) dizisinin kaçıncı terimi 4 tür?

Transkript

1 Soru : Genel terimi Diziler, değer kümelerine göre isimlendirilir. f: N + R ye tanımlı f fonksiyonuna reel sayı dizisi denir. 4n + 1, n 0 (mod ) (a n ) = { n, n 1 (mod ) n 1, n (mod ) olan dizi için a 5 + a 6 toplamı nedir? Tanım Kümesi: {1,,, 4, } (a n ) ifadesine genel terim ya da n.terim denir. (a n ) = (n + n + 1) ise a 1 =, a = 7, a = 1, Soru 1: (a n ) = (n + n 1) dizisinin ilk üç teriminin toplamı nedir? Soru 4: (a n ) = ( n+7 ) dizisinin kaçıncı terimi 4 tür? n+1 49 Soru 5: (a n ) = (n 1) + olduğuna göre, a 4 + a 5 =? 9 Soru : Genel terimi a n = n olan dizinin 10. Ve 0. Terimlerinin toplamı nedir? 41 Soru 6: (a n ) = ( n 8 çarpımı kaçtır? ) dizisinin ilk 10 teriminin n+ 65 0

2 Soru 7: Aşağıdakilerden hangileri bir dizi belirtir? ( 1 n ) = (log n) = (sin(n + 1)) = ( n+1 ) = ( 4 n ) = ( 1 n 4 ) = ( 4 7 ) = ( n 1 n+ ) = ( n 5 n ) = ( 4n 15 ) = ( 1 n 1 ) = Soru 10: n N + ve n > 1 için a n = n+ n+. a n 1 ve a 1 = ise a 1 nedir? Soru 11: Genel terimi a n = 5 n. (n!) olan bir dizide a n, a n 1 in kaç katıdır? 1 Soru 8: n N + ve n > 1 için a n = a n 1 + n ve a 1 = 5 ise a 10 nedir? Soru 1: (a n ) = ( n+5 ) dizisinin kaç terimi tam n+ sayıdır? 5n 11 Soru 9: n N + ve n > 1 için a n = a n 1 + ve a 1 = ise a 40 nedir? Soru 1: (a n ) = ( n +n+9 ) dizisinin kaç terimi tam n+ sayıdır? 10

3 Soru 14: (a n ) = ( n +n+0 ) dizisinin kaç terimi n+ pozitiftir? Soru 17: (a n ) = ( 5n+17 ) dizisinin kaç terimi 6 ile 8 n+1 arasındadır? 4 7 Soru 15: (a n ) = n n 1 dizisinin kaç tane terimi n+5 negatiftir? Soru 17: (a n ) = ( n+6 n+ ) dizisinin bir terimi 9 4 olduğuna göre bundan önceki terimi bulunuz? 16 7 NOT: Bir dizinin sonlu dizi olduğu belirtilmedikçe, her dizinin terim sayısı sonsuz elemanlıdır. Sabit Dizi: Bütün terimleri birbirine eşit olan dizidir. Soru 16: (a n ) = (n 8n + 10) dizisinin kaç terimi ten küçüktür? (a n ) = (k, k, k,, k, ) (a n ) = ( bn+c dn+e ) dizisi sabit dizi ise b d = c e dir. Soru 18: (a n ) = ( n k ) dizisi sabit dizi ise k ne n+ olmalıdır? 9 5

4 Soru 19: (a n ) = ((m )n + (k + m 6)n + 5) dizisi sabit dizi olduğuna göre m. k kaçtır? Soru : Bir (a n ) dizisinde her n N + için a 1 = 5 ve a n+1 = a n 5 olduğuna göre dizinin 4.terimini bulunuz= 8 Soru 0: (a n ) = ( kn ) dizisi sabit bir dizidir. Buna göre 4n+1 k + a ün toplamı kaçtır? Soru : a 1 = ve n 1 için a n+1 = 5a n indirgeme bağıntısı ile verilen dizinin genel terimini bulunuz? -10 Eşit Dizi: n N + için (a n ) = (b n ) ise bu dizilere eşit dizi denir. 15 a 1 = b 1, a = b, a = b,.5 n 1 Soru 1: (a n ) = ( n n+1 ) ve (b n) = ( 4n k n+ ) dizilerinin eşit olması için k kaç olmalıdır? Soru 4: Bir (a n ) dizisinde n N + için a 1 = 0, a n+1 = a n + olduğuna göre a 5 =? 10 İndirgemeli Diziler: Bir terimi kendinden önceki terimler cinsinden tanımlanan dizilere indirgemeli diziler denir. 6 Soru 5: (a n ) dizisinde (a n ) (a n 1 ) = (a n ) + 1 olduğuna göre a 5 =? 1

5 Soru 6: (a n ) dizisinde a 1 = 6 ve a n+1 a n = 1 olduğuna göre a 1 =? Karesel Sayılar: Karakekökü bir sayma sayısı olan pozitif tam sayılara karesel sayılar denir. Bir Dizinin En Küçük ve En Büyük Teriminin Bulunması Soru 7: (a n ) = (n 6n 7) dizisinin en küçük terimini bulunuz? 1 Fibonacci Dizisi: İlk terimi hariç kendinden önceki terimin toplanması ile oluşan sayı dizisine fibonacci dizisi denir. Soru 9: Fibonacci sayı dizisinin ilk 5 teriminin toplamını bulunuz? Soru 8: (a n ) = ( n + 10n + 8) dizisinin en büyük terimini bulunuz? 16 Soru 0: 101 den küçük kaç karesel sayı ve üçgensel sayı vardır? 1 Üçgensel Sayılar: Ardışık ilk n sayma sayısının toplamını veren sayılara üçgensel sayılar denir. Soru 1: 10,1 Biçiminde verilen üçgesel sayıların 8.terimini bulunuz? 6

6 Soru : (a n ) = ( n+1 ) ve (b n n) = ( n ) gerçek sayı n+1 dizileri için aşağıdaki işlemleri yapınız? a) (a n ) + (b n ) =? Soru : (a n ) = n! olduğuna göre a n+ oranını bulunuz? 8 n a n b) (a n ) (b n ) =? c) 4(a n ) + (b n ) =? n +n+ Soru 4: Terimleri {,7,11,15, } şeklinde olan dizinin 15. terimini bulunuz 64 d) (a n ). (b n ) =? e) (a n ) (b n ) =? Soru 5: Terimleri {,6,18,54, } şeklinde olan dizinin 9. terimini bulunuz 59 f) (b n ) (a n ) =?. 8

7 Aritmetik Dizi: Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit bir sayıya eşit olan dizilere aritmetik diziler denir. a a 1 = a a = = a n a n 1 = r Soru 9: a 1 = 7 ve a 1 = 6 olan bir aritmetik dizide a 0 =? r : ortak fark Genel Terim: a n = a 1 + (n 1). r Soru 6: İlk terimi 1, ortak farkı 7 olan aritmetik dizinin genel terimini bulunuz? 50 Bir artimetik dizide bir terim kendinden eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir. Yani Soru 7: Genel terimi a n = 5 n olan aritmetik dizinin ilk terimi a 1 ve ortak farkı r dir. Buna göre a 1 + r =? 5+7n a n = a n p+a n+p Soru 40: a 5 = 17, a 17 = 47 olan bir aritmetik dizinin 11 üncü terimi kaçtır? Soru 8: 14 ve 50 arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak biçimde 11 terim daha yerleştirilirse bu dizinin 9 uncu terimi kaç olur? Soru 41: a 6 + a 14 = 8 ve a 10 + a 1 = 60 olduğuna göre, a 1 =? 8 19

8 Aritmetik Dizinin Özellikleri (a n ) = a 1 + (n 1)r P. Terimi belliyse (n > p) ise a n = a p + (n p). r İlk n terimin toplamı S n olmak üzere S n = n (a 1 + a n ) Soru 45: İlk n teriminin toplamı S n dizide, S n+ S n+1 = n + 1 ise bu dizinin genel terimini bulunuz? Soru 4: (a n ) aritmetik dizisinde a 0 terimini a 1 türünden yazınız? a 1 + 8r Soru 4: Genel terimi a n = 4n olan bir aritmetik dizinin ilk 1 teriminin toplamı kaçtır? n 5 Soru 46: Bir aritmetik dizide a 1 = 10, a 7 + a 1 = 190 olduğuna göre a 10 =? 1.4 Soru 44: Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı, S n = n + 7n olduğuna göre bu dizinin 5. Terimi kaçtır? Soru 47: (a n ) bir aritmetik dizidir. a = 7 ve a 5 + a 6 + a 7 + a 8 = 16 olduğuna göre a 1 =?

9 Soru 48: Bir sinema salonunda ilk sırada 14 otruma yeri ve en son sırada 50 oturma yeri vardır. Her sıradaki otruma yeri bir öncekinden fazla olduğuna göre bu sinema salonu kaç kişiliktir? Soru 51: a 1 = 5, a n = 5 10 olan geometrik dizide ortak çarpanı 5 olduğuna göre n kaçtır? Ortak Çarpanı Bulmak İçin Geometrik Dizi: Ardışık iki terimin oranı aynı olan dizilere geometrik dizi denir. a = a = = a n+1 = r a 1 a a n r : ortak fark Genel Terim: a n = a 1. r n 1 Soru 49: İlk terimi 5 ve ortak çarpanı 5 olan bir geometrik dizinin genel terimini bulunuz? Ardışık iki terim verildiğinde r = a n+1 a n Herhangi iki terim verildiğinde r k p = a k => a a k = a p. r k p, k > p p Soru 51: Üçüncü terimi 8 ve onuncu terimi 1 olan bir 16 geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır? Soru 50: a 1 = 9, r = olan geometrik dizide a 11 =? 5 n+1 Soru 5: (a n ) bir geometrik dizi, a 4 = 0 ve a 7 = 40 olduğuna göre, dizinin ortak çarpanını bulunuz? 1 1

10 NOT: Sonlu (a n ) = (a 1, a, a,, a n ) geometrik dizisinde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir. a 1 a a a 4 a 5 a 6 Soru 55: İlk terimi k ve n.terimi 1 olan bir geometrik k dizinin ilk n teriminin çarpımını bulunuz? a 1. a 6 = a. a 5 = a. a 4 NOT: Bir geometrik dizide bir terimin karesi kendisinden eşit uzaklıkta bulunan iki terimin çarpımına eşittir. (a n ) = a n 1. a n+1 1 (a n ) = a n 5. a n+5 (a 1 ) = a 15. a 11 = a 8. a 18 Soru 5: 6 terimli bir geometrik dizide Soru 56: 5 ile 16 arasına bir geometrik dizi 15 oluşturulacak şekilde terim yerleştirdiğimizde bu dizinin. Terimini bulunuz? a 1. a. a. a 4. a 5. a 6 = 7 8 olduğuna göre a. a 4 =? 4 5 Soru 54: (a n ) geometrik bir dizi (a 15 ) = a 9. a n olduğuna göre n kaçtır? Bir (a n ) = (x, y, z) dizisi hem aritmetik, hem de geometrik dizi ise x = y = z olur. Soru 57: x + 1, x 9, y + 4 sayıları hem geometrik, hem aritmetik dizi oluşturuyorsa, x + y =? 6

11 İlk n terim toplamı S n olmak üzere S n = a 1. rn 1 r 1 Soru 58: (a n ) bir geometrik dizi olmak üzere, a 1 = ve r = 1 olduğuna göre ilk 5 terimin toplamını bulunuz? Soru 61: Bir geometrik dizide S 10 =. S 5 olduğuna göre r=? Soru 6: Bir laboratuvara alınan deney faresi her 15 günde bir çift yavru yapmaktadır. Buna göre lavoratuvarda ay sonra kaç tane fare olur? 9 16 Soru 59: İlk terimi 8, dördüncü terimi 64 olan bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır? 79 1 Soru 60: a, 5, b bir aritmetik dizinin ardışık ilk üç terimi, a, 4, b bir geometrik dizinin ardışık ilk üç terimidir. Buna göre a + b =? Soru 6: Bir bakteri çeşidinin nüfusu uygun bir ortamda her saatte bir üçe katlanmaktadır. Başlangıçta uygun ortamda 10 adet olan bakteri sayısı, 9 saat sonra kaç tane olur?

12 Soru 64: Bir geometrik dizide a 5 a 8 = 1 7 ve a + a 5 = 70 olduğuna göre a 1 =? Soru 65: Aşağıda verilen ifadeleri sembolü ile yazalım. a) = b) = c) = Soru 66: ifadesinin değerini bulunuz? Sonsuz Toplam r < 1 için 1 + r + r + r + = 1 1 r Soru 65: toplamının sonucu 4 8 kaçtır? Soru 67: ifadesinin değerini bulunuz? 4 Toplam Sembolü m, n N ve a k R olmak üzere m a k Soru 68: toplamının sonucu nedir? 5 k=n İfadesi k=n den m ye kadar a k sayılarının toplamı diye okunur. 0 a + a 4 + a a 0 = a k k= = k k=5 n (n 1) = (k 1) k=1 1 4

13 Soru 69: toplamının r = 1 için n büyürken yaklaştığı değeri bulunuz? h: topun ilk yüksekliği a: yükselme oranı olmak üzere topun alacağı yol: h. ( 1+a 1 a ) (Soru 71.yol olarak bu şekilde çözebiliriz) 1 Soru 70: Bir lastik top yerden 0 m yükseğe atılıyor. Yere her dokunduğunda önceki yüksekliğinin 1 ü kadar zıplıyor. Buna göre lastik topun aldığı toplam yolun kaç m olduğunu bulunuz? Soru 7: Bir kenarının uzunluğu 9 cm olan eşkenar üçgenin orta noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen elde ediliyor. Bu işlem yeni elde edilen üçgenlere de uygunalarak sınırsız sayıda üçgen elde ediliyor. Bu üçgenlerin çevrelerinin toplamını bulunuz? 40 Soru 71: 16 metre yükseklikten serbest bırakılan bir top her defasında bir önceki düştüğü yüksekliğin i kadar 5 zıplıyor. Hareket bitinceye kadar top kaç m yol alır? Soru 7: Taksitle 15 ye alınan akıllı telefonun borcu birinci ay 100, ikinci ay 15, üçüncü ay 150 gibi artırılarak ödenecektir.buna göre telefonun borcunun kaç ayda biteceğini bulunuz?

14 Soru 74 (017 LYS): (a n ) bir aritmetik dizi olmak üzere Soru 76 (016 LYS): a 10 + a 7 = 6 a 9 a 6 = 1 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, a 1 =? Soru 75 (016 LYS): (a n ) bir geometrik dizi olmak üzere, a 5 a 1 (a ) (a 1 ) = 4 9 eşitliği veriliyor. a = olduğuna göre a 4 =? 1 16 Soru 77 (01 LYS): 8

15 Soru 4: Soru 1: (a n ) = ( 5n+4 ) dizisinin 4.terimi kaçtır? n 5 (a n ) = ( n 5n 4 ) dizisinin kaç terimi negatiftir? n 8 Soru : Genel terimi 5n, n 0 (mod ) (a n ) = { n + 1, n 1 (mod ) 4n 8, n (mod ) olan dizi için a 7 + a 8 a 9 ifadesinin eşiti kaçtır? Soru 5: Genel terimi (a n ) = ( 5n 6 ) olan dizinin kaç n+1 terimi den büyük 4 den küçüktür? Soru 6: Genel terimi (a n ) = log (n 1) olan dizinin kaç terimi (4,5) aralığındadır? Soru : (a n ) = (sin nπ ) ise a 1 + a + a + + a 5 toplamı kaçtır? 1 5

16 Soru 7: (a n ) = ( 5n+18 ) dizisinin tam sayı olan n+ terimlerinin toplamı kaçtır? Soru 10: Genel terimi a n = n dizisinin 4. ve 7. terimlerinin toplamı kaçtır? 8 Soru 8: (a n ) = (a + b + 1)n + (a b 9)n + ab dizisi sabit dizi olduğuna göre a =? 1 Soru 11: n N + için a 1 = ve a n = a n+1 n göre a 9 =? olduğuna -6 Soru 9: (a n ) = ( an bn+10 ) dizisi sabit dizi olduğuna n+ göre a + b =? Soru 1: İlk terimi 1, ortak farkı olan aritmetik dizinin 8. terimi kaçtır?.8! -15

17 Soru 1: a 1 = 5 ve a 1 = 8 olan bir aritmetik dizide a 0 =? Soru 16: (a n ) bir aritmetik dizi olmak üzere, a 8 + a 1 + a 15 + a 0 = 48 olduğuna göre a 14 =? 5 Soru 14: (a n ) bir aritmetik dizi olmak üzere, a a 1 = 10 ve a 5 + a 7 = 1 olduğuna göre a 9 =? Soru 17: İlk terimi a, ortak farkı r olan bir aritmetik dizi veriliyor. Bu dizinin ilk on altı terimi toplamı, ilk on terimi toplamının katıdır. Buna göre a r =? 1 1 Soru 15: x, x + 4, 5x bir aritmetik dizinin ardışık ilk üç terimidir. Buna göre a 5 =? Soru 18: Bir dik üçgenin kenarları, ortak farkı olan bir aritmetik dizinin üç terimi olduğuna göre, bu dik üçgenin hipotenüse ait kenarortay uzunluğunu bulunuz?

18 Soru 19: Bir aritmetik dizide S n ilk n terimin toplamını göstermektedir. S 9 S 6 = 10 olduğuna göre, a 8 =? Soru : a b, ab, a b dizisinin hem aritmetik hem geometrik dizi olabilmesi için b nin değeri kaç olmalıdır? (a. b 0) 4 Soru 0: Altıncı terimi 18, ortak çarpanı olan bir geometrik dizinin ilk terimi kaçtır? Soru : Bir geometrik dizinin ilk 11 teriminin çarpımı 11, ilk 10 teriminin çarpımı 9 dur. Buna göre a 11 =? 5 Soru 1: Pozitif terimli bir (a n ) geometrik dizisinde a 5 +a 6 = 1 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı a 7 a 5 5 kaçtır? 7 Soru 4: Pozitif terimli bir (a n ) geometrik dizisinde, a 9 = 1. cos 75, a 5 =. sin 75 olduğuna göre a 7 =? 9 6

19 Soru 5: İlk terimi 5 olan bir geometrik dizinin ilk n terim toplamı S n dir. a 7 göre bu dizinin a n =? a 4 = 8 ve S n S n = 1 9 olduğuna Soru 7: ile 18 arasına uygun olan 5 sayı yerleştirilerek yedi sayıdan oluşan pozitif terimli bir geometrik dizi oluşturuluyor. Buna göre a 9 =? Soru 6: 160 Soru 8: Bir kenarı cm olan bir eşkenar üçgenin kenar orta noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen oluşturuluyor. Bu işlem elde edilen her üçgene sonsuz defa uygulandığında oluşacak tüm üçgenlerin alanları toplamı kaç cm dir? 9 Şekilde bir kenarı 4 cm olan bir karenin sağına her birinin bir kenarı solundaki karenin bir kenarının yarısı olacak şekilde sonsuz adet kare çiziliyor. Buna göre oluşan karelerin çevreleri toplamı kaç cm dir? 19 4

20 Soru 9: Yarıçapı 8cm olan bir çemberin içine her birinin yarıçapı bir öncekinin yarısı olacak şekilde sonsuz çoklukta çemberler çiziliyor. a) Çizilen tüm çemberlerin çevreleri toplamı nedir? Soru 1: 50 liraya aldığı beyaz eşyanın borcunu ilk ay 0, ikinci ay 40 ve üçüncü ay 60 gibi artırarak ödemeyi planlayan bir kişinin borcunun kaç ay sonra biteceğini bulunuz? b) Çizilen tüm çemberlerin alanları toplamı nedir? π Soru : 11 Soru 0: Bir ağaç fidanı birinci yılda metre boyuna erişiyor. Bundan sonraki her yıl bir önceki yılın ü kadar uzuyor. Buna göre bu ağacın boyunun en çok kaç metre olacağını bulunuz? 56π 6m 64

21 Soru : Soru 6: 5 Soru 7: (a n ) bir geometrik dizi olmak üzere, Soru 4: (a n ) = ( n. (n!)) olduğuna göre, a n+1 terimi, a n teriminin kaç katıdır? a 7 a 1 (a 4 ) (a 1 ) = 1 eşitliği veriliyor. a = 1 olduğuna göre a 5 =? 48 Soru 5: (a n ) = (n ) olduğuna göre, a 1 + a + a + + a 0 =? (n + 1) Soru 8: (a n ) pozitif terimli bir geometrik dizi ve a 5 + a 8 = 108 a + a 6 = 7 olduğuna göre a 1 =? 590 4