İNTEGRAL. Alan ve Uzaklık. Örnek... Alan Problemi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İNTEGRAL. Alan ve Uzaklık. Örnek... Alan Problemi"

Transkript

1 Aln ve Uzklık Aln Problemi İNTEGRAL dn b ye kdr y = f(x) eğrisinin ltınd kln S bölgesinin lnını bullım. Burd S bölgesi, Şekil de gösterildiği gibi, [f(x) olck şekilde] sürekli bir f fonksiyonu x =, x = b düşey doğrulrı ve x-ekseniyle sınırlnn bölgedir. Şekil : S = {(x,y) x b, y f(x)} Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 : Dikdörtgenler kullnrk, dn e kdr, y = x eğrisinin ltınd kln lnı yklşık olrk bulunuz. (Şekil de gösterilen prbolik bölge).... Çözüm : Öncelikle, S nin lnının ile rsınd olmsı gerektiğini görelim: kenr uzunluğu oln bir kre S bölgesini kpsr. Şekil : Şekil 3: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8

2 ... Anck bundn dh iyisini ypbiliriz. Şekil 4() dki gibi x = 4, x =, x = 3 4 düşey doğrulrını çizerek S yi S, S, S 3 ve S 4 şeritlerine yırlım.... Bu şeritlerin her birinin tbnı kendi tbnın eşit, yüksekliği ise şeridin sğ kenr uzunluğun eşit oln bir dikdörtgen gibi düşünebiliriz [Bkz. Şekil 5(b)]. Şekil 4: () Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Şekil 5: (b) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ Her dikdörtgenin genişliği 4 ve yükseklikleri, sırsıyl ( ), 4 ( ), ( ) 3 ve dir. 4 Bu dikdörtgenlerinin lnlrının toplmını R 4 ile gösterirsek Diğer bir deyişle, bu dikdörtgenlerin yüksekliği, f(x) = x [ fonksiyonunun sırsıyl, ] [, 4 4, ] [,, 3 ] [ ] 3, 4 4, lt rlıklrının sğ uç noktlrındki değerleridir. R 4 = 4 elde ederiz. ( ) ( ) + 4 ( ) = 5 3 = Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8

3 Şekil 5(b) deki dikdörtgenlerin yerine Şekil 6 deki küçük dikdörtgenleri kullnırsk, Şekilden, S nin lnının(a), R 4 den küçük olduğunu görüyoruz, dolyısıyl A < dir. Şekil 6: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / bu dikdörtgenlerin yüksekliklerini, f yi lt rlıklrın sol uç noktlrınd hesplyrk dikdörtgenlerin toplm lnı L 4 = olur. ( ) ( ) + 4 ( ) 3 = =.875 S nin lnının L 4 den büyük olduğunu görüyoruz, dolyısıyl A için lt ve üst sınırlrını elde ederiz..875 < A < Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8

4 Bu işlemleri dh fzl syıd dikdörtgen kullnrk yineleyebiliriz. Şekil 7, S bölgesinin genişlikleri eşit uzunlukt oln sekiz dikdörtgene bölüşünü gösteriyor. Küçük dikdörtgenlerin (L 8 ) lnlrı toplmını ve büyük dikdörtgenlerin (R 8 ) lnlrı toplmını hesplyrk, A için öncekinden dh iyi lt ve üst sınır elde ederiz: < A < Dolyısıyl, soruy verilebilecek olsı bir ynıt, S nin gerçek lnının ile rsınd bir değer olduğudur. Şekil 7: R 8 ve L 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8... Bölgelerin syısını rttırrk dh iyi sınırlr bulbiliriz. Tblo, n tne dikdörtgen için ypıln benzer hesplrl, yüksekliklerin sol uç noktlrd hesplndığı (L n ) ve sğ uç noktlrd hesplndığı (R n ) değerlerini gösterir. Aln Problemi Şekil deki dh genel bir S bölgesinin lnını bullım. Önce Şekil 8 d görüldüğü gibi, S yi genişlikleri eşit oln n tne S, S,...,S n şeritlerine yırlım. n L n R n Tblodki değerler, n rttıkç R n nin 3 e yklştığını düşündürür.bir sonrki örnek bunun doğruluğunu gösterir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Şekil 8: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8

5 Aln Problemi Aln Problemi S i yi, genişliği x, yüksekliği f(x i ) oln bir dikdörtgen gibi düşünelim (Bkz. Şekil 9). [,b] rlığının uzunluğu b dır. Dolyısıyl her bir şeridin genişliği x = b n olur. Dikdörtgenin lnı f(x i ) x dir. Şekil 9: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8 Aln Problemi Aln Problemi S nin lnını yklşık olrk, dikdörtgenlerin lnlrını toplyrk bulbiliriz, bu d Tnım : Sürekli bir f fonksiyonunun grfiği ltınd kln bölgenin A lnı, yklştırım dikdörtgenlerinin toplm lnının limitidir: dir. R n = f(x ) x+f(x ) x+...+f(x n ) x A = lim n R n = lim n [f(x ) x+f(x ) x+...+f(x n ) x] () Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8

6 Aln Problemi Aln Problemi f sürekli olduğundn, tnımdki limitin her zmn vr olduğu knıtlnbilir. Sol uç noktlrı kullndığımızd sonucun değişmeyeceği de gösterilebilir: A = lim n L n = lim n [f(x ) x+f(x ) x+...+f(x n ) x] () Aslınd i inci dikdörtgenin yüksekliğini, sol y d sğ uç noktlr yerine, f nin, [x i,x i ] lt rlığındki herhngi bir x i deki değeri olrk lbilirdik. x, x,...,x n syılrın örnek noktlr denir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Aln Problemi Aln Problemi Şekil, örnek noktlrın uç noktlr olrk lınmdığı dikdörtgenlerle yklşımı göstermektedir. Dolyısıyl S nin lnı dh genel olrk A = lim n [f(x ) x+f(x ) x+...+f(x n) x] (3) şeklinde ifde edilir. Şekil : Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8

7 Aln Problemi Aln Problemi Dolyısıyl, Denklem (), () ve (3) deki ln ifdeleri Terim syısı fzl oln toplmlrı kısc göstermek için çoğunlukl sigm gösterimini kullnırız. Örneğin, n f(x i ) x = f(x ) x+f(x ) x+...+f(x n ) x i= A = lim n A = lim n A = lim n n f(x i ) x i= n f(x i ) x i= n f(x i) x i= olrk yzılbilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8 Belirli İntegrl Belirli İntegrlin Tnımı f fonksiyonu x b rlığınd tnımlı ve sürekli olsun, [,b] kplı rlığını x = (b )/n eşit uzunluğund n lt rlığ yırlım. Alt rlıklrın uç noktlrı x (= ), x, x,...,x n (= b) olsun ve her lt rlıktn, x i noktsı [x i,x i ] de olck şekilde x, x, x 3,...,x n, örnek noktlrını seçelim. Bu durumd, dn b ye f nin belirli integrli olrk tnımlnır. f(x) = lim n n f(x i) x i= Belirli İntegrl NOT : f(x) gösteriminde f(x), integrli lınn fonksiyon,, b integrlin sınırlrı; lt sınır, b üst sınır olrk dlndırılır. İntegrli hesplm sürecine de integrl lmk denir. NOT : bğlı değildir. f(x) belirli integrli bir syıdır; x değişkenine Aslınd x yerine istediğimiz hrfi koybiliriz, integrlin değeri değişmez: f(x) = f(t)dt = f(r)dr Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8

8 Belirli İntegrl Belirli İntegrl NOT 3 : Krşılştığımız fonksiyonlrın çoğunun sürekli olmsın krşın, tnımdki limit, f nin sonlu syıd giderilebilir y d sıçrm tipi süreksizliği olduğund d vrdır. Dolyısıyl, bu tip fonksiyonlrın d belirli integrlini tnımlybiliriz. NOT 4 : Tnımd krşılştığımız n f(x i) x i= toplmın Riemnn toplmı denir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Belirli İntegrl Eğer f pozitifse, Riemnn toplmını, yklştırım dikdörtgenlerinin toplm lnı olrk yorumlybileceğimizi biliyoruz (Bkz. Şekil ). Belirli İntegrl Burdki tnım ile ln tnımını krşılştırırsk, f(x) belirli integrlinin dn b ye kdr, y = f(x) eğrisinin ltınd kln ln olduğunu görürüz. (Bkz. Şekil ) Şekil : Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Şekil : Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8

9 Belirli İntegrl Eğer f, Şekil 3 teki gibi hem pozitif hem de negtif değerler lıyors, Riemnn toplmı x-ekseninin üstünde kln dikdörtgenlerin toplm lnı ile, x-ekseni ltınd kln dikdörtgenlerinin toplm lnının frkıdır. Belirli İntegrl Bu tip Riemnn toplmlrının limiti, 4 de gösterilen durumu orty çıkrır. Belirli integrl, lnlrın frkı oln net ln olrk yorumlnbilir: f(x) = A A Burd A, x-ekseninin üstünde ve f nin grfiğinin ltınd kln, A ise x-ekseninin ltınd ve f nin grfiğinin üstünde kln lını gösterir. Şekil 3: Şekil 4: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 33/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 34/ 8 Belirli İntegrllerin Özellikleri Belirli İntegrllerin Özellikleri. c bir sbit syı olmk üzere b f(x) = f(x) = [f(x)+g(x)] = f(x) f(x)+ c = c(b ) g(x) 5. c bir sbit olmk üzere c [f(x) g(x)] = f(x)+ c f(x) = cf(x) = c f(x) f(x) g(x) f(x) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 35/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 36/ 8

10 İntegrlleri Krşılştırm Özellikleri 8. x b iken f(x) ise f(x) dır. 9. x b iken f(x) g(x) ise f(x) g(x) dır.. x b iken m f(x) M ise : Özellik u kullnrk e x integrline lt ve üst sınır bulunuz. m(b ) f(x) M(b ) dır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 37/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 38/ Çözüm : f(x) = e x fonksiyonu [,] rlığınd zln bir fonksiyon olduğundn, mutlk mksimum değeri M = f() =, mutlk minimum değeri ise m = f() = e dir. Özellik dn y d dir. e ( ) e e x ( ) e x e.3679 olduğundn.367 e x yzbiliriz. Bu örneğin sonucu Şekil?? de gösterilmiştir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 39/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8

11 Belirli İntegrllerin Hesplnmsı Belirli İntegrllerin Hesplnmsı Değer Bulm Teoremi f fonksiyonu [, b] rlığınd sürekliyse, f fonksiyonunun herhngi bir F ilkeli, bşk bir deyişle F = f için f(x) = F(b) F() dir. Örneğin, f(x) = x nin bir ilkelinin F(x) = 3 x3 olduğunu biliyoruz. Değer Bulm Teoremi bize olduğunu söyler. x = F() F() = = 3 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8 Belirli İntegrllerin Hesplnmsı Değer Bulm Teoremi ni uygulrken ] b F(x) = F(b) F() : 3 e x integrlini hesplyınız. gösterimini kullnrk F = f olmk üzere ] b f(x) = F(x) yzılbilir. Sıkç kullnıln diğer gösterimler F(x) b [F(x) ve dir. ] b Çözüm: f(x) = e x fonksiyonunun bir ilkeli F(x) = e x olduğundn Değer Bulm Teoremi ni kullnrk elde ederiz. 3 e x = e x] 3 = e3 e Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 43/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 44/ 8

12 ... : b π/ olmk üzere x = dn x = b ye kdr kosinüs eğrisinin ltınd kln lnı bulunuz. Özel olrk b = π/ lırsk, dn π/ ye kdr kosinüs eğrisinin ltınd kln lnın, sin(π/) = olduğunu knıtlmış oluruz. Çözüm: f(x) = cosx fonksiyonunun bir ilkeli F(x) = sinx olduğundn dir. A = ] b cosx = sinx = sinb sin = sinb Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 45/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 46/ 8 Belirsiz İntegrller Belirsiz İntegrller İlkeller ile integrller rsındki ilişkiden dolyı f nin ilkelini göstermek için geleneksel olrk belirsiz integrl olrk dlndırıln f(x) gösterimi kullnılır. Dolyısıyl, f(x) = F(x), F (x) = f(x) Belirli ve belirsiz integrlin rsındki yrım dikkt etmelisiniz. f(x) belirli integrli bir syı, f(x) belirsiz integrli ise bir fonksiyondur. nlmın gelir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 47/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 48/ 8

13 Belirsiz İntegrller Belirsiz İntegrller Tblosu f fonksiyonunun I rlığındki bir ilkeli F ise f nin bu rlıktki en genel ilkelinin, C herhngi bir sbit olmk üzere F(x)+C şeklinde olduğunu nımsyınız. Örneğin, = ln x +C x [f(x)+g(x)] = cf(x) = c f(x)+ f(x) g(x) formülü ( içermeyen her rlıkt) doğrudur, çünkü d ln x = x gösterimi f nin herhngi bir ilkelini y d (her C için bir tne olmk üzere), bütün ilkeller ilesini de gösterebilir. x n = xn+ +C (n ) n+ = ln x +C x e x = e x +C Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 49/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Belirsiz İntegrller Tblosu Belirsiz İntegrller Tblosu x = x ln +C sinx = cosx+c cosx = sinx+c sec x = tnx+c csc x = cotx+c secxtnx = secx+c cscxcotx = cscx+c x + = tn x+c x = sin x+c Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8

14 : Gösterim konusundki uzlşmmızı ve belirsiz integrller tblosunu kullnrk (x 4 sec x) = x 4 sec x = x5 5 tnx+c = x 5 tnx+c : 3 (x 3 6x) integrlini hesplyınız. Çözüm : Değer Bulm Teoremi nden 3 ] 3 (x 3 6x) = x4 4 6x = ( ) ( ) elde ederiz. Ynıtın türevini lrk doğruluğunu kontrol etmelisiniz. = = 6.75 elde ederiz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 53/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 54/ 8 : ( x 3 6x+ 3 ) x integrlini bulunuz. + : 9 t +t t t dt integrlini hesplyınız. Çözüm: Değer Bulm Teoremi nden ( x 3 6x+ 3 ] ) x = x x +3tn x = ] x4 3x +3tn x dir. Bu, integrlin kesin değeridir. = (4 ) 3( )+3tn = 4+3tn Çözüm : Önce integrli lınn fonksiyonu bölme yprk sdeleştirmemiz gerekir: 9 t +t t t dt = 9 (+t / t )dt = t+ t3/ 3 ] 9 t = t+ 3 t3/ + t ] 9 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 55/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 56/ 8

15 ... Yerine Koym Kurlı 9 t +t t t dt = [ 9+ 3 (9)3/ + 9 ] ( + 3 3/ + ) = = 34 9 u = g(x) değer kümesi I rlığı oln türevlenebilir bir fonksiyon ve f fonksiyonu I rlığınd sürekliyse, f(g(x)) g (x) = f(u) du (4) olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 57/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 58/ 8 : x 3 cos(x 4 +) integrlini bulunuz. Yerine Koym Kurlı Çözüm : du = 4x 3 difernsiyeli, 4 çrpnı dışınd, integrlin içinde yer ldığındn, u = x 4 + değişken değişikliğini yprız. Bu yüzden, x 3 = du/4 ve Yerine Koym Kurlı ndn x 3 cos(x 4 +) = cosu 4 du = 4 cosu du Yerine Koym Kurlının temel fikri, krmşık bir integrli dh bsit bir hle dönüştürmektir. Bu bşlngıçtki x değişkeninden, x e bğlı bir fonksiyon oln u y geçilerek ypılır. = 4 sinu+c = 4 sin(x4 +)+C olur. Son şmd bşlngıçtki x değişkenine dönmemiz gerektiğine dikkt ediniz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 59/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8

16 ... : x+ integrlini hesplyınız. Çözüm : Bu durumd u = x+ olsun. du =, ve = du/ olur. Dolyısıyl, Yerine Koym Kurlı x+ u du = = u / du verir. = u3/ 3/ +C = 3 u3/ +C = 3 (x+)3/ +C Çözüm : Olsı bir bşk değişken değişikliği de u = x+ dir. Bu durumd du = bundn dolyı x+ = x+ du = u du olur. (Y d u = x+, ve bundn dolyı u du = olduğunu gözlemleyiniz.) Böylece x+ = u u du = u du elde edilir. = u3 3 +C = 3 (x+)3/ +C Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8 : x 4x integrlini bulunuz. Çözüm: u = 4x olsun. Dolyısıyl du = 8x burdn x = 8du olur ve bulunur. x = 4x 8 = 8 du = u 8 u / du ( ) u +C = 4x 4 +C : e 5x integrlini hesplyınız. Çözüm : u = 5x lırsk, du = 5, burdn = 5du olur. Bundn dolyı e 5x = e u du = 5 5 eu +C = 5 e5x +C dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 63/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 64/ 8

17 ... : tn x integrlini hesplyınız. Çözüm : Önce tnjntı, sinüs ve cosinüs cinsinden yzlım: sinx tnx = cosx Bu, du = sinx ve burdn sinx = du olduğundn u = cos x seçmemiz gerektiğini gösterir: sinx tnx = cosx = u du ln cosx = ln ( cosx ) = ln(/ cosx ) = ln secx olduğundn, sonuç tnx = ln secx +C biçiminde de yzılbilir. = ln u +C = ln cosx +C Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 65/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 66/ 8 Belirli İntegrller İçin Yerine Koym Kurlı : 5 i kullnrk 4 x+ integrlini hesplyınız. g fonksiyonu [,b] rlığınd, f fonksiyonu u = g(x) in değer kümesinde sürekliyse, Çözüm : u = x+ ise = du/ olur. belirlemek için İntegrlin yeni sınırlrını olur. f(g(x))g (x) = g(b) g() f(u) du (5) x =, u = + = ve x = 4, u = 4+ = 9 olduğun dikkt edelim. Dolyısıyl 9 x+ = udu = ] 9 3 u3/ Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 67/ 8 olur. = 3 (93/ 3/ ) = 6 3 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 68/ 8

18 ... : integrlini hesplyınız. (3 5x) 5 i kullndığımızd, integrli ldıktn sonr x değişkenine dönmediğimizi gözlemleyelim. Diğer bir deyişle u cinsinden bir ifdeyi u nun uygun değerleri rsınd hesplıyoruz. Çözüm : u = 3 5x olsun. du = 5 burdn d = du/5 olur. x = iken u =, x = iken u = 7 dir. Böylece (3 5x) = 5 7 du u = [ ] 7 = ] 7 5 u 5u = ( ) = 4 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 69/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Simetrik Fonksiyonlrın İntegrlleri : e lnx x integrlini bulunuz. Çözüm : du = /x integrlde göründüğünden u = lnx lırız. x = iken u = ln = ; x = e iken u = lne = dir. Burdn e lnx x = ] udu = u = f fonksiyonunun [, ] rlığınd sürekli olduğunu vrsylım. () f çift fonksiyons [f( x) = f(x)], f(x) = f(x) dir. (b) f tek fonksiyons [f( x) = f(x)], f(x) = dır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8

19 : f(x) = x 6 + fonksiyonu, f( x) = f(x) eşitliğini sğldığındn çifttir, dolyısıyl olur. (x 6 +) = (x 6 +) [ ] ( ) 8 = 7 x7 +x = 7 + = 84 7 : f(x) = tnx +x fonksiyonu, f( x) = f(x), +x4 eşitliğini sğldığındn tektir, dolyısıyl olur. tnx +x +x 4 = Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 73/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 74/ 8 Kısmi İntegrl Alm f(x)g (x) = f(x)g(x) formülü kısmi integrl formülü olrk dlndırılır. g(x)f (x) (6) Anımsnmsı dh koly gösterim için u = f(x), v = g(x) olsun. Difernsiyelleri dv = g (x) ve du = f (x) dir, dolyısıyl Yerine Koym Kurlı n göre kısmi integrl lm formülü udv = uv vdu (7) : x sin x integrlini bulunuz. Çözüm : u = x, dv = sinx ise du =, v = cosx olur, dolyısıyl xsinx = x( cosx) ( cosx) = xcosx+ cosx = xcosx+sinx+c olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 75/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 76/ 8

20 : ln x integrlini hesplyınız. Çözüm : Burd u = lnx, dv = ise du =, v = x dir. x Kısmi integrl lrk, lnx = xlnx x x = xlnx = xlnx x+c elde ederiz. : x e x integrlini bulunuz. Çözüm : x nin türevi lındığınd bsitleştiğine dikkt ediniz. Bu yüzden u = x, dv = e x seçeriz. Burdn du = x, v = e x olur. Kısmi integrl lm yöntemi, x e x = x e x xe x verir. Bu örnekte f(x) = lnx türevi f den dh bsit olduğundn kısmi integrl lm etkili olmuştur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 77/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 78/ 8... Elde ettiğimiz xe x integrli, bşlngıçtki integrlden dh bsittir m hl pçık ortd değildir. Bunun için u = x, dv = e x lrk kısmi integrli bir kez dh kullnırız. du =, v = e x olduğundn xe x = xe x e x = xe x e x +C dir. Bunu yukrıdki denklemde yerine koyrk, x e x = x e x xe x = x e x xe x +e x +C (C = C) : e x sinx integrlini hesplyınız. Çözüm : Türevi lınınc ne e x ne de sinx fonksiyonu bsitleşir. u = e x, dv = sinx seçelim. O zmn, du = e x ve v = cosx polur, dolyısıyl, kısmi integrl e x sinx = e x cosx+ e x cosx (8) verir. elde ederiz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 79/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8

21 Elde ettiğimiz e x cosx integrli için tekrrdn kısmi integrli uygulylım. Bu kez, u = e x ve dv = cosx llım. Burdn du = e x ve v = sinx olur ve e x cosx = e xsinx e x sinx (9) dir. Denklem 9 i denklem 8 te yerine koyrsk e x sinx = e x cosx+e x sinx+ elde ederiz. e x sinx İki yn e x sinx eklersek e x sinx = e x cosx+e x sinx elde ederiz. Denklemi sdeleştirip, integrl sbitini eklersek e x sinx = ex (sinx+cosx)+c buluruz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8 Kısmi integrsyon ve Değer bulm teoremi Kısmi integrl formülünü, Değer Bulm Teoremi yle birleştirirsek, belirli integrlleri, kısmi integrllerle hesplybiliriz. f ve g nün sürekli olduğunu vrsyrk ve Değer Bulm Teoremi ni kullnrk, dn b ye kdr denklem 6 in her iki ynını d hespldığımızd elde ederiz. ] b f(x)g (x) = f(x)g(x) g(x)f (x) () Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 83/ 8 : tn x integrlini hesplyınız. Çözüm : u = tn x, dv = ise du = +x, v = x olur. Denklem verir. ] tn x = xtn x x +x = tn tn = π 4 x +x x +x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 84/ 8

22 ... Trigonometrik İntegrller Bu integrli hesplmk için, t = +x değişken değişikliğini yplım. Bu durumd, dt = x, dolyısıyl x = dt/ olur. x = iken t = ; x = iken t = olduğundn, x +x = dt = ] ln t = (ln ln) = ln Trigonometrik integrller, ltı temel trigonometrik fonksiyonun cebirsel kombinsyonunu içeren integrllerdir. Örneğin, secx, cos xsin 3 x, tn 4 x dir. Dolyısıyl dir. tn x = π 4 ln Genel fikir, bulmk istediğimiz krmşık trigonometrik integrlleri, trigonometrik özdeşlikler kullnrk dh koly çözümlenebilen integrllere dönüştürebilmektir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 85/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 86/ 8 Sinüs ve Kosinüs Çrpımlrı Sinüs ve Kosinüs Çrpımlrı : Durum m ve n negtif olmyn tmsyılr olmk üzere sin m x cos n x formundki integrller. m tek ise, m yi k + olrk yzr ve sin m x = sin k+ x = (sin x) k sinx = ( cos x) k sinx eşitliğini kulnırız. Sonr tek kln sinx i integrldeki ile birleştirerek sinx yerine d(cos x) yzrız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 87/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 88/ 8

23 Sinüs ve Kosinüs Çrpımlrı : Durum : sin 3 xcos x integrlini hesplyınız. Çözüm : sin 3 xcos x = = = = sin xcos xsinx ( cos x)cos x[ d(cosx)] ( u )(u )( du) (u 4 u )du m çift ve n tek ise, n yi k + olrk yzr ve cos n x = cos k+ x = (cos x) k cosx = ( sin x) k cosx eşitliğini kullnırız. Sonr tek kln cos x i integrldeki ile birleştirerek cos x yerine d(sin x) yzrız. = u5 5 u3 3 +C = cos5 x 5 cos3 x 3 +C Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 89/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8 Sinüs ve Kosinüs Çrpımlrı : Durum 3 : cos 5 x integrlini hesplyınız. Çözüm : cos 5 x = = = = cos 4 xcosx ( sin x) d(sinx) ( u ) du ( u +u 4 )du m ve n çift ise sin x = cosx, cos x = +cosx trigonometrik özdeşliklerini kullnırız. = u 3 u3 + 5 u5 +C = sinx 3 sin3 x+ 5 sin5 x+c Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8

24 ... : sin xcos 4 x integrlini hesplyınız. Çözüm : ( )( ) cosx +cosx sin xcos 4 x = = ( cosx)(+cosx+cos x) 8 = (+cosx cos x cos 3 x) 8 = [ x+c + 8 sinx+c ] (cos x+cos 3 x) cos x terimini içeren integrli şu şekilde çözümleriz: cos x = (+cos4x) = (x+ 4 ) sin4x +C 3 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 93/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 94/ 8... cos 3 x terimini içeren integrli ise şu şekilde çözümleriz: cos 3 x = ( sin x)cosx = ( u )du = ( sinx ) 3 sin3 x +C 4... Çözümlediğimiz bu integrlleri kullnrk sin xcos 4 x = [ x+c + 8 sinx+c ] (cos x+cos 3 x) = 8 [ x+c + sinx+c (x+ 4 ) sin4x C 3 ( sinx ] 3 sin3 x ) C 4 = 6 ( x 4 sin4x+ ) 3 sin3 x +C Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 95/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 96/ 8

25 Kreköklerden Kurtulmk... : π/4 +cos4x integrlini hesplyınız. Çözüm : Krekökten kurtulmk için cos θ = +cosθ özdeşliğini kullnırız. vey +cosθ = cos θ Böylelikle π/4 π/4 +cos4x = cos x = = π/4 π/4 cosx = cos x π/4 = sinx ] π/4 = ( ) = cosx Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 97/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 98/ 8 tn x ve sec x Kuvvetlerinin İntegrlleri : tn 4 x integrlini hesplyınız. tn x, sec x ve krelerinin integrllerini ve tn x = sec x sec x = +tn x özdeşliklerini kullnrk tnjnt ve seknt fonksiyonlrının kuvvetlerini içeren integrlleri hesplybiliriz. Çözüm : tn 4 x = = = = tn x tn x = tn x (sec x ) tn xsec x tn x tn xsec x (sec x ) tn xsec x sec x+ Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 99/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8

26 Sinüs ve Kosinüslerin Çrpımlrı = tn xsec x sec x+ ilk integrlde u = tn x dönüşümünü yprk, ikinci ve üçüncü integrlde ise bildiğimiz integrlleri kullnrk tn 4 x = 3 tn3 x tnx+x+c sonucunu elde ederiz. Uygulmd krşılştığımız sinmxsinnx, sinmxcosnx, cosmxcosnx trigonometrik integrllerini hesplmk için Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Sinüs ve Kosinüslerin Çrpımlrı şu özdeşikleri kullnırız: sinmxsinnx = [cos(m n)x cos(m+n)x] () sinmxcosnx = [sin(m n)x+sin(m+n)x] () cosmxcosnx = [cos(m n)x+cos(m+n)x] (3) : sin3xcos5x integrlini hesplyınız. Çözüm : m = 3 ve n = 5 ile () eşitliğinden sin3xcos5x = [sin( x)+sin8x] = (sin8x sinx) = cos8x + cosx +C 6 4 elde edilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8

27 Trigonometrik Dönüşümler Trigonometrik Dönüşümler - Durum bir reel syı olmk üzere +x x x ifdelerini içeren integrlleri hesplmk için trigonometrik dönüşümler kullnırız. +x ifdesinin olduğu integrllerde x = tnθ dönüşümü kullnılır. Böylelikle +x ve ifdeleri Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8 Trigonometrik Dönüşümler - Durum Trigonometrik Dönüşümler - Durum sırsıyl +x = + tn θ = (+tn θ) = sec θ ve = sec θdθ ifdelerine dönüşür. x = tnθ dönüşümünde ilk değişken θ y geri dönüş ypbilmek için, x = tn θ dönüşümünün tersinir olmsını bekleriz. Dolyısıyl tn fonksiyonunun tnımlı olmsını kullnrk, θ = tn ( x ), π < θ < π ters dönüşümünü yprız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8

28 ... : 4+x integrlini hesplyınız. Çözüm : x = tnθ dönüşümünü yprız. Böylelikle 4+x = 4+4tn θ = 4(+tn θ) = 4sec θ = sec θdθ ifdelerini kullnrk sec θdθ = 4+x 4sec θ sec θdθ = secθ = secθdθ = ln secθ +tnθ +C 4+x = ln + x +C ( π < θ < π olduğu için secθ = secθ olur) elde ederiz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Trigonometrik Dönüşümler - Durum Trigonometrik Dönüşümler - Durum x ifdesini içeren integrlleri hesplmd x = secθ trigonometrik dönüşümünü kullnırız. Böylece x ve ifdeleri sırsıyl x = sec θ = (sec θ ) = tn θ = secθtnθdθ ifdelerine dönüşür. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8

29 Trigonometrik Dönüşümler - Durum İntegrli lmy bşldığımız ilk değişken θ y geri dönüş ypbilmek için dönüşümümüzün tersinir olmsını bekleriz. Dolyısıyl sec fonksiyonunun tnımındn, x = secθ dönüşümünün ters dönüşümü olur. θ = sec ( x ), θ < π, x ; π < θ π, x. : x > 5 iken 5x 4 integrlini hesplyınız. Çözüm : Öncelikle pyddki ifdeyi dh çık yzlım: ( 5x 4 = 5 x 4 ) ( ) = 5 x 5 5 x > 5 olduğu için dönüşümü x = 5 secθ, = 5 secθtnθdθ, < θ < π olrk yprız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8... Böylelikle x ve < θ < π bulunur. ( ) = sec θ 4 5 = 4 5 (sec θ ) = 4 5 tn θ için tnθ > olduğundn x ( ) = 5 5 tnθ = 5 tnθ Bu dönüşümleri integrlde yerine koyrk (/5)secθtnθdθ = 5x 4 5 x (4/5) = 5(/5)tnθ = secθdθ = ln secθ +tnθ +C 5 5 = 5 ln 5x 5x + 4 +C elde ederiz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8

30 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 3 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 3 x ifdesini içeren integrlleri çözmek için x = sinθ trigonometrik dönüşümünü kullnırız. Böylece x ve ifdeleri sırsıyl x = sin θ = ( sin θ) = cos θ = cosθdθ ifdelerine dönüşür. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 3 İntegrli hesplmyı sonuçlndırmk için orjinl değişken x e geri dönmemiz gerekir. Bunun için x = sin θ dönüşümünün tersinir olmsını bekleriz. sin fonksiyonun tnımındn, ters dönüşüm olur. θ = sin ( x ), π θ π : Çözüm : dönüşümü ile x 9 x integrlini hesplyınız. x = 3sinθ, = 3cosθdθ, π < θ < π 9 x = 9 9sin θ = 9( sin θ) = 9cos θ Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8

31 x 9 x = = 9 9sin θ 3cosθdθ 3cosθ sin θdθ cosθ = 9 = 9 ( θ sinθ dθ ) +C = 9 ( θ sinθ ) +C = 9 (θ sinθcosθ)+c ( = 9 sin x 3 x ) 9 x 3 +C 3 = 9 sin x 3 x 9 x +C elde edilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I / 8 z = tn(x/) Dönüşümü z = tn(x/) Dönüşümü Bu trigonometrik dönüşüm, sinüs ve kosinüs fonksiyonlrının bölümleri olduğund kullnılır. Trigonometrik özdeşlikler yrdımıyl cos x, sin x ve için kullnılck ifdeleri şu şekilde bulbiliriz: özdeşliğinden bulunur. +tn x = sec x = cos (x/) cos x = +z cosx = cos x özdeşliğini ve cos x = yi kullnrk +z elde edilir. z cosx = = +z +z Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8

32 z = tn(x/) Dönüşümü z = tn(x/) Dönüşümü Diğer trftn Bu kez cosx = sin x sinx = sin x cos x özdeşliğinden ve cosx = z +z den özdeşliğinden, cos x = +z ve sin x = z +z den bulunur. sin x = cosx = z +z = z +z elde edilir. sinx = z +z +z = z +z Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8 z = tn(x/) Dönüşümü z = tn(x/) Dönüşümü z = tn x de türev lrk d dz = sec x = bulunur. Böylelikle olur. ( +tn x ) = (+z ) = +z dz Özetle, z = tn x trigonometrik dönüşümünü yptığımızd cosx = z z +z, sinx = +z, = +z dz eşitliklerini kullnırız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8

33 ... : +sinx+cosx integrlini hesplyınız. Çözüm : İntegrl, sinüs ve kosinüs bölümlerini içerdiği için z = tn x dönüşümünü uygulrız. Böylece ifdelerini kullnrk z = tn x, dz = +z cosx = z z +z, sinx = +z +sinx+cosx = buluruz. dz +z + z +z + z +z = +z +z + z dz = = ln z + +C = ln +tn x +C dz z + Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 9/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Kısmi Kesirler : 5x 4 x integrlini bulunuz. +x Çözüm : Pydnın doğrusl çrpnlr yrıldığın dikkt ediniz: Rsyonel fonksiyonlrın (polinomlrın ornının) integrlini lmk için onlrı, kısmi kesirler olrk dlndırıln, integrllerinin nsıl lıncğını bildiğimiz, dh bsit kesirlerin toplmı olrk yzrız. 5x 4 x +x = 5x 4 (x+)(x ) Pyın derecesinin pydnın derecesinden küçük olduğu böyle bir durumd, verilen rsyonel fonksiyonu, A ve B sbit olmk üzere, kısmi türevlerin toplmı olrk yzbiliriz: 5x 4 (x+)(x ) = A x+ + B x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 3/ 8

34 x 4 (x+)(x ) = A x+ + B x A ve B değerlerini bulmk için denkemin iki ynını d (x+)(x ) ile çrprız ve 5x 4 = A(x )+B(x+) 5x 4 = (A+B)x+( A+B) elde ederiz. x in ktsyılrı ile sbit terimler eşit olmlıdır. Dolyısıyl A+B = 5 ve A+B = 4 tür. A+B = 5 ve A+B = 4 Bu doğrusl denklemleri A ve B için çözerek A = 3 ve B = elde ederiz. Burdn 5x 4 (x+)(x ) = 3 x+ x bulunur. Bu kısmi kesirlerin her birinin integrlini (sırsıyl u = x+ ve u = x değişken değişikliğini kullnrk) lmk kolydır. Böylece ( 5x 4 3 x +x = x+ ) x = 3ln x+ ln x +C Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 33/ 8 dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 34/ 8 NOT NOT te pyın derecesi pydnınkine eşit vey dh büyük olsydı ilk önce bölmemiz gerekirdi. Örneğin, x 3 x x+ x +x = x 6+ 5x 4 (x+)(x ) Pydd ikiden fzl doğrusl çrpn vrs, her çrpn için bir terim eklememiz gerekir. Örneğin, x+6 x(x 3)(4x+5) = A x + B x 3 + C 4x+5 Burd A, B ve C sbitleri, A, B ve C bilinmeyenlerini içeren üç denklemden oluşn sistemi çözerek belirlenir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 35/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 36/ 8

35 NOT 3 NOT 4 Doğrusl çrpnlrdn biri tekrrlnıyors kısmi kesire fzldn terimler eklememiz gerekir. Örneğin : x (x+) (x ) = A x+ + B (x+) + C x Pydyı olbildiğince çrpnlrın yırırken, b 4c diskriminntı negtif oln, indirgenemeyen ikinci dereceden x +b x+c çrpnını elde edebiliriz. Bun krşılık gelen kısmi kesir, A ve B belirlenecek sbitler olmk üzere Ax+B x +b x+c dir. Bu terimin integrlini, kreye tmmlyrk ve x + = tn ( x ) +C (4) formülünü kullnrk hesplrız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 37/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 38/ 8... : x x+4 x 3 +4x integrlini hesplyıız. Çözüm : x 3 +4x = x(x +4) dh fzl çrpnlrın yrılmdığındn, x x+4 x(x +4) yzrız. x(x +4) ile çrprsk, = A x + Bx+C x +4 x x+4 = A(x +4)+(Bx+C)x = (A+B)x +Cx+4A Ktsyılrı eşitlediğimizde x x+4 = (A+B)x +Cx+4A A+B = C = 4A = 4 elde ederiz. Burdn A =, B = ve C = buluruz ve x [ x+4 x 3 = +4x x + x ] x +4 olur. elde ederiz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 39/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8

36 x x+4 x 3 +4x = [ x + x ] x +4 İkinci terimin integrlini lmk için integrlini ikiye yırırız: x x +4 = x x +4 x 4 +4 İkinci integrli, = lrk Formül (4) den hesplrız: x x+4 x(x +4) = x + x x +4 x +4 = ln x + ln(x +4) tn (x/)+k Birinci integrlde, u = x +4 değişken değişikliğini yprız ve du = x olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 4/ 8 Hs Olmyn İntegrller. Tip: Sonsuz Arlıklr f(x) belirli integrlini tnımlrken, [, b] sınırlı rlığınd tnımlı oln bir f fonksiyonu ldık ve bu rlıkt f nin sonsuz süreksizliliğinin olmdığını vrsydık. Bu bölümde, belirli integrl kvrmını, rlığın sonsuz olduğu ve f nin [, b] üzerinde sonsuz süreksizliği olduğu durumlr genişleteceğiz. Her iki durumd d integrle hs olmyn integrl denir.. Tipten Hs Olmyn İntegrllerin Tnımı () t f(x) integrli, her t syısı için vrs, limitin (sonlu bir syı olrk) vr olduğu durumlrd dir. t f(x) = lim f(x) t Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 43/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 44/ 8

37 . Tip: Sonsuz Arlıklr. Tip: Sonsuz Arlıklr (b) t f(x) integrli, her t b için vrs, limitin (sonlu bir syı olrk) vr olduğu durumlrd dir. f(x) = lim f(x) t t f(x) ve f(x) hs olmyn integrlleri, söz konusu limitler vrs ykınsk, limitler yoks ırksk olrk dlndırılır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 45/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 46/ 8. Tip: Sonsuz Arlıklr (c) f(x) ve ykınsks, f(x) integrllerinin her ikisi de f(x) = f(x) + f(x) olrk tnımlrız. (c) şıkkınd herhngi bir gerçel syısı kullnılbilir. : belirleyiniz. (/x) integrlinin ykınsk y d ırksk olduğunu Çözüm : Tnımın () şıkkındn, x t = lim t dur. Limit sonlu bir syı olmdığınd ] t = lim x ln x t = lim t (lnt ln) = lim t lnt = (/x) ırksktır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 47/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 48/ 8

38 : x e x integrlini hesplyınız. Çözüm : Tnımın (b) şıkkındn x e x = lim xe x t t olur. u = x ve dv = e x seçerek kısmi integrl lırsk du = ve v = e x olur. t x e x = xe x] t t e x = t e t +e t... t x e x = t e t +e t t iken e t olduğunu biliyoruz. L Hospitl Kurlı ndn dır. lim t t et = lim t t = lim e t t = lim t ( et ) = e t Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 49/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8... Dolyısıyl, x e x = lim t ( tet +e t ) : integrlini hesplyınız. +x Çözüm : Tnımın (c) şıkkınd = seçmek işimizi kolylştırcktır: olur. = + = +x = +x + +x Sğdki integrlleri yrı yrı hesplmlıyız: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 5/ 8

39 = lim +x t t ] t +x = lim t tn x = lim t (tn t+tn ) = lim t tn t = π ] = lim = lim +x t +x t tn x t t = lim t (tn tn t) ( = π ) = π Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 53/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 54/ 8... : Hngi p değeri için Her iki integrl de ykınsk olduğundn verilen integrl de ykınsktır ve dir. +x = π + π = π integrli ykınsktır? x p Çözüm : İlk örnekten, p = olduğund integrlin ırksk olduğunu biliyoruz, dolyısıyl p vrsylım. Bu durumd /(+x ) > olduğundn verilen hs olmyn integrl y = /(+x ) eğrisinin ltınd x ekseninin üstünde kln sonsuz bölgenin lnı olrk yorumlnbilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 55/ 8 dir. = lim xp t t = lim xp t [ ] = lim t p tp x p+ ] x=t p+ x= Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 56/ 8

40 p > ise p > dır ve t iken t p ve /t p dır. Dolyısıyl p > için olur ve integrl ykındktır. x p = p Eğer p < ise p < ve t iken olur, dolyısıyl integrl ırksktır. t p = t p integrli, p > ise ykınsk, p ise ırksktır. xp Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 57/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 58/ 8. Tip: Sürekli Olmyn Fonksiyonlrın İntegrli. Tip: Sürekli Olmyn Fonksiyonlrın İntegrli. Tipten Hs Olmyn İntegrlin Tnımı () f fonksiyonu [, b) rlığınd sürekli ve b noktsınd süreksizse, limitin (sonlu bir syı olrk) vr olduğu durumlrd t f(x) = lim f(x) t b dir. (b) f fonksiyonu (, b] rlığınd sürekli ve noktsınd süreksizse, limitin (sonlu bir syı olrk) vr olduğu durumlrd f(x) = lim f(x) t + t dir. f(x) hs olmyn integrline, söz konusu limit vrs ykınsk, yoks ırksk denir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 59/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8

41 . Tip: Sürekli Olmyn Fonksiyonlrın İntegrli (c) f fonksiyonu, < c < b oln bir c noktsınd süreksiz ve c f(x), f(x) integrllerinin her ikisi de ykınsks, c : 5 x integrlini bulunuz. f(x) = c f(x) + c f(x) Çözüm : Önce, verilen integrlin, f(x) = / x nin x = de düşey simptotu olduğundn, hs olmdığın dikkt ediniz. olrk tnımlrız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 6/ 8... Süreksizlik, [, 5] rlığının sol uç noktsınd olduğundn tnımın (b) şıkkını kullnrk: 5 5 ] 5 = lim = lim x t + x t + x t t = lim t +( 3 t ) = 3 : π/ krr veriniz. sec x integrlinin ykınsk y d ırksk olduğun Çözüm : Verilen integrl, lim = olduğundn, hs x (π/) secx değildir. buluruz. Dolyısıyl verilen integrl ykınsktır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 63/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 64/ 8

42 ... Tnımın () şıkkını kullnrk t (π/) iken sect ve tnt olduğundn π/ secx = lim t (π/) t secx = lim t (π/) ln secx+tnx ] t = lim t (π/) [ln(sect+tnt) ln] = dur. Dolyısıyl verilen integrl ırksktır. : Olnklı ise 3 x integrlini hesplyınız. Çözüm : x = doğrusu, integrli lınn fonksiyonun düşey simptotudur. Bu nokt [, 3] rlığının içinde olduğundn, tnımın (c) şıkkınd c = lrk: yzrız 3 x = 3 x + x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 65/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 66/ ve t iken t + olduğundn x t = lim t x = lim t ln x ] t = lim t (ln t ln ) = lim = t ln( t) Dolyısıyl /(x ) ırksktır. Bu, de ırksk olmsını gerektirir. 3 [ 3 /(x ) integrlinin /(x ) integrlini hesplmmız gerek klmz.] buluruz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 67/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 68/ 8

43 Uyrı Uyrı Yukrıdki örnekte, x = simptotunu frk etmeseydik ve integrli lınn fonksiyonu sırdn bir integrlle krıştırsydık, şğıdki gibi htlı bir hesp ypbilirdik: 3 ] 3 x = ln x = ln ln = ln Bundn böyle f(x) işretini gördüğümüzde, [, b] üzerinde f ye bkrk integrlin sırdn bir belirli integrl mi yoks hs olmyn bir integrl mi olduğun krr vermemiz gerekmektedir. Bu ynlıştır, integrl hs olmdığındn limitler cinsinden hesplnmlıdır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 69/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8... : ln x integrlini hesplyınız. Çözüm : lim x + lnx = olduğundn, f(x) = lnx fonksiyonunun d düşey simptotu olduğunu biliyoruz. Dolyısıyl verilen integrl hs değildir ve lnx = lim lnx t + t u = lnx ve dv = ile kısmi integrl lırsk, du = /x ve v = x olur. ] lnx = x lnx t elde ederiz. t = ln t lnt ( t) = t lnt +t t dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 7/ 8

44 ... Hs Olmyn İntegrller İçin Krşılştırm Testi Birinci terimin limitini lmk için L Hospitl Kurlını kullnırız: lnt lim lnt = lim t +t t + /t = lim /t t + /t Dolyısıyl dir. = lim t +( t) = lnx = lim lnt +t) t +( t = + = Bzen hs olmyn bir integrlin kesin değerini bulmk olnklı değildir nck yine de ykınsk mı, ırksk mı olduğunu bilmek önemlidir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 73/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 74/ 8 Hs Olmyn İntegrller İçin Krşılştırm Testi Hs Olmyn İntegrller İçin Krşılştırm Testi Krşılştırm Teoremi: f ve g nin x için f(x) g(x) oln sürekli fonksiyonlr olduğunu vrsylım. () (b) f(x) ykınsks, g(x) ırksks, g(x) de ykınsktır. f(x) ırksktır. Tersi doğru olmybilir: g(x) ykınsks, f(x) ykınsk d olbilir ırksk d ve f(x) ırksks, g(x) ırksk d olbilir ykınsk d. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 75/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 76/ 8

45 ... : e x integrlinin ykınsk olduğunu gösteriniz. Çözüm : e x nin ilkeli temel fonksiyon olmdığındn, integrli doğrudn hesplymyız. e x = e x + e x yzr ve sğdki ilk integrlin sırdn bir belirli integrl olduğunu gözlemleriz. e x = e x + e x İkinci integrl için,x iken, x x ve x x olduğunu kullnrk e x e x olduğunu görürüz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 77/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 78/ 8... e x fonksiyonunun integrlini hesplmk kolydır: t e x = lim e x = lim(e e t ) = e t t Böylece Krşılştırm Teoremi nde f(x) = e x ve g(x) = e x lırsk, sonucu olrk e x integrlinin ykınsk olduğunu görürüz. Bunun e x ykınsktır. : +e x x Krşılştırm Teoremi nden > x ve (/x) ırksk olduğundn, +e x x integrli de ırksktır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 79/ 8 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkynk MAT 9 Mtemtik I 8/ 8

İntegral Alma Teknikleri

İntegral Alma Teknikleri Bölüm İnegrl Alm Teknikleri. Yerine Koym Kurlı Kurl. u g(x) değer kümesi I rlığı oln ürevlenebilir bir fonksiyon ve f fonksiyonu I rlığınd sürekliyse, f(g(x)) g (x) f(u) du (.) olur. Örnek. x 3 cos(x 4

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu

Detaylı

1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?

1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı

Detaylı

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

İntegral Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr.Vakıf CAFEROV

İntegral Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr.Vakıf CAFEROV İntegrl Kvrmı Yzr Prof.Dr.Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; elirli ve elirsiz integrl kvrmlrını öğrenecek, elirli integrlin geometrik nlmını görecek, integrl teknikleri ile tnışcksınız.

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI

POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI Tnım: P ( ) polinomu Q ( ) polinomun bölündüğünde bölüm B ( ), Kln ( ) 0 durumd, P ( ) = Q( ). B( ) yzılır. K = olsun. Bu Q ( ) ve B ( ) polinomlrın P ( ) polinomunun

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik) ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin

Detaylı

Örnek...1 : İNTEGRAL İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI 2 UYARI 3 ALAN HESABI UYARI 1 A 2 A 1. f (x )dx. = a. w w w. m a t b a z.

Örnek...1 : İNTEGRAL İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI 2 UYARI 3 ALAN HESABI UYARI 1 A 2 A 1. f (x )dx. = a. w w w. m a t b a z. İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI =f() =f() =f() [,] rlığınd f() işret değiştiriors, f onksi on prçlr rılır =f() Şekilde =f() eğrisile ekseni ltınd kln lnı ulmk için eğrinin ltınd kln ölgei dikdörtgenlere

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

H. Turgay Kaptanoğlu. (2) t bir gerçel sayı ise, ta tb = t(a. Geometri derslerinden (eğer orta öğrenimde. ise bu A B = B A verir; bu simetri

H. Turgay Kaptanoğlu. (2) t bir gerçel sayı ise, ta tb = t(a. Geometri derslerinden (eğer orta öğrenimde. ise bu A B = B A verir; bu simetri DIŞBÜKEY FONKSİYONLAR H. Turgy Kptnoğlu A. Dışbükey Kümeler Geometri derslerinden eğer ort öğrenimde hâlâ geometri dersi klmışs düzlemdeki dışbükey şekillerin nsıl şeyler olduklrı hkkınd bir fikrimiz vrdır.

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...

Detaylı

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME Hft SYISL ÇÖZÜMLEMEDE HT KVRMI Syısl Çözümleme GİRİŞ Syısl nliz, mtemtik problemlerinin bilgisyr yrdımı ile çözümlenme tekniğidir Genellikle nlitik olrk

Detaylı

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra; MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q

çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q Elektrosttik(Özet) Coulomb Yssı Noktsl bir q yükünün kendisinden r kdr uzktki bir Q yüküne uyguldığı kuvvet, şğıdki Coulomb yssı ile ifde edilir: F = 1 qq ˆr (1) r2 burd boşluğun elektriksel geçirgenlik

Detaylı

2009 Soruları. c

2009 Soruları. c Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı

Detaylı

POLİNOMLAR. Örnek: 4, 2, 7 polinomun katsayılarıdırlar. 5x, derecesi en büyük olan terim olduğundan. ifadelerine polinomun. der tür.

POLİNOMLAR. Örnek: 4, 2, 7 polinomun katsayılarıdırlar. 5x, derecesi en büyük olan terim olduğundan. ifadelerine polinomun. der tür. OLİNOMLAR o,,,... n, n birer reel syı, n bir doğl syı ve belirsiz bir elemn olmk üzere, o.. n n... n. n. biçimindeki ifdelere e göre düzenlenmiş reel ktsyılı ve bir belirsizli polinom denir. in bir polinomu,,r,t,k

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER

II. DERECEDEN DENKLEMLER ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.

Detaylı

TYT / MATEMATİK Deneme - 6

TYT / MATEMATİK Deneme - 6 . Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

A, A, A ) vektör bileşenleri

A, A, A ) vektör bileşenleri Elektromnetik Teori hr 006-007 Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği

Detaylı

Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3

Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3 .Sınıf Mtemtik ÜSLÜ İFADELER Yyın No : / Kznım :... + Üssün Üssü ve Sırlm Bir üslü ifdenin üssü lındığınd üsler çrpılır.. Alıştırmlr Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını üslü biçimde yzınız. y ^ h y ) ^ h b)

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L Contents Anliz Öğretimi 3. İki Milenyum Süren Sorunlr.................... Mntık ve Mtemtik........................

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1

5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1 Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır.

6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır. TYT / MTEMTİ eneme - 9. 7 + + + = + 9 = + = + = = bulunur. 0 evp : ^ + h. ^+ h = ^+ h $ ^+ h & ^+ h = & ^+ h = $ ^+ h = ^ h $ ^+ h & ^+ h = 6 ^+ h@ = ^ + h urdn = bulunur. evp :. 0,, ^ h + 0, $ ^0, h,,

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri 2 şığın Ynsımsı ve Düzlem Ayn Çözümleri 1 Test 1 1. 38 38 52 52 Ynsıyn ışının yüzeyin normli ile yptığı çıy ynsım çısı denir. Bu durumd ynsım çısı şekilde gösterildiği gibi 38 dir. 4. şıklı cisminin ve

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 01

LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 01 LOGARİTMA KONU UYGULAMA - 0. f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu 6. 7 f() = log ( ) fonksiyonunun tnım bulunuz? rlığı nedir?. + f() = fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz? 6 log? 8 = 7.. f() = log

Detaylı

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme: Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrın toplmı: 1 + 2 + 3 +...+ n =.(+) Ardışık çift syılrın toplmı : 2 + 4 + 6 +... + 2n = n.(n+1) Ardışık tek syılrın toplmı: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n.n=n 2

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3 Örnek : 4 10 tbnindki (3 + 3 + 3 + 3) syisinin üç tbnindki yzilisi sgidkilerden hngisidir? A)10110 B)10001 C)1001 D)100011 E) 1100 4 (3 + 3 + 3 4 + 3) = 1 3 + 3 3 1 0 + 0 3 + 1 3 + 1 3 + 0 3 Burdn ( 10110)

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır? 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.

HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir. Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı

Detaylı

Taylor Polinomlarıve hata

Taylor Polinomlarıve hata Bölüm Tylor Polinomlrıve ht Bu bölümde noktsı komşuluğund ykınsk bir kuvvet serisi çılımının sonlu syıd teriminden oluşn P n Tylor polinomunu tnıtrk, Tylor polinomunun noktsının hngi komşuluğund f fonksiyonun

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistemtik ÖLÜM: ÖRTNLR LIŞTIRMLR u bşlık ltınd her bölüm kznımlr yrılmış, kznımlr tek tek çözümlü temel lıştırmlr ve sorulr ile trnmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf içinde öğrencilerle işlenmesi

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

1996 ÖYS. Çözüm 1: Çözüm 3: 1. gün x a 2.gün x+5 kitap a sayfa ise 3x+15= 3 3.gün x+10 4.gün x+15 5.gün x+20 Ve 6.gün x+25 hepsi 6x+75=a oluyor.

1996 ÖYS. Çözüm 1: Çözüm 3: 1. gün x a 2.gün x+5 kitap a sayfa ise 3x+15= 3 3.gün x+10 4.gün x+15 5.gün x+20 Ve 6.gün x+25 hepsi 6x+75=a oluyor. 99 ÖYS. Bir sınıftki örencilerin 5 nin fzlsı kız örencidir. Sınıft erkek öğrenci olduğun göre, kız öğrencilerin syısı kçtır? A) B) 8 C) D) E) Çözüm : Sınıftki öğrencilere 5x dersek x+ kızlr ve geri klnlr

Detaylı

Prizmatik Katsayıyı Değiştirmek için 1 Eksi Prizmatik Yöntemi

Prizmatik Katsayıyı Değiştirmek için 1 Eksi Prizmatik Yöntemi 4... rizmtik Ktsyıyı Değiştirmek için 1 Eksi rizmtik Yöntemi Verilen bir gemi ile ynı n boyutlr ve orm özelliklerine sip oln bir gemiye it tekne ormundn reket ederek LB konumu sbit klck vey istenen bir

Detaylı

www.ortokulmtemtik.org BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İçerisinde en z bir bilinmeyen bulunn eşitliklere denklem denir. Denklemde semboller y d hrfler ile gösterilen değişkenlere bilinmeyen denir. Denklemde

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü

Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü 6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK

Detaylı