Aşağıdaki noktalı yerlere <, > veya = işaretlerinden uygun olanı yazınız.. < a 0 <... >... > 9,... = 0,... < 0,,6... > > 0, 9... > 9 sıralamasında a yerine yazılabilecek tam sayıları bulunuz > 8 0 < a 0 < 0 a = 9,,,,, İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 6

12 Ders 08 Rasyonel Sayılarda Sıralama ve Karşılaştırma.. ile + rasyonel sayıları arasındaki tam sayıları yazınız. ile rasyonel sayıları arasında olan üç farklı rasyonel sayı yazınız. 6., 6 <, Yukarıdaki sıralamanın doğru olması için a yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?. Yanda verilen tablodaki sayılardan 6 ile arasında olanların bulundukları kutucuklar boyanacak ve diğer kutucuklar silinecektir. 6 0 Buna göre oluşacak şekli çiziniz A = 9, B = 9, C = ve D = rasyonel sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız. 68 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

13 Test 08 Rasyonel Sayılarda Sıralama ve Karşılaştırma. Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi diğerlerinden. I. daha büyüktür? A) II III B) 9 C) Yukarıdaki noktalı yerlere gelebilecek semboller sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) <, =, > B) >, <, = C) >, =, > D) <, =, < A) B) 6 C) D) D). a = b = c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c > b > a B) b > a > c C) c > a > b D) a > b > c 6. x = y = z = r = 6 rasyonel sayıları sayı doğrusu üzerine yerleştirildiğinde ( 6) ya en yakın olanı hangisidir?. Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi diğerlerinden daha büyüktür? A) x B) y C) z D) r. a, b ve c birer negatif tam sayıdır.. < A < 9 a > b > olduğuna göre, aşağıdakilerden c sıralamasına göre, A rasyonel sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) 6 C) İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! D) hangisi doğrudur? A) c > b > a B) b > a > c C) a > c > b D) a > b > c 69

14 Test 08 Rasyonel Sayılarda Sıralama ve Karşılaştırma 8. < a 0 < Aşağıdakilerden hangisi yukarıda verilen sıralamada a yerine yazılabilecek sayılardan biri değildir? A) B) C) D) 9 9. a =, b =, c =, Yukarıdaki a, b ve c sayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) a > b > c B) b > a > c C) a > c > b D) c > b > a.,0 >,0X olduğuna göre X in alabileceği değerleri toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) 8. Aşağıdaki ondalık sayılardan hangisi bütüne en yakındır? A) 0,6 B) 0,6 C) 0,6 D) 0,6. 6 > > > Yukarıdaki sıralamanın doğru olabilmesi için hangi iki rasyonel sayının yeri değiştirilmelidir? A) 6 ile C) ile B) ile 6 D) ile. Aşağıdaki sayılar, sayı doğrusunda gösterildiğinde en soldaki sayı hangisi olur? A) B) C) 6. I II III IV L L L L D) Yukarıdaki varillerin içinde bulunan su miktarları üzerlerinde yazmaktadır. Buna göre hangi varilin içindeki su miktarı en fazladır? A) I B) II C) III D) IV. A = 0, B =, C = 0 sayılarından hangileri ile arasındadır? A) A ve B B) B ve C C) A ve C D) A, B ve C 0 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

15 Ders 09 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Bilgi Kutusu Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için paydaların eşit olması gerekir. Paydaları eşit olmayan rasyonel sayıların paydaları eşitlenir. Payların toplamı veya farkı paya yazılıp ortak payda, payda olarak alınır. a, b, c ve d tam sayılar c 0 d 0 için Örnek a c b a ± b ± = c c + ve + işleminin sonuçlarını bulalım. 6 Çözüm + = + = (paydalar eşit, paylar toplanır) Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım. + 6 = = 9 6 () () a) - = = b) 0 0 = () () () a b ± = c d (d) (c) ad ± bc cd (kesirler genişletilerek paydalar eşitlenir. - = 9 = c) - = = - d) = - 8 = () () Dikkat Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma işlemi yapılırken paydalar toplanmaz, çıkarılmaz. a b c + d = a + c b + d e) 6 + = + = f) 6 8 = () (8) 0-8 = 8 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

16 Ders 09 Rasyonel Sayılarda Sıralama ve Karşılaştırma a) 6 + = + b) 9 = c) 0 = 6 = = - 6 () () d) = = - e) + 6 = = 0 f) = - = - () () g) + 6 = 9 + = - 9 h) + = + - = ı) = = - + = - () () () () () () RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMiNİN ÖZELLİKLERİ Değişme Özelliği a ve c b d birer rasyonel sayı olmak üzere a b + c d = c d + a olduğundan rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır b + = + Bilgi Kutusu Birleşme Özelliği a, c ve e b d f a b [ + c d + e f [ + [ + 8 [ birer rasyonel sayı olmak üzere = [ a b + c d = [ + [ [ + e f = a b + c d + e f + + = işleminde yerine gelmesi gereken rasyonel sayıyı bulalım. H = olmak üzere + toplamının değerini bulalım olduğundan rasyonel sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır. İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

17 Ders 09 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma Bilgi Kutusu Etkisiz Eleman Özelliği a bir rasyonel sayı olmak üzere b a b + 0 = 0 + a b = a b olduğundan, rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz eleman özelliği vardır ve etkisiz elemanı 0 dır. Örnek Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulalım. a) 0 + = b) + 0 = - c) = - 8 Bilgi Kutusu Ters Eleman Özelliği Toplamları etkisiz elemanı yani 0 (sıfır) veren iki rasyonel sayı, toplama işlemine göre birbirinin ters elemanıdır. Rasyonel sayılarda toplama işleminin ters eleman özelliği vardır. Bir a b rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi a b dir. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım. a) + e o = 0 b) e o + = 0 Aşağıdaki işlemlerde boş bırakılan yerler uygun rasyonel sayıları yazalım. a) + e 9 + 6o = e +...o b) = c) e 8 o = 8 d) +... e- o = 0 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

18 Ders 09 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma Aşağıdaki işlemleri modelleyelim. a) Aşağıdaki işlemleri modelleyelim. a) - + = b) = + b) - = Dikkat Rasyonel sayılarla modelleme yapılırken bütünler eş seçilir. Yani aynı boyutlu şekiller kullanılır. + işlemini modelleyelim. 6 - = + + = 6 = = - = İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

19 Ders 09 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma Örnek + + işlemini sayı doğrusunda gösterelim. Çözüm Verilen rasyonel sayıların paydaları eşit ve olduğundan sayı doğrusunda tam sayılar arası eş parçaya ayrılır. 0 Örnek Sonuç = dir. 0 Yukarıdaki sayı doğrusunda gösterilen işlemi yazalım. Çözüm Verilen rasyonel sayıların paydaları eşit ve olduğundan sayı doğrusunda tam sayılar arası eş parçaya ayrılır. 0 Sonuç 8 + = 8 olur. İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

20 Ders 09 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma Aşağıdaki işlemleri sayı doğrusunda gösterelim. a) + 0 b) c) e o + e n = () d) e o + e n () Dikkat Paydaları eşit olmayan rasyonel sayılarla yapılan işlemler sayı doğrusunda gösterilirken paydalar eşitlenerek çizim yapılmalıdır. = e- o İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

21 Bil - Bul - Uygula Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını hesaplayınız. a. c. g. + = + 8 b = () () (6) () () + = d. e + o + e + o + e + o = + + = + = () () e. + = - + f. 0, + = 0, +, =,8 () = = 6 h., = = () (6) (). Aşağıda verilen sayıların toplama işlemine göre terslerini yazınız. a. 6 nin tersi... - b. 6 d. 8 in tersi... e. 8. Aşağıdaki eşitliklerde noktalı yerlere uygun rasyonel sayıları yazınız. a. e 8 o + = nin tersi... - c. 0 ın tersi... 0 ün tersi... f. 9 un tersi e- b. ( =... + ( + 8 o - 9. Aşağıdaki işlemleri sayı doğrusunda gösteriniz. a) = 68 -, + 0,6 = -,8-0 b) e o + e n İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

22 Ders 09 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma. Aşağıdaki işlem tablosunu uygun rasyonel sayılarla doldurunuz = + e o + 9 G + = G işleminin sonucu kaçtır?. e o + e o + e+ o e+ o işleminin sonucu kaçtır? 8. e+ o e o + e+ o + e o işleminin sonucu kaçtır? 9. rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi A; e- o = = e + 6 o + e o = = + = = + + = rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi B ve rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı C olmak üzere B+C-A işleminin sonucu kaçtır? - A = 8, B = -, C = = () = İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

23 Test 09 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma.. A 0 Yukarıdaki sayı doğrusunda ile arası, ile 0 arası, 0 ile arası eş parçaya bölünmüştür. Buna göre, A + B + C işleminin sonucu kaçtır? A) B B) 0 C) D) +, işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 9 D). e 9 o + = a + ^ h olduğuna göre, a kaçtır? 9 A) B) C) D) e o + e o işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) C = 0 C D) 8 Yukarıdaki eşitliğe göre, C yerine aşağıdakilerden hangisi yazılmalıdır? A) işleminin sonucu kaçtır? B) e o işleminin sonucu kaçtır? A) x B) C) C) 0 y D) 8 D) Yukarıdaki sayı doğrusunda ile 0 arası, 0 ile arası eş parçaya bölünmüştür. Buna göre, x y kaçtır? A) B) C) + e 6 + o işleminin sonucu kaçtır? D) A) B) 0 C) 6 D) A) B) C) 6 D). 8 0, işleminin sonucu kaçtır? İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! A),9 B),0 C),8 D),9 9

24 Test 09 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma. eşittir? A) rasyonel sayısı aşağıdakilerden hangisine B) 6 C). işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 8 D). e o sayısının toplama işlemine göre tersi ile. sayısının toplamı kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) Aşağıdaki sayılardan hangisinin toplama işlemine göre tersi olan sayı yukarıdaki balonlarda yazılı değildir?. 6. A), işleminin sonucu kaçtır? B) 8 6 C) 9 +? D) Verilen işlem ağacında? yerine gelmesi gereken rasyonel sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 6. Aşağıdaki sayı doğrusunda ardışık noktalar arası uzaklıklar eşittir. 0 Buna göre, bu sayı doğrusunda modellenen işlem aşağıdakilerden hangisidir? A) + e o = B) + ( ) = C) e o + = 9 A) B) 6 C) 8 D) 8 D) e o + ( ) = 9 80 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

25 Ders Rasyonel Sayılarda Çarpma Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi Örnek. işleminin sonucunu modelleme yaparak bulalım. Çözüm Kesir kartlarında ü yatay çizgilerle i dikey çizgilerle gösterelim ve bu iki kesir mode- lini üst üste yerleştirelim. x = Çizgilerin üst üste geldiği bölge çarpımın payını ifade ederken, kesir kartındaki eş parça sayısı da paydayı ifade eder. Örnek x = Yukarıdaki modellemeye karşılık gelen matematik cümlesini yazalım. Çözüm İlk kesir kartındaki rasyonel sayı, ikinci kesir kartındaki rasyonel sayı 6 gösteren kesir kartındaki rasyonel sayı 6 tür. modellenen işlem x 6 = 6 tür. İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! ve sonucu 8

26 Ders Rasyonel Sayılarda Çarpma Aşağıdaki çarpma işlemlerini modelle gösterelim. a) b) c) Bilgi Kutusu Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yapılırken payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılır. Eğer varsa sadeleştirmeler yapılarak çarpımın en sade hali yazılır. = = 6 = 8 Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım. a). = b) e o. = a. c b d = a.c b.d dir. c) 6.. e o = - Dikkat Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yapılırken payda eşitlenmez. Dikkat Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yapılırken tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. d). e o = e) = f). =. 8 =- 6 = = 6 8 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

27 Ders Rasyonel Sayılarda Çarpma Rasyonel Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri Bilgi Kutusu a, b, c, d birer tam sayı b 0 ve d 0 olmak üzere a b. c d = c d. a b, a.c b.d = a.c d.b olduğundan rasyonel sayılarla çarpma işleminin değişme özelliği vardır.. ve. Bilgi Kutusu işlemlerini çözerek sonuçlarını karşılaştıralım. a, b, c, d, e, f birer tam sayı b 0, d 0 ve f 0 olmak üzere a b. e c d. e f o = e a b. c d o. e f = a b olduğundan rasyonel sayılarla çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.. e. = 8. o ve e =. o..e. o = e. o = 8 6 e. o. =. = 8 6. = 8. c d. e f işlemlerini çözerek sonuçlarını karşılaştıralım. = İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 8

28 Ders Rasyonel Sayılarda Çarpma Bilgi Kutusu a ve b tam sayılar b 0 olmak üzere a b. =. a b = a b olduğundan rasyonel sayılarla çarpma işleminin etkisiz elemanı dir. Bilgi Kutusu a ve b tam sayılar, b 0 olmak üzere a b. 0 = 0. a b = 0 olduğundan rasyonel sayılarla çarpma işleminin yutan elemanı 0 dır. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım. a). = b). e o = - c) e o. 0 = 0 d). 0 = 0. e + o ve Bilgi Kutusu. +.. e + o =. e + o =. = 8 a, b, c, d, e, f tam sayılar b 0, d 0 ve f 0 olmak üzere işlemlerini çözerek sonuçlarını karşılaştıralım = + = + 0 = 8 8 a c e a. e + o =. b d f b c d a +. b e f a. c e a e o =. b d f b c d a. b e f Rasyonel sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. 8 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

29 Ders Rasyonel Sayılarda Çarpma Örnek. e + 0 o ve. e o işleminin sonuçlarını çarpma işleminin dağılma 0 özelliğini kullanarak bulalım.. Çözüm Rasyonel sayılarda çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliğini kullanırsak. e + 0 o ve = + 0 = 0 olur. (). e 0 o ve 0 0 = 0 = 0 olur. () Aşağıdaki çarpma işlemlerini, çarpma işleminin dağılma özelliğini kullanarak çözelim. a) b) c). e o =. e o =. e o =. -. = 6 - = 6 - () = = = = - 8 () (). -. = - = 9 - () = = d). e 8 o = = 8-6 = 6-6 () = 6 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 8

30 Ders Rasyonel Sayılarda Çarpma Bilgi Kutusu Rasyonel sayılarla çarpma işleminin ters eleman özelliği vardır. a ve b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere a b göre tersi b a dır. Aşağıdaki çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulalım. a) rasyonel sayısının çarpma işlemine. = b) e o. e o = c) 6. = d).( 6 ) = - sayısının çarpma işlemine göre tersi A dır. Buna göre A sayısı ile in çarpımının sonucu bulalım. A = A. =. = sayısının çarpma işlemine göre tersi K, sayısının toplama işlemine göre tersi L dir. Buna göre, K.L çarpımının sonucunu bulalım. Dikkat Bir rasyonel sayının, çarpma işlemine göre tersi ile çarpımının sonucu dir. Dikkat a. b b a = Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayının pay ile paydasının yer değiştirmiş halidir. - = - K = - K.L = -. - = L = - 86 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

31 Ders Rasyonel Sayılarda Çarpma. Aşağıda verilen işlemleri modelleyiniz. a).. Aşağıdaki çarpma işlemlerindeki boşluklara gelmesi gereken rasyonel sayıları yazınız. a. b. c. 8 9 d. e. = = e. - İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! b) 8.. =. = 0 f.. 0 = - 6. = g.. o. 8 9 = e. 8 9 o. h =. - =. Aşağıdaki işlemleri çarpma işleminin dağılma özelliğini kullanarak çözünüz. a). e + o d). e 6 o. +. = 8 + = + = = - 9 = - 9 () () () b). =. = = + = 6 + () c) = - + = -+ (). e + 8 o e) 6 =. e o f) =. e o = -9 + = -. e o. -. = - () () = - = = 8

32 Ders Rasyonel Sayılarda Çarpma. Aşağıda verilen eşitliklerin doğru olması için bilinmeyenlere karşılık gelen rasyonel sayıları bulunuz. İşlemin hangi özelliği belirttiğini yazınız.. = 9. B = C = 8. D =.A A =... - Özellik =... Değişme B =... 0 Özellik =... Yutan Eleman C =... Özellik =... Etkisiz Eleman D =... Özellik =... Ters Eleman. e + o =. +. E E =... Özellik =... Dağılma. sayısının çarpma işlemine göre tersi ile toplama işlemine göre tersinin çarpımı kaçtır? 6. Aşağıda modellenen çarpma işlemlerini yazınız. a. b. - = = 9. = 6 88 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

33 Test Rasyonel Sayılarda Çarpma. 0.e o işleminin sonucu kaçtır? A). A.e 9 o = 9 olduğuna göre, A sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 9.. A). 9 = B) 0 C) D) B) C) 0 D).a olduğuna göre, a kaçtır? Yukarıdaki işlemin sonucu kaçtır? A) 9 B) C) 0 D) 9 B) C) 6 D) 6. un çarpma işlemine göre tersi aşağıdakilerden 9 hangisidir? A) 9 B) 9 9 C) 9 D) e o işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) C) 8. (,6).. Aşağıdakilerden hangisinin sonucu diğerlerinden daha küçüktür?? Yukarıdaki şemada? yerine gelmesi gereken rasyonel A). 6 B). sayı kaçtır? 9. A) işleminin sonucu kaçtır? D) 6 D) B) x 9 x C) 9 C). D). A) B) C) D) 6 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 89

34 Test Rasyonel Sayılarda Çarpma. x x? 8 9 Yukarıdaki şemada? yerine gelmesi gereken sayı kaçtır? Yukarıdaki modellenen çarpma işleminin sonucunun kesir kartıyla gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 9. a =, b = ve c =. C) 9 olmak üzere (a.b c) işleminin sonucu kaçtır? A) 9 0. e 8. e + 9 o = B) 0. +.X C) 0 D) D) 9 0 Yukarıdaki eşitlikte X yerine gelmesi gereken sayı kaçtır? A) B). 9 o. = K. e 9. o C) D) 9 D). ( ).. işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D). (0,06 )..(0,) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 9 C) 8 D) A) B) C) x Yukarıdaki eşitlikte K yerine gelmesi gereken sayı kaçtır? A) 9 B) C) 8 D) 90 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

35 Ders Rasyonel Sayılarda Bölme Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi Örnek : işlemini modelleyerek çözelim. Çözüm * Bilgi Kutusu kesri, tane kesrinden oluşmaktadır. : =. = tür. Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken bölünen ile bölenin çarpma işlemine göre tersi çarpılır. a, b, c ve d sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere a b c d = a b : c d = a b Örnek. d c dir. : işleminin sonucunu modelleyerek bulalım. Çözüm Dikkat : işlemi rasyonel sayı- sının içinde kaç tane olduğunu anlamına gelmektedir. bütünün içinde 6 tane kesri vardır. O halde : = 6 dır. İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 9

36 Ders Rasyonel Sayılarda Bölme Örnek : işleminin sonucunu bulalım. Çözüm ile ün çarpmaya göre tersi olan i çarpalım. : =. = 6. Aşağıdaki bölme işlemlerini modelleyerek çözelim. a. :. Aşağıdaki bölme işlemlerini çözelim. a. b. : c. : e o d. e o : e o = : - = -. = 9 = 9 : b. e o : 8 9 : = 9. = - 8 : 8 = -. 8 = - - = - - : - = -. - = Bilgi Kutusu Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi Yapılırken; Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. Doğal sayı ve tam sayıların paydasına yazılır. + ve işaretlerine dikkat edilir. 9 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

37 Ders Rasyonel Sayılarda Bölme Aşağıdaki bölme işlemlerinin sonuçlarını bulalım. a. 0: = 0 b. 0: e = 0 = 0 Bilgi Kutusu 0 ın (kendi hariç) herhangi bir rasyonel sayıya bölümü 0 dır. Aşağıdaki bölme işlemlerinin sonuçlarını bulalım. o c. 0: d. 0: ( ) a. e o : b. : = c. :( ) d. e 8 9 o :( ) Bilgi Kutusu Herhangi bir rasyonel sayı e bölündüğünde sonuç kendisine eşit olurken, ( e) bölündüğünde sonuç bu rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi olur. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım. a. : 9 = - =. 9 b. : e o =. 9 = -. - = - = Dikkat Bir kesrin paydasının sıfır olması durumunda bu ifade tanımsız olur. Benzer şekilde bir rasyonel sayının sıfıra bölümüde tanımsızdır. Örnek 0 = tanımsız 0 = tanımsız = 0 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 9

38 Ders Rasyonel Sayılarda Bölme Bilgi Kutusu i, sıfır hariç herhangi bir rasyonel sayıya böldüğümüzde sonuç o rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersidir. a, b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere : a b =. b a = b a olur. Aşağıdaki işlemleri çözelim. a. : 6 0,8 rasyonel sayısının çarpma işlemine göre tersinin göre tersine bölümünü bulalım. 0,8 = 8 8 : f - o = 8. - = -8 8 = 6 içinde kaç tane olduğunu bulalım. b. ( ) : e o = - c. : e 8 o = - 8 d. 0 : e. 0 : e = 0 o f. ( ) : = - sayısının toplama işlemine Dikkat Çıkarma işlemi, toplama işleminin tersi olduğu gibi bölme işlemi de çarpma işleminin tersidir. = 6 6 : = 6. = 8 9 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

39 Ders Rasyonel Sayılarda Bölme m Yukarıda verilen m uzunluğundaki tahta Buna göre kaç parça elde edileceğini bulalım. = L L : =. = 8 metresi metre uzunluktaki eş parçalara ayrılıyor. Yandaki L petrol dolu varil ile L lik şişelerden kaç tanesinin tam olarak doldurulabileceğini bulalım. = TL olan bir kumaşın metresinin kaç TL olduğunu bulalım. İlk önce metresinin fiyatını bulalım 9 : 8 8 =. 8 = 6. 6 = : =. = 0 nin ün kaç katı olduğunu bulalım. : =. = 8 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 9

40 Bil - Bul - Uygula Rasyonel Sayılarda Bölme. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. : 9 = b. : = c. 6 : = = = : 9 = e. : e o = f. e 9 o : e o = g. 8 : ( ) = 8 h. ( ) : = -. - i. 8 = 8. - = - 9. Aşağıda verilen eşitliklerdeki harflerle gösterilen bilinmeyenlerin değerlerini bulunuz. a. 6 : A = 8. Aşağıdaki işlemleri modelleyiniz. a. : b. B: 6 = b. :. Aşağıdaki eşitliklerde bulunan boşlukları uygun rasyonel sayılarla doldurunuz. a. b = A = 8 =, =.. = -6 B = 9. 0, : = e. : 0 = : = f. ( ) : - = - 6 Tanımsız c. 9 : C = = 8 : 9 = = C = = 0 c. : = g. ( ) : 6 = 6 d. : = 0 h. : 8 0 = 8 96 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

41 Test Rasyonel Sayılarda Bölme. 0:e o işleminin sonucu kaçtır? 9. A) 9 6 B) 0 C) 9 işleminin sonucu kaçtır? D) 9 A) B) C) 6 D) 9. e : o. e : o işleminin sonucu kaçtır? A) B) 9. a = 0,6 ve b = 0, tür.. Buna göre, a + b C) D) 9 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 6 işleminin sonucu kaçtır?, 6. : e + o işleminin sonucu kaçtır? A) B) C). rasyonel sayısının ye bölümü kaçtır? A) B) D) C) D) 8. : e o = 0 eşitliğinde yerine gelmesi gereken rasyonel sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) 9. a = 0,0 0,00 olduğuna göre a b b = 0,0 0,00 işleminin sonucu kaçtır? A) 0, B) C) 0 D) 60 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! A) B) C) D) 9

42 Test Rasyonel Sayılarda Bölme. : A). A =. + işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? B = : + B) C) olduğuna göre A:B ifadesinin değeri kaçtır? A). B) C) sayısı aşağıdakilerden hangisine bölünürse sonuç diğerlerinden daha büyük olur? A) B) C). e o : işleminin sonucu kaçtır? A) 8 B). ( ) : e o işleminin sonucu kaçtır? D) D) D) C) D). x =, y = 6.. olmak üzere e x y + y x o : e x o işleminin sonucu kaçtır? y A) 9 B) 6 C) 6 8 : e o işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 :? D) 9 D) Yukarıdaki şemada? ile gösterilen yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) 6 B) 6 C) 6 D) sayısının toplama işlemine göre tersinin, 9 A) B) 6 sayısının çarpma işlemine göre tersine bölümü kaçtır? C) D) A) B) C) D) 98 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

43 Ders Rasyonel Sayılarda Çok Adımlı İşlemler Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler e + Örnek e o Çözüm. o e o işleminin sonucunu bulalım. İlk olarak parantez içindeki işlemleri yapalım. Bulduğumuz sonuçları yerlerine yazalım ve işlemin sonucunu bulalım. + = 6 + =, = =, = = tür.. () () 8 8 = = = 0 9 Bilgi Kutusu 8 8. = = dir. 9 9 Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemlerde hangi işlemin daha önce yapılacağı ( ), [ ] gibi ayraçlarla belirtilir. Yukarıdaki örnekteki çok adımlı işlem, ayraçlar kullanılarak >e + o. e oh : >e o H şeklinde de yazılabilir. Bu işlemin sonucu işlem önceliği dikkate alınarak bulunur. Hatırlayalım Birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlem önceliği,. Üslü sayılar. Parantez içi işlemler. Çarpma veya bölme. Toplama veya çıkarma Aynı önceliğe sahip birden fazla işlem olduğundan işlemler soldan sağa doğru yapılır. İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 99

44 Ders Rasyonel Sayılarda Çok Adımlı İşlemler +. :. : 6 işleminin sonucunu bulalım = = - 6 = 8 - = 0 0 (6) () işleminin sonucunu bulalım = = - 6 = 8 - = 0 0 işleminin sonucunu bulalım = - = - = - () () : 6 - =. 6 - = - - = = () () 0 işleminin sonucunu bulalım. Bilgi Kutusu Kesir çizgisi kullanılarak verilen işlemlerde, işlem önceliği en uzun çizgi yani ana kesir çizgisine göre belirlenir. - = = 0 =. 0 = 0 0 : 0 = 0. 0 = İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

45 Ders Rasyonel Sayılarda Çok Adımlı İşlemler = 8 +. = - = işleminin sonucunu bulalım. işleminin sonucunu bulalım. - = =. = 6 = + = - 6 = = e o. e o. e o... e o işleminin sonucunu bulalım. 0 e - o. e - o. e - o... e - 0 o e - o. e - o. e - = 6. = o... e o = Baloncuk Yöntemi = = 0 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

46 Bil - Bul - Uygula Rasyonel Sayılarda Çok Adımlı İşlemler. Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz. a. c f. [ + = d.. +. = () = = 6. [ - = 6 - = 9 () : + 6 = g = = (6) (). Aşağıda verilen çok adımlı işlemlerde bilinmeyenleri bulunuz. a. 9 = = b. 6 : e = 6 o = - 6 : 6 = = - = 9 x + = b. 9 x + = x = + d c. 6 a = d. 6 a - = - a = e e. + b + = a + = b = f. 6 b + = 6 9. = 9 () 6 + 0, + 0, 0 x = = = - = + = 0, - 0, 0, - 0, = - 0, -0,6 0 = - x - = - x - - = = + = d - = d - = d - = d = e = 8 - e = 8 - e = e = 6 x - = x - = x = 6 g. c - c = = 0 - c = 0 h. c = x + = = x + = + x + 6 = - x + = - x = - x + İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!

47 Test Rasyonel Sayılarda Çok Adımlı İşlemler. : e o işleminin sonucu aşağıdakilerden.. hangisidir? A) A) 6 A) 8 + İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! B) C) 0 D) işleminin sonucu kaçtır? B) 6 işleminin sonucu kaçtır? B) 8 C) 6 C) 6. + = 8 olduğuna göre, x kaçtır? 8 x D) D) 8 A) B) C) D) x = olduğuna göre x kaçtır? A) B) C) D) Yukarıdaki işlemin sonucu kaçtır? A) B) 8 C) 9 D) işleminin sonucunun çarpma işlemine göre tersi kaçtır? A) B) + A) C) işleminin sonucu kaçtır? B) C) D) D)

48 Test Rasyonel Sayılarda Çok Adımlı İşlemler 9. + A) B) A) B) A) 9. : işleminin sonucu kaçtır? C) 6 işleminin sonucu kaçtır? B). e + o. e + o. e + C) + işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? C) 9 o... e + o D) D) D) = olduğuna göre sayısı kaçtır? A) B) C) 8 D) = Yukarıdaki ifadede yerine gelmesi gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D). a = a a + A) olmak üzere işleminin sonucu kaçtır? 6. e + e o o.. e B) e + o o C) 6 D) 8 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) A) B) C) D) İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!