SAYILAR VE TEMEL KAVRAMLAR

Transkript

1 Sayıları göstermeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,,5,6,7,8 ve 9 dur. N = {0,1,2,3,, n, n + 1, } kümesinin elemanlarına doğal sayı denir. En küçük doğal sayı 0 dır. N + = {1,2,3,, n, n + 1, } kümesinin elemanlarına sayma sayıları denir. En küçük sayma sayısı 1 dır. Pozitif tam sayılar kümesi: Z + = N + = {1,2,3, } dir. Negatif tam sayılar kümesi: Z = {, 3, 2, 1 dir. Soru 3: göre, A + B + C + D =? 1 den 9 a kadar olan rakamlar sadece birer kez boyalı olmayan kutulara yazılarak diyagram dışında verilmiş olan eşitlikler sağlanacaktır. Matematiksel işlem önceliği geçerli olduğuna Tam sayılar kümesi: Z = {, 2, 1,0,1,2, } dir. Z = Z {0} Z + dir. N + N Z dir. "0" pozitif ya da negati değildir. En büyük negatif sayı 1 dir. Soru 1: a ve b birer doğal sayıdır. 3a = 5b olduğuna göre, a + b toplamı en az kaç olur? a ve b birer tam sayı ve b 0 olmak üzere a b şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Q ile gösterilir. Virgülden sonraki kısmı tam olarak bilinmeyen sayılara irrasyonel sayı denir. Q ile gösterilir. İrrasyonel sayılar rasyonel olmayan sayılardır. Rasyonle sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine reel sayı denir. R ile gösterilir. R = Q Q ve N + = Z + N Z Q R Q R, Q Q = dir. 19 Örnek: 2, π gibi sayılar irrasyonel sayılardır. 0 2,0, 11, 5,, (2, 3) gibi sayılar rasyonel sayılardır. 3 9 Soru 2: x ve y sayma sayılarıdır. 2x + 3y = 2 olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır? 2, 9, (1, 2), 5 ve π sayıları reel sayılardır. Soru : a, b ve c pozitif gerçel sayılar olmak üzere, a. b + a. c = 5 a b + c = 5 olduğuna göre, a + b + c =? (2017 YGS) (3,6), (6,), (9,2)

2 2 ile tam bölünebilen tam sayılara çift tam sayılar, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayılar denir. Soru 6: a ve b doğal sayılardır b = 100 3a olduğuna göre, a sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? n bir tam sayı olmak üzere genel çift sayılar 2n, tek sayılar da (2n 1) ile ifade edilir. iki veya daha fazla tam sayının çarpımı tek tam sayı ise bütün çarpanlar tek tam sayıdır. iki veya daha fazla tam sayının çarpımı çift tam sayı ise çarpanlardan en az bir tanesi çift tam sayıdır. Ardışık iki tam sayının çarpımı çift tam sayı, toplamları tek tam sayıdır. 0! = 1, 1! = 1 ve n 2 için n! Çift tam sayıdır. Soru 5: a ve b birer tam sayı olmak üzere, I. a + b tek ise a. b çifttir. II. a + b çift ise a b çifttir. III. a. b tek ise a + b tektir. Soru 7: A = İfadesinde birinci çarpanların her biri 1 arttırıldığında A sayısı kaç artar? 1 ifadelerinden hangileri doğrudur? den ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni (veya çarpanı) olmayan 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Ardışık tam sayılar,1,2,3, gibi sayılardır. Aralarındaki fark ya 1 dir ya da -1 dir. Ardışık tek sayılar,1,3,5, gibi sayılardır. Aralarındaki fark ya 2 dir ya da -2 dir. Ardışık çift sayılar,0,2,, gibi sayılardır. Aralarındaki fark ya 2 dir ya da -2 dir. a: ilk terim, n: son terim, r: artış miktarı n + a a a + (a + r) + (a + 2r) + + n = ( ). (n 2 r n = n.(n+1) 2 I ve II + 1) 2 den başka çift asal sayı yoktur. 2 en küçük asal saydır. 1 den başka pozitif ortak böleni bulunmayan iki veya daha fazla tam sayıya aralarında asal sayılar denir. Soru 8: p bir asal sayı iken 2p + 1 sayısı da asal sayı ise p ye Sophie Germen asal sayısı denir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi Sophie Germen asal sayısıdır? A) 9 B) 13 C) 17 D) 19 E) 23 E 2

3 Soru 9: x + 5y ile y 3z sayıları aralarında asal sayılardır. 13x + 5y + 33z = 0 olduğuna göre, x + 6y 3z ifadesinin değeri kaçtır? Soru 12: a =!.8! b = 5!.7! c = 6!.6! olduğuna göre, küçükten büyüğe sıralayınız? 2 1 den n ye kadar olan ardışık sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir. n! = (n 1). n 0! = 1, 1! = 1, 2! = 1.2 = 2, 3! = = 6 Soru 10:! = = 2, n! = n. (n 1)! (n + 2)! + (n + 1)! (n + 1)! + n! ifadesinin en sade halini bulunuz? BASAMAK KAVRAMI A B C Birler Basamağı Onlar Basamağı Yüzler Basamağı şeklinde çözümlenebilir. ABC = 100A + 10B + C = 100A + BC = 10. AB + C c < b < a Soru 13: ab ve ba iki basamaklı sayılar olmak üzere, olduğuna göre, a. b =? ab + ba a b = 55 (n+1)(n+3) (n+2) Soru 11: a ve b doğal sayıları için a! b! = 120 olduğuna göre, kaç farklı (a, b) sıralı ikili vardır? Soru 1: abc üç basamaklı bir doğal sayı ve x gerçel sayıdır. a. x = 3,2, b. x = 2,, c. x = buna göre, abc. x çarpımının değeri kaçtır?

4 BÖLME a,b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere, Soru 17: Beş basamaklı 1xxyx sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, x + y toplamı en fazla kaç olur? işlemine pozitif tam sayılarda bölme denir. 0 k < b, a = b. c + k Soru 15: A ve B sayma sayıları için bölme işlemine göre, A nın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamını bulunuz? Soru 18: 53a ve 2a58 sayıları dört basamaklı sayılardır. 53a sayısı ile 2a58 sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, a kaçtır? 16 Soru 16: Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, M nin K türünden eşitini bulunuz? BÖLÜNEBİLME KURALLARI Birler basamağı 0,2,,6,8 olan sayılar 2 ile tam bölünür. Rakamları toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölününden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalanına eşittir. 50 K 9 12 Birler basamağı 0 ya da 5 olan tüm sayılar 5 ile tam bölünür. 2 ve 3 ile tam bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünür. Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür. Verilen sayının rakamları sağdan başlanarak bir +, bir işaretleri verilir. Elde edilen sayıların toplamı 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür. Soru 19: x7y dört basamaklı sayısı 6 ile tam bölünmektedir. Bu sayı 5 ile bölündüğünde 3 kalanını verdiğine göre, x + y toplamının en küçük değeri kaçtır? 6 Son iki hanesi ün katı olan sayılar ile tam bölünür. Bir sayının ile tam bölümünden kalan, son iki hanesinin ile bölümünden kalana eşittir. 10

5 Soru 20: Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre, m pozitif tam sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? Soru 23: Üç basamaklı abc sayısının sağına yazıldığında elde edilen dört basamaklı sayı 36 ile tam bölünebilmektedir. Eğer sayının soluna yazılırsa oluşan dört basamaklı sayı 55 ile tam bölünebilecektir. Buna göre, b kaçtır? 1 Soru 21: abc üç basamaklı sayısı için aşağıdakiler bilinmektedir. 9 ile bölümündne kalan 1 dir. 10 ile bölümündne kalan 9 dur. 11 ile tam bölünmektedir. Buna göre, a + b c ifadesinin değeri kaçtır? Bir doğal sayının asal çarpanlarını bulmak için bu doğal sayı bölünebildiği en küçük asal sayıdan başlayarak asal sayılara bölünür. a,b,c farklı asal sayılar ve x,y,z sayma sayıları olmak üzere A = a x. b y. c z sayısının, Pozitif bölen sayısı: (x + 1)(y + 1)(z + 1) 5 Aralarında asal iki sayıya ayrı ayrı bölünebilen bir sayı bu sayının çarpımıyla da tam bölünür. 2 ve 3 ile bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünürler 3 ve ile bölünebilen sayılar 12 ile tam bölünürler 3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile tam bölünürler ve 5 ile bölünebilen sayılar 20 ile tam bölünürler 3 ve 10 ile bölünebilen sayılar 30 ile tam bölünürler 1 Negatif bölen sayısı: (x + 1)(y + 1)(z + 1) Tam sayı bölen sayısı: 2. (x + 1)(y + 1)(z + 1) Asal bölen sayısı: a, b ve c olmak üzere 3 Soru 2: A = a sayısının pozitif bölen sayısı 1 tür Buna göre, A sayısı kaç basamaklı bir sayıdır? Soru 25: x ve y sayma sayısı 7 5 ve 9 ile bölünebilen sayılar 5 ile tam bölünürler Soru 22: Dört basamaklı 1A3B sayısı 5 ile tam bölünüyor Buna göre, A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? x. 10! = y 2 olduğuna göre, x in alabileceği en küçük değer kaçtır? 1 7 5

6 Soru 26: 1 den 8 e kadar olan doğal sayılar her satır ve sütunda iki sayı yer alacak şekilde yerleştirilecektir. Diyagramın dışındaki sayılar o satır ve sütunda görülen iki sayının çarpımını vermektedir. Buna göre, boyalı karelere yazılacak sayıların toplamı kaçtır? İki veya daha fazla doğal sayıdan her birini tam bölebilen en büyük doğal sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir. 16 Soru 28: Bir satıcı fiyatları aynı olan kazaklardan 1.gün 195 lik, 2.gün 156 lik, 3.gün ise 117 lik satıyor. Buna göre, bu satıcı en az kaç kazak satmıştır? Soru 29: Boyutları 28 cm, 2 cm ve 9 cm olan dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutunun içerisine bir ayrıtının uzunluğu cm cinsinden tam sayı olan küp şeklinde eş paketler yerleştirilecektir. Buna göre, hiç boşluk kalmayacak biçimde kutuya en az kaç paket yerleştirilebilir? 12 a < b için EBOB(a, b) = c ise c a < b dir. EBOB bulunurken asal çarpanların tabanı ortak olanlardan üstü küçük olan alınıp çarpılır. EBOB(a, b) = c ise a ve b, c nin katıdır. a = x. c ve b = y. c olup x ve y aralarında asaldır. Aralarında asal sayıların EBOB u 1 dir. Ardışık çift sayıların EBOB u 2 dir. Biri diğerinin tam katı olan doğal sayılarda küçük olan sayı EBOB tur. Soru 27: a ve b pozitif tam sayıları arasında a = EBOB(2012, b) bağıntısı vardır. Buna göre; I. a tek sayı ise b çift sayıdır. II. a çift sayı ise b de çift sayıdır. III. b çift sayı ise a da çift sayıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? (2012 YGS) İki veya daha fazla doğal sayıdan her birine tam bölünebilen en küçük doğal sayıya bu sayıların en küyük ortak katı denir. x < y için EKOK(x, y) = z ise x < y z dir. EKOK bulunurken asal çarpanların tabanı ortak olanlardan üstü büyük olan alınıp çarpılır. EKOK(x, y) = z ise x ve y, z yi tam bölen doğal sayılardır. Biri diğerinin tam katı olan doğal sayılarda büyük olan sayı EKOK tur. Soru 30: Bir durağa A,B ve C otobüsleri sırasıyla 2,0 ve 8 dakikada bir gelmektedir. Üçü birlikte durağa geldikten en az kaç saat sonra durağa tekrar birlikte gelirler? 168 II ve III 6

7 Soru 31: 1 den 6 e kadar numaralandırılmış 6 birim kareden oluşan aşağıdaki tabloda bazı kareler boyanacaktır. Soru 33: a < b < c pozitif tam sayılar, EBOB(a, b) = 6 ve EKOK(b, c) = 60 olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır? Numarası çift sayı olan kareler sarıya, 3 ün katı olan kareler kırmızıya, 5 in katı olan kareler ise maviye boyanıyor. Bir karenin yeşil olması için o kare yalnızca sarı ve maviye boyanacaktır. Buna göre, bu tabloda yeşil renkte kaç tane birim kare vardır? Günlük hayatta periyodik olarak tekrar eden durumlar Soru 3: Aşağıda 5 lambadan oluşan bir reklam panosu gösterilmiştir. 33 Soru 32: Kenar uzunlukları 30 cm ve 35 cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslar yan yana konularak bir kare oluşturulacaktır. Buna göre, en az kaç tane fayans gerekir. Panodaki lambalar lambasından başlayarak soldan sağa doğru, lambasından sonra ise sağdan sola doğru devamlı olarak yanıp sönmektedir. Örneğin lambalar, sırasında yanıp söndüğünde 13.sırada yanıp sönen lamba lambasıdır. Buna göre, 2019.sırada yanıp sönen lamba hangisidir? 2 A ve B sayma sayıları için EBOB(A, B). EKOK(A, B) = A. B dir. A ve B aralarında asal iki sayı için EBOB(A, B) = 1, EKOK(A, B) = A. B dir. Soru 35: 8 ayda bir uçak üreten bir firma 30. uçağını nisan ayında ürettiğine göre, ilk uçağını hangi ay üretmiştir? Aralık 7

8 Soru 36: Zeynep elindeki kağıda belli bir kurala uygun olarak aşğıdaki şekli çizip köşe noktalarını sırayla numaralandırıyor. Zenyep bu şekli periyodik olarak devam ettirdiğinde 98. ve 101.noktalar arasındaki şekli bulunuz? Soru 39: Eğer bir sayı rakamları toplamına tam olarak bölünebiliyorsa bu sayıya Harshad sayısı denir. A 0 olmak üzere (12A) üç basamaklı sayısı bir Harshad sayısıdır. Buna göre, A kaçtır? SİHİRLİ SAYILAR Soru 37: n bir pozitif tam sayı olmak üzere, 2 n. n 1 formundaki sayılara Woodall Sayıları 2 n. n + 1 formundaki sayılara Cullen Sayıları denir. SAYISAL MANTIK Soru 0: Kare bir yüzey, siyah ve beyaz kare mozaiklerle kaplanarak aşağıda verilen şekil elde edilmiştir. 6 Buna göre, baştan 8. Woodall sayısı ile baştan 10. Cullen sayılarının toplamını bulunuz? Soru 38: Bir sayının soldan birinci rakamı o sayıda toplam kaç adet 0 rakamı kullanıldığını, ikinci rakamı o sayda kaç adet 1 rakamı kullanıldığı,.. vb. gösteriyorsa o sayıya Otobiyografik sayı denir. Buna göre, şekilde 29 tane siyah kare mozaik varken toplamda kaç tane mozaik vardır? Buna göre, en küçük Otobiyografik sayının rakamları toplamı kaçtır? 225 8

9 Soru 1: Şekilde çözümü verilmiş bir mayın tarlası oyunu görülmektedir. Soru 2: Oyunun kuralları; Üzerinde mayın olmayan her karenin içerisinde bir rakam bulunmaktadır. Bu rakamlar çaprazındaki ler de dahil olmak üzere, o kutucuğun komşularından kaç tanesinde bomba olduğunu belirtir. Yukarıdaki verilenlere göre, İki oyunculu bir oyunda başlangıçta masaya 10 tane oyun pulu konuyor. Bir oyuncu bir hamlede en az bir en çok iki adet pulu masadan alıyor. Oyuncular hamleleri sıra ile yapıyorlar. Masadan son pulu alanın kazandığı bu oyun için aşağıdaki yargılardan hangisi ya da hangileri doğrudur? I. Oyuna ilk başlayanın kazandığı bir strateji daima vardır. II. Oyuna ikinci başlayan her hamlede 1 pul alırsa daima kazanır. III. Oyuna ilk başlayan ilk hamlede 2 pul alırsa daima kazanır. şekilde okla gösterilen satırdaki kutuların içindeki rakamların toplamı kaçtır? 5 Yalnız I 9