ÖRNEKLER. = Arctan x Arc tan 1 - Arc tan 0

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÖRNEKLER. = Arctan x Arc tan 1 - Arc tan 0"

Sanaz Şaşmaz
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 ÖRNEKLER. d + ifadesini hesaplay n z. d + = π 4 - = π 4 = Arctan Arc tan - Arc tan. Cos d ifadesini hesaplay n z. -π π -π π Cos d = -π π (+Cos)d = (+ Sin) π -π = (π+ Sinπ) - (-π+ Sin(-π) = (π) + π = π = π. π/ Sin d ifadesini hesaplay n z. π/ Sin d = π/ (-Cos) d = = (π - Sinπ ) - ( - Sin ) = (π ) = π 4 π/ (-Cos)d = (- Sin π/ 46

2 4. ( +) 4 d ifadesini hesaplay n z. t = + dt = d d = dt ( +) 4 d = = ( +) 5 +c'. t 4 dt = t 4 dt =. 5 t5 +c 5. (+) ( +-) 4 ifadesini hesaplay n z. t = +- dt = (+)d d = dt + (+) ( +-) 4 d = (+) t 4. dt + = (+) t 4. dt (+) = t 4 dt =. 5 t5 +c' = t5 +c' = ( +-) 5 +c' 6. e n t = ln dt = d d = dt d ifadesini hesaplay n z e ln d = ln d= t. dt = t dt = t/ dt = t/ +c' e (ln) = t +c' 47

3 7. Cos y -Siny dy ifadesini hesaplay n z. Cos y -Siny dy = -Sin y -Siny = (-Siny) (+Siny) -Siny dy = (+Siny) dy 8. Cos = y - Cosy + c d ifadesini hesaplay n z. t = dt = d dt = d Cos d = (Cos t) ( dt) = Cos t dt = Sin t +c' = Sin + c' 9. e. Sine ifadesini hesaplay n z. t = e dt = e d d = dt e e. Sine d = = - Cos e +c' e Sint. dt e = Sint dt = - Cost + c' 48

4 .. (+) d ifadesini hesaplay n z. u = dv = (+) d du = d v = (+) K smi integrasyon uv - vdu. (+) d =. (+) - (+) d = (+) - (+) d = (+) - (+)4 +c'. d -5+4 ifadesini hesaplay n z = A (-) + B (-4) A - 4A +B - B = (A+B) - 4A - B A+B= - + B= -4A -B= B= + =4 -A= A= d= - d d = - ln ln -4 +c' 49

5 . dt 9t -6 ifadesini hesaplay n z. dt 9t -6 = dt (t) -4 = ln t-4 8 t+4 +c'. 4e e -e + ifadesini hesaplay n z. e = u dersek. e d = du 4e d = 4 du e -e + u - u+ = 4 du (u - ) - 4 = 4 du (u - ) -( ) =. ln u - - u c' = ln u- u- +c' = ln e - e - + c' 4. - ifadesini hesaplay n z. - d = = u 6 d = 6u 5 du - d = u u - 6u5 du = 6 u 8 u - du = 6 (u6 +u 4 +u ++ u - ) du = 6 (u 6 +u 4 +u +) du + 6 du u - = 6 7 u7 + 5 u5 + u +u+ ln u- u+ +c' = ln c bulunur. 5

6 5. d 9- ifadesini hesaplay n z. =.Sinu d = Cosu du, u = Arc Sin. Cosu du 9Sin u 9-9 Sin u Cosu du 9Sin u -Sin u = Cosu du 9Sinu. Cosu = Cos u du 9Sin u = 9 du Sin u = - 9 Cotgu + c' = - 9 Cotg (Arcsin ) + c' 6. d +4 ifadesini hesaplay n z. = tanu d = (+tan u) du d = du Cos u d +4 = du Cos u 4 Sin u Cos u 4+4tan u = du 4 Sin u +tan u = 4 du Sin u. Cosu = 4 Cosu du Sin u = 4 dt t = - 4t + c' = - 4. Sinu + c Sinu = t Cosu du = dt - 4. Sinu + c' = - 4. = c' 4+ +c' 5

7 7. 6- d ifadesini hesaplay n z. = 4 Sint d = 4 Cost dt 6- d = 4 Sint 6-6 Sin t. 4 Cost dt = 4 sint. 4. Cost. 4 Cost dt = 64 Sint. Cos t dt = 64u (-du) Cost = u Sint dt = -du = -64 u du = - 64 u + c' = - 64 Cos t + c = - 64 Cos (arc Sin 4 ) + c' 8. Sin Sin +5 d ifadesini hesaplay n z. u + 5 = t udu = dt Sin Sin +5 d dt t = ln t +c = Sin. Cos Sin +5 d = = u du u +5 = ln u +5 + c = ln Sin +5 + c' Sin = u Cos d = du 5

8 9. (-t )dt t(+t ) ifadesini hesaplay n z. Basit kesirlere ay rma yöntemiyle (-t )dt t(+t ) = dt t - t dt t + = ln t - ln t + + c' = ln t t + +c'. Afla da verilen e ri ve do rularla s n rlanan alanlar bulunuz. a) y = (+) e risi =, = do rular ve - ekseni ile s n rlanan alan bulunuz. y = (+) = = ( ++ 4 ) = 4 [(+ ) ] y = 4 (+ ) bulunur. S = (4 +4+) d = = = = 54 () - 4 () = 6-4 = 58 b) y = e risi ile y = do rusu aras ndaki alan bulunuz. = - = (-) = = ve = dir. fiekilde, s n rl bölgenin alan S ise, br S= (- ) d = - = 4-8 = 4 br 5

9 c) y = +4 e risi ile y= +6 do rusu aras ndaki s n rl bölgenin alan n bulunuz. +4 = = = -, = fiekilde, s n rl bölgenin alan S ise, S = ( ) d = - - (+ - ) d = + - = = = 9 br d) y = e risi, (>), = ; = e do rular ve - ekseni ile s n rlanan bölgeninalan n bulunuz. S = e e d = ln = lne - ln = - = 54

10 DÖNEL C S MLER N HAC MLER N N BULUNMASI [a, b] aral nda integrallenebilen bir f fonksiyonunu ele alal m. f nin grafi i; - ekseni = a ve = b do rular ile s n rlanan bölgeyi - ekseni etraf nda döndürmekle oluflturan cisme dönel cisim denir. [a, b] aral n a =,,,..., n = b noktalar ile n - tane alt aral a ay ral m. [ i-, i ] alt aral nda bir t i noktas seçelim. Taban i = i - i-, yüksekli i f(t i ) olan bir dikdörtgen oluflturur. Bu dikdörtgen - ekseni etraf nda döndürülünce, yar çap f(t i ) ve yüksekli i i olan bir silindir elde edilir. Böylece [a, b] aral na ait n tane dikdörtgenin - ekseni etraf nda döndürülmesi ile elde edilen n - tane silindirin hacimleri toplam : V' = n i= π V = Lim n b f(ti). i dir. n π f() d n için π f(t i ). i = π f() d = i= V = π b a b y d bulunur. a a [a, b] aral nda integrallenebilen bir =g (y) fonksiyonu y ekseni y=a ve y=b do rular ile s n rlanan bölgeyi y ekseni etraf nda döndürmekle oluflturan cismin hacmi, b b V = π g(y) dy V = dy bulunur. a a 55

11 Örnekler :. y = do rusu, = do rusu ve - ekseni ile s n rlanan bölgenin - ekseni etraf nda döndürülmesi ile elde edilen dönel hacmini bulunuz. V = π a b y d V = π d = π = 9π br. y = e risi y= do rusu ve y - ekseni ile s n rlanan bölgenin y - ekseni etraf ndan döndürülmesi ile oluflan cismin hacmini bulunuz. V = π dy = y 4 dy = π y5 5 = 5 π br 56

12 . y = Cos fonksiyonunun e risi =, = π 4 do rular ve - ekseni ile s n rlanan bölgenin - eksen etraf nda döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini bulunuz. V = Cos d = π π 4 = π + π/4 4 Sin = π/4 +Cos π. π Sin π 4 = π 8 + π 4 = π 4 (+ π ) br 4. y = nin e risi, y =, y = 4 do rusu ve y - ekseni ile s n rlanan bölge y - ekseni etraf nda döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmini bulunuz. V = π 4 dy = π 4 y dy = π y 4 = π. 8 - = π. 5 = 5 π br 57

13 5. y = -4 fonksiyonunun grafi i, y =, y = do rular ve - ekseni ile s n rlanan bölgenin, -ekseni etraf ndan döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini bulunuz. V = π ( -4) d = π ( ) d = = = = = 5 br 6. y = b a a - e risi ile - ekseninin s n rlad bölge, - ekseni etraf nda döndürülüyor. Elde edilen cisim hacmini bulunuz. y = b a a - y = b a (a - ) a y =a b -b b + a y =a b a + y b = elipsdir. V = π -a a y d = π -a a (b - b a ) d = π. (b - b a ) a -a = π (ab - a b a + ab - a b a )= 4 ab π 58

14 ÖZET Bu bölümde, afla daki durumlar ö rencilere verilmeye çal fl lm flt r :. ntegral hesab niçin gerekli oldu u ö rencilere tan t ld.. S n rl fonksiyonlar n tan m yap larak örnekler üzerinde duruldu.. S n rl ya da s n rs z fonksiyonlarda integral al n p al nmayaca aç kland. 4. Riemann toplam ile e ri alt ndaki alan üzerinde duruldu. 5. De iflken de ifltirme kural ö rencilere tan t ld. 6. K smî integral alma kural ö rencilere tan t ld. 7. Basit fonksiyonlar n integralleri tan t ld. 8. Basit kesirlere ay rma kural ö rencilere tan t ld. 9. Trigonometrik de iflken de ifltirme ö rencilere tan t ld.. E ri alt nda kalan bölgenin alan n hesaplamak için parçalama yöntemi kullan ld.. Belirli integral tan m yap ld.. Belirli integral formülleri ö rencilere tan t ld.. ntegralin. temel teoremi ö rencilere tan t ld. 4. Bir fonksiyonun ilkeli ö rencilere tan t ld. 5. ntegralin. temel teoremi ö rencilere tan t ld. 6. Daha basit teknik olan, e ri alt ndaki kalan bölgenin alanlar için integral ile çözüldü. 7. ki e ri ile s n rlanan bölgenin alan integral ile çözüldü. 8. Dönel cisimlerin hacimleri integral ile çözüldü. 59

15 DE ERLEND RME TEST (). e d ifadesi afla dakilerden hangisidir? A) e (-) +c B) e (+)+c C) e +e D) e ++c. d + ifadesi afla dakilerden hangisidir? A) ln + + B) ln + + C) ln - + +c D) ln - +. d (-) ifadesi afla dakilerden hangisidir? A) ln + ln + +c B) ln - ln - +c C) - ln + ln - +c D) ln + + +c 4. f() = - 4 fonksiyonu O ekseni ile s ralanan bölgenin alan kaç br dir? A) B) C) D) 9 5. f() = ( - 9) fonksiyonunun = -, = 5, y = do rular yla s n rlanan bölgenin alan kaç br dir? 6 A) B) C) 8 D) 9

16 d integralinin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) ln ( +9) - 5 arctan +c B) arctan + ln ( +9) C) arctan + ln ( +9) D) 5 arctan - ln ( +9) 7. - (+) d integralinin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) ln + - ln - +c B) -ln + ln + +c C) ln + + ln - +c D) ln + +c 8. y = - e risi ile O ekseni aras ndaki bölgenin O ekseni etraf nda dönmesiyle oluflan cismin hacimi kaç br dür? A) 6π B) 5 π 4 C) 6π 8 D) 6π 9 9. y = 4, =, y = 6 ile s n rlan p Oy ekseni etraf nda döndürülmesiyle oluflan cismin hacimi kaç br dür? A) 48π 5 B) 48π 6 C) 486π 5 D) 489π 5. e. Sin d integralinin sonucu afla dakilerden hangisidir? A) e (Sin + Cos) B) e (Sin + Cos) C) e (Cos - Sin) D) e (Sin - Cos) 6

17 DE ERLEND RME TEST N N ÇÖZÜMLER (). e d = e - e d = e -e +c u = dv = e cd du = d v = e Do ru Cevap A. (+) = A (+) + B + () (+) = A+A+b (+) (+) = - + = (A+B) +A A =, A+B = B = - d d = d - + d Do ru Cevap C = ln - ln + +c. (-) = A + B - (-) = A(-)+ B (-) = (A+B) - A (-) A+B = -A = A = - / o halde, - (-) = + - d (-) = d = - ln + ln - +c 6 Do ru Cevap C

18 4. f() = -4 fonksiyonunu ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n, A = ( -4) d = -4 = br - - Do ru Cevap A 5. f() = ( -9 ) fonksiyonunun = -, =5, y = do rular yla s n rlanan bölgenin alan ( -9) = = = 9 5 A = f() d+ f() d + f() d - Do ru Cevap D A = A = = 48 4 = 9 br d = d +9-5d +9 = d +9-5 d +9 = ln ( +9) - 5 Arc tan +c Do ru Cevap A 6

19 7. - (+) d = (- + + ) d = - d + + d = -ln + ln + +c Do ru Cevap B 8. y = -, ekseni etraf nda s n rlan p etraf nda dönmesiyle oluflan cismin hacimi,.( -) = = ± - ile aras bölge, ile + aras ndaki bölge ile simetrik oldu undan hacim formülünde çarpan al nmal d r. V = π y d = π ( - ) d V = π ( ) d = π Do ru Cevap C V = π ( ) = π ( 8 5 ) = 6π 8 br 9. y = 4, =, y = 6 ile s n rlan p y ekseni etraf nda döndürülmesiyle oluflan cismin hacimi. V = π 6 dy = π 6 ( y ) dy = π y dy 6 V = π 6 6 y 4 dy = π 6 y = π 8 (65 - ) Do ru Cevap C = 486π 5 br 64

20 . A = e Sin d = e Sin - e Cos d A = e Sin - e Cos - e Sin d A = e Sin - e Cos A = e (Sin - Cos) Do ru Cevap B 65

21 66

Benzer belgeler

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik