Bölüm 3 Enerji, Güç, Evrişim(Katlama), Sistemler. Sinyallerde Enerji ve Güç (Sürekli Zamanlı Sinyaller)

Transkript

1 Bölüm 3 Enerji, Güç, Evrişim(Katlama), Sistemler Sinyalin enerjisinin ve gücünün bilinmesi iletişimde önemli bir husustur. Birçok performans kıstası alıcıdaki sinyal gücünün gürültü gücüne oranı temel alınarak yapılır. Enerji, bir sinyalin belli bir zaman aralığında dağıtmış olduğu toplam güçtür. Sinyallerde Enerji ve Güç (Sürekli Zamanlı Sinyaller) Anlık Güç: x(t) sürekli zamanlı sinyalinin anlık gücü ( ) ( ) olarak hesaplanır. Toplam Enerji: Anlık gücü bilinen sinyalin toplam enerjisi aşağıdaki gibi hesaplanır. lim ( )

2 Ortalama Güç: Toplam enerjisi bilinen bir sinyalin ortalama gücü aşağıdaki gibi hesaplanır. lim ( ) Periyodik bir sinyal için ortalama güç şu şekilde hesaplanır. ( ) Örnek: ( ) ( ) birim adım sinyalinin, a. Anlık gücünü b. Ortalama gücünü c. Toplam enerjisini bulunuz. Çözüm: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b. lim ( )

3 lim ( ) lim ( ) lim (t )= lim ( ) lim c. lim ( ) =lim ( ) lim (t )= lim Örnek: Yukarıda verilen x(t) sinyalinin: a) Anlık gücünü, b) Ortalama gücünü ve c) Toplam enerjisini hesaplayınız.

4 b. Ortalama güç lim ( ) lim [ (3 ) ] lim ( ) lim 3 (3 ( ) 3 ( ) lim [ 3 3 ]

5 . lim ( ) (3 ) ( ( ) ) Örnek: ( ) ( ) sinyalinin enerjisini ve ortalama gücünü hesaplayınız. Çözüm: ( ) ( ) lim ( ) ( ) Sinyalin enerjisi x (t) fonksiyonunun altındaki alanı bulmak demektir = Integral almaya eşdeğer ( ) Her zaman pozitif değerlerden oluşacaği için, bu alanın değeri sonsuzdur.

6 ( ) ( ) sin x cos x özelliğini kullanarak cos ( ) cos ( ) [ cos ( ) ] [ sin ( ) ] = [ sin ( ( ) ) sin ( ( ) )] = Sinüs ifadeleri sıfırdır.

7 Ayrık Zamanlı Sinyallerin Enerji ve Güçleri Anlık Güç: ( ) ( ) Sürekli zamanlı Toplam Enerji: sinyaller için E ( ) E =lim x (t)dt Ayrık zamanda integral yerine toplama yapılıyor! Ortalama Güç: lim ( ) Periyodu N olan bir sinyalin ortalama gücü şu şekilde bulunur: P N N x (n) n

8 Örnek: ( ) ( ) sinyalinin anlık gücünü, ortalama gücünü ve enerjisini bulunuz. Çözüm: Anlık güç: ( ) ( ) ( ) 2 =( ) =1 n=0,1,2,3,... değerleri için Ortalama Güç: lim lim Enerji: ( )

9 Evrişim (Convolutin) Sürekli Zamanlı Sinyallerin Evrişimi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Evrişim işlemi Sürekli zamanlı sinyallerin evrişimini işlemeyeceğiz. Ayrık Zamanlı Sinyallerin Evrişimi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Örnek: ( ) {3,, } ve ( ) {,, } n=0 n=0 Fonksiyonlarının matematiksel olarak evrişimini bulunuz. Çözüm: ( ) ( ) ( )

10 ç : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) (3). ( ). ( ). ( ). ç : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3). ( ). ( ). ( ). ç : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3). ( ) ( ). ( ). ç : ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3). ( ). ( ) ( ).

11 3 ç : (3) ( ) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ç : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) (3) ( )

12 Method 2: Kaydırma Yöntemi

13 Özellik: f(n) ve g(n) fonksiyonlarının vektörel uzunlukları (fonksiyonların tanımlı olduğu zaman anlarının sayısı) sırasıyla N ve M olsun. Bu fonsiyonların evrişiminde elde edilen h(n) fonksiyonunun vektörel uzunluğu N M-1 dir. Örnek: ( ) ( ) ( ) sayı dizisinin uzunluğu nedir? f(n)={3.5, -2.1, 4.0, 2.4, 5.6, 1.2} n=0 g(n)= {2, -1, 3} Çözüm: n=0 f(n) in uzunluğu 6 g(n) in uzunluğu 3 h(n) in uzunluğu 3- dir

14 Sistemler ve Özellikleri Girişindeki sinyal veya sinyalleri alan ve onları işleyerek çıkısında başka sinyal ve sinyaller üreten elektronik devre ya da herhangi bir üniteye Sistem denir. Matematiksel Gösterimi x(t) giriş, y(t) çıkış sinyalini gösterdiğini kabul edelim. Çıkış ve giriş arasındaki ilişkiyi şu şekilde gösteririz. ( ) { ( )} Burada {. } sistem operatörünü temsil etmektedir.

15 Sistemlerin Özellikleri 1) Nedensellik, Gerçeklenebilirlik (Casuality) Herhangi bir andaki çıkış sinyali, o andaki ya da geçmişteki giriş verilerine bağlı olan sistemler nedenseldir. Eğer sistem çıkışı gelecek zamandaki giriş değerlerine bağlı ise sistem nedensel değildir. Örnek: Aşağıdaki denklem bir sistemin çıktısıdır. Sistemin nedensel olup olmadığını bulunuz. Çözüm: ( ) ( ). ( ) ( 3) Bu denklemden de görüldüğü gibi y(n), şimdiki giriş x(n) ve geçmiş zaman girişlerine ( ( ) ( 3)) bağlıdır. Dolaysıyla, bu sistem nedenseldir. Örnek: Bir sürekli zamanlı sistemin çıkışı ile girişi arasındaki ilişki aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. ( ) (. ) (.3) ( 3) Sistemin nedensel olup olmadığını bulunuz.

16 Çözüm: Sistemin çıkışı y(t), gelecek zaman girişi x(t. ) e ve geçmiş zaman girişlerine bağlıdır. Ancak, gelecek zamana bağımlılık, bu sistemin nedensel olmadığını gösterir.. Hafıza(Memory) Bir sistemin çıkışı sadece o andaki girişe bağlı olarak değişiyorsa, sistemin hafızası yoktur. Fakat, sistemin çıkışı geçmiş ve gelecek girişlere bağlı olarak değişiyorsa, sistemin hafızası vardır. Örnek: ( ) ( ) ( ) Yukardaki denklem ile ifade edilen sistemin hafızası olup olmadığını bulunuz. Çözüm: Sistemin n anındaki çıkışı y(n), sadece n anındaki girişe bağlıdır. Dolayısıyla, bu sistemin hafızası yoktur. Örnek: ( ) ( ) ( ) Sistemin hafızası olup olmadığını bulunuz.

17 Çözüm: y(t), hem t anındaki hem de t- anındaki girişlere bağlı olduğu için, bu sistemin hafızası vardır. 3. Doğrusallık (Linearity) Bir sisteme iki değişik giriş uygulayalım ve bunları x1 ve x2 olarak gösterelim. Sistemin bu girişler için çıkışı y1 ve y2 olsun. Sistemin doğrusal olabilmesi için k1x1+ k2x2 girişi için çıkışının k1y1+ k2y2 olması gerekir. Örnek: ( ) ( ) sistemi doğrusal mıdır? Çözüm: Sistemin çıkışı girişin karesi ile bağlantılı olduğu için direk olarak doğrusal değildir diyebiliriz. Fakat yine de, doğrusallık tanımını uygulayarak matematiksel olarak doğrusal olmadığını göstermemiz gerekir. ( ), ( ) Doğrusal olabilmesi için (k k ) k x (n) k x (n) girişi için Çıkış ( ) ( ) olması gerekir.

18 x (n) x (n) ( ) x (n ) x (n ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dolayısıyla, bu sistem doğrusal değildir. Örnek: ( ) ( ) ( ) sistemi doğrusal mıdır? Çözüm: ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dolayısıyla, bu sistem doğrusal değildir.

19 . Zaman Değişimsiz( ime Invariance) Bir sistemin zaman ekseninde kaydırılan girişleri ayni miktarda zaman ekseninde kaymış çıkış oluşturuyorsa, bu sistem zaman değişimsiz bir sistemdir. Örnek: ( ) ( ) ( ) sistemi zaman değişimsiz midir? Çözüm: Zaman değişimsiz sistem olabilmesi için ( ) nin üreltiği çıkış ( ) olmalıdır. Halbuki, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bu sistem zamana bağımlıdır. t t olmaz çünkü R giriş değildir Örnek: ( ) ( ) ( ) sistemi zaman değişimsiz midir? Girişten dolayı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Çıkışın n kadar kaydırılmasından dolayı Heriki çıkış birbirine eşit olduğu için bu sistem zaman değişimsizdir.

20 Örnek: Aşağıdaki sistemin zaman değişimsiz olup olmadığını bulunuz. ( ) ( ) Çözüm: ( )=n ( ) ( )=( ) ( ) Çıkışlar eşit olmadığı için bu sistem zamana bağımlıdır. Örnek: ( ) ( ) sisteminin zaman değişimsiz olduğunu gösteriniz. Çözüm: ( ) girişi için sistem çıkışı ( ) ( ) Sistemin zaman değişimsiz olması için ( ) ( ) Çıkışı kadar kaydıralım ( ) ( ) yaparsak ( )= ( )

21 ( ) ( ) sağlandığı için sistem zaman değişimsizdir. Örnek: ( ) ( )cos ( ) sisteminin zaman değişimsiz olup olmadığını bulunuz. Çözüm: ( ) girişi için cıkış : ( ) ( )cos ( ) Şimdi bize verilen çıkışı kadar kaydıralım ( ) ( )cos ( ) ( ) ( ) dan dolayı bu sistem zamana bağımlıdır. NOT: Evrişim özelliği ( ) ( ) ( )] zaman değişimsiz ve doğrusal olan sistemler için geçerlidir.

22 Doğrusal ve zaman Değişimsiz Sistemlerin Zaman Alanında Gösterimi Aşağıdaki sinyali ele alalım x(n) sinyali dürtü fanksiyonları türünden şöyle yazılır: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Yukarıdaki denklemi genellersek ( ) ( ) ( ) Yani ( ) ( ) ( ) olur.

23 Şimdi doğrusal ve zaman değişimsiz bir sistemi ele alalım. Çıkış ile giriş arasındaki ilişki ( ) { ( )} şeklinde gösterilir. ( ) ( ) olsun. Bu özel giriş için, sistem çıkısını h(n) ile gösterelim. x(n) yerine ( ) ( ) ( ) yazarsak ( ) { ( ) ( )} elde ederiz. Burada çekersek {. } operatörünü toplam ifadesinin içine ( ) ( ) { ( )} olur.

24 Sistemimiz zaman değişimsiz olduğu için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) için çıkış ( ) ( ) olmalıdır. Yani, ( ) { ( )} ise ( ) { ( )} dir. ( ) ( ) ( ). Eğer sistemimizin dürtü girişi için çıkışını biliyorsak, herhangi rastgele bir giriş için çıkışı bu eşitliği kullanarak bulabiliriz

25 Örnek: Sistem girişi ve çıkışı arasındaki bağlantı ( ) ( ). ( ) ile verilen bir sistemin dürtü yanıtını bulunuz. Çözüm: Bir sistemin dürtü yanıtı, giriş verisi dürtü iken sistemin verdiği çıkıştır. Yani, ( ) ( ) için sistemin çıkışını bulacağız. Buna göre sistemin dürtü yanıtı aşağıdaki gibi olur. ( ) ( ). ( ) veya ( ) {,.,, ğ Örnek: Doğrusal ve zaman değişimsiz bir sistemin aşağıdaki giriş için ürettiği çıkışı h(n) türünden yazınız., ( ) {, 3.,

26 Çözüm: ( ) ( ) ( 3). ( ) için sırasıyla: ( ) ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3). ( )

27 Örnek: Doğrusal ve zaman değişimsiz bir sistemin dürtü yanıtı ( ) ( ) ( ) olsun. Sistemin ( ) ( ) girişi için sistemin çıkışını bulunuz. Çözüm: Sistemin çıkışı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ(n) x(n) ( ) ( ) x(n) x(n) δ(n n ) x(n n ) Örnek: Doğrusal ve zaman değişimsiz bir sistemin dürtü yanıtı ( ) ( ). ( ) ise, sistemin ( ) {,,, ğ için çıkışını bulunuz. Çözüm 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) * ( ) ( )

28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ(n) δ(n) δ(n) δ(n) δ(n ) δ(n ) δ(n ) δ(n ) δ(n ) Çözüm : Verilen giriş için sistemin çıkışı ( ) ( ) ( ) dir. ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

29 Doğrusal ve Zaman Değişimsiz Bir Sistemin Üstsel Fonksiyona Yanıtı, Dönüşüm Fonksiyonu Bu durumda sistemin çıkışı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Burada ( ), ( ) dürtü yanıtının Fourier dönüşümüdür ve ( ) ile gösterilir. ( ) ( ) ( ) Eğer ( ) cos ( ) ise ( ) ne olur? ( ) cos ( ) = ( ) ( )

30 [.. ] ( ) [ ( ). ( ). ] ( ), ( ) nin karmaşık eşleniğidir (Complex Conjugate) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ).. ( ) ( ).. ] Bu sonucu yeniden düzenlersek ( ) ( ) cos ( ( ) ) Örnek: Dürtü yanıtı ( ) ( ) ( ) olan sistemin ( ) cos ( ) girişi için çıkışını bulunuz. Çözüm: ( ) ( ) cos ( ( ) ) ifadesini bu probleme uygulayacak olursak:

31 ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) Burada ( ) ( ç ) Sanal kısım sıfır olduğu için ( ) cos ( )cos ( 3 )