TOBB ETU Department of Economics IKT 262 Midterm Exam

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "TOBB ETU Department of Economics IKT 262 Midterm Exam"

Bariş Erol
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 TOBB ETU Department of Economics IKT 262 Midterm Exam Ayça Özdo gan 26 EKIM 2015 AD/SOYAD ve NUMARA: Sınav puan üzerindendir. Süreniz 120 dakikadır. Sınavda ders notları, kitap veya hesap makinesi kullanılamaz. Başkasının sınav ka gıdına, ders notlarına, kitaba veya cep telefonuna bakmak, sınavı alan di ger kişilerle konuşmak kopya çekmek olarak kabul edilecektir. 1

Sınavda ders notları, kitap veya hesap makinesi kullanılamaz.

2 1 Static Optimization - 40 points 1. Utility maximization problem (25 points) Diyelim ki bir tüketici iki üründen fayda sa glıyor: x ve y. Bu kişinin fayda fonksiyonu aşa gıdaki gibi verilmiş olsun. u(x, y) = ln x + 2 ln y Bu kişinin geliri I TL, x ürününün fiyati p x ve y ürününün fiyatı ise p y ile gösterilsin. Bu kişi bütçe kısıtını gözönünde bulundurarak faydasını maksimize etmek istiyor. (a) Bu kişinin optimizasyon problemini yazıp x ve y için talep fonksiyonlarını, x d (I, p x, p y ), y d (I, p x, p y ), Langrange yöntemiyle bulun. (x ve y yi sadece gelir ve fiyatların fonksiyonu şeklinde bulmanız istenmekte.) (10 puan) (b) Diyelim ki, kişinin geliri I = 240 TL, x in fiyatı p x = 2 ve y nin fiyatı p y = 4 verilsin. Bu fiyatlar ve gelir seviyesinde, kişinin faydasını maksimize eden x ve y de gerleri nedir? (2 puan) (c) Bütçedeki çok küçük bir artışın marjinal faydaya etkisi nedir (optimal noktadaki fayda de geri ne kadar de gişir)? (1 puan) 2

(a) Bu kişinin optimizasyon problemini yazıp x ve y için talep fonksiyonlarını, x d (I, p x, p y ), y d (I, p x, p y ), Langrange yöntemiyle bulun.

3 (d) Diyelim ki, kişinin geliri I = 240 TL, x in fiyatı p x = 2 ve y nin fiyatı p y = 4 verilsin. Ayrıca, bütçe kısıtının (budget constraint) yanında y ürününün 30 dan fazla üretilmemesi (ve dolayısıyla tüketilememesi) ve x in de en az 40 adet tüketilmesi kısıtları olsun. Yani bütce kısıtından başka aşa gıdaki eşitsizlik (inequality) kısıtları bulunsun: y 30 ve x 40 i. Bu durumda Langrangian i ve Kuhn-Tucker gerek (necessary) koşullarını yazın. (5 puan) ii. Hangi kısıt(lar) ba glayıcıdır? (Which constraint is binding?) Bu kısıtlar altındaki yeni optimal x, y de gerleri nedir? (7 puan) 3

tüketilmesi kısıtları olsun. Yani bütce kısıtından başka aşa gıdaki eşitsizlik (inequality) kısıtları bulunsun: y 30 ve x 40 i.

4 2. Revenue maximization problem (15 points) Diyelim ki bir firma bilgisayar üretiyor. Bilgisayarın miktarı q ile gösterilmektedir. Bilgisayar yapımında kullanılan üretim faktörleri (factors of production/ inputs), sermaye (kapital) K ve isgücü-emek-(labor) L olarak verilmiştir. Bilgisayarın fiyatı p, kapitalin fiyatı r (rental rate) ve isgücünün fiyatı w (wage rate) ile gösterilmektedir. Bu firma maksimum kazanc salatacak bilgisayar üretim miktarinı bulmak istiyor (The firm wants to maximixe its revenue from computer production). Ancak bunu yaparken üretim faktörlerine harcanmak üzere sadece 40 TL bütçe ayırmış durumda (the cost of production should be less than or equal to 40). Bu bütçe kısıtının yanında, üretim olanakları e grisi (production possibility frontier) şu şekilde veriliyor: K 2 + L Bilgisayarın birim fiyatı p = 1, sermaye ve eme gin birim fiyatları r = 2 ve w = 1, üretim fonksiyonu ise q = K 1 2 L 1 2 olarak verildi gine göre firmanın optimizasyon problemini yazıp bu problemi çözen optimal K ve L i de gerlerini bulun. Hangi kısıt(lar) baglayıcıdır? 4

Bilgisayarın fiyatı p, kapitalin fiyatı r (rental rate) ve isgücünün fiyatı w (wage rate) ile gösterilmektedir.

5 2 Differential equations - 40 points 1. Bir balık çiftli gindeki balık miktarının zaman içinde de gişimi şu differansiyel denklem ile verilmiştir: db dt = 24 3B (a) Yukarıdaki differansiyel denklem homojen olsaydı, genel çözüm B c (t) ne olurdu? (7 puan) (b) Yukarıdaki differansiyel denklemi çözebilecek (particular çözüm) B p (t) = k de geri nedir? (3 puan) (c) Balık miktarının zaman içinde izledi gi patikayı (time path) yani B(t) nin özel çözümünü, B(0) = 36 kabul ederek bulun. (4 puan) (d) Steady-state te (denge) balık miktarı nedir? Justify your answer! (4 puan) (e) Bu differansiyel denklemin phase-diagramını çizin. Yukarıda buldu gunuz steady-state (denge) kırılgan (stable) mıdır? Eksenlerini isimlendirmeyi unutmayın. (7 puan) 5

çözüm B c (t) ne olurdu? (7 puan) (b) Yukarıdaki differansiyel denklemi çözebilecek (particular çözüm) B p (t) = k de geri nedir?

6 2. Diyelim ki balık çiftli gindeki balık miktarının zaman içinde de gişimi şu differansiyel denklem ile verilmiş olsun: B (t) + 6B (t) + 5B(t) = 15 (a) Bu durumda t anındaki balık miktarı B(t) nin genel çözümünü bulun. (Ipucu: Once homojen durumdaki çözümü bulun, daha sonra particular çözüm bulun.)(5 puan) (b) Denge ne olabilir? Stabilite hakkında ne söyleyebilirsiniz? Justify your answer! (3 puan) 3. Diyelim ki balık çiftli gindeki balık miktarının zaman içinde de gişimi şu differansiyel denklem ile verilmiş olsun: db dt = B2 4B + 3 Bu durumda denklemi çözmeden denge hakkında ne söyleyebilirsiniz? Bu denklemin faz diagramını çizerek denge de ger(ler)inin stabilitesini belirleyin. Eksenlerini isimlendirmeyi unutmayın. (7 puan) 6

Stabilite hakkında ne söyleyebilirsiniz? Justify your answer! (3 puan) 3.

7 3 Optimal Control Theory - 20 points Aşa gıdaki sürekli-zaman maksimizasyon problemi verilmiştir. max u(t) 10 0 (y u 2 )dt s.t. y = 2u ve y(0) = 2, y(10) free. 1. Hamiltonian ı yazın. (3 puan) 2. Maksimum prensibindeki gerek şartları yazıp optimal control, state ve costate fonksiyonları u (t), y (t), λ (t) yi bulun. (12 puan) 3. y(10) free kısıtı yerine y(10) = 20 kısıtı verilmiş olsaydı u (t), y (t), λ (t) ne olurdu? (5 puan) 7

Maksimum prensibindeki gerek şartları yazıp optimal control, state ve costate fonksiyonları u (t), y (t), λ

8 4 BONUS - 10 points Optimal Kontrol- Sürekli zaman büyüme modeli Bir vekil tüketicinin (representative agent) t anındaki tüketimi ve bundan sa gladı gı fayda c(t) ve u(c(t)) = ln c(t) ile verilmiştir. Bu kişinin başlangıçtaki sermaye birikimi K(0) = 100 ve t zamanındaki geliri o anki sermayesinin getirdi gi faiz geliri (yani rk(t)) olsun, r faiz oranı. Bu faiz gelirinin c(t) miktarı tüketime aktarılmaktadir. Bu kişi için t anının de geri β ile discount edilsin. Buna göre, bu kişinin problemi: max c(t) T 0 e βt u(c)dt s.t. K = rk c ve K(0) = 100, K(T ) = Hamiltonian ı yazın, state ve control de gişkenleri nedir? (2 puan) 2. Pontryagin s maksimum prensipindeki gerekli şartları yazin. Costate de giskeni λ(t) nin ekonomik anlamını yorumlayın. (3 puan) 3. Yukarıdaki problemi çözen tüketim patikası (consumption path) c(t) yi bulun. (5 puan) 8

Bu faiz gelirinin c(t) miktarı tüketime aktarılmaktadir. Bu kişi için t anının de geri β ile discount edilsin. Buna göre, bu kişinin problemi: max c(t) T 0 e βt u(c)dt s.t. K = rk c ve K(0) = 100, K(T ) = 0.

Benzer belgeler

Sınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası

Sınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası March 16, 2017 [16:00-17:15]MATH216 First Midterm Exam / MAT216 Birinci Ara Sınav Page 1 of 6 Your Name / İsim Soyisim Your Signature / İmza Student ID # / Öğrenci Numarası Professor s Name / Öğretim Üyesi